隧道工程第七章隧道工程设计中的有限元方法
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到目前为止，有限元法已被应用于固体力学、流体力学、 热传导、电磁学、声学、生物力学等各个领域；能进行由杆、 梁、板、壳、块体等各类单元的弹性、弹塑性、塑性或粘性问 题的求解，包括静力和动力问题；能解决土力学、岩石力学、 断裂力学等问题；能求解流体场、温度场、电磁场等场分布问 题的稳态和瞬态问题；还能求解水流管路、电路、润滑、噪声 以及固体、流体、温度相互作用问题。
中第一次给出了用三角形单元求得的平面应力问题的真正解答。 他们利用弹性理论的方程求出了三角形单元的特性，并第一次 介绍了今天人们熟知的确定单元特性的直接刚度法。
“ 有 限 元 法 ” 这 个 名 称 ， 第 一 次 出 现 在 1960 年 ， 当 时 Clough在一篇平面弹性问题的论文中应用过它。工程师们开始 认识了有限元法的功效，此后有限元法在工程界获得了广泛的 应用。到20世纪70年代以后，随着计算机和软件技术的发展， 有限元法也随之迅速地发展起来。
3) 根据弹性力学的基本方程推导出单元节点力和节点位 移之间的关系，建立作用于在每个节点上力的平衡方程式。 于是得到一个以节点位移与未知数的线性方程组。
4) 加入位移边界条件求解方程组，得到全部未知位移， 进而求得各单元的应变和应力。
『 7.2.2 ▎平面问题的有限元分析
下面以弹性力学平面问题的有限元分析为例，介绍有限 元法的基本思想、原理和分析步骤。
『 7.1.3 ▎有限元法软件简介
其特点就是“通用性”。单元库内一般常用单元
大型通 齐全，如杆单元、梁单元、膜单元、板单元、壳
用软件 单元、轴对称单元、实体单元、边界元等。功能
有
库内分析模块众多，应用范围广泛。
限 元 法 专用 软 软件
它是为解决某一类学科问题，如接触问题、优化 问题、弹塑性问题等，或是解决某一类产品基础 件的计算分析问题等而发展起来的。其规模一般 比较小，解决问题比较专一，适合在小型及微型
件
计算机上运行。
自编特 此类软件主要应用在科研和教学上。这类程序不 殊软件 用特别技巧，只要说明问题即可，规模不大。
有限元软件发展很快，我国已引进的主要软件有： ANSYS，SAP，ADINA，ASKA、MARC、NONSAP等，许多软件具 备了前、后处理功能，这不仅提高了解题速度，还极大地方 便了使用者，对有限元法的普及与应用起了很大的促进作用。
有限元法最初被用来研究复杂的飞机结构中的应力，它 是将弹性理论、计算数学和计算机软件有机地结合在一起的 一种数值分析技术。其基本思想是把求解区域看作由许多小 的在节点处相连接的单元构成（离散化），其模型给出基本 方程的大单元近似解。目前它已成为一种非常受欢迎的、应 用极广的数值计算方法。
有限差分法化常微分方程或偏微分方程为差分方程，然 后结合初始及边界条件，求解线性代数方程组。其计算可给 出模型基本方程的逐点近似值（差分网格上的点），但对于 不规则的几何形状和不规则的特殊边界条件问题，有限差分 法就难以应用了。
1．结构离散
结构离散也称为网格划分，即将连续的二维平面，假想 地分割成有限多个单元和节点。这些单元之间只在节点上互 相连接，单元之间的力仅靠节点传递。常用的单元有3节点 三角形单元、6节点三角形单元、4节点矩形单元和8节点矩 形单元等。
『 7.2 ▎有限元法基础
『 7.2.1 ▎概述
有限元法的分析过程，概括起来可分为以下几个步骤：
1)将一个受力的连续体“离散化”，即将它看作是由一 定数量的有限小的单元（最简单的是三角形单元）的集合体。 而认为这些单元之间只在节点上互相联系，亦即只有节点才 能传递力。
2) 按静力等效原则将作用于每个单元的外力（包括面力、 体力、温度以及各相邻单元的作用力）简化到节点上去，形 成等效节点力。
隧 道 工
7 『第七章 ▎隧百度文库工程设计
中的有限元法
程
『 7.1 ▎概述
『 7.2 ▎有限元法基础
SUI DAO GONG CHENG
『 7.3 ▎隧道围岩弹塑性 有限元分析
『 7.4 ▎工程实例分析
『 7.1 ▎概述
『 7.1.1 ▎数值分析法简介
以往隧道工程被认为是以经验为主的学科，是一种“工艺” 而不是一种“科学”。这是因为岩土介质作为隧道工程的对象 包含着多种随机因素(例如：非均匀性和各向异性，地质构造和 结构面，应力-应变的非线性本构关系，初始地应力，地下水等 等)，正确掌握这些因素及其变化规律非常困难。因而试图按经 典的弹性力学方法获得解析解是十分困难的，甚至是不可能的。 因此寻求近似解法就成了必由之路。经过多年的探索，近似算 法 有 许 多 种 ， 常 用 的 数 值 分 析 方 法 是 有 限 元 法 （ Finite element method ， FEM ） 、 有 限 差 分 法 （ Finite difference method ， FDM ） 、 边 界 元 法 （ Bounder element method ， BEM ） 、 变 分 法 （ Variation method ， VM ） 和 加 权 余 量 法 （Weighted residual method，WRM）。
加权余量法可以引入试函数和权函数，从微分方程中直 接求出近似的数值解。它的优点是可以避免建立能量方程， 使一些无法求得能量方程的课题得到了较精确的解答。
『 7.1.2 ▎有限元法发展概况
有 限 元 法 的 概 念 可 以 追 溯 到 20 世 纪 40 年 代 。 1943 年 ， Courant第一次在他的论文中，取定义在三角形分片上的连 续函数，利用最小势能原理研究了St.Venant的扭转问题。 1956年，Turner，Clough，Martin和Topp等人在他们的论文
边界元法化微分方程为边界方程，使用类似于有限元法 的离散技术来离散边界。离散化所引起误差仅来源于边界， 因而提高了计算精度。依靠边界节点上算得的量，即可计算
区域内的有关物理量，从而减少了准备工作量及计算量。缺 点是对变系数或非线性问题的适应性不如有限元法。
变分法是讨论泛函的极值问题，对上述有限差分法和有 限元法都可起推导基本公式的作用。而这方法本身，也是数 值方法中最古老的方法。
中第一次给出了用三角形单元求得的平面应力问题的真正解答。 他们利用弹性理论的方程求出了三角形单元的特性，并第一次 介绍了今天人们熟知的确定单元特性的直接刚度法。
“ 有 限 元 法 ” 这 个 名 称 ， 第 一 次 出 现 在 1960 年 ， 当 时 Clough在一篇平面弹性问题的论文中应用过它。工程师们开始 认识了有限元法的功效，此后有限元法在工程界获得了广泛的 应用。到20世纪70年代以后，随着计算机和软件技术的发展， 有限元法也随之迅速地发展起来。
3) 根据弹性力学的基本方程推导出单元节点力和节点位 移之间的关系，建立作用于在每个节点上力的平衡方程式。 于是得到一个以节点位移与未知数的线性方程组。
4) 加入位移边界条件求解方程组，得到全部未知位移， 进而求得各单元的应变和应力。
『 7.2.2 ▎平面问题的有限元分析
下面以弹性力学平面问题的有限元分析为例，介绍有限 元法的基本思想、原理和分析步骤。
『 7.1.3 ▎有限元法软件简介
其特点就是“通用性”。单元库内一般常用单元
大型通 齐全，如杆单元、梁单元、膜单元、板单元、壳
用软件 单元、轴对称单元、实体单元、边界元等。功能
有
库内分析模块众多，应用范围广泛。
限 元 法 专用 软 软件
它是为解决某一类学科问题，如接触问题、优化 问题、弹塑性问题等，或是解决某一类产品基础 件的计算分析问题等而发展起来的。其规模一般 比较小，解决问题比较专一，适合在小型及微型
件
计算机上运行。
自编特 此类软件主要应用在科研和教学上。这类程序不 殊软件 用特别技巧，只要说明问题即可，规模不大。
有限元软件发展很快，我国已引进的主要软件有： ANSYS，SAP，ADINA，ASKA、MARC、NONSAP等，许多软件具 备了前、后处理功能，这不仅提高了解题速度，还极大地方 便了使用者，对有限元法的普及与应用起了很大的促进作用。
有限元法最初被用来研究复杂的飞机结构中的应力，它 是将弹性理论、计算数学和计算机软件有机地结合在一起的 一种数值分析技术。其基本思想是把求解区域看作由许多小 的在节点处相连接的单元构成（离散化），其模型给出基本 方程的大单元近似解。目前它已成为一种非常受欢迎的、应 用极广的数值计算方法。
有限差分法化常微分方程或偏微分方程为差分方程，然 后结合初始及边界条件，求解线性代数方程组。其计算可给 出模型基本方程的逐点近似值（差分网格上的点），但对于 不规则的几何形状和不规则的特殊边界条件问题，有限差分 法就难以应用了。
1．结构离散
结构离散也称为网格划分，即将连续的二维平面，假想 地分割成有限多个单元和节点。这些单元之间只在节点上互 相连接，单元之间的力仅靠节点传递。常用的单元有3节点 三角形单元、6节点三角形单元、4节点矩形单元和8节点矩 形单元等。
『 7.2 ▎有限元法基础
『 7.2.1 ▎概述
有限元法的分析过程，概括起来可分为以下几个步骤：
1)将一个受力的连续体“离散化”，即将它看作是由一 定数量的有限小的单元（最简单的是三角形单元）的集合体。 而认为这些单元之间只在节点上互相联系，亦即只有节点才 能传递力。
2) 按静力等效原则将作用于每个单元的外力（包括面力、 体力、温度以及各相邻单元的作用力）简化到节点上去，形 成等效节点力。
隧 道 工
7 『第七章 ▎隧百度文库工程设计
中的有限元法
程
『 7.1 ▎概述
『 7.2 ▎有限元法基础
SUI DAO GONG CHENG
『 7.3 ▎隧道围岩弹塑性 有限元分析
『 7.4 ▎工程实例分析
『 7.1 ▎概述
『 7.1.1 ▎数值分析法简介
以往隧道工程被认为是以经验为主的学科，是一种“工艺” 而不是一种“科学”。这是因为岩土介质作为隧道工程的对象 包含着多种随机因素(例如：非均匀性和各向异性，地质构造和 结构面，应力-应变的非线性本构关系，初始地应力，地下水等 等)，正确掌握这些因素及其变化规律非常困难。因而试图按经 典的弹性力学方法获得解析解是十分困难的，甚至是不可能的。 因此寻求近似解法就成了必由之路。经过多年的探索，近似算 法 有 许 多 种 ， 常 用 的 数 值 分 析 方 法 是 有 限 元 法 （ Finite element method ， FEM ） 、 有 限 差 分 法 （ Finite difference method ， FDM ） 、 边 界 元 法 （ Bounder element method ， BEM ） 、 变 分 法 （ Variation method ， VM ） 和 加 权 余 量 法 （Weighted residual method，WRM）。
加权余量法可以引入试函数和权函数，从微分方程中直 接求出近似的数值解。它的优点是可以避免建立能量方程， 使一些无法求得能量方程的课题得到了较精确的解答。
『 7.1.2 ▎有限元法发展概况
有 限 元 法 的 概 念 可 以 追 溯 到 20 世 纪 40 年 代 。 1943 年 ， Courant第一次在他的论文中，取定义在三角形分片上的连 续函数，利用最小势能原理研究了St.Venant的扭转问题。 1956年，Turner，Clough，Martin和Topp等人在他们的论文
边界元法化微分方程为边界方程，使用类似于有限元法 的离散技术来离散边界。离散化所引起误差仅来源于边界， 因而提高了计算精度。依靠边界节点上算得的量，即可计算
区域内的有关物理量，从而减少了准备工作量及计算量。缺 点是对变系数或非线性问题的适应性不如有限元法。
变分法是讨论泛函的极值问题，对上述有限差分法和有 限元法都可起推导基本公式的作用。而这方法本身，也是数 值方法中最古老的方法。