因式分解法(十字相乘法)知识讲解
因式分解——十字相乘法
因式分解——十字相乘法（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
思考：十字相乘有什么基本规律？例1.已知0＜a ≤5，且a 为整数，若223x x a ++能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a .解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax 2+bx+c ，都要求24b ac ∆=- >0而且是一个完全平方数。
于是98a ∆=-为完全平方数，1a =例2、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3=)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例3、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a(3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y(3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++ 例7、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x 练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：221288b ab a -- 分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
(完整版)初中化学十字相乘法因式分解
(完整版)初中化学十字相乘法因式分解
初中化学十字相乘法因式分解是化学学科中的一种常用的化学
式化简方法。
该方法适用于由多个化合物组成的复杂化合物的化学
式化简。
十字相乘法因式分解的基本原理是根据化学式中的原子元素的
数量和化合价，寻找可相乘的因子，从而达到分解化学式的目的。
下面将以化合物C6H12O6为例，详细介绍十字相乘法因式分
解的步骤：
1. 首先，找到化合物中各个原子元素的化合价。
在C6H12O6中，碳的化合价为4，氢的化合价为1，氧的化合价为2。
2. 根据化合物元素的化合价，找到可相乘的因子。
在
C6H12O6中，碳的化合价为4，氢的化合价为1，氧的化合价为2，可以得到因子4、1和2。
3. 将化合物中各个原子元素的数量进行配平，使得因子的乘积
等于化合物中各个原子元素的数量。
在C6H12O6中，碳的原子数
量为6，氢的原子数量为12，氧的原子数量为6。
可得到化合物的
化学式化简为(CH2O)6。
以上就是初中化学十字相乘法因式分解的基本步骤和操作方法。
通过这种方法，可以将复杂化合物的化学式简化为更为简洁和清晰
的形式，便于研究和理解。
因式分解-十字相乘法
因式分解-十字相乘法一、十字相乘法分解因式十字相乘法：有些二次三项式，可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积，然后借助画十字交叉线的方法，把二次三项式进行因式分解，这种方法叫十字相乘法。
简单的说十字相乘法就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
注意：十字相乘法不是适合所有二次三项式，只有在一次项系数和二次项系数以及常数项存在一种特殊关系时才能用，这个特殊关系我们通过例题来说明：1、首项系数是1的二次三项式的因式分解，我们学习了多项式的乘法，即()()()x a x b x a b x ab ++=+++2将上式反过来，()()()x a b x ab x a x b 2+++=++得到了因式分解的一种方法——十字相乘法，用这种方法来分解因式的关键在于确定上式中的a 和b ，例如，为了分解因式x px q 2++，就需要找到满足下列条件的a 、b ；a b pab q +==⎧⎨⎩如把762-+x x 分解因式，首先要把二次项系数2x 分成x x ⨯，常数项-7分成)1(7-⨯，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项，右边两个数的积为常数项。
交叉相乘的和为x x x 67)1(=⨯+-⨯，正好是一次项。
从而)1)(7(762-+=-+x x x x 。
2、二次项系数不为1的二次三项式的因式分解二次三项式ax bx c 2++中，当a ≠1时，如何用十字相乘法分解呢？分解思路可归纳为“分两头，凑中间”，例如，分解因式2762x x -+，首先要把二次项系数2分成1×2，常数项6分成()()-⨯-23，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项系数。
右边两个数相乘为常数项，交叉相乘的和为()()13227⨯-+⨯-=-，正好是一次项系x =-+762x )1)(7(-+x x xx⇓⨯⇓71-xx x 67=+-数，从而得()()2762232x x x x -+=--。
(完整版)十字相乘法分解因式的讲解与练习
十字相乘法分解因式一、学习目标 1、能记住十字相乘法2、会运用十字相乘法分解因式（重点） 二、知识复习1．二次三项式（1）多项式c bx ax ++2，称为字母 的二次三项式，其中 称为二次项， 为一次项， 为常数项．例如：322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．（2）在多项式2286y xy x +-中，如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式；如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式．（3）在多项式37222+-ab b a 中，把 看作一个整体，即 ，就是关于- 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把 看作一个整体，就是关于 的二次三项式． 2．十字相乘法的依据和具体内容(1)对于二次项系数为1的二次三项式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同； 当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． (2)对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项； 常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同； 常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母． 三、典型例题[例1] 把下列各式因式分解。
（1）3722+-x x （2）5762--x x （3）22865y xy x -+解：（1）)12)(3(3722--=+-x x x x1231--7)1(1)3(2-=-⨯+-⨯（2）)53)(12(5762-+=--x x x x5312-713)5(2-=⨯+-⨯（3）)45)(2(86522y x y x y xy x -+=-+yy4521-y y y 6)2(5)4(1=⨯+-⨯ 四、当堂检测1、把下列各式分解因式：（1）22157x x ++ （2） 2384a a -+- （3） 2576x x +- （4）261110y y -- （5）1032+--x x （6）652--m m二、分解因式1. 2252310a b ab +- 2. 222231710a b abxy x y -+ 3. 22712x xy y -+ 4.42718x x +- 5.22483m mn n ++。
十字相乘因式分解法
十字相乘因式分解法摘要：一、引言二、十字相乘法的基本概念1.什么是十字相乘法2.十字相乘法的符号表示三、十字相乘法的应用1.分解单项式2.分解多项式四、十字相乘法的优势与局限1.优势2.局限五、结论正文：一、引言十字相乘法是一种常用的因式分解方法，尤其在初中阶段数学学习中占据着重要地位。
本文将对十字相乘法进行详细介绍，包括其基本概念、应用以及优势与局限。
二、十字相乘法的基本概念1.什么是十字相乘法十字相乘法是一种因式分解方法，主要用于分解二次多项式。
具体操作步骤如下：首先，将二次多项式的二次项系数a、常数项b和一次项系数c、d分别填入一个十字形的四个格子中（如下所示）。
```c da |b | a b|-------|-------| c d | c d```然后，根据a、b、c、d的值，利用乘法分配律进行计算，得出两个括号中的表达式。
最后，将这两个括号中的表达式相乘，即可得到原二次多项式的因式分解式。
2.十字相乘法的符号表示我们可以用如下符号表示十字相乘法：```(ax + b)(cx + d) = acx^2 + (ad + bc)x + bd```其中，a、b、c、d为常数，x为变量。
三、十字相乘法的应用1.分解单项式假设我们有一个单项式：ax^2 + bx + c。
我们可以先提取出公因式x，得到x(ax + b) + c。
然后，我们可以使用十字相乘法分解ax + b，从而得到单项式的因式分解式。
2.分解多项式十字相乘法主要用于分解二次多项式，如ax^2 + bx + c。
我们可以根据二次项系数a、常数项b和一次项系数c、d的值，将多项式表示为(ax + b)(cx + d)的形式。
然后，利用乘法分配律计算括号中的表达式，最后将两个括号中的表达式相乘，即可得到原二次多项式的因式分解式。
四、十字相乘法的优势与局限1.优势十字相乘法具有较高的实用价值，尤其在初中阶段数学学习中。
它可以帮助学生快速、准确地分解二次多项式，从而简化问题，便于求解。
因式分解 十字相乘法
实习医生发言稿
尊敬的领导、老师和各位同事：
大家好！我是XX医院的实习医生，很荣幸能有机会站在这里向
大家发表一下自己的看法和感受。
作为一名实习医生，我深知自己的责任重大，同时也深感自己
的不足之处。
在医院的实习期间，我不断地学习和进步，不断地提
高自己的专业水平和医疗技能。
我明白，作为一名医生，我们的职
责是保护患者的健康和生命，我们必须时刻保持专业素养和责任心，不断地提高自己的医疗水平，为患者提供更好的医疗服务。
在实习的过程中，我深刻地体会到了医生的辛苦和责任。
医生
不仅要有扎实的医学知识和丰富的临床经验，还要有高度的责任感
和敬业精神。
在面对病患和家属时，我们要保持沉着冷静，用专业
的知识和耐心去安抚他们的情绪，给予他们最大的关怀和帮助。
同时，我也深知自己的不足之处，还有很多需要学习和提高的
地方。
在今后的实习中，我会更加努力地学习，不断地提高自己的
医疗技能和专业水平，争取成为一名优秀的医生。
最后，我要感谢领导和老师对我的关心和指导，也要感谢各位同事的支持和帮助。
我会珍惜实习期间的每一次学习机会，努力做好自己的本职工作，为医院的发展贡献自己的力量。
谢谢大家！。
十字相乘法因式分解
汇报人：XX
汇报时间：20XX/XX/XX
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目录
CONTENTS
1 十字相乘法的概念 2 十字相乘法的应用 3 十字相乘法的步骤与技巧 4 十字相乘法的扩展应用 5 学习十字相乘法的建议
十字相乘法的概念
定义与公式
定义：十字相乘法是一 种因式分解方法，通过 将多项式分解为两个因 式的乘积，从而简化代 数式。
特点与优势
优势：便于理解和应用，简 化数学问题
特点：将多项式因式分解为 两个一次式的乘积
应用范围：适用于多项式的 因式分解
与其他因式分解方法的比较： 简单易懂，易于掌握
十字相乘法的应用
代数式因式分解
代数式因式分解的定义 十字相乘法的应用 代数式因式分解的步骤 代数式因式分解的注意事项
方程求解
适用于一元二次 方程的求解
简化计算过程， 提高解题效率
扩展到其他数学 领域，如代数方 程、分式方程等
在实际生活中广 泛应用于各种问 题求解
函数性质研究
函数图像的 对称性
函数的单调 性
函数的最值 问题函数Fra bibliotek周期 性十字相乘法的步骤与技巧
步骤解析
确定系数：将多项式的每一项的系数列出，并观察是否能够找到一个因数使其等于零。
验证：通过代入验证因式是 否成立，确保结果正确。
整理：将因式整理为标准形 式，便于后续计算。
注意事项
确保二次项系数为1，以便进行十字相乘 寻找合适的因数，使乘积等于常数项 注意符号问题，确保结果的正确性 熟练掌握因式分解的步骤和技巧，以便更好地应用十字相乘法
十字相乘法的扩展应用
与其他因式分解方法的结合
在实际生活中的应用
十字相乘法因式分解(经典全面)
十字相乘法分解因式(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例5、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例1、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式—— c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例2、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2（-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）多字母的二次多项式例3、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
因式分解(十字相乘法)
十字相乘法简单易懂，并且适用于各种类型的多项式。
十字相乘法步骤
1
步骤详解
2
2. 根据十字相乘法规则，将各项依次
相乘
3
实例演示
4
通过实例演示，展示十字相乘法的具 体步骤和计算过程。
步骤详解
1. 将多项式写成乘法形式
步骤详解
3. 将相乘得到的项合并并简化
练习及应用
练习题目
通过一些练习题，巩固因式分解和十字相乘法的 运用。
因式分解(十字相乘法)
因式分解是一种数学技巧，用于将一个多项式表达式拆分为两个或多个较简 单的因式。
基本概念介绍
什么是因式分解
因式分解是将一个复杂的代数式拆解成较简单的乘积形式。
因式分解的应用场景
因式分解在代数方程、因子分析和问题求解中具有广泛的应用。
十字相乘法原理
1 原理概述
十字相乘法是一种用于因式分解的方法，通过交叉相乘求得多项式的因子。
推广因式分解的学习方法和技巧，提供应用建议并鼓励学生探索更多数学概念。
பைடு நூலகம்
应用案例
介绍一些实际问题，在解决这些问题中应用因式 分解和十字相乘法。
常见问题解答
1 常见问题梳理
整理并解答关于因式分解和十字相乘法的常见问题。
2 解答分享
分享一些解题技巧和策略，帮助学生更好地理解和掌握因式分解。
总结及推广
因式分解的价值
因式分解有助于简化复杂的数学问题，提高解题速度和准确度。
推广和应用建议
因式分解中的“十字相乘法”
解读因式分解系列之二编制人：平生曜曜因式分解对“十字相乘”法的具体阐述1、把多项式乘法中的“经验性公式”：（x+a）（x+b）= x2+（a+b）x + ab，倒过来可得：x2+（a+b）x + ab = （x+a）（x+b）.以上就是，因式分解中的“十字相乘法”公式。
2、可见，十字相乘法可以帮助我们把某些（但并非所有）“二次三项式”分解成两个“整数系数”的“一次因式”的乘积。
3、十字相乘法的运用，一般会有一个“尝试、试错、微调、修正”的过程。
当然如果你领悟了其中的技巧，你就可以大大减少“尝试”的次数。
4、十字相乘法的口诀是：竖起相乘分别得两边，交叉相乘之和得中间5、在运用“十字相乘法”分解因式之前，最好先把多项式作“降幂排列”。
其运用的要领是：竖着请进来，横着抬出去。
6、下面通过举例，来对“十字相乘法”作具体的解读。
（1）、例如，运用十字相乘法，分解因式：x2 + 4x + 3 …………先………写………出………你………的………答………案…………你的答案：______________________________________。
〈分析〉：原式由三部分组成，其中没有任何公因式可提取，又不能用平方差公式，也不能用完全平方公式，在这种情况下，我们可以考虑用十字相乘法。
〈强调〉：“十字相乘法”的运用步骤是：一排顺序，二试口诀，三再抬走。
一排顺序是指：先将原式按“二次项、一次项、常数项”的顺序来作“降幂排列”；二试口诀是指：按“竖起相乘分别得两边，交叉相乘之和得中间”的口诀来进行“试错、微调”。
三再抬走是指：分解结果要“横起写”，不要交叉写！也就是：竖着请进来，横着抬出去。
分解因式：x 2 + 4x + 3经过一番尝试后，可确定原式可分解为：（x+1）（x+3）。
〈疑问〉：你觉得尝试的过程有 技巧 吗？（2）、又例如，分解因式：①、x 2 －4x + 3②、x 2 －2x － 3③、x 2 + 2x － 3 …………先………写………出………你………的………答………案…………你的答案：______________________________________。
十字相乘法因式分解讲义
整式乘法中，有
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
(4) (x-3)(x-4)
2、提问：你有什么快速计算类似 以上多项式的方法吗？
整个二次三项式
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
反过来，得
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
一个二次三项式
将下列各式用十字相乘法进行因式分解
(1)x2-7x+12 (2)x2-4x-12 (3)x2+8x+12 (4)x2-11x-12 (5)x2+13x+12 (6)x2-x-12
达标测验
将下列多项式因式分解
(1)x2+3x-4 (2)x2-3x-43 (3)x2+6xy-16y2 (4)x2-11xy+24y2 (5)x2y2-7xy-18 (6)x4+13x2+36
(2)由于把x2 + px + q中的q分解成两个因数有多种情况，
怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才
能确定采用哪种情况来进行因式分解.
课下作业
课本121页 （1） （2） （3）（4）
两个一次二项式相乘的积
因式分解
如果二次三项式x2+px+q中的常数项系数 q能分解成两个因数a、b的积，而且一次 项系数p又恰好是a+b，那么x2+px+q就可 以进行如上的因式分解。
试一试：把x2+3x+2分解因式
分析∵ (+1) ×(+2)＝＋2
(完整版)十字相乘法因式分解
当q>0时，q分解的因数a、b( 当q<0时， q分解的因数a、b(
) 同号 ) 异号
观察：p与a、b符号关
系
x2 14x 45 (x 5)(x 9)
x2 29x 138 (x 23)(x 6)
小结： 当q>0时，q分解的因数a、b(
) 同号
且（a、b符号）与p符号相同
x2 7x 60 (x 12)(x 5) x2 14x 72 (x 4)(x 18)
当q<0时， q分解的因数a、b(
) 异号
（其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
练习：在 横线上 填 、 符号
__ __ x2 4x 3 =（x + 3）（x + 1）
_-_ __ x2 2x 3 =（x
3）（x + 1）
_-_ _-_ y2 9y 20 =（y
4）（y 5）
_-_ __ t2 10t 56 =（t
4）（t +14）
当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )且（a、b符号）与p符号相同
当q<0时， q分解的因数a、b( 异号) （其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
试将 x2 6x 16 分解因式
x2 6x 16
x2 6x 16
x 8x 2
提示：当二次项系数为 -1 时 ， 先提出负号再因式分解 。
十字相乘法②
试因式分解6x2+7x+2。
这里就要用到十字相乘法（适用于二次三项式）。
既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
因式分解之十字相乘法
因式分解之十字相乘法【知识精读】1．二次三项式（1）多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．（2）在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．（3）在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 2.十字相乘法（1） 对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式特点是：（1）二次项的系数是1（2）常数项是两个数之积（3）一次项系数是常数项的两个因数之和。
pq x q p x +++)(2)()(22pq qx px x pq qx px x +++=+++=))(()()(q x p x p x q p x x ++=+++=（2）对于首项系数不是1的一般二次三项式2ax bx c ++的分解因式大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++。
反过来，就可得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，b=1221+a c a c 把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++.这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法。
十字相乘因式分解法
十字相乘因式分解法（实用版）目录1.十字相乘法简介2.十字相乘法的基本原理3.十字相乘法的具体步骤4.十字相乘法的应用举例5.十字相乘法的优点与局限性正文【1.十字相乘法简介】十字相乘法，又称为“十字相乘因式分解法”，是一种常用的因式分解方法。
这种方法主要适用于两个数的乘积为四位数或者更高位数的情况。
它通过将两个数的个位数相乘得到一个两位数，然后将这个两位数分解为两个一位数的乘积，再将这两个一位数分别乘以两个数的十位数，最后将四个乘积相加，从而得到原数的因式分解式。
【2.十字相乘法的基本原理】十字相乘法的基本原理是将一个四位数分解为两个两位数的乘积，而这两个两位数分别是由原数的个位数和十位数相乘得到的。
具体来说，设原数为 abcd，其中 a 和 b 为十位数，c 和 d 为个位数，则可以将原数分解为 (10a+c)(10b+d) 的形式。
【3.十字相乘法的具体步骤】(1) 将原数的个位数与十位数相乘，得到一个两位数 ac。
(2) 将这个两位数 ac 分解为两个一位数的乘积，即 a 和 c。
(3) 将原数的十位数分别乘以 a 和 c，得到两个乘积 10a 和 10c。
(4) 将原数的个位数分别乘以 b 和 d，得到两个乘积 bd 和 cd。
(5) 将这四个乘积相加，即 10a+ac+10b+bd=10(a+b)+(ac+bd)，得到原数的因式分解式。
【4.十字相乘法的应用举例】以原数 325 为例，按照十字相乘法的步骤进行分解：(1)3×2=6，得到两位数 62。
(2)62 分解为 2 和 31，即 62=2×31。
(3)3×2=6，1×3=3，得到两个乘积 6 和 3。
(4)2×3=6，5×1=5，得到两个乘积 6 和 5。
(5) 将四个乘积相加，即 6+3+6+5=20，得到原数的因式分解式325=(5×6)(3×4)=15×12。
初中数学因式分解-十字相乘与分组分解法(含解析)
初中数学因式分解-十字相乘与分组分解考试要求：知识点汇总：一、十字相乘法十字相乘法：一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解二、分组分解分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.例题精讲：一、十字相乘【例 1】分解因式：⑴256x x ++ ⑵256x x -+⑶276x x ++ ⑷276x x -+【解析】 ⑴(2)(3)x x ++；⑵(2)(3)x x --；⑶(1)(6)x x ++；⑷(1)(6)x x --【巩固】 分解因式：268x x ++【解析】268(2)(4)x x x x ++=++【巩固】 分解因式：278x x +-【解析】278(8)(1)x x x x +-=+-【例 2】分解因式：2376a a --【解析】 2376(32)(3)a a a a --=+-【巩固】 分解因式：2383x x --【解析】 2383(31)(3)x x x x --=+-【巩固】 分解因式：25129x x +-【解析】 25129(3)(53)x x x x +-=+-【巩固】 分解因式：42730x x +-【解析】 4222730(3)(10)x x x x +-=-+【巩固】 分解因式：2273320x x --【解析】 2273320(94)(35)x x x x --=+-【例 3】分解因式：212x x +-【解析】 221212(3)(4)x x x x x x +-=-++=+-+【巩固】 分解因式：2612x x -+-【解析】 22612(612)(23)(34)x x x x x x -+-=-+-=-+-【例 4】分解因式：2214425x y xy +-【解析】 2214425(16)(9)x y xy x y x y +-=--【巩固】 分解因式：22672x xy y -+【解析】 22672(2)(32)x xy y x y x y -+=--【巩固】 分解因式：22121115x xy y --【解析】 22121115(35)(43)x xy y x y x y --=-+【例 5】分解因式：⑴2()4()12x y x y +-+-；⑵2212()11()()2()x y x y x y x y +++-+-【解析】 ⑴把x y +看作一个整体，利用十字相乘法分解即可.2()4()12(2)(6)x y x y x y x y +-+-=+++-⑵将,x y x y +-看作整体，则原式[][]4()()3()2()(53)(5)x y x y x y x y x y x y =++-++-=++.【巩固】 分解因式：257(1)6(1)a a ++-+【解析】[][]257(1)6(1)53(1)12(1)(23)(23)a a a a a a ++-+=-+++=-+【巩固】 分解因式：2(2)8(2)12a b a b ---+【解析】[][]2(2)8(2)12(2)2(2)6(22)(26)a b a b a b a b a b a b ---+=----=----【例 6】分解因式：1a b c ab ac bc abc +++++++【解析】 把a 视为未知数，其它视为参数。
因式分解之十字相乘法
第1课时 因式分解之十字相乘法一·基本概念理解（1）二次三项式多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式．十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．（2）十字相乘法的依据和具体内容十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。
其实就是运用乘法公式ab x b a x b x a x +++=++)())((2(的逆运算来进行因式分解。
十字分解法能把二次三项式分解因式（不一定在整数范围内）。
对于形如))((22112c x a c x a c bx ax ++=++的整式来说，方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数21,a a 的积21a a ∙，把常数项c 分解成两个因数21,c c 的积21c c ∙，并使1221c a c a +正好等于一次项的系数b ，那么可以直接写成结果:))((22112c x a c x a c bx ax ++=++。
在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。
当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。
基本式子：))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++ 十字相乘法的主要目的在于将某些二次三项式转化为两个式子相乘的形式。
第 8 讲 十字相乘法因式分解
第八讲 十字相乘法因式分解【知识要点】十字相乘法：1．针对q px x ++2的因式：恰好p 可写成b a +，q 可写成ab ，则有： 222()()()()()()x px q x ax bx abx ax bx ab x x a b x a x a x b ++=+++=+++=+++=++ 2．由21122122122111))((c c x c a c c a x a a c x a c x a +++=++，反过来看，就得到c bx ax ++2的因式分解式。
即))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++与c bx ax ++2比较，就知道a 分解成21a a ，c 分解成21c c ，并且把2121,,,c c a a 排列成方阵再交叉相乘后相加，就得到b 。
b c a c a c a c a =+211222113、十字相乘法口诀：拆两头、凑中间、交叉乘、横着写。
【经典例题】例1．分解因式：（1）1492++x x （2）1032+--x x（3）5922-+x x （4）22823y xy x --同步练习：（1）122--x x (2)1032--x x（3）31082---x x （4）221435y xy x --例2．阅读下面的问题，然后回答，分解因式：x 2+2x ﹣3，解：原式＝x 2+2x +1﹣1﹣3＝（x 2+2x +1）﹣4＝（x +1）2﹣4＝（x +1+2）（x +1﹣2）＝（x +3）（x ﹣1）上述因式分解的方法称为配方法．请体会配方法的特点，用配方法分解因式：（1）x 2﹣4x +3 （2）4x 2+12x ﹣7．例3．阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形，由（x +p ）（x +q ）＝x 2+（p +q ）x +pq ，可得x 2+（p +q ）x +pq ＝（x +p ）（x +q ）．利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．例如：将式子x 2+3x +2分解因式．这个式子的常数项2＝1×2，一次项系3＝1+2，所以x 2+3x +2＝x 2+（1+2）x +1×2．解：x 2+3x +2＝（x +1）（x +2）．上述分解因式x 2+3x +2的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．请仿照上面的方法，解答下列问题：（1）分解因式：x 2﹣5x +6＝ ；（2）若x 2+px +8可分解为两个一次因式的积，则整数P 的所有可能值是 ．例4．分解因式（1）()a x a x +++12 （2）()k x k kx +++122例5．阅读理解：对于多项式x 2+px +q ，若满足关系式p ＝a +b ，q ＝ab ，那么这个多项式可进行如下的因式分解：x 2+px +q ＝x 2+（a +b ）x +ab ＝（x +a ）（x +b ），这种因式分解的方法叫做常数项分解法．例如多项式x 2+5x +6，因为6＝2×3，5＝2+3，故可因式分解为x 2+5x +6＝x 2+（2+3）x +2×3＝（x +2）（x +3）．（1）多项式x 2+3x ﹣18分解结果正确的是 ；A ．（x ﹣6）（x +3）B ．（x ﹣9）（x +2）C ．（x +6）（x ﹣3）D ．（x +9）（x ﹣2）（2）填空：x 2+2x ﹣8＝x 2+[ + ]x +[ ]×[ ]＝[x + ][x + ]；（3）仿照上面的方法分解因式：x 2﹣5x ﹣24．思考题:（1）38844322--+-+y x y xy x （2）612767322-++--y x y xy x【课堂练习】一、填空1．若3,5-+x x 都是152--kx x 的因式，则=k ．2．若202++ax x 能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是 ．3．阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x 2﹣x ﹣3的方法．（1）二次项系数2＝1×2；（2）常数项﹣3＝﹣1×3＝1×（﹣3），验算：“交叉相乘之和”；1×3+2×（﹣1）＝1 1×（﹣1）+2×3＝5 1×（﹣3）+2×1＝﹣1 1×1+2×（﹣3）＝﹣5（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×（﹣3）+2×1＝﹣1，等于一次项系数﹣1．即：（x +1）（2x ﹣3）＝2x 2﹣3x +2x ﹣3＝2x 2﹣x ﹣3，则2x 2﹣x ﹣3＝（x +1）（2x ﹣3）．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x 2+5x ﹣12＝ ．二、分解因式1．1072+-x x 2．1492-+-x x 3. 223102ab b a a -+4．22673y xy x -- 5．223108y xy x ++ 6．2252710y xy x ++7．2)(3)(2++-+y x y x 8．8)(6)(2++++y x y x 9. 221y xy a a x +⎪⎭⎫ ⎝⎛++10．()()42522+-+-x x 11．()()2532++++b a b a【课后作业】一、因式分解：（1）（x ﹣4）（x +7）+18． （2）（x 2﹣x ）2+（x 2﹣x ）﹣6． （3）x 2+x ﹣2（4）a 2﹣2a ﹣15 （5）（x 2﹣2x ）2﹣2（x 2﹣2x ）﹣3 （6）x 2﹣4x ﹣12（7）2254y xy x -- （8）1032-+x x （9）222212y xy x --8．若041222=+-+-y xy x x ，则=x ，=y ． 9．若36412++kx x 是一个完全平方式，则=k ． 10．a a a 1216423++-在分解因式时，应提取的公因式是 ． 11．多项式78622++-+y x y x 的最小值为 ．12．阅读下列问题因式分解：x 2+4x +3．解：原式＝x 2+4x +4﹣4+3＝（x 2+4x +4）﹣1＝（x +2）2﹣1＝（x +2+1）（x +2﹣1）＝（x +3）（x +1）上述因式分解的方法称为配方法．请仿照上述配方法的解题步骤将下列各式因式分解：（1）x 2﹣6x +5 （2）4x 2+4x ﹣15第八讲 十字相乘法因式分解【知识要点】十字相乘法：1．针对q px x ++2的因式：恰好p 可写成b a +，q 可写成ab ，则有： 222()()()()()()x px q x ax bx abx ax bx ab x x a b x a x a x b ++=+++=+++=+++=++ 2．由21122122122111))((c c x c a c c a x a a c x a c x a +++=++，反过来看，就得到c bx ax ++2的因式分解式。
因式分解(十字相乘法)最新.ppt
x2 (a b)x ab (x+a)(x+b)
例1: 把x2 5x 6分解因式;
解:原式= (x+2)(x+3)
x
2
.精品课件.
x
3
2x+3x=5x
(1).因式分解拆两边;
(2).交叉相乘验中间; 3x +2x=5x
(3).竖着分解横着写; (x+2)和(x+3)
x2 2x 15分解因式;
2. 分解x 2 2x 8的结果为 ( A )
A. a 4a 2; B. a 4a 2;
C. a 4a 2; D. a - 4a 2;
3. 若 多项项M分解的因式是(x - 2)(x - 3),则M是(C )
A. x2 5x 6;
B. x2 5x 6;
C. x2 5X 6;
.精品课件.
x 2 (a b)x ab x 2 px q
.精品课件.
x 2 (a b)x ab x 2 px q
.精品课件.
1. 分解a 2 a 12的结果为( B )
A. (a - 3)(a 4); B. a 3a 4; C. a 6a 2; D. a 6a 2;
7、整式：单项式与多项式统称整式。 .精品课（件.分母含有字母的代数式不是整式,而是分式。）
1．二次三项式-----课本P172：
（1）多项式 x2 2x 3 ，称为字母 的二次
三项式，其中
称为二次项， 为一次项，
为常数项．
（2）在多项式2a2b2 7ab 3，把 看作一个整体，
即
，就是关于 的二次三项式．
D. x2 5x 6;
(4). 分解a 2 3ab 2b2的结果为 ( D )
因式分解十字相乘法
因式分解十字相乘法十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。
十字分解法能把一些二次三项式分解因式。
对于形如ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)的整式来说，方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a₁,a₂的积a₁·a₂，把常数项c分解成两个因数c₁,c₂的积c₁·c₂，并使a₁c₂+a₂c₁正好等于一次项的系数b，那么可以直接写成结果:ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)。
在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。
当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。
基本式子：x²+(p+q）x+pq=(x+p）(x+q)。
不仅仅局限于课堂45分钟课下积极的练习反思，总结也是至关重要你可能曾经懊恼自己当初在课堂上没有好好听课那么请收起你的沮丧就现在，开始学每天进步一点点相信你能做到致迷途知反的你们定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫作分解因式.解析：十字相乘法的精髓，在于分解常数项。
对于初学者来说，可以根据常数项的具体数值，尝试着分解成两个因数相乘的形式，并且使这两个因式的值相加等于一次项系数。
上面的例题，很好的说明了十字相乘法因式分解的具体应用。
例题二：例题三：例题四例题五：练一练一、前言在北师版数学教材上，并没有十字相乘法这一章，在中考中十字相乘法也不作为考点考察。
但是，在初中阶段，一些一元二次方程的题目使用十字相乘法可以更快的解出答案；在高中阶段，十字相乘法可以说是随时可能用到；更重要的是，十字相乘法可以很好的培养数感。
因此，熟练掌握十字相乘法是非常必要的二、知己知彼想要熟练的掌握十字相乘法，就一定要了解它的原理，我们先看这样几个式子：观察这几个式子，相信大家能很快的说出下面这个式子的结果为了更加清晰的说明十字相乘的原理：我们做如下的说眀：小学我们都学过竖式乘法其实刚才列举的式子也可以用竖式进行计算从所列竖式中，我们不难发现，2×3=6,2+3=5（2x+3x=5x）搞清楚了这个原理，十字相乘法就很容易了，其实就是把上面的过程反过来，下面以一道题目为例进行具体的说明例1：因式分解我们心里清楚，最后的结果一定是下面这种形式问题的关键就是求出a和b而通过刚才的例子，我们知道14=ab，9=a+b，那么我们该从哪里入手呢？这里做两个说明：（1）分解的结果中a、b都是整数（不会出分数、无理数什么的）（2）要分解14，而不是去拆解9、因式分解题目结果中的系数，都是整数，那么14的分解情况就很少了，而和为9的情况太多了，由此可见去分解14是最简单的做法于是，我们得到了分解这类二次三项式的方法：先把常数14分解成两个因数的积（整数），再看一看这两个因数的和是不是等于一次项的系数。
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2x
4
x×4+2x×（-3）=-2x
①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，和相加
③检验确定，横写因式
十字相乘法（竖分常数交
叉验， 横写因式不能乱。 ）
例1、用十字相乘法分解因式 2x2-2x-12
法二：
2x2-2x-12 = （x+2）(2x-6)
x
2 = 2（x+2)(x-3)
2x
-6
x×（-6）+2x×2=-2x
(顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。)
例1、（2）
12x2 29x 15
3x
5
4x
3
(9x) (20x) 29x
所以： 原式 (3x 5)(4x 3)
十字相乘法（竖分常数交叉验， 横写因式不能乱。 ）
例1、（3）
2x2 5xy 7 y2
2x
7y
x 1y
2xy 7xy 5xy
1、十字相乘法 （借助十字交叉线分解因式的方法）
2、用十字相乘法把形如x2 + px +q 二次三项式 分解因式
3、 x2+px+q=（x+a）（x+b） 其中q、p、a、b之 间的符号关系
q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )且（a、b符号）与p符 号相同 当q<0时， q分解的因数a、b( 异号) （其中绝对值较大 的因数符号）与p符号相同
x2 29x 138 (x 23)(x 6)
小结：当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )
且（a、b符号）与p符号相同
x2 7x 60 (x 12)(x 5)
x2 14x 72 (x 4)(x 18)
当q<0时， q分解的因数a、b( 异号 )
（其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
x 8x 2
提示：当二次项系数为-1时 ，先提出 负号再因式分解 。
一、计算：
(1) (x 5)(x 9) x2 14x 45
(2) (x 12)(x 5) x2 7x 60 (3) (x 23)(x 6) x2 29x 138
(4) (x 4)(x 18) x2 14x 72
(x a)(x b) x2 (a b)x ab
(2x+3)(x- 4) = 2x2-5x+12
2x
3
1x
-4
2x×（-4）+1x×3=-5x
结果中一次项系数是分解 后十字交叉相乘所得的和
十字相乘法（竖分常数交叉 验， 横写因式不能乱。 ）
例1、用十字相乘法分解因式 2x2-2x-12
Байду номын сангаас
法一：
2x2-2x-12 = （x-3）(2x+4)
x
-3 = 2 (x-3) （x+2)
所以： 原式 (2x 7 y)(x y)
将下列各式用十字相乘法进行因式分解
（1）2x2 + 13x + 15 （2）3x2 － 15x － 18
( 3 ) 6x2 - 3x – 18 ( 4 ) 8x2- 14xy + 6y2
观察：p与a、b符号关系
x2 14x 45 (x 5)(x 9)
把下列各式分解因式
（1）4x2 + 11x + 6 （2）3x2 + 10x + 8
( 3 ) 6x2 - 7xy – 5y2 ( 4 ) 4x2- 18x + 18 ( 5 ) 4（a+b）2 + 4(a+b) - 15
试将 x2 6x 16 分解因式
x2 6x 16
x2 6x 16