《对高中解析几何的教学感悟》

对高中解析几何的教学感悟 内容提要：从历史角度看，解析几何的创立，引入了一系列新的数学概念，特别是将变量引入数学，使数学进入了一个新的发展时期，这就是变量数学的时期。解析几何在数学发展中起了推动作用。在现代数学教学中，解析几何是学习高等数学的基础， 另一部分则是数学基础课的内容。

高中数学中，解析几何巧妙地把代数与几何结合起来，数学成为双面的工具。一方面，几何概念可以用代数表示，几何目的可通过代数运算来达到。另一方面，给代数概念以几何解释，可以直观地掌握这些概念的意义。也就是说，解析几何是用数形结合的思想将抽象的数学语言与直观的图形结合起来。本人当中，我根据6年来的高中数学教学经验结合实际问题谈谈我对解析几何的教学的一点感悟。

关键词： 代数 几何 数形结合 思想 感悟

一、重视“数形结合”的思想

数形结合的思想是解决解析几何问题的一种重要的数学思想方法，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，即将代数问题几何化，运用图形的几何性质来解决；或将几何问题代数化，运用代数特征进行运算解决，其方法是以形助数，以数助形，数形渗透，相互作用.其目的是将复杂的问题简单化，隐蔽的问题明朗化，抽象的问题直观化，以便迅速、简捷、合理地解决问题.

例1如图，已知(4,0)A 、(0,4)B ，从点(2,0)P 射出的光线经直线AB 反向后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的最小路程是

A ．210

B ．6

C ．33

D ．25

[解析]设点P 关于直线AB 的对称点为)2,4(D ，关于y 轴

的对称、)0,2(-C ，则光线所经过的路程PMN 的长

=≥++=++=CD NC MN DM NP MN PM 210

【归纳小结】本例是运用数形结合解题的典范，关键是灵活利用平面几何知识与对称的性质实现转化，一般

地，在已知直线上求一点到两个定点的距离之和的最小

值，需利用对称将两条折线由同侧化为异侧，在已知直

线上求一点到两个定点的距离之差的最大值，需利用对

称，将两条折线由异侧化为同侧，从而实现转化。

关键点1：怎样将几何问题转化为代数问题？在教学中尽量让学生了解几何对象的本质特征，能够用代数形式将几何问题准确表示出来。有意识的对常见几何对象根据几何特征进行代数化训练。

关键点2:提高“代数结论”向“几何结论”转化的意识和能力。这样也就是通过代数问题的解决使几何题目得以解决。在平时的教学中将前两个关键点融会贯通，才能使学生理解解析几何的思维方法。

二、用数学思想方法指导平时的教学

在平时教学中指导学生在解决问题时运用数学思维方法，努力提高他们运用数学思维方法的意识。解题时注意分析题目，在分析时注意数学思维方法的运用。解题过程中要注意提炼数学思维方法解决问题的思维过程。解题思想的探求即是运用数学思维方法解决问题的过程。 例2抛物线D 以双曲线188:22=-x y C 的焦点)0(),,0(>c c F 为焦点． N M C D

（1）求抛物线D 的标准方程；

（2）过直线1:-=x y l 上的动点P 作抛物线D 的两条切线，切点为A ，B ．求证：直线AB 过定点Q ，

并求出Q 的坐标；

（3）在（2）的条件下，若直线PQ 交抛物线D 于M ，N 两点，求证：|PM|·|QN|=|QM|·|PN| 解：（1）由题意，.21,4181812==+=c c 所以)21

,0(F ，抛物线D 的标准方程为.22y x =

（2）设),1,(),,(),,(002211-x x P y x B y x A 由121|'.',2x y x y y x x x ====因此得

抛物线D 在点A 处的切线方程为.),(11111y x x y x x x y y -=-=-即

而A 点处的切线过点,1),1,(101000y x x x x x P -=--所以

即.01)1(101=-+-y x x 同理，.01)1(202=-+-y x x

可见，点A ，B 在直线01)1(0=-+-y x x 上．

令1,01,01===-=-y x y x 解得所以，直线AB 过定点Q （1，1）

（3）设),,(),,(),1,(443300y x N y x M x x P -

直线PQ 的方程为.1

112,1)1(11)1(00000-+--=+----=x x x x

y x x x y 即

由,,,

211

122000y y x x x x x y 消去⎪⎩⎪⎨⎧

=-+

--=

得.012

1)2(20002=-----x x x x x

由韦达定理，.12

,1)

2(20430043-

-=--=+x x x x x x x

而|||

||||

|||||||||QN QM PN PM PN QM QN PM =⇔⋅=⋅

30

3304403404343403401()(1)()(1)

12()()20()

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --⇔=⇔--=----⇔-+-++=*

将1

2

,1)

2(20430043--=--=+x x x x x x x 代入方程（*）的左边，得

（*）的左边000000021

)

2(21)

2(214x x x x x x

x +--------=