江苏省南京市2020-2021学年高二第一学期期中调研测试数学试题
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江苏省南京市 2020-2021 学年高二第一学期期中调研测试
数学试题
一、单项选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．在平面直角坐标系 xoy 中，已知抛物线 x2=2y 的焦点为 F，准线为 l ,则点 F 到准线 l 的距
20. (本题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xoy 中，已知圆 O：x2+y2=1,点 A，B 是直线
x-y+m=0(m∈R)与圆 O 的两个公共点，点 C 在圆 O 上. （1）若△ABC 为正三角形，求直线 AB 的方程。
→→ （2）若直线 x-y- 3 =0 上存在点 P 满足AP•BP=0，求实数 m 取值范围.
离为（ ）
A．12 B. 1
C. 2
D. 4
→
→
→→
2. 已知向量 a =（-2，3，-1）， b =（4，m，n），且 a || b ，其中 m,n∈R,则 m+n=( )
A．4 B. -4 C. 2 D. —2
3．若
sinθ=2cos(π-θ),则
π tan(θ+4
)的值为（
）
A．3 B.
1 3
21. (本题满分 12 分)
如图，在四棱锥 P-ABCD 中，平面 PAB⊥平面 ABCD，PA⊥AB，PA=AD=4，BC||AD
→→ AB⊥AD，AB=BC=2，PE=λPC（0≤λ<1）.
（1）
若
1 λ=2
，使直线 DE 与平面 ABE 所成角的正弦值
（2）设二面角 B-AE-C 的大小为 θ，若|cosθ|=
方八面体以及他们的过渡形态. 其中立方八面体（如图所示）有 24 条棱、12 个顶点，14 个
面（6 个正方形、八个正三角形），它是将立方体“切”去 8 个“角”后得到的几何体.已知一个
立方八面体的棱长为 1，则（ ）
A．它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为 2.
B.它的任意两条不共面的棱所在的直线都互相垂直.
B，且圆心在 y 轴上，则圆 C 的方程为（ ）
A. x2+y2+6y-16=0 B. x2+y2-6y-16=0 C. x2+y2+8y-9=0 D .x2+y2-8y-9=0
6.如图，已知圆柱的底面半径为 2，与圆柱底面成 600 角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，
则该椭圆的焦距为（ ）
A．2 2 B. 2 3 C. 4 2 D. 4 3
y2 b2
=1
(a>0,b>0)的左焦点为 F，点 M，N
在双曲线 C 上，若四边形 OFMN 为菱形，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A． 3 -1．B. 5 -1 C. 3 +1 D. . 5 +1
二、多项选择题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有
多项符 合题目要求 .全部选 对的得 5 分，部分选对的得 3 分，不选或有选错的得 0 分.
现有如图所示的“鳖臑”四面体 PABC，其中 PA⊥平面 ABC，PA=AC=1，BC= 2 ，则四面
体 PABC 的外接球的表面积为
。
16．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的
冲击，现设桥拱上有如图所示的 4 个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且
+
y2 2
=1
的左、右焦点，点 A 在椭圆
上.若△AF1F2 为直角三角形，则 AF1 的长度可以为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，直线 l1,l2 相交于点 O，点 P 是平面内的任意一点，若 x,y 分别表示点 P 到l1,l2 的
距离，则称（x,y）为点 P 的“距离坐标”.下列说法正确的是（ ）
1 C. —3 D. — 3
4.在平面直角坐标系 xoy 中பைடு நூலகம்若椭圆 C：x92
+
y2 m
=1
与双曲线 T：x2—
y2 m=1
有相同的焦点，
则双曲线 T 的渐近线方程为（ ）
1
1
A. y= ±4 x B. y= ±2 x C. y= ±4x D. y= ±2x
5. 在平面直角坐标系 xoy 中，直线 x+2y-4=0 与两坐标轴分别交于点 A，B，圆 C 经过 A，
9．已知两个不重合的平面 α,β 及直线 m,下列说法正确的是（ ）
A．若 α⊥β，m⊥α, 则 m||β B. 若 α||β，m⊥α, 则 m⊥β
C. 若 m||α，m⊥β, 则 α⊥β D. 若 m||α，m||β, 则 α||β
10.
在平面直角坐标系 xoy 中，F1，F2 分别为椭圆
x2 4
A．距离坐标为（0，0）的点有 1 个 B．距离坐标为（0，1）的点有 2 个
C．距离坐标为（1，2）的点有 4 个 D．距离坐标为（x，x）的点在一条直线上
12．20 世纪 50 年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金
属反应可以人工合成金刚石，人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立
→→ ON =3 MO，求证：△PQN 的面积 S 为定值.
5
7．如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，BC1 与 B1C 相交于点 O，∠A1AB=∠A1AC=600，
∠BAC=900，A1A=3，AB=AC=2，则线段 AO 的长度为（ ）
29
23
A. 2 B. 29 C. 2 D. 23
1
8.
在平面直角坐标系 xoy 中，已知双曲线 C：xa22
-
C.它的体积为
52 3
D. 它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等.
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
2
13．在平面直角坐标系 xoy 中，已知直线 l1 ：x+ay=0 和直线 l2 :2x-(a-3)y-4=0,a∈R,若 l1 与l2
平行，则 l1 与 l2 之间的距离为
2
34 7
,求 λ 的值.
4
22. (本题满分 12 分)
在平面直角坐标系 xoy 中，已知椭圆 C：xa22
+
y2 b2
=1
(a>b>0)的左顶点与上顶点的距离为
2 3 ，且经过点（2， 2 ）.
（1） 求椭圆 C 的方程.
（2） 直线 l 与椭圆 C 相交于 P、Q 两点，M 是 PQ 的中点.若椭圆上存在点 N 满足
.
14．在空间直角坐标系中，若三点 A（1，-1，a）,B(2,a,0),C(1,a,-2)满足：
→→ →
（AB-2AC）⊥BC，则实数 a 的值为
.
15. 词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著《九章算术•商功》，是古代人对一
些特殊锥体的称呼.在《九章算术•商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，
四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系 xoy，根据图上尺寸, 溢流孔 ABC
所在抛物线的方程为
, 溢流孔与桥拱交点 A 的横．坐．标．为
.
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算 骤.
17.(本题满分 10 分)
在①sin(A-B)=sinB+sinC；②2acosC=2b+c；③△ABC 的面积 S=
在平面直角坐标系 xoy 中，已知圆 F：（x-2）2+y2=1,动圆 M 与直线 l ：x=-1 相切且与圆 F
外切. (1)记圆心 M 的轨迹为曲线 C，求曲线 C 的方程； (2)已知 A（-2，0），曲线 C 上一点 P 满足 PA= 2 PF，求∠PAF 的大小.
19. (本题满分 12 分) 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，D 为 AC 中点. （1） 求证：B1A||平面 C1BD （2）若 AA1=AB=3,BC=4,且 AB⊥BC，求三棱锥 B-B1C1D 的体积
3 4
（a2-b2-c2）三个条
件中任选一个（填序号），补充在下面的问题中，并解答该问题.
已知△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,
,D 是边 BC 上的一点，
∠BAD=
π 2
，且
b=4,c=2,求线段 AD 的长.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
3
18．(本题满分 12 分)
数学试题
一、单项选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．在平面直角坐标系 xoy 中，已知抛物线 x2=2y 的焦点为 F，准线为 l ,则点 F 到准线 l 的距
20. (本题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xoy 中，已知圆 O：x2+y2=1,点 A，B 是直线
x-y+m=0(m∈R)与圆 O 的两个公共点，点 C 在圆 O 上. （1）若△ABC 为正三角形，求直线 AB 的方程。
→→ （2）若直线 x-y- 3 =0 上存在点 P 满足AP•BP=0，求实数 m 取值范围.
离为（ ）
A．12 B. 1
C. 2
D. 4
→
→
→→
2. 已知向量 a =（-2，3，-1）， b =（4，m，n），且 a || b ，其中 m,n∈R,则 m+n=( )
A．4 B. -4 C. 2 D. —2
3．若
sinθ=2cos(π-θ),则
π tan(θ+4
)的值为（
）
A．3 B.
1 3
21. (本题满分 12 分)
如图，在四棱锥 P-ABCD 中，平面 PAB⊥平面 ABCD，PA⊥AB，PA=AD=4，BC||AD
→→ AB⊥AD，AB=BC=2，PE=λPC（0≤λ<1）.
（1）
若
1 λ=2
，使直线 DE 与平面 ABE 所成角的正弦值
（2）设二面角 B-AE-C 的大小为 θ，若|cosθ|=
方八面体以及他们的过渡形态. 其中立方八面体（如图所示）有 24 条棱、12 个顶点，14 个
面（6 个正方形、八个正三角形），它是将立方体“切”去 8 个“角”后得到的几何体.已知一个
立方八面体的棱长为 1，则（ ）
A．它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为 2.
B.它的任意两条不共面的棱所在的直线都互相垂直.
B，且圆心在 y 轴上，则圆 C 的方程为（ ）
A. x2+y2+6y-16=0 B. x2+y2-6y-16=0 C. x2+y2+8y-9=0 D .x2+y2-8y-9=0
6.如图，已知圆柱的底面半径为 2，与圆柱底面成 600 角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，
则该椭圆的焦距为（ ）
A．2 2 B. 2 3 C. 4 2 D. 4 3
y2 b2
=1
(a>0,b>0)的左焦点为 F，点 M，N
在双曲线 C 上，若四边形 OFMN 为菱形，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A． 3 -1．B. 5 -1 C. 3 +1 D. . 5 +1
二、多项选择题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有
多项符 合题目要求 .全部选 对的得 5 分，部分选对的得 3 分，不选或有选错的得 0 分.
现有如图所示的“鳖臑”四面体 PABC，其中 PA⊥平面 ABC，PA=AC=1，BC= 2 ，则四面
体 PABC 的外接球的表面积为
。
16．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的
冲击，现设桥拱上有如图所示的 4 个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且
+
y2 2
=1
的左、右焦点，点 A 在椭圆
上.若△AF1F2 为直角三角形，则 AF1 的长度可以为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，直线 l1,l2 相交于点 O，点 P 是平面内的任意一点，若 x,y 分别表示点 P 到l1,l2 的
距离，则称（x,y）为点 P 的“距离坐标”.下列说法正确的是（ ）
1 C. —3 D. — 3
4.在平面直角坐标系 xoy 中பைடு நூலகம்若椭圆 C：x92
+
y2 m
=1
与双曲线 T：x2—
y2 m=1
有相同的焦点，
则双曲线 T 的渐近线方程为（ ）
1
1
A. y= ±4 x B. y= ±2 x C. y= ±4x D. y= ±2x
5. 在平面直角坐标系 xoy 中，直线 x+2y-4=0 与两坐标轴分别交于点 A，B，圆 C 经过 A，
9．已知两个不重合的平面 α,β 及直线 m,下列说法正确的是（ ）
A．若 α⊥β，m⊥α, 则 m||β B. 若 α||β，m⊥α, 则 m⊥β
C. 若 m||α，m⊥β, 则 α⊥β D. 若 m||α，m||β, 则 α||β
10.
在平面直角坐标系 xoy 中，F1，F2 分别为椭圆
x2 4
A．距离坐标为（0，0）的点有 1 个 B．距离坐标为（0，1）的点有 2 个
C．距离坐标为（1，2）的点有 4 个 D．距离坐标为（x，x）的点在一条直线上
12．20 世纪 50 年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金
属反应可以人工合成金刚石，人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立
→→ ON =3 MO，求证：△PQN 的面积 S 为定值.
5
7．如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，BC1 与 B1C 相交于点 O，∠A1AB=∠A1AC=600，
∠BAC=900，A1A=3，AB=AC=2，则线段 AO 的长度为（ ）
29
23
A. 2 B. 29 C. 2 D. 23
1
8.
在平面直角坐标系 xoy 中，已知双曲线 C：xa22
-
C.它的体积为
52 3
D. 它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等.
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
2
13．在平面直角坐标系 xoy 中，已知直线 l1 ：x+ay=0 和直线 l2 :2x-(a-3)y-4=0,a∈R,若 l1 与l2
平行，则 l1 与 l2 之间的距离为
2
34 7
,求 λ 的值.
4
22. (本题满分 12 分)
在平面直角坐标系 xoy 中，已知椭圆 C：xa22
+
y2 b2
=1
(a>b>0)的左顶点与上顶点的距离为
2 3 ，且经过点（2， 2 ）.
（1） 求椭圆 C 的方程.
（2） 直线 l 与椭圆 C 相交于 P、Q 两点，M 是 PQ 的中点.若椭圆上存在点 N 满足
.
14．在空间直角坐标系中，若三点 A（1，-1，a）,B(2,a,0),C(1,a,-2)满足：
→→ →
（AB-2AC）⊥BC，则实数 a 的值为
.
15. 词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著《九章算术•商功》，是古代人对一
些特殊锥体的称呼.在《九章算术•商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，
四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系 xoy，根据图上尺寸, 溢流孔 ABC
所在抛物线的方程为
, 溢流孔与桥拱交点 A 的横．坐．标．为
.
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算 骤.
17.(本题满分 10 分)
在①sin(A-B)=sinB+sinC；②2acosC=2b+c；③△ABC 的面积 S=
在平面直角坐标系 xoy 中，已知圆 F：（x-2）2+y2=1,动圆 M 与直线 l ：x=-1 相切且与圆 F
外切. (1)记圆心 M 的轨迹为曲线 C，求曲线 C 的方程； (2)已知 A（-2，0），曲线 C 上一点 P 满足 PA= 2 PF，求∠PAF 的大小.
19. (本题满分 12 分) 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，D 为 AC 中点. （1） 求证：B1A||平面 C1BD （2）若 AA1=AB=3,BC=4,且 AB⊥BC，求三棱锥 B-B1C1D 的体积
3 4
（a2-b2-c2）三个条
件中任选一个（填序号），补充在下面的问题中，并解答该问题.
已知△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,
,D 是边 BC 上的一点，
∠BAD=
π 2
，且
b=4,c=2,求线段 AD 的长.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
3
18．(本题满分 12 分)