第六节 高斯公式 通量与散度

第六节 高斯公式 通量与散度

一、填空题

1. 设∑是球面2222a z y x =++的外侧, 则⎰⎰∑

zdxdy = .

2. 设∑是球面z z y x 2222=++, cos α、cos β、cos γ 是∑上点的外法线向量的方向余弦, 则 ⎰⎰∑

++dS z y x )cos cos cos (γβα=______.

3. divgrad(222z y x ++)= .

二、解答题

1. 指出下列求解过程的错误之处, 并改正之:

设∑是球面2222a z y x =++的外侧, ∑ 所围成的球体Ω 的体积33

4a V π=, 由高斯公式有: ⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 333=⎰⎰⎰Ω++dV z y x )(3222=⎰⎰⎰ΩdV a 23=54a π.

2. 计算曲面积分

⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz , 其中∑ 是介于z = 0和z = 3之间的圆柱体922≤+y x 的整个表面的外侧.

3. 计算曲面积分⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322, 其中∑ 为上半球体222a y x ≤+,

2220y x a z --≤≤的表面外侧.

4. 计算曲面积分⎰⎰∑+-+-zdxdy dzdx x y x dydz z xy

)()(22, 其中∑为锥面:)20(22≤≤+=z y x z 的下侧.

5. 计算曲面积分:⎰⎰∑

--++=yzdxdy dzdx y xdydz y I 4)1(2)18(2, 其中∑为是由曲线)30(,0,≤≤⎩⎨⎧==z x y z 绕z 轴旋转一周所成的曲面, 其法向量与z 轴的正向夹角恒大于2

π. 6. 求向量场A = i - j + xyz k 通过由平面y = x 截球2222R z y x ≤++所得的圆面S 朝x 轴正向一侧的通量.