初中数学构造法的归纳整理(保证精品)

构造法深度探索
构造法是一种重要而灵活的解题方法．应用构造法解题的关键有两点：第一，要有明确的方向，即为什么而构造；第二，必须弄清条件的本质特点，以便明确构造什么、如何构造，从而达到解题的目的．本讲通过实例分析深度探究各种构造法的应用．
1 构造代数式
初中数学竞赛中的某些与整数有关的整除问题，代数式的化简、求值等，直接考虑很难人手．然而，通过观察，适当构造多项式、有理化因式、对偶式、递推式等，从而出现熟悉的数学表达式，使问题得以解决．
1．1 构造多项式
例1 三个整数 a 、b 、c 的和是 6的倍数．那么，它们的立方和被 6除，求得到的余数.
1．2 构造有理化因式
例2 已知2002)2002)(2002(22=++++
y y x x . 计算58664322+----y x y xy x .
1．3 构造对偶式
根据代数式的特点，构造与其相关联的对偶式，通过对二者的灵活处理，得到一些有用的关系式，从而解决问题．
例3 已知βα、是方程012=--x x 的两根．则βα34
+的值？
1．4 构造递推式
数学竞赛中的某些求值问题中如存在递推关系，可通过构造递推式解决问题．
例4 实数y x b a ,,,满足3=+by ax ，722=+by ax ，163
3=+by ax ， 4244=+by ax ，求55by ax +
2 构造几何图形
如果题目条件中的数量关系有明显的几何意义，或以某种方式与几何图形相关联，则通过作出与其相关的图形，可以将问题的条件及数量关系直接在图形中表现出来．
2．1 构造对称图形
例5 已知 a 、b 是正数，且 a+b=2．求4122+++=
b a u 的最小值.
2．2构造矩形
例6 已知0,0>>b a ，求以22b a +，224b a +，224b a +为三边长的三角形的面积。

2．3 构造圆
例7 已知y x b a ,,,为正实数，且1,12222=+=+y x b a ，求证：1≤+by ax .
2. 4 构造三角形
例8 已知方程组满足 ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=++169312531222222z zx x y z y xy x ．求 xy+2yz+3xz 的值．
例9 已知正数C B A c b a ,,,,,满足k c C b B a A =+=+=+,求证：
.2k cA bC aB <++
3 构造方程、不等式、函数
3．1 构造二次方程
方程是中学数学中解决问题的重要工具，根据题设条件及结论的特点，利用方程的有关知识，构造辅助方程解决有关问题，常能化难为易，化繁为简．
例10已知实数 a ≠b ，且满足)1(33)1(2+-=+a a ;2
)1(3)1(3+-=+b b ,则 b
a a a
b b
+的值为.
例11．已知a<0，b>0，且15152
=+=+b b a a ．则代数式b b b b a 13+值为．
3．2 构造不等式
利用不等关系可解决与最值有关的数学问题 ．
例12 设x,y 是非负整数， x+2y 是 5的倍数，x+y 是3的倍数，且2x+y ≥99．则7 x+5y 的最小值为 ．
3．3 构造函数
用函数的观点分析题目的条件、结构，构造出相应的函数关系式，可将某些数学问题转化为对函数相关性质的研究．
例 13 已知实数0,0,0>≤<c b a ,且ac b ac b 242-=-，求ac b 42-的最小值.
例14* 证明：在任意2013个互不相同的实数中，总存在两个数x ，y ，满足： )1)(1(1201222y x xy y x ++≤--.
4 其他构造
4．1构造反例
构造反例的方法在历史上也曾被数学大师们运用，如欧拉推翻了费尔马的质数公式 例15 a 、b 、c 都是实数，考虑如下命题 ：
(1)若 a 2+ab+c>O ，且c>1，则0<b<2；
(2)若 c>1，且0<b<2，则a 2+ab+c>O ；
(3)若0<b<2，且a 2+ab+c>O ，则c>1．
试判断哪些命题正确，哪些命题不正确．说明理由。

4．2 构造特例
例16 货轮上卸下若干个箱子，其总重量为 10t ，每个箱子的重量不超过 1t ，为了保 证能把这些箱子一次性运走，问至少需要多少辆载重量为3t 的汽车?。