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充液系统动力学——第 1 章 刚体动力学基础
( 2 ) ( 3) e ( 0 ) e ( 1) e3 e3 3 3
1-5
设 e 从起始位置 e
e
( 3) 2 (2) 2
(1) e2
( 0)
出发，先绕 e 3 轴转动ψ角到达
( 0)
θ
& ϕ
(1) (2) e (1) 位置，然后绕 e1 轴转动ϑ角到达 e 位置，最后绕 (2) ( 3) e3 轴转动ϕ角到达 e 位置。三个角坐标ψ、ϑ、ϕ称为
通过对矢量进行坐标表示，我们可以定义矢量的加法、数乘、点积和叉积运算，它们分 别是： 加法： c = a + b c j = a j + b j j = 1,2,3 数乘： c =
λa c j = λa j
j = 1,2 ,3 i = 1,2,3
点积： a ⋅ b = a j b j 叉积： c = a × b
D ⋅ r = a( b ⋅ r ) , D × r = a( b × r ) ,
r ⋅ D = ( r ⋅ a) b r × D = ( r × a) b
(1.1.16) (1.1.17)
并矢与并矢的点积仍为并矢，设 C = cd 为另一并矢，运算规则为
D ⋅ C = a( b ⋅ c ) d
以上运算显然都不符合交换律。直接验算可证明以下结合律：
(
)
(1.1.12)
x2
′ x3 ) T 和 x ′ = ( x1
′ x2
′ ) T ，则公式(1.1.12) x3
(1.1.13)
x ′ = Bx
其中，矩阵 B，
( e1 ′ ⋅ e1 ) B = (e 2 ′ ⋅ e1 ) (e ′ ⋅ e ) 3 1
(e ′ ⋅ e ) (e ′ ⋅ e ) ( e ′ ⋅ e ) ( e ′ ⋅ e ) e e e e ⋅ ⋅ ′ ′ ( ) ( )
ψ&
O
( 3) 1
e
欧拉角，其中ψ为进动角，ϑ为章动角，ϕ为自转角（见 图 1.1 ）。两次转动后的连体基位置 e
(2) ( 0) ( 0) (2)
e
( 0) 1
ψ
θ&
ϕ e
e
( 0) 2
在文献中称为
(2)
e1(1) e1( 2 )
Resal 坐 标 系 ， 其 中 e 3 轴 与 刚 体 固 结 ， e1 轴 沿 （ e1 , e 2 ）与（ e1 , e 2 ）两坐标面的节线。Resal 坐
充液系统动力学——第 1 章 刚体动力学基础
1-1
1 刚体动力学基础
1.1 矢量、并矢与张量 1.1.1 矢量
矢量是有方向性物理量的数学抽象。 矢量除有确定的数值和方向以外， 还必须满足矢量 代数所规定的运算规则。有时还必须规定矢量的作用线和作用点，例如，作用于刚体上的力 矢量就是一个规定了作用线的矢量， 称为滑移矢量； 在一般情况下力矢量必须规定其作用点。 不需明确规定作用线或作用点的矢量称为自由矢量， 例如作用于刚体上的力偶矢量就是一个 自由矢量。 三个汇交于 O 点的正交单位矢量 e1、e2、e3 称为基矢量，它们组成的右手正交参考系称 为一个正交基 e，正交基的基矢量之间满足下列正交性条件：
( 3) ( 3)
图 1.1 矩阵可利用公式(1.1.14)写出，
标系不参与刚体的自转，在讨论轴对称刚体的进动与章 动运动时可利用 Resal 坐标系代替刚体的连体基。 上述各次有限转动前后连体基位置之间的方向余弦
B
(10 )
B ( 21)
cosψ sin ψ 0 = − sin ψ cosψ 0 0 1 0 1 0 0 = 0 cosϑ sin ϑ 0 − sin ϑ cosϑ cosϕ = − sin ϕ 0
1.2.2 欧拉角
分析刚体绕 O 点的转动规律时，可将 O 作为原点建立固结于刚体的正交基来表示刚体 的位置，称为连体基。刚体绕 O 点有三个转动自由度，必须用三个独立变量确定刚体的位 置。 欧拉提出用三个角度坐标作为独立变量。 设想将刚体的有限转动分解为依一定顺序绕连 体基 e 的不同基矢量的三次有限转动， 则每次转过的角度可定义为确定刚体转动前后相对位 置的三个广义坐标。
D = D*
D = DT
(1.1.24)
坐标阵为单位阵的并矢称为单位并矢，记作 E，
E = e 1 e1 + e 2 e 2 + e 3 e 3
任何矢量与 E 的点积仍等于该矢量。 以下几个关系式对以后的计算有用：
(1.1.25)
a × ( b × c ) = [( c ⋅ a ) E − ca ] ⋅ b
1
(1.2.1)
B
( 32 )
sin ϕ cos ϕ 0
( 3)
0 0 1
( 0)
连体基 e 三次转动后位置 e
相对于转动前位置 e
的方向余弦矩阵 B 应等于 B
( 32 )
、B
( 21)
、
B
(10 )
的连乘 ：
B=B
( 32 )
B
( 21)
B
(10 )
cϕcψ − sϕcϑsψ = − sϕcψ − cϕcϑsψ sϑsψ
1 2 1 3 2 2 2 3 3 2 3 3
(1.1.14)
就是基 e ′ 相对于基 e 的方向余弦矩阵。
1.1.3 并矢
依序并列的两个矢量称为并矢，一般以黑体大写字母表示。例如
D = ab
(1.1.15)
充液系统动力学——第 1 章 刚体动力学基础
1-3
对于并矢和矢量规定以下运算规则：并矢与矢量的点积为矢量，并矢与矢量的叉积为并矢。 例如，并矢 D 与矢量 r 的运算规则为
x2
′ x3 ) T 、 ( x1
′ x2
′ ) T ，根据矢量的空间不变性，应成 x3
(1.1.11)
′ x′ k e k = x j e j (= x )
对等式(1.1.11)两端分别点积 e i′ ，则由基矢量的正交性质(1.1.1)，得到
xi′ = e i′ ⋅ e j x j
若将上式写成矩阵形式，分别记 x = ( x1 可改写为
( 3)
cϕsψ + sϕcϑcψ − sϕsψ + cϕcϑcψ − sϑcψ
sϕsϑ cϕsϑ (1.2.2) cϑ
由(1.1.13)可给出矢量在基 e
、e
( 0)
之间的坐标关系： (1.2.3)
x ( 3) = Bx ( 0) x ( 0 ) = B T x ( 3)
1.2.3 Cardan 角
1
为简化书写，书中有时用 c、s 作为 cos 及 sin 的简写符号。
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( 2 ) ( 3) e3 e3
(1) e3
( 0) e3
β α
γ&
& β
欧拉角是经典刚体动力学中习惯使用的广义坐 标，它特别适合于讨论章动角ϑ接近不变，进动角ψ 和自转角ϕ接近匀速增长的刚体运动。但欧拉角并不 是唯一的广义坐标。比较常用的另一种对刚体的三次
eijk
1 = − 1 0
(i , j , k按1,2,3顺序循环置换 ) (i , j , k按3,2,1顺序循环置换 ) (i , j , k中有重复标号 )
(1.1.4)
在给出 Kronecker 符号与置换符号之间的关系之前，先引入所谓的“总和协定” （summation convention）：即当某项中存在一重复的指标（称为 Einstein 哑标）时，则意味 着该项需对哑标在其定义域内求和，例如，对三维空间中的平面，描述方程为
ei ⋅ e j = δij
(i , j = 1,2,3)
(i , j , k = 1,2,3)
(1.1.1) (1.1.2)
ei × e j = eijk e k
其中δij 为 Kronecker 符号，eijk 是置换符号，分别定义为
δij =
1 i = j 0 i ≠ j
(1.1.3)
ci = eijk a j bk
利用上述矢量叉积的定义和 e-δ恒等式，我们可以很容易地得到矢量的重叉公式：
a × ( b × c ) = ( a ⋅ c ) b − ( a ⋅ b) c
(1.1.10)
1.1.2 方向余弦矩阵
为了确定矢量在不同基下的坐标的相互关系，必须引入方向余弦矩阵。设矢量 x 在基 e 和基 e ′ 上的坐标分别为 ( x1 立
a 1 x1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = p
该方程可改写为
(1.1.5)
∑a x
i =1 i
3
i
=p
(1.1.6)
引入“总和协定”，则平面方程可改写为如下简单形式：
ai xi = p
“总和协定”的引入是为了简化公式的书写。 Kronecker 符号与置换符号之间有如下恒等关系：
(1.1.7)
γwk.baidu.comα
( 0) e2
e
& O α
( 3) 2
有限转动的规定为： 连体基 e 首先绕 e1 轴转动α角到 达e
(1)
( 0)
e1( 0) e1(1)
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eijk eist = δ jsδkt − δ jt δks
公式(1.1.8)称为 e-δ恒等式。 任意矢量 a 可以表示为基矢量 ej（j=1,2,3）的线性组合，
(1.1.8)
a = a je j
其中数组 a = ( a1
(1.1.9)
a2
a3 ) T 构成了矢量 a 在正交基 e 上的坐标列阵。
(1.1.26) (1.1.27)
( a × b) ⋅ ( a × b) = a ⋅ [( b ⋅ b) E − bb] ⋅ a
证明：利用二重叉积的恒等式可以直接证明(1.1.26)，即
a × ( b × c ) = ( a ⋅ c ) b − ( a ⋅ b) c = [( c ⋅ a ) E − ca ] ⋅ b
(1.1.18)
D ⋅ (C ⋅ r) = ( D ⋅ C ) ⋅ r
对于确定的基 e，并矢 D 可用 a、b 在 e 上的坐标阵表示，
(1.1.19)
D = ai ei b j e j = d ij ei e j
三阶方阵
(1.1.20)
D = d ij = ab T
称为并矢 D 在 e 上的坐标阵。 将 a、b 的排列次序互换后组成的并矢称为 D 的共轭并矢，记作 D ：
D = d mn ′ = d kl e k e l ′ em ′ en
对并矢 D 左点乘 e i′ ，右点乘 e ′ j ，则由基矢量的正交性(1.1.1)，得到
(1.1.28)
d ij ′ = (ei′ ⋅ e k ) e ′j ⋅ e l d kl
因此，并矢对不同基的坐标变换公式为：
(
)
(1.1.29)
D ′ = BDB T
(1.1.30)
1.1.4 张量
张量是标量、 矢量及并矢概念的推广。 张量可以定义为由若干个当基改变时满足规定转 换关系的分量组成的集合。作为特例，利用变换公式(1.1.12)进行不同基坐标变换的三个分 量构成一阶张量，利用变换公式(1.1.29)进行不同基坐标变换的九个分量构成二阶张量。因 此，矢量与并矢分别是一阶和二阶张量，与基的改变无关的单个标量是零阶张量。
*
[ ]
(1.1.21)
D * = ba
并矢与矢量的点积也可用矢量与共轭并矢的点积表示，
(1.1.22)
D ⋅ r = a ( b ⋅ r ) = ( r ⋅ b) a = r ⋅ D *
* * *
(1.1.23)
共轭并矢 D 的坐标阵显然为 D 的 由共轭并矢 D 的定义(1.1.22)和并矢坐标阵定义(1.1.21)， 转置阵。若并矢 D 的坐标阵为对称阵，则并矢 D 与共轭并矢 D 完全相同，称为对称并矢：
对于(1.1.27)，改变混合积的矢量排列次序，写出 证毕。
( a × b) ⋅ ( a × b) = a ⋅ [ b × ( a × b) ] = a ⋅ [( b ⋅ b) E − bb] ⋅ a
充液系统动力学——第 1 章 刚体动力学基础
1-4
利用(1.1.20)式写出并矢 D 在基 e 和基 e ′ 上的坐标表示，作为一个空间的不变量，应成 立
1.2 刚体的基本运动 1.2.1 刚体的自由度
刚体是对刚硬物体的抽象， 可看作是由密集质点组成的质点系， 其中任意两个质点之间 的距离在运动过程中保持不变。 变形很小的物体或虽有变形但不影响整体运动特性的物体可 以简化为刚体。 不受约束的自由刚体相对确定的参考坐标系有六个运动自由度， 即刚体内任 意点 O 的三个移动自由度和绕 O 的三个转动自由度。因此，自由刚体在参考系中的位置由 六个独立参数。O 点在惯性空间中固定不动是一种特例，这时刚体作绕固定点的转动。