高三数学总复习课件-二项式定理

【解题提示】(1)在(1+x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn中,令x=1可得 a0+a1+a2+a3+…+an的值,令x=0可得a0的值. (2)令x=-2,可得a0,令x=0,可得a0+2a1+4a2+8a3的值. 【规范解答】(1)选B.在(1+x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn中,令x=1可 得a0+a1+a2+a3+…+an=2n;令x=0可得a0=1.依题意得:2n-1=63,解得:n=6, 所以展开式中系数最大的项为 C36 x3=20x3.
=_2_n_-1_.
3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:公式代入法、赋值法、放缩法等. (2)数学思想:函数与方程思想、转化与化归思想. (3)记忆口诀:
a加b的n次方,展开比n多一项, 全组合作系数,指数之和都一样.
【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)在二项展开式中第k项为 Ckn an-kbk.( ) (2)通项 Ckn an-kbk中的a和b不能互换.( ) (3)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项.( ) (4)(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关.( ) (5)(a+b)n某项的系数是由该项中非字母因数部分,包括符号等构成, 与该项的二项式系数不同.( )
即 nn 1n 2n 3n 4 = 3 n n 1n 52! n 3n 4n 5(n≥6)，解得n=7.
6!
考点3 二项式定理的应用 知·考情
二项式定理是高考考查的重点内容,二项式定理与其他知识交汇 是一个重要的考向,常与不等式、函数、整除问题等知识综合,以选择 题、填空题的形式出现.
【加固训练】(2015·西安模拟)(1+3x)n(其中n∈N,且n≥6)的展开式
中,若x5与x6的系数相等,则n=( )
A.6
B.7
C.8
D.9
【解析】选B.二项式(1+3x)n的展开式的通项是 Tr1 Crn1nr 3x r
= Crn ·3r·xr.依题意得：C5n 35 C6n 36,
【解析】(1)错误.在二项展开式中第k+1项为 Ckn an-kbk,而第k项应为
Ck1 n
an-k+1bk-1.
(2)正确.通项 Ckn an-kbk中的a与b如果互换,则它将成为(b+a)n的第
k+1项.
(3)错误.由二项展开式中某项的系数的定义知:二项展开式中系数最
大的项不一定是中间一项或中间两项,而二项式系数最大的项则为中
【变式训练】1.(2015·天津模拟)在(2x2- 1 )5的二项展开式中,
x
x的系数为( )
A.10
B.-10
C.40
D.-40
【解析】选D.Tr+1=
C5r (2x2)5-r
( 1 )r =(-1)r
x
C5r·25-r·x10-3r,
令10-3r=1,得r=3,所以x的系数为- C35 ·22=-40.
C12n

C32n

…

C2n1 2n
的值为
________.
【解析】因为
C02n
C12n

…
C2n 2n

22n，
所以
C12n

C32n
…
C2n1 2n

22n 2
22n1.
答案：22n-1
3.真题小试 感悟考题 试一试
(1)(2015·沈阳模拟)已知(x- 1 )7的展开式的第4项等于5.则x等于
(2)令x=-2得a0=-1. 令x=0得27=a0+2a1+4a2+8a3. 因此a1+2a2+4a3=14. 因为 C30 (2x)3·30=a3·x3. 所以a3=8. 所以a1+2a2+3a3=14-a3=6. 所以a0+a1+2a2+3a3=-1+6=5. 答案:5
【一题多解】本题还可以用如下方法解决: 由于2x+3=2(x+2)-1,故(2x+3)3=[2(x+2)-1]3= 8(x+2)3-4 C13(x+2)2+2 C32(x+2)-1, 故a3=8,a2=-12,a1=6,a0=-1. 故a0+a1+2a2+3a3=-1+6-24+24=5. 答案:5
间一项或中间两项.
(4)正确.因为二项式(a+b)n的展开式中第k+1项的二项式系数为 Ckn , 显然它与a,b无关. (5)正确.因为二项展开式中项的系数是由该项中非字母因数部分, 包括符号构成的,一般情况下,不等于二项式系数. 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√
2.教材改编 链接教材 练一练
【互动探究】第(1)题中条件不变,求展开式系数相同项共
对.
【解析】依题意可知:x(1+x)6的展开式中系数相同的项即为(1+x)6展
开式中系数相同的项,而(1+x)6展开式中系数相同的项共有3对.
答案:3
【规律方法】求二项展开式中的特定项或项的系数的方法 (1)展开式中常数项、有理项的特征是通项中未知数的指数分别为零 和整数.解决这类问题时,先要合并通项中同一字母的指数,再根据上 述特征进行分析. (2)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等,一般要利 用通项公式,运用方程思想进行求值,通过解不等式(组)求取值范围.
x
的常数项为( )
A.10
B.20
C.30
D.120
【解析】选B.二项式系数之和2n=64,所以n=6,
Tr+1=
C6r
x6r
(
1 x
)r＝C6r
x
， 62r
当6-2r=0,即r=3时为常数项.T4= C36 =20.
2.已知 (x a )8 展开式中常数项为1120,其中实数a是常数,则展开式
2.必备结论 教材提炼 记一记
(1)(a+b)n的展开式的各个二项式系数的和等于_2_n ,
即__C_0n __C_1n___C_n2_____C__nn __2_n__. (2)二项展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数
的和,即 C0n C2n C4n C1n C3n C5n
(1)(选修2-3P37T5(2)改编)
(x
2

2 x3
)5
展开式中的常数项为
.
【解析】
Tr＋1＝C5r
(x2 )5r
(
2 x3
)r＝C5r
2 r x105r，
令10-5r＝0，得r＝2，故常数项为 C52×(-2)2＝40.
答案：40
(2)(选修2-3
P35T1(2)改编)化简：
x
则 A ＝_______.
B
【解析】 Tr＋1＝C6r x6r (
2 x
)r＝C6r

2r
x
6
3r
2，
令6-
3r ＝3，得r＝2，所
2
以T3＝ C62 (-2)2x3＝60x3，所以x3的系数为A＝60，二项式系数为B＝
C62＝15，所以
A＝60＝4. B 15
答案：4
考点2 二项式系数或各项系数和的问题
考点1 求二项展开式的特定项或系数
【典例1】(1)(2014·四川高考)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数
为( )
A.30
B.20
C.15
D.10
(2)(2014·湖南高考)( 1 x-2y)5的展开式中x2y3的系数是( )
2
A.-20wk.baidu.com
B.-5
C.5
D.20
【解题提示】(1)展开式中的x3项就是(1+x)6中的x2项.
(3)若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为
f(1),
奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=
f 1 f 1
, 2
偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=
f 1 f 1
.
2
【变式训练】1.若 (x 1 )n 展开式的二项式系数之和为64,则展开式
【典例2】(1)设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,若a1+a2+a3+…+an =63,则展开式中系数最大的项是( )
A.15x2
B.20x3
C.21x3
D.35x3
(2)若(2x+3)3=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+a3(x+2)3,则a0+a1+2a2+3a3= .
x
中各项系数的和是( )
A.28 B.38 C.1或38
D.1或28
【解题提示】令Tr+1项中x的指数为0可求得常数a的值;在二项展开式 中当x=1时即得各项系数的和.
【解析】选C.Tr+1=
C8r
x8r
(
a x
)r＝
a
r
C8r
x82r，
令8-2r=0得r=4,
由条件知,a4 C84 =1120,所以a=±2, 令x=1得展开式各项系数的和为1或38.
明·角度
命题角度1:与整除有关的问题
【典例3】(2015·潍坊模拟)设a∈Z,且0≤a<13,若512012+a能被13整
除,则a=( )
A.0
B.1
C.11
D.12
【解题提示】将512012分解成适合二项式定理的形式.
【规范解答】选D.由于51=52-1,
(52-1)2012=
,所以
C130 a 3
＝15,解得a＝
1 2
.
答案： 1
2
(3)(2015·烟台模拟)化简 C22n＋C42n＋…＋C22kn＋…＋C22nn 的值为______.
【解析】 (1＋x)2n＝C02n＋C12nx＋C22nx2＋C32nx3＋…＋C22nnx2n. 令x＝1得 C02n＋C12n＋C22n＋…＋C22nn1＋C22nn＝22n；
(2)利用二项展开式的通项公式求解.
【规范解答】(1)选C.因为x(1+x)6= x(C06x0 C16x1 C62x2 C36x3 C64x4
C56x5 C66x6 )
=x+6x2+15x3+20x4+15x5+6x6+x7,故选C.
(2)选A.因为
C35
(
1 2
x)2 (-2y)3=-20x2y3,所以x2y3的系数是-20.
2.(2015·新乡模拟)若(1+2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，
则x的取值范围是________.
【解析】依题意
T2＞T1, T2＞T3 ,
解得 1 ＜x＜1 .
12 5
即
C16 2x ＞1,
C16

2x
＞C62

2x
2
,
答案：1 ＜x＜1
12 5
【加固训练】设 (x 2 )6 的展开式中x3的系数为A，二项式系数为B，
x
()
A. 1
B.- 1
C.7
D.-7
7
7
【解析】选B.(x-
1 x
)7的展开式中
T4

C37x4 (
1 )3 x
5
，所以x=-
1 7
.
(2)(2014·新课标全国卷Ⅱ) (x＋a)10的展开式中,x7的系数为15,
则a=________.(用数字填写答案)
【解析】因为
C130x7a3＝15x7
(4)二项式系数的性质:
性质 对称性 增减性
最大值
性质描述
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,
即
Cmn

Cnm n
二项式
当k< n 1(n∈N*)时,是递增的
2
系数 Ckn
当k> n 1(n∈N*)时,是递减的
2
n
当n为偶数时,中间的一项 Cn2 取得最大值
n 1
n 1
当n为奇数时,中间的两项 Cn2 和 Cn2 取得最大值
再令x＝-1得
C02n
C12n＋C22n
…＋
1
r
C2r n＋…

C2n 2n
1＋C22nn＝0.
两式相加得 2(C02n＋C22n＋…＋C22nn )＝22n，又 C02n ＝1，
得
C22n＋C42n＋…＋C22kn＋…＋C22nn＝
22n 2
1＝22n1
1.
答案：22n-1-1
【易错警示】解答本题(1)有两点易出错: (1)求展开式中系数最大的项,易求为展开式中二项式系数最大的项. (2)本题也易求成展开式中系数的最大值,而不是系数最大的项.
【规律方法】赋值法的应用 (1)形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子求其展开式的各项系 数之和,常用赋值法,只需令x=1即可. (2)对形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令 x=y=1即可.
第三节 二项式定理
【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)二项式定理: (a+b)n=__C_0n_a_n __C_1n_a_n_1b______C_kn_a_n_k_b_k_____C__nnb_n_(_n__N__*)__. (2)二项展开式的通项: 第k+1项为:Tk+1=_C__kna_n__kb_k_. (3)二项式系数: 二项展开式中各项的二项式系数为_C__kn (_k_=_0_,_1_,_2_,_…__,_n_)__.