高等代数第六章 线性空间小结 太原理工大学

dim(V1 ) + dim(V2 ) = dim(V1 + V2 ) + dim(V1 I V2 )
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(4)
dim L(α1,α2,…,αn)=rank(α1,α2,…,αn) ( ( α1,α2,…,αn与β1,β2,…,βm 等价 等价.
L(α1,α2,…,αn)= (β1,β2,…,βm)<＝>向量组 ( )=L( ＝ 向量组
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(3) 若在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量 若在线性空间 线性无关的向量 α1,α2,…,αn，且V 中任意向量都可由它线性表示， 中任意向量都可由它线性表示 线性表示， 维的， 就是V的一个基. 则V是n维的，而α1,α2,…,αn就是 的一个基 是 维的 (4) 设α1,α2,…,αn和β1,β2,…,βn是n维线性空间 的两 维线性空间V的 是由基α 到基β 个基， 是由基 个基，ALeabharlann Baidu由基 1,α2,…,αn到基 1,β2,…,βn的过渡矩 分别是向量α在这两 阵，(x1,x2,…,xn)和(y1,y2,…,yn)分别是向量 在这两 和 分别是向量 个基下的坐标 坐标， 个基下的坐标，则A是可逆的，且坐标关系为. 是可逆的， 坐标关系为
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二、基、维数和坐标 1．基本概念：线性表示（组合）；向量组等价； ．基本概念：线性表示（组合）；向量组等价； ）；向量组等价 线性相关(无关 无关)； 维数和坐标；过渡矩阵. 线性相关 无关 ；基、维数和坐标；过渡矩阵 2．基本结论 ． (1) 线性相关性的有关结论 线性相关性的有关结论. (2) 在n维线性空间 中，任意 个线性无关的向量 维线性空间V中 任意n个线性无关的向量 维线性空间 都作成V的一个基；任意个m(m<n)线性无关的向 线性无关的向 都作成 的一个基；任意个 线性无关 量都可扩充 扩充为 的一个基；任意s(s>n)个向量都是 量都可扩充为V的一个基；任意 个向量都是 线性相关的 线性相关的.
(5) 设U是线性空间 的一个子空间，则存在一个子 是线性空间V的一个子空间，则存在一个子 空间W，使得V= ⊕ 此时称W为 的一个 的一个余子 空间 ，使得 =U⊕W ，此时称 为U的一个余子 空间. 空间
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(6) 设V1,V2,…,Vs是线性空间V的子空间，下面这些 线性空间 的子空间， 条件等价： 条件等价： 等价 直和； ① W=∑Vi 是直和； 零向量的表示法唯一； ② 零向量的表示法唯一； ③ Vi I ∑ V j = {0}
y1 x1 y2 x2 M = A M y x n n
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三、线性子空间及其形式 1．基本概念：子空间；生成子空间；子空间的和 ．基本概念：子空间；生成子空间；子空间的和 直和. 与直和 2．基本结论： ．基本结论： (1) 线性空间 的非空子集合 作成 的子空间 ＝> 线性空间V的非空子集合W作成 作成V的子空间<＝ W对于 的两种运算封闭； 对于V的两种运算封闭； 对于 (2) 线性空间 的两个子空间的交与和仍为子空间 线性空间V的两个子空间的交 仍为子空间. (3)(维数公式 若V1,V2是线性空间 的两个有限维子 维数公式) 是线性空间V的 维数公式 空间， 空间，则
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本章的重点是线性空间的概念，子空间的和， 本章的重点是线性空间的概念，子空间的和， 重点 维数； 基与维数； 难点是线性空间定义的抽象性，线性相关和 难点是线性空间定义的抽象性，线性相关和子 直和. 空间的直和 空间的直和 本章的基本题型主要有：线性空间， 本章的基本题型主要有：线性空间，子空间的 基本题型主要有 判定或证明，线性相关与无关的判定或证明， 判定或证明，线性相关与无关的判定或证明，基与 维数的确定，过渡矩阵和坐标的求法，直和及 维数的确定，过渡矩阵和坐标的求法，直和及同构 的判定或证明. 的判定或证明
j≠i
( i = 1 , 2 ,L , s ) ;
④ dim(W)=∑dim(Vi) .
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3. 同构映射的基本性质： 同构映射的基本性质： (1) 线性空间的同构映射保持零元，负元，线性组 线性空间的同构映射保持零元，负元， 保持零元 线性相关性； 合，线性相关性； (2) 同构映射把子空间映成子空间； 同构映射把子空间映成子空间 把子空间映成子空间； (3) 线性空间的同构关系具有反身性，对称性和传 线性空间的同构关系具有反身性，对称性和 具有反身性 递性； 递性； (4) 数域 上两个有限维线性空间同构 ＝>它们有相 数域P上两个有限维线性空间同构<＝ 它们 它们有相 同的维数，因而，数域P上的每一个 上的每一个n维线性空间都 同的维数，因而，数域 上的每一个 维线性空间都 元数组所成的线性空间P 元数组所成的线性空间 同构. 与n元数组所成的线性空间 n同构
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本章的基本内容及其内在联系可用下图来说明： 本章的基本内容及其内在联系可用下图来说明： 基本内容及其内在联系可用下图来说明 线性空间 线性相关性 极大无关组 基、维数和坐标 同构
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子空间 子空间的交与和 子空间的直和 余子空间
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线性空间 小结
线性空间是线性代数的中心内容， 线性空间是线性代数的中心内容，是几何空 是线性代数的中心内容 间的抽象和推广，线性空间的概念具体展示了代 间的抽象和推广，线性空间的概念具体展示了代 数理论的抽象性和应用的广泛性. 数理论的抽象性和应用的广泛性 一、线性空间 1. 线性空间的概念 2. 线性空间的性质 (1) 线性空间的零元，每个元素的负元都是唯一的； 线性空间的零元 每个元素的负元都是唯一的 零元， 都是唯一的； (2) (–1) -α，kα=0<＝>k=0，或α=0 1)α=- ， 1) ＝ ，