江苏省南京市2020-2021学年高二第一学期期中调研测试数学试题
2020-2021学年江苏省南通中学高二(上)期中数学试卷
2020-2021学年江苏省南通中学高二（上）期中数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）一个等比数列的首项为2，公比为3，则该数列的第3项为（）A.8B.16C.18D.272.（单选题，5分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.（单选题，5分）不等式x+12x−1≤0的解集为（）A.[-1，12）B.[-1，12]C.（-∞，-1]∪（12，+∞）D.（-∞，-1]∪[ 12，+∞）4.（单选题，5分）已知椭圆的准线方程为x=±4，离心率为12，则椭圆的标准方程为（）A. x22+y2=1B.x2+ y22=1C. x24+y23=1D. x23+y24=15.（单选题，5分）数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n-1，则a10=（）A.511B.513C.1025D.10246.（单选题，5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小一份为（）A. 53B. 103C. 56D. 1167.（单选题，5分）椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，P为椭圆C上的动点，若a= √2 b，满足∠F1PF2=90°的点P有（）个A.2个B.4个C.0个D.1个8.（单选题，5分）正数a，b满足9a+b=ab，若不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A.[3，+∞）B.（-∞，3]C.（-∞，6]D.[6，+∞）9.（多选题，5分）若实数a＞0，b＞0，a•b=1，若下列选项的不等式中，正确的是（）A.a+b≥2B. √a+√b≥2C.a2+b2≥2D. 1a +1b≤210.（多选题，5分）对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（）A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件B.“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件C.“a＜5”是“a＜3”的必要条件D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件11.（多选题，5分）设椭圆x29+y23=1的右焦点为F，直线y=m（0＜m＜√3）与椭圆交于A，B两点，则下述结论正确的是（）A.AF+BF为定值B.△ABF的周长的取值范围是[6，12]C.当m= √2时，△ABF 为直角三角形D.当m=1时，△ABF 的面积为√612.（多选题，5分）已知数列{a n}，{b n}均为递增数列，{a n}的前n项和为S n，{b n}的前n项和为T n．且满足a n+a n+1=2n，b n•b n+1=2n（n∈N*），则下列说法正确的有（）A.0＜a1＜1B.1＜b1＜√2C.S2n＜T2nD.S2n≥T2n13.（填空题，5分）命题“∀x∈R，ax+b≤0”的否定是___ ．14.（填空题，5分）不等式x2-kx+1＞0对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是___ ．15.（填空题，5分）椭圆x25+y2m=1的离心率为√105，则实数m的值为___ ．16.（填空题，5分）对于数列{a n}，定义A n= a1+2a2+⋯+2n−1a nn为数列{a n}的“好数”，已知某数列{a n}的“好数”A n=2n+1，记数列{a n-kn}的前n项和为S n，若S n≤S7对任意的n∈N*恒成立，则实数k的取值范围是___ ．17.（问答题，10分）求适合下列条件的椭圆标准方程：（1）与椭圆x 22 +y2=1有相同的焦点，且经过点（1，32）；（2）经过A（2，- √22），B（- √2，- √32）两点．18.（问答题，12分）已知等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1和a3-1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=2n+a n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．19.（问答题，12分）已知函数f（x）=ax2+bx-a+2．（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（-1，3），求实数a，b的值；（2）若b=2，a＞0，解关于x的不等式f（x）＞0．20.（问答题，12分）某工厂年初用98万元购买一台新设备，第一年设备维修及燃料、动力消耗（称为设备的低劣化）的总费用12万元，以后每年都增加4万元，新设备每年可给工厂收益50万元．（Ⅰ）工厂第几年开始获利？（Ⅱ）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：① 年平均获利最大时，以26万元出售该设备；② 总纯收入获利最大时，以8万元出售该设备，问哪种方案对工厂合算？21.（问答题，12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且短轴的两个端点与右焦点是一个等边三角形的三个顶点，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆的右焦点F作直线l，与椭圆相交于A，B两点，求△OAB面积的最大值，并求此时直线l的方程．22.（问答题，12分）已知各项均为正数的两个数列{a n}，{b n}满足a n+12-1=a n2+2a n，2a n=log2b n+log2b n+1+1，且a1=b1=1．（1）求证：数列{a n}为等差数列；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，求使得等式2S m+a m-36=T i成立的有序数对（m，i）（m，i∈N*）．2020-2021学年江苏省南通中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）一个等比数列的首项为2，公比为3，则该数列的第3项为（）A.8B.16C.18D.27【正确答案】：C【解析】：由已知利用等比数列的通项公式即可求解．【解答】：解：若等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则它的通项a n=a1•q n-1，由已知可得：a1=2，q=3，则它的通项a3=a1•q2=2×32=18．故选：C．【点评】：本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，若等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则它的通项a n=a1•q n-1，属于基础题．2.（单选题，5分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：解得a的范围，即可判断出结论．【解答】：解：由a2＞a，解得a＜0或a＞1，故a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件，故选：A．【点评】：本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.（单选题，5分）不等式x+12x−1≤0的解集为（）A.[-1，12）B.[-1，12]C.（-∞，-1]∪（12，+∞）D.（-∞，-1]∪[ 12，+∞）【正确答案】：A【解析】：根据题意，分析可得原不等式等价于（x+1）（2x-1）≤0且（2x-1）≠0，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】：解：根据题意，原不等式等价于（x+1）（2x-1）≤0且（2x-1）≠0，解可得：-1≤x＜12，及原不等式的解集为[-1，12）；故选：A．【点评】：本题考查分式不等式的解法，关键是将分式不等式变形为整式不等式．4.（单选题，5分）已知椭圆的准线方程为x=±4，离心率为12，则椭圆的标准方程为（）A. x22+y2=1B.x2+ y22=1C. x24+y23=1D. x23+y24=1【正确答案】：C【解析】：由椭圆的准线方程可知椭圆的焦点在x轴上，再由已知列关于a，b，c的方程组，求得a2与b2的值，则椭圆标准方程可求．【解答】：解：由椭圆的准线方程为x=±4，可知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程为x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0），由 { a 2c =4c a =12a 2=b 2+c 2 ，解得a 2=4，b 2=3，c 2=1．∴椭圆的标准方程为 x 24+y 23 =1． 故选：C ．【点评】：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆标准方程的求法，是基础题．5.（单选题，5分）数列{a n }中，a 1=2，a n+1=2a n -1，则a 10=（ ）A.511B.513C.1025D.1024【正确答案】：B【解析】：直接利用构造法的应用，整理出数列{a n -1}是等比数列，进一步求出数列的通项公式，最后求出结果．【解答】：解：数列{a n }中，a 1=2，a n+1=2a n -1，所以a n+1-1=2（a n -1），所以 a n+1−1a n −1=2 （常数），所以数列{a n -1}是以a 1-1=1为首项，2为公比的等比数列．所以 a n −1=2n−1 ，所以 a n =2n−1+1 ．所以 a 10=29+1=513 ．故选：B ．【点评】：本题考查的知识要点：数列的递推关系式，构造法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．6.（单选题，5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 17 是较小的两份之和，问最小一份为（ ）A. 53B. 103C. 56D. 116【正确答案】：A【解析】：设五个人所分得的面包为a-2d ，a-d ，a ，a+d ，a+2d ，（d ＞0）；则由五个人的面包和为100，得a 的值；由较大的三份之和的 17 是较小的两份之和，得d 的值；从而得最小的一份a-2d 的值．【解答】：解：设五个人所分得的面包为a-2d ，a-d ，a ，a+d ，a+2d ，（其中d ＞0）； 则，（a-2d ）+（a-d ）+a+（a+d ）+（a+2d ）=5a=100，∴a=20；由 17 （a+a+d+a+2d ）=a-2d+a-d ，得3a+3d=7（2a-3d ）；∴24d=11a ，∴d=55/6； 所以，最小的1分为a-2d=20-1106 = 53 ． 故选：A ．【点评】：本题考查了等差数列模型的实际应用，解题时应巧设数列的中间项，从而容易得出结果．7.（单选题，5分）椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1和F 2，P 为椭圆C 上的动点，若a= √2 b ，满足∠F 1PF 2=90°的点P 有（ ）个A.2个B.4个C.0个D.1个【正确答案】：A【解析】：由题意画出图形，由a= √2 b ，结合隐含条件可得b=c ，再由∠F 1PF 2=90°，可得P 为短轴的两个端点，则答案可求．【解答】：解：设椭圆的半焦距为c ，当a= √2 b 时，则 c =√a 2−b 2=√b 2=b ，如图，连接PO ，若∠F 1PF 2=90°，则|PO|=|OF 1|=b ，此时P 点在短轴的上下端点，即符合条件的P 有2个．故选：A ．【点评】：本题考查椭圆的几何性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．8.（单选题，5分）正数a，b满足9a+b=ab，若不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A.[3，+∞）B.（-∞，3]C.（-∞，6]D.[6，+∞）【正确答案】：A【解析】：求出a+b=（a+b）（1a + 9b）=10+ ba+ 9ab≥10+6=16（当且仅当b=3a时取等号），问题转化为m≥-x2+2x+2对任意实数x恒成立，运用二次函数的最值求法和恒成立思想，即可求出实数m的取值范围．【解答】：解：∵正数a，b满足1a + 9b=1，∴a+b=（a+b）（1a + 9b）=10+ ba+ 9ab≥10+2 √ba•9ab=10+6=16（当且仅当b=3a时取等号）．由不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立，可得-x2+2x+18-m≤16对任意实数x恒成立，即m≥-x2+2x+2对任意实数x恒成立，即m≥-（x-1）2+3对任意实数x恒成立，∵-（x-1）2+3的最大值为3，∴m≥3，故选：A．【点评】：本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用基本不等式和二次函数的最值求法，考查化简运算能力，属于中档题．9.（多选题，5分）若实数a＞0，b＞0，a•b=1，若下列选项的不等式中，正确的是（）A.a+b≥2B. √a+√b≥2C.a2+b2≥2D. 1a +1b≤2【正确答案】：ABC【解析】：直接利用不等式的性质和均值不等式的应用判定A、B、C、D的结论．【解答】：解：实数a＞0，b＞0，a•b=1，则对于A：a+b≥2√ab=2，成立，故A正确；对于B：√a+√b≥2√√a•√b=2成立，故B正确；对于C：a2+b2≥2ab=2成立，故C正确；对于D：1a +1b≥2√1ab=2成立，故D不正确．故选：ABC．【点评】：本题考查的知识要点：不等式的性质和均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．10.（多选题，5分）对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（）A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件B.“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件C.“a＜5”是“a＜3”的必要条件D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件【正确答案】：CD【解析】：由题意逐一考查所给的命题是否成立即可．【解答】：解：逐一考查所给的选项：取a=2，b=3，c=0，满足ac=bc，但是不满足a=b，选项A错误，取a=2，b=-3，满足a＞b，但是不满足a2＞b2，选项B错误，“a＜5”是“a＜3”的必要条件，选项C正确，“a+5是无理数”，则“a是无理数”，选项D正确，故选：CD．【点评】：本题主要考查不等式的性质，等式的性质，命题真假的判定等知识，属于中等题．11.（多选题，5分）设椭圆x29+y23=1的右焦点为F，直线y=m（0＜m＜√3）与椭圆交于A，B两点，则下述结论正确的是（）A.AF+BF为定值B.△ABF的周长的取值范围是[6，12]C.当m= √2时，△ABF 为直角三角形D.当m=1时，△ABF 的面积为√6【正确答案】：AD【解析】：利用椭圆的性质以及定义，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积公式，逐一分析四个选项得答案．【解答】：解：设椭圆的左焦点为F'，则AF'=BF，可得AF+BF=AF+AF'为定值6，故A正确；△ABF的周长为AB+AF+BF，∵|AF+BF为定值6，可知AB的范围是（0，6），∴△ABF的周长的范围是（6，12），故B错误；将y= √2与椭圆方程联立，可解得A（−√3，√2），B（√3，√2），又知F（√6，0），如图，由图可知∠ABF为钝角，则△ABF为钝角三角形，故C错误；将y=1与椭圆方程联立，解得A（−√6，1），B（√6，1），∴ S△ABF=12×2√6×1=√6，故D正确．故选：AD．【点评】：本题考查椭圆的性质，椭圆与直线的位置关系．考查分析问题解决问题的能力，是中档题．12.（多选题，5分）已知数列{a n}，{b n}均为递增数列，{a n}的前n项和为S n，{b n}的前n项和为T n．且满足a n+a n+1=2n，b n•b n+1=2n（n∈N*），则下列说法正确的有（）A.0＜a1＜1B.1＜b1＜√2C.S2n＜T2nD.S 2n ≥T 2n【正确答案】：ABC【解析】：利用代入法求出前几项的关系即可判断出a 1，b 1的取值范围，在求出其前2n 项和的表达式即可判断大小；【解答】：解：∵数列{a n }为递增数列；∴a 1＜a 2＜a 3；∵a n +a n+1=2n ，∴ {a 1+a 2=2a 2+a 3=4； ∴ {a 1+a 2＞2a 1a 2+a 3＞2a 2=4−4a 1∴0＜a 1＜1；故A 正确．∴S 2n =（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a 2n-1+a 2n ）=2+6+10+…+2（2n-1）=2n 2；∵数列{b n }为递增数列；∴b 1＜b 2＜b 3；∵b n •b n+1=2n∴ {b 1b 2=2b 2b 3=4； ∴ {b 2＞b 1b 3＞b 2； ∴1＜b 1＜ √2 ，故B 正确．∵T 2n =b 1+b 2+…+b 2n=（b 1+b 3+b 5+…+b 2n-1）+（b 2+b 4+…+b 2n ）= b 1•(1−2n )2+b 2(1−2n )2=(b 1+b 2)(2n −1)≥2√b 1b 2(2n −1)=2√2(2n −1) ；∴对于任意的n∈N*，S 2n ＜T 2n ；故C 正确，D 错误．故选：ABC ．【点评】：本题考查了数列的综合运用，考查学生的分析能力与计算能力．属于中档题．13.（填空题，5分）命题“∀x∈R ，ax+b≤0”的否定是___ ．【正确答案】：[1]∃x 0∈R ，ax 0+b ＞0【解析】：根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】：解：命题为全称命题，则命题“∀x∈R ，ax+b≤0”的否定是∃x 0∈R ，ax 0+b ＞0， 故答案为：∃x 0∈R ，ax 0+b ＞0．【点评】：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．14.（填空题，5分）不等式x 2-kx+1＞0对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-2，2）【解析】：设y=x 2-kx+1，将不等式恒成立的问题转化为函数y=x 2-kx+1图象始终在x 轴上方，进而根据判别式处理即可．【解答】：解：依题意，设y=x 2-kx+1，因为不等式x 2-kx+1＞0对任意实数x 都成立，所以△=k 2-4＜0，解得k∈（-2，2），故答案为：（-2，2）．【点评】：本题考查了二次函数的性质，二次函数与二次不等式的关系，考查分析解决问题的能力，属于基础题．15.（填空题，5分）椭圆 x 25+y 2m =1 的离心率为 √105 ，则实数m 的值为___ ． 【正确答案】：[1] 253或3【解析】：分当m ＞5和m ＜5时两种情况，根据e= c a 求得m ．【解答】：解：当m ＞5时，√m−5√m = √105 ，解得m= 253 ， 当m ＜5√5−m √5 = √105 解得m=3符合题意， 故答案为： 253或3【点评】：本题主要考查了椭圆的简单性质．要利用好椭圆标准方程中a ，b ，c 的关系．16.（填空题，5分）对于数列{a n }，定义A n = a 1+2a 2+⋯+2n−1a n n为数列{a n }的“好数”，已知某数列{a n }的“好数”A n =2n+1，记数列{a n -kn}的前n 项和为S n ，若S n ≤S 7对任意的n∈N *恒成立，则实数k 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1] [94，167] 【解析】：先根据数列的递推式求出a n =2n+2，所以a n -kn=（2-k ）n+2，显然{a n -kn}是等差数列，所以{S n }中S 7最大，则数列{a n -kn}的第7项大于等于0，第八项小于等于0，列出不等式组，即可解得实数k 的取值范围．【解答】：解：由题意可知， a 1+2a 2+⋯…+2n−1a n =n •2n+1 ，则n≥2时， a 1+2a 2+⋯…+2n−2a n−1=(n −1)•2n ，两式相减得： 2n−1a n =n •2n+1−(n −1)•2n ，∴a n =2n+2，又∵A 1= a 11 =4，∴a 1=4，满足a n =2n+2，故a n =2n+2，∴a n -kn=（2-k ）n+2，显然{a n -kn}是等差数列，∵S n ≤S 7对任意的n∈N *恒成立，∴{S n }中S 7最大，则 {a 7−7k =7(2−k )+2≥0a 8−8k =8(2−k )+2≤0，解得： 94≤k ≤167 ， 故实数k 的取值范围是：[ 94 ， 167 ]．【点评】：本题主要考查了数列的递推式，以及等差数列的性质，是中档题．17.（问答题，10分）求适合下列条件的椭圆标准方程：（1）与椭圆 x 22 +y 2=1有相同的焦点，且经过点（1， 32 ）；（2）经过A （2，- √22 ），B （- √2 ，- √32 ）两点．【正确答案】：【解析】：（1）先求出已知椭圆的焦点坐标（±1，0），则可设出所求椭圆方程，代入已知点即可求解，（2）待定系数法设出椭圆方程，代入已知点即可求解．【解答】：解：（1）由已知椭圆方程可得焦点坐标为（±1，0），则可设所求的椭圆方程为： x 2m +y 2m−1=1(m ＞1) ，代入点（1， 32 ），解得m=4或 14 （舍），所以所求椭圆方程为： x 24+y 23=1 ，（2）设所求的椭圆方程为： x 2m +y 2n =1(m ＞0，n ＞0，m ≠n) ，代入已知两点可得：{4m +12n=12 m +34n=1，解得m=8，n=1，故所求的椭圆方程为：x 28+y2=1．【点评】：本题考查了椭圆的标准方程以及焦点相同和不确定的问题的椭圆方程的设法，属于基础题．18.（问答题，12分）已知等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1和a3-1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=2n+a n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．【正确答案】：【解析】：（1）根据等差中项可得q=2，即可求出通项公式；（2）利用分组求和即可求出．【解答】：解：（1）设等比数列{a n}公比为q，则q≠0，∵a1=1，且a2是a1和a3-1的等差中项，∴2a2=a1+a3-1，即2q=1+q2-1，解得q=2，∴a n=2n-1；（2）b n=2n+a n=2n+2n-1；∴S n=2（1+2+3+…+n）+（20+21+22+…+2n-1）=n（n+1）+2n-1=n2+n+2n-1．【点评】：本题考查等比数列的通项公式和等差数列的性质，以及等差数列和等比数列的求和公式，考查了运算求解能力，属于基础题．19.（问答题，12分）已知函数f（x）=ax2+bx-a+2．（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（-1，3），求实数a，b的值；（2）若b=2，a＞0，解关于x的不等式f（x）＞0．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意并结合一元二次不等式与一元二方程的关系，可得方程ax2+bx-a+2=0的两根分别为-1和3，由此建立关于a、b的方程组并解之，即可得到实数a、b的值；（2）不等式可化成（x+1）（ax-a+2）＞0，由此讨论-1与a−2a的大小关系，分3种情形加以讨论，即可得到所求不等式的解集．【解答】：解：（1）∵不等式f（x）＞0的解集是（-1，3）∴-1，3是方程ax2+bx-a+2=0的两根，∴可得{a−b−a+2=09a+3b−a+2=0，解之得{a=−1b=2------------（5分）（2）当b=2时，f（x）=ax2+2x-a+2=（x+1）（ax-a+2），∵a＞0，∴ (x+1)(ax−a+2)＞0⇔(x+1)(x−a−2a)＞0① 若−1=a−2a，即a=1，解集为{x|x≠-1}．② 若−1＞a−2a ，即0＜a＜1，解集为{x|x＜a−2a或x＞−1}．③ 若−1＜a−2a ，即a＞1，解集为{x|x＜−1或x＞a−2a}．------------（14分）【点评】：本题给出二次函数，讨论不等式不等式f（x）＞0的解集并求参数的值，着重考查了一元二次不等式的应用、一元二次不等式与一元二方程的关系等知识国，属于中档题．20.（问答题，12分）某工厂年初用98万元购买一台新设备，第一年设备维修及燃料、动力消耗（称为设备的低劣化）的总费用12万元，以后每年都增加4万元，新设备每年可给工厂收益50万元．（Ⅰ）工厂第几年开始获利？（Ⅱ）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：① 年平均获利最大时，以26万元出售该设备；② 总纯收入获利最大时，以8万元出售该设备，问哪种方案对工厂合算？【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）每年费用是以12为首项，4为公差的等差数列，第n年时累计的纯收入f （n）=50n-[12+16+…+（4n+8）]-98，获利为f（n）＞0，解得n的值，可得第几年开始获利；（Ⅱ）计算方案① 年平均获利最大时及总收益；方案② 总纯收入获利最大时及总收益；比较两种方案，总收益相等，第一种方案需7年，第二种方案需10年，应选择第一种方案．【解答】：解：（Ⅰ）由题设每年费用是以12为首项，4为公差的等差数列，设第n年时累计的纯收入为f（n），则f（n）=50n-[12+16+…+（4n+8）]-98=40n-2n2-98，获利为：f（n）＞0，∴4n-2n2-98＞0，即n2-20n+49＜0，∴10- √51＜n＜10+ √51；又n∈N，∴n=3，4，5， (17)∴当n=3时，即第3年开始获利．（Ⅱ）① 年平均收入为：f(n)n =40−2(n+49n)≤40−4√n•49n=12（万元）即年平均收益最大时，总收益为：12×7+26=110（万元），此时n=7；② f（n）=-2（n-10）2+102，∴当n=10时，f（n）max=102；总收益为110万元，此时n=10；比较两种方案，总收益均为110万元，但第一种方案需7年，第二种方案需10年，故选择第一种方案．【点评】：本题考查了数列与函数的综合应用问题，也是方案设计的问题；解题时应细心分析，认真解答，以免出错．21.（问答题，12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且短轴的两个端点与右焦点是一个等边三角形的三个顶点，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆的右焦点F作直线l，与椭圆相交于A，B两点，求△OAB面积的最大值，并求此时直线l的方程．【正确答案】：【解析】：（1）由长轴长即等边三角形可得a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）设直线l 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，代入面积公式，由均值不等式的性质可得面积的最大值，及直线l 的方程．【解答】：解：（1）由题意可得2a=4，2b= √b 2+c 2 =a ，所以a=2，b=1，所以椭圆的方程为： x 24 +y 2=1；（2）由（1）可得右焦点F 2（ √3 ，0），显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x=my+ √3 ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线l 与椭圆的方程 {x =my +√3x 24+y 2=1 ，整理可得：（4+m 2）y 2+2 √3 my-1=0， 可得y 1+y 2= −2√3m 4+m 2 ，y 1y 2= −14+m 2 ，所以S △AOB = 12 |OF 2||y 1-y 2|= 12×√3 × √(y 1+y 2)2−4y 1y 2= √32 •√12m 2(4+m 2)2+44+m 2= √32 •4√1+m 24+m 2=2 √3 •√1+m 24+m 2 =2 √3 •√1+m 2+3√2 √3 • 2√1+m 2•3√2 =1， 当且仅当 √1+m 2 = √1+m 2 m= ±√2 ，时三角形的面积最大为1，所以面积的最大值为1，这时直线l 的方程为x= ±√2 y+ √3 ．【点评】：本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中档题．22.（问答题，12分）已知各项均为正数的两个数列{a n }，{b n }满足a n+12-1=a n 2+2a n ，2a n =log 2b n +log 2b n+1+1，且a 1=b 1=1．（1）求证：数列{a n }为等差数列；（2）求数列{b n }的通项公式；（3）设数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，求使得等式2S m +a m -36=T i 成立的有序数对（m ，i ）（m ，i∈N*）．【正确答案】：【解析】：（1）根据递推关系可得a n+12=（a n+1）2，从而得到数列{a n}为等差数列；（2）根据2a n=log2b n+log2b n+1+1，可知数列{b n}的奇数项和偶数项，进而整合即可得{b n}的通项公式．（3）分别求S n，T n，带入2S m+a m-36=T i成立，则存在s，t∈N*，使得2s=m+7，即2t=m-5，从而2s-2t=12，在证明s≥5不成立，从而得到s=4，m=9，i=6．【解答】：证明（1）：由a n+12-1=a n2+2a n，可得a n+12=a n2+2a n+1即a n+12=（a n+1）2，∵各项均为正数的两个数列{a n}，{b n}，可得a n+1=a n+1，即数列{a n}是首项为1，公差d=1的等差数列．解（2）：由（1）可得a n=n，∵2a n=log2b n+log2b n+1+1，可得b n b n+1=22n-1…… ①∴b n+1b n+2=22n+1…… ②将②①可得：b n+2b n=4．所以{b n}是奇数项和偶数项都成公比q=4的等比数列，由b1=1，b2=2，可得b2k-1=4k-1，b2k=2×4k-1，k∈N*，∴b n=2n-1．故得数列{b n}的通项公式为b n=2n-1．（3）由（1）和（2）可得S n= n(n+1)2，T n=2n-1；由2S m+a m-36=m（m+1）+m-36=2i-1，即（m-5）（m+7）=2i．则存在s，t∈N*，使得2s=m+7，即2t=m-5，从而2s-2t=12，若s≥5，则2s-2t-12≥20，∴t≥5，又∵s＞t，那么2s-2t≥2t+1-2t=2t≥32，可知与2s-2t=12相矛盾，可得s≤4，根据2s-2t=12，s，t∈N*，可得s=4，t=2，此时可得m=9，i=6．【点评】：本题考查了等差、等比数列的通项公式与前n项和公式的综合应用，考查了推理能力与计算能力，属于压轴题．。
2020-2021学年江苏省南京市高二上学期期中调研测试数学试题 Word版
南京市2020－2021学年度第一学期期中调研测试高 二 数 学2020.11注意事项：1．本试卷共6页，包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）四部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置． 3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线x 2＝2y 的焦点为F ，准线为l ，则点F 到直线l 的距离为A ．12B ．1C ．2D ．42．已知向量a ＝(－2，3，－1)，b ＝(4，m ，n )，且a ∥b ，其中m ，n ∈R ，则m ＋n ＝ A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－2 3．若sin θ＝2cos(π－θ)，则tan(θ＋π4)的值为 A ．3 B ．13C ．－3D ．－134．在平面直角坐标系xOy 中，若椭圆C ：x 29＋y 2m ＝1与双曲线T ：x 2－y 2m ＝1有相同的焦点，则双曲线T 的渐近线方程为 A ．y ＝±14x B ．y ＝±12xC ．y ＝±4xD ．y ＝±2x5．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －4＝0与两坐标轴分别交于点A ，B ，圆C 经过A ，B ，且圆心在y 轴上，则圆C 的方程为A ．x 2＋y 2＋6y －16＝0B ．x 2＋y 2－6y －16＝0C ．x 2＋y 2＋8y －9＝0D ．x 2＋y 2－8y －9＝06．如图，已知圆柱的底面半径为2，与圆柱底面成60°角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的焦距为A ．2 2B ．2 3C ．42D ．437．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC 1与B 1C 相交于点O ，∠A 1AB ＝∠A 1AC ＝60°， ∠BAC ＝90°，A 1A ＝3，AB ＝AC ＝2，则线段AO 的长度为 A ．292B ．29C ．232D ．23 8．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，点M ，N 在双曲线C 上．若四边形OFMN 为菱形，则双曲线C 的离心率为 A ．3－1 B ．5－1 C ．3＋1 D ．5＋1二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．9．已知两个不重合的平面α，β及直线m ，下列说法正确的是A ．若α⊥β，m ⊥α，则m ∥βB ．若α∥β，m ⊥α，则m ⊥βC ．若m ∥α，m ⊥β，则α⊥βD ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β10．在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆 x 24＋y 22＝1的左、右焦点，点A 在椭圆上．若△AF 1F 2为直角三角形，则AF 1的长度可以为 A ．1B ．2C ．3D ．411．如图，直线l 1，l 2相交于点O ，点P 是平面内的任意一点，若x ，y 分别表示点P 到l 1，l 2的距离，则称(x ，y )为点P 的“距离坐标”．下列说法正确的是 A ．距离坐标为(0，0)的点有1个 B ．距离坐标为(0，1)的点有2个NP l 1（第6题）C 1（第7题）ABCB 1OC ．距离坐标为(1，2)的点有4个D ．距离坐标为(x ，x )的点在一条直线上12．20世纪50年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可以人工合成金刚石．人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立方八面体以及它们的过渡形态．其中立方八面体（如图所示）有24条棱、12个顶点、14个面（6个正方形、8个正三角形），它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体．已知一个立方八面体的棱长为1，则A ．它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为2B ．它的任意两条不共面的棱所在直线都相互垂直C ．它的体积为523D ．它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 13．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：x ＋ay ＝0和直线l 2：2x －(a －3)y －4＝0，a ∈R ．若l 1与 l 2平行，则l 1与 l 2之间的距离为▲________．14．在空间直角坐标系中，若三点A (1，－1，a )，B (2，a ，0)，C (1，a ，－2)满足(AB →－2AC →)⊥BC →，则实数a 的值为▲________．15．词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出自中国数学名著《九章算术·商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼．在《九章算术·商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．现有如图所示的“鳖臑”四面体P ABC ，其中P A ⊥平面ABC ，P A ＝AC ＝1，BC ＝2，则四面体P ABC 的外接球的表面积为▲________．16．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击．现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同．建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，根据图上尺寸，溢流孔ABC 所在抛物线的方程为▲________，溢流孔与桥拱交点A 的横坐标．．．为▲________．（第12题）ABC P（第15题）第16题四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）在 ①sin(A －B )＝sin B ＋sin C ；②2a cos C ＝2b ＋c ；③△ABC 的面积S ＝34(a 2－b 2－c 2) 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，__________，D 是边BC 上的一点，∠BAD ＝π2，且b ＝4，c ＝2，求线段AD 的长．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆F ：(x －2)2＋y 2＝1，动圆M 与直线l ：x ＝－1相切且与圆F 外切．（1）记圆心M 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）已知A (－2，0)，曲线C 上一点P 满足P A ＝2PF ，求∠P AF 的大小．19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为AC 中点． （1）求证：B 1A ∥平面C 1BD ；（2）若AA 1＝AB ＝3，BC ＝4，且AB ⊥BC ，求三棱锥B －B 1C 1D 的体积．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点A ，B 是直线x －y ＋m ＝0(m ∈R )与圆O 的两个公共点，点C 在圆O 上．（1）若△ABC 为正三角形，求直线AB 的方程；（2）若直线x －y －3＝0上存在点P 满足AP →·BP →＝0，求实数m 的取值范围．DBB 1A 1（第19题）C 1AC21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面P AB ⊥平面ABCD ，P A ⊥AB ，P A ＝AD ＝4， BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝BC ＝2，→PE ＝λ→PC (0≤λ＜1)． （1）若λ＝12，求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值；（2）设二面角B -AE -C 的大小为θ，若|cos θ|＝23417，求λ的值．22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 的左顶点与上顶点的距离为23，且经过点(2，2)．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，M 是PQ 的中点．若椭圆上存在点N 满足 ON →＝3MO →，求证：△PQN 的面积S 为定值．（第21题）PABCDE（第22题图）南京市2020－2021学年度第一学期期中调研测试高二数学参考答案 2020.11一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．B 2．B 3．D 4．D 5．A 6．D 7．A 8．C 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 9．BC 10．ABC 11．ABC 12．ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13． 2 14．－92 15．4π 16．y ＝－536(x －14)2，14013四、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．（本小题满分10分） 解：选①．由条件① sin(A －B )＝sin B ＋sin C ，在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A －B )＝sin B ＋sin(A ＋B )，即 sin A cos B －cos A sin B ＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， ……………… 2分 从而sin B ＝－2cos A sin B ．因为B 为三角形内角，所以sin B ≠0，所以cos A ＝－12．因为A 为三角形内角，所以A ＝2π3． ……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2， 故由正弦定理b sin B ＝c sin C得4sin C ＝2sin B ，即2sin C ＝sin B ， 所以sin B ＝2sin C ＝2sin(π3－B )＝3cos B －sin B ，即2sin B ＝3cos B ．由sin B ≠0知cos B ≠0，因此tan B ＝sin B cos B ＝32． ……………… 8分因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分选②．由条件②2a cos C ＝2b ＋c ，结合余弦定理得2a ×b 2＋a 2－c 22ab＝2b ＋c ，即 a 2＝b 2＋c 2＋bc ， ……………… 2分 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 2 2bc ＝－12，因为A 为三角形内角，所以A ＝2π3． ……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2， 故由正弦定理b sin B ＝c sin C得4sin C ＝2sin B ，即2sin C ＝sin B ， 所以sin B ＝2sin C ＝2sin(π3－B )＝3cos B －sin B ，即2sin B ＝3cos B ．由sin B ≠0知cos B ≠0，因此tan B ＝sin B cos B ＝32． ……………… 8分因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分选③．由条件③，△ABC 的面积S ＝34(a 2－b 2－c 2)， 得12bc sin A ＝34(－2bc cos A )，即sin A ＝－3cos A ， ……………… 2分 因为A 为三角形内角，所以sin A ≠0，从而cos A ≠0，所以tan A ＝sin A cos A ＝－3，所以A ＝2π3． ……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2， 故由正弦定理b sin B ＝csin C得4sin C ＝2sin B ，即2sin C ＝sin B ， 所以sin B ＝2sin C ＝2sin(π3－B )＝3cos B －sin B ，即2sin B ＝3cos B ．由sin B ≠0知cos B ≠0，因此tan B ＝sin B cos B ＝32． ……………… 8分因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分另解：A ＝2π3（略）……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝42＋22－2×4×2×cos 2π3＝28，所以a ＝27．……………… 6分 由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝4×sin2π327＝217，又B 为锐角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝277，则tan B ＝sin B cos B ＝32．……… 8分 在△ABD 中，因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分18．（本小题满分12分）解：（1）设M (x ，y )，圆M 的半径为r ．由题意知，MF ＝r ＋1，M 到直线l 的距离为r ．方法一：点M 到点F (2，0)的距离等于M 到定直线x ＝－2的距离，根据抛物线的定义知，曲线C 是以F (2，0)为焦点，x ＝－2为准线的抛物线． 故曲线C 的方程为y 2＝8x ． ……………………6分 方法二：因为MF ＝(x －2)2＋y 2＝r ＋1，|x ＋1|＝r ，x ＞－1， 所以(x －2)2＋y 2＝x ＋2，化简得y 2＝8x ，故曲线C 的方程为y 2＝8x ． ……………………6分 （2）方法一：设P (x 0，y 0)，由P A ＝2PF ，得(x 0＋2)2＋y 02＝2[(x 0－2)2＋y 02]， ……………………8分 又y 02＝8x 0，解得x 0＝2，故P (2，±4)， ……………………10分 所以k P A ＝±1，从而∠P AF ＝π4． …………………12分方法二：过点P 向直线x ＝－2作垂线，垂足为Q ．由抛物线定义知，PQ ＝PF ，所以P A ＝2PQ ， ……………………8分 在△APQ 中，因为∠PQA ＝π2，所以sin ∠QAP ＝PQ P A ＝ 22， ……………………10分从而∠QAP ＝π4，故∠P AF ＝π4． …………………12分19．（本小题满分12分）（1）证明：连结B 1C 交BC 1于点O ，连结OD ． 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC ＝B 1C 1，BC ∥B 1C 1，所以四边形B 1BCC 1为平行四边形，所以O 为B 1C 中点． 又因为D 为AC 中点， 所以OD 为△CB 1A 的中位线，所以B 1A ∥OD ． …………………3分 又因为B 1A ⊄平面C 1BD ，OD ⊂平面C 1BD ，所以B 1A ∥平面C 1BD ． …………………5分 （2）解：方法一：三棱锥B －B 1C 1D 的体积就是三棱锥D －BB 1C 1的体积． …7分过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1B ⊥平面ABC ．B 1（第19题）A 1C 1BDAC OE因为DE ⊂平面ABC ， 所以B 1B ⊥DE ．又因为DE ⊥BC ，且B 1B ，BC ⊂平面B 1BCC 1，B 1B ∩BC ＝B ， 所以DE ⊥平面B 1BCC 1，即DE 为三棱锥D －BB 1C 1的高． ………9分在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，且AB ⊥BC ， 所以AC ＝32＋42＝5，sin C ＝35，在Rt △DEC 中，DC ＝12AC ＝52，所以DE ＝DC ×sin C ＝32．又△BB 1C 1的面积S ＝12×BB 1×B 1C 1＝12×3×4＝6，所以三棱锥D －BB 1C 1的体积V ＝13×S ×DE ＝3，故三棱锥B －B 1C 1D 的体积等于3．………12分方法二：三棱锥B －B 1C 1D 的体积就是三棱锥B 1－BDC 1的体积． ………7分 因为（1）中已证B 1A ∥平面C 1BD ，所以B 1到平面BDC 1的距离等于A 到平面BDC 1的距离． 因此三棱锥B 1－BDC 1的体积等于三棱锥A －BDC 1的体积， 即等于三棱锥C 1－ABD 的体积．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，C 1C ⊥平面ABC ， 所以C 1C 为三棱锥C 1－ABD 的高．………10分因为AB ＝3，BC ＝4，且AB ⊥BC ，S △ABC ＝12×AB ×BC ＝6．因为D 是AC 的中点，所以△ABD 的面积S ＝12S △ABC ＝3．故三棱锥C 1－ABD 的体积V ＝13×S ×C 1C ＝3，即三棱锥B －B 1C 1D 的体积等于3．………12分20．（本小题满分12分）解：（1）由△ABC 为正三角形，得∠AOB ＝2∠ACB ＝2π3，所以∠ABO ＝∠BAO ＝π6，所以原点O 到直线AB 的距离d ＝1×sin π6＝12． ………3分由点到直线的距离公式得|m |2＝12，解得m ＝22或－22．所以直线AB 的方程为2x －2y ＋2＝0或2x －2y －2＝0． ………5分 （2）方法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )． 因为AP →·BP →＝0，所以点P 在以AB 为直径的圆上．记该圆圆心为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x ＝x 0，y ＝y 0是方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x －y ＋m ＝0的解，解得⎩⎨⎧x 0＝－m 2，y 0＝m 2．故以AB 为直径的圆的方程为(x ＋m 2)2＋(y －m 2)2＝1－m 22，其中－2＜m ＜2． …9分又点P 在直线x －y － 3 ＝0上，即直线与圆有公共点， 所以|m ＋3|2≤1－m 22，即2m 2＋23m ＋1≤0．解得－3＋12≤m ≤1－32． 综上，实数m 的取值范围是[－3＋12，1－32]． ………12分方法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立直线AB 与圆O 方程，得⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x －y ＋m ＝0，消去y 得2x 2＋2mx ＋m 2－1＝0． ①所以x 1，x 2是①的两个解，判别式△＝(2m )2－4×2×(m 2－1)＞0，即－2＜m ＜2， 且x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－12．………7分设点P (x ，y )，则AP →＝(x －x 1，y －y 1)，BP →＝(x －x 2，y －y 2)． 由AP →·BP →＝0，得(x －x 1) (x －x 2)＋(y －y 1) (y －y 2)＝0， ②将y ＝x －3，y 1＝x 1＋m ，y 2＝x 2＋m 代入②，整理得2x 2－2(x 1＋x 2＋m ＋3)x ＋2x 1x 2＋(m ＋3)(x 1＋x 2)＋(m ＋3)2＝0． 又x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－12，所以2x 2－23x ＋m 2＋3m ＋2＝0，关于x 的方程2x 2－23x ＋m 2＋3m ＋2＝0有实数解， ………10分因此(－23)2－4×2×(m 2＋3m ＋2)≥0，即2m 2＋23m ＋1≤0， 解得－3＋12≤m ≤1－32． 综上，实数m 的取值范围是[－3＋12，1－32]． ………12分 21．（本小题满分12分）解：因为平面P AB ⊥平面ABCD ，P A ⊥AB ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，P A ⊂平面P AB ，所以P A ⊥平面ABCD ．因为AD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥AD ．又AB ⊥AD ，所以P A ，AB ，AD 两两互相垂直．以{AB →，AD →，AP →}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ．…………2分 因为P A ＝AD ＝4，AB ＝BC ＝2，所以A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，4，0)，P (0，0，4)．（1）若λ＝12，即E 为PC 中点，则E ()1，1，2，所以DE →＝()1，－3，2，AB →＝()2，0，0，AE →＝()1，1，2． 设平面ABE 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AB →＝0，m ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝0，x 1＋y 1＋2z 1＝0．令z 1＝1，得y 1＝－2，所以平面ABE 的一个法向量为m ＝(0，－2，1)． …………………4分 设直线DE 与平面ABE 所成角为α，则sin α＝|cos ＜DE →，m ＞|＝|6＋214×5|＝47035． …………………6分（2）因为PE →＝λPC →(0≤λ＜1)，则E (2λ，2λ，4－4λ)．设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＝0，2λx 2+2λy 2+(4－4λ)z 2＝0．令y 2＝2，得z 2＝λλ－1，所以平面ABE 的一个法向量为n ＝(0，2，λλ－1)．设平面AEC 的一个法向量为l ＝(x 3，y 3，z 3)，则⎩⎪⎨⎪⎧l ·AC →＝0，l ·AP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋2y 3＝0，4z 3＝0．令x 3＝1，得y 3＝－1，所以平面AEC 的一个向量为l ＝(1，－1，0)． ……………………9分 （或证明CD ⊥平面P AC ，从而CD →为平面P AC 的一个法向量） 因为二面角B -AE -C 的大小为θ，且|cos θ|＝23417，得|cos ＜n ，l ＞|＝|－24＋(λλ－1)2×2|＝23417，整理得3λ2＋2λ－1＝0，解得λ＝13，或λ＝－1(舍)．所以λ＝13． ……………12分22．（本小题满分12分）解：（1）椭圆C 的左顶点(－a ，0)，上顶点(0，b )．因为左顶点与上顶点的距离为23，所以a 2＋b 2＝23，化简得a 2＋b 2＝12． ① 因为椭圆经过点(2，2)，所以4a 2＋2b 2＝1，② …………2分由①②解得a 2＝8，b 2＝4或a 2＝6，b 2＝6（舍去），所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1． …………4分（2）当PQ 斜率不存在时，N 为(±22，0)，PQ 方程为x ＝±223，易得PQ ＝823，此时S ＝12×MN ×PQ ＝12×823×823＝649． …………5分当PQ 斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 28＋y 24＝1得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2(m 2－4)＝0，由△＝(4km )2－8(1＋2k 2)(m 2－4)＞0，得0＜m 2＜8k 2＋4． （*） 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2(m 2－4)1＋2k 2， 因此PQ 的中点M 为(－2km 1＋2k 2，m1＋2k 2)． 又因为ON →＝3MO →，所以N (6km 1＋2k 2，－3m 1＋2k 2)，将点M 代入椭圆方程，得18k 2m 24(1＋2k 2)2＋9m 24(1＋2k 2)2＝1，化简得2k 2＋1＝94m 2，符合（*）式． ……………9分记点O 到直线l 的距离为d ，则S ＝4S △OPQ ＝2PQ ×d ＝21＋k 2|x 1－x 2|×d＝21＋k 2×22×8k 2＋4－m 21＋2k 2×|m |1＋k2＝42|m |×8k 2＋4－m 21＋2k 2， 将2k 2＋1＝94m 2代入，得S ＝42|m |×9m 2－m 294m 2＝649． 综上，△PQN 的面积S 为定值649． …………12分。
江苏省常熟市2020-2021学年高二数学上学期期中试题
江苏省常熟市 2020-2021学年高二数学上学期期中试题
注意事项
答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1.本卷共 4 页，包含选择题(第 1 题～第 12题)、填空题(第 13题～第 16题)、解答题(第 17
题～第 22题)，本卷满分 150分，考试时间为 120分钟。考试结束后，请将答题卷交回。
万元)。
(1)若年利润 L(x)单位：万元)不小于 6 万元，求年产量 x(单位：万件)的范围。
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
20.(本小题满分 12分)
设函数 f(x)＝ax2－(3a＋2)x＋6。
(1)若 f(x)>(a－2)x2－(a＋1)x＋1 在 x∈[－1，＋∞)恒成立，求实数 a 的取值范围；
(2)解关于 x 的不等式 ax2－(3a＋2)x＋6>0。
21.(本小题满分 12分)
3
设数列{an}的前 n 项和为 Sn，满足 Sn＋an＝An2＋Bn＋1。且 a1＝1，a2＝ 。
2
(1)求证：数列{an－n＋1}是等比数列并求数列{an}的通项公式；
(2)令 bn＝
1
，求数列
an
b
的前 n 项和 Tn，若对任意 n 都有 Tn>m，求
2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用 0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卷
的规定位置。
3.请在答题卷上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其它位置作答一律无效。选择题必须
使用 2B铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5毫米黑色墨水的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
4.请保持答题卷卷面清洁，不要折叠、破损。一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠
江苏省南京市六校联考2020-2021学年高二下学期期中考试数学Word版含解析
南京市2020—2021学年度高二第二学期期中六校联考数学试卷本卷：共150分 考试时间：120分钟一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．设z ＝3－2i ，则在复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择的种数为（ ） A ．60B ．125C ．240D ．2433．已知递增等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝2，S 3＝7，则S 7＝( ) A ．64B ．63C ．127D ．484．3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只去1个村，每个村至少1人，则不同的分配方案共有（ ） A ．4种B ．5种C ．6种D ．8种5．已知函数f (x )＝13a 2x 3－32ax 2＋2x ＋1在x ＝1处取得极大值，则a 的值为( )A ．－1或－2B ．1或2C ．1D ．26．甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有( ) A ．12种B ．24种C ．48种D ．120种7．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有( ) A ．60种B ．78种C ．84种D ．144种8．定义在R 上的函数f (x )的导函数为f′(x )，若对任意实数x ，有f (x )＞f′(x )，且f (x )＋2022为奇函数，则不等式f (x )＋2022e x ＜0的解集是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，2022)C ．(0，＋∞)D ．(2022，＋∞)二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2022-2023学年江苏省南京市金陵中学河西分校高二年级上册学期12月阶段检测数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省南京市金陵中学河西分校高二上学期12月阶段检测数学试题一、单选题1．是等差数列，，，的第（ ）项．401-5-9-13-⋯A ．98B ．99C ．100D ．101【答案】C【分析】等差数列，，中，，，由此求出，令5-9-13-⋯15a =-9(5)4d =---=-41n a n =--，得到是这个数列的第100项．40141n -=--401-【详解】解：等差数列，，中，，5-9-13-⋯15a =-9(5)4d =---=-5(1)(4)41n a n n ∴=-+-⨯-=--令，得40141n -=--100n =是这个数列的第100项．401∴-故选：C ．2．数列2，－4，6，－8，…的通项公式可能是（ ）A ．B ．C ．D ．)(12nn a n=-)(112n n a n+=-)(12nnn a =-)(112n nn a +=-【答案】B【分析】根据题意，分析数列各项变化的规律，即可得答案．【详解】根据题意，数列2，，6，，，4-8-⋯其中，，，，11212a =⨯⨯=2(1)224a =-⨯⨯=-31236a =⨯⨯=2(1)248a =-⨯⨯=-其通项公式可以为，1(1)2n n a n +=-⨯故选：．B 3．在等差数列 中，若，则等于{}*()∈n a n N 45627a a a ++=19a a +A ．9B ．27C ．18D ．54【答案】C 【详解】,4565327a a a a ++==解得，59a =则，故选C.195218a a a +==【解析】等差数列的性质——等差中项.4．等比数列为递减数列，若，，则（ ）{}n a 7146a a ⋅=4175a a +=518a a =A ．B ．C ．D ．6322316【答案】A 【解析】，可得与为方程的两个根，又，解得，7144176a a a a ⋅=⋅=4a 17a 2560x x -+=1n n a a +>4a ，再利用通项公式即可得出.17a 【详解】∵等比数列为递减数列，，，{}n a 7146a a ⋅=4175a a +=∴与为方程的两个根，4a 17a 2560x x -+=解得，或，，42a =173a =43a =172a =∵，∴，，1n n a a +>43a =172a =∴，1317423a q a ==则，51318132a a q==故选:A.5．已知为等比数列的前n 项和，若，，则（ ）n S {}n a 5312a a -=6424a a -=44S a =A ．15B ．C ．D ．14-158158-【答案】C【分析】两式联立，可求出首项和公比，代入求解即可.【详解】设公比为q ，显然，由已知得，，{}n a 1q ≠53641224a a a a -=⎧⎨-=⎩所以，故，即，64532a a q a a -==-531141612a a a a -==-11a =所以，()41434111518a q S qa a q --==故选：C.6．已知数列是等差数列，数列是等比数列，，且，{}n a {}n b 794π3a a +=26108b b b =（ ）3813481a a a b b ++=-A ．B ．C ．D ．π4π3π22π3【答案】D【分析】根据等差数列，等比数列的性质化简计算即得.【详解】因为数列是等差数列，，{}n a 79824π3a a a +==所以，，82π3a =3813832πa a a a =+=+因为数列是等比数列，，{}n b 2610368b b b b ==所以，，62b =26483141b b b =-==-所以.3813482π13a a a b b ++=-故选：D.7．设等差数列，的前n 项和分别是，，若，则（ ）{}n a {}n b n S n T 237n n S nT n =+65a b =A ．B ．651117C ．D ．31114【答案】B【分析】先由等差数列的前项和公式设出，，再按照直接计算即可.n n S n T 665554a S S b T T -=-【详解】由等差数列的前项和公式满足形式，设，则n 2An Bn +2(2)2n S kn n kn =⋅=，故.2(37)37n T kn n kn kn =⋅+=+66555423622511325753167417a S S k k b T T k k k k -⨯-⨯===-⨯+⨯-⨯-⨯故选：B.8．已知数列（其中第一项是，接下来的{}2223333333441123123456712:,,,,,,,,,,,,2222222222222n a 112项是，再接下来的项是，依此类推）的前项和为，221-222123,,222321-33333331234567,,,,,,2222222n n S 下列判断：①是的第项；②存在常数，使得恒成立；③；④满足不等1010212-{}n a 2036M M n S <20191018S =式的正整数的最小值是.1019n S >n 2100其中正确的序号是A ．①③B ．①④C ．①③④D ．②③④【答案】B 【分析】找出数列的规律：分母为的项有项，并将这些项排成杨辉三角形式的数阵，{}n a 2k 21k -使得第有项，每项的分母均为，并计算出每行各项之和，并计算出数列的前项k 21k -2k k b {}k b k 和，结合这些规律来判断各题的正误．k T 【详解】由题意可知，数列的规律为：分母为的项有项，将数列中的项排成杨辉{}n a 2k 21k -{}n a 三角数阵，且使得第行每项的分母为，该行有项，如下所示：k 2k21k -122233333331212322212345672222222 对于命题①，位于数阵第行最后一项，对应于数列的项数为1010212-10{}n a ，命题①正确；()()()()10121021221212110203612--+-++-=-=- 对于命题②，数阵中第行各项之和为，则，k k b ()12121222122k kk k k k b ⎛⎫-+- ⎪-⎝⎭==且数列的前项之和为{}k b k ，()121212212121221222222k k k k kk T +--------=+++==当时，，因此，不存在正数，使得，命题②错误；k →+∞k T →+∞M n S M <对于命题③，易知第行最后一项位于数列的项数为9{}n a ，()()()()91292122121219101312--+-++-=-=- 第行最后一项位于数列的项数为，且，10{}n a 2036101320192036<<则位于数阵第行第项（即），2019a 101006201910131006-=所以，101010201991010101100610061210062922222222S T ⎛⎫⨯+ ⎪--⎝⎭=++++=+=，命题③错误；1110235031007101822⨯=+≠由①知，，且，11203610210210182S T --===121121124083101922T --==>则恰好满足的项位于第行，假设位于第项，1019n S >n a 11m 则有，可得出，()1011111112112101810192222m m mT +++++=+> ()14096m m +>由于，，则，，64634032⨯=64654160⨯=636440966465⨯<<⨯64m ∴=因此，满足的最小正整数，命题④正确．1019n S >2036642100n =+=故选B.【点睛】本题考查归纳推理，考查与数列相关的知识，关键要找出数列的规律，在解题时可以将规律转化为杨辉三角来处理，在做题过程中找出项与数阵中相对应的位置，综合性较强，属于难题．二、多选题9．已知数列{an }为等差数列，其前n 项和为Sn ，且2a 1+4a 3＝S 7，则以下结论正确的有（ ）A ．a 14＝0B ．S 14最小C ．S 11＝S 16D ．S 27＝0【答案】ACD【分析】根据题意，由2a 1+4a 3＝S 7，可得a 14＝0，然后逐项分析即可得解.【详解】因为数列{an }为等差数列，设其等差为d ，由于2a 1+4a 3＝S 7，即6a 1+8d ＝7a 1+21d ，即a 1+13d ＝a 14＝0，故A 正确；当时，Sn 没有最小值，故B 错误；0d <因为S 16﹣S 11＝a 12+a 13+a 14+a 15+a 16＝5a 14＝0，所以S 11＝S 16，故C 正确；S 27＝＝27（a 1+13d ）＝27a 14＝0，故D 正确.12727()2a a +故选：ACD .10．各项均为正数的等比数列的前n 项积为，若，公比，下列命题正确的是{}n a nT11a >1q ≠（ ）A ．若，则必有是中最小的项B ．若，则必有59T T =7T n T 59T T =141T =C ．若，则必有D ．若，则必有67T T >78T T >67T T >56T T >【答案】BC【分析】根据给定条件，结合等比数列的性质，利用计算判断A ，B ；利用推理判断59T T =67T T >C ，D 作答.【详解】正项等比数列的前n 项积为，，公比，{}n a nT11a >1q ≠当时，，而，则，即，而，有，数列59T T =67891a a a a =6978a a a a =781a a =21311a q =11a >01q <<单调递减，{}n a 因此数列前7项均大于1，从第8项起均小于1，必有是中最大的项，A 不正确；{}n a 7T nT由选项A 知，，B 正确；711421331241151069784817()1T a a a a a a a a a a a a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅==⋅当时，，而，则，数列单调递减，，有67T T >6171a q a =<11a >01q <<{}n a 8701a a <<<，C 正确；8877T a T T =<因，由C 选项知，，数列单调递减，而与1的大小关系不确定，D 不正确.665T a T =01q <<{}n a 6a 故选：BC 11．数列前项的和为，则下列说法正确的是（ ）{}n a n n S A ．若，则数列前5项的和最大211n a n =-+{}n a B ．设是等差数列的前项和，若，则n S {}n a n 4815SS =816522S S =C ．已知，则使得成等比数列的充要条件为55a c =+=-,,a b c 1b =D ．若为等差数列，且，，则当时，的最大值为2022{}n a 10110a <101110120a a +>0n S <n 【答案】AB【分析】对A ，可以采用临界法得到和的最大值；对B ，运用等差数列的和的性质易判断；对C ，等比中项的个数一般是2个；对D ，可以采用基本量法计算即可.【详解】A ：由通项公式知：数列是严格递减数列，又1234560...a a a a a a >>>>>>>所以数列前5项的和最大，A 对；{}n a B ：在等差数列中，成等差，{}n a 4841281612,,,S S S S S S S ---48481,5,5S S S S =∴=又，84412841241242()8412S S S S S S S S S S -=+-⇒=-⇒=12884161241641642()14822S S S S S S S S S S S -=-+-⇒=-⇒=B对；8165,22S S ∴=C ：成等比数列，所以不是充要条件，C 错；,,a b c 2,1,b ac b ∴=∴==±D ：为等差数列, ，{}n a 10110a <10111012101110120,0a a a a +>∴<<，所以D 错，1202210111012202220222022022a a a aS ++∴=⨯=⨯>故选：AB12．若数列满足，则称数列为斐波那契数列，斐波{}n a ()*12121,1,3,n n n a a a a a n n N --===+≥∈{}n a 那契数列被誉为是最美的数列.则下列关于斐波那契数列结论正确的是（ ）A ．12321n n a a a a a +++++=- B ．202020202021S a a =+C ．135********a a a a a ++++= D ．24620202021a a a a a ++++> 【答案】AC【分析】利用斐波那契数列的递推关系进行累加求和即可判断.【详解】A 选项，，.累加得，，12n n n a a a --=+ 31242311n n n a a a a a a a a a +--=⎧⎪-=⎪∴⎨⎪⎪-=⎩12123n n n a a a a a a a ++--=+++ 即.又，所以，A 正确；2212n na a a a a +-=+++ 21a =12321n n a a a a a +++++=-B 选项，由A 选项可知，故，B 不正确；21n n S a +=-202020202020122211a S a a =-=-+C 选项，，.12n n n a a a --=+ 423645202220202021a a a a a a a a a -=⎧⎪-=⎪∴⎨⎪⎪-=⎩累加得，，20222352021a a a a a -=+++ 所以，C 正确；21135202120222022202211a a a a a a a a a -+=-+=++++= D 选项，由C 选项中同理可知，，D 不正确.31532021201920211202246202012021()1a a a a a a a a a a a a a a =-+-++-=-=-+<+++ 故选：AC.三、填空题13．在数列中，若，，则________．{}n a 11a =1133n na a +=+n a =【答案】32n -【分析】根据题干递推关系可知数列为等差数列，由等差数列通项公式求出.{}n a n a 【详解】因为，即，1133n na a +=+13n n a a +-=所以数列是公差为的等差数列，{}n a 3又，11a =所以.()13132n a n n =+-=-故答案为：.32n -【点睛】本题考查等差数列，属于基础题.14．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，其中一道题目的背景是这样的：把100片面包分给5个人，使每个人分得的面包数成等差数列，且使较大的三个数之和的是较小的两个数17之和，若将这5个数从小到大排列成递增的等差数列，则该数列的公差为_________.【答案】556【解析】利用和表示出已知的等量关系，从而构造出方程组求得结果.1a d 【详解】设个数从小到大排列所成的等差数列为，公差为5{}n a d则， ，解得：()3451217a a a a a ++=+5100S =()111139275451002a d a d a d ⎧⨯+=+⎪⎪∴⎨⨯⎪+=⎪⎩153556a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故答案为：556【点睛】本题考查等差数列的实际应用问题，关键是能够利用首项和公差表示出已知的等量关系.15．若数列满足，，，则的值为__________．{}n a 12a =23a =()*21n n n a a a n +++=∈N 2021a 【答案】3-【分析】由递推式求数列的前几项，确定数列的项的规律，由规律确定.2021a 【详解】解：，则，132a a a +=3211a a a =-=，则，243a a a +=4322a a a =-=-，则，354a a a +=5433a a a =-=-，6541a a a =-=-，7652a a a =-=，8763a a a =-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴数列为周期数列，且周期，{}n a 6T =又，∴．202163365=⨯+202153a a ==-故答案为：-3.16．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以.反复进行上312述两种运算，经过有限步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又1421→→→称“角谷猜想”等).如取正整数，根据上述运算法则得出，6m =63105168421→→→→→→→→至少需经过个步骤变成(简称为步“雹程”).一般地，一个正整数首次变成需经过个步骤(简818m 1n 称为步“雹程”).现给出冰雹猜想的递推，关系如下：已知数列满足为正整数)，n {}n a 1(a m m =，若，即步“雹程”对应的的所有可能取值的中位数为1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时101a =9m __________.【答案】82【分析】由结合递推公式逆推，逐步计算可得的可能取值，再将的取值按从小到大的顺101a =m m 序排列，由中位数的定义可得中位数.【详解】因为，，101a =1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时倒推可得：；1248163264128256512←←←←←←←←←；124816326412825685←←←←←←←←←；1248163264214284←←←←←←←←←；124816*********←←←←←←←←←；124816*********←←←←←←←←←；1248165103612←←←←←←←←←故的所有可能取值为，中位数为，m 12,13,80,84,85,5128084822+=故答案为：.82四、解答题17．（1）在等差数列中，公差，前项和，求及；{}n a 13,22n d a ==n 152n S =-1a n （2）在等比数列中，已知公比，前5项和，求.{}n a 12q =5318S =15,a a 【答案】（1），；（2），.13a =-10n =12a =518a =【分析】（1）运用基本量法表示出联立方程解方程组可求出；,n n a S （2）将用基本量可以求出首项，然后代入通项公式可得的值.5318S =5a 【详解】（1）由题意得()()()113152122131222a n a n ⎧+⎪⨯=-⎪⎨⎪+-⨯=⎪⎩由得.代入后化简得()21122a n =-+()127300n n --=解得或（舍去），从而.10n =3n =-13a =-（2）由，解得，所以.515112311812a S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-12a =45118a a q ==18．已知数列的前n 项和为，且满足{}n a n S ()*1N +=∈n n a S n (1)证明：数列是等比数列；{}n a (2)求的值．1100S a 【答案】(1)证明见解析；(2)1023【分析】（1）根据等比数列的定义证明即可；（2）根据等比数列的性质求得、，进而求得比值．10S 10a 【详解】（1）证明：由①得()*1N +=∈n n a S n ②，111n n a S +++=②①得-，12n n a a +=即，112n na a +=当时，，1n =121a =解得，112a =是以为首项，为公比的等比数列．{}n a ∴1212（2）解：由（1）知，9101011122⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a ，10101011122111212⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==--S．101010101011221102312-∴==-=S a 19．设等差数列的公差为，前项和为，已知，，.{}n a d n n S 17a =-4n S S ≥d Z ∈（1）求数列的通项公式；{}n a n a （2）令，求数列的前项和.n n b a ={}n b n n T 【答案】（1）；（2）.29n a n =-()228,4*832,5n n n n T n N n n n ⎧-+≤=∈⎨-+≥⎩【分析】（1）利用基本量代换，求出公差d ，写出通项公式；（2）对的正负讨论，求出的前项和..n a {}n b n n T 【详解】（1）因为，所以即4n S S ≥450,0,a a ≤⎧⎨≥⎩370,470,d d -≤⎧⎨-≥⎩解得，又，所以..7743d ≤≤d Z ∈2d =()()1172129n a a n d n n =+-=-+-=-（2）因为，29n n b a n ==-当时，，则，4n ≤0n a <n n n b a a ==-；()272982n n n n T S n n -+-=-=-=-+当时，，则，5n ≥0n a >n n n b a a ==.()22428216832n n T S S n n n n =-=--⨯-=-+综上所述：.()228,4*832,5n n n n T n N n n n ⎧-+≤=∈⎨-+≥⎩【点睛】（1）数列求通项公式的方法：①观察归纳法；②公式法；③由求；④由递推公式求n S n a 通项公式；（2）数列求和常用方法：①公式法； ②倒序相加法；③裂项相消法； ④错位相减法．20．设数列的前项和为，已知，.{}n a n n S 11a =()12n n na n S +=+(1)证明：数列是等比数列；n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭(2)求与.n S n a 【答案】(1)证明见解析(2)，()212n n a n -=+⋅12-=+n n S n 【分析】（1）利用进行整理原式，可得，即可证明为等比数列；11n n n S S a ++-=121n n S S n n +=⨯+n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（2）根据（1）的结论即可求，再利用即可得到.n S ()12n n n S S a n --=≥n a 【详解】（1）因为，()12n n na n S +=+所以，12n n n a S n ++=则()11121221n nn n n n n n S S n S S S S S n n n n +++++-=⇒=⇒=⨯+又，所以，11a =111S =所以数列是首项为1，公比为2的等比数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（2）由（1）可得，即，12n n S n -=12n n S n -=⋅当时，；2n ≥()()122121212n n n n n n a S S n n n ----=-=⋅-⋅=+⋅-当时，符合，1n =11a =()212n n a n -=+⋅所以.()212n n a n -=+⋅21．在①；②成等比数列；③；这三个条件中任21322n S n n t =++21373,,,a a a a =222n n n S a a =+-选一个，补充在下面试题的空格处中并作答．已知是各项均为正数，公差不为0的等差数列，其前n 项和为，且．{}n a n S (1)求数列的通项公式；{}n a (2)定义在数列中，使为整数的叫做“调和数”，求在区间[1，2022]内所有“调和数”{}n a ()3log 1n a +n a 之和．n T 【答案】(1)1n a n =+(2)1086【分析】（1）选①或③，利用求得；选②，结合等比中项的知识求得等差11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩n a 数列的公差，从而求得.{}n a {}n a （2）利用列举法写出“调和数”，结合等比数列前项和公式求得.n n T 【详解】（1）选①解：因为，21322n S n n t =++所以当时，，1n =112a S t ==+当，时，2n ≥()()2211313112222n n n a S S n n t n n t -⎛⎫=-=++--+-+ ⎪⎝⎭1n =+因为是各项均为正数，公差不为0的等差数列，{}n a 所以，.0=t 1n a n =+选②解：因为成等比数列，137,,a a a 所以，2317a a a =⋅因为是各项均为正数，公差不为0的等差数列，设其公差为，{}n a d 所以，()()212111326a a d a d a a d =+=⎧⎪⎨+=⋅+⎪⎩所以，121a d =⎧⎨=⎩所以.()111n a a n d n =+-=+选③解：因为，222n n n S a a =+-所以当时，．1n =211122S a a =+-所以，21120a a --=所以或，12a =11a =-因为是各项均为正数的等差数列，{}n a 所以，12a =又当n ＝2时，，222222S a a =+-所以，所以，()2122222a a a a +=+-()2222222a a a +=+-所以，所以或（舍去），22260a a --=23a =22a =-其公差，211d a a =-=所以.()111n a a n d n =+-=+（2）设，所以，()3log 1n b a =+31b n a =-令，且b 为整数，12022b ≤≤又由，，67333log 31,log 3729,log 32187===6733log 32022log 3<<所以b 可以取1，2，3，4，5，6，此时分别为，n a 12345631,31,31,31,31,31------所以区间[1，2022]内所有“调和数”之和()()()()()()123456313131313131n T =-+-+-+-+-+-()1234563333336=+++++-()6313613-=--＝1086.22．已知等差数列满足.{}n a 3577,26a a a =+=(1)求的通项公式；{}n a (2)若，数列满足关系式，求数列的通项公式；222n a n m +={}n b 11,1,2n n n b b m n -=⎧=⎨+≥⎩{}n b (3)设（2）中的数列的前项和为，对任意的正整数，{}n b n n S n 恒成立，求实数的取值范围.()()()11222n n n S n n p +-⋅++++⋅<p 【答案】(1)*21,n a n n =+∈N (2)21n n b =-(3)(],1-∞-【分析】（1）由已知条件列方程组求解基本量并代入即可；（2）先代入求得数列的递推公式，再用累加法计算出的通项，并代入首项检验即可；n a {}n b {}n b （3）先求数列的前项和为，代入原不等式后将分离，再求不含的式子的最值即可.{}n b n n S p p 【详解】（1）设等差数列的公差为，{}n a d 由已知，有，112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩解得132a d =⎧⎨=⎩所以，()32121n a n n =+-=+即等差数列的通项公式为.{}n a *21,n a n n =+∈N （2）因为，2112222222n a n n n n m +-++===当时，，2n ≥112n n n b b ---=所以2123211222n n n b b b b b b ---=⎧⎪-=⎪⎨⎪⎪-=⎩ 累加得，23112222n n b b --=++++ 即.211212222121nn n n b --=++++==-- 当时，也满足上式.1n =11b =所以数列的通项公式为.{}n b 21n n b =-（3）由（2），所以，21n n b =-()()231222222n n n S n n +=++++-=-+ 原不等式变为，即，∴()()111222n n n n p ++-++⋅<11222n n p ++⋅<-对任意恒成立，112n p ∴<-*n ∈N 为任意的正整数，n 1112n->-∴.1p ∴≤-的取值范围是.p ∴(],1-∞-。
2020-2021学年江苏省南通市如皋市高二上学期教学质量调研(一)数学试题(解析版)
2020-2021学年江苏省南通市如皋市高二上学期教学质量调研（一）数学试题一、单选题1．抛物线23y x =的准线方程为（ ） A ．34x =-B ．34x =C ．34y =-D ．34y =【答案】A 【解析】先求出324p =，即得解. 【详解】由抛物线23y x =得323,24p p =∴=， 所以抛物线的准线方程为34x =-.故选：A 【点睛】本题主要考查抛物线的准线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点()2,1，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2BC D 【答案】C【解析】由题得点()2,1在直线by x a=上，化简224a b =即得解. 【详解】由题得点()2,1在直线by x a=上， 所以22122,4,ba b a b a=⨯∴=∴=，所以22222254(),54,,4a c a a c e e =-∴=∴=∴=. 故选：C 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．已知椭圆2211612x y +=上一点P 到其左焦点的距离为6，则点P 到右准线的距离为（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．12【答案】A【解析】求出点P 的横坐标，进而可求得点P 到椭圆右准线的距离. 【详解】设点P 的坐标为(),x y ，则2211612x y +=，223124y x =-，且44x -≤≤，对于椭圆2211612x y +=，4a =，b =2c ，椭圆2211612x y +=的左焦点为()2,0F -，右准线方程为28a x c==，114422PF x x ====+=+6=，解得4x =，因此，点P 到右准线的距离为844-=. 故选：A. 【点睛】本题考查椭圆上的点到准线距离的计算，求出点P 的横坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.4．已知抛物线()220x py p =>的焦点到双曲线22154y x -=的渐近线的距离为2，则p 的值为（ ）A ．4B ．6C ．9D ．12【答案】B【解析】求出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】双曲线22154y x -=20y ±=，抛物线的焦点坐标为：0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为抛物线()220x py p =>的焦点到双曲线22154y x -=的渐近线的距离为2，22254p⨯=+，解得6p故选：B 【点睛】本题考查抛物线和双曲线简单性质的应用，点到直线距离公式的应用，较简单. 5．设抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点()2,0-且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则MF NF +=（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】设()11,M x y ，()22,N x y ，将直线方程代入抛物线方程，韦达定理知1210x x +=，利用抛物线焦半径公式可得到结果.【详解】设()11,M x y ，()22,N x y ，直线方程为：()223y x =+ 将直线方程代入抛物线方程得：2540x x -+=，则125x x +=由抛物线焦半径公式可得：()12121127MF NF x x x x +=+++=++= 故选：C 【点睛】本题考查抛物线焦半径公式的应用，属于基础题.6．为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的M ，N 两点为平行四边形AMBN 一组相对的顶点，当平行四边形AMBN 的周长恒为20米时，小花圃占地面积最大为（ ）A ．6B ．12C ．18D ．24【答案】D【解析】由题意可得出10MB BN +=，在三角形MBN 中，使用余弦定理可得cos B 的关系式，再利用基本不等式可求出cos B 的最小值，从而可求出sin B 的最大值，进而求解． 【详解】设AM x =，AN y =，则由已知可得10x y +=， 在MBN △中，6MN =， 由余弦定理可得：222226()363232327cos 1111222525()2x y x y B x y xy xy xy +-+-==-=--=-=+， 当且仅当x y =时等号成立， 此时5x y ==，7cos 25min B =， 所以24sin 25max B =， 所以四边形AMBN 的最大面积为12425524225⨯⨯⨯⨯=， 此时四边形AMBN 是边长为5的菱形， 故选：D 【点睛】本题主要考查了解三角形中的余弦定理以及基本不等式的简单应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．7．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，过点()4,0的直线交椭圆E 于A ，B 两点.若AB 中点坐标为()2,1-，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．12B C ．13D 【答案】B【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程，利用点差法得到22221212220x x y y a b--+=，然后根据AB 中点坐标为()2,1-，求出斜率代入上式，得到a ，b 的关系求解.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得：22221212220x x y y a b--+=， 因为AB 中点坐标为()2,1-， 所以12124,2x x y y +=+=-，所以()()2212122212122x x b y y b x x y y a a +-=-=-+，又1212011422AB y y k x x -+===--，所以22212b a =，即2a b =，所以c e a ===， 故选：B 【点睛】本题主要考查椭圆的方程，点差法的应用以及离心率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8．已知双曲线221916x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，该圆与双曲线在第一象限的交点为P ，则12PF PF ⋅=（ ） A ．8 B．C ．4D．【答案】A【解析】根据条件可得24PF =，由双曲线的定义可得110PF =，又1210F F =，由余弦定理得出12F PF ∠的余弦值，再由向量的数量积可得答案. 【详解】双曲线221916x y -=的渐近线方程为43y x =±.则焦点()25,0F到渐近线的距离为4d ==因为以2F 为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，所以4r = 所以24PF =,由双曲线的定义有110PF = 又1210F F =，由余弦定理得22212122112||+||||100161001cos 2||||21045PF PF F F F PF PF PF -+-∠===⨯⨯，1212121||||cos 4085PF PF PF PF F PF ⋅=⋅∠=⨯=，故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的基本性质，双曲线与向量的结合，属于中档题.二、多选题9．已知双曲线222(0)63x y λλ-=≠，则不因λ改变而变化的是（ ）A ．渐近线方程B ．顶点坐标C ．离心率D ．焦距【答案】AC【解析】首先将题中所给的双曲线方程化为标准方程，写出22,a b ，求得2c 的值，求得双曲线的离心率和渐近线方程是确定的，得出结果. 【详解】双曲线222(0)63x y λλ-=≠可化为2222163x y λλ-=，所以22226,3a b λλ==，所以229c λ=， 所以2231()2be a=+=，渐近线方程为2b y x x a =±=±， 故选：AC. 【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有根据双曲线的方程确定双曲线的离心率和渐近线方程，观察双曲线方程研究其性质，属于简单题目.10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为右支上一点，若123PF PF =，则双曲线的离心率可能为（ ）A ．2BCD ．3【答案】AB【解析】由双曲线的定义和已知可得21|||3,|PF PF a a ==，然后再由1212||||||PF PF F F +≥可得答案.【详解】由已知12||3||PF PF =和12||||2PF PF a -=得，所以21|||3,|PF PF a a ==，所以1212||||||2PF PF F F c ≥=+， 即42a c ≥，12e <≤， 故选：AB. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，属于基础题.11．设1F ，2F 为椭圆C ：221167x y +=的左、右焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若12MF F △为等腰三角形，则下列结论正确的是（ ） A ．12MF = B ．22MF = C ．点M 的横坐标为83D ．12MF F S =△【答案】BCD【解析】由M 的位置及12MF F △为等腰三角形，知112MF F F =，进而求得1MF ，2MF ，然后在12MF F △中，利用余弦定理求得12cos MF F ∠，再利用112cos M x MF MF F c =⋅∠-和面积公式求解即可.【详解】因为椭圆C ：221167x y +=，所以4,3a b c ===，因为M 为C 上一点且在第一象限，且12MF F △为等腰三角形， 所以12112,26MF MF MF F F c >===，且22MF =，在12MF F △中，由余弦定理得：22222211221211266217cos 226618MF F F MF MF F MF F F +-+-∠===⋅⨯⨯，所以112178cos 63183M x MF MF F c =⋅∠-=⨯-=，所以12sin 18MF F ∠==，所以1112111sin 662218MF FSMF F F MF F =⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯=， 故选；BCD 【点睛】本题主要考查椭圆的交点三角形以及余弦定理和面积公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．已知抛物线24x y =的焦点为F ，()11,A x y ，()22,B x y 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ） A ．点F 的坐标为()1,0B ．若A ，F ，B 三点共线，则3OA OB ⋅=-C ．若直线OA 与OB 的斜率之积为14-，则直线AB 过点F D ．若6AB =，则AB 的中点到x 轴距离的最小值为2 【答案】BCD【解析】根据抛物线的标准方程，求得焦点F 的坐标，可判定A 错误；设直线AB 的方程为1y kx =+，根据韦达定理和向量的运算，可判定B 正确；设直线AB 的方程为y kx m =+，根据直线的斜率公式、弦长公式等，可判定C 、D 正确.【详解】由抛物线24x y =，可得2p =，则焦点F 坐标为(0,1)，故A 错误；设直线AB 的方程为1y kx =+，联立方程组214y kx x y=+⎧⎨=⎩，可得2440x kx --=，所以12124,4x x k x x +==-， 所以2121212()11y y k x x k x x =+++=，所以1212413OA OB x x y y ⋅=+=-+=-，故B 正确； 设直线AB 的方程为y kx m =+， 联立方程组24y kx mx y=+⎧⎨=⎩，可得2440x kx m --=，所以12124,4x x k x x m +==-， 所以222222121212()44y y k x x k x x m k m mk m m =+++=-++=，因为直线OA 与OB 的斜率之积为14-，即121214y y x x ⋅=-，可得2144m m =--，解得1m =， 所以直线AB 的方程为1y kx =+，即直线过点F ，故C 正确；因为6AB ===， 所以224(1)()9k k m ++=，所以2994(1)m k ==+，因为21212()242y y k x x m k m +=++=+，所以AB 的中点到x 轴的距离：22222299224(1)4(1)d k m k k k k k =+=+-=+++229114(1)k k =++-+1312≥=-=，当且仅当212k =时等号成立，所以AB 的中点到x 轴的距离的最小值为2，故D 正确， 综上所述，正确命题为BCD. 故选：BCD. 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及几何性质，以及直线与抛物线的位置关系的应用，解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．三、填空题 13．当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，方程22sin cos 1x y αα+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则α的取值范围为________.【答案】0,4π⎛⎫⎪⎝⎭【解析】变换得到22111sin cos x y αα+=，根据题意得到11sin cos αα>，解得答案. 【详解】22sin cos 1x y αα+=，即22111sin cos x y αα+=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故10sin α>，10cos α>， 方程22sin cos 1x y αα+=表示焦点在x 轴上的椭圆，故11sin cos αα>， 即cos sin αα>，故0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故答案为：0,4π⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了根据椭圆方程求参数范围，意在考查学生的计算能力和转化能力，属于中档题目.14．设椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点.在2ABF 中，若有两边之和为10，则第三边的长度为________. 【答案】6【解析】解：先由椭圆的定义得2ABF 的周长为4a ，再由椭圆的标准方程求出4a =，最后求出2ABF 第三边的长度即可. 【详解】解：由椭圆的定义得121222AF AF aBF BF a +=⎧⎨+=⎩，所以2ABF 的周长为：4a ，因为椭圆的标准方程为：221169x y +=，所以216a =，则4a =，所以2ABF 的周长为16， 因为2ABF 有两边之和为10，则第三边的长度为16106-=， 故答案为：6. 【点睛】本题考查椭圆的定义、根据椭圆的标准方程确定a 的值、求焦点三角形的边长，是基础题15．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 是双曲线左支上一点，1290F MF ∠=︒，直线2MF 交双曲线的另一支于点N ，22MN NF =，则双曲线的离心率是________. 【答案】5【解析】先设2NF m =并根据题意与双曲线的定义表示出MN ，2MF ，1MF ，1NF ，12F F ，再在直角三角形12F MF △和1F MN △中利用勾股定理建立方程整理得到225c a =，最后求双曲线的离心率. 【详解】解：由题意作图如下，设2NF m =，因为22MN NF =，所以2MN m =，2=3MF m ， 由双曲线的定义可得：1=32MF m a -，1=2NF m a +，122F F c =， 因为1290F MF ∠=︒，在直角三角形1F MN △中，222(32)(2)(2)m a m m a -+=+，整理得：43m a =， 在直角三角形12F MF △中，222(32)(3)(2)m a m c -+=，又因为43m a =所以222(42)(4)(2)a a a c -+=，整理得：225c a=，所以5ce a==5【点睛】本题考查双曲线的定义、求双曲线的离心率、焦点三角形的边长关系，是中档题四、双空题16．已知F 是抛物线()221y px p =>的焦点，(),1N p ，M 为抛物线上任意一点，MN MF +的最小值为3，则p =________；若过F 的直线交抛物线于A 、B 两点，有2AF FB =，则AB =________. 【答案】292【解析】作出图形，过点M 作MP 垂直于抛物线()221y px p =>的准线l ，垂足为点P ，由抛物线的定义可得出MN MF MN MP +=+，由点P 、M 、N 共线时MN MF +取最小值可求得p 的值，设直线AB 的方程为1x my =+，与抛物线方程联立，列出韦达定理，结合2AF FB =可求得2m 的值，利用弦长公式可求得AB . 【详解】过点M 作MP 垂直于抛物线()221y px p =>的准线l ，垂足为点P ，由抛物线的定义可得MP MF =，1p >，则2212p <，则点N 在抛物线内，如下图所示：MN MF MN MP ∴+=+，当点P 、M 、N 共线时，MN MF +取得最小值32pp +=，解得2p =， 所以，抛物线的标准方程为24y x =，该抛物线的焦点为()1,0F ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，可知直线AB 不与x 轴重合，设直线AB 的方程为1x my =+，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，可得2440y my --=，216160m ∆=+>恒成立，由韦达定理得124y y m +=，124y y =-，2AF FB =，则()()11221,21,x y x y --=-，122y y ∴=-，所以，1224y y y m +=-=，可得24y m =-，221222324y y y m =-=-=-，可得218m =，因此，()2129412AB y y m =-==+=. 故答案为：2；92. 【点睛】本题考查利用抛物线的定义求抛物线上的点到定点和焦点距离之和的最值，同时也考查了抛物线焦点弦长的计算，考查计算能力，属于中等题.五、解答题17．已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，P 是E 上一点，且在第一象限，满足(2,PF =-.（1）求点P 的坐标和抛物线E 的方程；（2）已知过点P 的直线l 与E 有且只有一个公共点，求直线l 的方程.【答案】（1）P 坐标为(2,，抛物线的方程为216y x =；（2）y =y =+【解析】（1）先表示出焦点坐标和设点P 的坐标，再建立方程组解得0y =8p =，最后求点P 的坐标和抛物线的方程即可；（2）先判断当直线l 的斜率不存在时，l 与抛物线有两个交点，再根据题意设直线l 的方程，求出0k =与k =l 的方程.【详解】（1）焦点坐标,02P F ⎛⎫⎪⎝⎭，设200,2y P y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为(2,PF =-，所以2222y p p y ⎧-=⎪⎨⎪-=-⎩， 又0p >，解得0y =8p =，所以P坐标为(2,，抛物线的方程为216y x =.（2）当直线l 的斜率不存在时，l 与抛物线有两个交点，故舍去；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+，代入抛物线方程，消去x 得到216320ky y k --+=，若0k =，此时直线l：y = 若0k ≠，则(2564320k k ∆=--+=，解得k =综上：直线l的方程为y =y =+【点睛】本题考查求抛物线的标准方程、根据直线与抛物线的位置关系求直线方程，是基础题.18．已知椭圆1C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，抛物线2C 的焦点与椭圆1C 的右焦点F 重合，1C 的中心与2C 的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于A ，B 两点，交2C 于C ，D 两点. （1）求ABCD的值； （2）设M 为1C 与2C的公共点，若3OM =，求1C 与2C 的标准方程. 【答案】（1）34AB CD =；（2）椭圆方程为22143x y +=，抛物线方程为24y x =. 【解析】（1）设椭圆的方程为2222143x y c c+=，抛物线方程为24y cx =，然后分别求出AB 、CD 即可；（2）联立椭圆和抛物线的方程求出点M的坐标，然后由OM =c 即可.【详解】（1）因为椭圆1C 的离心率为12，所以设其方程为2222143x y c c+=，(),0F c ，令x c =解得32y c =±，所以3AB c =， 又抛物线2C 的焦点与椭圆1C 的右焦点(),0F c 重合，所以设其方程为24y cx =， 令x c =解得2y c =±，所以4CD c =， 故34AB CD =. （2）由222221434x y c c y cx⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去y 得：22316120x cx c +-=，解得23x c =或6c -（舍）.所以2,3M c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，因为OM =1c =. 即椭圆方程为22143x y +=，抛物线方程为24y x =.【点睛】本题考查的是椭圆和抛物线的综合问题，考查了学生的分析能力，属于基础题. 19．设椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为2，且椭圆上的点到焦点1. （1）求椭圆C 的方程；（2）动直线l ：x ty m =+（m <）与C 交于A ，B 两点，已知()2,0M ，且2MA MB ⋅=，求证：直线l 恒过定点.【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析.【解析】（1）由题意易得c a =，1a c +=，解得a 和c 的值，再由222b a c =-得出2b 的值，最后写出椭圆的方程即可；（2）联立直线和椭圆的方程得到关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得12y y +和12y y 的表达式，代入2MA MB ⋅=中可得23820m m -+=，解出m 的值即可证明直线过定点. 【详解】（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c ，由题意可得2c a =，1a c +=，所以a =1c =， 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2212x y +=；（2）由2212x y x ty m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得()2222220t y mty m +++-=，由>0∆，得222m t <+，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12222mt y y t +=-+，212222m y y t -=+，()()()121212122224x x MA y M x x B y x x =--⋅+=-++()()()121222ty m ty m t y y m =++-++⎡⎤⎣⎦ ()()2212121(2)(2)2t y y t m y y m =++-++-=，所以有23820m m -+=，解得43m =，又m <，所以m =，即直线l恒过定点⎫⎪⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆的简单几何性质，考查直线过定点问题，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左顶点为()2,0A -，右焦点()1,0F ，斜率为()0k k ≠的直线l 与C 交于M ，N 两点.（1）当直线l 过原点O 时，满足直线AM ，AN 斜率和为2k -，求弦长MN ； （2）当直线l 过点F 时，满足直线AM ，AN 斜率和为k -，求实数k 的值. 【答案】（1）MN =（2）1k =±.【解析】(1）先求出椭圆的方程，设()00,M x y ，()00,N x y --，根据2AM AN k k k+=-可得202x =，代入椭圆方程求出2032y =，从而求出弦长|MN |; (2）直线l 方程为(1)y k x =-，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入AM AN k k k +=-，即可求出k 的值. 【详解】（1）由左顶点为()2,0A -，右焦点()1,0F 知2,1a c ==， 所以2223b a c =-=所以椭圆方程为22143x y +=，设()00,M x y ，()00,N x y --， 由2AM AN k k k +=-，得0000222y y k x x +=-+-，0000222kx kx k x x +=-+-， 因为0k ≠，所以202x =，代入椭圆方程得2032y =，所以MN ==.（2）设直线l 方程为(1)y k x =-，由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得，()22223484120k x k x k +-+-=， >0∆恒成立，设()11,M x y ，()22,N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+， 由AM AN k k k +=-，得121222y yk x x +=-++， ()()12121122k x k x k x x --+=-++，又0k ≠，所以()()1212121224124x x x x x x x x ++-=-+++，()12120x x x x ∴++=，2222412803434k k k k -∴+=++， 21k =∴解得1k =±. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题.21．已知双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的实轴长为，F 为右焦点，()0,1M ，()0,1N -，且MNF 为等边三角形.（1）求双曲线E 的方程；（2）过点M 的直线l 与E 的左右两支分别交于P 、Q 两点，求PQN 面积的取值范围.【答案】（1）2212x y -=；（2）[)4,+∞. 【解析】(1)由题意可知c =，再利用2a =和2221b c a =-=，即可求出a ， b ， c 的值，从而得到双曲线E 的方程;(2）当直线l 的斜率存在时，直线与双曲线没有交点，当直线l 的斜率存在时，设其方程为1y kx =+，与双曲线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式得到PQNS=,由1200x x ∆>⎧⎨<⎩，求出k 的取值范围，从而求出PQNS的取值范围.【详解】（1）设焦距为2c ，因为()0,1M ，()0,1N -，且MNF 为等边三角形， 所以c =又2a =，所以a =2221bc a =-=，所以双曲线方程为2212x y -=.（2）当直线l 的斜率不存在时，直线与双曲线没有交点，当直线l 的斜率存在时，设其方程为1y kx =+，22112y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 得到()2212440k x kx ---=， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122412kx x k +=-，122412x x k =--， 因为直线l 与E 的左右两支分别交于两点，所以1200x x ∆>⎧⎨<⎩，解得22k -<<，（或由双曲线的渐近线方程为y =得k <<）.121212PQN x x x x S N M -==-=△=2102k ≤<， 令1,12t ⎛⎤=⎥⎝⎦， 则2441212t S t t t==--，因为12y t t=-在1,12⎛⎤⎥⎝⎦单调递增，所以当1t =时，y 最小为4. 即[)4,S ∈+∞. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单几何性质，考查了直线与双曲线的位置关系，属于中档题.22．已知点()1,0F 为抛物线E ：()220y px p =>的焦点，直线l 与抛物线E 相交于A ，B 两点，抛物线E 在A ，B 两点处的切线交于M .（1）求证：A ，M ，B 三点的纵坐标成等差数列；（2）若AB a ，其中a 为定值，求证：ABM 的面积的最大值为38a p. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由题得抛物线方程为24y x =，先求出两切线的方程分别为1122yy x y =+①，2222y y x y =+②，解之得122M y y y +=，即得证； （2）取AB 的中点Q ，连接MQ ，过M 点作MN AB ⊥，垂足为N ，先证明()212||4y y MN -≤，设直线AB 的方程为x my t =+（由题意可知0m ≠），所以12y y a -≤，所以2||8a MN ≤，即得ABM 的面积的最大值.【详解】（1）证明：由题得抛物线方程为24y x =，设211,4y A y ⎛⎫⎪⎝⎭，由题意可知切线的斜率一定存在，设为k ， 211244y y y k x y x ⎧⎛⎫-=-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=⎩消去x 得，2211440ky y y ky -+-=， 因为直线与抛物线相切，所以0∆=，解得12k y =， 此时切线方程为211124y y y x y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭即112,2y y x y =+① 同理设222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，另一条切线方程为2222y y x y =+②， 将①②联立方程组，解得122M y y y +=， 所以A ，M ，B 三点的纵坐标成等差数列.（2）取AB 的中点Q ，连接MQ ，过M 点作MN AB ⊥，垂足为N ，第 2 页 共 4 页则()2221212121212||||24844y y x x y y y y y y MN MQ -++≤=-=-=， 设直线AB 的方程为x my t =+（由题意可知0m ≠），则212||1AB m y y a =+-=，所以12y y a -≤，即()2212||||48y y a MN MQ -≤=≤， 所以3311||||||22168ABM a a S AB MN a MQ p=⋅≤⋅==. 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的最值问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
2020-2021学年江苏省南京市南师大附属高中高二下学期期中联考数学试题 word版
南师大附属高中2020-2021学年度第二学期高二年级期中联考数 学 试 题一．单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上．) 1． 若复数z 满足()345z i +=（其中i 是虚数单位），则z = ( )A ．1B ．2C ．5D ．152． 若212828x x C C +=，则x 的值为( )A ．1B ．3 C.6 D. 93． “3+1+2”高考方案中，“3”是指统一高考的语文、数学、外语3门科目，其中外语可以从英语、日语、法语、西班牙语、德语、俄语中任选一门参加高考，“1”是指考生在物理、历史两门选择性考试科目中所选择的一门科目，“2”是指在思想政治、地理、化学、生物4门选择性科目中所选择的2门科目．则每一名学生参加高考的科目选择方法数共有( )种A ．72B ．80C ．12D ．84 4． 设随机变量X ～()2,B p ，若()519P X =≤，则()E X =( ) A ．23 B ．13 C ．43D ．15． 今天是星期四，经过1008天后是星期( )A ．三B ．四C ．五D ．六6． 函数()3227f x x ax bx a a =++--在1x =处取得极大值10，则ab的值为( ) A ．23- B ．23 C ．13 D ．13-7． 已知某品牌的新能源汽车的使用年限x （单位：年）与维护费用y (单位：千元)之间有如下数据：x 与y 之间具有线性相关关系，且y 关于x 的线性回归方程为 1.05y x a =+．据此估计，当使用年限为7年时，维护费用约为( )千元．附：线性回归方程y bx a =+中的系数，()()()121,niii nii x x y y b a y bx x x ==--==--∑∑A ．4B ．5C ．8.2D ．8.38． 定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()()(),22021f x f x f '>=，则不等式()21120210x e f x e++->的解集为( )A ．(),1-∞B ．()1,+∞ C. ()1,-+∞ D ．()2,+∞二．多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．) 9． 下列命题中正确的有( )A ．若复数1z i =-，则z 的虚部为1-；B ．若z 为复数，则22z z =； C.若复数1z i =-，则z 在复平面内对应的点在第四象限；D ．若复数z 满足11z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线．10．已知2nx ⎛ ⎝的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是( )A ．二项展开式中各项系数之和为63；B ．二项展开式中系数最大的项为390x ；C ．二项展开式中无常数项；D ．二项式展开式中二项式系数最大的项为第4项. 11．近年来，中国进入一个鲜花消费的增长期．某农户利用精准扶贫政策，货款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销售量分别服从正态分布()2,30N μ和()2280,40N ，则下列正确的是( )附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈ A ．若红玫瑰的日销售量范围在()30,280μ-的概率是0.6826，则红玫瑰的日销售量的平均数约为250；B ．白玫瑰的日销售量比红玫瑰的日销售更集中；C ．红玫瑰的日销售量比白玫瑰的日销售更集中；D ．白玫瑰的日销售量在()280,320范围内的概率约为0.3413．12．已知函数()322f x x x x =-+-．若过点()1,t 可作曲线()y f x =的三条切线，则t 的取值可能是( ) A.0 B.127 C. 128 D. 129三．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．)13．从标有1,2,3,4,5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为________. 14．函数()()1sin ,0,2f x x x x π=-∈的单调增区间是 ． 15．已知随机变量满足()()1,0,1P x ax b x ξ==+=-，其中,a b ∈R ．若()13E ξ=，则()D ξ=________.16．,A B 是集合{}1,2,3,4的非空子集，则满足A B =∅的有序集合对(),A B 共有_____个. 四．解答题(本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本题满分10分)已知复数1z 与2z 在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且12(1)(1)z i z i -=+（i 为虚数单位），12z =(1)求1z 的值；(2)若1z 的虚部大于零，且()11,,mz n i m n z +=+∈R ，求,m n 的值． 18.(本题满分12分) 2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11:13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意.满意 不满意 总计 男生 30 女生 15 合计120(1)完成以上列联表，并通过计算（结果精确到0.001）说明，能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；(2)从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生 中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为ξ.求出ξ的分布列及期望值. 附公式及表22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19．(本题满分12分) 已知函数()()xf x e ax a =-∈R ．(1)当1a =时，求()f x 的单调区间；(2)当0a >，求函数()f x 在区间[]1,2上的最小值． 20. (本题满分12分) (1)证明：111111k k n n C C k n ++=++，,k n +∈∈N N ； (2)运用第(1)的结论，若0121111272311nnn n n C C C C n n ++++=++．求12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项．21．(本题满分12分)2020年数学竞赛试行改革：某市在高二年级中举行五次联合竞赛，学生如果有两次成绩达到该市前20名即可直接进入省队培训，不用参加剩余的竞赛，且每名学生至少参加两次竞赛，最多也只能参加五次竞赛．规定：若前四次竞赛成绩均没有进入全市前20名，则不能参加第五次竞赛．假设某学生每次成绩达全市前20名的概率均为14，每次竞赛成绩达全市前20名与否互相独立 (1)求该学生进入省队的概率；(2)如果该学生进入省队或参加完五次竞赛就结束，记该学生参加竞赛的次数为X ，求X 的分布列及数学期望．22. (本题满分12分)已知函数2()ln (12)1f x x mx m x =-+-+. (1)若1,()m f x =求的极值；(2)若对任意的0,()0x f x >≤恒成立，求整数m 的最小值.2020-2021学年度第二学期高二年级期中联考数学试题答案1. A2.D3.A4.C5.C6.A7.C8.B9.ACD 10.AD 11.ACD 12.CD 13.12 14. (0,)0,33ππ或(] 15. 5916. 50 17.解：（1）1,,z a bi a b a bi =+=-+2（为实数）则z 12(1)(1),()(1)()(1)z i z i a bi i a bi i -=+∴+-=-++ ，即0a b +=①22122z a b =∴+=，②由①②得1111.1111a a z i z ib b ==-⎧⎧∴=-=-+⎨⎨=-=⎩⎩或或...................................5分（2）由（1）得11z i =-+，(1)1mi n i i+--=+-+ 4,1m n =-=．.............. ........... .............10分.......................2分则222()120(4501250) 6.713 6.635()()()()55658040n ad bc K a b c d a c b d --==≈>++++⨯⨯⨯ 所以有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”. ............................6分(2)由(1)可知，男生抽3人，女生抽5人，ξ的可能取值为0，1，2，3，并且ξ服从超几何分布，33538()(0,1,2,3),k kC C P k k C ξ-===即3125353388515(0)(1)2828C C C P P C C ξξ======，，2133533388151(2)(3).5656C C C P P C C ξξ======，..........................10分..........................11分所以ξ的数学期望5151519()0123.282856568E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=....... ........ ...........12分 （注：列联表中错一个数据则第1小题全扣，没写约等于扣1分） 19.（1）当1a =()()',1x x f x e x f x e =-=-()'00,f x x ==，得'0,()0,()x f x f x <<∞当则在(-,0)上单调递减；'0,()0,()x f x f x >>∞当则在(0,+)上单调递增；所以()f x ∞∞的单调减区间为(-，0)；单调增区间为(0，+)..........................4分 （2）()',x fx e a =-因为0a >，，令()0f x '=，解得ln ,x a =.................6分10.若ln 1a a e ≤<≤，即0时，则()0f x '≥在[1,2]恒成立，所以()f x 在[1,2]上单调递增,所以()min (1)f x f e a ==-.................7分 20. 若21ln 2a a e <<<<，即e 时，'ln ,()0,()ln x a f x f x a <<<当1时则在(1,)上单调递减； 'ln 2,()0,()ln ,2a x f x f x a <<>当时则在()上单调递增；所以()min (ln )ln ,f x f a a a a ==-..........................9分30 若 2ln 2a a e ≥≥，即时，则()0f x '≤在[1,2]恒成立，所以()f x 在[1,2]上单调递减,所以()2min (2)2f x f e a ==-....... .....................11分综上所述，10a e <≤当0时，时，()min f x e a =-20 2a e <<当e 时时, ()min ln ,f x a a a =-30 2a e ≥当时， ()2min 2f x e a =- .................. ............12分（注：没说明单调性直接写最值扣3分，综上所述也可以写成分段函数） 20. （1）1111!1(1)!111!()!1k+1k k n n n n C C k k k n k n n +++===++-++（1）!(n-k)!...........4分 （2）由（1）知12121111111111231111n n n n n n n n n C C C C C C C n n n n ++++++++=++++++121111111127()(21)111n n n n n C C C n n n +++++=+=-=+++，所以6n =，........................8分 因为662611,22rr r x C x x -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r+1展开式的通项为T453.2r ==-当时，常数项为T ................................12分21.解：（1） 记“该生进入省队”为事件A ，其对立事件为A ，法一：112132341113113113147()()()()()()()()()()()()44444444444128P A C C C =+++=所以该生进入省队的概率为47128，法二：4134313381()()()()(),4444128P A C =+= 8147()1()1.128128P A P A =-=-=所以................ ...........4分 (注：未记事件A 扣1分， 组合数公式用错而答案是对的全扣，如：05145531381()()()()444128P A C C =+=）（2）该生参加竞赛次数X 的可能取值为2，3，4，5. ............... ...........5分211(2)(),416P X ===............... ...........6分121313(3)()()(),44432P X C ===............... .........7分1243131327(4)()()()(),444464P X C ==+= ............... ...........8分1341327(5)()()4464P X C ===............... ...........9分..........................10分所以X 的数学期望132727269()2345.1632646464E X =⨯+⨯+⨯+⨯=....... ........ ...........12分 22（1）当1m =时，21(1)(21)()ln 1,()21,x x f x x x x f x x x x+-'=--+=--=-…………2分当 '10,()0,()2x f x f x <<>1则在(0,)上单调递增；2当 '1,()0,()2x f x f x ><∞1则在(,+)上单调递减；2…………3分 所以()f x 在12x =时取得极大值，且极大值为11()ln 224f =-，无极小值. …………4分（2）因为对任意的0,()0x f x >≤恒成立，所以2ln 1(2)x x m x x ++≤+在(0,)+∞恒成立即2ln 12x x m x x ++≥+在(0,)+∞恒成立…………6分设222ln 1(1)(2ln )()(0),()22x x x x x F x x F x x x x x ++-++=>=++’则（），…………8分 设()(2ln ),()(0,)x x x x ϕϕ=-++∞显然在上单调递减， 因为1111(1)10,()(2ln )2ln 20,2222ϕϕ=-<=-+=->.所以00001(,1),()02ln 0.2x x x x ϕ∃∈=+=使得，即……………………9分00(0,),()0,()(0,)x x x F x x ϕ∈>当时在上单调递增；00(,),()0,()(,)x x x F x x ϕ∈+∞<+∞当时在上单调递减.所以00max 02000ln 11()(),22x x F x F x x x x ++===+……………………11分因为00111(,1),(,1),222x x ∈∈所以故整数m 的最小值为1. ………………12分 (没有说明函数的单调性的，扣3分)。
2020-2021学年江苏省南京市高二(下)期中数学复习卷1(含解析)
2020-2021学年江苏省南京市高二(下)期中数学复习卷1一、单空题（本大题共13小题，共65.0分）1.设集合M={x|x2−x−2≤0}，N={y|y=x2,−1≤x≤2}，则M∩N=______ ．2.一组数据的平均数是3，将这组数据中的每一个数据都乘以2，所得到的一组数据的平均数是______ ．3.某高级中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例分别如扇形统计图所示，现要抽取一个容量为26的样本，则在该高级中学高中部抽取男教师的人数为．4.成都市交警部门随机测量了顺河高架桥南下口某一时间段经过的2000辆汽车的时速，时速频率分布直方图如图所示，则该时段时速超过70km/ℎ的汽车数量为______ ．5.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于．6. 甲、乙等五名社区志愿者被随机分配到四个不同岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是 ． 7. 已知A 、B 、C 三人在三天节日中值班，每人值班一天，那么A 排在C 后一天值班的概率为______．8. 若4a =5b =m ，且1a +2b =2，则m = ______ ．9. 根据如图所示的程序框图，若输出的值为4，则输入的值为______________．10. 执行如图的程序框图，如果输入x 的值为0，那么输出的y 是______．11. 已知函数f(x)=sin 2x −(23)|x|+12，给出下列结论：①f(x)是偶函数；②f(x)的最小值为−12；③f(x)的最大值为32；④当x >2015时，f(x)>12恒成立．其中正确结论的序号是______ .(写出所有正确结论的序号)12. 函数f(x)=x 3−3x 在区间[−1,3]上的最小值为______ ．13. 若函数f(x)={e x −a,x >1−x 3+3x 2,x ≤1有最小值，则实数a 的取值范围为______． 二、解答题（本大题共7小题，共95.0分）14. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，且过点P(√22,12)，记椭圆的左顶点为A ． (1)求椭圆的方程；(2)设垂直于y 轴的直线l 交椭圆于B ，C 两点，试求△ABC 面积的最大值．15. 某养猪厂计划将重量为25kg 到50kg 的10000头猪向外出售，现从中随机抽取了100头猪进行称重，已知这些猪的重量的频率分布表及不完整的频率分布直方图(如图)．(1)频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这10000头猪中重量在[35,45)的头数；(2)在抽出的100头猪中按重量再采用分层抽样法从中抽取20头，求重量低于35kg的猪的头数．16.某班共有24人参加同时开设的数学兴趣小组和物理兴趣小组，其中参加数学兴趣小组的有6名女生，10名男生；参加物理兴趣小组的有3名女生，5名男生，现采用分层抽样方法从两组中抽取3人．(1)求抽取的3人中恰有一名女生来自数学兴趣小组的概率；(2)记X表示抽取3人中男生的人数，求X的分布列和数学期望．17.已知命题P：函数y=lg(x2+2x+a)的定义域为R；命题Q：不等式(a−2)x2+2(a−2)x−4<0对任意实数x恒成立．若P∨Q是真命题，P∧Q是假命题；求实数a的取值范围．18.寒假即将到来，某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用(人工费，消耗费用等等).受市场调控，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元(x为10的正整数倍)．(1)设宾馆一天的利润为W元，求W与x的函数关系式；(2)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？19.已知点A(2,1)为椭圆G：x2+2y2=m上的一点．(Ⅰ)求椭圆G的焦点坐标；(Ⅱ)若椭圆G上的B，C两点满足2k1k2=−1(其中k1，k2分别为直线AB，AC的斜率).证明：B，C，O三点共线．20. 已知函数f(x)=ax 2+(a −2)lnx +1(a ∈R)．(1)若函数在点(1,f(1))处的切线平行于直线y =4x +3，求a 的值．(2)a =1时，函数y =f(x)图象上的所有点都落在区域{x >0y ≥tx −x 2内，求实数t 的取值范围． (3)a <−1时，证明：∀x 1，x 2∈(0,+∞)，|f(x 1)−f(x 2)|≥2√6|x 1−x 2|.【答案与解析】1.答案：[0,2]解析：解：由x2−x−2≤0得，−1≤x≤2，则集合M=[−1,2]，因为y=x2，−1≤x≤2，所以0≤y≤4，则N=[0,4]，所以M∩N=[0,2]，故答案为[0,2]．先求出x2−x−2≤0的解集M，由二次函数的性质求出集合N，再由交集的运算求出M∩N．本题考查交集及其运算，以及一元二次不等式、一元二次函数的性质，属于基础题．2.答案：6解析：解：∵将一组数据中的每一个数据都乘以2，所得到的一组数据的平均数也变为原来的2倍，又∵原数据的平均数是3，故所得到的一组数据的平均数是6，故答案为：6将一组数据中的每一个数据都乘以2，所得到的一组数据的平均数也变为原来的2倍，进而得到答案．本题考查平均数和方差的变换特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，平均数随之改变，方差不变．3.答案：9解析：本题考查考查分层抽样、扇形统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．利用分层抽样、扇形统计图的性质直接求解．解：某高级中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例分别如扇形统计图所示，现要抽取一个容量为26的样本，则在该高级中学高中部抽取男教师的人数为：26×150×60%=9．110+150故答案为：9．4.答案：200解析：解：由频率分步直方图可知，时速在(70,80]的频率为0.010×10=0.1，所以时速在(70,80]的汽车大约有2000×0.1=200．故答案为200．先求出时速超过70km/ℎ的汽车的频率，在频率分步直方图中小长方形的面积为频率，用长乘以宽，得到频率，用频率乘以总体个数，得到这个范围中的个体数．本题考查频率分布直方图的相关知识．直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所有各个矩形面积之和为1．5.答案：．解析：试题分析：当时，第一次执行循环体：，；第二次执行循环体：，；第三次执行循环体：，；第四次执行循环体：，，此时输出．考点：程序框图与算法．6.答案：解析：试题分析：记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件，那么，即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是．考点：本题考查了随机事件的概率点评：求解此类问题时要注意区分几种基本概率模型，注意语言表达的科学性和符合表述的规范性，在解决本部分问题时，要注意分类讨论、等价转化等思想方法的运用7.答案：13解析：解：因为A、B、C三人在三天节日中值班有A33=6种，其中A排在C后一天值班的情况有C22A22= 2种，所以A排在C后一天值班的概率P=26=13，故答案是13．利用排列组合数公式易求三人值班有A33种，A排在C后一天值班的情况有C22A22种，相比即可．本题考查排列组合的应用，解决古典概型的概率计算问题，比较基础．8.答案：10解析：解：4a=5b=m，可得a=log4m，b=log5m，1 a +2b=2，可得：log m4+2log m5=2，解得m=10．故答案为：10．利用指数与对数的关系表示出a，b，然后化简求解即可．本题考查指数与对数的运算法则的应用，考查转化思想以及计算能力．9.答案：或1解析：试题分析：根据已知中的程序框图可得：该程序的功能是计算并输出分段函数的函数值，分段讨论满足y=4的x值，最后综合讨论结果可得答案．考点：(1)流程图；(2)分段函数．10.答案：−1解析：解：模拟执行程序框图可得程序框图的功能是求分段函数y={x,x≥12x−1,x<1的值，故当x=0时，不满足条件x≥1，执行y=2x−1，输出的y的值为−1．故答案为：−1．模拟执行程序框图可得程序框图的功能是求分段函数y ={x,x ≥12x −1,x <1的值，根据题意代入已知即可求解．本题主要考查了程序框图和算法，模拟执行程序框图得到程序框图的功能是解题的关键，属于基础题．11.答案：①②解析：解：①函数的定义域为为R ，则f(−x)=sin 2x −(23)|−x|+12=sin 2x −(23)|x|+12=f(x)，则函数f(x)是偶函数；故①正确，②当x =kπ，k ∈Z 时，sinx =0，即sin 2x 的最小值为0，∵(23)|x|∈(0,1]， ∴−(23)|x|∈[−1,0)，当且仅当x =0时，取最小值，∴当x =0时，函数f(x)的最小值为0−1+12=−12；故②正确，③∵−(23)|x|∈[−1,0)，∴−(23)|x|无最大值，则f(x)的为最大值，故③错误；④取特殊值当x =1000π时，x >2015，sin 21000π=0，且(23)1000π>0∴f(1000π)=12−(23)1000π<12，因此结论④错．故答案为：①②分别根据函数的奇偶性和单调性进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性的判断及借助不等式知识对函数值域范围进行判断，涉及到函数奇偶性的判断，同时还涉及到三角函数、指数函数的范围问题，利用不等式的放缩求新函数的范围．综合性强 12.答案：−2解析：解：f′(x)=3x 2−3=3(x +1)(x −1)，x ∈[−1,3]，令f′(x)>0，可得1<x <3，令f′(x)<0，可得−1<x <1，所以f(x)在区间[−1,1]上单调递减，在区间[1,3]上单调递增，所以f(x)的最小值为f(1)=−2．故答案为：−2．利用导数求出函数的单调性，从而求得最小值．本题主要考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，属于基础题．13.答案：a ≤e解析：解：当x >1时，f(x)=e x −a >e −a ；当x ≤1时，由f(x)=−x 3+3x 2，得f′(x)=−3x 2+6x =−3x(x −2)，∴当x ∈(−∞,0)时，f′(x)<0，当x ∈(0,1)时，f′(x)>0，∴f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,1)单调递增，则当x ≤1时函数f(x)的最小值为f(0)=0．要使函数f(x)={e x −a,x >1−x 3+3x 2,x ≤1有最小值，则e −a ≥0，即a ≤e ． ∴实数a 的取值范围为a ≤e ．故答案为：a ≤e ．求出x >1时f(x)的范围，在利用导数求得x ≤1时函数的最小值，结合题意即可求得实数a 的取值范围．本题考查分段函数的应用，训练了利用导数求最值，是中档题．14.答案：解：(1)∵椭圆x 2a +y 2b =1(a >b >0)的离心率为√22，且过点P(√22,12)， ∴c a =√22，12a 2+14b 2=1，∴a =1，b =c =√22， 所以椭圆C 的方程为x 2+2y 2=1；(2)设B(m,n)，C(−m,n)，则S △ABC =12×2|m|×|n|=|m|⋅|n|，又1=m 2+2n 2≥2√2|m|⋅|n|，所以|m|⋅|n|≤√24，当且仅当|m|=√2|n|时取等号…8分 从而S △ABC ≤√24，即△ABC 面积的最大值为√24．解析：(1)根据椭圆x 2a +y 2b =1(a >b >0)的离心率为√22，且过点P(√22,12)，建立方程，求出几何量，从而可得椭圆C 的方程；(2)设B(m,n)，C(−m,n)，则S △ABC =12×2|m|×|n|=|m|⋅|n|，利用基本不等式可求△ABC 面积的最大值本题考查椭圆的性质与方程，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．15.答案：解：(1)根据各个频数之和为100，得，①处的频数为100−5−35−30−10=20；根据各个频率之和等于1，得，②处的频率为1−0.050−0.200−0.300−0.100=0.35；.2分补全频率分布直方图，如图所示：故10000头猪中重量在[35,45)的频率为0.30+0.35=0.65，头数为0.65×10000=6500(头)；.7分(2)由(1)可知各重量段头数的比例为5：20：35：30：10=1：4：7：6：2，所以重量在35kg下的头数为20×1+4=5(头)..12分．1+4+7+6+2解析：(1)根据各个频数和以及频率和，求出①处的频数与②处的频率，再补全频率分布直方图；从而求出猪的重量在[35,45)的频率与频数；(2)求出各重量段头数的比例，由此计算重量在35kg下的头数．本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了画图与用图的能力，是基础题目．16.答案：解：(1)现采用分层抽样方法从两组中抽取3人，则从数学兴趣小组中抽取2人，从物理兴趣小组抽取1人，设事件A表示“抽取的3人中恰有一名女生来自数学兴趣小组”，P(A)=C 101C 61C 81C 162C 81=12． (2)由题意，知X =0，1，2，3，P(X =0)=C 62C 31C 162C 81=364， P(X =1)=C 61C 101C 31C 162C 81+C 62C 51C 162C 81=1764， P(X =2)=C 61C 101C 51C 162C 81+C 102C 31C 162C 81=2964， P(X =3)=C 102C 51C 162C 81=1564， ∴X 的分布列为：E(X)=0×364+1×1764+2×2964+3×1564=158．解析：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．(1)利用古典概型概率公式能求出抽取的3人中恰有一名女生来自数学兴趣小组的概率．(2)由题意，知X =0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和E(X)． 17.答案：解：当P 真：f(x)=lg(x 2+2x +a)的定义域为R ，有△=4−4a <0，解得a >1；当命题Q 真：不等式(a −2)x 2+2(a −2)x −4<0对任意实数x 恒成立．当a =2时成立，当a ≠2时，可得{a −2<0△=4(a −2)2+16(a −2)<0，解得−2<a ≤2． 若P ∨Q 是真命题，则0<a <1或−2<a ≤2．因此实数a 的取值范围是−2<a ≤2．∵P ∨Q 是真命题，且P ∧Q 为假命题，∴P 真Q 假，或P 假Q 真．{a >1a ≤−2或a >2，{a ≤1−2<a ≤2即a >2或−2<a ≤1．解析：当P 真：f(x)=lg(x 2+2x +a)的定义域为R ，有△=4−4a <0，解得a命题Q ：不等式(a −2)x 2+2(a −2)x −4<0对任意实数x 恒成立．当a =2时成立，当a ≠2时，可得{a −2<0△=4(a −2)2+16(a −2)<0，解得a 范围．由于P ∨Q 是真命题，求出上述并集即可．本题考查了指数函数的单调性、一元二次不等式的解集与判别式的关系、简易逻辑的判定，考查了推理能力，属于中档题．18.答案：解：(1)设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍)，则每天有游客住宿的房间个数为50−x 10，0≤x ≤160．由题意得W 与x 的函数关系式为：W =(50−x 10)(180+x −20)=−110x 2+34x +8000． (2)W =−110x 2+34x +8000=−110(x −170)2+10890，∵0≤x ≤160，∴当x =160时，W 取得最大值为10880，订住的房间为50−16010=34，∴一天订住34个房间时，宾馆每天利润最大，最大利润是10880元．解析：(1)设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍)，则每天有游客住宿的房间个数为50−x 10，0≤x ≤160.由此能求出W 与x 的函数关系式．(2)W =−110x 2+34x +8000=−110(x −170)2+10890，由此能求出一天订住34个房间时，宾馆每天利润最大，最大利润是10880元．本题考查函数关系式的求法，考查函数性质有生产生活中的应用等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，是中档题．19.答案：解：(Ⅰ)∵点A(2,1)为椭圆G ：x 2+2y 2=m 上的一点，∴m =4+2=6，∴椭圆的标准方程为x 26+y 23=1，∴c =√6−3=√3，∴椭圆G 的焦点坐标为(−√3,0)和(√3,0)．(Ⅱ)设B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)，由{y =k 1(x −2)+1x 2+2y 2=6，消去y ，化简，得： (2k 12+1)x 2−4k 1(2k 1−1)x +2(2k 1−1)2−6=0，∴x 1=(2k 1−1)2−32k 22+1，同理得x 2=(2k 2−1)2−32k 22+1，∵2k 1k 2=−1，∴x 2=2k 12(2k 2−1)2−6k 124k 12k 22+2k 12=2(−1−k 1)2−6k 121+2k 12=2+4k 1−4k 121+2k 12=3−(2k 1−1)21+2k 12=−x 1，∴2k 1k 2=2×y 1−1x 1−2×y 2−1x 2−2=2×(y 1−1)(y 2−1)4−x 12=(y 1−1)(y 2−1)y 12−1=y 2−1y 1+1=−1， ∴y 1=−y 2，∴B 、C 、O 三点共线．解析：(Ⅰ)由点A(2,1)为椭圆G ：x 2+2y 2=m 上的一点，求出m ，由此能求出椭圆G 的焦点坐标．(Ⅱ)由{y =k 1(x −2)+1x 2+2y 2=6，得(2k 12+1)x 2−4k 1(2k 1−1)x +2(2k 1−1)2−6=0，由此利用韦达定理能推导出y 1=−y 2，从而能证明B 、C 、O 三点共线．本题考查椭圆的焦点坐标的求法，考查三点共线的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．20.答案：解：函数的定义域为x ∈(0,+∞)，(1)f′(x)=2ax +a−2x ，由题意f′(1)=4，所以2a +(a −2)=4，解之得：a =2；………………………………………………………………(4分)(2)a =1时，f(x)=x 2−lnx +1，即当x >0时恒有x 2−lnx +1≥tx −x 2，又x ∈(0,+∞)，整理得：t ≤2x −lnx x +1x ， 令g(x)=2x −lnx x +1x ，则g′(x)=2x 2+lnx−2x 2，令ℎ(x)=2x 2+lnx −2，由ℎ′(x)=4x +1x >0恒成立，即ℎ(x)=2x 2+lnx −2在(0,+∞)上单调递增，且ℎ(1)=0，则g′(1)=0，所以x ∈(0,1)时ℎ(x)<0，x ∈(1,+∞)时ℎ(x)>0，所以x ∈(0,1)时，g′(x)<0，此时y =g(x)单调递减，x ∈(1,+∞)时g′(x)>0，此时y =g(x)单调递增，所以g(x)≥g(1)=3，所以t ≤3；……………………………………………(8分)(3)(i)当x1=x2时不等式显然成立；(ii)当x1≠x2时，不妨设x1>x2，由f′(x)=2ax2+a−2x且a<−1，所以f′(x)<0恒成立，此时f(x)单调递减，所以要证明：|f(x1)−f(x2)|≥2√6|x1−x2|成立，即证明：f(x2)−f(x1)≥2√6x1−2√6x2，整理得：f(x1)+2√6x1≤f(x2)+2√6x2，只需证明F(x)=f(x)+2√6x=ax2+2√6x+(a−2)lnx+1是(0,+∞)上的减函数，F′(x)=2ax2+2√6x+a−2x，故对函数y=2ax2+2√6x+a−2有：△=24−8(a2−2a)=−8[(a−1)2−4]，a<−1时，△<0恒成立，所以x∈(0,+∞)时恒有ℎ′(x)<0，即y=F(x)是(0,+∞)上的减函数，故所证成立．…………………………………(12分)解析：(1)求出函数的导数，得到关于a的方程，解出即可；(2)代入a的值，问题转化为t≤2x−lnxx +1x，令g(x)=2x−lnxx+1x，根据函数的单调性求出t的范围即可；(3)问题转化为证明F(x)=f(x)+2√6x=ax2+2√6x+(a−2)lnx+1是(0,+∞)上的减函数，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。
专题10 圆锥曲线的方程(多选题)(12月)(人教A版2021)(解析版)
专题10 圆锥曲线的方程（多选题）1．椭圆2219x y m +=的焦距是4，则实数m 的值可以为．A ．5B ．8C ．13D ．16【试题来源】湖北省襄阳市宜城市第三中学2020-2021学年高二上学期10月月考 【答案】AC【分析】计算得到2c =，讨论9m >和09m <<两种情况得解．【解析】椭圆2219x y m +=的焦距是4，故24c =，2c =．当9m >时，94m -=，解得13m =；当09m <<时，94m -=，解得5m =．故选AC ． 2．已知12,F F 为椭圆22143x y +=的左、右焦点，M 为椭圆上的动点，则下面四个结论正确的是A ．2MF 的最大值大于3B ．12MF MF ⋅的最大值为4C ．12F MF ∠的最大值为60°D ．若动直线l 垂直于y 轴，且交椭圆于A B 、两点，P 为l 上满足||||2PA PB ⋅=的点，则点P 的轨迹方程为222123x y +=或222169x y +=【试题来源】人教A 版（2019） 选择性必修第一册 过关斩将 第三章 圆锥曲线的方程 【答案】BCD【解析】由椭圆方程得2224,3,1a b c ==∴=，因此12(1,0),(1,0)F F -． 选项A 中，2max3=+=MF a c ，A 错误；选项B 中，2121242⎛+⎫⋅= ⎪⎝⎭MF MF MF MF ，当且仅当12MFMF =时取等号，B 正确；选项C 中，当点M 为短轴的端点时，12F MF ∠取得最大值，取M ，则1212tan30232∠∠=∴=F MF F MF ，12F MF ∴∠的最大值为60°，C 正确； 选项D 中，设()()11(,),,,,-P x y A x y B x y ．11||||2,2⋅=∴-⋅+=PA PB x x x x ，2212∴-=x x ，即2212=+x x 或2212=-x x ．又由题意知221143+=x y ，222143-∴+=x y 或222143++=x y ，化简得222169x y +=或222123x y +=，D 正确．故选BCD ．3．把方程||||14x x y y +=表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的有 A ．函数()f x 的图象不经过第三象限 B ．函数()f x 在R 上单调递增C ．函数()f x 的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1D ．函数()()2g x f x x =+不存在零点【试题来源】江苏省苏州市相城区2020-2021学年高三上学期阶段性诊断测试 【答案】ACD 【解析】由题意，方程||||14x x y y +=， 当0,0x y ≥≥时，2214x y +=，表示椭圆在第一象限的部分；当0,0x y ><时，2214x y -=，表示双曲线在第四象限的部分；当0,0x y <>时，2214x y -+=，表示双曲线在第二象限的部分；当0,0x y <<时，2214x y --=，此时不成立，舍去，其图象如图所示，可得该函数的图象不经过第三象限，所以A 是正确的； 由函数的图象可得，该函数在R 为单调递减函数，所以B 不正确；由图象可得，函数()f x 的图象上的点P 到原点的距离的最小的点在0,0x y ≥≥的图象上，设点(,)P x y ，则点P 满足0,0x y ≥≥时，2214x y +=，即2214x y =-则PO ===0x =时，min 1PO =，所以C 正确；令()0g x =，可得()20f x x +=，即()12f x x =-，则函数()()2g x f x x =+的零点，即为函数()y f x =与12y x =-的交点，又由直线12y x =-为双曲线2214x y -=和2214x y -+=渐近线，所以直线12y x =-与函数()y f x =没有交点，即函数()()2g x f x x =+不存在零点，所以D 是正确的．故选ACD ．4．已知双曲线E 的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的标准方程可以是A ．22124x y -=B ．22124y x -=C ．2212y x -=D ．2212y x -=【试题来源】广东省湛江市第二十一中学2021届高三上学期9月月考 【答案】ACD【分析】分别求出四个选项中双曲线的渐近线方程可得结果．【解析】选项A 中，a =2b =，所以双曲线有一条渐近线方程为by x a==，选项C 中，a =1b =，所以双曲线有一条渐近线方程为ay x b ==，选项D 中，1a =，b =by x a==，选项B 中，a =2b =，所以双曲线的渐近线方程都是a y x x b =±=．故选ACD ． 5．已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的一条渐近线为12:l y x =，则下列结论正确的是 A ．a b >B ．2a b =C ．双曲线ED ．双曲线E 的焦点在x 轴上【试题来源】重庆市万州沙河中学2020-2021学年高二上学期10月月考 【答案】CD【分析】由双曲线标准方程，结合已知渐近线即可知焦点位置、参数关系、离心率． 【解析】由双曲线渐近线by x a=±，知2b a =，又222+=a b c ，所以e ==综上，有：2b a a =>，x 轴上，故选CD ． 6．下列双曲线中，以2y x =±为渐近线的双曲线的标准方程为A ．2214y x -=B ．221416x y -=C ．2214x y -=D ．221164y x -=【试题来源】江苏省扬州市邗江中学2020-2021学年高二（2019级新疆班）上学期期中 【答案】ABD【分析】根据双曲线的几何性质之求渐近线的方法可得选项．【解析】2214y x -=的渐近线方程为2y x =±，所以A 正确；221416x y -=的渐近线方程为2y x =±，所以B 正确； 2214x y -=的渐近线方程为12y x =±，所以C 不正确；221164y x -=的渐近线方程为2y x =±，所以D 正确，故选ABD ． 7．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过点F 的直线与抛物线交于,P Q 两点，M 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，则 A ．C 的准线方程为1y =- B ．线段PQ 长度的最小值为4 C ．2OPQS≥D ．3OP OQ ⋅=-【试题来源】江苏省盐城市响水中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】BCD【解析】焦点F 到准线的距离为p =2，所以抛物线C 的焦点为(1，0)， 准线方程为x=－1，则选项A 错误；当PQ 垂直于x 轴时长度最小，此时P (1，2)，Q (1，－2)，所以|PQ|=4，则选项B 正确； 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ 的方程为x =my +1，联立x =my +1，y 2＝2px ， 消去y 可得x 2－(4m 2+2)x+1=0，消去x 可得y 2－4my －4=0， 所以x 1+x 2=4m 2+2，y 1+y 2=4m ，124y y =-1211112222OPQSOF y y =-=⨯=， 当0m =时成立， 则选项C 正确；又x 1x 2=1，y 1y 2=－4，所以OP OQ ＝x 1x 2+y 1y 2=－3，则选项D 正确；故选BCD.8．已知双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的焦点与抛物线24x y =的焦点之间的距离为2，且CA ．C的渐近线方程为y = B ．C 的标准方程为2212y x -=C ．C的顶点到渐近线的距离为3D．曲线1x y e =-经过C 的一个焦点【试题来源】湖北省荆州中学2020-2021学年高三上学期8月月考 【答案】ABD【解析】设抛物线24x y =的焦点为(0,1)F ，双曲线C 的一个焦点坐标为1(,0)(0)F c c >， 由题意可知12FF =2c =⇒=c =（舍去）， 因为C1ce a b a===⇒=== 选项A：因为1,a b ==，所以C的渐近线方程为y =，故本选项说法正确；选项B：因为1,a b ==C 的标准方程为2212y x -=，故本选项说法正确；选项C ：设C 的一个顶点坐标为(1,0)0y -=的距离为=，根据双曲线和渐近线的对称性可知C的顶点到渐近线的距离为，故本选项的说法不正确． 选项D：当x =10y e =-=，而(恰好是双曲线的一个焦点，因此本选项的说法正确．故选ABD.9．已知双曲线的方程为221169x y -=，则下列说法正确的是A．焦点为(0) B ．渐近线方程为3x ±4y =0 C ．离心率5e 4=D ．焦点到渐近线的距离为4【试题来源】广东省佛山市顺德区2021届高三上学期第二次教学质量检测 【答案】BC【分析】根据双曲线的方程依次求出焦点、渐近线方程、离心率等，即可得答案；【解析】对A ，焦点为(5,0)±，故A 错误；对B ，渐近线方程为220340169x y x y -=⇒±=，故B 正确；对C ，54c e a ==，故C 正确；对D ，焦点到渐近线的距离为3b =，故D 错误；故选BC ．10．已知,A B 两监测点间距离为800米，且A 监测点听到爆炸声的时间比B 监测点迟2秒，设声速为340米/秒，下列说法正确的是 A ．爆炸点在以,A B 为焦点的椭圆上 B ．爆炸点在以,A B 为焦点的双曲线的一支上C ．若B 监测点的声强是A 监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到B 监测点的距离为6803米 D ．若B 监测点的声强是A 监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到B 监测点的距离为680米【试题来源】江苏省无锡市第一中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】BD【解析】依题意，,A B 两监测点间距离为800米，且A 监测点听到爆炸声的时间比B 监测点迟2秒，设爆炸点为C ，则3402680800CA CB -=⨯=<，所以爆炸点在以,A B 为焦点的双曲线的一支上．所以A 选项错误，B 选项正确．若B 监测点的声强是A 监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，所以224CA CB=，即2CA CB =，结合680CA CB -=可得680CB =． 所以C 选项错误，D 选项正确．故选BD.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)，抛物线2y =的准线过双曲线的左焦点，A ，B 分别是双曲线C 的左，右顶点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，记P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则下列说法正确的是A ．双曲线C 的渐近线方程为y =±2xB ．双曲线C 的方程为2214x y -=C ．1k 2k 为定值14D ．存在点P ，使得1k +2k =2【试题来源】福建省福州市八县（市）一中2020-2021学年高二上学期期中联考 【答案】BCD【解析】因为双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)，所以2c e a ==，12b a ==，渐近线方程为12y x =±，故A 错误；又c =22,1a b ==，所以双曲线方程为2214x y -=，故B 正确；因为()()2,0,2,0A B -，设(),P x y ，则1k 22212244y y y x x k x =⋅==+--⋅，故C 正确；2212222122442y y xy y x xx x x y yk k x =+==⋅=⋅+---+，因为点P 在第一象限，渐近线方程为12y x =±，所以102OP k <<，则 2x y >，所以121k k +>，所以存在点P ，使得1k +2k =2，故正确；故选BCD12．椭圆22116x y m+=的焦距为m 的值为A ．9B ．23C ．16D ．16+【试题来源】江苏省南航附中2020-2021学年高二（9月份）月考 【答案】AB【解析】椭圆22116x y m+=的焦距为2c =得c =依题意当焦点在x 轴上时，则167m -=，解得9m =；当焦点在y 轴上时，则 167m -=，解得 23m =， 所以m 的值为9或23．故选AB ． 13．下列说法正确的是A ．平面内到两个定点12,F F 的距离之和等于常数的点的轨迹为椭圆；B ．在ABC 中，角、、A B C 的对边分别为,,a b c ，若A B >则a b >； C ．若数列{}n a 为等比数列，则{}1n n a a ++也为等比数列；D ．垂直于同一个平面的两条直线平行．【试题来源】湖北省四地六校2020-2021学年高二上学期10月联考【答案】BD【解析】若距离之和等于12F F ，则轨迹是线段12F F ，不是椭圆，A 错； 三角形中大边对大角，大角对大边，B 正确；{}n a 的公比1q =-时，10n n a a ++=，{}1n n a a ++不是等比数列，C 错；由线面垂直的性质定理知D 正确．故选BD ．14．点1F ，2F 为椭圆C 的两个焦点，椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒，则椭圆C 的方程可以是A ．221259x y +=B ．2212516x y +=C ．221189x y +=D ．221168x y +=【试题来源】山东省济南市商河县第一中学2020-2021学年高二10月月考 【答案】ACD【解析】设椭圆方程为22221x y a b+=()0a b >>，设椭圆上顶点为B ，椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒，则需1290F BF ∠≥︒，221212BF BF F F ∴+≤，即2224a a c +≤，222c a b =-，则222a b ≥，所以选项ACD 满足．故选ACD ．15．在平面直角坐标系xoy 中，F 1，F 2分别为椭圆 22142x y +=的左、右焦点，点A 在椭圆上．若△AF 1F 2为直角三角形，则AF 1的长度可以为 A ．1 B ．2 C ．3D ．4【试题来源】江苏省南京市2020-2021学年高二上学期期中调研测试 【答案】ABC【解析】由椭圆 22142x y +=可知，2,a b c ===焦点坐标为(，通径为222b a=，因为△AF 1F 2为直角三角形，所以A 为直角顶点时，A 在短轴端点，此时AF 1的长为2；1F 为直角顶点时，A 在y 轴左侧，此时AF 1的长为1；2F 为直角顶点时，A 在y 轴右侧，此时AF 1的长为3；故选ABC ．16．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，若椭圆上存在点P 使得12F PF ∠是直角，则满足条件的一个e 的值可以是A ．12BC．3D ．45【试题来源】江苏省南京市六合区大厂高级中学2020-2021学年高二上学期10月学情调研 【答案】BD【解析】1F ，2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点，∴()1,0F c -，()2,0F c ，222c a b =-，设点(),P x y ，因为椭圆上存在点P 使得12F PF ∠是直角，所以12PF PF ⊥， 所以()(),,0x c y x c y -⋅+=，化简得222x y c +=，联立方程组22222221x y c x yab ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，整理，得()2222220a xc a c =-⋅≥，所以2220c a -≥，解得2e ≥，又01e <<，12e ∴≤<．故选BD ．17．设椭圆22193x y +=的右焦点为F，直线(0y m m =<<与椭圆交于A ， B 两点，则下述结论正确的是 A ．AF +BF 为定值 B ．△ABF 的周长的取值范围是[6，12] C．当m =时，△ABF 为直角三角形D ．当m =1时，△ABF【试题来源】江苏省南通中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】AD【解析】设椭圆的左焦点为F '，则AF BF '=， 所以=6AF BF AF AF '+=+为定值，A 正确；ABF 的周长为AB AF BF ++，因为AF BF +为定值6，所以AB 的范围是()0,6，所以ABF 的周长的范围是()6,12，B 错误；将y =(A ，B，因为)F，所以(60BA BF ⋅=-=-，所以ABF 不是直角三角形，C 不正确；将1y =与椭圆方程联立，解得()A -，)B ，所以112ABFS=⨯=D 正确．故选AD. 18．下列判断正确的是A ．抛物线2y x =与直线0x y +-=仅有一个公共点B ．双曲线221x y -=与直线0x y +-=仅有一个公共点C ．若方程22141x y t t +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则542t <<D ．若方程22141x y t t +=--表示焦点在y 轴上的双曲线，则t >4【试题来源】江苏省南京市五校2020-2021学年高二上学期10月联合调研考试 【答案】BD【解析】对于A ，抛物线2y x =与直线方程0x y +=，联立方程，消去x ，可得20y y +=，10∆=+>，所以抛物线2y x =与直线0x y +=有两个个公共点，故A 错误；对于B ，双曲线221x y -=的渐近线方程为y x =±，直线0x y +=与渐近线y x =-平行，故双曲线221x y -=与直线0x y +-=仅有一个公共点，故B 正确；对于C ，若方程22141x y t t +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则410t t ->->，解得512t <<，故C 错误；对于D ，若方程22141x y t t +=--表示焦点在y 轴上的双曲线，则4010t t -<⎧⎨->⎩，解得4t >，故D 正确．故选BD ．19．在平面直角坐标系中，有两个圆22211:(2)++=C x y r 和22222:(2)-+=C x y r ，其中常数12,r r 为正数满足124r r +<，一个动圆P 与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是 A ．两个椭圆B ．两个双曲线C ．一个双曲线和一条直线D ．一个椭圆和一个双曲线【试题来源】人教A 版（2019） 选择性必修第一册 过关斩将 全书综合测评 【答案】BC【解析】由题意得，圆1C 的圆心为1(2,0)C -，半径为1r ，圆2C 的圆心为2(2,0)C ，半径为2r ，所以124C C =，设动圆P 的半径为r ．当124r r +<时，两圆相离，动圆P 可能与两圆均内切或均外切或一个外切一个内切． ①若均内切，则1122,PC r r PC r r =-=-， 此时1212PC PC r r -=-，当12r r ≠时，点P 的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线， 当12r r =时，点P 在线段12C C 的垂直平分线上． ②若均外切，则1122,PC r r PC r r =+=+， 此时1212PC PC r r -=-，则点P 的轨迹与①相同．③若一个外切，一个内切，不妨设与圆1C 内切，与圆2C 外切，则11222112,,PC r r PC r r PC PC r r =-=+-=+．同理，当与圆2C 内切，与圆1C 外切时，1212PC PC r r -=+．此时点P 的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线，与①中双曲线不一样．故选BC ． 20．已知曲线22:1C mx ny += A ．若0m =，0n >，则C 是两条直线B ．若0m n =>，则C C ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在x 轴上D ．若0mn <，则C是双曲线，其渐近线方程为y = 【试题来源】重庆市第八中学2020-2021学年高二上学期（期中）半期 【答案】AD【分析】由曲线方程及圆锥曲线的性质逐项判断即可得解． 【解析】对于A ，若0m =，0n >，则2:1C ny =即y =A 正确； 对于B ，若0m n =>，则221:C x y n +=，所以CB 错误； 对于C ，若0m n >>，则110m n <<， 所以22:1C mx ny +=即22:111x y C m n +=为椭圆，且焦点在y 轴上，故C 错误； 对于D ，若0mn <，则22:111x y C m n +=为双曲线，且其渐近线为y ==，故D 正确．故选AD ．21．在平面直角坐标系xOy 中，下列结论正确的是A ．椭圆2212516x y +=上一点P 到右焦点的距离的最小值为2；B ．若动圆M 过点(2,0)且与直线2x =-相切，则圆心M 的轨迹是抛物线； C6=表示的曲线是双曲线的右支；D ．若椭圆22112x y m+=的离心率为12，则实数9m =．【试题来源】江苏省盐城市一中、射阳中学等五校2020-2021学年高二上学期期中联考 【答案】ABC【解析】对于A ，椭圆2212516x y +=的长半轴长5a =，半焦距3c ==，∴椭圆的右顶点到右焦点的距离最小为2a c -=，故A 正确；对于B ，若动圆M 过点(2,0)且与直线2x =-相切，则圆心M 到(2,0)的距离等于到直线2x =-的距离，则圆心M 的轨迹是抛物线，故B 正确；对于C6=的几何意义是平面内动点(,)x y 到两个定点(4,0)-，(4,0)距离差等于6的点的轨迹，表示以(4,0)-，(4,0)为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，故C 正确；对于D ，椭圆22112x y m+=的离心率为12，当焦点在y 轴上时，2a m =，212b =，则c =12e ==，解得16m =，故D 错误．故选ABC ． 22．已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆交x 轴于M ，N 两点，设线段AB 的中点为Q ．若抛物线C 上存在一点(,2)E t 到焦点F 的距离等于3．则下列说法正确的是 A ．抛物线的方程是22x y = B ．抛物线的准线是1y =- C ．sin QMN ∠的最小值是12D ．线段AB 的最小值是6【试题来源】江苏省镇江中学2020-2021学年高二上学期期初 【答案】BC【解析】抛物线()2:20C x py p =>的焦点为02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，得抛物线的准线方程为2p y =-， 点()2E t ，到焦点F 的距离等于3，可得232p+=，解得2p =， 则抛物线C 的方程为24x y =，准线为1y =-，故A 错误，B 正确；由题知直线l 的斜率存在，()0F ，1，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为1y kx =+，由21 4y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得2440x kx --=，所以124x x k +=，124x x =-， 所以()21212242y y k x x k +=++=+，所以AB 的中点Q 的坐标为()2221k k +，， 221242244AB y y p k k =++=++=+，故线段AB 的最小值是4，即D 错误；所以圆Q 的半径为222r k =+， 在等腰QMN 中，22221111sin 11222222Qy k QMN r k k +∠===-≥-=++，当且仅当0k =时取等号，所以sin QMN ∠的最小值为12，即C 正确，故选BC ． 23．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，以线段AB 为直径的圆交y 轴于M 、N 两点，则A ．若抛物线上存在一点()2,E t 到焦点F 的距离等于3，则抛物线的方程为24y x =B ．若2AF BF =，则直线l的斜率为C ．若直线l43p AB =D ．设线段AB 的中点为P ，若点F 到抛物线准线的距离为2，则sin PMN ∠的最小值为12【试题来源】重庆市育才中学2020-2021学年高二上学期10月月考 【答案】AD【解析】对于A 选项，由抛物线的定义可得232pEF =+=，解得2p =， 所以，抛物线的标准方程为24y x =，A 选项正确；对于B 选项，如下图所示： 抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为2p x my =+，联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 并整理得2220y mpy p --=，222440m p p ∆=+>恒成立，由根与系数关系可得122y y mp +=，212y y p =-，由于2AF BF =，由图象可得2AF FB =，即1122,2,22p p x y x y ⎛⎫⎛⎫--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，122y y =-，可得121221222y y y y mp y y p =-⎧⎪+=⎨⎪=-⎩，解得4m =±，所以，直线l的斜率为1m=±B 选项错误； 对于C 选项，当直线lB选项可知，3m =，123y y p +=， 由抛物线的焦点弦长公式可得)12128223AB x x p y y p p p p =++=++=+=，C 选项错误；对于D 选项，抛物线的焦点F 到准线的距离为2p =，则该抛物线的方程为24y x =．设直线l 的方程为1x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ， 联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 可得2440y my --=，216160m ∆=+>， 则124y y m +=，()21212242x x m y y m ∴+=++=+，()212241AB x x m =++=+，点P 到y 轴的距离为212212x x d m +==+， 所以，()22221111sin 1112222212d m PMN m m AB+∠===-≥-=++， 当且仅当0m =时，等号成立，D 选项正确．故选AD ． 24．设A ，B 是抛物线2yx 上的两点，O 是坐标原点，下列结论成立的是A ．若OA OB ⊥，则2OA OB ≥ B ．若OA OB ⊥，直线AB 过定点(1,0)C ．若OA OB ⊥，O 到直线AB 的距离不大于1D ．若直线AB 过抛物线的焦点F ，且13AF =，则||1BF = 【试题来源】江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中模拟 【答案】ACD【解析】B ．设直线AB 方程为y kx b =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 将直线AB 方程代入抛物线方程2y x ，得20x kx b --=，则12x x k +=，12x x b =-，OA OB ⊥，1OA OB k k b ∴=-=-，1b =．于是直线AB 方程为1y kx =+，该直线过定点(0,1)．故B 不正确； C ．O 到直线AB的距离1d ，即C 正确；A．||||OA OB =．||||2OA OB ∴正确； D ．由题得11111,4312y y +=∴=，所以211==12x x ∴，x =．所以113k-==-，所以直线AB的方程为14y x=+，所以14b=．由题得212121211111 ||()2244222 AB y y y y k x x b k b=+++=++=+++=++=1114++=3223．所以41||133BF=-=．所以D正确．故选ACD．25．已知1F，2F是双曲线()2222:10,0x yE a ba b-=>>的左、右焦点，过1F作倾斜角为30的直线分别交y轴与双曲线右支于点M，P，1PM MF=，下列判断正确的是A．21π3PF F B．2112MF PF=C．ED．E的渐近线方程为y=【试题来源】福建省厦门市2019-2020学年高二下学期期末【答案】BCD【解析】如右图，由1PM MF=，可得M为1PF的中点，又O为12F F的中点，可得2//OM PF，2190PF F∠=︒，1230PF F∠=︒，2112MF PF=，故A错误，B正确；设122F F c=，则12cos30cPF==︒，22tan30PF c=︒=，则1223a PF PF c=-=，可得==cea，ba==，则双曲线的渐近线方程为by xa=±即为y=．故C，D正确．故选BCD．26．已知双曲线222(0)63x yλλ-=≠，则不因λ改变而变化的是A．渐近线方程B．顶点坐标C．离心率D．焦距【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高二上学期教学质量调研（一）【答案】AC【解析】双曲线222(0)63x yλλ-=≠可化为2222163x yλλ-=，所以22226,3a b λλ==，所以229c λ=，所以2231()2b e a=+=，渐近线方程为b y x a =±=，故选AC ． 27．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为右支上一点，若123PF PF =，则双曲线的离心率可能为A ．2 BCD ．3【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高二上学期教学质量调研（一） 【答案】AB【解析】由已知12||3||PF PF =和12||||2PF PF a -=得， 所以21|||3,|PF PF a a ==，所以1212||||||2PF PF F F c ≥=+， 即42a c ≥，12e <≤，故选AB ．28．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，且双曲线C 的左焦点在直线0x y ++=上，A ，B 分别是双曲线C 的左，右顶点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，记P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则下列说法正确的是A ．双曲线C 的渐近线方程为2y x =±B ．双曲线C 的方程为2214x y -=C ．12k k 为定值14D ．存在点P ，使得121k k +=【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期10月第一次教学质量调研 【答案】BC【解析】因为双曲线C 的左焦点(,0)c -在直线0x y +=上，所以c =c e a ==，所以2a =，故2221b c a =-=，所以双曲线方程为2214x y -=，故双曲线的渐近线方程为20x y ±=，故A 错误；B 正确； 由题意可得(2,0),(2,0)A B -，设P (m ， n )，可得2214m n -=，即有22144n m =-，所以212212244n n n k k m m m =⋅==+--，故C 正确；因为点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，所以120,0k k >>，则121212k k +≥=⨯=，当且仅当12k k =时，等号成立， 由A ，B 为左右顶点，可得12k k ≠，所以121k k +>，故D 错误．故选BC29．已知抛物线24y x =的准线过双曲线2222:1x y C a b-=(0,a >0b >)的左焦点F ，且与双曲线交于,A B 两点，O 为坐标原点，AOB 的面积为32，则下列结论正确的有 A ．双曲线C 的方程为224413y x -=B ．双曲线C 的两条渐近线的夹角为60°C ．点F 到双曲线CD ．双曲线C 的离心率为2 【试题来源】江苏省扬州市宝应中学2020-2021学年高二上学期阶段考试 【答案】ABD【解析】因为抛物线24y x =的准线过双曲线2222:1x y C a b-=(0,a >0b >)的左焦点F ，所以1c =-，又与双曲线交于,A B 两点，所以221,,1,b b A B a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以AOB 的面积为2123122b a ⨯⨯=，即232b a =，解得213,24a b ==，所以双曲线C 的方程为22441y x -=，故A 正确；双曲线C 的渐近线方程为y =，所以两渐近线的的夹角为60°，故B 正确；点F 到双曲线C 的渐近线的距离为2d =，故C 错误； 双曲线C 的离心率为1212c e a ===，故正确；故选ABD.30．设1F ，2F 是双曲线:C ()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1PF OP =，则下列说法正确的是 A ．2F P b =BC．双曲线的渐近线方程为y =D ．点P在直线x =上 【试题来源】江苏省南通市如皋中学2020-2021学年高二上学期第一次阶段检测 【答案】ABD【解析】由双曲线的性质可知，双曲线的一条渐近线方程为by x a=，即0bx ay -=， 焦点()1,0F c -，()2,0F c ，()0,0,0a b c >>>因为过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，所以2bcF P b c===，故A 正确；因为OP a ===，则()1222cos cos 180cos OP aFOP F OP F OP OF c∠=︒-∠=-∠=-=-，所以1PF ==，在三角形1OPF 中，根据余弦定理可知2221111cos 2OP OF F PFOP OP OF +-∠==⋅22262a c a aac c +-=-，解得223a c =，即离心率e =或e =，故B 正确；因为e ==b a =y =，故C 错误； 因为点P在直线y =上，可设()()0P x x >，由OP a =可知，OP a ===，解得3x a =，故D 正确．故选ABD ． 31．如果双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线上的点(M -关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点F ，P 为双曲线上的动点，已知(3,1)A ，则12PA PF +的值可能为 A ．32 B ．2 C ．52D ．4【试题来源】江苏省南通市如皋中学2020-2021学年高二上学期第一次阶段检测【答案】CD【解析】依题意可知点(3)M -在渐近线b y x a =-上，所以3b a =3b a =， 设(c,0)F ，则3030122abb c a -=--+=⨯⎩，结合3b a =解得2c =，由222c a b =+，所以21a =，23b =，所以离心率2c e a ==，右准线为212a x c ==，设点P 到右准线12x =的距离为d ，则根据双曲线的定义可知2PFe d==， 所以12PA PF PA +=+122d PA d ⨯=+132≥-52=．根据四个选项可知，,C D 正确．故选CD.32．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线上一点，且122=PF PF ，若1215sin F PF ∠=a ，b ，c ，e 的有关结论正确的是 A ．6e =B ．4e =C ．5b a =D ．3b a =【试题来源】江苏省南通市如东高级中学、泰州高级中学2020-2021学年高二11月联考 【答案】ACD 【解析】122PF PF =，∴由双曲线定义可知1222PF PF PF a -==，14PF a ∴=，由1215sin F PF ∠=121cos 4F PF ∠=±，在12PF F △中，由余弦定理可得2221241641cos 2244a a c F PF a a +-∠==±⨯⨯，解得，224c a =或226c a=，2c a ∴=或c =，b ∴==或b =，2ce a∴==，故选ACD ． 33．已知2a =，4c =，则双曲线的标准方程为A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．221412y x -=D ．221124y x -=【试题来源】江苏省南京市江浦高级中学2020-2021学年高二上学期检测（一） 【答案】AC【解析】由已知得22212b c a =-=，所以当焦点在x 轴上，双曲线的标准方程为221412x y-=；当焦点在y 轴上，双曲线的标准方程为221412y x-=．故选AC34．已知双曲线C过点且渐近线方程为3y x =，则下列结论正确的是 A ．双曲线C 的方程为2213x y -=B ．双曲线CC ．曲线21x y e -=-经过双曲线C 的一个焦点D ．焦点到渐近线的距离为1【试题来源】江苏省无锡市第一中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】ACD【分析】根据已知条件求得,,a b c ，由此对选项逐一分析，从而确定正确选项．【解析】设双曲线方程为221Ax By +=，将(代入得921A B +=．双曲线的渐近线方程为y =133A B =⇒=-． 由92113A B A B+=⎧⎪⎨=-⎪⎩解得1,13A B ==-，所以双曲线的方程为2213x y -=．所以1,2a b c ===．故A 选项正确．双曲线的离心率为ca==，故B选项错误．双曲线的焦点坐标为()2,0±，其中()2,0满足21xy e-=-，所以C选项正确．双曲线一个焦点为()2,0，渐近线方程y x=30y-=，1=，故D选项正确．故选ACD35．已知双曲线C的标准方程为2213yx-=，则A．双曲线C的离心率为2B．直线2x=与双曲线C相交的弦长为6C．双曲线2213xy-=与双曲线C有相同的渐近线D．双曲线C【试题来源】重庆市育才中学2020-2021学年高二上学期10月月考【答案】ABD【解析】由2213yx-=得1,2,2ca b c ea=====，渐近线为y=，故A正确，C中双曲线2213xy-=的渐近线为3y=±，故C错；B中将2x=代入2213yx-=解得3=±y，故2x=与双曲线C相交的弦长为6，故B正确；D中，双曲线C的焦点到渐近线的距离为d b===D正确故选ABD 36．设双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的右焦点为F，直线l为C的一条斜率为正数的渐近线，O为坐标原点．若在C的左支上存在点P，使点P与点F关于直线l对称，则下列结论正确的是．A．2PF b=B．POF的面积为abC．双曲线CD．直线l的方程是2y x=【试题来源】湖南师大附中2020-2021学年高二上学期10月月考（第二次大练习）【答案】ABD【解析】设左焦点为1F，PF与l的交点为M，如下图所示：因为点P 与点F 关于直线l 对称，所以OM PF ⊥，M 为PF 中点，且O 为1FF 中点， 所以112OM PF =，2PF MF =，因为(),0,:0F c l bx ay -=，所以MF b ==，所以2OM a ==，所以2PF b =，故A 正确；因为112POFPFF SS =，且1122222PFF PF PF a b Sab ⋅⨯===，所以POFSab =，故B 正确；由双曲线的定义可知12PF PF a -=，所以222b a a -=，所以2b a =，所以:2l y x =，2b a ===，所以e =，故C 错误，D 正确，故选ABD ． 37．已知点P 在双曲线221169x y -=上，1F ，2F 分别是左、右焦点，若12PF F △的面积为20，则下列判断正确的有 A ．点P 到x 轴的距离为203B ．12503PF PF += C ．12PF F △为钝角三角形D ．123F PF π∠=【试题来源】江苏省南京市天印高级中学2020-2021学年高二上学期10月学情调研 【答案】BC【解析】由双曲线方程得4a =，3b =，则5c =，由△12PF F 的面积为20， 得112||10||2022P P c y y ⨯⨯=⨯=，得||4P y =，即点P 到x 轴的距离为4，故A 错误， 将||4P y =代入双曲线方程得20||3P x =，根据对称性不妨设20(3P ，4)，则213||3PF ，由双曲线的定义知12||||28PF PF a -==， 则11337||833PF =+=，则12133750||||333PF PF +=+=，故B 正确， 在△12PF F 中，113713||210||33PF c PF =>=>=，则24012020553PF k -==>-，21PF F ∠为钝角， 则△12PF F 为钝角三角形，故C 正确，2222121212121212121337641002||||||(||||)2||||10033cos 13372||||2||||233PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF -+⨯⨯+--+-∠===⨯⨯3618911121337133729⨯=-=-≠⨯⨯⨯，则123F PF π∠=错误，故正确的是BC ，故选BC ．38．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为1F ，点A 坐标为0,1，点P 双曲线左支上的动点，且1APF △的周长不小于14，则双曲线C 的离心率可能为 AB ．2 CD ．3【试题来源】江苏省南京市天印高级中学2020-2021学年高二上学期10月学情调研 【答案】ABC【解析】由右焦点为1F ，点A 的坐标为(0,1)，1||5AF ， 1APF △的周长不小于14，即周长的最小值不小于14，可得1||||PA PF +的最小值不小于 9，又2F 为双曲线的左焦点，可得12||||2PF PF a =+，1||||PA PF +=2||||2PA PF a ++ ， 当A ，P ，2F 三点共线时，2||||2PA PF a ++取最小值52a + 所以529a +≥，即2a ≥，因为c =ce a=≤．故选ABC ． 39．已知1F 、2F 是双曲线22:12y C x -=的上、下焦点，点M 是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段12F F 为直径的圆经过点M ，则下列说法正确的有 A ．双曲线C的渐近线方程为y = B ．以12F F 为直径的圆方程为222x y += C ．点M的横坐标为D ．12MF F △【试题来源】江苏省徐州市铜山区大许中学2020-2021学年高三上学期第二次调研考试 【答案】AD【解析】由双曲线方程2212yx-=知a=，1b=，焦点在y轴，渐近线方程为ay xb=±=，A正确；c==，以12F F为直径的圆的方程是223x y+=，B错误；由223x yy⎧+=⎪⎨=⎪⎩得1xy=⎧⎪⎨=⎪⎩1xy=-⎧⎪⎨=⎪⎩223x yy⎧+=⎪⎨=⎪⎩得1xy=⎧⎪⎨=⎪⎩1xy=-⎧⎪⎨=⎪⎩所以，M点横坐标是±1，C错误；121211122MF F MS F F x=⋅=⨯=△D正确．故选AD．【名师点睛】双曲线()222210,0x ya ba b-=>>的渐近线方程为by xa=±，而双曲线()222210,0y xa ba b-=>>的渐近线方程为ay xb=±（即bx ya=±），应注意其区别与联系．40．双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的左、右焦点分别为12,F F，点P为C的左支上任意一点，直线l是双曲线的一条渐近线，PQ l⊥，垂足为Q．当2||||PF PQ+的最小值为3时，1F Q的中点在双曲线C上，则A．C的方程为22122x y-=B．CC．C的渐近线方程为y x=±D．C的方程为221x y-=【试题来源】广东省东莞市东华高级中学2021届高三上学期第二次联考【答案】BCD【解析】因为21||||2PF PF a-=，所以21122.PF PQ PF PQ a FQ a+=++≥+因为焦点到渐近线的距离为b，所以1FQ的最小值为b，所以2 3.b a+=不妨设直线OQ 为by xa=，因为1F Q OQ⊥，所以点1(,0)F c-，2(,)a abQc c--，1F Q的中点为22(,2a cc+-)2ab c -．将其代入双曲线C 的方程，得2222222()144a c a a c c+-=，即2222222(1)144a a c a c c +-=，解得.c = 因为22223,b a a b c +=+=，所以1a b ==，故双曲线C 的方程为221x y -=，yx =±故选BCD41．若椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>和椭圆()222222222:10x y C a b a b +=>>的离心率相同，且12a a >，则下列结论正确的是 A ．椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点B ．1122a b a b = C ．22221212a a b b -<-D ．1212a a b b -<-【试题来源】人教A 版（2019） 选择性必修第一册 过关斩将 第三章 圆锥曲线的方程 【答案】AB【解析】依题意，1212==c c e a a ，=所以1212b b a a =，所以1122a b a b =，因此B 正确；又12a a >，所以椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点，因此A 正确； 设1212==b b m a a ，其中01m <<，则有()()()()222222211221210a b a b m a a ---=-->， 即有22221122->-a b a b ，则22221212->-a a b b ，因此C 错误；()()()112212(1)0---=-⋅->a b a b m a a ，即有1122->-a b a b ，则1212->-a a b b ，因此D 错误．故选AB ． 42．已知曲线E 的方程为()22,ax by ab a b R +=∈，则下列选项正确的是A ．当1ab =时，E 一定是椭圆B ．当1ab =-时，E 是双曲线C ．当0a b =>时，E 是圆D ．当0ab =且220a b +≠时，E 是直线【试题来源】江苏省百校联考2020-2021学年高三上学期第一次考试 【答案】BCD【解析】对于A ，若1a =，1b =，此时22ax by ab +=变为221x y +=，不表示椭圆，故A 错误；。
江苏省2020-2021学年高一上学期数学期中试题汇编04：函数的概念与性质【填选题】(答案版)
8.（江苏省南京市第十二中学2020-2021学年上学期期中4）下面各组函数中表示同个函数的是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】对于A， 的定义域为 ，而 的定义域为 ，两函数的定义域不相同，所以不是同一函数；
对于B，两个函数的定义域都为 ，定义域相同， ，所以这两个函数是同一函数；
A.0B.2
C.4D.-2
【答案】B
【解析】取 ，则 ，
因为函数为奇函数，则 ， 即 ，
整理可得 ，即 .故选：B
10.（江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年上学期期中4）已知函数 ，若 ＝10，则实数a的值为（）
A 5B.9C.10D.11
【答案】B
【解析】由 ，令 ，则 .
因为 ，所以a=9.故选：B
A．－4 B．5 C．14 D．23
【答案】C
【解析】由题意可设 ，则当 时， 单调，且 ≥0恒成立，因为 的对称轴方程为 ，则 或 ，解得6≤a≤17或－3≤a≤－2，即 ，则只有14满足题意，故答案选C.
23.（江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年上学期期中6）已知 是偶函数，且其定义域为 ，则 的值是（）
【答案】C
【解析】满足条件的函数的定义域为 、 、 、 、 、 、 、 、 ，共 个.故选：C.
18.（江苏省南京市南师附中2020-2021学年上学期期中5）函数 的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
19.（江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年上学期期中5）已知函数 的值域是（）
C.[－4，－1]∪[0，2]D.(－∞，－1]∪[0，2]
江苏省泰州市2020-2021学年高二上学期期末调研测试数学试题(word版,含答案)
2020~2021学年度第一学期期末调研测试高二数学试题(考试时间:120分钟;总分:150分)一､单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的｡1.已知命题:,10,xp x R e x ∃∈--≤则命题p 的否定为().,10x A x R e x ∀∈--> B.∀x ∉,10xR e x -->.,10x C x R e x ∀∈--≥.,10x D x R e x ∃∈-->2.已知等差数列{}n a 前10项的和是310,前20项的和是1220,则数列{}n a 的通项公式为().62n A a n =+ .62n B a n =- .42n C a n =+ .42n D a n =-3.在空间四边形OABC 中,,,,OA a OB b OC c ===且2,AM MB =则MC =()12.33A a b c --+21.33B a b c --+12.33C a b c +-21.33D a b c +- 4.2020年北京时间11月24日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射｡嫦娥五号是我国探月工程“绕､落､回”三步走的收官之战,经历发射入轨､地月转移､近月制动､环月飞行､着陆下降､月面工作､月面上升､交会对接与样品转移､环月等待､月地转移､再入回收等11个关键阶段｡在经过交会对接与样品转移阶段后,若嫦娥五号返回器在近月点(离月面最近的点)约为200公里,远月点(离月面最远的点)约为8600公里,以月球中心为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作,月球半径约为1740公里,则此椭圆轨道的离心率约为()A.0.32B.0.48C.0.68D.0.825.如果向量()()(2,1,3),1,4,2,1,1,a b c m =-=-=-共面,则实数m 的值是(-) A.-1B.1C.-5D.56.设抛物线28y x =的焦点为F,过点M(1,0)的直线与抛物线相交于A,B 两点,若|BF|=4,则|AF|=()7.2A B.3.7C5.2D 7.已知正项等比数列{}n a 的公比为q,前n 项和为,n S 则"q>1"是“46520S S S +->”的()条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要D.既不充分也不必要8.若0<x<y<z 且xyz=1,则下列关系式不一定成立的是(() A.lgy+lgz>0.224y z B +> 2.2C x z +>2.2D x z +>二､多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求｡全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分｡9.已知双曲线C:221,84x y -=则下列说法正确的是() A.渐近线方程为2y x = B.焦点坐标为(23,0)± C.顶点坐标为(2,0)±D.实轴长为2210.设a,b,c ∈R,则下列结论正确的有() A.若a<b,c<0,则ac>bc1.2B a a+≥ C.若a<b<0,则11a b>222.()22a b a b D ++≤11.任取一个正整数m,若是奇数,就将该数乘3再加上1;若是偶数,就将该数除以2.反复进行上述两种运算,经过有限次步骤后,必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想")｡如取正整数m=3,根据上述运算法则得出3→10→5→16→8→4→2→1,共需经过7个步骤首次变成1(简称为7步“雹程”)｡则下列叙述正确的是()A.当m=12时,经过9步雹程变成1B.当*2()km k N =∈时,经过k 步雹程变成1 C.当m 越大时,首次变成1需要的雹程数越大D.若m 需经过5步雹程首次变成1,则m 所有可能的取值集合为{5,32}12.已知过抛物线24y x =焦点F 的直线l 与抛物线交于A, B 两点,直线AM ⊥l 交x 轴于点M,直线BN ⊥l 交x 轴于点N,则下列结论正确的有(深) A.|AF|+|BF|=|AF|·|BF| B.|MF|+|NF|=|MF|·|NF| C.|AF|·|BF|的最小值为4D.|MF|·|NF|的最小值为16三､填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡13.已知直三棱柱111ABC A B C -中,1,,AB AC AB AC AA ⊥==点E,F 分别为111,AA A C 的中点,则直线BE 和CF 所成角的余弦值为____.14.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左,右焦点分别为12,,F F 若椭圆上存在一点P 使得12||2||,PF PF =则该椭圆离心率的取值范围是___.15.如图甲是第七届国际数学教育大会(ICME-7)的会徽｡它的主题图案是由一连串如图乙所示的直角三角形演化而成的｡设其中的第一个直角三角形12OA A 是等腰三角形,且1122334781OA A A A A A A A A ======,它可以形成近似的等角螺线,记1238,,,,OA OA OA OA 的长度组成数列*{}(,18)n a n N n ∈≤≤,且11,n n n b a a +=+则n a =___(n ∈N *,1≤n ≤8),数列{}n b 的前7项和为___.16.已知正实数a,b 满足a+2b=1,则11a ba b+--的最小值为___. 四､解答题:本题共6小题,共70分｡解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡ 17.(本题满分10分)已知命题p:实数t 满足227120(0)at a a t -+<<,命题q:实数t 满足曲线221259x y t t+=++为椭圆｡ (1)若q 为真,求实数t 的取值范围;(2)若p 是q 的充分条件,求实数a 的取值范围｡18.(本题满分12分)在2,n an n b a =⋅①|10|,n n b a =-②21n n n b a a +=③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并完成问题的解答｡问题:已知数列{}n a 是各项均为正数的等差数列,22,a =且1481,,a a a +成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)记______，求数列{}n b 的前n 项和.n S注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分｡19.(本题满分12分)已知点P(x,y)到定点F的距离与它到定直线:l y 点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)设点Q(m,0)(m>1),若|PQ|求实数m的值｡20.(本题满分12分)2020年11月23日,贵州宣布最后9个深度贫困县退出贫困县序列,这不仅标志着贵州省66个贫困县实现整体脱贫,这也标志着国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽,全国脱贫攻坚目标任务已经完成,在脱贫攻坚过程中,某地县乡村三级干部在帮扶走访中得知某贫困户的实际情况后,为他家量身定制了脱贫计划,政府无息贷款10万元给该农户种养羊,每万元可创造利润0.15万元,若进行技术指导,养羊的投资减少了x(x>0)万元,且每万元创造的利润变为原来的(1+0.25x)倍｡现将养羊少投资的x万元全部投资网店,进行农产品销售,则每万元创造的利润为0.15(a-0.875x)万元,其中a>0.(1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润,求x的取值范围;(2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润,求a的最大值｡21.(本题满分12分)如图,已知在四棱锥P- ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为直角梯形,AD=2AB= 2BC=2,PA=1,∠ABC=90°.(1)求直线PB与平面PCD所,成角的正弦值;(2)在线段PB 上是否存在点E,使得二面角E-AC-P 的余弦值33？若存在,指出点E 的位置;若不存在,说明理由.22.(本题满分12分)已知A,B 分别是双曲线E ：2214y x -=的左,右顶点,直线l (不与坐标轴垂直)过点N(2,0),且与双曲线E 交于C,D 两点.(1)若3,CN ND =求直线l 的方程;(2)若直线AC 与BD 相交于点P ,求证:点P 在定直线上.2020-2021学年度第一学期期末考试高二数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．13．2514．1[,1)315，11612四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：(1)因为q为真，所以25090259ttt t+>⎧⎪+>⎨⎪+≠+⎩，解得9t>-；……………………4分（2）命题p：由227120t at a-+<得(3)(4)0t a t a--<，因为0a<，所以43a t a<<，设{}|43A t a t a=<<，{}|9B t t=>-，因为p是q的充分条件，所以集合A是集合B的子集，故有49a≥-，解得094a-≤<．……………………10分18．解：（1）因为1481,,a a a+成等比数列，所以2418(1)a a a=+设等差数列{}n a的公差为d，则有2111(3)(1)(7)a d a a d+=++①又22a=，所以12a d+=②联立①②解得111ad=⎧⎨=⎩所以n a n=……………………6分（2）选①，则2nnb n=⋅231222322n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯ (1) 23121222(1)22n n n S n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯ (2)(1)-(2)得23122222n n n S n +-=++++-⨯化简得1(1)22n n S n +=-⋅+ ……………………12分选②，则10n b n =-当10n ≤时，10n b n =-，(19)2n n n S -= 当10n >时，219180(9810)[12(10)]2n n n S n -+=++++++++-=综上2(19),10219180,102n n n n S n n n -⎧≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩ ……………………12分 选③，则1111()(2)22n b n n n n ==-++1111111111111[()()()()()()]213243546112n S n n n n =-+-+-+-++-+--++ 21111135()212124(1)(2)n nnS n n n n +=+--=++++ ……………………12分19．解：（1|y = 化简得2213y x +=，∴曲线E 的方程为2213y x +=． (6)分（2）PQ ==11)PQ x =-≤≤ ①当12m-<-，即2m >时，min 1PQ m =+=1m =（舍）②当12m -≥-，即12m <≤时，2min 3362PQ m =+=，解得2m = 综上实数m 的值为2． ……………………12分20．解:（1）由题意，得()()0.1510.25100.1510x x +-≥⨯， 整理得260x x -≤，解得06x ≤≤，又0x >，故06x <≤．………………5分（2）由题意知网店销售的利润为()0.150.875a x x -万元， 技术指导后，养羊的利润为()()0.1510.2510x x +-万元， 则()()()0.150.8750.1510.2510a x x x x -≤+-恒成立， 又010x <<，∴5101.58x a x≤++恒成立， 又51058x x+≥，当且仅当4x =时等号成立， ∴0 6.5a <≤，即a 的最大值为5.6．答：（1）x 的取值范围为06x <≤；（2）a 的最大值为5.6．………………12分21．解：（1）以{},,AB AD AP 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(0,0,1)A B D C P(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1)CP CD PB =--=-=-不妨设平面PCD 的法向量(,,)m x y z =则有00m CP m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z x y --+=⎧⎨-+=⎩，取(1,1,2)m =设直线PB 与平面PCD 所成的角为α，则3sin cos ,m PB m PB m PB⋅=<>==⋅α 所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为36………………6分 （2）假设线段PB 上存在点E ，使得二面角E AC P --的余弦值33设,[0,1]PE PB =∈λλ，则(,0,1)E -λλ 从而(,0,1),(1,1,0),(0,0,1)AE AC AP =-==λλ 设平面ACE 的法向量1111(,,)n x y z =则有1100AE AC n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111(1)00x z x y +-=⎧⎨+=⎩λλ，取1(1,1,)n =--λλλ设平面PAC 的法向量2222(,,)n x y z =则有2200AP A n C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22200z x y =⎧⎨+=⎩，取2(1,1,0)n =-121212cos ,2n n n n n n ⋅<>===⋅ 解之得23=λ或2=λ（舍） 故存在点E 满足条件，E 为PB 上靠近点B 的三等分点． ………………12分 22．解：设直线l 的方程为2+=my x ，设()()2211,,,y x D y x C ，把直线l 与双曲线E 联立方程组，⎪⎩⎪⎨⎧=-+=14222y x my x ，可得()012161422=++-my y m ，则1412,1416221221-=--=+m y y m m y y ， ………………3分 (1)()()2211,2,,2y x y x -=--=,由3=，可得213y y -=， 即14822-=m m y ①，14123222-=-m y ②, 把①式代入②式,可得14121483222-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--m m m ，解得2012=m ，105±=m ， 即直线l 的方程为05452=--y x 或05452=-+y x ． ………………7分 (2)直线AC 的方程为()1111++=x x y y ，直线BD 的方程为()1122--=x x y y ， 直线AC 与BD 的交点为P ,故()1111++x x y ()1122--=x x y ，即()1311++x my y ()1122-+=x my y ， 进而得到121221311y y my y y my x x ++=-+，又()212143y y y y +-=，故()()339343343112121121221-=-+-=++-++-=-+y y y y y y y y y y x x ，解得21=x 故点P 在定直线21=x 上． ………………12分。
南京市2020-2021学年度第一学期期中调研测试高二语文word版含答案
南京市2020~2021学年度第一学期期中调研测试（word版含答案）高二语文1.本试眷共8。
满分150分，考试时间为150分钟。
注意事项，考试结束后，交回答卷纸。
2.答案写在答纸上的指定位置。
一、现代文阅读(36分)(一)论述类文本阅读(本题共3小题，9分)陆游的作品主要有两方而：一方而是悲情激昂，要为国家报仇雪耻，恢复丧失的疆土，解数阅读下面的文字，完成1~3题，沦陷的人民：一方而是闲透細腻，咀嚼出日常生活的深永的滋味，熨帖出当前景物的曲折的情状。
一个宋代遗老表扬他：“前辈评宋渡南后诗，以陆务观拟杜，意在不忘中原，与拜鹃心本实同，“然而，陆游全靠郡第二方面去打动后世好几百年的读者，像清初杨大鹤的选本，方文等人的模仿，《红楼梦》香菱的摘句，无数书房和花园挂的陆游诗联都是例证。
就此造成了陆游是个“老清客”的印象，这个偏向到清末才矫正过来，读者痛心国势的衰弱，愤恨帝国主义的压迫，对陆游条一方面的作品作了极热烈的赞扬，如：“集中什九从军乐，亘古男儿一放翁!”“谁怜爱国千“扫胡尘”、“靖国难”的诗歌在北宋初就出现过。
靖康之变后，宋人的爱国作品增加了，不过，行泪，说到胡尘意不平!”陈与义、吕本中等人在这方面跟陆游显然不同。
他们只表达了对国事的忧愤或希望，并没有投身在灾难里、把生命和力量都交给国家去支配的壮志和弘愿；只束手无策地叹息或伸手求助地呼吁，并没有说自己也要来动手，要“从戎”，要“上马击贼”，能够“慷慨欲忘身”，愿意“拥马横戈”、“手枭逆践清旧京”，陆游不但写爱国、忧国的情绪，并且声明救国、卫国的胆量和决心。
譬如刘子辈的诗里说“中兴将士才无双”“男儿取封侯，赴敌如饥渴”，语气已经算比较雄壮了，然而讲的是别人，是那些“将士”和“男儿”.陆游的“鸭绿桑干尽汉天，传烽自合过祁连。
功名在子何殊我，惟恨无人快着鞭”，尽管他把自己搁后，口吻已经很含蓄温和，然而明明在这一场英雄事业里准备有自己的份儿的。
这是《诗经·秦风·无衣》的意境，是杜牧《闻庆州赵纵使君中箭身死长句)的意境，也是岳飞《满江红》的意境；在北宋像苏舜钦和郭祥正的诗里，在南北宋之交像韩驹的诗里，也偶然流露过这种“修我戈矛，与子同仇”的气魄和心情，可是从没有人像陆游那样把它发挥得淋漓耐畅，这也正是杜甫缺少的境界，所以说陆游“与拜鹃心事实同”还不算很确切，还没有认识他别开生面的地方。
2020-2021学年江苏省常州高级中学高二上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年江苏省常州高级中学高二上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.以下判断正确的是( )A. 命题“负数的平方是正数”不是全称命题B. 命题“∀x ∈N ，x 3>x 2”的否定是“∃x ∈N ，x 3<x 2”C. “a =1”是函数f(x)=cos 2ax −sin 2ax 的最小正周期为π的必要不充分条件D. “b =0”是“函数f(x)=ax 2+bx +c 是偶函数”的充要条件2.数列{a n }满足a n =4a n−1+3，且a 1=0，则此数列的第5项是( )A. 15B. 255C. 16D. 363.已知各项不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5=2a 2，则S6a 2=( )A. 4B. 162C. 9D. 124. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点P 在平面BCC 1B 1内，且D 1P ⊥AC 1，则线段D 1P 的长度的最小值为( )A. √3B. √6C. 2√2D. 2√65.现将甲、乙、丙、丁四个人安排到座位号分别是1，2，3，4的四个座位上，他们分别有以下要求，甲：我不坐座位号为1和2的座位； 乙：我不坐座位号为1和4的座位； 丙：我的要求和乙一样；丁：如果乙不坐座位号为2的座位，我就不坐座位号为1的座位． 那么坐在座位号为3的座位上的是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁6.如图，在△ABC 中，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 23AB ⃗⃗⃗⃗⃗+14AC ⃗⃗⃗⃗⃗B. 12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 7.设数列lg100，lg(100sin π4)，lg(100sin 2π4)，⋯⋯，lg(100sin n−1π4)⋯的前n 项和为S n ，那么数列{S n }中最大的项是( )A. 13B. 14C. S 13D. S 148.△ABC 中，AB =6，AC =8，∠BAC =90°，△ABC 所在平面α外一点P 到点A 、B 、C 的距离都是13，则P 到平面α的距离为( )A. 7B. 9C. 12D. 13二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9.已知空间向量a ⃗ =(−2,−1,1)，b ⃗ =(3,4,5)，则下列结论正确的是( )A. (2a ⃗ +b ⃗ )//a ⃗B. 5|a ⃗ |=√3|b ⃗ |C. a ⃗ ⊥(5a ⃗ +6b ⃗ )D. a ⃗ 与b ⃗ 夹角的余弦值为−√3610. 下列说法正确的是( )A. 过直线l 外一点P ，有且仅有一个平面与l 垂直B. 空间中不共面的四点能确定无数多个球C. 如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面D. 过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于a 的平面内11. 狄利克雷函数f(x)={1,x ∈Q0,x ∈C R Q是高等数学中的一个典型函数，对于狄利克雷函数f(x)，下列命题中真命题的有( )A. 对任意x ∈R ，都有f[f(x)]=1B. 对任意x ∈R ，都有f(−x)+f(x)=0C. 若a <0，b >1，则有{x|f(x)>a}={x|f(x)<b}D. 存在三个点A(x 1,f(x 1))，B(x 2,f(x 2))，C(x 3,f(x 3))，使得△ABC 为等腰三角形12. 关于下列命题，正确的是( )A. 若点(2,1)在圆x 2+y 2+kx +2y +k 2−15=0外，则k >2或k <−4B. 已知圆M ：(x +cosθ)2+(y −sinθ)2=1与直线y =kx ，对于任意的θ∈R ，总存在k ∈R 使直线与圆恒相切C. 已知圆M：(x+cosθ)2+(y−sinθ)2=1与直线y=kx，对于任意的k∈R，总存在θ∈R使直线与圆恒相切D. 已知点P(x,y)是直线2x+y+4=0上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2−2y=1的两条切线，A、B是切点，则四边形PACB的面积的最小值为√6三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在数列中，，，则．14.下列函数为偶函数，且在上单调递增的函数是．①②③④15.直线与圆相交于、两点，若，则.(其中为坐标原点)16.在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合A={x|2≤x≤6,x∈R}，B={x|−1<x<5,x∈R}，全集U=R．(1)求A∩(∁U B)；(2)若集合C={x|x<a,x∈R}，A∩C=⌀，求实数a的取值范围．(3)若集合D={x|m+1<x<2m−1,x∈R}，B∩D≠⌀，求实数m的取值范围．18.某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．(1)记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{a n}，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列{b n}，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；a1=10a2=9.5a3=______ a4=______ …b1=2b2=______ b3=______ b4=______ …(2)从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？19. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，O是底面ABCD对角线的交点．(Ⅰ)求证：BD⊥平面ACC1A1；(Ⅱ)求直线BC1与平面ACC1A1所成的角．20. 已知等差数列{a n}的公差为2，且a1−1，a2−1，a4−1成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=1a n a n+1(n∈N∗)，数列{b n}的前n项和S n，求使S n<17成立的最大正整数n的值．21. 如图，正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=4，AA1=3√2，M，N分别是棱A1C1，AC的中点，E在侧棱A1A上，且A1E=2EA．(1)求证：平面MEB⊥平面BEN；(2)求平面BEN与平面BCM所成的锐二面角的余弦值．22. 在数列{a n}中，a1=1，a4=7，an+2−2a n+1+a n=0(n∈N﹢)(1)求数列a n的通项公式；(2)若b n=1n(3+a n))(n∈N+)，求数列{b n}的前n项和S n．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查全称命题与特称命题之间的转化及充分必要条件的概念及应用，考查函数的周期性与奇偶性，属于中档题．A，命题“负数的平方是正数”的含义为“任意一个负数的平方是正数”，是全称命题，可判断A；B，写出命题“∀x∈N，x3>x2”的否定，可判断B；C，利用充分必要条件的概念，从充分性与必要性两个方面可判断C；D，利用充分必要条件的概念与偶函数的定义可判断D．解：对于A，命题“负数的平方是正数”是全称命题，故A错误；对于B，命题“∀x∈N，x3>x2”的否定是“∃x∈N，x3≤x2”，故B错误；=π，充分性成立；对于C，a=1时，函数f(x)=cos2x−sin2x=cos2x的最小正周期为T=2π2反之，若函数f(x)=cos2ax−sin2ax=cos2ax的最小正周期T=2π2|a|=π，则a=±1，必要性不成立；所以“a=1”是函数f(x)=cos2ax−sin2ax的最小正周期为π的充分不必要条件，故C错误；对于D，b=0时，函数f(−x)=ax2+c=f(x)，y=f(x)是偶函数，充分性成立；反之，若函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数，f(−x)=f(x)，解得a=0，即必要性成立；所以“b=0”是“函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数”的充要条件，故D正确．故选：D．2.答案：B解析：解：a2=4a1+3=3a3=4a2+3=4×3+3=15a4=4a3+3=4×15+3=63a5=4a4+3=4×63+3=255故选B．分别令n=2，3，4，5代入递推公式计算即可．本题考查数列递推公式简单直接应用，属于简单题．3.答案：C。
江苏省南京市六校联合体2020-2021学年第一学期12月调研试题 语文 (附详解答案)
江苏省南京市六校联合体2020-2021学年第一学期12月调研试题语文试题本卷满分150分，考试时间150分钟。
注意事项1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、座位号、准考证号等填写在答题卡的相应位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成下面小题。
材料一：美国学者Richard Lehan在其所著的《文学中的城市》中，将“文学想象”作为“城市演进”利弊得失之“编年史”来阅读。
在他看来，城市建设和文学文本之间，有着不可分割的联系。
“因而，阅读城市也就成了另一种方式的文本阅读。
这种阅读还关系到理智的以及文化的历史：它既丰富了城市本身，也丰富了城市被文学想象所描述的方式。
”在某种程度上，我们所极力理解并欣然接受的“北京”“上海”或“长安”，同样也是城市历史与文学想象的混合物。
讨论都市人口增长的曲线，或者供水及排污系统的设计，非我辈所长与所愿；我们的兴趣是，在拥挤的人群中漫步，观察这座城市及其所代表的意识形态，在平淡的日常生活中保留想象与质疑的权利。
关注的不是区域文化，而是都市生活；不是纯粹的史地或经济，而是城与人的关系。
如此兼及“历史”与“文学”，当然是我辈学人的学科背景决定的。
关注“文学的城市”，必须兼及作家、作品、建筑、历史、世相、风物等，在文化史与文学史的多重视野中展开论述。
如此“关注”，自然不会局限于传统的“风物记载”与“掌故之学”。
对城市形态、历史、精神的把握，需要跨学科的视野以及坚实的学术训练，因此，希望综合学者的严谨、文人的温情以及旅行者好奇的目光，关注、体贴、描述、发掘自己感兴趣的“这一个”城市。
谈到都市，我一再坚持，必须把“记忆”与“想象”带进来，这样，这座城市才有生气，才可能真正“活起来”。
专题16 数列(解答题)(12月)(人教A版2019)(解析版)
专题16 数 列（解答题）1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10n n a a +->，23a =，且1a ，3a ，712a +成等比数列．（1）求n a 和n S ； （2）设n b =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：112n T ≤<． 【试题来源】广东省湛江市2021届高三上学期高中毕业班调研测试题【答案】（1）21n a n =-，2n S n =；（2）证明见解析．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，首项为1a ， 由10n n a a +->，得0d >，则223173,(12),a a a a =⎧⎨=+⎩所以121113,(2)(126).a d a d a a d +=⎧⎨+=++⎩ 解得11a =，2d =，所以21n a n =- ，()21212n n n S n +-==．（2）因为111(1)1n b n n n n ===-++． 所以1111111111112233411n T n n n =-+-+-++-=-<++． 因为111nT n =-+单调递增．所以112n T T ≥=，综上，112T ≤<．【名师点睛】数列求和的方法：（1）倒序相加法：如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些像可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列：或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如a n =(−1)n f(n)类型，可采用两项合并求解．2．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知71a =，432S =-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年高三上学期期中考试（理）【答案】（1）213n a n =-；（2）212n n S n =-，6n =时，n S 的最小值为36-．【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，由71a =，432S =-，即1161434322a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩，解得1112a d =-⎧⎨=⎩， 所以()11213n a a n d n =+-=-． （2）()221111122n n n S na d n n n n n -=+=-+-=-， ()2212636n S n n n =-=--，所以当6n =时，n S 的最小值为36-． 3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，且10n n S a +-=（*n N ∈）． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()21log nn b n a =-+⋅，数列()*N 1n n b ⎧⎫⎬⎭∈⎨⎩的前n 项和为n S ，求证：112n S ≤<．【试题来源】四川省内江市第六中学2020-2021学年高三上学期第三次月考（文） 【答案】（1）12n na =；（2）证明见解析． 【解析】（1）因为10n n S a +-=①，所以()11102n n S a n --+-=≥②，①-②得112n n a a -=，2n ≥； 所以数列{}n a 是首项和公比都为12的等比数列，于是1111222n n n a -⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭，*n N ∈．（2）由（1）得()()21log 1n n b n a n n =-+⋅=+，所以()111111n b n n n n ==-++， 所以12111111*********11n n S b b b n n n =+++=-+-++-=-++． 又易知函数()111f x x =-+在[)1,+∞上是增函数，且()1f x <，而112S =， 所以112n S ≤<． 【名师点睛】裂项相消法求数列和的常见类型： （1）等差型111111n n n n a a da a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列； （2=（3）指数型()11nn n a a a a +-=-；（4）对数型11log log log n aa n a n na a a a ++=-． 4．已知数列{}n a 前n 项和n S 满足()2*n S n n N =∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【试题来源】甘肃省张掖市第二中学2020-2021学年高二第一学期期中考试（文） 【答案】（1）21n a n =-；（2）n 21nT n =+． 【解析】（1）当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()22121n S n n n =-=-+，121n n n a S S n -=-=-， 当1n =时上式也符合．所以21n a n =-． （2）由题意知，可设111111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭n 12111111(1)()()23352121n T b b b n n ⎡⎤=+++=-+-++-⎢⎥-+⎣⎦则n 11122121n T n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭． 5．从①前n 项和()2n S n p p R =+∈②611a =且122n n n a a a ++=+这两个条件中任选一个，填至横线上，并完成解答．在数列{}n a 中，11a =，________，其中n *∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1a ，n a ，m a 成等比数列，其中m ，n *∈N ，且1m n >>，求m 的最小值． （注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分）【试题来源】广东省深圳、汕头、潮州、揭阳名校2021届高三上学期联考 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．【解析】选择①：（1）当1n =时，由111S a ==，得0p =．当2n ≥时，由题意，得()211n S n -=-，所以()1212n n n a S S n n -=-=-≥．经检验，11a =符合上式，所以()*21n a n n =-∈N ．（2）由1a ，n a ，m a 成等比数列，得21nm a a a =， 由（1）得()*21n a n n =-∈N，即()()221121n m -=⨯-．化简，得2211221222m n n n ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭． 因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 有最小值5． 选择②：（1）由122n n n a a a ++=+，得121 n n n n a a a a +++-=-， 所以数列{}n a 是等差数列．设数列{}n a 的公差为d ． 因为11a =，61511a a d =+=，所以2d =． 所以()()*1121n a a n d n n =+-=-∈N ．（2）因为1a ，n a ，m a 成等比数列，所以21nm a a a =，即()()221121n m -=⨯-． 化简，得2211221222m n n n ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭．因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 有最小值5．【名师点睛】()()1112n n n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩，检验11a =是否符合通项是解题的关键． 6．在数列{}n a 中，12a =，1541n n a a n +=-+，*n N ∈． （1）证明：数列{}n a n -是等比数列； （2）求{}n a 的前n 项和n S ．【试题来源】河南省焦作市2020-2021学年高二（上）期中（理） 【答案】（1）证明见解析；（2）()1(1)5142n n n +-+． 【解析】（1）1541n n a a n +=-+，*n N ∈，1(1)5()n n a n a n +∴-+=-．因为111a -=， ∴数列{}n a n -是首项为1，公比为5的等比数列，（2）由（1）可得15n n a n --=，15n n a n -∴=+，{}n a ∴的前n 项和211555(12)n n S n -=+++⋯⋯++++⋯⋯+()115(1)51(1)1(1)(51)15251242nnn n n n n n n ⨯-+-++=+=+=-+-- 7．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知410a =-，864S =-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年高三上学期期中考试（文）【答案】（1）426n a n =-；（2）2224n S n n =-，6n =时，n S 的最小值为72-．【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，由410a =-，864S =-得11310878642a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩， 解得1224a d =-⎧⎨=⎩，所以{}n a 的通项公式为()2241426n a n n =-+-=-；（2）由（1）得()()1244822422n n n a a n n S n n +-===-， 又222242(6)72n S n n n -=--=，所以当6n =时，n S 取得最小值，最小值为72-．8．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22S a +是12a 和4a 的等差中项，12a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令222log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【试题来源】天津市滨海新区大港一中2021届高三（上）第一次月考【答案】（1）2nn a =；（2）12443n n n +-++．【解析】（1）正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22S a +是12a 和4a 的等差中项， 设公比为q ，则22142()2S a a a +=+，整理得12142(2)2a a a a +=+，由于12a =，即32(24)42q q +=+，即34q q =，因为0q >，所以解得2q ，所以2nn a =．（2）由于222log 24nn n b a a n =+=+，所以12324446424n n T n =++++++++12(2462)(444)n n =++++++++4(41)(1)41n n n -=++-12443n n n +-=++．9．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，92a =-，且满足3a ，13a ，8a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12n n n n b a a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求使得n S 最小的n 的值． 【试题来源】河南省焦作市2020—2021学年高三年级第一次模拟考试（文） 【答案】（1）329n a n =-；（2）7【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ()0d ≠，因为92a =-，3a ，13a ，8a 成等比数列，所以21338a a a =，即()()()224262d d d -+=----，整理得230d d -=， 解得3d =或0d =（舍去）．故()99329n a a n d n =+-=-． （2）当19n ≤≤时，0n a <，当10n ≥时，0n a >，因为12n n n n b a a a ++=，当17n ≤≤时，0n b <，当10n ≥时，0n b >， 而且()()8891052110b a a a ==-⨯-⨯=，9910112148b a a a =-⨯⨯==-， 因此97S S >，所以使得n S 最小的n 为7．10．已知各项均为正数的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==，且236a a ⋅=，238b b a ⋅=（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （2）若2221log n n n c a b +=⋅，求12n c c c +++…．【试题来源】黑龙江宾县第一中学2020-2021学年高三第一学期第二次月考（理） 【答案】（1）n a n =，12n n b -=；（2）()21nn +．【解析】（1）因为{}n a 为等差数列，且11a =，所以可设公差为d ， 则()11n a n d =+-，所以21a d =+，312a d =+． 因为236a a ⋅=，所以()()1126d d ++=，解得1d =或52d =-． 又等差数列{}n a 各项均为正数，所以52d =-不合题意，舍去，所以n a n =． 因为{}n b 为等比数列，且11b =，所以可设公比为(0)q q ≠，则1n n b q -=．因为2388b b a ⋅==，所以128q q ⋅=，解得2q，满足各项均为正数，所以12n n b -=．（2）由（1）知1,2n n n a n b -==，所以2221log n n n c a b +=⋅()121n n =+111=21n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭．所以12n c c c +++111111122231n n ⎛⎫=-+-++- ⎪+⎝⎭11121n ⎛⎫=⋅- ⎪+⎝⎭()21n n =+．11．在等比数列{}n a 中，已知11a =，48a =． （1）求数列{}n a 的通项n a ；（2）在等差数列{}n b 中，若15b a =，82b a =，求数列{}n b 前n 项和n S ． 【试题来源】甘肃省临夏州临夏中学2019-2020学年高二（上）第二次月考（文） 【答案】（1）12n na ；（2）217n S n n =-．【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由题设知3418a q a ==， 2q ∴=，因此12n na ；（2）由（1）可得415216b a ===，822b a ==，∴公差81281b b d -==--，2(1)16(2)172n n n S n n n -∴=+⨯-=-． 12．已知数列{}n a 满足12a =，()121n n n a a n++=．设nn a b n=． （1）求证：数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和为n S ．【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年高三上学期期中考试（文） 【答案】（1）证明见解析；（2）()1122n n S n +=-+．【解析】（1）由()121n n n a a n++=，可得121n n a an n+=⋅+，即12n n b b += 则数列{}n b 是以1121a b ==为首项，2为公比的等比数列； （2）由（1）可得，2nn n a b n ==，2n n a n ∴=⋅，23122232...2n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯，则有()23412122232 (122)nn n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，两式作差得()231111212222 (22222212)n n n n n n nS n n n ++++--=++++-⨯=-⨯=--⨯-()1122n n S n +∴=-+．13．在数列{}n a 中，11a =，24a =，2134n n n a a a ++=-． （1）求证：数列{}1n n a a +-是等比数列；（2）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n S m m ≥-对任意正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围．【试题来源】河南省商丘市虞城高级中学2020~2021学年高三11月质量检测（理）【答案】（1）证明见详解；（2）1⎡⎣．【解析】（1）由2134n n n a a a ++=-，得214133n n n a a a ++=-． 则()1112111141113333n n n n n n n n nn n n n a a a a a a a a a a a a a ++++++++----===---，所以数列{}1n n a a +-是以213a a -=为首项，13为公比的等比数列． （2）由（1）得11211333n n n n a a -+-⎛⎫-=⨯=⎪⎝⎭．当2n ≥时，()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-+⋅⋅⋅+-01231111133333n -=+++++⋅⋅⋅+2111119134122313n n --⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+=-⨯ ⎪⎝⎭-．当1n =时，11a =适合11191223n n a -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．所以11191223n n a -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭，所以1111927111273122432413nnn S n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-⨯=⨯+-⎪⎝⎭-． 因为11191223n n a -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭是关于n 的递增数列，且110a =>，所以n S 也关于n 单调递增，从而n S 的最小值为11S =．因为22n S m m ≥-恒成立．所以212m m ≥-，解得11m ≤≤．即实数m的取值范围是1⎡+⎣．【名师点睛】根据数列不等式恒成立求参数时，一般通过分离参数，得到参数大于某个式子或小于某个式子恒成立的问题，再根据分离后的式子，由函数（或数列）的性质求出最值，即可求解参数范围．14．已知等差数列{}n a 满足323a a -=，2414a a +=． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n S 是公比为正数的等比数列{}n b 的前n 项和，若22b a =，46b a =，求7S ． 【试题来源】湖北省荆州市滩桥高级中学2019-2020学年高二下学期期末（文） 【答案】（1）32n a n =-；（2）254． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为32243,14-=+=a a a a ．所以3d =，12414a d +=，解得11a =， 所以()1132n a a n d n =+-=-； （2）设等比数列{}n b 的公比为q ，则2124b b q a ===，341616b b q a ===，解得122b q =⎧⎨=⎩或122b q =-⎧⎨=-⎩， 因为公比为正数，所以122b q =⎧⎨=⎩，所以()7721225412S ⨯-==-． 15．已知数列{}n a 为正项等比数列，12a =，数列{}n b 满足25b =，且11122332(21)2n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=+-．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若11{}n n b b +的前n 项和n T ，求n T 的取值范围． 【试题来源】甘肃省永昌县第一中学2020-2021学年高三上学期第一次月考数学理试题【答案】（1）2nn a =，21n b n =+；（2）[11,)156． 【解析】（1）令1n =，则2112(21)26a b =+-=，所以13b =，令2n =，则112226a b a b +=，所以2220a b =，因为25b =，所以24a =， 设数列{}n a 的公比为q ，则212a q a ==，所以2n n a =． 因为11122332(21)2n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=+-，①当2n ≥时，112233112(23)2nn n a b a b a b a b n --+++⋅⋅⋅+=+-，② 由①-②得1[2(21)2][2(23)2](21)2n n nn n a b n n n +=+--+-=+，所以21n b n =+，当1n =时也成立，所以21n b n =+，（2）由（1）可知111111()(21)(23)22123n n b b n n n n +==-++++， 所以1111111[()()()]235572123n T n n =-+-+⋅⋅⋅+-++111()2323n =-+， 因为n T 随着n 的增大而增大，当1n =时，1115T =，当n →+∞时，16n T →， 所以n T 的取值范围是11[,)156． 【名师点睛】数列求和的方法常用的有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法．要根据数列通项的特征，灵活选择方法求和． 16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且312n n S a =-*()n N ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n b 中，15b =，1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式．【试题来源】安徽省马鞍山市和县第二中学2020-2021学年高一上学期期中联考（理）【答案】（1）123n n a -=⋅；（2）134n n b -=+．【解析】（1）当n =1时，11312a a =-， 所以 a 1=2． 当2n ≥时，因为312n n S a =- ①，1131(2)2n n S a n --=-≥ ②，①-②得133(1)(1)22n n n a a a -=---，即13n n a a -=所以 数列{}n a 是首项为2，公比为3的等比数列，所以123n n a -=⋅．（2）因为1n n n b b a +=+，所以当2n ≥时，2123n n n b b --=+⋅ ，……，13223b b =+⋅，2123b b =+⋅，相加得 12111132(333)523413n n n n b b ----=+⋅+++=+⋅=+-．当n =1时，111345b -+==，所以 134n n b -=+．【名师点睛】递推数列求数列通项公式，对于形如a (n+1)=a n +f (n )或者a (n+1)-a n =f (n )的关系式，其中f (n )可以为常数(此时为等差数列)、也可以是关于n 的函数如一次函数、分式函数、二次函数和指数函数等，此时求解通项公式时均可使用累加法．17．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11a =，211n n n a S S ++=+．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()121213n n n a n n a b a a +=-+，求数列{}n b的前n 项和n T ．【试题来源】湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（三）【答案】（1）n a n =；（2）()1114213n n T n ⎡⎤=-⎢⎥+⋅⎣⎦．【解析】（1）由211n n n a S S ++=+，又有21n n n a S S -=+，()2n ≥，两式相减得()22112n n n n a a a a n ++-=+≥，因为0n a >，所以()112n n a a n +-=≥，又11a =，22121a a a a =++，解得22a =，满足11n n a a +-=，因此数列{}n a 是等差数列，首项1a 为1，公差d 为1， 所以()11n a a n d n =+-=； （2）()()1121213n n n b n n +=⋅-+()()113111114212134213213n n n n n n n -⎡⎤⎛⎫=-⋅=-⎢⎥ ⎪-+-⋅+⋅⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以 ()()1201121111111111...41333433534213213n n n n T b b b n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅-⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎣⎦()1114213n n ⎡⎤=-⎢⎥+⋅⎣⎦． 【名师点睛】常见的数列中可进行裂项相消的形式：（1）()11111n n n n =-++；（2）211114122121n n n ⎛⎫=- ⎪--+⎝⎭； （31=-（4）()()1121121212121n n n n n ++=-----． 18．已知数列{}n a 中，11a =，13nn n a a a +=+． （1）求证：112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足()312nn n n nb a =-⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式1(1)2n n n nT λ--<+对一切*n ∈N 恒成立，求λ的取值范围． 【试题来源】河南省南阳市第一中学校2020-2021学年高三上学期第四次月考（文） 【答案】（1）证明见解析，231n na =-；（2）23λ-<<． 【解析】（1）由13n n n a a a +=+得13131n n n n a a a a ++==+，即11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 又111322a +=，所以112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以32是为首项，3为公比的等比数列． 所以111333222n n n a -+=⨯=，即231n n a =-． （2）()12231nnnn n b an n --⋅==， 所以0122111111123(1)22222n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯， 211111112(1)22222n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯． 两式相减得121011111222222222n n n n T n n -+=+++⋯+-⨯=-，所以1242n n n T -+=-，所以12(1)42nn λ--<-． 令()()*1242n f n n -=-∈N ，易知()f n 单调递增，若n 为偶数，则()21242f n λ-<-≤，所以3λ<； 若n 为奇数，则()11242f n λ--<-≤，所以2λ-<，所以2λ>-． 综上所述23λ-<<．【名师点睛】利用构造等比数列可求解形如递推关系1n n a pa q -=+的通项公式；根据数列的单调性求数列的最值，可求得参数的取值范围．19．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，满足410S =，55a =，n T 为数列{}n b 的前n 项和，满足()4413nn T =-，*n ∈N ． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设211log n n n n c b a a +=+，若数列{}n c 的前n 项和100n C <，求n 的最大值． 【试题来源】河南省南阳市第一中学校2020-2021学年高三上学期第四次月考（文） 【答案】（1）*n a n n N =∈，，4n nb ，*n N ∈；（2）9．【解析】（1）{}n a 为等差数列，因为410S =，55a =，所以14610a d +=，145a d +=，解得11a =，1d =，所以*n a n n N =∈，．因为()4413n n T =-，所以当2n ≥时，()()11444141433n n n n n n b T T --=-=---=； 当1n =时，114b T ==．综上，4n n b ，*n N ∈．（2）()2111log 4211nn c n n n n n ⎛⎫=+=+- ⎪++⎝⎭，所以()12111111212312231n n C c c c n n n ⎛⎫=+++=+++++-+-++- ⎪+⎝⎭()()111111n n n n n n n ⎛⎫=++-=++ ⎪++⎝⎭，所以()11nn C n n n =+++， 因为()11001n nC n n n =++<+， 当1n ≥时，()1111n C n n n =++-+为关于n 的递增数列，8999010010C C <=+<，101011010011C =+>，所以n 的最大值为9． 【名师点睛】已知数列的通项和前n 项和的递推关系，常采用多递推一项再相减的思想；通过研究数列的单调性，进而研究数列项的最值或解不等式，是常用的方法．20．在①112n n a a +=-，②116n n a a +-=-，③a n +1＝a n +n -8这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的S n 存在最大值，则求出最大值；若问题中的S n 不存在最大值，请说明理由．问题：设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝4，_________，求{a n }的通项公式，并判断S n 是否存在最大值．【试题来源】湖北省宜昌市秭归县第一中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】答案不唯一，具体见解析 【解析】选①因为112n n a a +=-，a 1＝4，所以{a n }是首项为4，公比为12-的等比数列，所以13114()()22n n n a --=⨯-=-．当n 为奇数时，14[1()]812(1)13212n n nS --==++，因为81(1)32n +随着n 的增加而减少，所以此时S n 的最大值为S 1＝4．当n 为偶数时，81(1)32n n S =-，且818(1)4323n n S =-<<．综上，S n 存在最大值，且最大值为4．选②因为116n n a a +-=-，a 1＝4，所以{a n }是首项为4，公差为16-的等差数列，所以11254(1)()666n a n n =+--=-+．由125066n -+≥，得n ≤25，所以S n 存在最大值，且最大值为S 25（或S 24），因为2525241254()5026S ⨯=⨯+⨯-=，所以S n 的最大值为50．选③因为a n +1＝a n +n -8，所以a n +1-a n ＝n -8，所以a 2-a 1＝-7，a 3-a 2＝-6，…，a n -a n -1＝n -9，则12132n a a a a a a -=-+-+…21(79)(1)171622n n n n n n a a --+---++-==，又a 1＝4，所以217242n n n a -+=．当n ≥16时，a n ＞0，故S n 不存在最大值．21．已知数列{}n a 中，11a =，1(1)(2)1n n n a n a ++-+=*()n N ∈，n S 为数列{}n a 的前n项和．数列{}n b 满足*1()n nb n N S =∈．（1）证明：数列{}n a 是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ．问是否存在正整数,(3)p q p q <<，使得3,,p q T T T 成等差数列？若存在，求出,p q 的值；若不存在，请说明理由．【试题来源】江苏省无锡市锡山高级中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】（1）证明见解析，n a n =；（2）存在，11,5q p ==或27,6q p == 【解析】（1）1(1)(2)1n n n a n a ++-+=，则()()1111211212n n a a n n n n n n +-==-++++++， 设1n n a c n =+，则112c =，11112n n c c n n +-=-++，1122111111111123211n n n n n nc c c c c c c c n n n n ---=-+-+⋅⋅⋅+-+=-+⋅⋅⋅+-+=-=+++，故11n n a nc n n ==++，n a n =，11n n a a --=，故数列{}n a 为等差数列．（2）()12n n n S +=，()1211211⎛⎫===- ⎪++⎝⎭n nb S n n n n ， 故1111122122311n n T n n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=⎪++⎝⎭． 3,,p q T T T 成等差数列，则32p q T T T =+，即423112p q p q =+++， 化简整理得到：5730pq p q +--=，即()()7532p q -+=-，3p q <<，故58q +>，且*,p q N ∈，故516q +=或532q +=，故11,5q p ==或27,6q p ==．22．在①123,1,a a a +成等差数列；②430S =；③12364a a a =三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并作答．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和．若12()n n S a a n N *=-∈，10a ≠，且满足（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11b =，*1()n n n b b a n N +-=∈，求数列{}n b 的通项公式． 【试题来源】江苏省无锡市锡山高级中学2020-2021学年高二上学期期中【答案】（1）2nn a =；（2）21n n b =-．【解析】（1）因为12n n S a a =-，所以1112n n S a a ++=-，所以()1111122n n n n n a S S a a a a +++--==--，化简得12n n a a +=，若选择①：因为123,1,a a a +成等差数列，所以()21321a a a +=+即()1112214a a a +=+，解得12a =，所以数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，所以2nn a =；若选择②：因为2413411530a a a a S a =+++==，所以12a =，所以数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，所以2nn a =； 若选择③：因为31231864a a a a ==，所以12a =，所以数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，所以2nn a =； （3）由（1）得2nn a =，则12n n n b b +-=，所以当2n ≥时，()()()()2311213243112222n n n n b b b b b b b b b b --+-+-+-+⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+= ()1122112n n ⋅-==--，当1n =时，11b =满足上式，所以21nn b =-．23．阅读本题后面有待完善的问题，在下列三个关系①1112n n a a +=+，②12n n a a +=+，③21n n S a =-中选择一个作为条件，补充在题中横线标志的__________处，使问题完整，并解答你构造的问题．（如果选择多个关系并分别作答，在不出现逻辑混乱的情况下，按照第一个解答给分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，对任意的*N n ∈，都有_________；等比数列{}n b 中，对任意的*N n ∈，都有0n b >，2123n n n b b b ++=+，且11b =，问：是否存在*N k ∈，使得对任意的*N n ∈，都有n k k n a b a b ≤？若存在，试求出k 的值；若不存在，试说明理由． 【试题来源】江苏省南京市三校2020-2021学年高三上学期期中联考 【答案】答案见解析【解析】设等比数列{}n b 的公比为q ．因为对任意的*n ∈N ，都有2123n n n b b b ++=+，所以223q q =+，解得1q =-或32． 因为对任意的*n ∈N ，都有0n b >，所以0q >，从而32q =． 又11b =，所以132n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭．显然，对任意的*n ∈N ，0n b >．所以，存在*n ∈N ，使得对任意的*n ∈N ，都有n k k n a b a b ≤，即n kn ka ab b ≤． 记nn na cb =，*n ∈N ．下面分别就选择①②③作为条件进行研究． ①因为对任意的*n ∈N ，都有1112n n a a +=+，即()11222n n a a +-=-．又11a =，即1210a -=-≠，所以20n a -≠，从而12122n n a a +-=-，所以数列{}2n a -是等比数列，公比为12，得1122n n a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1122n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭．所以1123n n n n n a c b --==，从而()1112321n n n nc c ++-=-． 由()1121122132n nn n +--≤⇔≥⇔≥，得12c c =，当1n ≥时，1n n c c +<， 所以，当1n =或2时，n c 取得最大值，即nna b 取得最大值． 所以对任意的*n ∈N ，都有2121n n a a a b b b ≤=，即11n n a b a b ≤，22n n a b a b ≤， 所以存在1k =，2，使得对任意的*n ∈N ，都有n k k n a b a b ≤． ②因为对任意的*n ∈N ，都有12n n a a +=+，即12n n a a +-=，所以数列{}n a 是等差数列，公差为2．又11a =，所以12(1)21n a n n =+-=-．所以12(21)03n n n n a c n b -⎛⎫==-> ⎪⎝⎭，从而12(21)3(21)n n c n c n ++=-． 由2(21)51253(21)2n n n n +≤⇔≥⇔≥-，得当2n ≤时，1n n c c +>；当3n ≥时，1n n c c +<，所以，当3n =时，n c 取得最大值，即nna b 取得最大值． 所以对任意的*n ∈N ，都有33n n a a b b ≤，即33n n a b a b ≤． 所以存在3k =，使得对任意的*N n ∈，都有n k k n a b a b ≤． ③因为对任意的*N n ∈，都有21n n S a =-，所以1121n n S a ++=-， 从而()1111212122n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=---=-，即12n n a a +=．又110a =>，所以0n a >，且12n na a +=， 从而数列{}n a 是等比数列，公比为2，得12n na ．所以1304n n n n a c b -⎛⎫==> ⎪⎝⎭，从而1314n n c c +=<，所以1n n c c +<， 所以，当1n =时，n c 取得最大值，即nna b 取得最大值． 所以对任意的*N n ∈，都有11n n a a b b ≤，即11n n a b a b ≤． 所以存在1k =，使得对任意的*N n ∈，都有n k k n a b a b ≤． 24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21(*)n n S a n N =-∈ （1）求1a 和2a 的值；（2）证明数列{}n a 是等比数列，并求出{}n a 的通项公式；（3）设13log n n b a =，n n n c a b =，求数列{}nc 的前n 项和n T ．【试题来源】广东省东莞市第四高级中学2020-2021学年高二上学期期中【答案】（1）113a =；219a =；（2）证明见解析，13n n a =；（3）n T =332443nn +-⨯． 【解析】（1）1121S a =-，得113a =，当2n =时，2221S a =-，所以1222()1a a a +=-，解得219a =．（2）由21n n S a =-，1121(2)n n S a n --=-≥， 两式相减得11(2)3n n a a n -=≥，即11(2)3n n a n a -=≥， 所以数列{}n a 是以首项为13，公比为13的等比数列，得13n n a =． （3）13log n n b a n ==，3n n nnn c a b ==， 则12n n T c c c =+++=21111112(1)3333n n n n -⨯+⨯++-⨯+⨯，得3×n T =21231333n-n++++，上两式相减得 2×n T =1+211113333n n n -+++-=311)233n n n--（， 得n T =13133244323443n n nn n-+--=-⨯⨯⨯． 【名师点睛】已知条件是n S 和n a 的关系的，可用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来求通项公式．如果一个数列的结构是等差数列乘以等比数列，则数列求和采用错位相减求和法． 25．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S n a +=-．（1）证明数列{}1n a +是等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 中，12b =，12n n b b +=-，求数列{}n n a b +的前n 项和n T ． 【试题来源】云南省德宏州2020届高三上学期期末教学质量检测（文）【答案】（1）证明见解析；121n n a +=-；（2）n T 2224n n +=+-．【解析】（1）证明：当1n =时，13a =，当2n ≥时，22n n S n a +=- ①，11(1)22n n S n a --∴+-=- ②， 由①－②得121n n a a -+=， 1221n n a a -∴+=+，即1121n n a a -+=+，故数列{}1n a +是以2为公比，首项为114a +=的等比数列，112n n a +∴+=，得121n n a +=-．（2）由题得12nnb b ，故{}n b 是以2为公差，2为首项的等差数列，2n b n ∴=．()231(242)222n n T n n +∴=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-()412(1)22212n n n n n --=+⨯+--2224n n +=+-．【名师点睛】本题考查数列求通项公式与求和问题，求数列和常用的方法： （1）等差+等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法； （3）11n n n b a a +=（数列{}n a 为等差数列）：裂项相消法； （4）等差⨯等比数列：错位相减法．26．已知数列{}n a 满足12a =，1(1)2(2)n n n a n a ++=+ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，求证：2nn S a <．【试题来源】浙江省温州市2020-2021学年高三上学期11月高考适应性测试（一模） 【答案】（1）1(1)2n n a n -=+⋅；（2）证明见解析．【解析】（1）因为1(1)2(2)n n n a n a ++=+，所以12(2)(1)n n a n a n ++=+，则 1123411123134512(1)2(2)234n n n n n a a a a n a a a n n a a a a n ---+⎛⎫=⋅⋅⋅=⋅⋅⨯⨯⨯⨯=+⋅≥ ⎪⎝⎭当1n =时，12a =满足上式，所以1(1)2n n a n -=+⋅．（2）0121223242(1)2n n S n -=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅①，123122232422(1)2n n n S n n -=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅②，①-②得123122222(1)2n n n S n --=+++++-+⋅，化简得()12122(1)2212---=+-+⋅=-⋅-n nn nS n n ，所以2nn S n =⋅，又2(1)2220nnnn n a S n n -=+⋅-⋅=>，所以2n n S a <．【名师点睛】本题考查根据递推关系式求数列的通项公式，考查错位相减法求和，难度一般．（1）当数列{}n a 满足()1n na f n a +=时，可采用累乘法求通项公式； （2）当数列n n n c ab =⋅，其中{}n a 和{}n b 分别为等差数列与等比数列时，采用错位相减法求和．27．已知数列{}n a 满足122nn n a a a +=+，且12a =，数列{}n b 满足1n n n n b b a b +-=，且12b =，(n *∈N )． （1）求证：数列1na 是等差数列，并求通项n a ； （2）解关于n 的不等式：22n a nb <．【试题来源】江苏省盐城市一中、射阳中学等五校2020-2021学年高二上学期期中联考 【答案】（1）证明见解析，2n a n=；（2）{}2,3,4n ∈． 【解析】（1）由122nn n a a a +=+，且12a =知，0n a >， 故有11112n n a a +-=得，所以数列1na 是等差数列， 由于1111,22d a ==，所以12n n a =，即2n a n=； （2）由1n n n n b b a b +-=得，121n n n b n a b n++=+=，由累乘法得，(1)n b n n =+ 则不等式22na nb <可化为2(1)nn n <+，即(1)12nn n +>， 令(1),2n nn n c n N *+=∈，则1n c >． 当1n =时，11c =，不符合；当2n =时，2312c =>，符合；当3n =时，3312c =>，符合；当4n =时，4514c =>，符合； 当5n =时，515116c =<，不符合；而当5,n n N *≥∈时，()()1111(2)1(2)(1)0222n n n nn n n n n n n c c ++++++-+-=-=<故当5,n n N *≥∈不符合；综上所述，{}2,3,4n ∈．28．已知数列1n n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和为n ，数列{}n b 满足11b =，1n n n b b a +-=，*n N ∈．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足22nnn a c b =，*n N ∈，求满足126316n c c c +++≤的最大整数n ． 【试题来源】浙江省杭州地区重点中学2020-2021学年高三上学期期中 【答案】（1）1n a n =+()n N ∈，(1)2n n nb +=()n N ∈；（2）证明见解析 【解析】（1）因为1212111n nn a a a +++=---①， 2n ≥时，1211211111n n n a a a --+++=----②，由-①②得11n na =-，所以1(2)n a n n =+≥， 当1n =时，1111a =-，12a =符合1n a n =+，所以1n a n =+()n N ∈，因为11n n n b b a n +-==+，所以()()()121321n n n b b b b b b b b -=+-+-++-1121n b a a a -=++++(1)122n nn +=+++=， 当1n =时，11b =也符合，(1)2n n nb +=． （2）因为22224(21)(1)n n n a n c b n n +==+，22224(21)114()(1)(1)n n c n n n n +==-++， 所以，12216341(1)16n c c c n ⎛⎫+++=-≤ ⎪+⎝⎭，21631(1)64n -≤+，211(1)64n ≥+，2(1)64n +≤，所以()18n +≤即7n ≤． 所以满足126316n c c c +++≤的最大整数n 为7． 29．已知数列{a n }中，已知a 1＝1，a 2＝a ，a n ＋1＝k (a n ＋a n ＋2)对任意n ∈N *都成立，数列{a n }的前n 项和为S n ．（1）若{a n }是等差数列，求k 的值； （2）若a ＝1，k ＝－12，求S n ． 【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二第一学期第二次联考试题 （文）【答案】（1）12k =；（2）()2,21,,2n n n k S k n n k*-=-⎧=∈⎨=⎩N ． 【解析】（1）若{}n a 是等差数列，则对任意*n N ∈，121n n n n a a a a +++-=-， 即122n n n a a a ++=+，所以()1212n n n a a a ++=+，故12k =. （2）当12k =-时，()1212n n n a a a ++=-+，即122n n n a a a ++=--． 所以()211n n n n a a a a ++++=-+，故()32211n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+， 所以，当n 是偶数时，()()()1234112341n n n n n S a a a a a a a a a a a a --=++++++=++++++()122na a n =+=， 当n 是奇数时，()23212a a a a +=-+=-，()()()12341123451n n n n n S a a a a a a a a a a a a a --=++++++=+++++++11(2)22n n -=+⨯-=- 综上，()2,21,,2n n n k S k n n k*-=-⎧=∈⎨=⎩N ．30．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，918a =，10110S =． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）设1n nb S =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二第一学期第二次联考试题 （文） 【答案】（1）2n a n =；（2）1n nT n =+． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由911018181045110a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得12a d ==，所以，()112n a a n d n =+-=，故数列{}n a 的通项公式2n a n =； （2）由（1）可得()()2212n n n S n n +==+， 所以()111111n n b S n n n n ===-++， 所以111111111122334111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【名师点睛】数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和； （3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法．31．已知等比数列{}()n a n N*∈满足234a aa =，13223a a a +=．（1）定义：首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”，证明：数列{}n a 是“M -数列”；（2）记等差数列{}n b 的前n 项和记为n S ，已知59b =，864S =，求数列{}21n n b a -的前n 项的和n T ．【试题来源】内蒙古呼和浩特市2021届高三质量普查调研考试（理） 【答案】（1）证明见解析；（2）()4727nn T n =-+．【解析】（1）由题意可设公比为q ，则23311a q a q =，得11a =，211123a a q a q +=得1q =或2q，所以数列{}n a 是“M -数列”．（2）设数列{}n b 的公差为d ，易得()458464b b S +==得47b =， 所以542d b b =-=，得21n b n =-，由（1）知若1q =，则2143n n b a n -=-，所以()214322n n n T n n +-==-，若2q，则12n na ，所以()121432n n nb a n --=-⋅，所以()()0221125292472432n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-①， 所以()()2312125292472432n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-②，①-②得()()231125292472432n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-，所以()()1812143212n n nT n ---=+---，所以()4727nn T n =-+．32．在①535S =，②13310a a +=，③113n a n a +=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，其前n 项和为n S ，________，且1a ，412a ，9a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()1nn n b a =-，求1ni i b =∑．【试题来源】江苏省南通市平潮高级中学2020-2021学年高二上学期期中【答案】（1）32n a n =-；（2）13,213,2n i i nn b n n =⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩∑是偶数是奇数 【解析】{}n a 是各项均为正数的等差数列，1a ，412a ，9a 成等比数列． 所以241914a a a =⋅，即()()2111348a d a a d +=⋅+，整理可得221132690a a d d +-=，若选①：535S =，则1545352a d ⨯+=，即127a d +=， 由127a d +=可得172a d =-代入221132690a a d d +-=可得2230d d --=，解得3d =或1d =-（舍），所以11a =， 所以()11332n a n n =+-⨯=-，若选②：13310a a +=，即152d a =-，代入221132690a a d d +-=得2111762450a a -+=，即 ()()11117450a a --=解得113a d =⎧⎨=⎩或145175017a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-<⎪⎩不符合题意；若选③：113n a n a +=+，则419a a =+，9124a a =+， 代入241914a a a =⋅可得21126270a a +-= 解得113a d =⎧⎨=⎩或1273a d =-⎧⎨=⎩不符合题意；综上所述：113a d =⎧⎨=⎩，32n a n =-，（2）()()132nn b n =--，()()()()()12311231111111nn nin n i b a a a a a --==-+-+-+-+-∑()()()()114710135132n nn n -=-+-++--+--当n 为偶数时，13322ni i n n b ==⨯=∑，当n 为奇数时，()11131322ni i n nb =--=-+-⨯=∑，所以13,213,2ni i nn b n n =⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩∑是偶数是奇数．【名师点睛】本题得关键点是分别由条件①②③结合1a ，412a ，9a 成等比数列计算出1a 和d 的值，由{}n a 是各项均为正数的等差数列，所以10a >，0d >，第二问中()1nn nb a =-正负交错的数列求和，需要用奇偶并项求和，注意分n 为奇数和偶数讨论．33．已知函数f (x )=x a ( a 为常数，a >0且a ≠1 )（1）在下列条件中选择一个条件___ (仅填序号)，使得依次条件可以推出数列{a n }为等差数列，并说明理由；①数列{f (n a )}是首项为4，公比为2的等比数列； ②数列{f (n a )}是首项为4，公差为2的等差数列；③数列{f (n a )}是首项为4 ，公比为2的等比数列的前n 项和构成的数列；（2）在（1）的选择下，若a =2，b =12n⎛⎫ ⎪⎝⎭(n ∈*N )，求数列{n a ．n b }的前n 项和n S ， 【试题来源】江苏省南京师大附中2020-2021学年高三上学期期中 【答案】（1） 选①，理由见解析（2）332n n +-【解析】（1）②③不能推出数列{a n }为等差数列，①能推出数列{a n }为等差数列． 若选①，数列{f (n a )}是首项为4，公比为2的等比数列， 所以f (n a )1+1422n a n n a -==⨯=， 解得1log 2(1)log 2n n a a a n +==+，故数列{a n }为等差数列，若选②，数列{f (n a )}是首项为4，公差为2的等差数列， 所以()42(1)22n f a n n =+-=+，即22na a n =+，解得log 22)a n a n =+（，故数列{a n }不为等差数列，若选③，数列{f (n a )}是首项为4 ，公比为2的等比数列的前n 项和构成的数列，因为首项为4 ，公比为2的等比数列的前n 项和为4(12)4(21)12n n n S -==--，所以()4(21)na n n f a a==-，解得log 4(21)n n a a =-，显然数列{a n }不为等差数列．（2）由（1）及a =2可得1n a n =+，所以11(1)22nn n n n a b n +⎛⎫=+⋅= ⎪⎝⎭， 234345n+112222n n S =+++++，345111345n+1222222n n S +∴=+++++， 两式相减可得23451111111112222222n n n n S ++∴=++++++-。
2020┄2021学年度第一学期期中考试高二试题
2020┄2021学年度第一学期期中考试高二化学试题第I卷（选择题共50分）一、选择题（本题包括25小题，每小题只有一个选项符合题意）1．下列物质中，不属于电解质的是（）Ａ． CO2Ｂ． CH3COOH Ｃ．一水合氨Ｄ． BaSO42．下列有关叙述中正确的是（）A．难溶于水的电解质一定是弱电解质B．强电解质水溶液的导电能力一定比弱电解质水溶液的导电能力强C．易溶于水的电解质一定是强电解质D．强电解质在水溶液中的电离过程是不可逆的3．下列物质的水溶液pH大于7的是（）Ａ． Na2CO3Ｂ．（NH4）2SO4Ｃ． KNO3Ｄ． Na2SO44．在一定温度下，将100mL 6mol•L—1的H2SO4与过量锌粉反应，为了减缓反应速率，但又不影响生成氢气的总量，可向反应物中加入适量的（）Ａ． Na2CO3固体Ｂ． CH3COONa固体Ｃ． NaNO3固体Ｄ． Na2SO4固体5．可用于精确测量溶液pH的是Ａ．甲基橙Ｂ． pH试纸Ｃ． pH计Ｄ．酚酞6．下列各组离子，在溶液中能大量共存的是（）Ａ． H+、K+、NO3—、CO32—Ｂ． Al3+、Na+、HCO3—、SO42—Ｃ． NH4+、Na+、OH—、HCO3—Ｄ． Fe3+、H+、Cl—、NO3—7．将10mL 0.1mol•L—1氨水与10mL 0.1mol•L—1盐酸混合后，溶液中各种离子的物质的量浓度由大到小的顺序是（）Ａ． c（Cl—）>c（NH4+）>c（OH—）>c（H+）Ｂ． c（H+）>c（OH—）>c （Cl—）>c（NH4+）Ｃ． c（Cl—）>c（NH4+）>c（H+）>c（OH—）Ｄ． c（H+）>c（Cl—）>c （NH4+）>c（OH—）8．下列溶液一定呈碱性的是（）A．pH = 8的某电解质的溶液. B．c（OH—）＞1×10-7mol•L—1的溶液C．含有OH—的溶液D． c（OH—）＞c（H＋）的溶液9．已知某温度下，Ka（HCN）= 6.2×10-10mol·L—1、Ka（HF）= 6.8×10-4mol·L—1、Ka（CH3COOH）= 1.8×10-5mol·L—1、、Ka（HNO2）= 6.4×10-6mol·L—1。
2020-2021学年江苏省南京市金陵中学、一中高一(上)期中数学试卷及答案
2020-2021学年江苏省南京市金陵中学、一中高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x﹣2≥0，x∈R}，则A∩B＝（）A．{3}B．{2，3}C．{2}D．{1，2，3} 2．（5分）命题“∃x0∈R，x02﹣1≥0”的否定是（）A．∃x0∈R，x02﹣1＜0B．∃x0∈R，x02﹣1≤0C．∀x∈R，x2﹣1≤0D．∀x∈R，x2﹣1＜03．（5分）函数y＝+的定义域为（）A．[﹣1，]B．（﹣∞，]C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，﹣1]∪（﹣1，]4．（5分）函数f（x）＝的最小值为（）A．3B．2C．2D．15．（5分）函数y＝的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）若函数f（x）＝在R上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣4，﹣]B．[，4]C．[﹣3，4]D．[3，]7．（5分）若关于x的不等式ax2+2x+1＜0有实数解，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．[0，1]C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，1）8．（5分）若非空数集G满足“对于∀a，b∈G，都有a+b，a﹣b，ab∈G，且当b≠0时，∈G”，则称G是一个“理想数集”，给出下列四个命题：①0是任何“理想数集”的元素；②若“理想数集”M有非零元素，则N*⊆M③集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}是一个“理想数集”；④集合T＝{x|x＝a+b，a，b∈Z}是“理想数集”．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9．（5分）以下说法中正确的有（）A．“f（x）是定义在R上的偶函数”的含义是“存在x∈R，使得f（﹣x）＝f（x）”B．“f（x）是定义在R上的增函数”的含义是“∀x1，x2∈R，当x1＜x2时，有f（x1）＜f （x2）”C．设M，P是两个非空集合，则M⊆P的含义是“对于∀x∈M，x∈P”D．设f（x）是定义在R上的函数，则“f（0）＝0”是“f（x）是奇函数”的必要条件10．（5分）已知a，b，c，d∈R，则下列结论中正确的有（）A．若ac2＞bc2，则a＞bB．若，则a＞bC．若a＞b＞0，ac＞bd＞0，则c＞dD．若，则a＜b11．（5分）下列说法中不正确的有（）A．设A，B是两个集合，若A∪B＝A∩B，则A＝BB．函数y＝与y＝为同一个函数C．函数y＝+的最小值为2D．设y＝f（x）是定义在R上的函数，则函数y＝xf（|x|）是奇函数12．（5分）若函数f（x）同时满足：①对于定义域内的∀x，都有f（x）+f（﹣x）＝0；②对于定义域内的∀x1，x2当x1≠x2时，都有＜0则称函数f（x）为“颜值函数”．下列函数中，是“颜值函数”的有（）A．f（x）＝B．f（x）＝x2C．f（x）＝D．f（x）＝﹣2x三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13．（5分）设x∈R，则“0＜x＜5”是“|x﹣1|＜1”的条件（填“充分且不必要”“必要且不充分”“充要”“既不充分也不必要”）．14．（5分）已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）＝x2+x+2，则f（1）+g（1）＝．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝a与函数y＝|x﹣a|+2﹣a的图象有且只有一个公共点，则实数a的值为．16．（5分）已知x＞0，y＞0，x+2y＝2，则的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上17．（10分）计算：（1）lg52+lg8+lg5•lg20+（lg2）2；（2）π0﹣（8）﹣2+×（4）﹣1．18．（12分）设全集U＝R，已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝{x|＜0}，C＝{x|m﹣1≤x≤2m}．（1）求A∩B和（∁U A）∪B；（2）若B∩C＝C，求实数m的取值范围．19．（12分）设函数f（x）＝x2+bx+c（b，c∈R），已知f（x）＜0的解集为区间（﹣1，3）．（1）求b，c的值；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣ax在区间[0，2]上的最小值为﹣4，求实数a的值．20．（12分）根据试验检测，一辆P型运输汽车在高速公路上匀速行驶时，耗油率（L/h）近似与车速（km/h）的平方成正比，且当车速是100km/h时，耗油率为L/h．已知A，B两地间有一条长130km的高速公路，最低限速60km/h，最高限速120km/h．若某环保公司用一辆该型号运输车将垃圾从A地转运至B地，已知过路费为40元，支付给雇用司机的工资平均每小时80元．假设汽油的价格是8元/L，汽车匀速行驶（起步、必要的减速或提速等忽略不计），问：当行车速度为多少时，转运一次的总费用最低？最低为多少元？21．（12分）已知函数f（x）＝为奇函数．（1）求实数a的值；（2）求证：f（x）在区间[2，+∞）上是增函数；（3）若对任意的x1，x2∈[2，4]，都有f（x1）﹣f（x2）≤m2﹣2m﹣2，求实数m的取值范围．22．（12分）设f（x）是R上的减函数，且对任意实数x，y，都有f（x+y）＝f（x）+f（y）；函数g（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（2）若a＝﹣1，b＝5，且______．（①存在t∈[﹣3，2]；②对任意t∈[﹣3，2]），不等式f（g（t）﹣1）+f（3t+m）＞0成立，求实数m的取值范围；请从以上两个条件中选择一个填在横线处，并完成求解．（3）当a＞0时，若关于x的不等式g（x）≤0与g（g（x））≤3的解集相等且非空，求a的取值范围．2020-2021学年江苏省南京市金陵中学、一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x﹣2≥0，x∈R}，则A∩B＝（）A．{3}B．{2，3}C．{2}D．{1，2，3}【分析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{1，2，3}，B＝{x|x≥2}，∴A∩B＝{2，3}．故选：B．【点评】本题考查了列举法、描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）命题“∃x0∈R，x02﹣1≥0”的否定是（）A．∃x0∈R，x02﹣1＜0B．∃x0∈R，x02﹣1≤0C．∀x∈R，x2﹣1≤0D．∀x∈R，x2﹣1＜0【分析】根据特称命题的否定形式进行判断【解答】解：命题“∃x0∈R，x02﹣1≥0”的否定是∀x∈R，x2﹣1＜0，故选：D．【点评】本题考查了命题的否定，属于基础题．3．（5分）函数y＝+的定义域为（）A．[﹣1，]B．（﹣∞，]C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，﹣1]∪（﹣1，]【分析】可看出，要使得原函数有意义，需满足，然后解出x的范围即可．【解答】解：要使原函数有意义，则，解得且x≠﹣1，∴原函数的定义域为：．故选：D．【点评】本题考查了函数定义域的定义及求法，区间的定义，考查了计算能力，属于基础题．4．（5分）函数f（x）＝的最小值为（）A．3B．2C．2D．1【分析】先研究函数在每一段的单调性，分别求出它们的最值，然后求解函数的最值，就是大中取大，小中取小．【解答】解：对于函数函数f（x）＝，当x≤1时，f（x）＝x2﹣2x+3．在（﹣∞，1]上递减；所以此时y min＝f（1）＝2，当x＞1时，f（x）＝x+≥2＝2，当且仅当x＝，取等号，综上可知原函数的最小值为：2．故选：C．【点评】本题考查分段函数的性质，一般来讲分段函数的处理原则：分段函数，分段处理．如本题求最值，应先在每一段上求它们的最大（小）值，最后大中取大．小中取小．5．（5分）函数y＝的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断．【解答】解：函数y＝的定义域为实数集R，关于原点对称，函数y＝f（x）＝，则f（﹣x）＝﹣＝﹣f（x），则函数y＝f（x）为奇函数，故排除A，C，当x＞0时，y＝f（x）＞0，故排除D，故选：B．【点评】本题考查了函数图象的识别，属于基础题．6．（5分）若函数f（x）＝在R上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣4，﹣]B．[，4]C．[﹣3，4]D．[3，]【分析】根据分段函数的单调性的判断方法建立不等式组，即可求解．【解答】解：要满足已知题意，只需，解得，故选：B．【点评】本题考查了分段函数的单调性，考查了学生解不等式的能力，属于基础题．7．（5分）若关于x的不等式ax2+2x+1＜0有实数解，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．[0，1]C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，1）【分析】讨论a＝0、a＜0和a＞0时，求出不等式有解时a的取值范围．【解答】解：a＝0时，不等式为2x+1＜0，有实数解，满足题意；a＜0时，一元二次不等式为ax2+2x+1＜0，不等式对应的二次函数开口向下，所以有实数解；a＞0时，一元二次不等式为ax2+2x+1＜0，应满足△＝4﹣4a＞0，解得a＜1；综上知，a的取值范围是（﹣∞，1）．故选：D．【点评】本题考查了不等式有解的应用问题，也考查了分类讨论思想，是基础题．8．（5分）若非空数集G满足“对于∀a，b∈G，都有a+b，a﹣b，ab∈G，且当b≠0时，∈G”，则称G是一个“理想数集”，给出下列四个命题：①0是任何“理想数集”的元素；②若“理想数集”M有非零元素，则N*⊆M③集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}是一个“理想数集”；④集合T＝{x|x＝a+b，a，b∈Z}是“理想数集”．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用已知条件中理想数集的定义判断命题的真假，题目中给出了对两个实数的四种运算，要满足对四种运算的封闭，只有一一验证．【解答】解：对于①，设a＝b∈G，显然有a﹣a∈G，即0∈G，故0是任何“理想数集”的元素，故①正确；对于②：当a＝b时，显然有，则1+1，2+1，…，N+1∈M，所以N*∈M，故②正确；对于③：易知2∈P，而，故③错误；对于④：a，b∈Z，故1+2∈T，而，故④错误．故选：B．【点评】本题考查学生对于新定义题型的理解和把握能力，理解“理想数集”的定义是解决该题的关键，题目着重考察学生的构造性思维，属于难题．二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9．（5分）以下说法中正确的有（）A．“f（x）是定义在R上的偶函数”的含义是“存在x∈R，使得f（﹣x）＝f（x）”B．“f（x）是定义在R上的增函数”的含义是“∀x1，x2∈R，当x1＜x2时，有f（x1）＜f （x2）”C．设M，P是两个非空集合，则M⊆P的含义是“对于∀x∈M，x∈P”D．设f（x）是定义在R上的函数，则“f（0）＝0”是“f（x）是奇函数”的必要条件【分析】根据偶函数的定义即可判断A；由增函数的定义即可判断B；由子集的定义即可判断C；由充分必要条件的定义即可判断D．【解答】解：对于A，“f（x）是定义在R上的偶函数”的含义是“对任意的x∈R，都有f（﹣x）＝f（x）”，故A错误；对于B，“f（x）是定义在R上的增函数”的含义是“∀x1，x2∈R，当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2）”，故B正确；对于C，由子集的定义可知C正确；对于D，若f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，若f（x）是定义在R上的函数，且f（0）＝0，不能得出f（x）为奇函数，例如f（x）＝x2，故“f（0）＝0”是“f（x）是奇函数”的必要条件，故D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查函数奇偶性单调性的定义，考查子集的定义，充要条件的定义，属于中档题．10．（5分）已知a，b，c，d∈R，则下列结论中正确的有（）A．若ac2＞bc2，则a＞bB．若，则a＞bC．若a＞b＞0，ac＞bd＞0，则c＞dD．若，则a＜b【分析】由不等式的基本性质逐一判断即可．【解答】解：对于A，若ac2＞bc2，则a＞b，故A正确；对于B，若＜0＜，则a＜0＜b，故B错误；对于C，取a＝9，b＝1，c＝2，d＝3，满足a＞b＞0，ac＞bd＞0，但c＜d，故C错误；对于D，若，则﹣＝＞0，则b＞a，故D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．11．（5分）下列说法中不正确的有（）A．设A，B是两个集合，若A∪B＝A∩B，则A＝BB．函数y＝与y＝为同一个函数C．函数y＝+的最小值为2D．设y＝f（x）是定义在R上的函数，则函数y＝xf（|x|）是奇函数【分析】由集合的基本运算即可判断A；判断定义域与解析式是否相同即可判断B；利用换元及对勾函数的性质即可判断选项C；由函数的奇偶性的定义即可判断D．【解答】解：对于A，设A，B是两个集合，若A∪B＝A∩B，则A＝B，故A正确；对于B，函数y＝＝|x|，函数y＝＝x，两函数定义域相同，解析式不同，故不是同一函数，故B错误；对于C，令t＝≥，则y＝+t在[，+∞）上单调递增，所以当t＝时，取得最小值为，所以函数y＝+的最小值为，故C错误；对于D，函数y＝g（x）＝xf（|x|），g（﹣x）＝﹣xf（|﹣x|）＝﹣xf（|x|）＝﹣g（x），所以函数y＝xf（|x|）是奇函数，故D正确．故选：BC．【点评】本题主要考查即可得基本运算，同一函数的判断，函数最值的求法，以及函数奇偶性的判断，属于中档题．12．（5分）若函数f（x）同时满足：①对于定义域内的∀x，都有f（x）+f（﹣x）＝0；②对于定义域内的∀x1，x2当x1≠x2时，都有＜0则称函数f（x）为“颜值函数”．下列函数中，是“颜值函数”的有（）A．f（x）＝B．f（x）＝x2C．f（x）＝D．f（x）＝﹣2x【分析】先理解已知两条性质反映的函数性质，①f（x）为奇函数，②f（x）为定义域上的减函数，由此判断各选项是否同时具备两个性质即可．【解答】解：依题意，性质①反映函数f（x）为定义域上的奇函数，性质②反映函数f （x）为定义域上的减函数，对于A，f（x）＝为定义域上的奇函数，但不是定义域上的减函数，其单调区间为（﹣∞，0），（0，+∞），故A不是“颜值函数”；对于B，f（x）＝x2为定义域上的偶函数，故B不是“颜值函数”；对于C，函数f（x）＝的图象如图所示，显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，故C是“颜值函数”．对于D，f（x）＝﹣2x为定义域上的奇函数，且是定义域上的减函数，故D是“颜值函数”．故选：CD．【点评】本题主要考查了抽象表达式反映的函数性质，对新定义函数的理解能力，奇函数的定义，函数单调性的定义，基本初等函数的单调性和奇偶性及其判断方法，复合函数及分段函数的单调性和奇偶性的判断方法，属于中档题．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13．（5分）设x∈R，则“0＜x＜5”是“|x﹣1|＜1”的必要且不充分条件（填“充分且不必要”“必要且不充分”“充要”“既不充分也不必要”）．【分析】解出关于x的不等式，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．【解答】解：∵|x﹣1|＜1，∴0＜x＜2，∵0＜x＜5推不出0＜x＜2，0＜x＜2⇒0＜x＜5，∴0＜x＜5是0＜x＜2的必要且不充分条件，即0＜x＜5是|x﹣1|＜1的必要且不充分条件故答案为：必要且不充分．【点评】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题．14．（5分）已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）＝x2+x+2，则f（1）+g（1）＝2．【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（﹣1）﹣g（﹣1）＝（﹣1）2﹣1+2＝2，结合函数的奇偶性可得f（﹣1）﹣g（﹣1）＝f（1）+g（1），即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）﹣g（x）＝x2+x+2，则f（﹣1）﹣g（﹣1）＝（﹣1）2﹣1+2＝2，又由函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，则f（﹣1）﹣g（﹣1）＝f（1）+g（1）＝2．故答案为：2．【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝a与函数y＝|x﹣a|+2﹣a的图象有且只有一个公共点，则实数a的值为1．【分析】由已知可转化为函数y＝2a﹣2与函数y＝|x﹣a|的图象只有一个交点，利用函数的图象性质即可求解．【解答】解：由已知可令a＝|x﹣a|+2﹣a，可得：2a﹣2＝|x﹣a|，可看成函数y＝2a﹣2与函数y＝|x﹣a|图象只有一个公共点，而函数y＝|x﹣a|是以x＝a为对称轴，最小值为0的函数，所以要满足题意只需令2a﹣2＝0，即a＝1，故答案为：1【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，属于基础题．16．（5分）已知x＞0，y＞0，x+2y＝2，则的最小值为16．【分析】由＝+++＝++（+）（x+2y），利用基本不等式即可求得最小值．【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+2y＝2，∴＝+++＝++（+）（x+2y）＝++4≥4+2＝16，当且仅当＝时，取得最小值16．故答案为：16．【点评】本题考查了利用基本不等式性质求最值问题，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上17．（10分）计算：（1）lg52+lg8+lg5•lg20+（lg2）2；（2）π0﹣（8）﹣2+×（4）﹣1．【分析】（1）利用对数的运算性质求解．（2）利用有理数指数幂的运算性质求解．【解答】解：（1）原式＝2lg5+2lg2+lg5•lg20+（lg2）2＝2+lg5•（2lg2+lg5）+（lg2）2＝2+（lg5）2+2lg5•lg2+（lg2）2＝2+（lg5+lg2）2＝2+1＝3．（2）原式＝1﹣+×＝1﹣16+2＝﹣13．【点评】本题主要考查了对数的运算性质和有理数指数幂的运算性质，是基础题．18．（12分）设全集U＝R，已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝{x|＜0}，C＝{x|m﹣1≤x≤2m}．（1）求A∩B和（∁U A）∪B；（2）若B∩C＝C，求实数m的取值范围．【分析】（1）可以求出集合A＝{x|x≤﹣2或x≥3}，B＝{x|1＜x＜5}，然后进行交集、并集和补集的运算即可；（2）根据B∩C＝C可得出C⊆B，然后讨论C是否为空集：C＝∅时，m﹣1＞2m；C≠∅时，，然后解出m的范围即可．【解答】解：（1）A＝{x|x≤﹣2或x≥3}，B＝{x|1＜x＜5}，U＝R，∴A∩B＝{x|3≤x＜5}，∁U A＝{x|﹣2＜x＜3}，（∁U A）∪B＝{x|﹣2＜x＜5}；（2）∵B∩C＝C，∴C⊆B，①C＝∅时，m﹣1＞2m，解得m＜﹣1；②C≠∅时，，解得；综上得实数m的取值范围为．【点评】本题考查了描述法的定义，交集、并集和补集的定义及运算，全集的定义，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．19．（12分）设函数f（x）＝x2+bx+c（b，c∈R），已知f（x）＜0的解集为区间（﹣1，3）．（1）求b，c的值；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣ax在区间[0，2]上的最小值为﹣4，求实数a的值．【分析】（1）由f（x）＜0的解集为区间（﹣1，3）可知x＝﹣1，x＝3是x2+bx+c＝0的解，然后结合方程的根与系数关系可求；（2）g（x）＝f（x）﹣ax＝x2﹣（a+2）x﹣3开口向上，对称轴x＝，然后结合对称轴与已知区间的位置关系进行分类讨论可求．【解答】解：（1）由f（x）＜0的解集为区间（﹣1，3）可知x＝﹣1，x＝3是x2+bx+c ＝0的解，故，解得，b＝﹣2，c＝﹣3，（2）g（x）＝f（x）﹣ax＝x2﹣（a+2）x﹣3开口向上，对称轴x＝，（i）即a≥2时，函数g（x）在[0，2]上单调递减，g（x）min＝g（2）＝﹣2a ﹣3＝﹣4，解得，a＝（舍），（ii）即a≤﹣2时，函数g（x）在[0，2]上单调递增，g（x）min＝g（0）＝﹣3≠﹣4，（舍），（iii）当0即﹣2＜a＜2时，函数g（x）在[0，2]上先减后增，g（x）min＝g （）＝﹣3﹣＝﹣4，解得，a＝4（舍）或a＝0，综上，a＝0．【点评】本题主要考查了二次函数与二次不等式的相互转化关系的应用及二次函数闭区间上最值的求解，体现了转化思想及分类讨论思想的应用．20．（12分）根据试验检测，一辆P型运输汽车在高速公路上匀速行驶时，耗油率（L/h）近似与车速（km/h）的平方成正比，且当车速是100km/h时，耗油率为L/h．已知A，B两地间有一条长130km的高速公路，最低限速60km/h，最高限速120km/h．若某环保公司用一辆该型号运输车将垃圾从A地转运至B地，已知过路费为40元，支付给雇用司机的工资平均每小时80元．假设汽油的价格是8元/L，汽车匀速行驶（起步、必要的减速或提速等忽略不计），问：当行车速度为多少时，转运一次的总费用最低？最低为多少元？【分析】设车速为xkm/h，用x表示出油耗和行车时间，得出总费用关于x的函数，根据基本不等式求出费用最小值．【解答】解：设车速为xkm/h，耗油率m（x）＝kx2，则由题意可得m（100）＝10000k ＝，∴k＝＝．∴从A地到B地消耗汽油的价钱为，司机的工资为＝，故从A地到B地的总费用f（x）＝≥2＝300元．当且仅当，即x＝80∈[60，120]时取等号．∴从A地到B地的车速是80km/h时，转运一次的总费用最低为300元．【点评】本题考查函数模型的选择及应用，考查函数解析式求解，函数最值的计算，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝为奇函数．（1）求实数a的值；（2）求证：f（x）在区间[2，+∞）上是增函数；（3）若对任意的x1，x2∈[2，4]，都有f（x1）﹣f（x2）≤m2﹣2m﹣2，求实数m的取值范围．【分析】（1）由f（x）为奇函数，结合奇函数的定义代入可求；（2）结合单调性定义，设2≤x1＜x2，然后利用作差法比较f（x1）与f（x2）的大小即可判断；（3）结合（2）中单调性即可求解函数最值．【解答】解：（1）因为f（x）＝为奇函数，x≠0，所以f（﹣x）＝﹣f（x），所以，整理可得，ax＝0，所以a＝0，（2）证明：由（1）可得f（x）＝＝x+，设2≤x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝x1﹣x2+，＝x1﹣x2+＝（x1﹣x2）（1﹣）＜0，所以f（x1）＜f（x2），所以f（x）在区间[2，+∞）上是增函数；（3）由（2）可得f（x）＝x在[2，4]上单调递增，故f（x）max＝f（4）＝5，f（x）min＝f（2）＝4，若对任意的x1，x2∈[2，4]，都有f（x1）﹣f（x2）≤m2﹣2m﹣2，所以1≤m2﹣2m﹣2，解得m≥3或m≤﹣1．【点评】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的应用及判断，还考查了函数单调性在求解最值中的应用．22．（12分）设f（x）是R上的减函数，且对任意实数x，y，都有f（x+y）＝f（x）+f（y）；函数g（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（2）若a＝﹣1，b＝5，且______．（①存在t∈[﹣3，2]；②对任意t∈[﹣3，2]），不等式f（g（t）﹣1）+f（3t+m）＞0成立，求实数m的取值范围；请从以上两个条件中选择一个填在横线处，并完成求解．（3）当a＞0时，若关于x的不等式g（x）≤0与g（g（x））≤3的解集相等且非空，求a的取值范围．【分析】（1）令x＝y＝0，可得f（0），再令y＝﹣x，结合奇偶性的定义，即可得到结论；（2）分别选①②，将原不等式转化为﹣m＞t2+2t+4对t∈[﹣3，2]成立或恒成立，结合参数分离和二次函数的最值求法，可得所求范围；（3）考虑g（x）＝0与g（g（x））＝3的解集相等，求得b＝3，再由g（x）≤0的解集，结合判别式的符号和因式分解，可得所求范围．【解答】解：（1）令x＝y＝0，则f（0）＝f（0）+f（0），即f（0）＝0，再令y＝﹣x，则f（0）＝f（x）+f（﹣x），即f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）为R上的奇函数；（2）①存在t∈[﹣3，2]．f（g（t）﹣1）+f（3t+m）＝f[（g（t）﹣1）+（3t+m）]＞0＝f（0），由f（x）是R上的减函数可得g（t）﹣1+（3t+m）＜0，即t2﹣t+4+3t+m＜0，也即t2+2t+4+m＜0，可得﹣m＞t2+2t+4对t∈[﹣3，2]成立，y＝t2+2t+4＝（t+1）2+3在t＝﹣1时取得最小值4，则﹣m＞3，即m＜﹣3；选②任意t∈[﹣3，2]，f（g（t）﹣1）+f（3t+m）＝f[（g（t）﹣1）+（3t+m）]＞0＝f（0），由f（x）是R上的减函数可得g（t）﹣1+（3t+m）＜0，即t2﹣t+4+3t+m＜0，也即t2+2t+4+m＜0，可得﹣m＞t2+2t+4在任意t∈[﹣3，2]恒成立，y＝t2+2t+4＝（t+1）2+3在t＝2时取得最大值12，则﹣m＞12，即m＜﹣12；（3）当a＞0时，若关于x的不等式g（x）≤0与g（g（x））≤3的解集相等且非空，可得g（x）＝0与g（g（x））＝3的解集相等，可得g（0）＝3，即b＝3，g（x）＝x2+ax+3≤0，可得△＝a2﹣12≥0，即a≥2（a≤﹣2舍去），又g（g（x）﹣3＝（x2+ax+3）2+a（x2+ax+3）+3﹣3＝（x2+ax+3）（x2+ax+3+a），由题意可得x2+ax+3+a≥0恒成立，可得△＝a2﹣4（a+3）≤0，解得﹣2≤a≤6，又a＞0，可得0＜a≤6，综上可得2≤a≤6．【点评】本题考查抽象函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及不等式恒成立和成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。
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1 C. —3 D. — 3
4.在平面直角坐标系 xoy 中，若椭圆 C：x92
+
y2 m
=1
与双曲线 T：x2—
y2 m=1
有相同的焦点，
则双曲线 T 的渐近线方程为（ ）
1
1
A. y= ±4 x B. y= ±2 x C. y= ±4x D. y= ±2x
5. 在平面直角坐标系 xoy 中，直线 x+2y-4=0 与两坐标轴分别交于点 A，B，圆 C 经过 A，
B，且圆心在 y 轴上，则圆 C 的方程为（ ）
A. x2+y2+6y-16=0 B. x2+y2-6y-16=0 C. x2+y2+8y-9=0 D .x2+y2-8y-9=0
6.如图，已知圆柱的底面半径为 2，与圆柱底面成 600 角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，
则该椭圆的焦距为（ ）
A．2 2 B. 2 3 C. 4 2 D. 4 3
四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系 xoy，根据图上尺寸, 溢流孔 ABC
所在抛物线的方程为
, 溢流孔与桥拱交点 A 的横．坐．标．为
.
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算 骤.
17.(本题满分 10 分)
在①sin(A-B)=sinB+sinC；②2acosC=2b+c；③△ABC 的面积 S=
现有如图所示的“鳖臑”四面体 PABC，其中 PA⊥平面 ABC，PA=AC=1，BC= 2 ，则四面
体 PABC 的外接球的表面积为
。
16．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的
冲击，现设桥拱上有如图所示的 4 个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且
→→ ON =3 MO，求证：△PQN 的面积 S 为定值.
5
方八面体以及他们的过渡形态. 其中立方八面体（如图所示）有 24 条棱、12 个顶点，14 个
面（6 个正方形、八个正三角形），它是将立方体“切”去 8 个“角”后得到的几何体.已知一个
立方八面体的棱长为 1，则（ ）
A．它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为 2.
B.它的任意两条不共面的棱所在的直线都互相垂直.
Hale Waihona Puke 20. (本题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xoy 中，已知圆 O：x2+y2=1,点 A，B 是直线
x-y+m=0(m∈R)与圆 O 的两个公共点，点 C 在圆 O 上. （1）若△ABC 为正三角形，求直线 AB 的方程。
→→ （2）若直线 x-y- 3 =0 上存在点 P 满足AP•BP=0，求实数 m 取值范围.
9．已知两个不重合的平面 α,β 及直线 m,下列说法正确的是（ ）
A．若 α⊥β，m⊥α, 则 m||β B. 若 α||β，m⊥α, 则 m⊥β
C. 若 m||α，m⊥β, 则 α⊥β D. 若 m||α，m||β, 则 α||β
10.
在平面直角坐标系 xoy 中，F1，F2 分别为椭圆
x2 4
2
34 7
,求 λ 的值.
4
22. (本题满分 12 分)
在平面直角坐标系 xoy 中，已知椭圆 C：xa22
+
y2 b2
=1
(a>b>0)的左顶点与上顶点的距离为
2 3 ，且经过点（2， 2 ）.
（1） 求椭圆 C 的方程.
（2） 直线 l 与椭圆 C 相交于 P、Q 两点，M 是 PQ 的中点.若椭圆上存在点 N 满足
C.它的体积为
52 3
D. 它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等.
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
2
13．在平面直角坐标系 xoy 中，已知直线 l1 ：x+ay=0 和直线 l2 :2x-(a-3)y-4=0,a∈R,若 l1 与l2
平行，则 l1 与 l2 之间的距离为
21. (本题满分 12 分)
如图，在四棱锥 P-ABCD 中，平面 PAB⊥平面 ABCD，PA⊥AB，PA=AD=4，BC||AD
→→ AB⊥AD，AB=BC=2，PE=λPC（0≤λ<1）.
（1）
若
1 λ=2
，使直线 DE 与平面 ABE 所成角的正弦值
（2）设二面角 B-AE-C 的大小为 θ，若|cosθ|=
7．如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，BC1 与 B1C 相交于点 O，∠A1AB=∠A1AC=600，
∠BAC=900，A1A=3，AB=AC=2，则线段 AO 的长度为（ ）
29
23
A. 2 B. 29 C. 2 D. 23
1
8.
在平面直角坐标系 xoy 中，已知双曲线 C：xa22
-
离为（ ）
A．12 B. 1
C. 2
D. 4
→
→
→→
2. 已知向量 a =（-2，3，-1）， b =（4，m，n），且 a || b ，其中 m,n∈R,则 m+n=( )
A．4 B. -4 C. 2 D. —2
3．若
sinθ=2cos(π-θ),则
π tan(θ+4
)的值为（
）
A．3 B.
1 3
.
14．在空间直角坐标系中，若三点 A（1，-1，a）,B(2,a,0),C(1,a,-2)满足：
→→ →
（AB-2AC）⊥BC，则实数 a 的值为
.
15. 词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著《九章算术•商功》，是古代人对一
些特殊锥体的称呼.在《九章算术•商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，
A．距离坐标为（0，0）的点有 1 个 B．距离坐标为（0，1）的点有 2 个
C．距离坐标为（1，2）的点有 4 个 D．距离坐标为（x，x）的点在一条直线上
12．20 世纪 50 年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金
属反应可以人工合成金刚石，人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立
3 4
（a2-b2-c2）三个条
件中任选一个（填序号），补充在下面的问题中，并解答该问题.
已知△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,
,D 是边 BC 上的一点，
∠BAD=
π 2
，且
b=4,c=2,求线段 AD 的长.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
3
18．(本题满分 12 分)
在平面直角坐标系 xoy 中，已知圆 F：（x-2）2+y2=1,动圆 M 与直线 l ：x=-1 相切且与圆 F
外切. (1)记圆心 M 的轨迹为曲线 C，求曲线 C 的方程； (2)已知 A（-2，0），曲线 C 上一点 P 满足 PA= 2 PF，求∠PAF 的大小.
19. (本题满分 12 分) 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，D 为 AC 中点. （1） 求证：B1A||平面 C1BD （2）若 AA1=AB=3,BC=4,且 AB⊥BC，求三棱锥 B-B1C1D 的体积
+
y2 2
=1
的左、右焦点，点 A 在椭圆
上.若△AF1F2 为直角三角形，则 AF1 的长度可以为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，直线 l1,l2 相交于点 O，点 P 是平面内的任意一点，若 x,y 分别表示点 P 到l1,l2 的
距离，则称（x,y）为点 P 的“距离坐标”.下列说法正确的是（ ）
江苏省南京市 2020-2021 学年高二第一学期期中调研测试
数学试题
一、单项选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．在平面直角坐标系 xoy 中，已知抛物线 x2=2y 的焦点为 F，准线为 l ,则点 F 到准线 l 的距
y2 b2
=1
(a>0,b>0)的左焦点为 F，点 M，N
在双曲线 C 上，若四边形 OFMN 为菱形，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A． 3 -1．B. 5 -1 C. 3 +1 D. . 5 +1
二、多项选择题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有
多项符 合题目要求 .全部选 对的得 5 分，部分选对的得 3 分，不选或有选错的得 0 分.