群的等价定义及其证明

群的等价定义及其证明
1 引言
群是具有一种代数运算的代数系，是代数结构中重要的一种．群的系统研究起源于19世纪初
Galois 研究多项式方程根式解的问题．这是数学史中一块众所周知的里程碑．随后人们在理解了
Galois 的思想之后，于19世纪中叶给出了抽象群的概念，开始以公理化的方式研究群．群论是近
世代数的重要内容，近世代数又在近代物理、近代化学、计算机科学、数字通信、系统工程等许多
领域都有重要应用，因而群论是现代科学技术的数学基础之一．时至今日，群论的发展已日趋完善，在各个学科领域得到广泛的应用．为了便于学习、掌握群的知识和全面、深刻理解群的概念，以下
给出了群的近十种定义，并通过证明，阐明群的各个定义间的等价关系．
2 预备知识
代数系[]1(23)P - 设A 、B 是两个非空集合，映射σ:A B C ⨯→称为A B ⨯到C 的一个代数运
算．称(),,A B C σ⨯是一个代数系，特别地，当B C =时，称σ是A 左乘B 的代数运算，当A C
=时，称σ为B 右乘A 的代数运算，当A B C ==时，称σ为A 的一个二元运算，此时代数系统记作
()σ,A 或简记作A ．
半群[]1(5)P 设() ,A 是一个代数系统，定义A 的一个二元运算“ ”，我们称它为乘法运算，如
果“ ”满足结合律，则称() ,A 是一个半群．
幺半群[]1(7)P () ,A 是半群，如果有e G ∈，恒有a ae ea ==，则称e 是A 的单位元，又称幺元，
() ,A 就称为幺半群．
为简便其间，在以下群的定义当中所定义的二元运算，即乘法运算“ ”不再书写．
3 群的定义
定义 1[]1(24)P 若幺半群() ,G 中每个元都有逆元，则称() ,G 是一个群．
定义 2 设G 是半群，G 中存在左幺元素e （即对a G ∈，均有ea a =），并且G 中每个元素a
均有左逆元素1-a ( 即1a a e -=)， 则称G 是一个群．
定义 3[]2(33)P 一个非空集合G ，对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如:
Ⅰ．G 对于这个乘法来说是封闭的;
Ⅱ．结合律成立: ()bc a =()c ab 对于的G 任意三个元a 、b 、c 都对;
Ⅲ．G 里至少存在一个左单位元e ，能让ea a =，对于G 的任何元a 成立;
Ⅳ．对于G 的每一个元a ，在G 里至少存在一个左逆元a
1-，能让1a a e -=． 定义 4[]3(21)P 设G 是半群，对于任意元素a 、b ∈G ，方程ax =b 和xa =b 在G 都可解，则
称G 为群．
定义 5[]2(31)P 一个不空集合G 对于一个叫乘法的代数运算作成一个群，假如:
Ⅰ．G 对于这个乘法来说是封闭的 ;
Ⅱ．结合律: ()bc a =()c ab 对于G 的任意三个元素a 、b 、c 都对;
Ⅲ．对于G 的任意两个元a 、b 来说ax =b 和ya =b 都在G 里有解．
定义 6[]2(35)P G 是一个非空集合，具有一个叫乘法的代数运算，称G 是一个群，假如满足:
Ⅰ．封闭性: ∀a 、b ∈G ，∃c G ∈，使ab =c ;
Ⅱ．结合律: ∀a 、b 、c G ∈， ()bc a =()c ab ;
Ⅲ．右单位元: ∃e G ∈，∀a ∈G ，a ea =;
Ⅳ．右逆元: ∀a ∈G ， ∃1-a ∈G ，e a a =-1．
定义 7[]3(21)P 一个不空集合G 对于一个叫乘法的代数运算作成一个群，假如:
Ⅰ．G 对于这个乘法来说是封闭的;
Ⅱ．结合律成立: ()bc a =()c ab 对于G 的任意三个元a 、b 、c 都对;
Ⅲ．G 里至少存在一个单位元e ，使a ea ae ==，对于G 的任何元a 成立;
Ⅳ．对于G 的每一个元a ， G 里至少存在一个逆元1-a ，使 a a 1-=a 1-a =e ．
定义 8 设一个非空集合G ，对于一个叫做乘法的代数运算，称G 是一个群，假如满足:
Ⅰ．封闭性: a ∀、b G ∈，ab ∈G ;
Ⅱ．结合律: a ∀、b 、c G ∈，()bc a =()c
ab 成立; Ⅲ．存在右单位元，即对∀a ∈G ae =a ;
Ⅳ．存在左逆元，即对a ∀∈G ∈∃-1a G 使得e a a =-1;
Ⅴ．左商不变性: 对a ∀、b ∈G ， 都有11--=bb aa
．
4 群的等价证明(为了简便只对定义间的不同条件做等价证明)
定义1⇒定义2 由定义1可知G 中有单位元e ，对∈∀a G 使得a ae ea ==，且每个元都有
逆元．显然，G 中存在左幺元e 使a ae =．并且G 中每个元素均有左逆元1-a ，使得1a a e -=．
定义2⇒定义3 显然成立．
定义3⇒定义4 从定义3的条件可知G 中存在左单位元e ，并且对a ∀、b G ∈，G 中1
a -∃、1
b -使得1a a e -=，1b b e -=，ea a =，由封闭性1ba G -∈，显然1ba a b -=，即xa b =在G 中有
解，再由ax b =，可得11a ax a b --=．显然易得1ex x a b -==，且有1a b G -∈，因而ax b =在G 中
也有解．
定义4⇒定义5 显然成立．
定义5⇒定义6 由定义5可知，在G 里对a G ∀∈ ，ax a =有解，设x e G =∈即ae a =．
对b G ∀∈， ya b =在G 里有解，则be yae ya b ===，所以e 为右单位元．且有ax e =在G 中
有解，设1x a -= 即1aa
e -=．由a 的任意性可得，对于G 里的每个元a ，在G 里至少存在一个右逆元1a -，使1aa e -=．
定义6⇒定义7 由定义6可知，G 里面存在右单位元e ，对于a G ∀∈，都有右逆元即
1ae a aa e -==，．设元1a -的右逆元为11a -，即111a a e --=，又111111a ea a a e ----=，可得
1111a aa a e ---=，得1a a e -=．显然1a -同为a 的左逆元，又由于1ae aa a ea a -===，e 同时为左
单位元，所以G 里面至少存在一个单位元e ，能让ae ea a ==．同样G 里面至少存在一个逆元1a
-能使11aa a a e --==，其中a G ∀∈．
定义7⇒定义8 由定义7可知，在G 里存在右单位元e ，使得a G ∀∈，ae a = ，存在逆元，
即对于a G ∀∈，1a G -∃∈使得11a a aa e --==．显然G 的每一个元a 存在左逆元1a G -∈，使得
1a a e -=．且对a b G ∀∈，，即11a b G --∃∈，，使得11aa bb --=．
定义8⇒定义1 设G 为一个非空集合，根据定义8可知，G 中存在右单位元e ，
使得对a G ∀∈，都有ae a =．且每个元都有左逆元．则有1e G -∈，使得11e e e e --==．且可知1ee ee e -==．对
1a G -∈使得1a a e -=，11aa ee e --==．由a 的任意性可知，G 里每个元素都有右逆元．又由
1ae aa a a -==，可得ea a =，即e 同时为左单位元．显然(),G 为幺半群，且每个元都有逆元．
5 有限群定义[]2(3840)P -
设 G 是一个有限非空集合，对于一个叫做乘法的代数运算， 称G 是一个群，假如满足: Ⅰ．封闭性: a b G ∀∈、，bc G ∈;
Ⅱ．结合律: a ∀、b 、c ∈ G ，()bc a =()c ab 成立;
Ⅲ．左消去律: 对∀x 、y 、z ∈G ，若zy zx =，则y x =，
右消去律: 对∀x 、y 、z ∈G ，若yz xz =，则y x =．
证明 （此处用定义１的各个条件证明G 是一个群）集合G 是代数运算封闭且满足结合律．则首先是个半群．
因G 为限集，不妨设G n =，对于a G ∀∈，设'121{,,,,}n n G a a a a
+=⋅⋅⋅，显然'G 中元素的个数有1n +个．又有'G G ⊂，所以'G 中至少有两个元素相等．在此不妨,(11)i j
a a j i n =≤≤≤+．再
设G 存在元素1e ，使得1j j a e a =，那么i j a a =等价于1j i j j a a a e -=，由左消去律得1i j a e G -=∈，
显然同样有1j i j j i j e a a a a a -===，有i j a a =得1i j i j j aa a aa ---=，由右消去律可得i j a a a -=，即1e a a =，易知1ae a =．对∀b G ∈，同理有2e G ∈，使得22e b be b ==．由等式1212ae be e ae b =，变形整理得12ae b ae b =，由消去律可得12e e =．不妨设12e e e ==，由,a b 的任意性，可知对c G ∀∈，有ec ce c ==，即G 存在单位元e ．
由以上可知对于a G ∀∈，显然有m a e =，(m 为整数)．令11m a
a --=，则11a a aa e --==，所以G 里每个元素都有逆元．
6 群与对称性以及几种特殊群
6.1 对称和群的关系
这里所讲的对称概括的说是：若考虑的对象A 是一个带有若干关系的集合M （数学中的对象大致都具有这种形式）时，我们就把所有保持这些关系不变的，集合M 的一一变换的全体所购成的群看作是这个对A 的对称，即为集合M 的对称群
[]4(11)P ． 在此补充以下几个定义．
1) 置换：一个有限集合的一一变换叫作一个置换[]()250P ．
2) 置换群：一个有限集合的若干个置换作成的群叫做一个置换群[]()250P ．
3) n 次对称群:若一包含n 个元的集合的全体置换作成的群叫作n 次对称群，这个群通常用n S 来
表示[]()250P ．
下面通过一个例子阐述对称群的意义和实质．
我们把以数域F 中的数作系数的n 元多项式的全体记作[]12,,,n F x x x ⋅⋅⋅(或简记作[]F x )，每一n 元多项式可以唯一地表示为不同类单项式的有限线性和:
()12,,,n f x x x ⋅⋅⋅1212n
n a x x x ααααα=⋅⋅⋅∑．其中()12,,,n αααα=⋅⋅⋅，{}0i Z α+∈而a F α∈．
令{}12,,n M x x x =⋅⋅⋅，则M 的n 次对称群n S 中的元素就是{}12,,,n x x x ⋅⋅⋅的一个置换，略去字母x 的下标，这时一一变换可记作
12
12n n i i i σ⋅⋅⋅⎛⎫= ⎪⋅⋅⋅⎝⎭, 其中()
12,,,n i i i ⋅⋅⋅是1,2,n ⋅⋅⋅的一个排列，而()j j i σ=．
利用变换群n S 中的元素∑去定义集合[]F x 到[]F x 的一个映射． [][]:F x F x σφ→,
()()1212,,,,,n n i i i f x x x f x x x ⋅⋅⋅→⋅⋅⋅,
其中()12,,n i i i f x x x ⋅⋅⋅是在多项式()12,,,n f x x x ⋅⋅⋅中将1x 换成1i x ，2x 换成2i x ，⋅⋅⋅后所得到的多项
式，显然σφ是集合[]F x 的一个变换．
令{}|n n T S σφσ=∈，n T 是[]F x 的一些(n !个)变换组成的集合．定义“ ”为变换之间的乘法运算．证明代数系(),n T 为[]F x 的置换群．
证明 任取,n S σθ∈，令12
121212,n n n n i i i i i i j j j σθ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭
. 则有σθφφ：()()()121212,,,,,
,,,n n n i i i j j j f x x x f x x x f x x x →→, σθφ： ()()1212,,
,,,n n j j j f x x x f x x x →. 显然有θσθφσφφ=即运算满足封闭性．
对,,n S σθϕ∀∈，则有对应的,,n T σθϕφφφ∈，可得等式：
()σθϕσθϕσθϕφφφφφφ==，
()σ
θϕσθϕσθϕφφφφφφ==， 所以()()σθϕσθϕφφφφφφ= 即运算满足结合律．
对单位元n I S ∈，则有I n T φ∈ 显然有I I
σσφφωφφ== I I σσσφφφφ==． 令()11σσφφ--=，显然()n T ∈-1σφ， 可得:()()111I σσσσσσφφφφφφ---===． 显然由σφ的任意性可知n T 中每个元都有逆元．
进而可知()n T 为[]F x 的置换群．
令()12,,,n f x x x 是一个n 元多项式，令(){}|f n S T f f σσφφ=∈=，同理可证(),f S 满足
群的各个条件，即f S 为群．则称()f S 为n 元多项式()12,,n f x x x 的对称群[]()289P -.
6.2 几种特殊群 例1 设()n SL Q 是有理数域Q 上所有其行列式为1的n 阶矩阵的全体，()n SL Q 关于矩阵的乘法“”作成的代数系()(),n SL Q 为一个群，称之为特殊线性群[]()252P .
证明 任取三个元(),,n A B C SL Q ∈，则考虑AB 其行列式的值:||||||1AB A B =⨯=，所以()n AB SL Q ∈，运算满足封闭．由矩阵的运算性质显然有:()()AB C A BC =既满足结合律．又有单位矩阵I ，||1I =即()n I SL Q ∈，显然I 为()n SL Q 里的单位元．再有()n SL Q 里每个矩阵的行列式的值为1，显然每个元都可逆，设1A -为A 的逆矩阵，则1
AA I -=．由此可得11||||||1AA A A --=⨯=，易得1||1A -=，即()1n A SL Q -∈．由A 的任意性可知()n SL Q 中每个元都有逆元．所以()(),n SL Q 是一个群．
例 2 设n Z 为对于模n 的剩余类，定义n Z 中的加法运算“⊕”．即对任n Z 中意元素[][](),01i j i j n ≤≤≤- [][][]i j i j ⊕=+．则()n Z ⊕构成群，称之为剩余类加群[]1(4951)P -．
证明 由剩余类的性质，显然易知“⊕”满足封闭性，结合律．同样不难证明[]0为n Z 的单位元．对[]n i Z ∀∈，易得[]n i -为其逆元．很显然()n Z ⊕是一个群．
例 3 假如A 是一个平面的所有的点作成的集合，那么平面绕一个定点的所有旋转组成的集合G ，用θτ表示旋转θ角的旋转．定义运算“”:1212θθθθτττ+=，则(),G 是一个群，也称为平面
运动群[]2(48)P ．
证明 1212G θθθθτττ+=∈封闭，结合律显然成立，单位元0e G τ=∈，再有对G θτ∈，其逆元，显1G θθττ--=∈然G 是一个群．
例 4 若p 为素数，p N 表示关于模p 所有余数构成的集合，即小于p 的非负整数集合．定义p
N
中的运算“p ⋅”．对任意,p a b N ∈ 则 ()p b a b a p mod ⋅=⋅ 即代数系统{}p p N ⋅-,0是群，并称为模p 乘群，或模p 剩余乘群[]3(23)P .
证明 任取{},,0P a b c N ∈-，(){}0mod -∈⋅=⋅p p N p b a b a 运算满足封闭性． 同样不难得知，运算满足结合律．
很显然{}10p N ∈-，不难验证1为{}0p N -中的单位元．
验证{}0p N -中元素有逆元，任取{}0p a N ∈-，则0a p <<，(),1a p =．因此有整数,c d 使得1c a d p ⋅+⋅=，从而得(),1c p =．当记mod p c c p =时，显然有1p c p ≤<，这表明{}0p p c N ∈-，进而可得等式：
()()()1mod mod mod =⋅+⋅=⋅=⋅=⋅p p d a c p a c p a c a c p p p
()()()1mod mod mod =⋅+⋅=⋅=⋅=⋅p p d a c p c a p c a c a p p p
所以p c 是关于p ⋅的逆元．由a 的任意性可知{}0p N -中元素有逆元．所以说{}p p N ⋅-,0是群．
参考文献：
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