第二章晶体学基础1
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晶体学基础
图 六方晶系的一些晶向指数与晶面指数
4.晶带
相交于某一晶向直线或平行于此直线的晶面构成一个晶带， 此直线称为晶带轴 设晶带轴的指数为[uvw]，则晶带中任何一个晶面的指数 （hkl）都必须满足：hu+kv+lw=0，满足此关系的晶面都属 于以[uvw]为晶带轴的晶带。→晶带定律 （a） 由两晶面(h1k1l1) (h2k2l2)求其晶带轴[uvw]：
简单晶胞计算公式
正交晶系
dhkl
1 h k l a b c
2 2 2
立方晶系
d hkl
d hkl
a h k l
2 2 2
六方晶系
1 4 h hk k l 2 3 a c
2 2 2 2
的一组晶向，用<uvw>表示。数字相同，但排列顺序不
同或正负号不同的晶向属于同一晶向族。
eg： 立方晶系中
[111 ], [1 11], [1 1 1], [11 1][11 1], [1 11][1 1 1], [111 ] 八个晶向是立方体中
四个体对角线的方向，其原子排列完全相同，属同一晶向族，故用<111>表示。
六方晶系的晶向指数和晶面指
数同样可以应用上述方法标定，
这时取a1，a2，c为晶轴，而 a1轴与a2轴的夹角为120度，c 轴与a1，a2轴相垂直。但这种 方法标定的晶面指数和晶向指 数，不能显示六方晶系的对称 性，同类型 晶面和晶向，其指 数却不相雷同，往往看不出他 们的等同关系。
根据六方晶系的对称特点，对六 方晶系采用a1，a2，a3及c四个
§2.2.2 晶系和布拉菲点阵
1.七个晶系
2. 十四种布拉菲点阵 按照“每个阵点的周围环境相同”的要求，最先是布拉菲 （A. Bravais）用数学方法证明了只能有14种空间点阵。通 常人们所说的点阵就是指布拉菲点阵。
2-1晶体学基础--西安交大材料科学基础
1
13
c
c1
（463）
O a a1
b1
b
图2-6 晶面指数的确定 1 Oa1=1/2a Ob1=1/2b Oc1=1/2c
14
在确定密勒指数时，还需规定几点： 在确定密勒指数时，还需规定几点： （1）该晶面不能通过原点，因为这时截距为零，其倒数 ）该晶面不能通过原点，因为这时截距为零， 是无意义的， 是无意义的，这时应选择与该晶面平行但不过原点的面来 确定晶面指数或把坐标原点移到该面之外； 确定晶面指数或把坐标原点移到该面之外； （2）当晶面与某晶轴平行时，规定其截距为 ，则截距 ）当晶面与某晶轴平行时，规定其截距为∞， 的倒数为零； 的倒数为零； ( 3)当晶面与坐标轴的负方向相交时，截距为负，该指数 当晶面与坐标轴的负方向相交时， 当晶面与坐标轴的负方向相交时 截距为负， 的负号最后标在数字的上方。 的负号最后标在数字的上方。 （4）由于任一晶面平移一个位置后仍然是等同的晶面， ）由于任一晶面平移一个位置后仍然是等同的晶面， 因此指数相同而符号相反的晶面指数是可以通用的。 因此指数相同而符号相反的晶面指数是可以通用的。
相同,还要看晶面的面间距和原子密度是否相等 如果它们 相同 还要看晶面的面间距和原子密度是否相等.如果它们 还要看晶面的面间距和原子密度是否相等 不相等,尽管晶面指数的数字相等 尽管晶面指数的数字相等,也不是性质相同的等同 不相等 尽管晶面指数的数字相等 也不是性质相同的等同 晶面,而不属于同族晶面 而不属于同族晶面。 晶面 而不属于同族晶面。
1
9
●确定晶向指数时，坐标原点不一定非选在晶向上，若 确定晶向指数时，坐标原点不一定非选在晶向上， 原点不在待标晶向上， 原点不在待标晶向上，那就需要找出该晶向上 ( x 1 , y 1 , z 1 )和 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 两点的坐标 标 (x 1 − x 2 ) ( y 1 − y 2 ) (z 1 − z 2 ) 并使之满足： 质整数 uvw ，并使之满足： ,然后将三个数化成互 然后将三个数化成互
晶体学基础(第二章)
2.1 面角守恒定律
双圈反射测角仪： 双圈反射测角仪：晶体位于二旋转 轴的交点。 轴的交点。。当观测镜 筒中出现“信号” 筒中出现“信号”时，我们便可以 在水平圈上得到一个读数ρ 极距角) 在水平圈上得到一个读数ρ(极距角)， 并在竖圈上得到一个读数ϕ 方位角) 并在竖圈上得到一个读数ϕ(方位角)， ρ和ϕ这两个数值犹如地球上的纬度 和经度，是该晶面的球面坐标 球面坐标。 和经度，是该晶面的球面坐标。
使用很简单，但精度较差，且不适于测量小晶体。 使用很简单，但精度较差，且不适于测量小晶体。
2.1 面角守恒定律
单圈反射测角仪， 单圈反射测角仪，精度可达 0.5′ l′-0.5′。但缺点是晶体安置 好之后只能测得一个晶带( 好之后只能测得一个晶带(指 晶棱相互平行的一组晶面) 晶棱相互平行的一组晶面)上 的面角数据。 的面角数据。若欲测另一晶 带上的面角时， 带上的面角时，必须另行安 置一次晶体。测量手续复杂。 置一次晶体。测量手续复杂。
2.1 面角守恒定律 晶体测量(goniometry)又称为测角法。 晶体测量(goniometry)又称为测角法。根据测角 (goniometry)又称为测角法 的数据，通过投影， 的数据，通过投影，可以绘制出晶体的理想形态 图及实际形态图。 图及实际形态图。在这一过程中还可以计算晶体 常数，确定晶面符号(见第四章) 同时， 常数，确定晶面符号(见第四章)，同时，还可以 观察和研究晶面的细节(微形貌) 观察和研究晶面的细节(微形貌)。晶体测量是研 究晶体形态的一种最重要的基本方法。 究晶体形态的一种最重要的基本方法。 为了便于投影和运算， 为了便于投影和运算，一 般所测的角度不是晶面的 夹角， 夹角，而是晶面的法线 plane)夹角 (normals to plane)夹角 (晶面夹角的补角)，称为 晶面夹角的补角) 面角(interfacial angle)。 面角(interfacial angle)。
上海交大-材料科学基础-第二章-1
晶面的位向
h : k : l cos : cos : cos
cos2 cos2 cos2 1 立方晶系
晶面间距
dhkl
a h
cos
b h
cos
c h
cos
d
2hkl [(
h a
)2
( h )2 b
( h )2 ] c
cos2
cos2
cos2
式中ｈ、ｋ、ｌ为晶面指数（ｈｋｌ），ａ、ｂ、ｃ为 点阵常数，α、β、γ为晶面法线方向与晶轴夹角。
每个原子周围的情况完全相同，则这种原子所组成的
网格称为简单晶格。
复式晶格：如果晶体由两种或两种以上原子组成，同 种原子各构成和格点相同的网格，网格的相对位移而 形成复式晶格。
cc
金刚石结构
2.1.2 晶向指数和晶面指数
晶列：布拉菲格子的格点可以看成是分布在一系列相 互平行的直线上，而无遗漏，这样直线称为晶列；
uvw 放入方括号内，写成[uvw],即为待标定晶向的晶 向指数。若为负值，则在指数上加一负号。（化整数， 列括号）
xa : yb : zc u :v : w abc
立方晶系中一些常用的晶向指数
例：如图在立方体中， a i , b j , c k
方法2
D是BC的中点，求BE,AD的晶列指数
第二章 固体结构
本章主要内容
❖ 2.1晶体学基础 ❖ 2.2金属的晶体结构 ❖ 2.3合金相结构 ❖ 2.4离子晶体结构 ❖ 2.5共价晶体结构
概述
❖ 物质按聚集状态分类: 气态、液态和固态； ❖ 按原子（或分子）排列特征分类：晶体和非晶体。
绝大部分陶瓷、少数高分子材料、金属及合金是晶体； 多数高分子材料、玻璃及结构复杂材料是非晶体。
第二章 晶体结构
晶胞
• 有实在的具体质点所 组成
平行六面体
• 由不具有任何物理、化学 特性的几何点构成。
是指能够充分反映整个晶体结构特征的最小结构单位， 其形状大小与对应的单位平行六面体完全一致，并可用 晶胞参数来表征，其数值等同于对应的单位平行六面体 参数。
晶胞棱边长度a、b、c，其单位为nm ,棱间夹角α、β、 γ。这六个参数叫做点阵常数或晶格常数。
面网密度：面网上单位面积内结点的数目； 面网间距：任意两个相邻面网的垂直距离。
相互平行的面网的面网密度
和面网间距相等； 面网密度大的面网其面网间 距越大。
空间格子―――连接分布在三维空间的结点构成空 间格子。由三个不共面的行列就决定一个空间格子。
空间格子由一系列 平行叠放的平行六 面体构成
2-1 结晶学基础
一、空间点阵
1.晶体的基本概念 人们对晶体的认识，是从石英开始的。 人们把外形上具有规则的几何多面体形态的 固体称为晶体。 1912年劳厄（德国的物理学家）第一次成功 获得晶体对X射线的衍射线的图案，才使研究 深入到晶体的内部结构，才从本质上认识了 晶体，证实了晶体内部质点空间是按一定方 式有规律地周期性排列的。
第二章 晶体结构
第二章 晶体结构
1
结晶学基础 晶体化学基本原理 非金属单质晶体结构
2
3 4 5
无机化合物晶体结构
硅酸盐晶体结构
重点：重点为结晶学指数，晶体中质点的堆 积，氯化钠型结构，闪锌矿型结构，萤石型 （反萤石型）结构，钙钛矿型结构，鲍林规 则，硅酸盐晶体结构分类方法。 难点：晶体中质点的堆积，典型的晶体结构 分析。
• 结点分布在平行六面
体的顶角； •平行六面体的三组棱长 就是相应三组行列的结 点间距。
材料科学基础---名词解释
材料科学基础---名词解释(总15页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一部分名词解释第二章晶体学基础1、晶体结构：反映晶体中全部基元之间关联特征的整体。
晶体结构有4种结构要素，质点、行列、面网、晶胞。
晶体：原子按一定方式在三维空间内周期性地规则重复排列，有固定熔点、各向异性。
非晶体:原子没有长程的周期排列，无固定的熔点，各向同性等。
空间点阵：指几何点在三维空间作周期性的规则排列所形成的三维阵列，是人为的对晶体结构的抽象。
晶胞：在点阵中取出一个具有代表性的基本单元（最小平行六面体）作为点阵的组成单元，称为晶胞。
空间格子：为便于描述空间点阵的图形，可用许多平行的直线将所有阵点连接起来，于是就构成一个三维几何构架，称为空间格子。
2、晶带定律：晶带轴[uvw]与该晶带的晶面（hkl）之间存在以下关系：hu+kv+lw=0。
凡满足此关系的晶面都属于以[uvw]为晶带轴的晶带，故该关系式也称为晶带定律。
布拉格定律：布拉格定律用公式表示为：2dsinx=nλ(d为平行原子平行平面的间距，λ为入射波长，x为入射光与晶面的夹角)。
晶面间距：两相邻平行晶面间的平行距离。
晶带轴：所有平行或相交于某一晶向直线的的晶面构成一个晶带，该直线称为晶带轴，属此晶带的晶面称为共带面。
3、合金：两种或两种以上的金属或金属与非金属经熔炼、烧结或其他方法组合而成并具有金属特性的物质。
固溶体：是以某一组元为溶剂，在其晶体点阵中溶入其他组元原子（溶剂原子）所形成的均匀混合的固态溶体，它保持溶剂的晶体结构类型。
固溶强化：由于合金元素（杂质）的加入，导致的以金属为基体的合金的强度得到加强的现象。
中间相：两组元A 和B 组成合金时，除了形成以A 为基或以B 为基的固溶体外，还可能形成晶体结构与A，B 两组元均不相同的新相。
由于它们在二元相图上的位置总是位于中间，故通常把这些相称为中间相。
1-2 晶体学基础
晶向指数的确定步骤：
4 i
1)以晶胞的某一阵点O为原点，过原点的 晶轴为坐标轴，以晶胞点阵矢量的长度 ． 作为坐标轴的长度单位.
2)过原点O作一直线OP，使其平行于待定的晶向。 3)在直线OP上任取一点P，求出P在三个坐标轴 上的坐标值。 4) 将这3个坐标值化为最小整数u,v,w,加上方 括号,[uvw]即为待定晶向的晶向指数。
为便于描述空间点阵的图形，可用许多平行 的直线将所有阵点连接起来，于是就构成一个 三维几何格架，称为空间格子，也叫晶格。
导出空间格子的方法：
首先在晶体结构中找出相当点，再将相当点按照 一定的规律连接起来就形成了空间格子。
相当点（两个条件：1、性质相同，2、周围环境相同。）
5.628Ǻ
2.8148Ǻ
1 11 1 1 1
111 1 1 1
晶向族：由晶体学上的等价晶向构成
晶面指数
4 i
三、晶面指数 晶体内部构造中由物质质点所组成的平面 称为晶面， 用来表征晶面的一组数字称为晶面指数。
n i
晶面指数的确定步骤 1) 建立坐标系,方法同晶向指数，但坐标原点 不能在待确定指数的晶面上。 2) 求待定晶面在三个坐标上的截距。 若晶面与某轴平行，则在此轴上截距为∞； 若晶面与某轴负方向相截，则在此轴上 截距为一负值 3) 取截距的倒数，并化成互质的整数比， 加上圆括号，记为（hkl），即为晶面指数。
● ●
结点：空间格子中的等同点。
行列：结点在直线上的排列。
行列中相邻结点间的距离称结点间距。同行列方向上结
点间距相等；不同方向的行列，结点间距一般不等。
●
面网：结点在平面上的分布。
单位面积内结点的数目称面网密度；相邻面网间的垂直 距离称面网间距。 相互平行的面网间面网密度和面网间距相等；否则一般 不等且面网密度大的其面网间距亦大。
材料科学基础第二章
y
[111]
x
[111]
例：画出晶向
[112 ]
2.立方晶系晶面指数
晶面指数的确定方法
（a)建立坐标系，结点为原点， 三棱为方向，点阵常数为单位 （原点在标定面以外，可以采 用平移法）； (b)晶面在三个坐标上的截距a1 a2 a3 ； (c)计算其倒数 b1 b2 b3 ； (d)化成最小、整数比h：k：l ； 放在圆方括号(hkl)，不加逗号， 负号记在上方 。
3.六方晶系晶面和晶向指数
三指数表示六方晶系晶面和晶向的缺点：晶体学上等价的 晶面和晶向不具有类似的指数。 例：
晶面指数
(11 0)
（100）
[010] [100]
从晶面指数上不能明确表示等同晶面，为了克服这一缺点， 采用a1、a2、a3及c四个晶轴， a1、a2、a3之间的夹角均 为120º ，晶面指数以（hkil）表示。 根据立体几何，在三维空间中独立的坐标轴不会超过三 个可证明 ： i= - (h+k) 或 h+k+i=0
六方晶系
d hkl
h k l a b c
2 2 2
d hkl
a h2 k 2 l 2
1 l c
2
4 h 2 hk k 2 3 a2
注：以上公式是针对简单晶胞而言的，如为复杂晶胞， 例如体心、面心，在计算时应考虑晶面层数增加的影 响，如体心立方、面心立方、上下底（001）之间还有 一层同类型晶面，实际
[1 00 ]
[0 1 0]
[010]
[1 00]
y
[100]
x
[00 1]
第二章材料中的晶体结构
TiO2
体心四方
1个正离子 2个负离子
6
3
八面体 VO2, NbO2, MnO2, SnO2, PbO2, …
7. MgAl2O4(尖晶石)晶型
8.Al2O3(刚玉)晶型
第四节 共价晶体的结构
一、共价晶体的主要特点 1. 共价键结合，键合力通常强于离子键 2. 键的饱和性和方向性，配位数低于金属和离 子晶体 3. 高熔点、高硬度、高脆性、绝缘性
(2) 求投影．以晶格常数为单位，求待定 晶向上任一阵点的投影值。
(3) 化整数．将投影值化为一组最小整数。
(4) 加括号．［uvw］。
2.晶面指数及其确定方法
1) 晶面指数 — 晶体点阵中阵点面的 方向指数。 2) 确定已知晶面ห้องสมุดไป่ตู้指数。
(1) 建坐标．右手坐标，坐标轴为晶胞 的棱边，坐标原点不能位于待定晶面内。
cph
a=b≠c
a 2r
5. 致密度 — 晶胞中原子体积占总体积的分数
bcc
fcc
cph
3 0.68
8
2 0.74
6
2 0.74
6
6. 间隙 — 若将晶体中的原子视为球形，则相 互接触的最近邻原子间的空隙称为间隙。
间隙内能容纳的最大刚性球的半径称为
间隙半径 rB。 间隙大小常用间隙半径与原子半径 rA之
比 rB / rA 表示。
1) 面心立方结构晶体中的间隙 正八面体间隙：位于晶胞各棱边中点及体心位置.
一个晶胞中共有4个.
rB / rA 0.414
正四面体间隙：位于晶胞体对角线的四分之一处. 一个晶胞中共有8个.
rB / rA 0.225
2) 体心立方结构晶体中的间隙 扁八面体间隙：位于晶胞各棱边中点及面心处. 一个晶胞中共有6个. rB / rA 0.155
第二章晶体化学基础
（ el ），e电荷， l 为极化后正、负电荷的中心距
2）主极化：一个离子以其本身的电场作用于周围离子，使其它 离子极化。主极化能力用极化力β来表示，极化力与离子的电 价（W）成正比，与离子半径（r）的平方成反比；
w r2
式中： w为离子的电价， r为离子的半径。极化力反映了极
化周围其它离子的能力。
2
0
2
0
第
二
章
晶
体
化
学
一．等径球体的最紧密堆积
等径球体有六方和面心立方两种最紧密堆积方式。 1．六方密堆
①先将各球排列在一平面上，每个球为6个球所包围，球 间有两空隙：尖角朝下的B空隙▽和尖角朝上的C空隙△； ②第二层球的中心都落在尖角朝下的B空隙▽上； ③第三层球体排列的位置和第一层的球完全相同； ④堆垛顺序为ABABAB……，密排面为（0001）面。
个等径球体堆积而成的系统，四面体空隙应有 n 8 2n个，
4
八面体空隙应有
n 个6 。n
6
八面体空隙：在六方柱内部共6个，四面体空隙有12个： 6(六方柱内部)+2(底心连线上)+6 ×2 ×1/3 (六条棱边上)=12个。
八面体空隙有4个：1(立方体心)+12 ×1/4 (12条棱边中点)=4个； 四面体空隙共有8个：位于8个1/8小立方体的体心。
晶体结构取决于其组成质点的数目、相对大小以及极化性能。
离子晶体： ro=r++r共价晶体： ro=rA+rB 金属晶体： ro=2rm
二．配位数和配位多面体 1.配位数（CN）：一个原子或离子邻近周围的原子个数或异号 离子的个数。
单质晶体： CN=12，非密堆则CN<12，单质金属 共价晶体： CN较低≤4，SiC 离子晶体： CN=4,6，Al2O3 2.配位多面体 以一个阳离子为中心，将其周围与之形成配位关系的阴离子中 心联接起来所得的多面体。
2）主极化：一个离子以其本身的电场作用于周围离子，使其它 离子极化。主极化能力用极化力β来表示，极化力与离子的电 价（W）成正比，与离子半径（r）的平方成反比；
w r2
式中： w为离子的电价， r为离子的半径。极化力反映了极
化周围其它离子的能力。
2
0
2
0
第
二
章
晶
体
化
学
一．等径球体的最紧密堆积
等径球体有六方和面心立方两种最紧密堆积方式。 1．六方密堆
①先将各球排列在一平面上，每个球为6个球所包围，球 间有两空隙：尖角朝下的B空隙▽和尖角朝上的C空隙△； ②第二层球的中心都落在尖角朝下的B空隙▽上； ③第三层球体排列的位置和第一层的球完全相同； ④堆垛顺序为ABABAB……，密排面为（0001）面。
个等径球体堆积而成的系统，四面体空隙应有 n 8 2n个，
4
八面体空隙应有
n 个6 。n
6
八面体空隙：在六方柱内部共6个，四面体空隙有12个： 6(六方柱内部)+2(底心连线上)+6 ×2 ×1/3 (六条棱边上)=12个。
八面体空隙有4个：1(立方体心)+12 ×1/4 (12条棱边中点)=4个； 四面体空隙共有8个：位于8个1/8小立方体的体心。
晶体结构取决于其组成质点的数目、相对大小以及极化性能。
离子晶体： ro=r++r共价晶体： ro=rA+rB 金属晶体： ro=2rm
二．配位数和配位多面体 1.配位数（CN）：一个原子或离子邻近周围的原子个数或异号 离子的个数。
单质晶体： CN=12，非密堆则CN<12，单质金属 共价晶体： CN较低≤4，SiC 离子晶体： CN=4,6，Al2O3 2.配位多面体 以一个阳离子为中心，将其周围与之形成配位关系的阴离子中 心联接起来所得的多面体。
晶体学基础-晶向与晶面指数B
所有结果(不同空间方位)。 {112} {123}
22:16
晶面 24
单晶硅绒面：碱溶液温度较低时，(100)面比 (111)面腐蚀速率高数十倍以上。
在(100)表面形成许多密布的表面为(111)面的金字塔结构
单晶硅是制造半导体器件、太阳能电池等的基材。
22:16
25
第二章 材料的结构 Material structure
解出： u:v:w=
②由晶向[u1 v1 w1]和晶向[u2 v2 w2]求晶面： hu1＋kv1＋lw1 = 0 hu2＋kv2＋lw2 = 0
h:k:l=
22:16
46
③由同一晶带的两个晶面 （h1 k1 l1）和（h2 k2 l2）
求此晶带上另一晶面指数.
[001]
由： h1u＋k1v＋l1w = 0 h2u＋k2v＋l2w = 0
立方晶系中有：
[001]
晶面(hkl)和其晶带轴[uvw]的 指数之间满足关系：
凡满足此关系的晶面都属于以[u v w]为晶带轴的晶带，
此关系式也称作晶带定律（魏斯定律（Weiss zone law） 。
22:16
43
22:16
44
晶带定律
•德国学者魏斯（Christian Samuel Weiss）
有：（h1＋h2）u＋(k1＋k2）v＋(l1＋l2）w = 0 即： （h1＋h2）,（k1＋k2）,（l1＋l2）
为此晶带上另一可能晶面的晶面指数。
22:16
47
三个晶面共线的指数条件：
若上式的uvw有非零解，要求：
④三个晶向共面的条件 [u1v1w1]、[u2v2w2]、[u3v3w3] 共面(hkl).
晶向族:任意交换指数的位置和 改变符号后的所有指数。（原因？？）
22:16
晶面 24
单晶硅绒面：碱溶液温度较低时，(100)面比 (111)面腐蚀速率高数十倍以上。
在(100)表面形成许多密布的表面为(111)面的金字塔结构
单晶硅是制造半导体器件、太阳能电池等的基材。
22:16
25
第二章 材料的结构 Material structure
解出： u:v:w=
②由晶向[u1 v1 w1]和晶向[u2 v2 w2]求晶面： hu1＋kv1＋lw1 = 0 hu2＋kv2＋lw2 = 0
h:k:l=
22:16
46
③由同一晶带的两个晶面 （h1 k1 l1）和（h2 k2 l2）
求此晶带上另一晶面指数.
[001]
由： h1u＋k1v＋l1w = 0 h2u＋k2v＋l2w = 0
立方晶系中有：
[001]
晶面(hkl)和其晶带轴[uvw]的 指数之间满足关系：
凡满足此关系的晶面都属于以[u v w]为晶带轴的晶带，
此关系式也称作晶带定律（魏斯定律（Weiss zone law） 。
22:16
43
22:16
44
晶带定律
•德国学者魏斯（Christian Samuel Weiss）
有：（h1＋h2）u＋(k1＋k2）v＋(l1＋l2）w = 0 即： （h1＋h2）,（k1＋k2）,（l1＋l2）
为此晶带上另一可能晶面的晶面指数。
22:16
47
三个晶面共线的指数条件：
若上式的uvw有非零解，要求：
④三个晶向共面的条件 [u1v1w1]、[u2v2w2]、[u3v3w3] 共面(hkl).
晶向族:任意交换指数的位置和 改变符号后的所有指数。（原因？？）
晶体学基础第二章-晶体的对称分类与布拉菲点阵
2.晶系（crystal system）：7个晶系
三斜晶系：只有 1 或 1
单斜晶系：2 和 m 均不多于一个 正交晶系（斜方晶系）：2 和 m 的总数不少于3个
三方晶系：唯一的一个高次轴是 3 或 3 四方晶系：唯一的一个高次轴是 4 或 4 六方晶系：唯一的一个高次轴是 6 或 6
立方晶系（等轴晶系）：有4个 3
32种点群描述的晶体对称性对应的只有14种布拉菲点阵分为7个晶系沿晶体的对称轴或对称面的法向在一般情况下它们构成斜坐标系三个晶轴之间的夹角二晶体的14种布拉菲点阵布拉菲格子
2.4 晶体的对称分类与布拉菲点阵
一、晶体的对称分类
按晶体的对称性特征晶体分类
1.晶族（crystal category）：3个晶族 低级晶族：无高次轴 中级晶族：只有一个高次轴 高级晶族：高次轴多于一个
3.晶类: 属于同一点群的晶体。32个晶类。
二、晶体的14种布拉菲点阵（布拉菲格子）
—— 32种点群描述的晶体对称性 —— 对应的只有14种布拉菲点阵 —— 分为7个晶系
—— 单胞的三个基矢
沿晶体的对称轴或对称面
的法向，在一般情况下，它们构成斜坐标系
三个晶轴之间的夹角
7大晶系的形成
1.晶体学基础
原子可在 顶角、线 、面、内 部。
晶胞参数：
平行六面体的三根棱长a、b、c及其夹角α、β、γ是表示它本 身的形状、大小的一组参数，称为点阵参数（晶胞参数）
依照晶胞参数之间的关系，所有晶体的空间点阵可以划分为7个晶系：
晶 系 立方晶系 四方晶系 a=b=c a=b≠c 格子常数特点 α=β=γ=90° α=β=γ=90°
晶面族指数：用晶面族中 某个最简便的晶面指数填 在大括号{ }内作为该晶面
族的指数。
晶面间距
一般是晶面指数数值越小，其面间距较大，并且其阵点密度较大
a
b
(100)
(110) (210) (4-10) (130)
晶面间距的计算
一组平行晶面的晶面间距dhkl与晶面指数和晶格常数a、b、c有下列关系：
（2）晶胞
ClNa+
空间格子+基元
●晶胞：是指晶体结构中的平行六面体单位，其形状大小与对应的 空间格子中的平行六面体一致。 ●晶胞：是描述晶体结构的基本组成单位。 ●晶胞：能够反映整个晶体结构特征的最小结构单元。
周期性、对称 性
晶胞的选取不是唯一的！
晶胞的选取原则： 1）充分表示出晶体的对称性 2）三条棱边尽量相等 3）夹角尽量为直角 4）单元体积尽可能小
晶体结构=空间点阵+结构基元
实际晶体——质点体积忽略——空间点阵——阵点连线——晶格（空间格子）
等同点： 各阵点的周围 环境完全相同， 周围阵点排布 及取向完全相 同。 A位臵
B位臵
空间格子有下列几种要素存在：
面网
平行六面体
晶面：可将晶体点阵在任意方向上分解 为相互平行的节点平面。 晶面族：对称性高的晶体中，不平行的 两组以上的晶面，它们的原子排列状况 是相同的，这些晶面构成一个晶面族。 晶向：也可将晶体点阵在任意方向上分 解为相互平行的节点直线组，质点等距 离的分布在直线上。 晶向族：晶体中原子排列周期相同的所 有晶向为一个晶向族。
第二章 金属的晶体结构
晶向指数简化确定方法
1 确定三维坐标系：所求晶向的起点为原点，棱 边以长度为坐标轴的长度单位。 2 求坐标：求所求晶向距起 点最近的原子在三个坐标轴 方向上的坐标值。 3 化最简整数，加方括号。 形式为 [uvw] ，坐标中出现 负值，在数字上方冠负号。
晶向指数的例子
所有平行的晶向，都 具有相同的晶向指数
内蒙古科技大学高等职业技术学院
(111) (111) (111) (111) {1 1 1}晶面族：
(111) (111) (111) (111)
(111)
(111)
(111)
(111)
内蒙古科技大学高等职业技术学院
3.4 晶向指数与晶面指数的联系
当某一晶向[uvw]位于或平行于某一晶面（hkl） 时，必须满足：hu+kv+lw=0。 ［100］//(010)；［110］位于(111)上 当某一晶向[uvw]垂直 于某一晶面（hkl） 时，必须满足：u=h， v=k，w=l。 ［111］⊥（111）； ［010］ ⊥（010）
晶面指数的例子
立方晶系中一些重要晶面的晶面指数
内蒙古科技大学高等职业技术学院
二、晶面族
晶面族：原子排列相同但空间位向不同 的所有晶面，以{hkl}表示。 立方晶系中的晶面族： {1 0 0}：(100)+(010)+(001)
内蒙古科技大学高等职业技术学院
{1 1 0}晶面族：
(110) (101) (011) (110) (101) (011)
基本概念
为了便于确定和区别晶体中不同方位的晶向和晶 面，国际上通用密勒指数（Miller indices）来统 一标定晶向指数与晶面指数。 晶面指数(indices of crystal plane )： 表示晶面的符号。 晶向指数(indices of crystal orientation)： 表示晶向的符号。
晶体学基础
0.25A-1 020 120 220
b (110)
010 110 210
(100) b* H110
H 210
(210)
100
c
a
c* 000
a*
200
晶体点阵
倒易点阵
立方晶系晶体及其倒易点阵
第三章 X射线衍射方向
自伦琴发出X射线后，许多物理学家都在积极地研究和探索，1905年 和1909年，巴克拉曾先后发现X射线的偏振现象，但对X射线究竟是一 种电磁波还是微粒辐射，仍不清楚。1912年德国物理学家劳厄发现了 X射线通过晶体时产生衍射现象，证明了X射线的波动性和晶体内部结 构的周期性，发表了《X射线的干涉现象》一文。
cosa0 H cos0 K
衍射线
1' X
1
显然，当X射线照射二 维原子网时，X、Y晶轴 方向上的那些同轴的圆 锥面上的衍射线要能够 加强，只有同时满足劳 厄第一和第二方程，才 能发生衍射。
衍射线只能出现在沿X晶轴方向及Y晶轴方向的两系列 圆锥簇的交线上。如果照相的底片平行于原子网，圆 锥在底片上的迹线为双曲线。每对双曲线的交点即为 衍射斑点，也相当于圆锥的交线在底片上的投影。不 同的H，K值，可得到不同的斑点。
劳厄的文章发表不久，就引起英国布拉格父子的关注，他们都是X射 线微粒论者，年轻的小布拉格经过反复研究，成功地解释了劳厄的实 验事实。他以更简结的方式，清楚地解释了X射线晶体衍射的形成， 并提出著名的布拉格公式：nX=2dsino这一结果不仅证明了小布拉格的 解释的正确性，更重要的是证明了能够用X射线来获取关于晶体结构 的信息。老布拉格则于1913年元月设计出第一台X射线分光计，并利 用这台仪器，发现了特征X射线。小布拉格在用特征X射线与其父亲合 作，成功地测定出了金刚石的晶体结构，并用劳厄法进行了验证。金 刚石结构的测定完美地说明了化学家长期以来认为的碳原子的四个键 按正四面体形状排列的结论。这对尚处于新生阶段的X射线晶体学来 说用于分析晶体结构的有效性，使其开始为物理学家和化学家普遍接 受。
晶体学基础第二章-晶体的32种点群及其符号
Dnh群
群
Dn群加上与n重轴垂直且过二重轴的反演面，
共4个
群加上通过n重轴及两根二重轴角平分线
的反演面，
共2个
群只包含旋转反演轴的点群。 其中
共2个
群 —— 立方点群, 含有48个对称操作 群 —— 正四面体点群, 含有24个对称操作 群 —— 立方点群 的24个纯转动操作 群 —— 正四面体点群 的12个纯转动操作
群
群加上中心反演
晶体的宏观对称只有32个不同类型
晶体点群的国际符号符号：
晶体的对称元素间至少有一点重合。
晶体的全部对称元素对应的对称操作的集合——点群。 晶体对称元素组合的推导：
A类组合：高次轴（n > 2）不多于1个 B类组合论证明由10种对称素只能组成32种不同的点群 —— 晶体的宏观对称只有32个不同类型
晶体点群的符号： 国际（Hermann-Mauguin）符号 熊夫利（Schoenflies）符号 C，D，S，T，O i，s，v，h，d
晶体点群的熊夫利符号：
—— 不动操作，只含一个元素，表示没有任何对称性的晶体
回转群
只包含一个旋转轴的点群 —— 下标表示是几重旋转轴
—— 4个
双面群
包含一个n重旋转轴和n个与之对应的二重轴的点群 —— 4个
群
群加上中心反演
群
群加上反演面
群
群加上与n重轴垂直的反演面，共4个
群
群加上含有n重轴的反演面，共4个
任何晶体的宏观对称性只能有以下十种对称元素23晶体的32种点群及其符号一晶体对称元素的组合晶体的对称元素间至少有一点重合晶体的全部对称元素对应的对称操作的集合点群晶体对称元素组合的推导
2.3 晶体的32种点群及其符号
2.晶体学基础
三轴和四轴晶向指数之间的关系
1 t (u v) (U V ) 3 w W 2 1 u U V 3 3 2 1 v V U 3 3
2.2 倒易点阵 倒易点阵是在晶体点阵的基础上按照 一定的对应关系建立起来的空间点阵， 是晶体点阵的另一种表达形式[ 之所以称为倒易点阵，是因为它的基 矢量与晶体点阵存在着倒易关系。为 了便于区别，有时将晶体点阵称为正 点阵
引入倒易点阵的作用
利用倒易点阵处理晶体几何关系和衍射
问题，能使几何关系更清楚，数学推演 更简化。 晶体点阵中的二维平面在倒易点阵中只 对应一个零维的倒易阵点，晶面间距和 取向这两个参量在倒易点阵中只用一个 倒易矢量就可以表达。 衍射花样实际上是满足衍射条件的倒易 阵点的投影，从这个意义上讲，倒易点 阵本身就具有衍射属性
为了从（2-9）式得出倒易基矢量的长度，
将（2-9）式改写成其标量形式：
1 1 1 a* b* c* aCos bCos cCos
（2-10） 式中 、ψ、ω分别为a*与a; b*与 b; c* 与c的夹角
图2-37以倒易基矢量c*为例，画出了它
与正点阵的对应关系 其中OP为c在c*上的投影，同时也是a、 b所构成的（001）晶面的面间距d001 OP=c cosω＝ d001 1 c*= 1/c cosω=
第二章 晶体学基础
2.1 晶体学基础 2.2 倒易点阵 2.3 倒易矢量的基本性质
2.1
晶
体
学 基
础
根据阵胞中阵点位置的不同可将14种布拉菲 点阵分为四类：
（l）简单点阵：用字母P表示。仅在阵胞
的八个顶点上有阵点，每个阵点同时为相 邻的八个平行六面体所共有，因此，每个 阵胞只占有一个阵点。阵点坐标的表示方 法为：以阵胞的任意顶点为坐标原点，以 与原点相交的三个棱边为坐标轴，分别用 点阵周期（a、b、c）为度量单位。阵胞顶 点的阵点坐标为000。
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最小内能，指在相同热力学条件下，晶体与同种物质 的非晶体相比较，其内能最小，因而晶体的结构也最稳 定。
异向性，晶体与非晶体由于原子排列不同在性能 上出现较大的差异，即晶体具有各向异性，如下表:
表2-1 单晶体的各向异性
弹性模量 (MPa) 抗拉强度 (MPa) 类别
延伸率 (%)
最大 最小 最大 最小 最大 最小
3 L44 L36 L29PC
旋转-反伸轴
旋转-反伸轴:若晶体绕某一轴旋转一定角度(360/n)， 再以轴上的一个中心点作反演之后能得到复原时，此
轴称为旋转－反伸轴，用Lin表示 。
图2-5 具有Li4的四面体（A）及其对称操作过程（B,C）
图2-6 旋转-反伸轴 A-Li1 B-Li2 C-Li3 D-Li4 E-Li6
6. 3种典型金属晶体结构的晶体学特点 7. 晶体中原子的堆垛方式和间隙类型 8. 固溶体的分类及其结构特点 9. 中间相的分类及其结构特点 10. 离子晶体的结构规则 11. AB、AB2、A2B3、ABO3、 AB2O4型离
子晶体结构特点 12. 硅酸盐晶体结构特点 13. 聚合物晶态结构模型、晶体形态及结构
材料的结构
（17学时）
[教学内容]
§2.1 晶体学基础
§2.2 金属的晶体结构
§2.3 离子晶体
§2.4 高分子材料结构
§2.5 非晶态固体结构
[重点掌握]
1. 晶体的对称元素 2. 晶胞的选取原则 3. 晶向指数、晶面指数、晶面间距 4. 7大晶系，14种布拉菲空间点阵的
特征 5. 极射投影与Wuff网
（2）晶体的基本性质
均一性，指晶体内部化学组成和物理性质（密度、比 重、热导性、膨胀性等）的等同。
对称性，指晶体内的相同部分（如外形上相同的晶面、 晶棱、晶角，内部结构中相同的面网、行列或原子、离 子等）或性质，能够在不同方向或位置上有规律的重复 出现的特性。
自范性，或称自限性，指晶体能自发形成封闭的凸几 何多面体外形的特性。
晶体宏观对称只能存在1，2，3，4， 6共5中对称轴，不存在5次及高于6次 的对称轴。 注意：该轴线定要通过晶格单元的 几何中心，且位于该几何中心与角顶 或棱边的中心或面心的连线上。
图2-4 具有L2， L3， L4和 L6对称轴的图形（从左至右）
1）、 1次对称轴，习惯符号L1，国际符号为1，n=1,
中心线存在一个L4，共6个面，有3个L4；两个角顶联线 是一个L3，共有8个角顶，存在4个L3；两条棱中点联线 是一个L2，共有12条棱，存在6个L2；垂直晶面和通过晶
棱中点并彼此相互垂直的3个对称面，一对晶棱垂直斜 切晶面的6个对称面，共9个对称面。立方体中心是一个 对称中心。所以立方体几何对称性可以组合成：
滑移面
滑移面，混合的对称要素，一个假想的平面和平行此 平面的某一直线方向。对称操作过程是先对此平面反映 后，再沿平行于此平面的某个方向上平移一定距离；也 可以先平移，后反映，同样能够重复。 滑移面按滑移的方向和距离可以分为a、b、c、n、d 5 种情况。（课本第35页图2-17）
滑移面a、b、c表示其滑移方向分别平行于晶体a、b、 c轴，滑移的距离是结点距离的一半（T/2).
Cu 191000 66700 346 128
55
10
α- Fe 293000 125000 225 158
80
20
Mg 50600 42900 840 294 220
20
2. 晶体的对称性
（1）对称的概念 对称是指物体中相同部分之间的有规律重复；对称 变化又称对称操作，是指能使对称物体各相同部分 作有规律重复的变化动作。
α=360°。
2）、 2次对称轴，习惯符号L2，国际符号为2，n=2,
α=180°。
3) 、 3次对称轴，习惯符号L3，国际符号为3，n=3,
α=120°。
4)、 4次对称轴，习惯符号L4，国际符号为4，n=4, α=90°。
5）、 6次对称轴，习惯符号L6，国际符号为6，n=6, α=60°。
立方晶体中所包含的的对称元素和数量最多；2个面
特点 14. 非晶态固体结构及性能
§ 2.1 晶体学基础
晶体学是以晶体为研究对象的一门自然科学；晶体学 的研究内容包括晶体生成学、几何晶体学、晶体结构学、 晶体化学和晶体物理学等。
1、晶体
（1）晶体的概念
固态物质按原子的聚集状态，可分为两类：晶体 与非晶体。
晶体：晶体是内部质点在三维空间成周期性重复 排列的固体，即晶体是具有格子构造的固体。
（2）对称要素和对称操作 对称要素是指在进行对称变换时所凭借的几何要
素—点、线、面等。晶体的对称要素可分为宏观和微观 两类。宏观对称要素反映出晶体外形和其宏观性质的对 称性。而微观对称要素与宏观对称要素配合运用就能反 映出晶体中原子排列的对称性。
宏观对称要素：
对称中心 对称面 对称轴 旋转-反伸轴 旋转-反映轴
对称中心
图2-1 对称中心
对称中心：是一个假想 的点，相应的对称操作是
对此点的反伸，该点用C
表示。 一个有对称中心的图形， 其相对应的面、棱、角都 体现为反向平行。其晶面 必定是两两平行而相等的。
对称面
面 作镜像反映而能复原，则该
平面称为对称面或镜面，用P
表示。 对称面垂直并平分晶面； 对称面垂直晶棱并能通过它 的中点；对称面包含晶棱。 在晶体中存在对称面，最 多可达9个。在描述对称面时， 把对称面的数目写在P的前面， 如立方体有9个对称面，写作 9P.
旋转-反映轴
旋转-反映轴：若晶体绕某一轴旋转一定角度(360/n)， 再通过某一平面作镜像反映而能复原，此轴称为回转-
反映轴，用Lsn表示 。
图2-7 回转-反映轴的对称操作
微观对称元素：
平移轴 滑移面 螺旋轴
平移轴：平移轴是一条直线，图形沿该直线移动一定 距离，使图形的相等部分重复。
能使图形复原的最小平移距离，称为平移轴的移距。
对称轴
图2-3 对称轴
对称轴:对称轴的对称操作是绕对称 轴旋转。当晶体绕某一轴旋转一定角 度后，能使图形的等同部分重复。旋 转一周重复的次数，称为轴次，用n 表示，重复时所旋转的最小角度称为 基转角，用α表示（n=360⁰/α)。 在旋转一周的过程中，晶体能复原
n次，就称为n次对称轴，用Ln表示。
异向性，晶体与非晶体由于原子排列不同在性能 上出现较大的差异，即晶体具有各向异性，如下表:
表2-1 单晶体的各向异性
弹性模量 (MPa) 抗拉强度 (MPa) 类别
延伸率 (%)
最大 最小 最大 最小 最大 最小
3 L44 L36 L29PC
旋转-反伸轴
旋转-反伸轴:若晶体绕某一轴旋转一定角度(360/n)， 再以轴上的一个中心点作反演之后能得到复原时，此
轴称为旋转－反伸轴，用Lin表示 。
图2-5 具有Li4的四面体（A）及其对称操作过程（B,C）
图2-6 旋转-反伸轴 A-Li1 B-Li2 C-Li3 D-Li4 E-Li6
6. 3种典型金属晶体结构的晶体学特点 7. 晶体中原子的堆垛方式和间隙类型 8. 固溶体的分类及其结构特点 9. 中间相的分类及其结构特点 10. 离子晶体的结构规则 11. AB、AB2、A2B3、ABO3、 AB2O4型离
子晶体结构特点 12. 硅酸盐晶体结构特点 13. 聚合物晶态结构模型、晶体形态及结构
材料的结构
（17学时）
[教学内容]
§2.1 晶体学基础
§2.2 金属的晶体结构
§2.3 离子晶体
§2.4 高分子材料结构
§2.5 非晶态固体结构
[重点掌握]
1. 晶体的对称元素 2. 晶胞的选取原则 3. 晶向指数、晶面指数、晶面间距 4. 7大晶系，14种布拉菲空间点阵的
特征 5. 极射投影与Wuff网
（2）晶体的基本性质
均一性，指晶体内部化学组成和物理性质（密度、比 重、热导性、膨胀性等）的等同。
对称性，指晶体内的相同部分（如外形上相同的晶面、 晶棱、晶角，内部结构中相同的面网、行列或原子、离 子等）或性质，能够在不同方向或位置上有规律的重复 出现的特性。
自范性，或称自限性，指晶体能自发形成封闭的凸几 何多面体外形的特性。
晶体宏观对称只能存在1，2，3，4， 6共5中对称轴，不存在5次及高于6次 的对称轴。 注意：该轴线定要通过晶格单元的 几何中心，且位于该几何中心与角顶 或棱边的中心或面心的连线上。
图2-4 具有L2， L3， L4和 L6对称轴的图形（从左至右）
1）、 1次对称轴，习惯符号L1，国际符号为1，n=1,
中心线存在一个L4，共6个面，有3个L4；两个角顶联线 是一个L3，共有8个角顶，存在4个L3；两条棱中点联线 是一个L2，共有12条棱，存在6个L2；垂直晶面和通过晶
棱中点并彼此相互垂直的3个对称面，一对晶棱垂直斜 切晶面的6个对称面，共9个对称面。立方体中心是一个 对称中心。所以立方体几何对称性可以组合成：
滑移面
滑移面，混合的对称要素，一个假想的平面和平行此 平面的某一直线方向。对称操作过程是先对此平面反映 后，再沿平行于此平面的某个方向上平移一定距离；也 可以先平移，后反映，同样能够重复。 滑移面按滑移的方向和距离可以分为a、b、c、n、d 5 种情况。（课本第35页图2-17）
滑移面a、b、c表示其滑移方向分别平行于晶体a、b、 c轴，滑移的距离是结点距离的一半（T/2).
Cu 191000 66700 346 128
55
10
α- Fe 293000 125000 225 158
80
20
Mg 50600 42900 840 294 220
20
2. 晶体的对称性
（1）对称的概念 对称是指物体中相同部分之间的有规律重复；对称 变化又称对称操作，是指能使对称物体各相同部分 作有规律重复的变化动作。
α=360°。
2）、 2次对称轴，习惯符号L2，国际符号为2，n=2,
α=180°。
3) 、 3次对称轴，习惯符号L3，国际符号为3，n=3,
α=120°。
4)、 4次对称轴，习惯符号L4，国际符号为4，n=4, α=90°。
5）、 6次对称轴，习惯符号L6，国际符号为6，n=6, α=60°。
立方晶体中所包含的的对称元素和数量最多；2个面
特点 14. 非晶态固体结构及性能
§ 2.1 晶体学基础
晶体学是以晶体为研究对象的一门自然科学；晶体学 的研究内容包括晶体生成学、几何晶体学、晶体结构学、 晶体化学和晶体物理学等。
1、晶体
（1）晶体的概念
固态物质按原子的聚集状态，可分为两类：晶体 与非晶体。
晶体：晶体是内部质点在三维空间成周期性重复 排列的固体，即晶体是具有格子构造的固体。
（2）对称要素和对称操作 对称要素是指在进行对称变换时所凭借的几何要
素—点、线、面等。晶体的对称要素可分为宏观和微观 两类。宏观对称要素反映出晶体外形和其宏观性质的对 称性。而微观对称要素与宏观对称要素配合运用就能反 映出晶体中原子排列的对称性。
宏观对称要素：
对称中心 对称面 对称轴 旋转-反伸轴 旋转-反映轴
对称中心
图2-1 对称中心
对称中心：是一个假想 的点，相应的对称操作是
对此点的反伸，该点用C
表示。 一个有对称中心的图形， 其相对应的面、棱、角都 体现为反向平行。其晶面 必定是两两平行而相等的。
对称面
面 作镜像反映而能复原，则该
平面称为对称面或镜面，用P
表示。 对称面垂直并平分晶面； 对称面垂直晶棱并能通过它 的中点；对称面包含晶棱。 在晶体中存在对称面，最 多可达9个。在描述对称面时， 把对称面的数目写在P的前面， 如立方体有9个对称面，写作 9P.
旋转-反映轴
旋转-反映轴：若晶体绕某一轴旋转一定角度(360/n)， 再通过某一平面作镜像反映而能复原，此轴称为回转-
反映轴，用Lsn表示 。
图2-7 回转-反映轴的对称操作
微观对称元素：
平移轴 滑移面 螺旋轴
平移轴：平移轴是一条直线，图形沿该直线移动一定 距离，使图形的相等部分重复。
能使图形复原的最小平移距离，称为平移轴的移距。
对称轴
图2-3 对称轴
对称轴:对称轴的对称操作是绕对称 轴旋转。当晶体绕某一轴旋转一定角 度后，能使图形的等同部分重复。旋 转一周重复的次数，称为轴次，用n 表示，重复时所旋转的最小角度称为 基转角，用α表示（n=360⁰/α)。 在旋转一周的过程中，晶体能复原
n次，就称为n次对称轴，用Ln表示。