初中数学构造法的归纳整理(保证精品)

构造法深度探索

构造法是一种重要而灵活的解题方法．应用构造法解题的关键有两点：第一，要有明确的方向，即为什么而构造；第二，必须弄清条件的本质特点，以便明确构造什么、如何构造，从而达到解题的目的．本讲通过实例分析深度探究各种构造法的应用．

1 构造代数式

初中数学竞赛中的某些与整数有关的整除问题，代数式的化简、求值等，直接考虑很难人手．然而，通过观察，适当构造多项式、有理化因式、对偶式、递推式等，从而出现熟悉的数学表达式，使问题得以解决．

1．1 构造多项式

例1 三个整数 a 、b 、c 的和是 6的倍数．那么，它们的立方和被 6除，求得到的余数.

1．2 构造有理化因式

例2 已知2002)2002)(2002(22=++++

y y x x . 计算58664322+----y x y xy x .

1．3 构造对偶式

根据代数式的特点，构造与其相关联的对偶式，通过对二者的灵活处理，得到一些有用的关系式，从而解决问题．

例3 已知βα、是方程012=--x x 的两根．则βα34

+的值？

1．4 构造递推式

数学竞赛中的某些求值问题中如存在递推关系，可通过构造递推式解决问题．

例4 实数y x b a ,,,满足3=+by ax ，722=+by ax ，163

3=+by ax ， 4244=+by ax ，求55by ax +

2 构造几何图形

如果题目条件中的数量关系有明显的几何意义，或以某种方式与几何图形相关联，则通过作出与其相关的图形，可以将问题的条件及数量关系直接在图形中表现出来．

2．1 构造对称图形

例5 已知 a 、b 是正数，且 a+b=2．求4122+++=

b a u 的最小值.

2．2构造矩形

例6 已知0,0>>b a ，求以22b a +，224b a +，224b a +为三边长的三角形的面积。

2．3 构造圆

例7 已知y x b a ,,,为正实数，且1,12222=+=+y x b a ，求证：1≤+by ax .

2. 4 构造三角形

例8 已知方程组满足 ⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=++169312531222222z zx x y z y xy x ．求 xy+2yz+3xz 的值．

例9 已知正数C B A c b a ,,,,,满足k c C b B a A =+=+=+,求证：

.2k cA bC aB <++

3 构造方程、不等式、函数

3．1 构造二次方程

方程是中学数学中解决问题的重要工具，根据题设条件及结论的特点，利用方程的有关知识，构造辅助方程解决有关问题，常能化难为易，化繁为简．

例10已知实数 a ≠b ，且满足)1(33)1(2+-=+a a ;2

)1(3)1(3+-=+b b ,则 b

a a a

b b

+的值为.

例11．已知a<0，b>0，且15152

=+=+b b a a ．则代数式b b b b a 13+值为．

3．2 构造不等式

利用不等关系可解决与最值有关的数学问题 ．

例12 设x,y 是非负整数， x+2y 是 5的倍数，x+y 是3的倍数，且2x+y ≥99．则7 x+5y 的最小值为 ．

3．3 构造函数

用函数的观点分析题目的条件、结构，构造出相应的函数关系式，可将某些数学问题转化为对函数相关性质的研究．

例 13 已知实数0,0,0>≤

例14* 证明：在任意2013个互不相同的实数中，总存在两个数x ，y ，满足： )1)(1(1201222y x xy y x ++≤--.

4 其他构造

4．1构造反例

构造反例的方法在历史上也曾被数学大师们运用，如欧拉推翻了费尔马的质数公式 例15 a 、b 、c 都是实数，考虑如下命题 ：

(1)若 a 2+ab+c>O ，且c>1，则0

(2)若 c>1，且0O ；

(3)若0O ，则c>1．

试判断哪些命题正确，哪些命题不正确．说明理由。

4．2 构造特例

例16 货轮上卸下若干个箱子，其总重量为 10t ，每个箱子的重量不超过 1t ，为了保 证能把这些箱子一次性运走，问至少需要多少辆载重量为3t 的汽车?