初中数学构造法的归纳整理(保证精品)
初中立体几何中的几何构造问题解析知识点
初中立体几何中的几何构造问题解析知识点几何构造是几何学的重要内容之一，它是通过几何图形之间的关系和性质来进行一系列的操作，从而得出几何问题的解答或构造。
在初中阶段的学习中，我们通常会遇到一些与几何构造相关的问题，本文将对初中立体几何中的几何构造问题进行解析和知识点总结。
一、平面图形的展开与折叠构造平面图形的展开与折叠构造是指将一个平面图形按照一定的折叠顺序转换为一个立体图形的过程。
常见的平面图形包括正方形、长方形、三角形等，通过将这些平面图形展开和折叠，可以得到对应的立体图形。
1. 正方体的展开与折叠构造以正方体为例，正方体的展开图由六个正方形组成，在展开图的正方形上标明对应面的相邻关系并进行折叠，即可得到正方体。
2. 圆柱体的展开与折叠构造圆柱体的展开图由一个长方形和两个圆组成。
首先将长方形沿一条边进行切割，再将其展开。
圆柱体的高度与长方形的长度相同，将展开的长方形围绕其中一条边进行折叠并黏合，即可得到圆柱体。
3. 锥体的展开与折叠构造锥体的展开图由一个扇形和一个三角形组成。
首先将扇形按照锥的顶点将其展开，再将三角形围绕其中一条边进行折叠并黏合，即可得到锥体。
二、立体几何体的投影构造立体几何体的投影构造是指根据物体在不同投影面上的投影关系，建立物体在不同投影面上的几何图形，从而得到立体几何体的形状和位置关系。
1. 正交投影构造正交投影是指物体在与其相互垂直的三个投影面上的投影关系。
在正交投影中，物体在三个投影面上的投影为等大的几何图形，投影之间无任何变形和交叉。
2. 斜投影构造斜投影是指物体在一个与之不垂直的投影面上的投影关系。
与正交投影不同，物体在斜投影面上的投影可出现变形和交叉。
三、立体几何体的分割与拼接构造立体几何体的分割与拼接构造是指根据几何图形之间的关系和性质，对立体几何体进行分割和重新拼接，从而得到新的几何体。
1. 立体几何体的体积分割构造通过平面分割和截取，可以将一个立体几何体分割成若干个简单的几何体，如三棱柱、三棱锥等。
初中数学解题技巧-构造法与待定系数法
初中数学解题技巧:构造法与待定系数法
初中数学解题技巧:构造法与待定系数法
（1 ）构造法所谓构造性的方法就是数学中的概念和方法按固定的方式经有限个步骤能够定义的概念和能够实现的方法。
常见的有构造函数，构造图形，构造恒等式。
平面几何里面的添辅助线法就是常见的构造法。
构造法解题有：直接构造、变更条件构造和变更结论构造等途径。
p143
例：在证明正三角形内有一点p ，连接pa 、pb 、pc 则pa+pc>pb.
证法是通过旋转三角形bpc 到bp' 在连接pp' 就直接构造出以pa,pb,pc 为边的三角形pp'a 。
下面看一个常见的构造函数解决问题的例子例：在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似的看作抛物线，如图，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 米，距地面均为1 米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1 米和2.5 米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5 米，根据以上信息你能知道学生丁的身高吗？
（2 ）待定系数法：将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
用待定系数法解题的一般步骤是：确定所求问题含待定系数的解析式；根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
上例也是一个典型的待定系数法的例子。
初中数学常用几何模型及构造方法大全
初中数学常用几何模型及构造方法大全初中数学中常用的几何模型有点线面体等，下面是一些具体的模型及其构造方法的介绍。
1.点：点是最基本的几何模型，没有大小和形状，通常用字母表示，如点A。
构造一个点的方法是利用直尺和量角器可以在纸上画出一个点。
2.线段：线段是由两个点A、B确定的一段有限长度的直线。
构造一个线段的方法是使用直尺在纸上连接两个点A、B。
3.直线：直线是不限长度的连续的直线，由无数个点连成。
构造一条直线的方法是使用直尺和铅笔，通过两个点A、B可以画出一条直线。
4.射线：射线是起始点A和其中一点B组成的，且延伸方向上没有终点的线段，A点称为射线的起点。
构造一个射线的方法是先画一个点A，然后通过这个点再延伸一段。
5.角：角是由两条射线共享一个端点所组成的图形，其中这个端点称为角的顶点，两条射线称为角的腿。
构造一个角的方法是先画出射线，然后再画出另一条射线与之相交，两射线的交点即为角的顶点。
6.平行线：平行线是在同一个平面上永远不会相交的直线。
构造平行线的方法是使用直尺和量角器，通过已知的一条直线上的一点和一条角度相等的直线可以画出平行线。
7.相交线：相交线是在同一个平面上交叉的直线。
构造相交线的方法是使用直尺和量角器，在纸上画出两条直线，交点即为相交线的点。
8.三角形：三角形是由三条线段组成的图形。
构造一个三角形的方法是使用直尺和量角器，先画出一个线段作为一条边，再使用量角器构造两条角度相等的线段作为其它两边。
9.直角三角形：直角三角形是一个角为90度的三角形。
构造直角三角形的方法是使用直尺和量角器，首先画出一条线段，然后构造一个90度的角作为其中一条边。
10.等边三角形：等边三角形是三边相等的三角形。
构造等边三角形的方法是使用直尺和量角器，首先画出一条线段作为其中一条边，然后通过量角器构造另外两条边，使得三边相等。
除了以上列举的几何模型，还有圆、四边形、多边形等，它们的构造方法有一些特定的规则，可以通过直尺、圆规和量角器等几何工具进行构造。
初中数学中考数学常用几何模型及构造方法大全
初中数学中考数学常用几何模型及构造方法大全
1.线段和角的构造：
(1)线段的平分线构造：通过线段的两个端点构造出它的平分线；
(2)角的平分线构造：通过角的两条边构造出它的平分线。
2.直线和角的性质：
(1)同位角和内错角的性质：对于两条平行线与同位角以及内错角的
关系给出了详细的构造方法；
(2)顶角与底角的性质：对于两个交角的顶角和底角的关系给出了构
造方法。
3.平面图形的特点与性质：
(1)正方形、矩形、菱形和平行四边形的构造方法：通过给出一些特
定线段的长度构造出相应的平面图形；
(2)三角形的构造方法：根据给定的边长或者角度构造出相应的三角形；
(3)全等三角形的构造方法：利用三个已知条件构造出全等的三角形；
(4)利用三角形的角平分线构造三角形的内心；
(5)利用三角形的垂心、外心和重心的构造方法。
4.圆的构造与性质：
(1)圆的半径的构造方法：通过给出的圆心和一个端点构造出圆的半径；
(2)弦的构造方法：通过给出圆上的两个点构造出相应的圆弦；
(3)弓形的构造方法：通过给出的端点和圆心构造出相应的弓形；
(4)圆的切线的构造方法：通过给出的切点构造出相应的圆的切线。
5.相似与全等的构造：
(1)利用角的平分线构造相似三角形：通过给出的角的平分线构造出相似的三角形；
(2)利用比的性质构造相似三角形：通过给出的比例构造出相似的三角形；
(3)利用比的性质构造全等三角形：通过给出的比例构造出全等的三角形。
以上是初中数学中考常用的几何模型及构造方法的大致内容。
当然，具体的内容还包括一些相关的定义和定理，这些都需要在学习中进一步深入理解和掌握。
初中数学解题方法之一构造法之构造方程
初中数学解题方法之一构造法之构造方程构造法是初中数学解题的常用方法之一，它通过构造合适的问题结构，将问题转化为可解的方程或等式，从而帮助我们解决问题。
构造方程是其中一种常见的构造法。
构造方程的基本思路是先找出问题中的未知量和已知条件，然后通过逻辑推理或运用已知条件，构造出一个或多个与问题有关的关系式，最终得到方程，并解方程求解。
下面以一些具体的数学问题为例，介绍构造方程的基本步骤和一些常用的技巧。
1.确定未知量和已知条件：首先要明确问题中的未知量是什么，已知条件有哪些。
例如，问题中可能涉及到未知数的个数、长度、面积等。
2.运用逻辑关系或条件构造方程：根据问题中的逻辑关系或条件，构造方程。
可以采用等量关系、比例关系等。
3.解方程求解：得到方程后，通过计算求解方程，得到未知量的值。
下面通过几个具体问题的例子，来说明构造方程的应用。
例1：甲、乙两人同时从甲地骑自行车去乙地，甲总共骑了3小时，乙总共骑了2小时，两人相遇时甲比乙多骑36千米。
已知甲比乙骑得快一半，求甲、乙各骑的速度。
设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时。
根据题意可得出以下的逻辑关系或条件：甲的骑行时间：3小时乙的骑行时间：2小时甲比乙多骑36千米甲比乙骑得快一半根据已知条件，可以构造出方程：甲的速度x乘以时间3小时等于乙的速度y乘以时间2小时再加上36千米。
即：3x=2y+36根据方程，我们可以求解未知量的值。
将方程进行变形：2y=3x-36y=(3x-36)/2由于甲比乙骑得快一半，即：x=(3x-36)/2解这个方程，可以得到甲的速度是24千米/小时，乙的速度是12千米/小时。
例2：已知一个正方形的周长是20厘米，求正方形的面积。
设正方形的边长为x厘米。
根据题意可得出以下的逻辑关系或条件：正方形的周长是20厘米根据已知条件，可以构造出方程：周长就是4条边的长度之和，所以可以得到：4x=20解这个方程，可以得到正方形的边长是5厘米。
初中数学—构造法
知识点拨【知识提要】1.代数构造；2.几何构造；3.其他一些构造。
【基本题型】1.证明存在符合题目条件的某个“事物”；2.说明某个“事物”的最大值或最小值（需要构造说明它存在）；3.其他一些杂题。
【解题技巧】1.构造一一对应方法；2.用组合数学的方法；3.极端的思想。
快乐热身【热身】求证：区间(0,1)上的实数和整个实数集中的实数一样多。
【解析】分析两个集合都有无穷多个实数，不能求出个数。
看起来，一条有限长的线段和一条无限长的直线里面的点不会一样多。
那么，要想说明两个无穷集合是一样大的，需要构造出一个一一对应的关系。
解令函数π()tanπ(01)2f x x x⎛⎫=-<<⎪⎝⎭，则易知()f x是从(0,1)到上的一一映射。
所第二讲构造法以，这两个集合里面的数一样多。
说明 证明两个集合的元素个数一样多（可能是无限集合），最常规的方法就是做一一对应。
热身完了，我们开始今天的课程吧！例题精讲【例 1】 用构造法求147464712...47...52515250515256 (52)⨯⨯⨯⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯的值。
【解析】 分析 看起来是组合数的概率问题，可以构造一个模型。
解 分母出现52，那么考虑1到52的全排列。
第一个数是1的概率为152； 考虑第二项，4752是“前5项中没有出现1”的概率，且这显然与“第一个数是1”互斥；那么，475152⨯便是：前5项中没有出现1，且第一项为2的概率。
继续考虑第三项，4647505152⨯⨯⨯是前5项中没有出现1或2，且第一项为3的概率。
……最后一项是前5项中没有出现1，2，3，……，47，且第一项为48的概率。
综上所述，所求的数为第一项是前5项中最小的那项的概率，所以等于15。
说明 本题当然也可以用裂项法。
【例 2】 记n 为正整数，设n A 为数字和为n 且不含有1，3，4以外的数字的自然数个数，n B 为数字和为n 且不含有1，2以外的数字的自然数个数。
初中数学解答：幂的运算,构造法!
初中数学解答：幂的运算，构造法！
幂的运算是初中数学中的重要内容，构造法是其中一种解题方法。
下面给出幂的运算规则和构造法的解题步骤：
幂的运算规则：
1. 幂相乘：a^m * a^n = a^(m+n)
2. 幂相除：a^m / a^n = a^(m-n)
3. 幂的乘方：(a^m)^n = a^(m*n)
4. 同底数幂相加或相减：如果底数相同，则指数相加或相减。
a^m + a^n = a^(m+n)
a^m - a^n = a^(m-n)
构造法解题步骤：
1. 理清题意，确定需要求解的问题。
2. 找出已知条件，利用已知条件构造等式或不等式。
3. 运用幂的运算规则，化简等式或不等式。
4. 根据等式或不等式的性质，解出未知数的值。
5. 检验解是否符合题意。
举例说明：
问题：已知a^3 = 8，求a 的值。
解题步骤：
1. 题目中已经给出了已知条件和需要求解的问题。
2. 已知条件为a^3 = 8。
3. 利用幂的运算规则，我们知道8 可以写成2 的立方，即8 = 2^3。
所以，可以得到a^3 = 2^3。
4. 根据等式的性质，我们得出a = 2。
5. 检验解：将a 的值代入原等式，验证等式是否成立。
即计算2^3 是否等于8。
经计算得知，2^3 = 8，符合题意。
因此，解为a = 2。
初中数学几何图形构造方法梳理
初中数学几何图形构造方法梳理几何图形构造方法梳理在初中数学学习中，几何图形构造是一个重要的部分，它涉及到直线、角度、三角形、四边形等各种图形的构造方法。
本文将梳理一些常见的初中数学几何图形构造方法，帮助学生更好地理解和掌握这些内容。
一、直线图形的构造方法1. 画线段：给定两个不同的点A和B，我们可以使用直尺在点A和B之间画一条直线段AB。
2. 画射线：给定一个起点A和一个方向，我们可以使用直尺在起点A开始，按照给定的方向延伸出一条射线。
3. 画平行线：给定一条直线L和一个点P，在点P处画一条与直线L平行的直线。
4. 画垂直线：给定一条直线L和一个点P，在点P处画一条与直线L垂直的直线。
二、角度的构造方法1. 画角：给定两条射线，将它们的起点重合，通过尺规作图的方法，可以构造出一个特定的角。
2. 以角的顶点为中心，以确定的角度为半径，画弧：给定一个角的顶点O和一个角度a，我们可以使用尺规作图的方法，在以O为中心，以a为半径的圆上选择一点P，然后连接OP，即可得到一个角为a的角。
3. 画平分线：给定一个角，我们可以使用尺规作图的方法，构造出这个角的平分线，即将这个角平分为两个相等的角。
4. 画垂线：给定一条直线L和一个点P，在点P处画一条与直线L垂直的直线。
三、三角形的构造方法1. 画等边三角形：给定一个边长，我们可以使用尺规作图的方法，构造一个边长相等的等边三角形。
2. 画等腰三角形：给定一个底边和两个底角，我们可以使用尺规作图的方法，构造一个具有底边和底角相等的等腰三角形。
3. 画直角三角形：给定一个直角，我们可以使用尺规作图的方法，在直角的一边上任选一点，然后以这个点为顶点，直角的两条边为另外两边，构造一个直角三角形。
4. 画任意三角形：给定三条边长a、b、c，我们可以使用尺规作图的方法，构造一个具有边长分别为a、b、c的任意三角形。
四、四边形的构造方法1. 画平行四边形：给定两条平行线L1和L2，以及一个点P，我们可以使用尺规作图的方法，在点P处作出一条与L1平行的线段，然后再以该线段为边作出一条与L2平行的线段，连接两个线段的两个端点，即可得到一个平行四边形。
初中数学—构造法
知识点拨【知识提要】1.代数构造；2.几何构造；3.其他一些构造。
【基本题型】1.证明存在符合题目条件的某个“事物”；2.说明某个“事物”的最大值或最小值（需要构造说明它存在）；3.其他一些杂题。
【解题技巧】1.构造一一对应方法；2.用组合数学的方法；3.极端的思想。
快乐热身【热身】求证：区间(0,1)上的实数和整个实数集中的实数一样多。
【解析】分析两个集合都有无穷多个实数，不能求出个数。
看起来，一条有限长的线段和一条无限长的直线里面的点不会一样多。
那么，要想说明两个无穷集合是一样大的，需要构造出一个一一对应的关系。
解令函数π()tanπ(01)2f x x x⎛⎫=-<<⎪⎝⎭，则易知()f x是从(0,1)到上的一一映射。
所第二讲构造法以，这两个集合里面的数一样多。
说明 证明两个集合的元素个数一样多（可能是无限集合），最常规的方法就是做一一对应。
热身完了，我们开始今天的课程吧！例题精讲【例 1】 用构造法求147464712...47...52515250515256 (52)⨯⨯⨯⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯的值。
【解析】 分析 看起来是组合数的概率问题，可以构造一个模型。
解 分母出现52，那么考虑1到52的全排列。
第一个数是1的概率为152； 考虑第二项，4752是“前5项中没有出现1”的概率，且这显然与“第一个数是1”互斥；那么，475152⨯便是：前5项中没有出现1，且第一项为2的概率。
继续考虑第三项，4647505152⨯⨯⨯是前5项中没有出现1或2，且第一项为3的概率。
……最后一项是前5项中没有出现1，2，3，……，47，且第一项为48的概率。
综上所述，所求的数为第一项是前5项中最小的那项的概率，所以等于15。
说明 本题当然也可以用裂项法。
【例 2】 记n 为正整数，设n A 为数字和为n 且不含有1，3，4以外的数字的自然数个数，n B 为数字和为n 且不含有1，2以外的数字的自然数个数。
(完整版)初中数学常用几何模型及构造方法大全
n d A l l t h i n g s i n t h e i r b e i n g a r e g o o d f o r s o 初中数学常用几何模型及构造方法大全，掌握它轻松搞定压轴题！几何是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间，这次整理了常用的各大模型，一定要认真掌握哦~全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题a t i m e a n d A l l t h i n g s i n t h e i rb e i n g a r e g o o d f o r s o 旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
自旋转模型构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形; 遇90度旋90度，造等腰直角;遇等腰旋顶点，造旋转全等; 遇中点旋180度，造中心对称.共旋转模型a t i m e a n d A l l t h i n g s i n t h e i rb e i n g a r e g o o d f o r s o 说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。
中学数学中常用的七类构造法
1.构造法概述1.1 一个简单例子证明存在两个无理数y x ,，使y x z =是有理数[1]传统证明方法是，假设对于任何两个无理数y x ,，都有y x z =是无理数。
那么就有()22一定是无理数，进而()222⎥⎦⎤⎢⎣⎡也是无理数，而()2)2(2222==⎥⎦⎤⎢⎣⎡是有理数，所以假设不成立 而我们如果令9log ,22==y x ，我们已知2和9log 2都是无理数，此时 32)2(3log 9log 22===y x 是有理数，问题得证。
上面这个问题中我们用到的第二种方法就是中学中常用的构造法。
1.2构造法的发展历史到底什么是构造法呢？构造法就是按照固定方式，经过有限步骤能够实现的方法。
引用韦尔（H.Weyl ）在《数学的思维方式》一文中的一句话“当数学家们转向抽象时，有一件最为门外汉所不能理解的事情，那就是直觉的图像必须被转化为一种符号构造。
”[2]这表明构造法从数学产生时就已经存在，因为数学发展所必须具备的数学符号就是用来构造对象的。
除此之外，数学最初的定义有很多都是构造性的定义，比如：将线段绕其一个端点在平面内旋转一周，它的另一端点所画出的图形叫圆。
构造法起源于数学之初，但它的发展是在19世纪末。
19世纪末，克罗内克和庞加莱基于数学的可信性，提出了“存在必须是被构造的”观点，创立了早期的直观数学学派。
但是他们把直观数学推崇到极致，反对一切非构造性数学内容，搞得数学复杂难懂。
随后马尔科夫提出算法数学，把一切数学概念归结为一个基本概念——算法的构造性方法。
但是算法数学以递归函数为基础，大部分人同样难以理解。
直到1867年美国数学家比肖泊发表《构造性分析》一书，摆脱了算法数学对递归函数的依赖，宣告现代构造数学的形成。
时至今日，构造法不仅开创了组合数学、计算机科学等新领域，而且在数值分析，拓扑学领域也大有用武之地。
[3]1.3 中学数学需要数学构造法除了高等数学，现在的中学阶段对于构造法也是相当重视的。
初中数学常用几何模型与构造方法大全
初中数学常用几何模型与构造方法大全1.线段：线段是几何中最简单的图形，长度可以用尺或其他测量工具进行测量。
线段是其他几何图形的基础。
2.角：角是由两条射线共同决定的，可以按照角度的大小进行分类，如钝角、直角、锐角等。
角的大小可以使用角度表示，也可以使用弧度表示。
3.三角形：三角形是由三条线段组成的图形，根据三边之间的关系，可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形等。
三角形是计算几何中最常见的图形之一4.四边形：四边形是由四个线段组成的图形，根据四边形的特征，可以分为矩形、正方形、菱形等。
四边形是平面几何中常见的图形之一5.圆：圆是由一条曲线围成的图形，圆的特点是任意一点到圆心的距离都相等，这个距离叫做半径。
圆是计算几何中重要的图形。
6.正多边形：正多边形是指所有边和内角相等的多边形，如正三角形、正四边形、正五边形等。
正多边形是几何中的基本构造之一除了几何模型之外，还有一些常用的构造方法可以帮助初中生更全面地理解几何知识：1.作图：作图是几何学习的基本方法之一，通过作图可以观察和研究几何图形的特点和性质。
常用的作图工具有直尺、圆规等，作图步骤需要按照几何要求进行。
2.投影：投影是指将一个图形放在平面上，通过其中一种方法得到该图形在平面上的影子。
投影可以帮助初中生理解图形的形状和大小。
3.平移：平移是指将一幅图形在平面上沿着一定方向移动一段距离而不改变形状和大小。
平移可以帮助初中生研究几何图形之间的关系和性质。
4.旋转：旋转是指将一个图形绕着一个点或一条线旋转一定的角度而不改变形状和大小。
旋转可以帮助初中生研究图形的对称性和碰撞角度等性质。
5.翻折：翻折是指将一幅图形沿着条线对折，使得图形的两部分重合在一起。
翻折可以帮助初中生研究图形的对称性和性质。
除了上述常用的几何模型和构造方法，初中数学还有许多其他重要的几何知识和方法。
掌握这些几何模型与构造方法，可以帮助初中生更好地理解和运用几何知识，提高解题能力和思维能力。
【初中数学知识点解析】构造全等三角形的五种常用方法
方法4 倍长中线法 4．如应图，在△ABC中，D为BC的中点．
(1)求证：AB＋AC>2AD； (2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．
(1)证明： 延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE. ∵D为BC的中点， ∴CD＝BD. 又∵AD＝ED，∠ADC＝∠EDB， ∴△ADC≌△EDB. ∴AC＝EB. ∵AB＋BE>AE， ∴AB＋AC>2AD.
∴∠B＝∠ADG＝90°.
在△ABE与△ADG中，
方法5 截长(补短)法
5．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝
∠ADC＝90°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°.探究图
中线段BE，EF，FD之间的数量关系并证明．
AB＝AD，
∠B＝∠ADG＝90°，
BE＝DG，
要点提示
在进行几何题的证明或计算时，需要在图形中添加一些 辅助线，辅助线能使题目中的条件比较集中，能比较容易找 到一些量之间的关系，使数学问题较轻松地解决．
常见的辅助线作法有：翻折法、构造法、旋转法、倍长中 线法和截长(补短)法，目的都是构造全等三角形．
方法1 翻折法
1．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D. 求证：∠2＝∠1＋∠C. 证明：如图，延长AD交BC于点F.(相当于将AB边向下翻
方法3 旋转法
3．如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为CD边上一点， BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数．
∴△ABH≌△ADF. ∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF. ∴∠BAH＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF， 即∠HAF＝∠BAD＝90°. ∵BE＋DF＝EF， ∴BE＋BH＝EF，即HE＝EF. 在△AEH和△AEF中，
构造数列的方法总结
构造数列的方法总结构造数列的方法总结：构造方法如下： 1、定义：(1)有界闭区间上函数的和，即对于有界闭区间上每一个点P，只要它属于某一正整数集内，就存在唯一的一个y，使得y=mx+c(x>0)(x∈H(P))(m∈K)(m>0)2、单调性：函数在任何一个闭区间上都连续，那么它在这个闭区间上就可以取到一个最小值或者一个最大值，并且从这个最小值或者最大值出发，在任何一个闭区间上，函数图像都会向右上方或者左下方无限延伸； 3、等比数列定义法：如果把一个有界闭区间上的数列看作是由一个定比数列和一个函数所构成，则这两种不同形式的数列是可以通过合理的运算得到一个等比数列； 4、切割法：如果把有界闭区间上的数列看作是由一个基本函数和另外一个复合函数所构成，我们称其为切割函数，那么将原数列按照切割函数所确定的某个区间进行分段后，得到的数列与原数列相比，具有相同的性质。
这种切割法可以得到一些新的等比数列。
5、单调递减法：如果把一个有界闭区间上的数列看作是由一个非递增序列和一个递减序列所构成，那么在这个非递增序列的起始点之前和递减序列的终止点之后，都存在一个最小值或最大值，这个递减序列和这个非递增序列分别对应着两个不同的数列；2。
判断递减与否(见第4条) 3。
将原数列在某个区间进行划分，再找一个和原数列相同的数列，且新数列能将原数列分成的两个子列，新数列必须满足前面两条，但需注意的是，因为原数列的开区间是一个有界闭区间，因此只有第二条可以在有界闭区间上得到，其余三条均只能在无穷区间上得到，在这样的情况下，依然有一种较好的切割法可以解决这个问题。
在这里要特别提醒一点的是，在有些题目中经常会出现原数列属于一个无穷序列，但它的切割法却是在一个有限序列，这时候一定要灵活处理，很多时候可以用无穷数列做一个解释，如果这样的话，那么此时就可以写成一个无穷序列上的数列的形式，再来求最值或者判断是否属于一个无穷序列，这时候也可以有效的节省计算的时间，从而得到更好的结果。
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构造法深度探索
构造法是一种重要而灵活的解题方法．应用构造法解题的关键有两点：第一，要有明确的方向，即为什么而构造；第二，必须弄清条件的本质特点，以便明确构造什么、如何构造，从而达到解题的目的．本讲通过实例分析深度探究各种构造法的应用．
1 构造代数式
初中数学竞赛中的某些与整数有关的整除问题，代数式的化简、求值等，直接考虑很难人手．然而，通过观察，适当构造多项式、有理化因式、对偶式、递推式等，从而出现熟悉的数学表达式，使问题得以解决．
1．1 构造多项式
例1 三个整数 a 、b 、c 的和是 6的倍数．那么，它们的立方和被 6除，求得到的余数.
1．2 构造有理化因式
例2 已知2002)2002)(2002(22=++++
y y x x . 计算58664322+----y x y xy x .
1．3 构造对偶式
根据代数式的特点，构造与其相关联的对偶式，通过对二者的灵活处理，得到一些有用的关系式，从而解决问题．
例3 已知βα、是方程012=--x x 的两根．则βα34
+的值？
1．4 构造递推式
数学竞赛中的某些求值问题中如存在递推关系，可通过构造递推式解决问题．
例4 实数y x b a ,,,满足3=+by ax ，722=+by ax ，163
3=+by ax ， 4244=+by ax ，求55by ax +
2 构造几何图形
如果题目条件中的数量关系有明显的几何意义，或以某种方式与几何图形相关联，则通过作出与其相关的图形，可以将问题的条件及数量关系直接在图形中表现出来．
2．1 构造对称图形
例5 已知 a 、b 是正数，且 a+b=2．求4122+++=
b a u 的最小值.
2．2构造矩形
例6 已知0,0>>b a ，求以22b a +，224b a +，224b a +为三边长的三角形的面积。
2．3 构造圆
例7 已知y x b a ,,,为正实数，且1,12222=+=+y x b a ，求证：1≤+by ax .
2. 4 构造三角形
例8 已知方程组满足 ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=++169312531222222z zx x y z y xy x ．求 xy+2yz+3xz 的值．
例9 已知正数C B A c b a ,,,,,满足k c C b B a A =+=+=+,求证：
.2k cA bC aB <++
3 构造方程、不等式、函数
3．1 构造二次方程
方程是中学数学中解决问题的重要工具，根据题设条件及结论的特点，利用方程的有关知识，构造辅助方程解决有关问题，常能化难为易，化繁为简．
例10已知实数 a ≠b ，且满足)1(33)1(2+-=+a a ;2
)1(3)1(3+-=+b b ,则 b
a a a
b b
+的值为.
例11．已知a<0，b>0，且15152
=+=+b b a a ．则代数式b b b b a 13+值为．
3．2 构造不等式
利用不等关系可解决与最值有关的数学问题 ．
例12 设x,y 是非负整数， x+2y 是 5的倍数，x+y 是3的倍数，且2x+y ≥99．则7 x+5y 的最小值为 ．
3．3 构造函数
用函数的观点分析题目的条件、结构，构造出相应的函数关系式，可将某些数学问题转化为对函数相关性质的研究．
例 13 已知实数0,0,0>≤<c b a ,且ac b ac b 242-=-，求ac b 42-的最小值.
例14* 证明：在任意2013个互不相同的实数中，总存在两个数x ，y ，满足： )1)(1(1201222y x xy y x ++≤--.
4 其他构造
4．1构造反例
构造反例的方法在历史上也曾被数学大师们运用，如欧拉推翻了费尔马的质数公式 例15 a 、b 、c 都是实数，考虑如下命题 ：
(1)若 a 2+ab+c>O ，且c>1，则0<b<2；
(2)若 c>1，且0<b<2，则a 2+ab+c>O ；
(3)若0<b<2，且a 2+ab+c>O ，则c>1．
试判断哪些命题正确，哪些命题不正确．说明理由。
4．2 构造特例
例16 货轮上卸下若干个箱子，其总重量为 10t ，每个箱子的重量不超过 1t ，为了保 证能把这些箱子一次性运走，问至少需要多少辆载重量为3t 的汽车?。