初中数学立方根
初中数学知识归纳立方与立方根的运算
初中数学知识归纳立方与立方根的运算立方与立方根是初中数学中的重要概念之一。
在本文中，将对立方与立方根的运算进行归纳总结，并探讨其应用场景。
一、立方运算立方运算是指将一个数的三次方取得的结果。
数学表达式为n³，即n的立方。
对于正整数n，n的立方可以很容易地通过连乘得到，即n³= n × n × n。
例如，2的立方为2³ = 2 × 2 × 2 = 8。
除了正整数可以进行立方运算外，负整数和分数也可以进行立方运算。
对于负整数-n，其立方等于-n³，即负整数的立方是正整数的立方的相反数。
例如，(-2)的立方为(-2)³ = (-2) × (-2) × (-2) = -8。
对于分数n/m，其中m不等于0，其立方可以按照以下步骤进行计算：先将n和m各自进行立方运算，然后将结果相除。
即 (n/m)³ = (n³) / (m³)。
例如，(2/3)的立方为 (2/3)³ = (2³) / (3³) = 8 / 27。
二、立方根的概念立方根是立方的逆运算，指对一个数取立方根所得到的结果。
数学表达式为∛n，表示n的立方根。
与立方运算类似，立方根也适用于正整数、负整数和分数。
正整数n的立方根是一个数x，使得x³= n。
例如，8的立方根为2，因为2³ = 8。
对于负整数，其立方根是一个负数。
例如，-8的立方根为-2，因为(-2)³ = -8。
分数的立方根可以按照以下步骤进行计算：先分别求分子和分母的立方根，然后将结果相除。
即 (∛n/m) = (∛n) / (∛m)。
例如，∛(8/27) = ∛8 / ∛27。
三、立方与立方根的应用立方与立方根在实际生活中有许多应用。
以下是两个常见的应用案例：1. 三维几何计算在几何学中，立方与立方根广泛应用于三维空间的计算。
初中数学知识点精讲精析 立方根
2.3 立方根学习目标1.了解一个数的立方根概念，并会用根号表示一个数的立方根；2.理解开立方的概念；3.明确立方根个数的性质，分清一个数的立方根与平方根的区别。
知识详解1．立方根的概念及表示方法（1）立方根的概念：如果一个数x的立方等于a，即3x＝a，那么这个数x就叫做a的立方根(也叫做三次方根)．如32＝8，那么2就叫做8的立方根，由于332⎛⎫-⎪⎝⎭＝－278，所以32-叫做－278的立方根．（2）立方根的表示方法：a读作“三次根号a”，其中“3”是根指数，“a”是被开方数．要注意，这里的根指数“3”不能省略．例如：2的立方根可判断一个数x是不是某数a的立方根，就看x3是不是等于a.求一个数的立方根，应先找到一个立方等于所求数的数，再求立方根.化简立方根：完全立方数的立方根是可以化简的；非完全立方数的立方根是不可以化简的，只需表示出来即可。
2．立方根的性质（1）立方根的性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根是0.（2）开立方求一个数的立方根的运算，叫做开立方．如同开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算．3．立方根的应用立方根在日常生活中应用很广泛，如求物体的体积等．4．立方根的化简公式a；3＝a.如果3x＝a，那么x就是a的立方根，即x3x＝3＝a.同样，根据定义，3a是a的三次方，所以3a的立方根就是a a.设3x＝a，则3()x－＝－3x＝－a.根据立方根的定义可知，x＝3a，－x＝3a-.3a-＝－3a.5．灵活利用立方根与平方根解题平方根与立方根是两个很相近的概念，如果不正确地认识和理解它们的异同，在解题中很容易引起混淆而造成解题错误．（1）区别：①定义不同．平方根：如果2x＝a，那么x叫做a的平方根．立方根：如果3x＝a，那么x叫做a的立方根．②表示方法不同．正数a的平方根记为±a，数a的立方根记为3a.表示平方根时，根指数2一般省略不写，但是用根号表示立方根时，根指数3绝对不能省略，否则就与二次根式混淆了．③读法不同．正数a的平方根±a，读作“正、负根号a”．数a的立方根3a读作“三次根号a或a的立方根”．④被开方数的取值范围不同．在平方根±a中，被开方数a是非负数，即a≥0.但在3a中，a可以是任意的数．⑤根的个数不同．一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根．任何数都存在立方根，一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0.（2）联系：求平方根与立方根的运算都是开方运算，开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算，都是乘方的逆运算．非负数的性质：几个非负数的和为0，则每个非负数都为0.【典型例题】例1. 有下列命题：①负数没有立方根；②一个数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根和这个数同号，0的立方根是0；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数必是1和0.其中错误的是( )．A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④【答案】B【解析】一个正数的立方根是一个正数，一个负数的立方根是一个负数，0的立方根是0.立方根等于本身的数有0,1和－1.所以①②④都是错的，只有③正确．例2. 8的立方根是（）A．2B．-2C．±2D．【答案】A【解析】∵2的立方等于8，∴8的立方根等于2．例3. 64的立方根是（）A．4B．±4C．8D．±8【答案】A【解析】∵4的立方等于64，∴64的立方根等于4．【误区警示】易错点1：区别算术平方根、立方根、平方根1.已知（x-1）的算术平方根是3，（x-2y+1）的立方根是3，求22x y-的平方根．【答案】±6【解析】∵（x-1）的算术平方根是3，（x-2y+1）的立方根是3，∴x-1=9，x-2y+1=27，解得：x=10，y=-8，∴22x y-=100-64=36，∴22x y-的平方根是±6．易错点2：立方根应用2.某金属冶炼厂，将27个大小相同的立方体钢锭在炉中熔化后浇铸成一个长方体钢锭，量得这个长方体钢锭的长、宽、高分别为160 cm、80 cm和40 cm，求原来立方体钢锭的边长为多少？【答案】设立方体的边长为x cm，则27 3x＝160×80×40.解得x＝80 3【解析】原来立方体钢锭体积＝在炉中熔化后浇铸成的长方体钢锭的体积．【综合提升】针对训练1. 27的立方根是（）A．3B．-3C．9D．-92. 下列说法正确的是（）A．-1的倒数是1B．-1的相反数是-1C．1的算术平方根是1D．1的立方根是±13. 一个立方体的体积为64，则这个立方体的棱长的算术平方根为（）A．±4B．4C．±2D．21.【答案】A【解析】∵3的立方等于27，∴27的立方根等于3．2.【答案】C【解析】A、-1的倒数是-1，故选项A错；B、-1的相反数是1，故选项B错；C、1的算术平方根是1，故选项C正确；D、1的立方根为1，故选项D错3.【答案】D【解析】棱长，4的算术平方根为2．课外拓展数学传统最悠久的国家中国数学一开始便注重实际应用，在实践中逐步完善和发展，形成了一套完全是自己独创的方式和方法。
初中数学 正数和负数的立方根性质有哪些
初中数学正数和负数的立方根性质有哪些初中数学中，正数和负数的立方根性质是关于正数和负数进行立方根运算时的一系列规律和性质。
在本文中，我们将详细介绍正数和负数的立方根性质的概念、规则和应用。
首先，回顾一下立方根的基本概念。
立方根是指求一个数的立方根的运算。
以正数为例，如果一个正数a进行立方根运算，可以表示为³√a，读作a的立方根。
例如，³√8表示求8的立方根，结果为2。
接下来，我们来看正数和负数的立方根性质：1. 正数的立方根：对于正数a，它的立方根³√a的结果是一个实数。
换句话说，对于正数a，存在一个实数b，使得b的立方等于a，即b^3 = a。
例如，³√8 = 2。
2. 负数的立方根：对于负数a，它的立方根³√a的结果是一个负实数。
换句话说，对于负数a，存在一个负实数b，使得b的立方等于a，即b^3 = a。
例如，³√(-8) = -2。
3. 0的立方根：0的立方根是0，即³√0 = 0。
需要注意的是，正数和负数的立方根性质与平方根性质有些许不同。
正数的立方根和负数的立方根都是实数，而负数的平方根是虚数。
这些立方根性质在解决实际问题和进行数学计算中非常有用。
它们帮助我们理解和处理正数和负数的立方根关系和规律。
总结起来，正数和负数的立方根性质包括正数的立方根、负数的立方根以及0的立方根等规律。
这些性质在初中数学中起着重要的作用。
希望本文能够帮助你更好地理解正数和负数的立方根性质的概念和应用。
如果你还有其他关于正数和负数立方根的问题，欢迎继续探索和学习。
祝你在数学学习中取得更多的成就！。
初中数学知识归纳立方根的概念与运算
初中数学知识归纳立方根的概念与运算初中数学知识归纳：立方根的概念与运算数学在我们的日常生活中无处不在，而初中数学作为我们数学学习的积淀阶段，其中涉及到的知识点也非常丰富。
本文将对初中数学中的一个重要知识点进行归纳总结，即立方根的概念与运算。
一、立方根的概念所谓立方根，指的是某个数的立方等于给定数的运算。
具体来说，对于一个非负实数a，若一个实数x满足x³=a，那么x就是a的立方根。
我们用符号∛a表示a的立方根，读作“开三次方”。
例如，对于数8来说，8的立方根为2，即∛8=2，因为2³=8。
同样地，对于数27来说，27的立方根为3，即∛27=3，因为3³=27。
二、立方根的运算1. 立方根的计算立方根的计算方法有多种，其中最常用的方法是通过反复试探逼近的方式进行计算。
一般而言，我们可以利用近似值来逐步逼近真实的立方根。
举例来说，我们想要求解∛64的值，可以从一些常见的整数立方根出发。
我们知道2³=8，3³=27，4³=64。
可以发现，3³和4³的差距已经很小了，因此我们可以使用3.5作为∛64的一个近似值。
经过具体计算发现，3.5³=42.875，已经很接近64了。
2. 立方根的性质立方根具有以下一些基本性质：（1）若a>0，则∛a>0，即正数的立方根仍然是正数；（2）若a<0，则∛a<0，即负数的立方根仍然是负数；（3）∛a^3=|a|，即将一个数的立方根再立方，等于这个数的绝对值。
三、立方根的应用立方根在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一些典型的应用场景：1. 几何体的体积计算对于诸如正方体、长方体等立方体形状的几何体，我们可以使用立方根来计算其体积。
例如，一个边长为a的正方体的体积为V=a³，那么我们可以得到a=∛V。
2. 速度和时间的关系在物理学中，有一个著名的公式——速度=路程÷时间。
初中数学 立方根的逼近算法有哪些
初中数学立方根的逼近算法有哪些求解立方根是一个常见的数学问题，有许多逼近算法可以用于近似计算立方根。
下面将介绍一些常用的逼近算法：1. 二分法：这是一种简单且直观的逼近算法。
假设我们要求解一个正实数a 的立方根x，我们可以通过逐步逼近来求解。
首先，我们选择一个初始的上界u 和下界l，使得l^3 < a < u^3。
然后，我们计算中间值m = (l + u) / 2，分别计算m^3 的值。
如果m^3 > a，则更新上界为m；如果m^3 < a，则更新下界为m。
重复这个过程，直到达到所需的精度。
2. 牛顿法：牛顿法是一种迭代方法，用于逼近函数的零点。
对于求解立方根的问题，我们可以将问题转化为求解函数f(x) = x^3 - a = 0 的零点。
然后，我们可以使用牛顿法来逼近这个零点。
首先，我们选择一个初始的近似解x_0，然后使用迭代公式x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n) 来更新近似解。
重复这个迭代过程，直到达到所需的精度。
3. 迭代法：迭代法是一种基于递推公式的逼近算法。
对于求解立方根的问题，我们可以使用迭代公式x_{n+1} = (2 * x_n + a / (x_n^2)) / 3 来逼近立方根。
我们选择一个初始的近似解x_0，然后使用迭代公式来更新近似解。
重复这个迭代过程，直到达到所需的精度。
4. 线性插值法：线性插值法是一种通过在已知数据点之间进行线性插值来逼近函数值的方法。
对于求解立方根的问题，我们可以选择一些已知的立方数，然后使用线性插值法来逼近立方根。
例如，如果我们要求解125 的立方根，我们可以选择已知的立方数64 和216，然后使用线性插值法来逼近125 的立方根。
需要注意的是，这些逼近算法都是近似计算立方根的方法，并且可能会有误差。
选择适当的逼近算法取决于所需的精度和计算效率。
在实际应用中，还可以结合多个逼近算法来提高计算的准确性和效率。
初中数学专题复习立方根精讲精练(含答案)
立方根【基础知识精讲】1.立方根的意义 (1)立方根的意义：如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根(或三次方根). 就是说，如果x 3＝a ，那么x 就叫做a 的立方根. (2)立方根的定义：数a 的立方根用符号“3a ”表示，读作“三次根号a ”，其中a 是被开方数，3是根指数.2.立方根的性质(1)任何数都有立方根，且只有一个立方根.(这与平方根的性质不同，正数有两个平方根，负数没有平方根).(2)正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根还是0. 3.开立方运算开立方运算与立方运算互为逆运算. 【重点难点解析】重点难点分析重点 本节的重点是立方根的概念. 难点 本节的难点是立方根的求法. 【典型例题解析】例1 求下列各数的立方根.(1)343； (2)0.729； (3)-22710. 分析：本题考查立方根的求法，解题方法是运用立方根的定义求解. 解 (1)∵ 73＝343，∴ 343的立方根是7，即3343＝7. (2)∵ 0.93＝0.729，∴0.729的立方根是0.9，即3729.0＝0.9.(3)∵ (-34)3＝-2764＝-22710，∴ -22710的立方根是-34，即327102 ＝-34. 总结 本题的易错点是和求平方根混淆或弄错符号，解题关键是运用立方根的定义求解.例21.下列说法正确的是( )A. 81的平方根是±3；B.1的立方根是±1；C. 1＝±1；D. x >0.解 选A.2. 38的平方根是 .解 38＝2，2的平方根是±2. 例3 求下列各式的值：(1)-36427-； (2)3973.01-； (3)-327105-； (4)32004524⨯⨯ 解 (1)- 36427-＝36427＝43； (2)3973.01-＝3027.0＝0.3； (3)-327105-＝-327174＝-327125＝-35； (4)32004524⨯⨯＝32231023532⨯⨯⨯⨯⨯＝33331032⨯⨯＝2×3×10＝60.2.求下列各式的值： (1)3216； (2)- 3827； (3)3512343-. 解 (1)3216＝6；(2)- 3827＝-23；(3)3512343＝-3512343＝-87.例4 求下列各式的x ；(1)(x+3)3+27＝0； (2)(x-0.5)3+10-3＝0.分析：本题考查立方根的求法，解题思路是把x+3和x-0.5先看成一个数，分别求出其立方根，再求x.解 (1)(x+3)3+27＝0.∴ (x+3)3＝-27.∴ x+3＝327-.x+3＝-3.∴ x ＝-6; (2)(x-0.5)3+10-3＝0. ∴ (x-0.5)3＝-10-3.∴ x-0.5＝3310--.即x-0.5＝-0.1.∴ x ＝0.4.总结 本题的解题关键是先求出x+3和x-0.5的立方根. 【难题点拨】例1 若x x y x --++3922＝0，求：3x+6y 的立方根.解 由xx y x --++3922＝0，知 ⎪⎩⎪⎨⎧≠-=-=+0309022x x y x ③②①由 ⎩⎨⎧≠-=-03,092x x ③②得x ＝-3.把x ＝-3代入①，得y ＝6.∴ 3x+6y ＝3×(-3)+6×6＝-9+36＝27. ∴ 3x+6y 的立方根，即为327＝3. 【难题解答】例2 求下列式子中的x ：(x-1)3＝8解：x-1＝38 ∴x-1＝2 即x ＝3【命题趋势分析】(1)本节的中考热点是考查立方根的定义及性质.(2)本节内容在中考中常以填空题、选择题的形式出现.解答时要透彻理解立方根的定义及性质.【典型热点考题】例1 求下列各式中的x 的值：(1)(0.1+x)3＝-27000； (2)41(2x+3)3＝54.解 (1)0.1+x ＝327000-＝-327000＝-30， ∴ x ＝-30.1; (2)(2x+3)3＝4×2×27＝23×33＝63， ∴ 2x+3＝336＝6，故x ＝23. *例2 设1996x 3＝1997y 3＝1998z 3,xyz>0,且3222199819971996z y x ++＝31996+31997+31998，求x 1+y 1+z1. 解 设1996x 3＝1997y 3＝1998z 3＝a ， 则1996x 2＝x a ,1997y 2＝ya,1998z 2＝z a , 31996＝x a 3,31997＝ya 3,31998＝z a 3， 所以条件等式变为3)111(zy x a ++＝)111(3z y x a ++,∴3111zy x ++＝x 1+y 1+z 1,∴x 1+y 1+z 1＝1.例3 当x 为何值时，下列各根式有意义? (1)2x -； (2)3232+x x. 解 当-2x ≥0时，2x-才有意义，∴ x ≤0. (2)∵ 当3x+2≠0时，3232+x x有意义，∴ x ≠-32.【同步练习】1.选择题(1)下列说法错误的是( )A.3a 中的a 可以是正数、负数、零；B.a 中的a 不可能是负数C.数a 的平方根有两个，它们互为相反数；D.数a 的立方根有一个 (2)下列语句正确的是( )A. 64的立方根是2B.-3是27负的立方根C.216125的立方根是±65D.(-1)2的立方根是-1(3)要使33)4(a -＝4-a 成立，那么a 的取值范围是( )A.a ≤4B.-a ≤4 4C.a ≥4D.一切实数(4)下列计算或命题中，正确的个数有( )①±3都是27的立方根； ②33a ＝a ； ③364的立方根是2； ④32)8(±＝±4.A.1个B.2个C.3个D.4个(5)16的平方根和立方根分别是( )A.±4，316B.±2，±34C.2，34D.±2，34(6)下列说法正确的是( )A.零不存在算术平方根B.一个数的算术平方根一定是正数C.一个数的立方根一定比这个数小D.一个非零数的立方根，仍然是一个非零数 (7)如果一个数的平方根是这个数本身，则这个数是( )A.1B.-1C.0D.1，-1，0 (8)如果一个数的立方根是这个数本身，则这个数是( )A.1B.-1C.0D.1，-1，0 (9)下列式子中，不正确的是( )A. 3125827＝352B.±3216＝±6C. 3064.0＝0.4D.33)541(-＝51 (10)若一个数的立方根等于这个数的立方，则不满足这个条件的数必为( )A.1B.0C.-1D.不为1，0，-1的其他数 (11)计算下列各式所得结果中( )①25.0；②1691；③3227；④10000；⑤0001.01；⑥416.A.大于1的有两个B.小于1的有两个C.结果相同的有两个D.上述结论都不对2.填空题(1)3a 读作 ，其中被开方数是 ，根指数是 ，被开方数的范围是 .(2)若x 3＝-27，则x ＝ ;y 3+64＝0，则y ＝ ;3z 3-81＝0,则z ＝ . (3)-64的立方根是 ，3729的平方根是 ， (-13)3的立方根是 . (4)-103是 的立方根. (5)32)8(-＝ ，3310-＝ ，316437-＝ . (6)数a 的平方根最多有 个，最少有 个，立方根最多有 个，最少有 个.(7)一个正数的算术平方根是8，则这个数的立方根是 . (8)若x 2＝(-5)2，则(x-1)3＝ .(9)若3x -有意义，则xx --1)1(2＝ .(10)若a<0,则2a +33a ＝ .(11)若a,b 互为相反数，c,d 互为负倒数，则2222ba b a +--5cd ＝ . 3.求下列各式中的x.(1)(x+3)3+27＝0(2)(x-0.5)3+10-3＝0(3)(10-0.1x )3＝-0.027(4)343x 3-38-＝-625(5)21(2x-3)3+32＝0(6)64x 2-3＝46(7)8(x-1)3＝-64125(8)81 +25x 3＝-1164.计算(1)3125.0-3161+3281⎪⎭⎫ ⎝⎛-(2)14-+25.0-3375.3(3)31-3008.0-3000343.0 (4)3827+641-3641891--256311-【素质训练】5.x 取什么值时，下列各式有意义：(1)32x -；(2)325-x6.已知3x ＝4，且(y-2z+1)2+43-z ＝0，求3333z y x ++的值.参考答案 【同步练习】1.(1)C (2)A (3)D (4)B (5)D (6)D (7)C (8)D (9)A (10)D (11)C2.(1)三次根号a,a,3，全体实数 (2)－3，－4，3 (3)－2，±3，－13 (4)100027(5)4，101，－43(6)两，零，一，一 (7)4 (8)64或－216 (9)1 (10)0 (11)1 3.(1)x ＝－6 (2)x ＝0.4 (3)x ＝103 (4)x ＝－73 (5)x ＝－21 (6)x ＝±87(7)x ＝83(8)x ＝－354.(1)－1 (2)－0.5 (3)1.13 (4)21615.(1)x 为全体实数 (2)x ≠±2 【素质训练】6.6。
初中数学 如何求解一个方程的立方根
初中数学如何求解一个方程的立方根要求解一个方程的立方根，我们需要使用一些数学方法和技巧。
下面是一种常见的方法来求解一个方程的立方根：假设我们要求解方程x^3 = a，其中a 是已知的实数。
步骤1：首先，我们可以尝试使用立方根的定义来求解方程。
根据立方根的定义，我们可以得到x = ∛a。
步骤2：如果 a 是一个已知的实数，我们可以使用计算器或者计算机来近似求解∛a。
将a 的值代入计算器或者计算机，得到近似的立方根值。
步骤3：如果a 是一个未知的实数，我们需要使用代数方法来解方程。
下面是一种代数方法来求解方程x^3 = a。
a. 首先，我们可以尝试假设一个解x = b，其中b 是我们要求解的立方根。
b. 将这个假设的解x = b 代入方程x^3 = a，得到b^3 = a。
c. 然后，我们可以尝试通过变换方程来求解b。
将方程b^3 = a 转化为b = ∛a。
d. 然后，我们可以继续使用这个方法来求解∛a 的值，直到找到一个满足方程的解。
步骤4：根据实际问题的需要，我们可以使用图形方法来求解方程的立方根。
可以绘制方程y = x^3 和y = a 在同一坐标平面上，然后找到这两条曲线的交点，交点的横坐标就是方程的立方根。
需要注意的是，方程的立方根可能有一个实数解，或者可能有三个实数解（分别对应实数解和复数解）。
具体情况取决于方程的形式和给定的条件。
在某些特殊情况下，可以使用特定的方法来求解方程的立方根，如使用因式分解或配方法。
总结起来，要求解一个方程的立方根，我们可以使用立方根的定义、代数方法、图形方法等来求解。
具体的方法取决于方程的形式和给定的条件。
需要注意的是，方程的立方根可能有一个实数解或三个实数解，具体情况需要根据实际问题来确定。
初中数学 立方根有哪些性质
初中数学立方根有哪些性质立方根是一个重要的数学概念，具有许多有趣的性质。
在这里，我将介绍一些常见的立方根性质：1. 唯一性：每个正实数都有一个唯一的正实数立方根。
例如，对于任何正实数x，存在唯一的正实数a，满足a³ = x。
这意味着每个正实数有一个确定的立方根。
2. 负数的立方根：对于负实数，它们也有立方根。
例如，对于任何负实数x，存在一个负实数a，满足a³ = x。
这意味着负实数也可以有一个确定的立方根。
3. 复数的立方根：除了实数立方根外，每个复数也有三个复数立方根。
例如，对于任何复数x，存在三个复数a₁、a₂和a₃，满足a₁³ = a₂³ = a₃³ = x。
这意味着复数的立方根是多值的。
4. 幂运算：立方根的概念可以与幂运算相互转化。
例如，对于任何正实数x，x的立方根可以表示为x的1/3次幂，即∛x = x^(1/3)。
同样地，对于复数，它们的立方根也可以通过幂运算表示。
5. 近似值：有些情况下，我们可能无法精确地计算一个数的立方根。
这时，我们可以使用近似值来表示。
例如，∛(8)的近似值约为2.828。
近似值可以通过数值逼近法或计算器来获得。
6. 运算性质：立方根具有一些运算性质，类似于平方根。
例如，对于两个正实数a和b，我们有以下运算性质：- ∛(a * b) = ∛a * ∛b- ∛(a / b) = ∛a / ∛b- (∛a)² = a^(2/3)- (∛a)³ = a^(3/3) = a7. 立方根的图像：我们可以绘制立方根函数的图像，以可视化立方根的性质。
立方根函数的图像是一个增长的曲线，起点是原点(0, 0)，并且随着输入值的增加而增加。
8. 几何应用：立方根在几何中有广泛的应用。
例如，在计算立方体的边长、体积和表面积时，我们可以使用立方根。
立方根还可以用于计算球体的半径和体积等。
总之，立方根是一个重要的数学概念，具有许多有趣的性质。
初中数学 什么是立方根
初中数学什么是立方根立方根是一个数学术语，用来表示一个数的立方的根。
在数学中，我们通常用符号∛来表示立方根。
与平方根类似，立方根也是一种特殊的根运算。
具体而言，给定一个数x，它的立方根是另一个数a，满足a³ = x。
为了更好地理解立方根的概念，我们来看一些例子：1. 对于一个正整数，例如8，它的立方根是2，因为2³ = 8。
我们可以说2是8的立方根。
2. 对于一个负整数，例如-27，它的立方根是-3，因为(-3)³ = -27。
我们可以说-3是-27的立方根。
3. 对于一个小数，例如0.125，它的立方根是0.5，因为0.5³ = 0.125。
我们可以说0.5是0.125的立方根。
需要注意的是，一个数可以有多个立方根，包括实数和复数。
例如，对于正数8，它有两个实数立方根2和-2，因为2³ = 8，(-2)³ = 8。
此外，8还有两个复数立方根，它们是2i和-2i，其中i是虚数单位。
立方根在数学和实际生活中有许多应用。
下面我将介绍一些常见的应用：1. 立方根的运算：我们可以使用计算器或数学软件来计算一个数的立方根。
这对于进行复杂的计算或解决立方根相关的问题非常有用。
2. 立方根的几何应用：立方根的概念在几何中有许多应用。
例如，立方根可以用于计算立方体的边长、体积和表面积。
3. 立方根的代数应用：立方根的概念在代数中也有应用。
例如，在解三次方程时，我们需要找到方程的立方根。
类似于二次方程的求解方法，我们可以使用求根公式来找到三次方程的解。
4. 立方根的统计学应用：立方根在统计学中也有一些应用。
例如，在计算平均误差和标准差时，我们可以用立方根来消除误差的平方。
总之，立方根是一个重要的数学概念，用来表示一个数的立方的根。
它在数学和实际生活中有许多应用，包括运算、几何、代数和统计学。
通过理解立方根的概念和应用，我们可以更好地解决各种数学问题和实际应用。
初中数学知识归纳立方根的概念和运算
初中数学知识归纳立方根的概念和运算立方根作为数学中的一个重要概念，是指一个数字的立方的逆运算。
在初中数学学习中，我们常常需要运用立方根的知识来解决各种问题。
本文将归纳立方根的概念和运算，并提供一些相关例题，帮助读者更好地理解和运用。
一、立方根的概念所谓立方根，是指一个数字的立方的逆运算。
假设a是一个实数，一个数字x满足x³=a，则称x为a的立方根。
例如，对于数字8来说，8的立方根就是2，因为2³=8。
同样地，对于数字27来说，27的立方根是3，因为3³=27。
立方根的符号通常为∛，表示一个非负实数的立方根。
如果要表示负实数的立方根，则需要在立方根符号上方加上一个负号。
二、立方根的运算规则1. 立方根与立方互为逆运算立方根和立方是互为逆运算的，即一个数字执行立方运算后再执行立方根运算，结果将回到原来的数字。
例如：∛(x³) = xx为任意实数。
2. 立方根的运算性质立方根具有以下运算性质：- 一个非负数的立方根是唯一确定的。
- 两个正实数的立方根的乘积等于这两个实数的立方根的乘积。
即∛(a*b) = ∛a * ∛b。
- 两个正实数的立方根的商等于这两个实数的立方根的商。
即∛(a/b) = ∛a / ∛b，其中b不等于0。
三、立方根的应用举例现在，让我们通过几个例题来更好地理解和应用立方根的概念和运算。
例题1：求以下各式的值：- ∛27- ∛8- ∛125解答：- ∛27 = 3。
因为3³=27。
- ∛8 = 2。
因为2³=8。
- ∛125 = 5。
因为5³=125。
例题2：求下列各式的值：- ∛(64 * 27)- ∛(216 / 8)解答：- ∛(64 * 27) = ∛(3³ * 4³) = 3 * 4 = 12。
因为12³=64*27。
- ∛(216 / 8) = ∛(3³ * 2³) = 3 * 2 = 6。
初中数学知识归纳立方根的运算规律及应用
初中数学知识归纳立方根的运算规律及应用立方根是数学中一个重要的概念，它可以用来求解一个数的立方根。
在初中数学中，我们经常会遇到立方根的运算，因此了解立方根的运算规律及其应用是非常必要的。
本文将归纳立方根的运算规律以及其在实际问题中的应用。
一、立方根的运算规律1. 定义：如果一个数a的立方等于b，那么b就是a的立方根，记作b=∛a。
2. 求解立方根的方法：我们可以通过试探法或计算器来求解立方根。
试探法就是从一些有规律的数中逐步试探，在试探的过程中逐渐逼近最接近的立方根值。
而计算器可以直接给出数的精确立方根值。
二、立方根的应用举例1. 计算立方根：当我们需要计算某个数的立方根时，可以利用立方根的运算规律来求解。
例如，我们需要求解8的立方根，根据定义可以得到∛8=2，即8的立方根为2。
2. 立方根的运算规律在代数中的应用：当我们需要对代数式进行化简或解方程时，立方根的运算规律也得到了应用。
例如，求解代数式x³-8的根，通过观察我们可以发现，8可以表示为2的立方，即x³-8=(x-2)·(x²+2x+4)。
通过因式分解，我们可以得到代数式的根。
三、立方根的应用拓展立方根不仅仅在数学中有重要的应用，还可以应用于其他领域。
下面以几个具体的例子来说明其应用拓展。
1. 空间几何应用：立方根可以应用于求解体积或边长。
例如，当我们知道一个正方体的体积为64立方厘米时，可以通过求解64的立方根来得到正方体的边长。
即边长³=64，得到边长=4厘米。
2. 统计学应用：在统计学中，我们常会遇到数据的均值差的立方根（均方根），它是方差开根号的一种特殊形式。
均方根可以用来度量数据的离散程度，从而进行数据的分析和比较。
3. 实际生活中的应用：立方根在实际生活中也有一些应用。
例如，当我们需要对音频或视频进行信号处理时，立方根可以用来计算信号的功率，从而分析信号的强度。
综上所述，初中数学中的立方根是一个重要的概念，了解立方根的运算规律及其应用对于学习和应用数学都具有重要意义。
初中数学中的立方根运算技巧
初中数学中的立方根运算技巧在初中数学中，立方根运算是一个重要的概念，它可以帮助我们解决很多与立方根相关的问题。
本文将介绍一些在求解立方根时的常用技巧和方法。
1. 概念与符号立方根，又称为三次根、立方根号，表示为∛a。
它的计算意义是：找到一个数x，使得x³=a。
其中，a为被开方的数，x为立方根。
立方根有正、负两个解，即正立方根和负立方根，常用符号表示为∛a和-∛a。
2. 负立方根的求取当a为负数时，我们可以通过以下方法求取负立方根：a）当a为一个整数的立方时，即a=b³（b为整数），负立方根为-∛a=-b。
例：-8的立方根为∛(-8)=-2。
b）当a为一个不是整数的立方时，负立方根可以转化为正立方根的相反数。
例：-27的立方根为∛(-27)=-∛27带上负号。
3. 立方根的近似计算求解较大数的立方根时，可以采用近似计算的方法来得到一个接近答案的结果。
以下是一种常用的近似计算方法：a）将被开方数a的近似值表示为一个整数b，且b³≈a。
b）通过迭代计算，不断逼近b的立方值与a的差距，直到满足要求为止。
4. 立方根的整数部分估算在没有计算器的情况下，我们可以通过估算被开方数的整数部分来估算立方根的整数部分。
以求解∛173为例，我们可以采取以下步骤：a）找到一个整数x，使得x³小于或等于173。
b）通过逐步增加x，我们可以发现7³=343，8³=512，9³=729。
c）因此，x=8，∛173 ≈ ∛512 = 8。
5. 立方根的小数部分估算在已经确定了立方根的整数部分后，我们可以通过一些技巧来估算立方根的小数部分。
以求解∛173为例，我们可以采取以下步骤：a）将立方根表示为整数部分和小数部分的和：∛173 = 8 + 0.abc...b）假设小数部分为0.abc...，其中a、b和c分别表示小数的百位、十位和个位。
c）将8 + 0.abc...整体立方，得到(8 + 0.abc...)³ = 173d）根据此等式，我们可以逐位算出小数部分的值。
初中数学知识归纳立方根的概念和性质
初中数学知识归纳立方根的概念和性质在初中数学中，学习立方根的概念和性质是必不可少的。
掌握了立方根的相关知识，不仅对于解决一些数学问题非常有帮助，而且还有助于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
下面就让我们来归纳一下初中数学中关于立方根的概念和性质。
一、立方根的概念在数学中，立方根是一个数学运算符。
对于给定的非负实数a，如果存在一个非负实数b，使得b的立方等于a，那么b就是a的立方根。
通常我们用∛a来表示a的立方根。
例如，2的立方根就是∛2。
二、立方根的性质1. 一个数的立方根存在唯一性。
也就是说，一个非负实数只有一个立方根。
比如，8的立方根就是2，而不可能是其他数。
2. 负数也有立方根。
对于一个给定的负数a，它的立方根可以表示为-∛(-a)。
例如，-8的立方根可以表示为-2。
3. 一个正数的立方根小于自身。
利用这个性质，我们可以判断两个数的大小关系。
例如，对于a和b两个正数，若a>b，则∛a>∛b。
4. 立方根运算满足结合律和分配律。
也就是说，对于任意的非负实数a和b，有以下等式成立：a的立方根的立方根 = ∛(∛a) = ∛a^(1/3) = a^(1/3)(a*b)的立方根 = ∛(a*b) = (∛a)*(∛b)5. 立方根运算满足幂运算的性质。
也就是说，对于任意的非负实数a和b，有以下等式成立：(a的立方根)^3 = (∛a)^3 = a^1 = a(a^b)的立方根 = ∛(a^b) = a^(b/3)三、立方根的计算方法计算立方根的方法有很多种，这里介绍一种常用的方法——牛顿迭代法。
假设要求一个数x的立方根Approx，则可以通过以下迭代公式来逐步逼近结果：Approx = (2*Approx + x/Approx^2)/3不断迭代计算，直到结果足够接近为止。
这种方法需要运用近似和迭代的思想，有助于培养学生的计算能力和解决问题的能力。
四、立方根的应用1. 立方根在几何中的应用。
初中数学 立方根的运算有哪些基本规则
初中数学立方根的运算有哪些基本规则立方根是数学中的一种运算，它有一些基本规则和性质。
以下是立方根的基本规则：1. 立方根的性质：对于任何非负实数x，它的立方根是一个实数a，满足a^3=x。
也就是说，立方根是一个数，使得它的立方等于给定的数。
2. 唯一性：每个非负实数都有唯一的立方根。
例如，对于任何正实数x，它的立方根是唯一确定的。
3. 零的立方根：零的立方根是0，因为0^3=0。
4. 负数的立方根：负数的立方根是负数的立方根的相反数。
例如，-8的立方根是-2，因为(-2)^3=-8。
5. 立方根的乘法：如果a和b都是非负实数，则(a * b)的立方根等于a的立方根乘以b的立方根。
也就是说，(a * b)^(1/3) = a^(1/3) * b^(1/3)。
6. 立方根的除法：如果a和b都是非负实数，则(a / b)的立方根等于a的立方根除以b的立方根。
也就是说，(a / b)^(1/3) = a^(1/3) / b^(1/3)。
7. 立方根的幂运算：对于任何非负实数a和正整数n，a的n次幂的立方根等于a的立方根的n次幂。
也就是说，(a^n)^(1/3) = a^(n/3)。
8. 立方根的加法和减法：不同数的立方根不能直接相加或相减。
例如，2的立方根加上3的立方根不能简单地写作2^(1/3) + 3^(1/3)。
这是因为立方根的加法和减法没有简单的表达式，需要使用数值近似方法来计算。
需要注意的是，立方根的运算通常是通过近似计算来得到结果，而不是精确的计算。
这是因为计算机和计算器通常使用有限的位数来表示实数，而实数的精确表示可能需要无限位数。
因此，在实际计算中，我们通常会得到一个近似的结果。
总结起来，立方根具有唯一性和一些基本规则。
立方根的运算包括乘法、除法、幂运算等，但加法和减法没有简单的表达式。
需要注意的是，立方根的计算通常是近似计算，而不是精确的计算。
具体的计算方法可以根据实际情况和需求来选择。
立方根
12.1 立方根
引例: 引例
某化工厂使用半径为1米 的一种球形储气罐储藏气 体，现在要造一个新的球 形储气罐，如果要求它的 体积必须是原来体积的8 倍，那么它的半径应是原 来储气罐半径的多少倍？ 如果新储气罐的体积是 原来的4倍呢？
引例解答
立方根定义： 立方根定义：
立方根性质 ：
”3“ 绝对不能省 ！ 为什么呢 ?
列表比较“平方根” 列表比较“平方根”与“立方 根”：
用定义进行开立方运算： 用定义进公式进行开立方运算： 用公式进行开立方运算：
例二． 例二．求下列各式的值。
随堂练习二. 随堂练习二 求下列各式的值。
补充练习 练习 求下列各式中的x的值
本课知识小结:
初中要背的根号表
初中要背的根号表根号表：一、平方根：1．√2=1.4142．√3=1.7323．√4=24．√5=2.2365．√6=2.4496．√7=2.6467．√8=2.8288．√9=3二、立方根：1．∛2=1.2592．∛3=1.4423．∛4=1.5874．∛5=1.7055．∛6=1.8176．∛7=1.9127．∛8=2三、更高阶根：1．∜2=1.1892．∜3=1.4423．∜4=1.5874．∜5=1.7025．∜6=1.8176．∜7=1.9137．∜8=2一、平方根：1. √2是一个有着1.414数值的根号表示方式，用它可以表示一个数的平方的平方根。
2. √3的数值为1.732，它代表了三的平方根。
3. √4的数值为2，表示4的平方根。
4. √5的数值为2.236，表示五的平方根。
5. √6的数值为2.449，它是六的平方根。
6. √7的数值为2.646，表示七的平方根。
7. √8的数值为2.828，等于八的平方根。
8. √9的数值为3，它就是九的平方根。
二、立方根：1. ∛2是一个有着1.259数值的根号表示方式，用它可以表示数的立方的立方根。
2. ∛3的数值为1.442，它代表了三的立方根。
3. ∛4的数值为1.587，它是四的立方根。
4. ∛5的数值为1.705，表示五的立方根。
5. ∛6的数值为1.817，等于六的立方根。
6. ∛7的数值为1.912，表示七的立方根。
7. ∛8的数值为2，代表了八的立方根。
三、更高阶根：1. ∜2是一个有着1.189数值的根号表示方式，用它可以表示两的更高阶根。
2. ∜3的数值为1.442，代表了三的更高阶根。
3. ∜4的数值为1.587，等于四的更高阶根。
4. ∜5的数值为1.702，它是五的更高阶根。
5. ∜6的数值为1.817，表示六的更高阶根。
6. ∜7的数值为1.913，代表了七的更高阶根。
7. ∜8的数值为2，表示八的更高阶根。
初中数学知识点精讲精析 立方根知识讲解
13·2 立方根
要点精讲
1. 立方根的概念
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，即：x3＝a，则x叫做a的立方
根，表示为3 a．
2. 立方根的性质
（1）一个正数有一个正的立方根．
（2）一个负数有一个负的立方根．
（3）0的立方根是0．
3. 互为相反数的立方根之间的关系：互为相反数．例如8的立方根为2，而－8的立方根为－2.
3
－a＝－3
a，也就是说一个负数的立方根，可以先求它的相反数的立方根，再取相反数．
4. 开方：（1）求一个数的平方根的运算叫开平方（2）求一个数的立方根的运算叫开立方．
注意事项
（1）要加强对平方根和算术平方根概念的理解，进一步明确非负数a的算术平方根是a，而平方根是±a．
（2）计算化简时要谨慎细心，如求81的平方根，需先算出81＝9，求81的平方根就是求9的平方根，而不是求81的平方根．
典型例题
例1.如果要把两个棱长分别是2.15cm，3.24cm的正方体铁块熔化，制成一个大的正方体铁块，那么这个大的正方体的棱长有多长？（结果保留3个有效数字）
分析：加工前两个正方体铁块的体积等于加工后一个正方体铁块的体积. 再根据正方体的体积与其棱长的关系便可求得.
解：设这个大正方体的棱长是xcm.
根据题意得x3＝2.153＋3.243，
∴x3≈9.938＋34.01，
x3≈43.948，
x≈3.53.
答：这个大的正方体的棱长是3.53cm.
评析：加工前后铁块的总体积不变是列方程解应用题中常见的一个等量关系.。
立方根课件初中数学湘教版八年级上册
※ 针对训练
1.8的立方根为（ C ）
A. 2 2 B. 2 2 C.2
D.±2
2.有下列四个说法：
①1的算术平方根是1；
② 1 的立方根是 1 ；
8
2
③-27没有立方根；
④互为相反数的两数的立方根互为相反数.
其中正确的是（ C ）
A.①② B.①③ C.①④ D.②④
3.已知一个正数的两个平方根分别为3a-1和-5-a，则这个
由于(-0.4)3=-0.064，因此 3 -0.064 =-0.4.
练一练 分别求下列各数的立方根： -27，1285 ，0.216.
解： 由于(-3)3=-27，因此 3 -27 =-3;
由于
2 5
3=
8 125
，因此 3
8 125
=
2 5
；
由于(0.6)3=0.216，因此 3 0.216 =0.6.
即3 -8 =-2.
பைடு நூலகம்
练一练
根据立方根的意义填空： 因为(0.5)3 = 0.125，所以 0.125 的立方根是（0.5）；
因为( 0)3 ＝ 0，所以 0 的立方根是（ 0）；
因为(
2 3
)3
＝
-8 27
，所以
-8 27
的立方根是（
2 3 ）.
求一个数的立方根的运算，叫作开立方. 开立方与立方互为逆运算，根据这种关系，可以求一个数的立方根.
3.2 立方根
学习目标
1. 了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方 根； 2. 了解开立方与立方互为逆运算，能用立方根运算 求某些数的立方根； 3. 能用计算器求一个数的立方根及其近似值.
※ 新课导入
初中数学 什么是二次根式的立方根的立方根
初中数学什么是二次根式的立方根的立方根二次根式的立方根的立方根是指对一个二次根式进行两次立方根运算的过程。
在数学中，一个二次根式可以表示为√a 的形式，其中 a 是一个正实数。
要求这个二次根式的立方根的立方根，需要按照以下步骤进行计算。
1. 将二次根式表示为指数形式。
即，将√a 表示为a^(1/2)。
2. 对a^(1/2) 进行立方根运算，得到(a^(1/2))^(1/3)。
3. 在进行立方根运算之前，我们可以对指数进行乘法运算。
即，将(a^(1/2))^(1/3) 简化为a^((1/2) * (1/3))。
4. 继续简化指数的乘法运算。
即，计算(1/2) * (1/3) 的结果。
5. 最后，将a 的指数结果进行简化，并得到最终结果。
为了更好地理解这个过程，让我们通过以下例子进行演示。
例子1：假设我们要求√16 的立方根的立方根。
解：首先，将√16 表示为16^(1/2)。
然后，对16^(1/2) 进行立方根运算，得到(16^(1/2))^(1/3)。
在进行立方根运算之前，我们可以简化指数的乘法运算。
即，计算(1/2) * (1/3) 的结果，得到1/6。
然后，将指数结果进行简化，得到16^(1/6)。
最终的结果是√16 的立方根的立方根为16^(1/6)。
例子2：假设我们要求√81 的立方根的立方根。
解：首先，将√81 表示为81^(1/2)。
然后，对81^(1/2) 进行立方根运算，得到(81^(1/2))^(1/3)。
在进行立方根运算之前，我们可以简化指数的乘法运算。
即，计算(1/2) * (1/3) 的结果，得到1/6。
然后，将指数结果进行简化，得到81^(1/6)。
最终的结果是√81 的立方根的立方根为81^(1/6)。
通过以上步骤，我们可以求得一个二次根式的立方根的立方根。
这个过程可以用于简化表达式或解决一些数学问题。
通过多做实例和练习，我们能够更好地掌握这个计算方法，提高解题能力。
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立 方 七年级数学课件
根
要做一个体积为27cm？
设正方体的棱长为X㎝,则
x3 27
这就是要求一个数,使它的立方等于27.
因为
33 27
所以 X=3. 正方体的棱长为3㎝
思考：(1)什么数的立方等于-8？ -2
(2)如果问题中正方体的体积为5cm3，正方 体的棱长又该是多少？
（３）因为( 0 )3＝０，所以０的立方根是（ 0 ）；
（４）因为 ( 2)3 ＝－8，所以－8的立方根是（ 2）；
（５）因为(
2)3
3
＝－
－287 ，所以－－287
的立方根（
2）
3
探究题中正数、0和负数的立方根各有 什么特点?
归 纳 总 结 立方根的特征
正数有立方根吗？如果有，有负数呢？零呢？ 几个? 一个正数有一个正的立方根；
3
a
被开方数
例如: 33=27 则把3叫做27的立方根,即 3 27 3
如：23=8，则2是8的立方根 即3 8 2
∵( -2)3=-8，∴ -2 是-8的立方根 即3 8 2
∵( 1)3=1，∴ 1 是1的立方根
∵( 0)3=0，∴ 0的立方根是 0 ∵( -4)3=-64，∴ -64的立方根是 -4
么这个数叫做a的平方根。 么这个数叫做a的立方根。
a的平方根用±
a表示 a的立方根用 3 a 表示
2、平方根的性质
2、立方根的性质
（1）一个正数有两个平方根， 它们互为相反数
（2）0的平方根还是0
（3）负数没有平方根 3、平方根的求法：
（1）正数的立方根还是正数 （2）0的平方根还是0 （3）负数的立方根还是负数
你能求出它们的值吗？
(1)3 64 ;
(2)3 125 ;
(3)3 27 ; 64
(4)3 (3)3 ;
(5)3 2 3 ; 64
1.分别求下列各式的值：
(1) 3 1000
(2) 3 0.001
(3)3 1 (4) - 3 64
125
(5) 3 216
(6)3 4 17 27
a
例:求下列各式的值
(1) 3 64
(2) 3 125
(3) 3 27 64
解: (1) 3 64 =4
(2) 3 125 = 3 125 =-5
(3) 3
27 64
=
3
27 64
=-
3 4
归纳:
求一个负数的立方根,可以先求出这个负数绝 对值的立方根,然后再取它的相反数.
下列式子表示什么意义？
填表：
正方体的
体积a 1
8
棱长 x 1 2
27 64
27
12255
4
3 3 ?5
x 3=a
立方根的概念. 一般地，如果一个数的立方等于a，这个
数就叫做a的立方根(也叫做三次方根). 用式子表示，如果X3 =a，那么X叫做a的立方根.
a的平方根怎样表示?
答： 2 a 或 a
类似的请同学们想一想a的立方根怎样表示？
立方根的表示方法：
数a的立方根用3 a表示
1.立方根的概念.
一般地，如果一个数的立方等于a，这个数就叫 做a的立方根(也叫做三次方根).
用式子表示，如果X3 =a，那么X叫做a的立方根.
数a的立方根用符号“3 a ”表示,读作“三次根号a 其中a是被开方数,3是根指数(注意:根指数3不能省略).
根指数
（1） x3＝343 （2）（x－1）3＝125
（3） 3 x 2 （4） 3 x 2 4
解: (1)x 3 343
(2)x 1 3 125
∴x-1＝5
∴x＝7
X=6
（3）x＝23
（4） X-2＝43
∴x＝8
∴X＝66
思考:
(1) x3= -0.008 ,则x的值为多少？
(2) 已知 一个立方体的体积为7cm3, 则它的表面积为多少?
(7) 3 9 3
解: (1) 3 1000 10
(2) 3 0.001 0.1
(3)3 1 1
(4) 3 64 4 125 5
(5) 3 216 6 (6)3 4 27 3 125 5
(7) 3 9 3 9
27 27 3
2、你能求出下列各式中的未知数x吗？
一个负数有一个负的立方根，
零的立方根是零。
讨论:你能归纳出平方根和立方根的异同点
吗? 被开方数
平方根
立方根
正数 有两个互为相反数 有一个,是正数
负数
无平方根
有一个,是负数
零
零
零
练习:1、下列说法是否正确,并说明理由
(1)
27 64
的立方根是
3 4
(×)
(2) 负数不能开立方 ( × )
(3) 4的平方根是2 ( ×) (4)立方根是它本身的数只有零( × )
思考： 如果正方体的体积为5cm3，正方体的棱
长又该是多少？
设正方体的棱长为X,则 x3 5
所以正方体的棱长是 3 5 ㎝.
探索 思考
3
1. 探究 活动二 启发诱导,探索新知
（１） 因为2 3=8，所以8的立方根是（ 2 ）；
（２） 因为(0.5)3=0.125,所以0.125的立方根是0（.5 ）；
(5)平方根是它本身的数只有零( √ )
(6) 64 的立方根是4 (×)
练习2.填空：
(1) (__-_5__)3 125, 3 125 __-_5__
(2) (__54___)3
64 , 3
64
4
__5 ___
125
125
3.求下列各数的立方根：
（1）1，（2）-1 ，（3） -0.000008 （4）343
引伸探究2
因为 3 8 = -2 , 3 8 = -2 所以 3 8 = 3 8
因为 3 27 = -3 , 3 27 = -3
所以 3 27 = 3 27
互为相反数的数的 立方根也互为相反
猜一猜:
数
你能从上述问题中总结出互为相反数的两个数a与
-a的立方根的关系吗?
3
-a
3
1.立方根的定义,性质,计算. 2.立方根与平方根的异同
相同点: ①0的平方根、立方根都有一个是0 ②平方根、立方根都是开方的结果。
不同点：①定义不同 ②个数不同 ③表示方法不同 ④被开方数的取值范围不同
小结：
1、平方根的定义：如果
1、立方根的定义：如果
一个数的平方等于a,那
一个数的立方等于a,那
立方根的表示方法.
a 根指数 3
根号 被开方数
你会区别下列的数吗？
a ， a ， 3 a ， 4 a
a 表示a的算术平方根
a 表示a的平方根或a的二次方根
a 3
表示a的立方根或a的三次方根
a 4
表示a的四次方根
2.开立方. 求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
开立方与立方也是互为逆运算，因此求一个数 的立方根可以通过立方运算来求.
3、立方根的求法：
如求4的平方根：
如求8的立方根：
∵ (±2)2 = 4
∵ 23 = 8
∴4的平方根是±2
∴8的立方根是2
即 4 2
即 3 82
3.如果3x+16的立方根是4，求 2x+4的算术平方根.
5.若3 2y 4与3 4 3x 互为相反数，求yx 的值.
4.若3 x 5 3 y 6 0,求x y的值.
练一练
1.判断下列说法是否正确,并说明理由
x (1)
8 27
的立方根是
2 3
x (2) 25的平方根是5
(3) -64没有立方根
x
(4) -4的平方根是 2 x √ (5) 0的平方根和立方根都是0
想一想
立方根是它本身的数有那些? 有1, -1, 0
平方根是它本身的数呢? 只有0
算术平方根是它本身的数呢? 有1, 0