初中数学立方根

6.2立方根
立 方 七年级数学课件
根
要做一个体积为27cm3的正方体模型（如图）， 它的棱长要取多少？你是怎么知道的？
设正方体的棱长为X㎝,则
x3 27
这就是要求一个数,使它的立方等于27.
因为
33 27
所以 X=3. 正方体的棱长为3㎝
思考：(1)什么数的立方等于-8？ -2
(2)如果问题中正方体的体积为5cm3，正方 体的棱长又该是多少？
(7) 3 9 3
解: (1) 3 1000 10
(2) 3 0.001 0.1
(3)3 1 1
(4) 3 64 4 125 5
(5) 3 216 6 (6)3 4 27 3 125 5
(7) 3 9 3 9
27 27 3
2、你能求出下列各式中的未知数x吗？
立方根的表示方法：
数a的立方根用3 a表示
1.立方根的概念.
一般地，如果一个数的立方等于a，这个数就叫 做a的立方根(也叫做三次方根).
用式子表示，如果X3 =a，那么X叫做a的立方根.
数a的立方根用符号“3 a ”表示,读作“三次根号a 其中a是被开方数,3是根指数(注意:根指数3不能省略).
根指数
立方根的表示方法.
a 根指数 3
根号 被开方数
你会区别下列的数吗？
a ， a ， 3 a ， 4 a
a 表示a的算术平方根
a 表示a的平方根或a的二次方根
a 3
表示a的立方根或a的三次方根
a 4
表示a的四次方根
2.开立方. 求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
开立方与立方也是互为逆运算，因此求一个数 的立方根可以通过立方运算来求.
a
例:求下列各式的值
(1) 3 64
(2) 3 125
(3) 3 27 64
解: (1) 3 64 =4
(2) 3 125 = 3 125 =-5
(3) 3
27 64
=
3
27 64
=-
3 4
归纳:
求一个负数的立方根,可以先求出这个负数绝 对值的立方根,然后再取它的相反数.
下列式子表示什么意义？
么这个数叫做a的平方根。 么这个数叫做a的立方根。
a的平方根用±
a表示 a的立方根用 3 a 表示
2、平方根的性质
2、立方根的性质
（1）一个正数有两个平方根， 它们互为相反数
（2）0的平方根还是0
（3）负数没有平方根 3、平方根的求法：
（1）正数的立方根还是正数 （2）0的平方根还是0 （3）负数的立方根还是负数
填表：
正方体的
体积a 1
8
棱长 x 1 2
27 64
27
12255
4
3 3 ?5
x 3=a
立方根的概念. 一般地，如果一个数的立方等于a，这个
数就叫做a的立方根(也叫做三次方根). 用式子表示，如果X3 =a，那么X叫做a的立方根.
a的平方根怎样表示?
答： 2 a 或 a
类似的请同学们想一想a的立方根怎样表示？
一个负数有一个负的立方根，
零的立方根是零。
讨论:你能归纳出平方根和立方根的异同点
吗? 被开方数
平方根
立方根
正数 有两个互为相反数 有一个,是正数
负数
无平方根
有一个,是负数
零
零
零
练习:1、下列说法是否正确,并说明理由
(1)
27 64
的立方根是

3 4
(×)
(2) 负数不能开立方 ( × )
(3) 4的平方根是2 ( ×) (4)立方根是它本身的数只有零( × )
3
a
被开方数
例如: 33=27 则把3叫做27的立方根,即 3 27 3
如：23=8，则2是8的立方根 即3 8 2
∵( -2)3=-8，∴ -2 是-8的立方根 即3 8 2
∵( 1)3=1，∴ 1 是1的立方根
∵( 0)3=0，∴ 0的立方根是 0 ∵( -4)3=-64，∴ -64的立方根是 -4
练一练
1.判断下列说法是否正确,并说明理由
x (1)
8 27
的立方根是
2 3
x (2) 25的平方根是5
(3) -64没有立方根
x
(4) -4的平方根是 2 x √ (5) 0的平方根和立方根都是0
想一想
立方根是它本身的数有那些? 有1, -1, 0
平方根是它本身的数呢? 只有0
算术平方根是它本身的数呢? 有1, 0
1.立方根的定义,性质,计算. 2.立方根与平方根的异同
相同点: ①0的平方根、立方根都有一个是0 ②平方根、立方根都是开方的结果。
不同点：①定义不同 ②个数不同 ③表示方法不同 ④被开方数的取值范围不同
小结：
1、平方根的定义：如果
1、立方根的定义：如果
一个数的平方等于a,那
一个数的立方等于a,那
（1） x3＝343 （2）（x－1）3＝125
（3） 3 x 2 （4） 3 x 2 4
解: (1)x 3 343
(2)x 1 3 125
∴x-1＝5
∴x＝7
X=6
（3）x＝23
（4） X-2＝43
∴x＝8
∴X＝66
思考:
(1) x3= -0.008 ,则x的值为多少？
(2) 已知 一个立方体的体积为7cm3, 则它的表面积为多少?
你能求出它们的值吗？
(1)3 64 ;
(2)3 125 ;
(3)3 27 ; 64
(4)3 (3)3 ;
(5)3 2 3 ; 64
1.分别求下列各式的值：
(1) 3 1000
(2) 3 0.001
(3)3 1 (4) - 3 64
125
(5) 3 216
(6)3 4 17 27
3、立方根的求法：
如求4的平方根：
如求8的立方根：
∵ (±2)2 = 4
∵ 23 = 8
∴4的平方根是±2
∴8的立方根是2
即 4 2
即 3 82
3.如果3x+16的立方根是4，求 2x+4的算术平方根.
5.若3 2y 4与3 4 3x 互为相反数，求yx 的值.
4.若3 x 5 3 y 6 0,求x y的值.
思考： 如果正方体的体积为5cm3，正方体的棱
长又该是多少？
设正方体的棱长为X,则 x3 5
所以正方体的棱长是 3 5 ㎝.
探索 思考
3
1. 探究 活动二 启发诱导,探索新知
（１） 因为2 3=8，所以8的立方根是（ 2 ）；
（２） 因为(0.5)3=0.125,所以0.125的立方根是0（.5 ）；
(5)平方根是它本身的数只有零( √ )
(6) 64 的立方根是4 (×)
练习2.填空：
(1) (__-_5__)3 125, 3 125 __-_5__
(2) (__54___)3
64 , 3
64
4
__5 ___
125
125
3.求下列各数的立方根：
（1）1，（2）-1 ，（3） -0.000008 （4）343
引伸探究2
因为 3 8 = -2 , 3 8 = -2 所以 3 8 = 3 8
因为 3 27 = -3 , 3 27 = -3
所以 3 27 = 3 27
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互为相反数的数的 立方根也互为相反
猜一猜:
数
你能从上述问题中总结出互为相反数的两个数a与
-a的立方根的关系吗?
3
-a
3
（３）因为( 0 )3＝０，所以０的立方根是（ 0 ）；
（４）因为 ( 2)3 ＝－8，所以－8的立方根是（ 2）；
（５）因为(
2)3
3
＝－
－287 ，所以－－287
的立方根（

2）
3
探究题中正数、0和负数的立方根各有 什么特点?
归 纳 总 结 立方根的特征
正数有立方根吗？如果有，有负数呢？零呢？ 几个? 一个正数有一个正的立方根；