高考数学《立体几何》练习题及答案

立体几何
1．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学]若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
A ．2
B ．1
C ．
D ．
【答案】B
2．[湖南省衡阳县2020届高三12月联考数学（理）试题]
【答案】D 【解析】
3．[【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学（理）试题] 在正方体1111ABCD A B C D -中，动点E 在棱1BB 上，动点F 在线段11A C 上，O 为底面ABCD 的中心，若1,BE x A F y ==，则四面体O AEF -的体积 A ．与,x y 都有关 B ．与,x y 都无关 C ．与x 有关，与y 无关
D ．与y 有关，与x 无关
【答案】B
4．[黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题]
5．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学] 一个圆锥SC的高和底面直径相等，且这个圆锥SC和圆柱OM的底面半径及体积也都相等，则圆锥SC和圆柱OM的侧面积的比值为
A．32
2
B．
2
3
C．35
D．
45
【答案】C
6．[辽宁葫芦岛锦化高中协作校高三上学期第二次考试数学理科试题]
【答案】D
【解析】
7．[广东省三校（广州真光中学、深圳市第二中学、珠海市第二中学）2020届高三上学期第一次联考数学（理）试题] 在如图直二面角A­BD­C中，△ABD、△CBD均是以BD为斜边的等腰直角三角形，取AD的中点E，将△ABE 沿BE 翻折到△A1BE，在△ABE的翻折过程中，下列不可能成立的是
A．BC与平面A1BE内某直线平行B．CD∥平面A1BE
C．BC与平面A1BE内某直线垂直D．BC⊥A1B
【答案】D
8．[湖南省衡阳县2020届高三12月联考数学（理）试题]
【答案】D
【解析】
9．[陕西省汉中市2020届高三教学质量第一次检测考试理科数学试题] 圆锥的侧面展开图是半径为R 的半圆，则该圆锥的体积为________. 【答案】
33πR 10．[辽宁省本溪高级中学2020届高三一模考试数学（理）试卷]
【答案】4π
11．[安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素
质测试数学（理)试题] 如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），若1B P ∥平面
1A BM ，则1C P 的最小值是________．
【答案】30
5
【解析】 【分析】
由面面平行找到点P 在底面ABCD 内的轨迹为线段DN ，再找出点P 的位置，使1C P 取得最小值，即1C P 垂直DN 于点O ，最后利用勾股定理求出最小值. 【详解】
取BC 中点N ，连接11,,B D B N DN ，作CO DN ⊥，连接1C O ，
因为平面1B DN ∥平面1A BM ，所以动点P 在底面ABCD 内的轨迹为线段
DN ，
当点P 与点O 重合时，1C P 取得最小值，
因为1
1152225
DN CO DC NC CO ⋅=⋅⇒==，
所以221min 11130()155
C P C O CO CC ==+=
+=. 故1C P 的最小值是30
5
. 【点睛】
本题考查面面平行及最值问题，求解的关键在于确定点P 的位置，再通过解三角形的知识求最值.
12．[四川省成都外国语学校2019-2020学年高三（上）期中数学试卷（理科）]
已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的半径为________．
21
【答案】
【解析】
【分析】
根据三视图还原几何体，设球心为O，根据外接球的性质可知，O与PAB
△
和正方形ABCD中心的连线分别与两个平面垂直，从而可得到四边形OGEQ 为矩形，求得OQ和PQ后，利用勾股定理可求得外接球半径.
【详解】由三视图还原几何体如下图所示：
设PAB
△的中心为Q，正方形ABCD的中心为G，外接球球心为O，
则OQ⊥平面PAB，OG⊥平面ABCD，E为AB中点，
∴四边形OGEQ为矩形，
112OQ GE BC ∴==
=，2233PQ PE ==， ∴外接球的半径：2221
3
R GE PQ =+=
. 故答案为
21. 【点睛】本题考查多面体外接球半径的求解，关键是能够根据球的性质确定球心的位置，从而根据长度关系利用勾股定理求得结果. 13．[湖南省衡阳县2020届高三12月联考数学（理）试题]
【答案】
【解析】
14．[黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题]
【答案】1 3
15．[江苏省南通市2020届高三第一学期期末考试第一次南通名师模拟试卷数学试题]如图，在四棱锥P ABCD
-中，底面ABCD是平行四边形，平面ABP⊥平面BCP，90
APB
=，M为CP的中点．求证：
∠=︒，BP BC
（1）AP//平面BDM；
（2）BM ACP
⊥平面．
【解析】（1）设AC 与BD 交于点O ，连接OM ， 因为ABCD 是平行四边形，所以O 为AC 中点， 因为M 为CP 的中点，所以AP ∥OM ， 又AP ⊄平面BDM ，OM ⊂平面BDM ， 所以AP ∥平面BDM ．
（2）平面ABP ⊥平面BCP ，交线为BP ， 因为90APB ∠=︒，故AP BP ⊥，
因为AP ⊂平面ABP ，所以AP ⊥平面BCP ， 因为BM ⊂平面BCP ，所以AP ⊥BM ． 因为BP BC =，M 为CP 的中点，所以BM CP ⊥． 因为AP CP P =I ，AP CP ⊂，平面ACP ， 所以BM ⊥平面ACP .
16．[河南省新乡市高三第一次模拟考试（理科数学）] 如图，在四棱锥ABCD
V -中，二面角D BC V --为︒60，E 为BC 的中点. （1）证明：VE BC =；
（2）已知F 为直线VA 上一点，且F 与A 不重合，若异面直线BF 与VE 所成
角为︒60，求.
VA VF
A
B
C
D
P
M
A
B
C
D
P
M
O
【解析】
17．[四川省成都外国语学校2019-2020学年高三（上）期中数学试卷（理科）]如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，PA=AB=2，点E，F分别为BC，PD的中点，设直线PC与平面AEF交于点Q．
（1）已知平面PAB∩平面PCD=l，求证：AB∥l．
（2）求直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值． 【解析】 【分析】
（1）证明AB ∥平面PCD ，然后利用直线与平面平行的性质定理证明AB ∥l ； （2）以点A 为原点，直线AE 、AD 、AP 分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面PCD 的法向量和直线AQ 的方向向量，然后利用空间向量的数量积求解直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值即可．
【详解】（1）证明：∵AB ∥CD ，AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ． ∴AB ∥平面PCD ，
∵AB ⊂平面PAB ，平面PAB ∩平面PCD =l ， ∴AB ∥l ；
（2）∵底面是菱形，E 为BC 的中点，且AB =2， ∴13BE AE AE BC ==⊥,,， ∴AE ⊥AD ，又PA ⊥平面ABCD ，
则以点A 为原点，直线AE 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，
则()()(
)(
)
020,002,30,300D P C E
,
,,,,,,,，
∴()0,1,1F ，(
)()(
)
()3000,11310022AE AF DC DP =
==
-=-u u u r u u u r u u u r u u u r
,,,,,,,,,,，
设平面PCD 的法向量为(),,x y z =n ，有0PD ⋅=u u u r n ，0CD ⋅=u u u r
n ，得
()
133=，，n ，
设()1
AQ AC AP λλ=+-u u u r u u u r u u u r
，则()(
)
321AQ λλλ=
-u u u r ,,，
再设(3,,)AQ mAE n m n n AF =+=u u u r u u u r u u u r
，
则()3321m n n
λλλ⎧=⎪=⎨⎪-=⎩
，解之得23m n λ===，
∴22233
33AQ ⎛⎫
=
⎪⎝⎭u u u r ,,， 设直线AQ 与平面PCD 所成角为α，
则3105
sin cos ,AQ AQ AQ
α⋅>=<==u u u r u u u r u u u r n n n ，
∴直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值为
3105
． 【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理以及性质定理的应用，直线与平面所成角的向量求法，合理构建空间直角坐标系是解决本题的关键，属中档题.
18．[安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素
质测试数学（理)试题] 已知三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC AA ==，侧面
11ABB A ⊥底面ABC ，D 是BC 的中点，160B BA ∠=︒，1B D AB ⊥.
（1）求证：ABC △为直角三角形；
（2）求二面角1C AD B --的余弦值． 【解析】
（1）取AB 中点O ，连接OD ，1B O ，易知1ABB △为等边三角形，从而得到
1B O AB ⊥，结合1B D AB ⊥，可根据线面垂直判定定理得到AB ⊥平面1B OD ，
由线面垂直的性质知AB OD ⊥，由平行关系可知AB AC ⊥，从而证得结论；（2）以O 为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据空间向量法可求得平面
1ADC 和平面ADB 的法向量的夹角的余弦值，根据所求二面角为钝二面角可
得到最终结果. 【详解】
（1）取AB 中点O ，连接OD ，1B O ，
在1ABB △中，1AB B B =，160B BA ∠=︒，1ABB ∴△是等边三角形， 又O 为AB 中点，1B O AB ∴⊥，
又1B D AB ⊥，111B O B D B =I ，11,B O B D ⊂平面1B OD ，
AB ∴⊥平面1B OD ，
OD ⊂Q 平面1B OD ，AB OD ∴⊥， 又OD AC ∥，AB AC ∴⊥， ∴ABC △为直角三角形.
（2）以O 为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系：
令12AB AC AA ===，
则()1,2,0C -，()1,0,0A -，()0,1,0D ，()1,0,0B ，()
10,0,3B ，
()
11,0,3BB ∴=-u u u v ，()0,2,0AC =u u u v ，()1,1,0AD =u u u v
，
()
1111,2,3AC AC CC AC BB =+=+=-u u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v
，
设平面1ADC 的法向量为(),,x y z =m ，10230
AD x y AC x y z ⎧⋅=+=⎪
∴⎨⋅=++=⎪⎩u u u v u u u u v m m ，
令1x =，则1y =-，3z =，()
1,1,3∴=-m ， 又平面ADB 的一个法向量为()0,0,1=n ，
315
cos ,5113
∴<>=
=++m n ， Q 二面角1C AD B --为钝二面角，∴二面角1C AD B --的余弦值为15-.
【点睛】
本题考查立体几何中垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题，涉及到线面垂直判定定理和性质定理的应用；证明立体几何中线线垂直关系的常用方法是通过证明线面垂直得到线线垂直的关系.
19．[江西省宜春市上高二中2020届高三上学期第三次月考数学（理）试题]
20．[黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题]
21．[辽宁葫芦岛锦化高中协作校高三上学期第二次考试数学理科试题]
【解析】
22．[【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学（理）试题] 如图，在四棱锥P ABCD
-中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD,2
AB=,1
BC=，2
PC PD
==，E为PB中点．
（1）求证：PD∥平面ACE；
（2）求二面角E AC D
--的余弦值；
（3）在棱PD上是否存在点M，使得AM⊥BD？若存在，求PM
PD
的值；若
不存在，说明理由．
【解析】（1）设BD交AC于点F，连接EF. 因为底面ABCD是矩形，所以F为BD中点 . 又因为E为PB中点，所以EF∥PD.
因为PD ⊄平面,ACE EF ⊂平面ACE ，所以PD ∥平面ACE
.
（2）取CD 的中点O ，连接PO ，FO .
因为底面ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥.
因为PC PD =，O CD 为中点，所以,PO CD OF ⊥∥BC ，所以OF CD ⊥. 又因为平面PCD ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面,PCD 平面PCD ∩平面ABCD =CD . 所以PO ⊥平面ABCD ，
如图，建立空间直角坐标系O xyz -， 则111(1,1,0)(0,1,0)(1,1,0),(0,0,1),(,,)222A C B P E -，,， 设平面ACE 的法向量为(,,)x y z =m ，131(1,2,0),(,,)222
AC AE =-=-u u u r u u u r ， 所以20,2,0,131.002
22x y x y AC z y x y z AE -+=⎧⎧=⎧⋅=⎪⇒⇒⎨⎨⎨=--++=⋅=⎩⎩⎪⎩u u u v u u u v m m 令1y =，则2,1x z ==-，所以2,11=-（，）m .
平面ACD 的法向量为(0,0,1)OP =u u u r ，则6cos ,OP OP OP
⋅<>==-⋅u u u r u u u r u u u r m m |m |. 如图可知二面角E AC D --为钝角，所以二面角E AC D --的余弦值为66
-. （3）在棱PD 上存在点M ，使AM BD ⊥.
设([0,1]),(,,)PM M x y z PD
=∈λλ，则,01,0PM PD D =-u u u u r u u u r λ（，）.
因为(,,1)(0,1,1)x y z -=--λ，所以(0,,1)M --λλ. (1,1,1),(1,2,0)AM BD =---=--u u u u r u u u r λλ.
因为AM BD ⊥，所以0AM BD ⋅=u u u u r u u u r .
所以12(1)0λ--=，解得1=[0,1]2
∈λ. 所以在棱PD 上存在点M ，使AM BD ⊥，且12PM PD =。