vibration test5(振动测试)

频率响应函数
• 频率响应函数是频域系统分析方法中的重要参数，在 工程中具有十分重要的意义，可由测量得到的激励 （输入）和响应（输出）求出 • 对于简谐（确定性信号）激励 t –若输入为 x(t ) = x0 sin ω， 则输出为 y (t ) = y0 sin(ωt + ϕ ) y 0 − jϕ e x0 H (ω ) 的模给出了简谐激励时的输出与输入 –显然， 的幅值比，而它的相角给出了输入输出的相位差 –输出/输入的频响函数为 H (ω ) =
离散傅立叶变换(DFT)
• 一个时域信号x(t)的无限傅立叶变换定义为：
X(f)=
∫
∞
−∞
x ( t ) e − j 2 π ft dt
• 实际进行信号分析时，信号样本长度有限，设 为T，则可计算有限傅立叶变换
X(f)=
• 以间隔∆t对x(t)进行采集，得到离散化数据x(n)
x(n) = x(n∆t) n = 0 ,1,2 ,...,N - 1
离散频谱
非周期 连续时间信号
傅立叶变换
连续频谱
离散傅立叶变换
离散 时间信号
离散频谱
快速傅立叶变换(FFT)
• 1965发现FFT算法，随着计算机运算速度的大幅 提高，该算法得到广泛应用，开辟了动态信号分 析的新纪元 • FFT要求运算的点数是2的N次幂 • 以1024点FFT为例完成DFT需 N 2 ≈ 10 6 次乘法运 算，而FFT算法只需 N log 2 N ≈ 4.5 ×103 次乘法运 2 2 算，运算速度提高200多倍
−∞
ω→0
1 T − jnωt 2 dt T x (t )e T ∫− 2
X (ω ) = ∫ x (t )e − jωt dt
傅立叶变换 傅立叶反变换
x (t ) =
1 2π
∫
∞
−∞
X (ω )e jωt dω
概
•信号的分类
确定性信号
• 周期性信号 • 非周期性信号
述
非周期信号分析 — 傅立叶变换
– 均值 – 均方值/均方根 – 方差/标准差
• DFT特性 1）周期性
X (k ) = X ( k ± lN )
周期性将带来频率“混叠”
• 时间域
– 自相关函数 – 互相关函数
2）折叠性
共轭对称序列 实部对称，虚部反对称
X (k ) = X ∗ ( N − k )
X(k) 实 部
k
X(k) 虚 部
随机振动信号的基本统计量
•均值
– 各态历经随机过程的均值等于 µx 样本函数的时间平均值 – 表征随机信号的直流分量
= lim
T →∞
1 T
∫
T
0
x(t )dt
•均方值/均方根值
– 表征信号的强度 1 – 均方根值(RMS)是均方值的正 2 ψ = lim 平方根，又称有效值，是信号 x T →∞ T 平均能量的一种表达
• X (ω )是复数，它反映了频率等于 f 的谐波分量 的幅值和相位 • 非周期信号可通过傅立叶变换变成连续频谱
x(t) S(f)
非确定性信号
•信号分析的内容
在时域、频域、幅值域内对信号进行分析 时域<－>频域
t f
周期信号分析
• 最简单的周期振动是简谐振动： 几个基本概念
随机信号分析
• 随机信号是不确定性信号，但是具有统计意义上的 规律性，可用随机过程来描述 • 随机信号是包含大量样本的集合。研究单个样本显 得杂乱无章，但是从总体上看却具有规律性，因此 需借助概率统计方法来描述 • 平稳随机过程：统计特性不随时间变化的随机过程 • 各态历经过程：整个随机过程的统计特性与每个样 本的统计特性相同，工程中一般采用此假设 • 对于各态历经的平稳随机过程，只要一个样本函数 就能反映整个随机过程
∫
T
0
x ( t ) e − j 2 π ft dt
• 对离散数据，傅立叶变换的积分运算转化为求 和运算，其结果为离散频率的序列
X ( k∆f ) = ∑ x (nTs )e
n =0 N −1 − j 2π nk N
, ∆f =
1 T
功率谱密度
• 自相关函数的傅立叶变 换得到自功率谱密度函数 ∞ • 自功率谱密度函数的傅 立叶反变换得到自相关函数 ∞ • 同样，两个随机信号的互相关函数与互功率谱密度 函数互为一个傅立叶变换对 • 功率谱密度函数定义在 − ∞ ≤ f ≤ ∞上，称为双边功 率谱密度。工程中通常只用到非负频率，即单边功 率谱密度 ，两者关系如下：
细化（Zoom）FFT
• 对信号频率中某一频率段进行局部放大。标准FFT 分析的频率谱线是从0Hz到截止频率，而Zoom FFT 是对局部频率增加谱线数，但总谱线数不变
幅值
常用窗函数
0
幅值
200
1000 f(Hz)
100
350
功率谱密度（PSD)估计
早期数字功率谱密度估计的做法是：先计算自相关函 数，然后进行傅氏变换求出功率谱密度。自从提出 FFT之后，功率谱密度可直接由信号的FFT来计算：
2 S ( f ) Gx ( f ) = x 0 ( f ≥ 0) ( f < 0)
• 因此，有限傅立叶变换式可改写成离散形式：
X ( k ) = ∑ x ( n )e
n =0 N −1 − j 2π nk N
S x ( f ) = ∫ Rx (τ )e − j 2πfτ dτ
−∞
Rx (τ ) = ∫ S x ( f )e
• 频率域
– 自功率谱密度函数 – 互功率谱密度函数
k 0 8 15
王彤： 《振动测试实验》第五讲 3/4，2011-12-16
小 结
傅立叶级数
wk.baidu.com
• 功率谱密度计算的具体步骤如下：
1）将采样信号x(t)和y(t)分成nd段 2）对每一段样本进行N点FFT计算 3）由前述公式计算PSD
周期 连续时间信号
相关函数
• 互相关函数说明一个信号与另一信号经 过延迟后的相似程度，其定义为
Rxy (τ ) = lim 1 T →∞ T
动态信号谱分析
傅立叶变换和反变换
傅立叶变换
∫
T
0
x (t ) y (t + τ )dt
非周期 时域信号
频谱
傅立叶反变换 傅立叶变换 傅立叶反变换
• 利用互相关函数可以测量一个信号与另 一信号的相位差，例如
1 T
∫
T
0
x ( t ) x ( t + τ )dt
相关函数的性质
• 自相关函数是τ的偶函数，Rx(τ)=Rx(-τ) • 当 τ=0 时，自相关函数具有最大值 • 周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期 信号，但不保留原信号的相位信息 • 随机噪声信号的自相关函数将随 τ 的增大快 速衰减 • 同频率的周期信号的互相关函数仍然是同频 率的周期信号，且保留原信号的相位差信息 • 两个非同频率的周期信号互不相关
• 功率谱密度估计误差
– 随机误差和偏度误差 – 减小随机误差采用平均处理 – 偏度误差是由频率分辨率有限而产生的，提高频率分辨 率可以大大减小偏度误差
• 关于泄漏和窗函数
– 傅立叶变换的积分式是对无限长的信号数据进行的，而 实际中总是有限长的，会引起所谓的“能量泄漏”问题 – 能量泄漏由信号截断（无限长数据被截断）引起的 – 对周期信号，如果样本长度T等到信号周期的整倍数， 将不会产生泄漏问题 – 抑制泄漏的常用办法是加窗，用以保证周期截断，或者 说保证信号截断后始末端的连续性
G xy =
2 nd T
∑Y ( f
i i =1
nd
k
) X i∗ ( f k )
上式中 nd 为样本个数（即平均次数），T为采样周期
王彤： 《振动测试实验》第五讲 4/4，2011-12-16
• 对于非周期信号（确定性信号）激励 频响函数定义为 H (ω ) =
Y (ω ) X (ω )
• 频响函数是频率的复函数，可以表示成模（幅 值）与相位，或者实部与虚部形式
−∞
j 2πfτ
df
• 离散傅立叶变换将N个时域数据变换成N个频域数据 • 对于有限连续傅立叶反变换
x(t ) = ∫ X ( f )e j 2πft df
−∞
∞
同样可以导出离散形式： x ( n) = 1 N
∑ X ( k )e
k =0
N −1
j 2π
kn N
小 结
可以从三个方面描述随机振动： • 幅值域
x(t ) = A sin(ωt + ϕ )
– 在幅值频率图（频谱）上，简谐振动是在频 率 f=ω/2π处有一高度为A的垂线
周期信号分析 — 傅立叶级数
• 任一周期为T的振动信号均可以展开成以简谐 函数表示的傅立叶级数 ∞
a x (t ) = 0 + ∑ (an cos nωt + bn sin nωt ) 2 n =1 = a0 ∞ + ∑ cn cos( nωt − θ n ) 2 n=1
H (ω ) = H (ω ) e
jθ (ω )
H (ω ) = H R (ω ) + jH I (ω )
其中 H (ω ) 和 θ (ω ) 分别称为幅频特性和相频特性 H R (ω ) 和 H I (ω ) 分别称为实频和虚频特性
• 对于平稳随机激励 频响函数定义为
H (ω ) = S xy (ω ) S xx (ω ) 或 H (ω ) = S yy (ω ) S xy (ω )
1 Rxy (0) = AB cos ϕ 2
x(t ) = A sin(ωt + θ ) y (t ) = B sin(ωt + θ − ϕ )
自相关 函数
自功率谱 密度函数
• 也可以考虑一个信号与其自身经过延迟 后的相似程度，即自相关函数
R x (τ ) = lim
T→∞
– 傅立叶变换是动态信号分析基础 – 现代动态信号分析的核心是离散傅立叶变换
王彤： 《振动测试实验》第五讲 1/4，2011-12-16
《振动测试实验》第五讲
非周期信号分析 — 傅立叶变换
x(t ) = a0 ∞ + ∑ ( an cos nωt + bn sin nωt ) 2 n =1
欧拉公式
信号分析基础
x(t ) =
若
n = −∞
∑X
∞
∞
n
e jnωt
则
Xn =
T →∞
– 任何周期信号可分解为“直流”和各次谐波分量 – 周期信号的特点是它的频谱由一些离散的谱线组成
∫
T
0
x 2 (t ) dt
•方差/标准差
– 表征信号的波动程度 – 标准差是方差的正平方根
2 σx = lim
1 T [x(t) − µx ]2 dt 0 T →∞ T ∫
王彤： 《振动测试实验》第五讲 2/4，2011-12-16
• 若获得了输入信号的自功率谱，由频响函数就 2 能求得输出的自功率谱 S yy (ω ) = H (ω ) S xx (ω )