最新高中数学平面向量公式

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高一向量公式总结

向量的运算法则公式向量的运算法则公式包括向量的加法、向量的减法、向量的数乘、向量的数量积、向量的向量积、三向量的混合积等。

以下是向量运算法则的具体内容：一、向量的加法1.1向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

向量的加法OB+OA=OC.a+b=(x+x',y+y').a+0=0+a=a.1.2向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c).二、向量的减法如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0。

2.1向量的减法AB-AC=CB.即“共同起点,指向被向量的减法减”a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').三、、向量的数乘实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣.当λ＞0时,λa与a同方向；当λ＜0时,λa与a反方向；向量的数乘当λ=0时,λa=0,方向任意.当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或××反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍.3.1数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.3.2数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.四、向量的数量积定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b 的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a·b.若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉；若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣.向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'.4.1向量的数量积的运算律a·b=b·a（交换律）；(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)；（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）；4.2向量的数量积的性质a·a=|a|的平方.a⊥b 〈=〉a·b=0.|a·b|≤|a|·|b|.（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|）4.3向量的数量积与实数运算的主要不同点4.3.1向量的数量积不满足结合律,即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2.4.3.2向量的数量积不满足消去律,即：由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c.4.3.3|a·b|≠|a|·|b|4.3.4由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.五、向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量,记作a×b（这里并不是乘号,只是一种表示方法,与“·”不同,也可记做“∧”）.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a 和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.5.1向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.a×a=0.a垂直b〈=〉a×b=|a||b|.5.2向量的向量积运算律a×b=-b×a；（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；a×（b+c）=a×b+a×c.注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.六、三向量的混合积6.1向量的混合积定义：给定空间三向量a、b、c,向量a、b的向量积a×b,再和向量c作数量积(a×b)·c,向量的混合积所得的数叫做三向量a、b、c的混合积,记作(a,b,c)或(abc),即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c6.2混合积具有下列性质：6.2.1三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V,并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时,混合积是负数,即(abc)=εV（当a、b、c构成右手系时ε=1；当a、b、c构成左手系时ε=-1）6.2.2上性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=06.2.3(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)6.2.4(a×b)·c=a·(b×c)。

高中数学向量公式大全

高中数学向量公式大全两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。

若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a，b〉；a×b 的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。

若a、b共线，则a×b=0。

高中向量公式定比分点定比分点公式（向量P1P=λ•向量PP2）设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。

则存在一个实数λ，使向量P1P=λ•向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。

若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式）x=(x1+λx2)/(1+λ),y=(y1+λy2)/(1+λ)。

（定比分点坐标公式）我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式三点共线定理若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线三角形重心判断式在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心向量共线的重要条件若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。

a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。

零向量0平行于任何向量。

向量垂直的充要条件a⊥b的充要条件是a•b=0。

a⊥b的充要条件是 '+yy'=0。

零向量0垂直于任何向量.设a=（x，y），b=(x'，y')。

向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。

向量运算公式大全

向量运算公式大全
向量运算，它是数学中的一门重要学科，许多人也熟知它的基本概念，它是利
用有限的空间中的点的运动来描述物体的状态的一种运算。

向量运算公式大全包括平面向量公式、空间向量公式、余弦定理公式和积分公式等。

如平面向量公式，其概念是在二维空间中描述点的运动，它包括三个有向箭头，分别表示x，y，z方向，它们运算规律就是余弦定理，即a^2+b^2=c^2，它可以用
来求解两个向量之间的角度。

空间向量公式在三维空间中用来求解向量间运动，它们有四个有向箭头表示，
它们分别表示x、y、z、w方向，它们也遵循余弦定理，满足a^2+b^2+c^2=d^2。

余弦定理公式，也叫三角形公式，它是向量运算中使用最多的公式之一，它描
述的是两个向量之间的角度。

即a^2+b^2=c^2，它可以用来计算向量的大小、角度等。

积分公式，积分是求向量函数的积分，它是指把一块特定形状的空间按特定函
数进行划分，再把划分出来的空间求和获得一个函数值的过程。

向量函数可以用多种方法来表示，最常见的是用积分公式来求解。

以上是向量运算公式大全的概要介绍，它们的具体使用，实际上还要求一定的
数学知识，理解能力才能更深入的去了解、使用，只有这样才能获得最优效果。

(完整版)高中数学平面向量知识点总结

高中数学必修4之平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行③单位向量：模为1个单位长度的向量④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加法：设,ABa BCb uu u ru uu r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =ACuu u r （1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律；AB BCCDPQQRAR u u u r u u u r u uu r u u u r u u u r u u u rL，但这时必须“首尾相连”．3、向量的减法：①相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：b a可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点）4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a ；（Ⅱ）当0时，λa 的方向与a 的方向相同；当时，λa 的方向与a 的方向相反；当0时，0a，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线有且只有一个实数，使得b =a6、平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,使：2211e ea，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a r可表示成axi yj r rr ，记作a r=(x,y)。

2平面向量的坐标运算：(1)若1122,,,ax y bx y rr ，则1212,a bx x y y r r (2)若2211,,,y x B y x A ，则2121,AB x x y y u u u r(3)若a r =(x,y)，则a r =(x, y)(4)若1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y rr (5)若1122,,,ax y bx y rr ，则1212a bx x y y r r 若ab rr ，则02121y y x x 三．平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量a r 与b r，它们的夹角为，则a r ·b r =︱a r︱·︱b r ︱cos 叫做a r与b r 的数量积（或内积）规定00ar r 2向量的投影：︱b r ︱cos =||a b a r r r ∈R ，称为向量b r 在a r方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义：a r ·b r 等于a r 的长度与b r 在a r方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：22||a a a a r r r r 5乘法公式成立：2222a b ab a b a b r r r r r r r r ；2222abaa bb r r r r r r 222aa bbr r r r 6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a bb arr r r ②对实数的结合律成立：a b a b a bRr r r r r r ③分配律成立：abca cb c r r r r r r r ca br r r 特别注意：（1）结合律不成立：ab ca b c r r r r r r ；（2）消去律不成立a ba cr r r r 不能得到bc rr （3）a b r r =0不能得到a r =0r或b r =0r 7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)ax y b x y rr，则a r ·b r=1212x x y y 8向量的夹角：已知两个非零向量a r与b r ，作OA u u u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB=（01800）叫做向量a r 与b r 的夹角cos =cos,a b a ba b??r r r r r r =222221212121y x y x y y x x 当且仅当两个非零向量a r 与b r 同方向时，θ=00，当且仅当a r与b r 反方向时θ=1800，同时0r与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a r 与b r 的夹角为900则称a r 与b r 垂直，记作a r⊥br 10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥ba ·b ＝O02121y y x x 平面向量数量积的性质一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则()．A ．AB 与AC 共线B ．DE 与CB 共线C ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等2．下列命题正确的是()．A ．向量AB 与BA 是两平行向量B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足OC ＝OA ＋OB ，其中，∈R ，且＋＝1，则点C 的轨迹方程为()．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝04．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，则a 与b 的夹角是A ．6B ．3C ．23D ．565．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP ＝A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1)B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22)C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1)D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22)6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝()．(第1题)A．EF＋ED B．EF－DE C．EF＋AD D．EF＋AF7．若平面向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为()．A．2 B．4 C．6 D．128．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是()．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D．EO与OF二、填空题11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC ＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋mb)⊥(a－b)，则实数m 等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？(第10题)18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．(第19题) 20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值．一、选择题1．B 解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行，AD 与BD 共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB ＝DC ，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y)，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，OA ＝(3，)，OB ＝(－，3)，又OA ＋OB ＝(3－，＋3)，∴(x ，y)＝(3－，＋3)，∴33＋＝－＝y x ，又＋＝1，由此得到答案为D ．4．B解析：∵(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，∴(a －2b)·a ＝a 2－2a ·b ＝0，(b －2a)·b ＝b 2－2a ·b ＝0，∴a 2＝b 2，即|a|＝|b|．∴|a|2＝2|a||b|cos θ＝2|a|2cos θ．解得cos θ＝21．∴a 与b 的夹角是3π．5．A解析：由平行四边形法则，AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋BC ＝AC ，由λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵AF ＝DE ，∴DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．7．C解析：由(a ＋2b)·(a －3b)＝－72，得a 2－a ·b －6b 2＝－72．而|b|＝4，a ·b ＝|a||b|cos 60°＝2|a|，∴|a|2－2|a|－96＝－72，解得|a|＝6．8．D 解析：由OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，得OA ·OB ＝OC ·OA ,即OA ·(OC －OB )＝0，故BC ·OA ＝0，BC ⊥OA ，同理可证AC ⊥OB ，∴O 是△ABC 的三条高的交点．9．C解析：∵AD ＝AB ＋BC ＋D C ＝－8a －2b ＝2BC ，∴AD ∥BC 且|AD |≠|BC |．∴四边形ABCD 为梯形．10．D解析：AD 与BC ，AC 与BD ，OA 与OB 方向都不相同，不是相等向量．(第1题)二、填空题11．－32．解析：A ，B ，C 三点共线等价于AB ，BC 共线，AB ＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又A ，B ，C 三点共线，∴5(4－k)＝－7(－k －4)，∴k ＝－32．12．－1．解析：∵M(－1，3)，N(1，3)，∴MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴＝4－3－2＝3＋2x x x 解得4＝1＝－1＝－x x x 或∴x ＝－1．13．－25．解析：思路1：∵AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴△ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0，∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(BC ＋AB )＝－(CA )2＝－2CA ＝－25．思路2：∵AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴∠ABC ＝90°，∴cos ∠CAB ＝CAAB ＝53，cos ∠BCA ＝CABC＝54．根据数积定义，结合图(右图)知AB ·BC ＝0，BC ·CA ＝BC ·CA cos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16，CA ·AB ＝CA ·AB cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9．∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0―16―9＝－25．14．323．解析：a ＋mb ＝(3＋2m ，4－m)，a －b ＝(1，5)．∵(a ＋mb)⊥(a －b)，∴ (a ＋mb)·(a －b)＝(3＋2m)×1＋(4－m)×5＝0m ＝323．15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF交AC 于点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又OA ＋OC ＝－OB ，(第15题)D(第13题)∴OF ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心．16．答案：平行四边形．解析：∵a ＋c ＝b ＋d ，∴a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ．∴四边形ABCD 为平行四边形．三、解答题17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y)，则AP ＝(x ，y)－(2，3)＝(x －2，y －3)．AB ＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵AP ＝AB ＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)．∴713532yx 即7455yx 要使点P 在第三象限内，只需74055解得λ＜－1．18．DF ＝(47，2)．解析：∵A(7，8)，B(3，5)，C (4，3)，AB ＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又D 是BC 的中点，∴AD ＝21(AB ＋AC )＝21(－4－3，－3－5)＝21(－7，－8)＝(－27，－4)．又M ，N 分别是AB ，AC 的中点，∴F 是AD 的中点，∴DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)．19．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ．∴AF ·ED ＝(a ＋21b)·(b －21a)＝21b 2－21a 2＋43a ·b ．又AB ⊥AD ，且AB ＝AD ，∴a 2＝b 2，a ·b ＝0．∴AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴|2a －b|2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ．又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos3π－cos θsin3π)＝8sin(θ－3π)，最大值为8，∴|2a －b|2的最大值为16，∴|2a －b|的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b|表示2a ，b终点间的距离．|2a|＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ|的最大值为直径的长为4．(第18题)(第19题)。

高中数学-公式-平面向量

平面向量1.两个向量平行的充要条件,设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),λ为实数。

〔1〕向量式：a ∥b (b ≠0)⇔a =λb ;〔2〕坐标式：a ∥b (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1=0;2.两个向量垂直的充要条件, 设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2), 〔1〕向量式：a ⊥b (b ≠0)⇔a b =0; 〔2〕坐标式：a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0;3.设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),那么a b θ=x 1x 2+y 1y 2;其几何意义是a b 等于a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积；4.设A 〔x 1,x 2〕、B(x 2,y 2)，那么S ⊿AOB ＝122121y x y x -； 5.平面向量数量积的坐标表示：〔1〕假设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),那么a b =x 1x 2+y 1y 2221221)()(y y x x -+-=; 〔2〕假设a =(x,y),那么a 2=a a =x 2+y 2,22y x a +=;十、向量法 1、设直线、m l 的方向向量分别是、a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ，那么：〔1〕线线平行：l ∥m ⇔a ∥b ⇔=a kb〔2〕线面平行：l ∥α⇔a ⊥u 0⇔=a u〔3〕面面平行：////αβ⇔⇔=u v u kv注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.2、设直线、m l 的方向向量分别是、a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ，那么：〔1〕线线垂直：⊥⇔l m a ⊥b 0⇔=a b〔2〕线面垂直：α⊥⇔l a ∥u ⇔=a ku〔3〕面面垂直：αβ⊥⇔u ⊥v 0⇔=u v3、设直线、m l 的方向向量分别是、a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ，那么：〔1〕直线、m l 所成的角(0)2πθθ≤≤，cos θ⋅=a ba b〔2〕直线l 与平面α所成的角(0)2πθθ≤≤，sin θ⋅=a ua u〔3〕平面α与平面β所成的二面角的平面角(0)θθπ≤≤，cos θ⋅=u vu v教学过程：二、新课讲授1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模.3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律． ⑴加法交换律：a +b = b + a ； ⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ； ⑶数乘结合律：λ(u a ) =(λu )a ．4. 推广：⑴12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=；⑵122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++=；方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .称平面向量共线定理，二、新课讲授1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作a //b ．2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量a 、b 〔b ≠0〕，a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：假设a ∥b 〔a ≠0〕，那么有b ＝λa ，其中λ是唯一确定的实数。

高中向量的运算公式

高中向量的运算公式1. 向量的定义在数学中，向量是有大小和方向的量。

在二维情况下，向量可以用一个带箭头的有向线段表示。

在三维情况下，向量可以用一个带箭头的有向线段或者一个坐标（x,y,z）表示。

2. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。

向量的加法满足以下运算法则： - 交换律：A + B = B + A - 结合律：(A + B) + C = A + (B + C) - 零向量：A + 0 = A，其中0是零向量，大小为0，方向无所谓。

3. 向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。

向量的减法可以通过将减去的向量取反，然后进行向量的加法来实现。

4. 向量的数乘向量的数乘是指将一个向量乘以一个标量得到一个新的向量。

向量的数乘满足以下运算法则： - 结合律：k * (A + B) = k * A + k * B - 分配律1：(k1 + k2) * A = k1 * A + k2 * A - 分配律2：k1 * (k2 * A) = (k1 * k2) * A - 数乘的零向量：0 * A = 0，其中0是标量。

5. 向量的数量积向量的数量积（也称为内积、点积）是指将两个向量相乘得到一个标量的运算。

向量的数量积可以通过向量的坐标和向量的夹角来计算，公式如下： A · B = |A| *|B| * cosθ 其中，A · B表示向量A和向量B的数量积，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的大小，θ表示向量A和向量B的夹角。

6. 向量的向量积向量的向量积（也称为叉积）是指将两个向量相乘得到一个新的向量的运算。

向量的向量积满足以下运算法则： - 反交换律：A × B = -B × A - 分配律：A × (B + C) = A × B + A × C - 结合律：k * (A × B) = (k * A) × B = A × (k * B) - 向量积的零向量：A × A = 0，其中A是任意向量。

高中向量公式

高中向量公式向量是高中数学中重要的概念之一，它在几何、力学等领域有着广泛的应用。

在高中数学中，向量有着丰富的运算规则和公式，下面将介绍一些常用的高中向量公式。

1. 向量的模长公式：向量的模长是指向量的长度，可以使用勾股定理来计算。

对于平面向量a(x1, y1)，其模长可以表示为：|a| = √(x1² + y1²)对于空间向量a(x1, y1, z1)，其模长可以表示为：|a| = √(x1² + y1² + z1²)2. 向量的加法和减法公式：向量的加法和减法可以通过对应分量的相加和相减来实现。

对于平面向量a(x1, y1)和b(x2, y2)，其和可以表示为：a +b = (x1 + x2, y1 + y2)a -b = (x1 - x2, y1 - y2)对于空间向量a(x1, y1, z1)和b(x2, y2, z2)，其和可以表示为：a +b = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)a -b = (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2)3. 向量的数量积公式：数量积也称为点积，是向量运算中的一种。

对于平面向量a(x1, y1)和b(x2, y2)，其数量积可以表示为：a·b = x1x2 + y1y2对于空间向量a(x1, y1, z1)和b(x2, y2, z2)，其数量积可以表示为：a·b = x1x2 + y1y2 + z1z24. 向量的夹角公式：向量的夹角可以通过数量积公式来计算。

设向量a和向量b的夹角为θ，则有：cosθ = (a·b) / (|a||b|)由此可以解出夹角θ的值。

5. 向量的投影公式：向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影长度，可以通过数量积公式来计算。

设向量a和向量b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影长度为：projb a = |a|cosθ = (a·b) / |b|6. 平行向量和垂直向量的判定公式：两个向量a和b平行的充分必要条件是它们的方向相同或相反，即：a // b 当且仅当a = λb 或 a = -λb (λ为常数，λ≠0)两个向量a和b垂直的充分必要条件是它们的数量积等于0，即：a ⊥b 当且仅当a·b = 07. 向量的共线和共面判定公式：三个向量a、b、c共线的充分必要条件是它们对应分量的比值相等，即：a//b//c 当且仅当 x1/x2 = y1/y2 = z1/z2 (a(x1, y1, z1)，b(x2, y2, z2))四个向量a、b、c、d共面的充分必要条件是它们的混合积等于0，即：a、b、c、d共面当且仅当(a·b)·(c·d) - (a·c)·(b·d) + (a·d)·(b·c) = 0高中向量公式在解决几何问题、力学问题等方面有着重要的作用。

平面向量重要公式

平面向量重要公式平面向量是指在同一平面上定点两点之间的差。

在平面向量的运算中，存在许多重要的公式，这些公式对于解决数学问题具有重要的指导作用。

下面将介绍一些平面向量的重要公式。

1.向量的加法：设向量a=(a₁,a₂)，b=(b₁,b₂)，则有：a+b=(a₁+b₁,a₂+b₂)向量的加法满足交换律和结合律。

2.向量的数乘：设向量a=(a₁,a₂)，k为实数，则有：k*a=(k*a₁,k*a₂)数乘与向量的顺序可以交换。

3.向量的模：设向量a=(a₁,a₂)，则有：a，=√(a₁²+a₂²)向量的模等于其坐标的平方和的平方根。

4.向量的数量积（点积）：设向量a=(a₁,a₂)，b=(b₁,b₂)，则有：a·b=a₁*b₁+a₂*b₂向量的数量积满足交换律和分配律。

5.向量的平行性质：设向量a=(a₁,a₂)，b=(b₁,b₂)，则有：a//b⇔a₁/b₁=a₂/b₂两个向量平行的充分必要条件是它们的坐标成比例。

6.向量的垂直性质：设向量a=(a₁,a₂)，b=(b₁,b₂)，则有：a⊥b⇔a·b=0两个向量垂直的充分必要条件是它们的数量积为0。

7.向量的共线性质：设向量a=(a₁,a₂)，b=(b₁,b₂)，则有：a、b共线⇔a₁/b₁=a₂/b₂=k（k为实数）两个向量共线的充分必要条件是它们的坐标成比例，且比例因子相同。

8.向量的二次共线性：设向量a=(a₁,a₂)，b=(b₁,b₂)，c=(c₁,c₂)，则有：a、b共线两个向量共线的充分必要条件是它们的坐标成比例，且比例因子相同。

9.向量的夹角：设向量a=(a₁,a₂)，b=(b₁,b₂)，则有：cosθ = (a·b) / (，a，，b，)两个向量的夹角cosθ等于它们的数量积与它们的模的乘积之商。

10.平行四边形法则：设向量a=(a₁,a₂)，b=(b₁,b₂)，则有：a+b=c+d一个平行四边形的对角向量相等。

高中数学中的向量运算公式梳理

高中数学中的向量运算公式梳理向量是数学中重要的概念，它不仅在几何学中有着广泛的应用，而且在物理学、工程学等领域也扮演着重要的角色。

在高中数学中，学习向量运算公式是必不可少的一部分。

本文将梳理高中数学中常见的向量运算公式，帮助读者更好地理解和掌握这些公式。

1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。

假设有两个向量A和B，它们的加法公式为：A +B = (A₁ + B₁, A₂ + B₂, A₃ + B₃)其中A₁、A₂、A₃分别表示向量A在x、y、z方向上的分量，B₁、B₂、B₃分别表示向量B在x、y、z方向上的分量。

2. 向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。

假设有两个向量A和B，它们的减法公式为：A -B = (A₁ - B₁, A₂ - B₂, A₃ - B₃)其中A₁、A₂、A₃分别表示向量A在x、y、z方向上的分量，B₁、B₂、B₃分别表示向量B在x、y、z方向上的分量。

3. 向量的数量积向量的数量积是指将两个向量相乘得到一个标量。

假设有两个向量A和B，它们的数量积公式为：A ·B = |A| |B| cosθ其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模，θ表示向量A和B之间的夹角。

4. 向量的向量积向量的向量积是指将两个向量相乘得到一个新的向量。

假设有两个向量A和B，它们的向量积公式为：A ×B = (A₂B₃ - A₃B₂, A₃B₁ - A₁B₃, A₁B₂ - A₂B₁)其中A₁、A₂、A₃分别表示向量A在x、y、z方向上的分量，B₁、B₂、B₃分别表示向量B在x、y、z方向上的分量。

5. 向量的混合积向量的混合积是指将三个向量相乘得到一个标量。

假设有三个向量A、B和C，它们的混合积公式为：A · (B × C) = |A| |B × C| cosθ其中|A|、|B × C|分别表示向量A和向量B × C的模，θ表示向量A和向量B ×C之间的夹角。

高一数学向量公式大全

高一数学向量公式大全一、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新向量的运算。

向量的加法满足交换律和结合律。

1. 两向量相加的定义：设向量a和向量b的起点相同，分别为点O，终点分别为点P 和点Q，则向量a和向量b的和向量c为：c=a+b，其起点为点O，终点为点R，R为向量a和向量b的终点所在的点。

2. 向量的加法满足交换律和结合律：交换律：a+b=b+a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)二、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新向量的运算。

向量的减法也满足交换律和结合律。

1. 两向量相减的定义：设向量a和向量b的起点相同，分别为点O，终点分别为点P 和点Q，则向量a和向量b的差向量c为：c=a-b，其起点为点O，终点为点R，R为向量a和向量-b的终点所在的点。

2. 向量的减法满足交换律和结合律：交换律：a-b=-(b-a)结合律：(a-b)+c=a-(b-c)三、数量积数量积又称为点积或内积，是两个向量的乘积的数量。

数量积的结果是一个标量（即实数），数量积满足交换律和分配律。

1. 两向量的数量积的定义：设向量a和向量b的夹角为θ，则向量a和向量b的数量积为：a·b=|a|·|b|·cosθ。

其中，|a|和|b|分别为向量a和向量b的模，θ为向量a和向量b的夹角。

2. 数量积满足交换律和分配律：交换律：a·b=b·a分配律：(k·a)·b=k·(a·b)四、向量积向量积又称为叉积或外积，是两个向量的乘积的向量。

向量积的结果是一个垂直于原来的两个向量的向量，其大小等于原来两个向量围成的平行四边形的面积。

向量积满足反交换律和分配律。

1. 两向量的向量积的定义：设向量a和向量b的夹角为θ，则向量a和向量b的向量积为：a×b=|a|·|b|·sinθ·n。

平面向量基本公式大全

平面向量基本公式大全平面向量是数学中的一个重要概念，用于描述两个方向和大小都有所限定的量。

平面向量有很多重要的基本公式，这些公式在数学和物理学中都有广泛的应用。

下面就来介绍一下平面向量的基本公式。

1、平面向量的模长公式平面向量的模长（也叫长度）是平面向量的重要特性之一，表示向量在平面上的长度。

平面向量的模长公式为：AB，=√(某2-某1)2+(y2-y1)2其中，A(某1,y1)和B(某2,y2)表示向量AB的起点和终点坐标。

2、平面向量的加法和减法公式平面向量的加法和减法公式是指两个向量相加或相减的规则。

其公式为：A+B=(A某+B某,Ay+By)A-B=(A某-B某,Ay-By)其中，A、B分别表示两个向量，A某、Ay、B某、By分别表示两个向量在某轴和y轴上的分量。

3、平面向量的数量积公式数量积是向量中另一个重要的特性，用于描述两个向量之间的夹角。

平面向量的数量积公式为：A·B=，A，B，cosθ其中，A、B分别表示两个向量，A，和，B，表示它们的模长，θ表示两个向量之间的夹角。

4、平面向量的叉积公式叉积也是向量中的一种运算，用于计算两个向量所在平面的法向量，常用于计算力矩和面积等。

平面向量的叉积公式为：A某B=，A，B，sinθ其中，A、B分别表示两个向量，A，和，B，表示它们的模长，θ表示两个向量之间的夹角。

5、平面向量的坐标表示对于向量AB，在平面直角坐标系中，可以用一个有序数组(某,y)表示其坐标。

例如A(1,2)和B(3,4)，则向量AB可以表示为(2,2)。

6、平面向量的方向角公式平面向量的方向角指向量与正方向某轴之间的夹角，其公式为：θ=tan-1(y/某)其中，某、y分别表示向量的某轴和y轴分量。

7、平面向量的正交公式两个向量如果互相垂直，则称它们是正交的。

平面向量的正交公式为：A·B=0其中，A、B分别表示两个向量，·表示数量积运算。

总之，平面向量的基本公式是理解和应用平面向量的关键。

向量的运算的所有公式

向量的运算的所有公式数学公式是数学题目解题关键，那么向量的运算公式有哪些呢?快来和小编一起看看吧。

下面是由小编为大家整理的“向量的运算的所有公式”，仅供参考，欢迎大家阅读。

向量的运算的所有公式向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则，向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0，0的反向量为0，OA-OB=BA.即“共同起点，指向被减”a=(x1,y1)，b=(x2,y2) ，则a-b=(x1-x2,y1-y2)。

在数学中，向量(也称为欧几里得向量、几何向量、矢量)，指具有大小(magnitude)和方向的量。

它可以形象化地表示为带箭头的线段。

箭头所指：代表向量的方向;线段长度：代表向量的大小。

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则，向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0，0的反向量为0，OA-OB=BA.即“共同起点，指向被减”a=(x1,y1)，b=(x2,y2) ，则a-b=(x1-x2,y1-y2)。

数与向量的乘法满足下面的运算律：结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。

向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。

② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

向量的数量积的运算律：a·b=b·a(交换律)(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律)向量的向量积运算律：a×b=-b×a(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)a×(b+c)=a×b+a×c.(a+b)×c=a×c+b×c.拓展阅读：向量的表达方式1.代数表示一般印刷用黑体的小写英文字母(a、b、c等)来表示，手写用在a、b、c等字母上加一箭头(→)表示，也可以用大写字母AB、CD上加一箭头(→)等表示。

高中数学向量解题技巧必看

高中数学向量解题技巧必看各个科目都有自己的学习方法，但其实都是万变不离其中的，基本离不开背、记，运用，数学作为最烧脑的科目之一，也是一样的。

下面是小编给大家整理的一些高中数学向量解题技巧的学习资料，希望对大家有所帮助。

高二数学向量重点学习方法高二数学向量重点-向量公式：1.单位向量：单位向量a0=向量a/|向量a|2.P(x,y)那么向量OP=x向量i+y向量j|向量OP|=根号(x平方+y平方)3.P1(x1,y1)P2(x2,y2)那么向量P1P2={x2-x1,y2-y1｝|向量P1P2|=根号[(x2-x1)平方+(y2-y1)平方]4.向量a={x1,x2｝向量b={x2,y2｝向量a.向量b=|向量a|.|向量b|.Cosα=x1x2+y1y2Cosα=向量a.向量b/|向量a|.|向量b|(x1x2+y1y2)=————————————————————根号(x1平方+y1平方).根号(x2平方+y2平方)5.空间向量：同上推论(提示：向量a={x,y,z｝)6.充要条件：如果向量a⊥向量b那么向量a.向量b=0如果向量a//向量b那么向量a.向量b=±|向量a|.|向量b|或者x1/x2=y1/y27.|向量a±向量b|平方=|向量a|平方+|向量b|平方±2向量a.向量b=(向量a±向量b)平方高二数学向量重点-三角函数公式：1.万能公式令tan(a/2)=tsina=2t/(1+t^2)cosa=(1-t^2)/(1+t^2)tana=2t/(1-t^2)2.辅助角公式asint+bcost=(a^2+b^2)^(1/2)sin(t+r)cosr=a/[(a^2+b^2)^(1/2)]sinr=b/[(a^2+b^2)^(1/2)]tanr=b/a3.三倍角公式sin(3a)=3sina-4(sina)^3cos(3a)=4(cosa)^3-3cosatan(3a)=[3tana-(tana)^3]/[1-3(tana^2)]4.积化和差sina.cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2cosa.sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2cosa.cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2sina.sinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/25.积化和差sina+sinb=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]sina-sinb=2sin[(a-b)/2]cos[(a+b)/2]cosa+cosb=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]cosa-cosb=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]高考数学平面向量易错点分析1.数0有区别，0的模为数0，它不是没有方向，而是方向不定。

平面向量公式总结

平面向量公式，轻松掌握的关键平面向量的公式是学习向量初步的重要基础。

下面将为大家简单总结平面向量公式，帮助大家轻松掌握。

1.向量的加法向量a+b的结果是以向量a的起点为起点，向量b的起点为终点的向量。

其公式表达为：a+b=(a1+b1,a2+b2)注：其中a1、a2和b1、b2分别是向量a、向量b的横、纵坐标。

2.向量的减法向量a-b的结果是以向量b的终点为起点，向量a的终点为终点的向量。

其公式表达为：a-b=(a1-b1,a2-b2)注：其中a1、a2和b1、b2分别是向量a、向量b的横、纵坐标。

3.向量的数乘数乘指的是一个实数（数学中的标量）乘以向量，结果是一个新向量。

其公式表达为：k*a=(k*a1,k*a2)注：其中a1、a2是向量a的横、纵坐标。

k为标量。

4.向量的模向量的模指向量的长度，可以通过勾股定理来计算。

其公式表达为：|a|=sqrt(a1^2+a2^2)注：其中a1、a2是向量a的横、纵坐标。

5.向量的点积向量的点积也称为向量的内积或数量积，它是两个向量的数量积的夹角余弦值乘以向量模长。

其公式表达为：a·b=|a|×|b|×cosθ注：其中a、b为向量，θ为向量a与向量b之间的夹角。

6.向量的叉积向量的叉积也称为向量的外积或矢量积，它是两个向量所确定的平行四边形的面积的大小与平面法向量的方向所确定的矢量。

其公式表达为：a×b=|a|×|b|×sinθ×n注：其中a、b为向量，θ为向量a与向量b之间的夹角，n是一个与向量a和向量b均垂直的向量。

小结：平面向量的公式不仅是学习向量初步的重要基础，也是在以后学习更高深的数学知识时用到的重要基础。

只有掌握了这些公式，才能够在向量的加、减、数乘、模、点积和叉积等各方面轻松应对。

平面向量的所有公式

平面向量的所有公式平面向量是研究平面上的有大小和方向的量，它有三个基本组成部分：模、方向和位移。

在平面向量的运算中，有加法、减法、数量乘法和点乘法等基本运算法则。

平面向量的计算公式如下：一、向量的模：向量的模即向量的长度，用，AB，表示，A、B为向量的起点和终点。

根据两点之间的距离公式，向量AB的长度为：，AB，= sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)二、向量的方向角：向量的方向角用θ表示，θ的计算公式为：θ = arctan(y/x)三、向量的加法：向量的加法可用平行四边形法则或三角形法则进行运算。

-平行四边形法则：若AB向量与CD向量首位相连，则它们的和向量AC的终点D与向量CD的终点D形成一条与中点O1O2平行的平行线。

-三角形法则：若AB向量与BC向量首位相连，则它们的和向量AC的起点A与向量AB的起点A和向量BC的起点B重合，且终点C与向量BC的终点C重合。

四、向量的减法：向量的减法可用向量加法的逆运算进行。

若向量AB与向量CD首位相连，则它们的差向量AC的终点C与向量CD的起点C重合。

即向量减法A-B=A+(-B)，其中-B是向量B的逆向量。

五、数量乘法：向量与标量的乘法可分为两种情况。

-正数乘法：若k为正数，则k倍数的向量k·A与A方向相同，长度为原向量长度的k倍。

-负数乘法：若k为负数，则k倍数的向量k·A与A方向相反，长度为原向量长度的，k，倍。

六、数量积(点乘法)：数量积是向量积的另一种形式，它用于计算两个向量之间的夹角以及向量在一些方向上的投影。

-数量积的计算：设A(x1,y1)和B(x2,y2)是平面上的两个向量，它们的数量积为：A·B=x1*x2+y1*y2- 夹角的计算：设向量A(x1, y1)和B(x2, y2)的夹角为θ，则夹角的余弦为：cosθ = (A·B) / (，A， * ，B，)- 向量在一些方向上的投影：设向量A的模为，A，θ为A与一些方向的夹角，则A在该方向上的投影为：P = ，A，* cosθ以上是平面向量的一些基本计算公式。

高中数学公式大全平面向量的模长与夹角

高中数学公式大全平面向量的模长与夹角高中数学公式大全：平面向量的模长与夹角一、平面向量的模长平面向量的模长是指一个向量的长度或者大小，通常用符号 ||AB||来表示。

1. 对于一个平面向量 AB = (x, y)，其模长可以通过勾股定理来计算：||AB|| = √(x² + y²)2. 对于两点 A(x₁, y₁) 和 B(x₂, y₂) 之间的向量 AB，可以使用坐标差的形式计算其模长：||AB|| = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)3. 若已知平面向量 AB 的终点坐标为 B(x, y)，则可以使用坐标点的形式计算其模长：||AB|| = √(x² + y²)二、平面向量的夹角平面向量间的夹角是指两个向量之间的夹角大小，通常用符号∠α来表示。

在计算平面向量的夹角时，我们可以使用向量的点积或者向量的叉积来求解。

1. 向量的点积对于两个非零向量 A 和 B，它们的夹角θ 可以通过以下公式计算：cosθ = (A·B) / (||A|| * ||B||)其中，A·B 表示向量 A 和向量 B 的点积（数量积），||A|| 和 ||B||表示向量 A 和向量 B 的模长。

通过余弦值可以计算出夹角θ：θ = cos⁻¹[(A·B) / (||A|| * ||B||)]2. 向量的叉积对于两个非零向量 A 和 B，它们的夹角θ 可以通过以下公式计算：sinθ = (A×B) / (||A|| * ||B||)其中，A×B 表示向量 A 和向量 B 的叉积（矢量积），||A|| 和 ||B||表示向量 A 和向量 B 的模长。

通过正弦值可以计算出夹角θ：θ = sin⁻¹[(A×B) / (||A|| * ||B||)]以上是关于高中数学中平面向量的模长和夹角的公式展示，这些公式可以帮助你在解题过程中进行计算和推导。

高中数学公式大全平面向量的叉积与向量共线性的计算公式

高中数学公式大全平面向量的叉积与向量共线性的计算公式高中数学公式大全：平面向量的叉积与向量共线性的计算公式一、叉积的定义在平面解析几何中，我们常常会遇到两个向量的叉积运算。

叉积运算通常用符号"×"表示，它的结果是一个向量。

对于平面上的两个向量a和b，它们的叉积结果为向量c。

二、叉积的计算公式设有两个向量a=(x₁, y₁)和b=(x₂, y₂)，它们的叉积结果为向量c=(x₃, y₃)。

1. 叉积的计算公式一：x₃ = x₁ * y₂ - x₂ * y₁y₃ = y₁ * x₂ - y₂ * x₁2. 叉积的计算公式二：c = | a * b | * n其中，| a * b |表示向量a与向量b的数量积，n是一个垂直于平面的单位向量。

三、向量共线性的计算公式当两个向量平行或反平行时，可以说它们是共线的。

我们常常需要判断两个向量的共线性。

1. 共线性的判定公式一：向量a和向量b共线的充分必要条件是它们的叉积等于零。

即，a × b = 02. 共线性的判定公式二：向量a和向量b共线的充分必要条件是它们的方向向量成比例。

即，a = k * b 或 b = k * a，其中k是一个实数。

四、案例分析现在我们来看一个具体的案例，对以上公式进行应用。

案例一：设有向量a=(1, 2)和向量b=(3, 4)，求它们的叉积c和判断它们的共线性。

1. 叉积的计算：x₃ = 1 * 4 - 3 * 2 = -2y₃ = 2 * 3 - 4 * 1 = 2所以向量c=(-2, 2)。

2. 共线性的判断：a ×b = 1 * 4 - 2 * 3 = -2 ≠ 0说明向量a和向量b不共线。

案例二：设有向量a=(2, -1)和向量b=(4, -2)，求它们的叉积c和判断它们的共线性。

1. 叉积的计算：x₃ = 2 * (-2) - 4 * (-1) = 0y₃ = (-1) * 4 - (-2) * 2 = 0所以向量c=(0, 0)。

高中数学向量公式大全

高中数学向量公式大全高中数学中，向量是一个非常重要的概念，它在几何、代数、物理等领域都有着广泛的应用。

在学习向量的过程中，掌握一些常见的向量公式是很重要的，下面就为大家整理了一份高中数学向量公式大全，方便大家复习和查阅。

一、向量基本概念1. 向量的模：向量的模是指向量的长度，记作 |AB| 或 ||AB||。

2. 向量的方向角：向量与坐标轴正方向之间的夹角。

3. 向量的方向余弦：与坐标轴正方向夹角的余弦值。

4. 平行向量：两个向量的方向相同或相反，则称它们是平行的。

5. 相等向量：两个向量既有相同的模，又有相同的方向，则称它们是相等的。

6. 零向量：模为0的向量，记作0。

7. 广义向量：在同一平面内有相同的大小、方向和作用线的向量组成的集合。

二、向量的坐标表示1. 坐标：向量终点在直角坐标系中的坐标。

2. 向量的坐标表示：向量终点坐标减去起点坐标得到的差。

3. 平移：坐标表示的向量平移时，只需将其起点的坐标平移得到新的向量。

三、向量的性质1. 加法交换律：A + B = B + A。

2. 加法结合律：(A + B) + C = A + (B + C)。

3. 数量积的分配率：k(A + B) = kA + kB。

4. 加法的存在性：对于任意的向量A，存在一个零向量0，使得 A + 0 = 0 + A = A。

5. 数量积的交换律：A·B = B·A。

6. 数量积的结合律：(kA)·B = k(A·B)。

7. 数量积分配律：(A + B)·C = A·C + B·C。

8. 共线定理：若 A·B = 0，则向量 A 和向量 B 共线。

9. 平行四边形法则：A + B = C + D时，向量 AD 和向量 B 共平行。

四、向量的运算1. 向量的加法：将两个向量的向量和的起点和终点分别与原向量的起点和终点相重合。

2. 向量的乘法：向量的乘法分为数量积和矢量积两种。

平面向量的全部公式。

平面向量的全部公式1. 向量表示：设向量AB的起点为A，终点为B，则向量AB可以表示为位置向量OB - OA，即AB = OB - OA。

2. 向量的模：向量AB的模表示为|AB|，即向量AB的长度。

设向量AB的坐标表示为(ABx, ABy)，则有|AB| = sqrt(ABx^2 + ABy^2)。

3. 向量的加法：设向量AB和向量CD的坐标分别为(ABx, ABy)和(CDx, CDy)，则有向量AB + 向量CD的坐标表示为(ABx + CDx, ABy + CDy)。

4. 向量的减法：设向量AB和向量CD的坐标分别为(ABx, ABy)和(CDx, CDy)，则有向量AB - 向量CD的坐标表示为(ABx - CDx, ABy - CDy)。

5. 数乘：设向量AB的坐标表示为(ABx, ABy)，k为常数，则有向量kAB的坐标表示为(k * ABx, k * ABy)。

6. 单位向量：模为1的向量称为单位向量。

设向量AB的模为1，则向量AB 为单位向量。

7. 向量的点乘：设向量AB和向量CD的坐标分别为(ABx, ABy)和(CDx, CDy)，则向量AB与向量CD的点乘表示为AB · CD = ABx * CDx + ABy * CDy。

8. 向量的夹角：设向量AB和向量CD分别为非零向量，夹角为θ，则有以下关系：AB · CD = |AB| * |CD| * cos(θ)。

以上是平面向量的一些基本公式，通过这些公式可以进行向量的运算和分析。