MathCAD在水利设计中的应用
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广州水利
2005 年第四期
MathCAD 在水利设计中的应用
梁 波
510800）
（广州市花都区水利局，广州
摘
要： MathCAD 是一个集数理计算、图形和文字处理等功能于一体的数学软件，在各个领域都有着 广泛的应用， 本文以水库调洪演算和构件配筋计算两个例子介绍了 MathCAD 在水利设计工作中 的应用。
①式是 根据各点水 位(zz)和库 容(v) 值求 出各点
广州水利
3
2005 年第四期
:= 10 + 1.6 ⋅ 45 ⋅ ( z − 116 )
2
水库下泄流 q ( z )
800
入库、出库流量过程线
入库、出库流量
（4）建立库水面积、库容微分方程
A ( z) := d dz V ( z)
( n) QT (t ) 400 n
2
∆t −
q1 + q 2 75 0.5
2
∆t = V 80
− V1 90 23.0
期按水轮机过水能力 10m3/s 引水发电。该水库的水 位库容关系为： 95 45.0 100 77.5 105 119 115 234 125 401
库水位 z（m） 库容 V（10 m ）
6 3
85 10.0
4.0
水库的水位～库容关系曲线就可以用以下的三 次样条插值函数来拟合： VS:=lspline(zt,v) V(z):=interp(VS,zt,v,z) 的二阶导数值 VS。 ②式是根据各点的二阶导数值 VS，各点的水位 和库容值，求出任一水位(z)对应的库容 V(z)值。 （3） 、建立水库水位、下泄量函数 ① ②
（6）计算结果 以上步骤编辑完成以后， MathCAD 便自动进行 计算，并显示出计算结果
流溪河花干渠三面光渠道设计断面过流能力计算: 已知： 渠道底宽： 渠道糙率： 渠道水深： B :=
5 .015 2.0
边坡系数： 渠道坡降：
m i :=
:=
1.5 0.001
n := h :=
按明渠均匀流的流量公式进行计算： 过流面积： 湿周： 水力半径： A := (B B := + A x
1
+ m ⋅h ) ⋅h
q z
200
600
（5）建立水量平衡方程 取计算时段△t 为 1 小时（3600 秒） ，总时间为 108 小时，起调水位为 116m
0
n := 1 .. 108
tn := n − 1
t109 := 108
z1 := 116
0
36
72
108
t
QT (tn) − q ( zn) zn + 1 := ⋅ (tn+ 1 − tn) ⋅ 3600 + zn 6 A (zn ) ⋅10
度较慢的问题，而且可以与其它字处理软件（如： WORD、WPS）配合使用，方便地进行设计说明书 的排版，甚至直接生成计算书打印出来，完美的在 一张工作文件中将公式、文字、图表等结合在一起， 再也不需要在多个软件间来回复制、粘贴、切换， 当你设计完成你的计算过程的同时，报告也同时为 你准备妥当了。如上面的例子，我们可以在 MathCAD 环境下生成如下的计算书：
设计洪水过程线为 0 t（小时） 3 10 Q（m /s）
12 140
24 710
36 279
48 131
60 65
72 32
84 15
96 10
试推求设计洪水位、最大下泄量和最大库容。 操作步骤如下： （1） 、对设计入库洪水过程线进行线性插值 入库洪水流量是时间的序列，可把入库洪水过 程线定义为线性插值函数，对与时间 t 相对应的入 库流量 Q 进行线性插值：QT（x） ：＝linterp（t，Q， x） x:：＝0..9 （2）建立水位～库容关系曲线拟合函数
MathCAD 还具有强大的图形功能，不仅能画 平面直角坐标系图形，而且可以画极坐标系图形以 及各种三维图形，同时可以读取图形中任一点的坐 标值。在水利工程中我们一般常用到 MathCAD 的
广州水利
2005 年第四期
3、应用实例 下面以某水库的调洪验算和矩形截面大偏心受 压配筋计算为例探讨 MathCAD 在水利计算中的应 用。 3.1 开敞式溢洪道的水库调洪计算 3.1.1 开敞式溢洪道的水库调洪原理 开敞式溢洪道的调洪是水库调洪的基本方式， 在水库规划设计的情况下，常假设洪水来临时库水 位正好与堰顶齐平。 洪水刚入库的瞬间泄流量为零， 随着入库流量的加大，库水位随之上涨，堰顶水深 加大，下泄流量也随着增大。当泄流量与同一时刻 的入库流量相等时，水库具有最大的蓄洪量及相应 的最高堰顶水位和最大下泄流量。随着入库流量小 于同一时刻的下泄流量，库水位和下泄流量也随之 逐渐减小，直至水位恢复到堰顶高程，这次调洪过 程即告结束。 水库调洪是在水量平衡和动力平衡的支配下进 行的，水量平衡可表示为水库水量平衡方程，动力 平衡可由水库蓄泄方程（或蓄泄曲线）来反映。从 起调开始，逐时段连续求解这两个方程，即可由入 库流量过程 Q~t 求得出库流量过程 q～t。 （1） 、水库水量平衡方程 在某一时段△t 内，入库水量减去出库水量，应 等于该时段内水库增加或减少的蓄水量。 Q1 + Q 2
关键词：MathCAD
水利
设计 应用
用到 MathCAD 的公式计算功能，就会发现只要将 计算公式及已知数值输入进去，MathCAD 已经帮 我们计算出了答案，无须考虑中间运算过程，也不 要去设计算法和编制程序。 现在还有很多设计人员用 WORD 写计算稿， 用 EXCEL 来进行计算，但 EXCEL 计算极易出错，主 要原因是它的计算过程是隐蔽的，公式隐藏在单元 格中，错漏不易发现。而 MathCAD 的整个计算过 程一目了然， 在写计算稿的同时也完成了计算处理， 而且它的规则和数学中的习惯是一样的，和其它程 序相比更容易上手。 如在流溪河花干渠三面光整治工程中，需对渠 道断面进行设计： 已知梯形渠道底宽 B= 5.0 ， 边坡系数 m = 1.5 , 渠道坡降 i = 0.001， 糙率 n = 0.015， 求水深 h = 1.5 m 时的过流量 Q 值。 我们只需在版面按照明渠均匀流 的计算公式输入：
时间
n
3.2 矩形截面偏心受压构件配筋计算 在配筋计算中，经常会碰到非线性方程组，求 解非线性方程组是一件比较困难的事情，一般的求 解方法为数值计算法、图表法或电算程序。如果利 用 MathCAD 内置的方程组求解函数 Given—Find （x，y，z． ． ． ． ）模块进行求解，则非常方便。 例 2： 某矩形偏心受压柱， 截面尺寸 b×h＝400 × 600mm ， 内 力 设 计 值 N ＝ 525kN ， 偏 心 矩 e0=600mm，h0＝560mm，采用 C20 混凝土，Ⅱ级钢 筋，试配置该柱钢筋。 解：e0=600mm>0.3 h0=168mm，按大偏心受压设计， 操作步骤如下： 输入已知条件： B:=400 fy:=310 rd:=1.2 经计算得η e0=647mm ， e＝909mm ，x ＝ζbh0 ＝0.544×560＝304.64mm h:=600 e0:=600 h0:=560 fc:=10 fy1:=310
二维平面直角坐标系图形，只要输入要创建图形的 函数、数学表达式或数据集合，按@键，在位标处 填入变量名，就可以生成相应的图形，而且图形可 以随变量值的改变而即时变化。 以上都是 MathCAD 的一些基本的功能在 水利计算方面的一些应用，除此之外，它的符号运 算、微积分方程解析、方程组求解、数理统计、矩 阵运算以及自定义函数等功能运用在水利方面，几 乎可以解决常见的计算问题，如水文水利计算方面 的调洪演算、水面线推算、有压无压流计算、土坝 浸润线计算，结构计算方面的内力计算、配筋计算、 承载力验算等等。
2
式中：△t——计算时段； Q1、Q2——时段△t 始、末的入库流量； q1、q2——时段△t 始、末的出库流量； V1、V2——时段△t 始、末的水库蓄水量。 （2）水库蓄泄方程 当泄洪建筑物的型式、尺寸一定时，泄流能力 仅取决于泄洪设施的水头或水库蓄水量。对于开敞 式溢洪道，其泄流能力可按下面的堰流公式计算： q＝M1BH03/2 式中：q——溢洪道泄洪能力； H0—— 考虑 行 近 流速 v 的 堰顶 水头 ， H0 ＝ H+v2/2g。 水库的 v 一般较小， v2/2g 常 可忽略不计， 故 H0 可近似等于堰顶水 深 H； B——溢流堰净宽； M1——溢流系数，其值取决于溢流堰型式。 要逐时段进行水量平衡和动力平衡运算，一般 常用的方法有试算法、 半图解法和简化三角形法等， 运 用 起 来 比较 烦 琐 且 精 度 不 高 ， 我 们 可 以 利 用 MathCAD 的方程计算功能轻松地对这两个方程进 行连续求解。 3.1.2、应用 MathCAD 进行水库调洪计算 例：某水库溢洪建筑物为开敞式溢洪道，其堰 顶高程与正常蓄水位齐平，为 116m，堰顶净宽 B＝ 45m，溢流系数 M1＝1.6。水库设有小型水电站，汛
2
Leabharlann Baidu
A m =
2
=
16 12.211
x := R
⋅h ⋅
1
+ R
x =
1.31
谢才系数： 过流量： 渠道流速：
C Q
:= := v :=
R n
6
C R ⋅i
= Q v
69.738
A ⋅C ⋅ Q A
= =
40.39
2.524
我们可以将以上的计算书版面保存成模板，以 后凡遇到相同的计算问题，只要将有关数据改动一 下，就可马上得出想要的结果，非常方便。 MathCAD 内置了功能强大的函数库，能方便 地解决一些复杂的数学问题。在水利方面，比较有 用的有拟合函数、插值函数和统计函数、矢量和矩 阵函数等。 例如水库的水位库容关系曲线就可以用以下的 三次样条插值函数来拟合： VS:=Lspline(zz,v) V(z):=Interp(VS,zz,v,z) ① ②
B := 5 m := 1.5 i := 0.001 n := 0.015
2
1、概述 MathCAD 即数学 CAD ， 是美国 Mathsoft 公司 1986 年推出的一个功能很强的交互式应用数学软 件，早期版本运行于 Dos 环境， 4.0 版后运行于 Windovs 环境，以后陆续推出了 5.0、6.0、7.0、8.0、 2000、2001 版本，最新版本是 MathCAD12 版。 MathCAD 是一个集成软件包，它集数理计算、 图形和文字处理等功能于一体，把电子制表软件的 活动文档界面和字处理软件的所见即所得界面结合 起来，加上功能强大的内置函数库，从而能方便直 观地解决 数学 问题 和数学 在各种 学 科中 的应用 问 题，如数据分析与处理、过程模拟、工程设计和科 学计算等问题。MathCAD 的使用操作十分简单，充 分体现了交互式的特点， 无需写出繁琐的中间过程， 不要求用户具有精深的计算机知识，对于任何具有 一定数学知识的人，都可以十分容易地学会使用。 因此，在水利工程设计过程中的很多计算问题都可 以应用 MathCAD 轻松解决。 2、MathCAD 在设计中的基本应用 水利 工程设 计 方 面 经常要接触到各种 计算公 式，有时甚至是几个复杂的公式才能算出结果。虽 然人们已经编写出了很多现成的计算软件，如：挡 土墙稳定计算程序、调洪演算程序等。但其都是针 对某一问题而定制的，灵活性较差，数据输入、输 出比较麻烦，应用起来也不尽如人意。如果我们应
h := 1.5 R := A x
A := ( B + m⋅ h ) ⋅ h
1
x := B + 2⋅ h ⋅ 1 + m
C :=
R
6
n
Q := A ⋅ C⋅ R ⋅ i
然后打入 Q =
; 即可得出答案
Q =23.607。
MathCAD 的公式是“活”的， 能始终跟踪我们对 算式所做的任何修改，并且自动更新答案。如我们 将 h =1.5 改成 h = 2.0 就可以即时看到流量 Q 的数值
广州水利
2005 年第四期
发生了变化：Q = 40.39 使用这个功能，我们可以把 MathCAD 当成草 稿纸来 使用， 通过不断调 整参 数值来 达到 快速 “试 算”的目的， 这对于我们在水力学公式计算中经常头 疼的试算问题来说无疑是一大福音。 MathCAD 还是目前世界上最出色的全屏幕公 式编辑器，在 MathCAD 里输入数学公式不仅和书 写一样方便，基本上解决了数学公式录入烦琐和速
2005 年第四期
MathCAD 在水利设计中的应用
梁 波
510800）
（广州市花都区水利局，广州
摘
要： MathCAD 是一个集数理计算、图形和文字处理等功能于一体的数学软件，在各个领域都有着 广泛的应用， 本文以水库调洪演算和构件配筋计算两个例子介绍了 MathCAD 在水利设计工作中 的应用。
①式是 根据各点水 位(zz)和库 容(v) 值求 出各点
广州水利
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2005 年第四期
:= 10 + 1.6 ⋅ 45 ⋅ ( z − 116 )
2
水库下泄流 q ( z )
800
入库、出库流量过程线
入库、出库流量
（4）建立库水面积、库容微分方程
A ( z) := d dz V ( z)
( n) QT (t ) 400 n
2
∆t −
q1 + q 2 75 0.5
2
∆t = V 80
− V1 90 23.0
期按水轮机过水能力 10m3/s 引水发电。该水库的水 位库容关系为： 95 45.0 100 77.5 105 119 115 234 125 401
库水位 z（m） 库容 V（10 m ）
6 3
85 10.0
4.0
水库的水位～库容关系曲线就可以用以下的三 次样条插值函数来拟合： VS:=lspline(zt,v) V(z):=interp(VS,zt,v,z) 的二阶导数值 VS。 ②式是根据各点的二阶导数值 VS，各点的水位 和库容值，求出任一水位(z)对应的库容 V(z)值。 （3） 、建立水库水位、下泄量函数 ① ②
（6）计算结果 以上步骤编辑完成以后， MathCAD 便自动进行 计算，并显示出计算结果
流溪河花干渠三面光渠道设计断面过流能力计算: 已知： 渠道底宽： 渠道糙率： 渠道水深： B :=
5 .015 2.0
边坡系数： 渠道坡降：
m i :=
:=
1.5 0.001
n := h :=
按明渠均匀流的流量公式进行计算： 过流面积： 湿周： 水力半径： A := (B B := + A x
1
+ m ⋅h ) ⋅h
q z
200
600
（5）建立水量平衡方程 取计算时段△t 为 1 小时（3600 秒） ，总时间为 108 小时，起调水位为 116m
0
n := 1 .. 108
tn := n − 1
t109 := 108
z1 := 116
0
36
72
108
t
QT (tn) − q ( zn) zn + 1 := ⋅ (tn+ 1 − tn) ⋅ 3600 + zn 6 A (zn ) ⋅10
度较慢的问题，而且可以与其它字处理软件（如： WORD、WPS）配合使用，方便地进行设计说明书 的排版，甚至直接生成计算书打印出来，完美的在 一张工作文件中将公式、文字、图表等结合在一起， 再也不需要在多个软件间来回复制、粘贴、切换， 当你设计完成你的计算过程的同时，报告也同时为 你准备妥当了。如上面的例子，我们可以在 MathCAD 环境下生成如下的计算书：
设计洪水过程线为 0 t（小时） 3 10 Q（m /s）
12 140
24 710
36 279
48 131
60 65
72 32
84 15
96 10
试推求设计洪水位、最大下泄量和最大库容。 操作步骤如下： （1） 、对设计入库洪水过程线进行线性插值 入库洪水流量是时间的序列，可把入库洪水过 程线定义为线性插值函数，对与时间 t 相对应的入 库流量 Q 进行线性插值：QT（x） ：＝linterp（t，Q， x） x:：＝0..9 （2）建立水位～库容关系曲线拟合函数
MathCAD 还具有强大的图形功能，不仅能画 平面直角坐标系图形，而且可以画极坐标系图形以 及各种三维图形，同时可以读取图形中任一点的坐 标值。在水利工程中我们一般常用到 MathCAD 的
广州水利
2005 年第四期
3、应用实例 下面以某水库的调洪验算和矩形截面大偏心受 压配筋计算为例探讨 MathCAD 在水利计算中的应 用。 3.1 开敞式溢洪道的水库调洪计算 3.1.1 开敞式溢洪道的水库调洪原理 开敞式溢洪道的调洪是水库调洪的基本方式， 在水库规划设计的情况下，常假设洪水来临时库水 位正好与堰顶齐平。 洪水刚入库的瞬间泄流量为零， 随着入库流量的加大，库水位随之上涨，堰顶水深 加大，下泄流量也随着增大。当泄流量与同一时刻 的入库流量相等时，水库具有最大的蓄洪量及相应 的最高堰顶水位和最大下泄流量。随着入库流量小 于同一时刻的下泄流量，库水位和下泄流量也随之 逐渐减小，直至水位恢复到堰顶高程，这次调洪过 程即告结束。 水库调洪是在水量平衡和动力平衡的支配下进 行的，水量平衡可表示为水库水量平衡方程，动力 平衡可由水库蓄泄方程（或蓄泄曲线）来反映。从 起调开始，逐时段连续求解这两个方程，即可由入 库流量过程 Q~t 求得出库流量过程 q～t。 （1） 、水库水量平衡方程 在某一时段△t 内，入库水量减去出库水量，应 等于该时段内水库增加或减少的蓄水量。 Q1 + Q 2
关键词：MathCAD
水利
设计 应用
用到 MathCAD 的公式计算功能，就会发现只要将 计算公式及已知数值输入进去，MathCAD 已经帮 我们计算出了答案，无须考虑中间运算过程，也不 要去设计算法和编制程序。 现在还有很多设计人员用 WORD 写计算稿， 用 EXCEL 来进行计算，但 EXCEL 计算极易出错，主 要原因是它的计算过程是隐蔽的，公式隐藏在单元 格中，错漏不易发现。而 MathCAD 的整个计算过 程一目了然， 在写计算稿的同时也完成了计算处理， 而且它的规则和数学中的习惯是一样的，和其它程 序相比更容易上手。 如在流溪河花干渠三面光整治工程中，需对渠 道断面进行设计： 已知梯形渠道底宽 B= 5.0 ， 边坡系数 m = 1.5 , 渠道坡降 i = 0.001， 糙率 n = 0.015， 求水深 h = 1.5 m 时的过流量 Q 值。 我们只需在版面按照明渠均匀流 的计算公式输入：
时间
n
3.2 矩形截面偏心受压构件配筋计算 在配筋计算中，经常会碰到非线性方程组，求 解非线性方程组是一件比较困难的事情，一般的求 解方法为数值计算法、图表法或电算程序。如果利 用 MathCAD 内置的方程组求解函数 Given—Find （x，y，z． ． ． ． ）模块进行求解，则非常方便。 例 2： 某矩形偏心受压柱， 截面尺寸 b×h＝400 × 600mm ， 内 力 设 计 值 N ＝ 525kN ， 偏 心 矩 e0=600mm，h0＝560mm，采用 C20 混凝土，Ⅱ级钢 筋，试配置该柱钢筋。 解：e0=600mm>0.3 h0=168mm，按大偏心受压设计， 操作步骤如下： 输入已知条件： B:=400 fy:=310 rd:=1.2 经计算得η e0=647mm ， e＝909mm ，x ＝ζbh0 ＝0.544×560＝304.64mm h:=600 e0:=600 h0:=560 fc:=10 fy1:=310
二维平面直角坐标系图形，只要输入要创建图形的 函数、数学表达式或数据集合，按@键，在位标处 填入变量名，就可以生成相应的图形，而且图形可 以随变量值的改变而即时变化。 以上都是 MathCAD 的一些基本的功能在 水利计算方面的一些应用，除此之外，它的符号运 算、微积分方程解析、方程组求解、数理统计、矩 阵运算以及自定义函数等功能运用在水利方面，几 乎可以解决常见的计算问题，如水文水利计算方面 的调洪演算、水面线推算、有压无压流计算、土坝 浸润线计算，结构计算方面的内力计算、配筋计算、 承载力验算等等。
2
式中：△t——计算时段； Q1、Q2——时段△t 始、末的入库流量； q1、q2——时段△t 始、末的出库流量； V1、V2——时段△t 始、末的水库蓄水量。 （2）水库蓄泄方程 当泄洪建筑物的型式、尺寸一定时，泄流能力 仅取决于泄洪设施的水头或水库蓄水量。对于开敞 式溢洪道，其泄流能力可按下面的堰流公式计算： q＝M1BH03/2 式中：q——溢洪道泄洪能力； H0—— 考虑 行 近 流速 v 的 堰顶 水头 ， H0 ＝ H+v2/2g。 水库的 v 一般较小， v2/2g 常 可忽略不计， 故 H0 可近似等于堰顶水 深 H； B——溢流堰净宽； M1——溢流系数，其值取决于溢流堰型式。 要逐时段进行水量平衡和动力平衡运算，一般 常用的方法有试算法、 半图解法和简化三角形法等， 运 用 起 来 比较 烦 琐 且 精 度 不 高 ， 我 们 可 以 利 用 MathCAD 的方程计算功能轻松地对这两个方程进 行连续求解。 3.1.2、应用 MathCAD 进行水库调洪计算 例：某水库溢洪建筑物为开敞式溢洪道，其堰 顶高程与正常蓄水位齐平，为 116m，堰顶净宽 B＝ 45m，溢流系数 M1＝1.6。水库设有小型水电站，汛
2
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A m =
2
=
16 12.211
x := R
⋅h ⋅
1
+ R
x =
1.31
谢才系数： 过流量： 渠道流速：
C Q
:= := v :=
R n
6
C R ⋅i
= Q v
69.738
A ⋅C ⋅ Q A
= =
40.39
2.524
我们可以将以上的计算书版面保存成模板，以 后凡遇到相同的计算问题，只要将有关数据改动一 下，就可马上得出想要的结果，非常方便。 MathCAD 内置了功能强大的函数库，能方便 地解决一些复杂的数学问题。在水利方面，比较有 用的有拟合函数、插值函数和统计函数、矢量和矩 阵函数等。 例如水库的水位库容关系曲线就可以用以下的 三次样条插值函数来拟合： VS:=Lspline(zz,v) V(z):=Interp(VS,zz,v,z) ① ②
B := 5 m := 1.5 i := 0.001 n := 0.015
2
1、概述 MathCAD 即数学 CAD ， 是美国 Mathsoft 公司 1986 年推出的一个功能很强的交互式应用数学软 件，早期版本运行于 Dos 环境， 4.0 版后运行于 Windovs 环境，以后陆续推出了 5.0、6.0、7.0、8.0、 2000、2001 版本，最新版本是 MathCAD12 版。 MathCAD 是一个集成软件包，它集数理计算、 图形和文字处理等功能于一体，把电子制表软件的 活动文档界面和字处理软件的所见即所得界面结合 起来，加上功能强大的内置函数库，从而能方便直 观地解决 数学 问题 和数学 在各种 学 科中 的应用 问 题，如数据分析与处理、过程模拟、工程设计和科 学计算等问题。MathCAD 的使用操作十分简单，充 分体现了交互式的特点， 无需写出繁琐的中间过程， 不要求用户具有精深的计算机知识，对于任何具有 一定数学知识的人，都可以十分容易地学会使用。 因此，在水利工程设计过程中的很多计算问题都可 以应用 MathCAD 轻松解决。 2、MathCAD 在设计中的基本应用 水利 工程设 计 方 面 经常要接触到各种 计算公 式，有时甚至是几个复杂的公式才能算出结果。虽 然人们已经编写出了很多现成的计算软件，如：挡 土墙稳定计算程序、调洪演算程序等。但其都是针 对某一问题而定制的，灵活性较差，数据输入、输 出比较麻烦，应用起来也不尽如人意。如果我们应
h := 1.5 R := A x
A := ( B + m⋅ h ) ⋅ h
1
x := B + 2⋅ h ⋅ 1 + m
C :=
R
6
n
Q := A ⋅ C⋅ R ⋅ i
然后打入 Q =
; 即可得出答案
Q =23.607。
MathCAD 的公式是“活”的， 能始终跟踪我们对 算式所做的任何修改，并且自动更新答案。如我们 将 h =1.5 改成 h = 2.0 就可以即时看到流量 Q 的数值
广州水利
2005 年第四期
发生了变化：Q = 40.39 使用这个功能，我们可以把 MathCAD 当成草 稿纸来 使用， 通过不断调 整参 数值来 达到 快速 “试 算”的目的， 这对于我们在水力学公式计算中经常头 疼的试算问题来说无疑是一大福音。 MathCAD 还是目前世界上最出色的全屏幕公 式编辑器，在 MathCAD 里输入数学公式不仅和书 写一样方便，基本上解决了数学公式录入烦琐和速