第三章函数的应用测验题
高中数学必修一第三章《函数的应用》单元测试卷及答案2套
高中数学必修一第三章《函数的应用》单元测试卷及答案2套测试卷一(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．函数y ＝1＋1x的零点是( )A ．(－1,0)B ．－1C ．1D ．02．设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)3．某企业2010年12月份的产值是这年1月份产值的P 倍，则该企业2010年度产值的月平均增长率为( )A .P P －1 B .11P －1C .11PD .P －1114．如图所示的函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是( )A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④5．如图1，直角梯形OABC 中，AB∥OC，AB ＝1，OC ＝BC ＝2，直线l∶x＝t 截此梯形所得位于l 左方图形面积为S ，则函数S ＝f(t)的图象大致为图中的( )图16．已知在x 克a%的盐水中，加入y 克b%的盐水，浓度变为c%，将y 表示成x 的函数关系式为( )A ．y ＝c －ac －b x B ．y ＝c －ab －c x C ．y ＝c －bc －axD ．y ＝b －cc －ax 7．某单位职工工资经过六年翻了三番，则每年比上一年平均增长的百分率是( ) (下列数据仅供参考：2＝1.41，3＝1.73，33＝1.44，66＝1.38)A ．38%B ．41%C ．44%D ．73%8．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本增加1万元，又知总收入R 是单位产量Q 的函数：R(Q)＝4Q －1200Q 2，则总利润L(Q)的最大值是________万元，这时产品的生产数量为________．(总利润＝总收入－成本)( )A ．250 300B ．200 300C ．250 350D ．200 3509．在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00 y0.240.5112.023.988.02则x 、y )A ．y ＝a ＋bxB ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋bD ．y ＝a ＋b x10．根据统计资料，我国能源生产自1986年以来发展得很快，下面是我国能源生产总量(折合亿吨标准煤)的几个统计数据：1986年8.6亿吨，5年后的1991年10.4亿吨，10年后的1996年12.9亿吨，有关专家预测，到2001年我国能源生产总量将达到16.1亿吨，则专家是以哪种类型的函数模型进行预测的？( )A ．一次函数B ．二次函数C ．指数函数D ．对数函数11．用二分法判断方程2x 3＋3x －3＝0在区间(0,1)内的根(精确度0.25)可以是(参考数据：0.753＝0.421875,0.6253＝0.24414)( )A ．0.25B ．0.375C ．0.635D ．0.82512．有浓度为90%的溶液100g ，从中倒出10g 后再倒入10g 水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771)( )A ．19B ．20C ．21D ．22二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．用二分法研究函数f(x)＝x 3＋2x －1的零点，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次计算的f(x)的值为f(________)．14．若函数f(x)＝a x－x －a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围为________．15．一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n 年后这批设备的价值为________________万元．16．函数f(x)＝x 2－2x ＋b 的零点均是正数，则实数b 的取值范围是________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)华侨公园停车场预计“十·一”国庆节这天停放大小汽车1200辆次，该停车场的收费标准为：大车每辆次10元，小车每辆次5元．(1)写出国庆这天停车场的收费金额y(元)与小车停放辆次x(辆)之间的函数关系式，并指出x 的取值范围．(2)如果国庆这天停放的小车占停车总辆数的65%～85%，请你估计国庆这天该停车场收费金额的范围．18．(12分)光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为a ，通过x 块玻璃后强度为y.(1)写出y 关于x 的函数关系式；(2)通过多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的13以下？(lg 3≈0.4771)19．(12分)某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用，服用药后每毫升中的含药量y(微克)与服药的时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线，其中OA 是线段，曲线AB 是函数y ＝ka t(t≥1，a>0，且k ，a 是常数)的图象．(1)写出服药后y 关于t 的函数关系式；(2)据测定，每毫升血液中的含药量不少于2微克时治疗疾病有效．假设某人第一次服药为早上6∶00，为保持疗效，第二次服药最迟应当在当天几点钟？(3)若按(2)中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后3小时，该病人每毫升血液中的含药量为多少微克(精确到0.1微克)?20．(12分)已知一次函数f(x)满足：f(1)＝2，f(2)＝3， (1)求f(x)的解析式；(2)判断函数g(x)＝－1＋lg f 2(x)在区间[0,9]上零点的个数．21．(12分)截止到2009年底，我国人口约为13.56亿，若今后能将人口平均增长率控制在1%，经过x 年后，我国人口为y 亿．(1)求y 与x 的函数关系式y ＝f(x)；(2)求函数y ＝f(x)的定义域；(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出函数增减的实际意义．22．(12分)某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数的表达式； (3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)答案1．B [由1＋1x ＝0，得1x＝－1，∴x ＝－1.]2．B [由题意x 0为方程x 3＝(12)x －2的根，令f (x )＝x 3－22－x，∵f (0)＝－4<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝7>0， ∴x 0∈(1,2)．]3．B [设1月份产值为a ，增长率为x ，则aP ＝a (1＋x )11， ∴x ＝11P －1.]4．A [对于①③在函数零点两侧函数值的符号相同，故不能用二分法求．] 5．C [解析式为S ＝f (t ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧12t ·2t 0≤t ≤112×1×2＋t －1×21<t ≤2＝⎩⎪⎨⎪⎧t 20≤t ≤12t －11<t ≤2∴在[0,1]上为抛物线的一段，在(1,2]上为线段．]6．B [根据配制前后溶质不变，有等式a %x ＋b %y ＝c %(x ＋y )，即ax ＋by ＝cx ＋cy ，故y ＝c －a b －cx .] 7．B [设职工原工资为p ，平均增长率为x ， 则p (1＋x )6＝8p ，x ＝68－1＝2－1＝41%.]8．A [L (Q )＝4Q －1200Q 2－Q －200＝－1200(Q －300)2＋250，故总利润L (Q )的最大值是250万元，这时产品的生产数量为300.]9．B [∵x ＝0时，b x无意义，∴D 不成立． 由对应数据显示该函数是增函数，且增幅越来越快， ∴A 不成立． ∵C 是偶函数，∴x ＝±1的值应该相等，故C 不成立． 对于B ，当x ＝0时，y ＝1， ∴a ＋1＝1，a ＝0；当x ＝1时，y ＝b ＝2.02，经验证它与各数据比较接近．]10．B [可把每5年段的时间视为一个整体，将点(1,8.6)，(2，10.4)，(3,12.9)描出，通过拟合易知它符合二次函数模型．]11．C [令f (x )＝2x 3＋3x －3，f (0)<0，f (1)>0，f (0.5)<0，f (0.75)>0，f (0.625)<0，∴方程2x 3＋3x －3＝0的根在区间(0.625,0.75)内， ∵0.75－0.625＝0.125<0.25，∴区间(0.625,0.75)内的任意一个值作为方程的近似根都满足题意．]12．C [操作次数为n 时的浓度为(910)n ＋1，由(910)n ＋1<10%，得n ＋1>－1lg 910＝－12lg3－1≈21.8，∴n ≥21.] 13．(0,0.5) 0.25解析 根据函数零点的存在性定理． ∵f (0)<0，f (0.5)>0，∴在(0,0.5)存在一个零点，第二次计算找中点，即0＋0.52＝0.25. 14．(1，＋∞)解析 函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x与函数y ＝x ＋a 交点的个数，如下图，由函数的图象可知a >1时两函数图象有两个交点，0<a <1时两函数图象有唯一交点，故a >1.15．a (1－b %)n解析 第一年后这批设备的价值为a (1－b %)；第二年后这批设备的价值为a (1－b %)－a (1－b %)·b %＝a (1－b %)2； 故第n 年后这批设备的价值为a (1－b %)n. 16．(0,1]解析 设x 1，x 2是函数f (x )的零点，则x 1，x 2为方程x 2－2x ＋b ＝0的两正根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x 1＋x 2＝2>0x 1x 2＝b >0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4b ≥0b >0.解得0<b ≤1.17．解 (1)依题意得y ＝5x ＋10(1200－x ) ＝－5x ＋12000，0≤x ≤1200. (2)∵1200×65%≤x ≤1200×85%， 解得780≤x ≤1020，而y ＝－5x ＋12000在[780,1 020]上为减函数， ∴－5×1020＋12000≤y ≤－5×780＋12000. 即6900≤y ≤8100，∴国庆这天停车场收费的金额范围为[6 900,8 100]． 18．解 (1)依题意：y ＝a ·0.9x，x ∈N *. (2)依题意：y ≤13a ，即：a ·0.9x≤a3，0.9x≤13＝0.91log 30.9，得x ≥log 0.913＝－lg32lg3－1≈－0.47710.9542－1≈10.42.答 通过至少11块玻璃后，光线强度减弱到原来的13以下．19．解 (1)当0≤t <1时，y ＝8t ；当t ≥1时，⎩⎪⎨⎪⎧ka ＝8，ka 7＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝22，k ＝8 2.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧8t ， 0≤t <1，8222t，t ≥1.(2)令82·(22)t≥2，解得t ≤5. ∴第一次服药5小时后，即第二次服药最迟应当在当天上午11时服药． (3)第二次服药后3小时，每毫升血液中含第一次所服药的药量为y 1＝82×(22)8＝22(微克)；含第二次服药后药量为y 2＝82×(22)3＝4(微克)，y 1＋y 2＝22＋4≈4.7(微克)． 故第二次服药再过3小时，该病人每毫升血液中含药量为4.7微克． 20．解 (1)令f (x )＝ax ＋b ，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝22a ＋b ＝3，解得a ＝b ＝1，所以f (x )＝x ＋1(x ∈R )．(2)∵g (x )＝－1＋lg f 2(x )＝－1＋lg (x ＋1)2在区间[0,9]上为增函数，且g (0)＝－1<0，g (9)＝－1＋lg102＝1>0，∴函数g (x )在区间[0,9]上零点的个数为1个． 21．解 (1)2009年底人口数：13.56亿． 经过1年，2010年底人口数：13．56＋13.56×1%＝13.56×(1＋1%)(亿)． 经过2年，2011年底人口数：13．56×(1＋1%)＋13.56×(1＋1%)×1% ＝13.56×(1＋1%)2(亿)． 经过3年，2012年底人口数：13．56×(1＋1%)2＋13.56×(1＋1%)2×1% ＝13.56×(1＋1%)3(亿)．∴经过的年数与(1＋1%)的指数相同．∴经过x年后人口数为13.56×(1＋1%)x(亿)．∴y＝f(x)＝13.56×(1＋1%)x.(2)理论上指数函数定义域为R.∵此问题以年作为时间单位．∴此函数的定义域是{x|x∈N*}．(3)y＝f(x)＝13.56×(1＋1%)x.∵1＋1%>1,13.56>0，∴y＝f(x)＝13.56×(1＋1%)x是增函数，即只要递增率为正数，随着时间的推移，人口的总数总在增长．22．解(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则x0＝100＋60－510.02＝550.因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．(2)当0<x≤100时，P＝60；当100<x<550时，P＝60－0.02·(x－100)＝62－x50；当x≥550时，P＝51.所以P＝f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x≤10062－x50，100<x<550，51，x≥550(x∈N)．(3)设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则L＝(P－40)x＝⎩⎪⎨⎪⎧20x，0<x≤10022x－x250，100<x<550，11x，x≥550(x∈N)．当x＝500时，L＝6000；当x＝1000时，L＝11000.因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元．测试卷二(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．设方程|x 2－3|＝a 的解的个数为m ，则m 不可能等于( )A ．1B ．2C ．3D ．42．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚得最大利润，售价应定为( )A ．每个110元B ．每个105元C ．每个100元D ．每个95元3．今有一组实验数据如下表，现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( )A .y ＝log 2tB ．y ＝12C ．y ＝t 2－12D ．y ＝2t －24．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额： (1)如果不超过200元，则不给予优惠；(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他去一次购买上述同样的商品，则应付款是( )A ．413.7元B ．513.7元C ．548.7元D ．546.6元5．方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围为( )A ．(－235，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[－235，1]D ．(－∞，－235]6．设f(x)是区间[a ，b]上的单调函数，且f(a)f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a ，b]( )A ．至少有一实根B ．至多有一实根C ．没有实根D ．必有唯一实根7．方程x 2－(2－a)x ＋5－a ＝0的两根都大于2，则实数a 的取值范围是( )A ．a<－2B ．－5<a<－2C ．－5<a≤－4D ．a>4或a<－48．四人赛跑，其跑过的路程f(x)和时间x 的关系分别是：f 1(x)＝12x ，f 2(x)＝14x ，f 3(x)＝log 2(x ＋1)，f 4(x)＝log 8(x ＋1)，如果他们一直跑下去，最终跑到最前面的人所具有的函数关系是( )A ．f 1(x)＝12xB ．f 2(x)＝14xC ．f 3(x)＝log 2(x ＋1)D ．f 4(x)＝log 8(x ＋1)9．函数f(x)＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(e,3)D ．(e ，＋∞)10．已知f(x)＝(x －a)(x －b)－2的两个零点分别为α，β，则( )A ．a<α<b<βB ．α<a<b<βC ．a<α<β<bD ．α<a<β<b11．设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(2x)＝f(x ＋1x ＋4)的所有x之和为( )A ．－92B ．－72C ．－8D ．812．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后再显示的图象如图所示．现给出下面说法：①前5分钟温度增加的速度越来越快； ②前5分钟温度增加的速度越来越慢； ③5分钟以后温度保持匀速增加； ④5分钟以后温度保持不变． 其中正确的说法是( )A ．①④B ．②④C ．②③D ．①③二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x x>03xx≤0，且关于x 的方程f(x)＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是______________．14．要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3m ，长与宽的和为20m ，则仓库容积的最大值为________．15．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1， x>0，－x 2－2x ，x≤0.若函数g(x)＝f(x)－m 有3个零点，则实数m 的取值范围为________．16．若曲线|y|＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)讨论方程4x 3＋x －15＝0在[1,2]内实数解的存在性，并说明理由．18．(12分)(1)已知f(x)＝23x－1＋m 是奇函数，求常数m 的值； (2)画出函数y ＝|3x－1|的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程|3x－1|＝k 无解？有一解？有两解？19．(12分)某出版公司为一本畅销书定价如下： C(n)＝⎩⎪⎨⎪⎧12n ，1≤n≤24，n ∈N *，11n ，25≤n ≤48，n ∈N *，10n ，n ≥49，n ∈N *，这里n 表示定购书的数量，C (n )是定购n 本书所付的钱数(单位：元)．若一本书的成本价是5元，现有甲、乙两人来买书，每人至少买1本，两人共买60本，问出版公司最少能赚多少钱？最多能赚多少钱？20．(12分)是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴恒有一个交点，且只有一个交点？若存在，求出范围；若不存在，请说明理由．21．(12分)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a，如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求实数a的取值范围．22．(12分)我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段以达到节约用水的目的．某市用水收费标准是：水费＝基本费＋超额费＋定额损耗费，且有如下三条规定：①若每月用水量不超过最低限量m立方米时，只付基本费9元和每户每月定额损耗费a 元；②若每月用水量超过m立方米时，除了付基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米付n元的超额费；③每户每月的定额损耗费a不超过5元．(1)求每户每月水费y(元)与月用水量x(立方米)的函数关系式；(2)该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示：m，n，a的值．答案1．A [在同一坐标系中分别画出函数y1＝|x2－3|和y2＝a的图象，如图所示．可知方程解的个数为0,2,3或4，不可能有1个解．] 2．D [设售价为x 元，则利润y ＝[400－20(x －90)](x －80)＝20(110－x )(x －80)＝－20(x 2－190x ＋8800) ＝－20(x －95)2＋4500.∴当x ＝95时，y 最大为4500元．]3．C [当t ＝4时，y ＝log 24＝2，y ＝12log 4＝－2，y ＝42－12＝7.5，y ＝2×4－2＝6.所以y ＝t 2－12适合，当t ＝1.99代入A 、B 、C 、D4个选项，y ＝t 2－12的值与表中的1.5接近，故选C.]4．D [购物超过200元，至少付款200×0.9＝180(元)，超过500元，至少付款500×0.9＝450(元)，可知此人第一次购物不超过200元，第二次购物不超过500元，则此人两次购物总金额是168＋4230.9＝168＋470＝638(元)．若一次购物，应付500×0.9＋138×0.7＝546.6(元)．]5．C [令f (x )＝x 2＋ax －2，则f (0)＝－2<0， ∴要使f (x )在[1,5]上与x 轴有交点，则需要⎩⎪⎨⎪⎧f 1≤0f 5≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤023＋5a ≥0，解得－235≤a ≤1.]6．D [∵f (a )·f (b )<0，∴f (x )在区间[a ，b ]上存在零点，又∵f (x )在[a ，b ]上是单调函数，∴f (x )在区间[a ，b ]上的零点唯一，即f (x )＝0在[a ，b ]上必有唯一实根．]7．C [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥02－a2>2f 2>0，解得－5<a ≤－4.]8．B [在同一坐标系下画出四个函数的图象，由图象可知f 2(x )＝14x 增长的最快．]9．B [f (2)＝ln2－22＝ln2－1<1－1＝0，f (3)＝ln3－23>1－23＝13>0.故零点所在区间为(2,3)．]10．B [设g (x )＝(x －a )(x －b )，则f (x )是由g (x )的图象向下平移2个单位得到的，而g (x )的两个零点为a ，b ，f (x )的两个零点为α，β，结合图象可得α<a <b <β.]11．C [∵x >0时f (x )单调且为偶函数， ∴|2x |＝|x ＋1x ＋4|，即2x (x ＋4)＝±(x ＋1)． ∴2x 2＋9x ＋1＝0或2x 2＋7x －1＝0. ∴共有四根．∵x 1＋x 2＝－92，x 3＋x 4＝－72，∴所有x 之和为－92＋(－72)＝－8.]12．B [因为温度y 关于时间t 的图象是先凸后平行直线，即5分钟前每当t 增加一个单位增量Δt ，则y 随相应的增量Δy 越来越小，而5分钟后y 关于t 的增量保持为0.故选B.]13．(1，＋∞)解析 由f (x )＋x －a ＝0， 得f (x )＝a －x ，令y ＝f (x )，y ＝a －x ，如图，当a >1时，y ＝f (x )与y ＝a －x 有且只有一个交点， ∴a >1. 14．300m 3解析 设长为x m ，则宽为(20－x )m ，仓库的容积为V ， 则V ＝x (20－x )·3＝－3x 2＋60x,0<x <20，由二次函数的图象知，顶点的纵坐标为V 的最大值． ∴x ＝10时，V 最大＝300(m 3)． 15．(0,1)解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1， x >0，－x 2－2x ，x ≤0的图象如图所示，该函数的图象与直线y ＝m 有三个交点时m ∈(0,1)，此时函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点．16．[－1,1]解析 分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得：如果|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件为b ∈[－1,1]．17．解 令f (x )＝4x 3＋x －15， ∵y ＝4x 3和y ＝x 在[1,2]上都为增函数． ∴f (x )＝4x 3＋x －15在[1,2]上为增函数，∵f (1)＝4＋1－15＝－10<0，f (2)＝4×8＋2－15＝19>0， ∴f (x )＝4x 3＋x －15在[1,2]上存在一个零点， ∴方程4x 3＋x －15＝0在[1,2]内有一个实数解． 18．解 (1)∵f (x )＝23x －1＋m 是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴23－x －1＋m ＝－23x －1－m .∴2·3x1－3x ＋m ＝21－3x －m ， ∴23x －11－3x＋2m ＝0. ∴－2＋2m ＝0，∴m ＝1.(2)作出直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图象，如图．①当k <0时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图象无交点，即方程无解；②当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；③当0<k <1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图象有两个不同的交点，所以方程有两解．19．解 设甲买n 本书，则乙买(60－n )本(不妨设甲买的书少于或等于乙买的书)，则n ≤30，n ∈N *.①当1≤n ≤11且n ∈N *时，49≤60－n ≤59，出版公司赚的钱数f (n )＝12n ＋10(60－n )－5×60＝2n ＋300； ②当12≤n ≤24且n ∈N *时，36≤60－n ≤48， 出版公司赚的钱数f (n )＝12n ＋11(60－n )－5×60＝n ＋360；③当25≤n ≤30且n ∈N *时，30≤60－n ≤35， 出版公司赚的钱数f (n )＝11×60－5×60＝360. ∴f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋300， 1≤n ≤11，n ∈N *，n ＋360，12≤n ≤24，n ∈N *，360，25≤n ≤30，n ∈N *.∴当1≤n ≤11时，302≤f (n )≤322； 当12≤n ≤24时，372≤f (n )≤384； 当25≤n ≤30时，f (n )＝360.故出版公司最少能赚302元，最多能赚384元． 20．解 若实数a 满足条件， 则只需f (－1)f (3)≤0即可．f (－1)f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0，所以a ≤－15或a ≥1.检验：(1)当f (－1)＝0时a ＝1， 所以f (x )＝x 2＋x .令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1. 方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠1. (2)当f (3)＝0时a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解得，x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠－15.综上所述，a ∈(－∞，－15)∪(1，＋∞)．21．解 当a ＝0时，函数为f (x )＝2x －3，其零点x ＝32不在区间[－1,1]上．当a ≠0时，函数f (x )在区间[－1,1]分为两种情况： ①函数在区间[－1,1]上只有一个零点，此时：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－8a －3－a ≥0f －1·f 1＝a －5a －1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－8a －3－a ＝0－1≤－12a ≤1，解得1≤a ≤5或a ＝－3－72.②函数在区间[－1,1]上有两个零点，此时⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0－1<－12a <1f －1f 1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧8a 2＋24a ＋4>0－1<－12a<1a －5a －1≥0.解得a ≥5或a <－3－72.综上所述，如果函数在区间[－1,1]上有零点，那么实数a 的取值范围为(－∞，－3－72]∪[1，＋∞)． 22．解 (1)依题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9＋a ，0<x ≤m ， ①9＋n x －m ＋a ，x >m .②其中0<a ≤5.(2)∵0<a ≤5，∴9<9＋a ≤14.由于该家庭今年一、二月份的水费均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于最低限量m 立方米．将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝17和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝23分别代入②，得⎩⎪⎨⎪⎧17＝9＋n 4－m ＋a ， ③23＝9＋n 5－m ＋a .④③－④，得n ＝6.代入17＝9＋n (4－m )＋a ，得a ＝6m －16. 又三月份用水量为2.5立方米，若m <2.5，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2.5，y ＝11代入②，得a ＝6m －13，这与a ＝6m －16矛盾．∴m ≥2.5，即该家庭三月份用水量2.5立方米没有超过最低限量．将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2.5，y ＝11代入①，得11＝9＋a ，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6m －16，11＝9＋a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，m ＝3.∴该家庭今年一、二月份用水量超过最低限量，三月份用水量没有超过最低限量，且m ＝3，n ＝6，a ＝2.。
函数的应用(含幂函数)试卷练习3套含答案.docx
数学1 （必修）第三章函数的应用（含幕函数）［基础训练A 组］ 一、选择题1.若 y = x 2.y- =(y)A , y = 4x 2,y = x 5+1,y == x,y = a x(a > 1)上述函数是幕函数的个数是（） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个2.已知/（兀）唯一的零点在区间（1,3）、（1,4）、（1,5）内，那么下面命题错误的（） A.函数/⑴在（1,2）或［2,3）内有零点 B. 函数/（兀）在（3,5）内无零点 C. 函数兀兀）在（2,5）内有零点D.函数/（兀）在（2,4）内不一定有零点 3.若a>O,b>O,ab>l, log,(7 = In2 ,则log 〉与log 】a 的关系是(2 2C. log“b>log ］GD. log,Slog| a2 24. 求函数/（X ） = 2X 3-3X +1零点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 45. 已知函数y = /（兀）有反函数，则方程/（x ） = 0 （ A. 有且仅有一个根 B.至多有一个根6.如果二次函数y = %2 4-mx + （m + 3）有两个不同的零点，则加的取值范围是（ ）A. (— 2,6)B. [—2,6]C. {—2,6}D. (―°°, —2)U(6, +°°)7.某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%,则第四年造林（ ）A. 14400亩B. 172800亩C. 17280亩D. 20736亩二、填空题1. 若函数/（兀）既是幕函数又是反比例函数，则这个函数是/（x ）= __________ o2. 幕函数/（兀）的图象过点（3,炳），则/⑴ 的解析式是 _____________ 。
3. 用“二分法”求方程，一2兀-5 = 0在区间［2,3］内的实根，取区间屮点为兀（）=2.5,那么下一个有根的区间是 ________________ O4.函数/（x ） = lnx-x + 2的零点个数为 ____________5.设函数y = /（兀）的图象在［a,b ］上连续，若满足 ___________ ,方程/（%） = 0在［⑦切上有实根.三、解答题1.用定义证明：函数/(x) = x + -在兀w ［l,+oo )上是增函数。
高中数学必修一第三章《函数的应用》单元测试卷及答案2套1
高中数学必修一《函数的应用》单元测试卷及答案2套单元测试卷一(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )＝2x ＋m 的零点落在(－1,0)内，则m 的取值范围为( ) A ．(－2,0) B ．(0,2) C ．－2,0] D ．0,2]2．设f (x )＝3x＋3x －8，用二分法求方程3x＋3x －8＝0在x ∈(1,2)内近似解的过程中得f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的根落在区间( )A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,2)D ．不确定3．下列函数中，不能用二分法求零点的是( ) A ．y ＝3x ＋1 B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝log 2(x －1)D ．y ＝(x －1)24．方程x 3－x －3＝0的实数解所在的区间是( ) A ．－1,0] B ．0,1] C ．1,2] D ．2,3]5．为了求函数f (x )＝2x＋3x －7的零点，某同学利用计算器得到自变量x 和函数f (x )的部分对应值(精确度0.1)如下表所示：A ．1.5B ．1.4C ．1.3D ．1.26．若函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是( )A ．m ≤－1B ．－1≤m <0C ．m ≥1 D．0<m ≤17．设x 0是函数f (x )＝ln x ＋x －4的零点，则x 0所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)8．如果二次函数y ＝x 2＋mx ＋m ＋3不存在零点，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪(6，＋∞) B ．{－2,6} C ．－2,6]D ．(－2,6)9．由表格中的数据可以判定方程e x－x －2＝0的一个零点所在的区间是(k ，k ＋1)(k ∈Z )，则k 的值为( )x－1 0 1 2 3 e x0.37 1 2.72 7.39 20.09 x ＋21234510．已知x 0是函数f (x )＝2x＋11－x 的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>011．已知函数f (x )＝|log 3(x －1)|－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1有2个不同的零点x 1，x 2，则( )A ．x 1·x 2<1B ．x 1·x 2＝x 1＋x 2C ．x 1·x 2>x 1＋x 2D ．x 1·x 2<x 1＋x 212．若对于定义在R 上的函数f (x )，其图象是连续的，且存在常数λ(λ∈R )，使得f (x ＋λ)＋λf (x )＝0对任意的实数x 成立，则称f (x )是“λ－同伴函数”．下列关于“λ－同伴函数”的叙述中正确的是( )A ．“12－同伴函数”至少有一个零点B ．f (x )＝x 2是一个“λ－同伴函数” C ．f (x )＝log 2x 是一个“λ－同伴函数” D ．f (x )＝0是唯一一个常值“λ－同伴函数”第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点个数为________．14．函数f (x )＝x 2＋mx －6的一个零点是－6，则另一个零点是________． 15．若函数f (x )＝lg|x －1|－m 有两个零点x 1和x 2，则x 1＋x 2＝________.16．设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x －1|＋1x ≠1，ax ＝1，若关于x 的方程2f (x )]2－(2a＋3)f (x )＋3a ＝0有五个不同的实数解，则a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋6，x ≤0，x 2－2x ＋2，x >0.(1)求不等式f (x )>5的解集；(2)若方程f (x )－m 22＝0有三个不同实数根，求实数m 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知定义在R 上奇函数f (x )在x ≥0时的图象是如图所示的抛物线的一部分． (1)请补全函数f (x )的图象；(2)写出函数f (x )的表达式(只写明结果，无需过程)； (3)讨论方程|f (x )|＝a 的解的个数(只写明结果，无需过程)．19．(本小题满分12分)某上市股票在30天内每股交易价格P (元)与时间t (天)组成有序数对(t ，P )，点(t ，P )落在图中的两条线段上，该股票在30天内的日交易量Q (万股)与时间t (天)的部分数据如下表所示：第t 天4 10 16 22 Q (万股)36302418(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P (元)与时间t (天)所满足的函数关系式；(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；(3)用y表示该股票日交易额(万元)，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？20．(本小题满分12分)定义在R上的奇函数f(x)，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2＋mx－1.(1)当x∈(0，＋∞)时，求f(x)的解析式；(2)若方程y＝f(x)有五个零点，求实数m的取值范围．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝log a(2x＋1)－log a(1－2x)．(1)判断函数f(x)的奇偶性，并给予证明；(2)若函数y＝f(x)与y＝m－log a(2－4x)的图象有且仅有一个公共点，求实数m的取值范围．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx，(k∈R)为偶函数．(1)求k的值；(2)若函数f(x)＝log4(a·2x－a)有且仅有一个根，求实数a的取值范围．答案1．B 解析：由题意f(－1)·f(0)＝(m－2)m<0，∴0<m<2.2．B 解析：因为f(1.5)>0，f(1.25)<0，所以由零点存在性定理可得，方程3x＋3x－8＝0的根落在区间(1.25,1.5)内．3．D 解析：结合函数y＝(x－1)2的图象可知，该函数在x＝1的左右两侧函数值的符号均为正，故其不能用二分法求零点．4．C 解析：方程x 3－x －3＝0的实数解，可看成函数f (x )＝x 3－x －3的零点．∵f (1)＝－3<0，f (2)＝3>0，∴f (1)·f (2)<0.由零点存在性定理可得，函数f (x )＝x 3－x －3的零点所在的区间为1,2]．故选C.5．B 解析：函数f (x )＝2x＋3x －7的零点在区间(1.375,1.437 5)内，且|1.375－1.437 5|＝0.062 5<0.1，所以方程2x ＋3x ＝7的近似解(精确到0.1)可取为1.4.6．B 解析：函数图象与x 轴有公共点，即函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|1－x |，g (x )＝－m 有交点．作出f (x )，g (x )的图象，如图所示．0<－m ≤1，即－1≤m <0，故选B.7．C 解析：∵f (2)＝ln 2＋2－4＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3－1>ln e －1＝0，由零点定理得f (2)·f (3)<0.∴x 0所在的区间为(2,3)．故选C.8．D 解析：∵二次函数y ＝x 2＋mx ＋m ＋3不存在零点，二次函数图象开口向上，∴Δ<0，可得m 2－4(m ＋3)<0，解得－2<m <6，故选D.9．C 解析：设函数f (x )＝e x－x －2，如果零点在(k ，k ＋1)，那么f (k )·f (k ＋1)<0，由表格分析，f (1)<0，f (2)>0，故k ＝1，故选C.10．B 解析：由定义法证明函数的单调性的方法，得f (x )在(1，＋∞)上为增函数，又1<x 1<x 0<x 2，x 0为f (x )的一个零点，所以f (x 1)<f (x 0)＝0<f (x 2)．解题技巧：本题主要考查了函数的零点和单调性，解决本题的关键是判断出函数f (x )＝2x＋11－x的单调性． 11．D 解析：∵函数f (x )＝|log 3(x －1)|－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1有2个不同的零点，∴函数f (x )＝|log 3(x －1)|与函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋1的图象有两个不同的交点．又∵g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＋1是减函数，∴－log 3(x 1－1)>log 3(x 2－1)，∴(x 1－1)(x 2－1)<1，整理得x 1·x 2<x 1＋x 2，故选D.12．A 解析：令x ＝0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12f (0)＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12f (0)．若f (0)＝0，显然f (x )＝0有实数根；若f (0)≠0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (0)＝－12(f (0))2<0.又因为函数f (x )的图象是连续不断的，所以f (x )＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上必有实数根，即任意“12－同伴函数”至少有一个零点．故A 正确；用反证法，假设f (x )＝x 2是一个“λ－同伴函数”，则(x ＋λ)2＋λx 2＝0，即(1＋λ)x2＋2λx ＋λ2＝0对任意实数x 成立，所以λ＋1＝2λ＝λ2＝0，而此式无解，所以f (x )＝x 2不是一个“λ－同伴函数”．故B 错误；因为f (x )＝log 2x 的定义域不是R .故C 错误；设f (x )＝C 是一个“λ－同伴函数”，则(1＋λ)C ＝0，当λ＝－1时，可以取遍实数集，因此f (x )＝0不是唯一一个常值“λ－同伴函数”．故D 错误．13．2 解析：依题意可知f (x )＝x 2＋2x －3的零点为－3,1，∵x ≤0，∴零点为－3.f (x )＝－2＋ln x 的零点为e 2.故函数有2个零点．14．1 解析：依题意可知，f (－6)＝(－6)2－6m －6＝0⇒m ＝5，所以f (x )＝x 2＋5x －6＝(x ＋6)(x －1)，令f (x )＝0，解得x ＝－6或x ＝1，所以另一个零点是1.15．2 解析：∵函数f (x )＝lg|x －1|－m 有两个零点，∴函数y 1＝lg|x －1|与函数y 2＝m 有两个交点，∵y 1＝lg|x －1|的图象关于x ＝1对称，∴lg|x 1－1|＝lg|x 2－1|，∴x 1＋x 2＝2.16．1＜a <32或32<a <2 解析：∵题中原方程2f (x )]2－(2a ＋3)f (x )＋3a ＝0有且只有5个不同实数解，∴要求对应于f (x )等于某个常数有3个不同实数解， ∴先根据题意作出f (x )的简图：由图可知，只有当f (x )＝a 时，它有三个根． 所以有1＜a ＜2①.再根据2f (x )2－(2a ＋3)f (x )＋3a ＝0有两个不等实根， 得：Δ>0即(2a ＋3)2－24a >0，a ≠32②.结合①②得：1＜a <32或32<a <2.解题技巧：本题主要考查了函数零点和方程解的关系，解决本题的关键是找出隐含条件f (x )＝a 有3个不同实数解．17．解：(1)当x ≤0时，由x ＋6>5，得－1<x ≤0； 当x >0时，由x 2－2x ＋2>5，得x >3.综上所述，不等式的解集为(－1,0]∪(3，＋∞)．(2)方程f (x )－m 22＝0有三个不同实数根，等价于函数y ＝f (x )与函数y ＝m 22的图象有三个不同的交点．由图可知1<m 22<2，解得－2<m <－2或2<m <2.所以，实数m 的取值范围(－2，－2)∪(2，2)．解题技巧：本题主要考查了函数零点和方程解的关系，解决本题的关键是画出函数f (x )图象，使函数y ＝f (x )与函数y ＝m 22的图象有三个不同的交点，从而求出m 的范围．18．解：(1)补全f (x )的图象如图(1)所示．①(2)当x ≥0时，设f (x )＝a (x －1)2－2，由f (0)＝0得，a ＝2，所以此时，f (x )＝2(x －1)2－2，即f (x )＝2x 2－4x ， 当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝2(－x )2－4(－x )＝2x 2＋4x ，① 又f (－x )＝－f (x )，代入①，得f (x )＝－2x 2－4x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－4x x ≥0，－2x 2－4x x <0.(3)函数y ＝|f (x )|的图象如图(2)所示．②由图可知，当a <0时，方程无解； 当a ＝0时，方程有三个解； 当0<a <2时，方程有6个解； 当a ＝2时，方程有4个解； 当a >2时，方程有2个解．19．解：(1)由图象知，前20天满足的是递增的直线方程，且过两点(0,2)，(20,6)，容易求得直线方程为P ＝15t ＋2；从20天到30天满足递减的直线方程，且过两点(20,6)，(30,5)，求得方程为P ＝－110t＋8，故P (元)与时间t (天)所满足的函数关系式为 P ＝⎩⎪⎨⎪⎧15t ＋2，0≤t ≤20，t ∈N ，－110t ＋8，20<t ≤30，t ∈N .(2)由图表，易知Q 与t 满足一次函数关系，即Q ＝－t ＋40,0≤t ≤30，t ∈N . (3)由以上两问，可知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫15t ＋2－t ＋40，0≤t ≤20，t ∈N ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－110t ＋8－t ＋40，20<t ≤30，t ∈N＝⎩⎪⎨⎪⎧－15t －152＋125，0≤t ≤20，t ∈N ，110t －602－40，20<t ≤30，t ∈N ，当0≤t ≤20，t ＝15时，y max ＝125， 当20<t ≤30，y 随t 的增大而减小，∴在30天中的第15天，日交易额的最大值为125万元． 20．解：(1)设x >0，则－x <0，所以 f (－x )＝－x 2－mx －1. 又f (x )为奇函数，即f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )＝x 2＋mx ＋1(x >0)．又f (0)＝0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋mx ＋1，x >0，0， x ＝0，－x 2＋mx －1，x <0.(2)因为f (x )为奇函数，所以函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，即方程f (x )＝0有五个不相等的实数解，得y ＝f (x )的图象与x 轴有五个不同的交点． 又f (0)＝0，所以f (x )＝x 2＋mx ＋1(x >0)的图象与x 轴正半轴有两个不同的交点， 即方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等正根，记两根分别为x 1，x 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，x 1＋x 2＝－m >0，x 1·x 2＝1>0，解得m <－2.所以，所求实数m 的取值范围是m <－2. 21．解：(1)函数f (x )为奇函数． 证明如下：∵f (x )的定义域为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，关于原点对称，f (x )＋f (－x )＝log a2x ＋11－2x ＋log a －2x ＋11＋2x＝log a 1＝0， ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)函数y ＝f (x )与y ＝m －log a (2－4x )的图象有且仅有一个公共点⇔方程log a 2x ＋11－2x＝m－log a (2－4x )在区间x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12上有且仅有一个实数解． m ＝log a2x ＋11－2x＋log a 2(1－2x )＝log a (4x ＋2)． ∵ －12<x <12，∴0<4x ＋2<4∴log a (4x ＋2)∈(－∞，log a 4)或log a (4x ＋2)∈(log a 4，＋∞)， ∴当a >1时，m ∈(－∞，log a 4)，当0<a <1时，m ∈(log a 4，＋∞)． 22．解：(1)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )， 即log 4(4－x＋1)－kx ＝log 4(4x＋1)＋kx ， ∴log 44x＋14x －log 4(4x＋1)＝2kx ，∴(2k ＋1)x ＝0，∴k ＝－12.(2)依题意知，log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4(a ·2x－a )，整理，得log 4(4x ＋1)＝log 4(a ·2x －a )2x]， ∴4x ＋1＝(a ·2x －a )·2x(*)．令t ＝2x，则(*)变为(1－a )t 2＋at ＋1＝0(**)只需其仅有一正根． ①当a ＝1时，t ＝－1不合题意；②当(**)式有一正一负根时，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－41－a >0，t 1t 2＝11－a <0，得a ＞1；③当(**)式有两相等的正根时，Δ＝0，∴a ＝±22－2，且a2a －1>0， ∴a ＝－2－2 2.综上所述，a 的取值范围为{a |a ＞1或a ＝－2－22}．单元测试卷二(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝x 2－2x －3的零点是( ) A ．1，－3 B ．3，－1 C ．1,2 D ．不存在2．用二分法求方程f (x )＝0在区间(1,2)内的唯一实数解x 0时，经计算得f (1)＝3，f (2)＝－5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝9，则下列结论正确的是( )A ．x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32B ．x 0＝32C ．x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 D ．x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32或x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 3．若函数f (x )＝ax ＋b 的零点是－1(a ≠0)，则函数g (x )＝ax 2＋bx 的零点是( )A ．－1B ．0C ．－1和0D ．1和04．某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的2 000元降到1 280元，则这种手机的价格平均每次降低的百分率是( )A ．10%B ．15%C ．18%D ．20%5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，3，x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则函数y ＝f (x )－x 的零点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(3,4)7．实数a ，b ，c 是图象连续不断的函数y ＝f (x )定义域中的三个数，且满足a <b <c ，f (a )·f (b )<0，f (c )·f (b )<0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，c )上的零点个数为( )A ．2B ．奇数C ．偶数D ．至少2个8．若方程m x－x －m ＝0(m ＞0，且m ≠1)有两个不同实数根，则m 的取值范围是( ) A ．m ＞1 B ．0＜m ＜1 C ．m ＞0 D ．m ＞29．如图，△ABC 为等腰直角三角形，直线l 与AB 相交且l ⊥AB ，直线l 截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y ，点A 到直线l 的距离为x ，则y ＝f (x )的图象大致为四个选项中的( )10．若一次函数f(x)＝ax＋b有一个零点2，则函数g(x)＝bx2－ax的图象可能是( )11．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过200元，则不给予优惠；②如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③如果超过500元，其500元内的按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，则应付款( )A．413.7元 B．513.7元C．546.6元 D．548.7元12．已知0<a<1，则方程a|x|＝|log a x|的实根个数为( )A．2 B．3C．4 D．与a的值有关第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．函数f(x)＝ln x－1x－1的零点的个数是________．14．根据表格中的数据，若函数f(x)＝ln x－x＋2在区间(k，k＋1)(k∈N*)内有一个零点，则k的值为________.x 1234 5ln x 00.69 1.10 1.39 1.61付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶的路程为________km.16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)若二次函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋4a ＋1有一个零点小于－1，一个零点大于3，求实数a 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )的图象过点(0,3)，它的图象的对称轴为x ＝2，且f (x )的两个零点的平方和为10，求f (x )的解析式．19．(本小题满分12分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A 万元，则超出部分按2log 5(A ＋1)进行奖励．记奖金为y (单位：万元)，销售利润为x (单位：万元)．(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型；(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab 的两个零点分别是－3和2. (1)求f (x )；(2)当函数f (x )的定义域是0,1]时，求函数f (x )的值域．21．(本小题满分12分)函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，当x ≤1时，f (x )＝x 2－1. (1)写出y ＝f (x )的解析式并作出图象；(2)根据图象讨论f (x )－a ＝0(a ∈R )的根的情况．22．(本小题满分12分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)．(1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；(2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？答案1．B 解析：令x 2－2x －3＝0得x ＝－1或x ＝3，故选B.2．C 解析：∵f (2)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<0，∴x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 3．C 解析：由条件知f (－1)＝0，∴b ＝a ，∴g (x )＝ax 2＋bx ＝ax (x ＋1)的零点为0和－1，故选C.4．D 解析：由题意，可设平均每次价格降低的百分率为x ， 则有2 000(1－x )2＝1 280，解得x ＝0.2或x ＝1.8(舍去)，故选D.5．C 解析：本题主要考查二次函数、分段函数及函数的零点．f (－4)＝f (0)⇒b ＝4，f (－2)＝－2⇒c ＝2，∴ f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，3，x >0.当x ≤0时，由x 2＋4x ＋2＝x 解得x 1＝－1，x 2＝－2；当x >0时，x ＝3.所以函数y ＝f (x )－x 的零点的个数为3，故选C.6．B 解析：f (1)＝ln(1＋1)－21＝ln 2－2＝ln 2－ln e 2<0，f (2)＝ln(2＋1)－22＝ln 3－1>0，因此函数的零点必在区间(1,2)内，故选B.7．D 解析：由f (a )·f (b )<0知，y ＝f (x )在(a ，b )上至少有一零点，由f (c )·f (b )<0知，y ＝f (x )在(b ，c )上至少有一零点，故y ＝f (x )在(a ，c )上至少有2个零点．8．A 解析：方程m x－x －m ＝0有两个不同实数根，等价于函数y ＝m x与y ＝x ＋m 的图象有两个不同的交点．显然当m ＞1时，如图①有两个不同交点；当0＜m ＜1时，如图②有且仅有一个交点，故选A.9．C 解析：设AB ＝a ，则y ＝12a 2－12x 2＝－12x 2＋12a 2，其图象为抛物线的一段，开口向下，顶点在y 轴正半轴．故选C.10．C 解析：由题意知，2a ＋b ＝0，所以a ＝－b2.因此g (x )＝bx 2＋b 2x ＝b ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋12x ＝b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142－b 16.易知函数g (x )图象的对称轴为x ＝－14，排除A ，D.又令g (x )＝0，得x ＝0或x ＝－0.5，故选C.11．C 解析：设该顾客两次购物的商品价格分别为x ，y 元，由题意可知x ＝168，y ×0.9＝423，∴y ＝470，故x ＋y ＝168＋470＝638(元)，故如果他一次性购买上述两样商品应付款：(638－500)×0.7＋500×0.9＝96.6＋450＝546.6(元)．12．A 解析：设y 1＝a |x |，y 2＝|log a x |，分别作出它们的图象如下图所示．由图可知，有两个交点，故方程a |x |＝|log a x |有两个根．故选A. 13．2 解析：由y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象可知有两个交点．14．3 解析：由表中数据可知，f (1)＝ln 1－1＋2＝1>0，f (2)＝ln 2－2＋2＝ln 2＝0.69>0， f (3)＝ln 3－3＋2＝1.10－1＝0.1>0， f (4)＝ln 4－4＋2＝1.39－2＝－0.61<0， f (5)＝ln 5－5＋2＝1.61－3＝－1.39<0，∴f (3)·f (4)<0，∴k 的值为3.15．9 解析：设乘客每次乘坐出租车需付费用为f (x )元，由题意，得 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧8＋1，x ∈0，3]，9＋x －3×2.15，x ∈3，8]，9＋5×2.15＋x －8×2.85，x ∈8，＋∞，令f (x )＝22.6，显然9＋5×2.15＋(x －8)×2.85＝22.6(x >8)，解得x ＝9.16．(0,1) 解析：画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图所示．由函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，即f (x )－m ＝0有3个不相等的实根，结合图象，得0<m <1.17．解：因为二次函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋4a ＋1的图象开口向下，且在区间(－∞，－1)，(3，＋∞)内各有一个零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧f－1>0，f3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－－12－2a ＋4a ＋1>0，－32＋2a ×3＋4a ＋1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a >0，10a －8>0，解得a >45.18．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由题意知，c ＝3，－b2a＝2.设x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根， 则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a.∵x 21＋x 22＝10，∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝10，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a 2－2c a＝10，∴42－6a ＝10， ∴a ＝1，b ＝－4. ∴f (x )＝x 2－4x ＋3. 19．解：(1)由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.15x ，0<x ≤10，1.5＋2log 5x －9，x >10.(2)x ∈(0,10]，0.15x ≤1.5. 又∵y ＝5.5，∴x >10，∴1.5＋2log 5(x －9)＝5.5，∴x ＝34. ∴老江的销售利润是34万元．20．解：(1)∵f (x )的两个零点是－3和2， ∴函数图象过点(－3,0)，(2,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b －8－a －ab ＝0，①4a ＋2b －8－a －ab ＝0.②①－②，得b ＝a ＋8.③③代入②，得4a ＋2a －a －a (a ＋8)＝0， 即a 2＋3a ＝0. ∵a ≠0，∴a ＝－3，∴b ＝a ＋8＝5.∴f (x )＝－3x 2－3x ＋18. (2)由(1)得f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＋18，图象的对称轴是x ＝－12，又0≤x ≤1，∴f (x )min ＝f (1)＝12，f (x )max ＝f (0)＝18， ∴函数f (x )的值域是12,18]．21．解：(1)由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1x ≤1，x －22－1x >1.图象如图所示．(2)当a <－1时，f (x )－a ＝0无解； 当a ＝－1时，f (x )－a ＝0有两个实数根； 当－1<a <0时，f (x )－a ＝0有四个实数根； 当a ＝0时，f (x )－a ＝0有三个实数根； 当a >0时，f (x )－a ＝0有两个实数根． 22．解：(1)设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x ， 所以f (1)＝18＝k 1，g (1)＝12＝k 2，即f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝12x (x ≥0)． (2)设投资债券类产品x 万元，则股票类投资为(20－x )万元． 依题意，得y ＝f (x )＋g (20－x ) ＝x 8＋1220－x (0≤x ≤20)． 令t ＝20－x (0≤t ≤25)． 则y ＝20－t 28＋12t ＝－18(t －2)2＋3，所以当t ＝2，即x ＝16(万元)时，收益最大，最大收益为3万元．。
人教A版第三章函数的应用综合测试题(解析版)-高一数学寒假补差训练(人教A版必修1+必修2)
专题6：人教A 版第三章函数的应用综合测试题（解析版）一、单选题1．设()ln 2f x x x =+-，则函数()f x 的零点所在的区间为（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)1．B【分析】根据()f x 的单调性，结合零点存在性定理，即可得出结论.【详解】 ()ln 2f x x x =+-在(0,)+∞单调递增，且(1)10,(2)ln20f f =-<=>，根据零点存在性定理，得()f x 存在唯一的零点在区间(1,2)上.故选：B【点睛】本题考查判断函数零点所在区间，结合零点存在性定理的应用，属于基础题. 2．若一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为( )A ．B ．C ．D ． 2．B【解析】依题设可知，蜡烛高度h 与燃烧时间t 之间构成一次函数关系，又∵函数图象必过点(0,20)、(4,0)两点，且该图象应为一条线段．∴选B.3．利用二分法求方程3log 5x x =-的近似解，可以取得一个区间（ ） A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)3．D【分析】根据零点存在定理判断．【详解】设3()log 5f x x x =-+，则函数单调递增由于3(3)log 35310f =-+=-<，33(4)log 454log 410f =-+=->，∴()f x 在(3,4)上有零点．故选：D.【点睛】本题考查方程的解与函数零点问题．掌握零点存在定理是解题关键．4．若函数()27x f x x =+-的零点所在的区间为(,1)()k k k +∈Z ,则k =( )A ．3B ．4C ．1D ．24．D【分析】结合零点存在性定理和函数()f x 的单调性，求得k 的值.【详解】 ∵(2)4270,(3)8370,f f =+-<⎧⎨=+->⎩且()f x 单调递增,∴()f x 的零点所在的区间为（2,3）,∴2k =. 故选：D【点睛】本小题主要考查零点存在性定理的运用，考查函数的单调性，属于基础题.5．用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )A ．x 1B ．x 2C ．x 3D ．x 45．C【解析】 观察图象可知：点x 3的附近两旁的函数值都为负值，∴点x 3不能用二分法求，故选C.6．函数21()f x x x =+，(0,)x ∈+∞的零点个数是（ ）. A ．0B ．1C ．2D ．36．A【分析】 根据函数定义域，结合零点定义，即可容易判断和求解.【详解】由于20x >，10x>， 因此不存在(0,)x ∈+∞使得21()0f x x x=+=， 因此函数没有零点.故选：A .【点睛】本题考查函数零点的求解，属简单题. 7．用二分法求函数()f x 的一个正实数零点时，经计算：()()0.640,0.720f f <>，()0.680f <，()0.740f >，则函数()f x 的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为A ．0.64B ．0.8C ．0.7D ．0.67．C【分析】由题意根据函数零点的判定定理可得，函数零点所在的区间为（0.68，0.72），从而得出结论．【详解】因为()0.680f <，()0.720f >，即()()0.680.720f f ⋅<，所以函数()f x 的零点在区间()0.68,0.72内．又0.720.680.040.1-=<，观察各选项可知函数()f x 的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为0.7．故选C ．【点睛】本题主要考查函数零点的判定定理的应用，属于基础题．8．已知函数()221,11,1x x f x log x x ⎧-=⎨+>⎩，则函数()f x 的零点为（ ）A ．1,02B ．2-，0C ．12D ．08．D【分析】函数()f x 的零点，即令()0f x =分段求解即可.【详解】函数221,1()1,1x x f x log x x ⎧-=⎨+>⎩当1x 时，令()210x f x =-=，解得0x =当1x >时，令2()1log 0f x x =+=，解得12x =（舍去） 综上函数的零点为0故选：D ．【点睛】本题考查函数的零点个数，考查分段函数的知识，属于基础题.9．设f （x ）=3x +3x –8，用二分法求方程3x +3x –8在x ∈（1，2）内方程的近似解，则方程的根落在区间（参考数据31.25≈3.95）A ．（1，1.25）B ．（1.25，1.5）C ．（1.5，2）D ．不能确定9．B【分析】显然函数单调递增，然后利用二分法求（1，2）的中间值f （1.5）0>，再将范围限制（1，1.5），再利用二分法继续下次知道和选项逼近即可【详解】显然函数单调递增，f （1）<0，f （2）>0，f （1.5）=31.5+3×1.5–8=323 4.58+-=4.58->4.580->，f （1.25）=31.25+3×1.25–8<0，∴f （1.25）•f （1.5）<0，∴方程的根落在区间（1.25，1.5），故选B ．【点睛】利用二分法判断函数零点的区间，首先确保函数在所给区间内连续，然后利用二分法算出所给区间的中间值，进而一步步将区间范围缩小10．已知碳14是一种放射性元素，在放射过程中，质量会不断减少．已知1克碳14经过5730年，质量经过放射消耗到0.5克，则再经过多少年，质量可放射消耗到0.125克（ ） A ．5730B ．11460C ．17190D ．22920 10．B【分析】根据由题意可知再经过2个半衰期可消耗到0.125克.【详解】由题意可得：碳14的半衰期为5730年，则再过5730年后，质量从0.5克消耗到0.25克，过11460年后，质量可消耗到0.125克．故选：B.【点睛】本题考查指数函数的应用，属于基础题.11．已知二次函数22()(5)6(0)f x ax a x a a =+-+-≠的图象与x 轴交于()1,0M x ，()2,0N x 两点，且12112x x -<<<<，则a 的取值范围是（ ）A ．(2,1+B ．()1C ．()1++∞D ．(,2-∞- 11．B【分析】讨论0a >、0a <，根据零点的范围，结合二次函数的性质列不等式组求解即可得a 的取值范围.【详解】若0a >，则(1)0(1)0(2)0f f f ->⎧⎪<⎨⎪>⎩，即2221021106160a a a a a ⎧->⎪+-<⎨⎪+->⎩，解得21a <<；若0a <，则(1)0(1)0(2)0f f f -<⎧⎪>⎨⎪<⎩，即2221021106160a a a a a ⎧-<⎪+->⎨⎪+-<⎩，不等式组无解.故a的取值范围是()1.故选：B 12．已知函数()()()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩若函数()()2y f x f x m =+--()m R ∈恰有2个零点，则m 的取值范围是（ ）A ．()2,+∞B ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,2D ．(),2-∞12．A【分析】求得函数()()2y f x f x =+-的解析式，画出()()2y f x f x =+-的图象，由此求得m 的取值范围.【详解】 由()()()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩得()()()2,02,0x x f x x x ⎧≥⎪-=⎨<⎪⎩， 所以()()()()()222,022,0234,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩，所以函数()()2y f x f x m =+--恰有2个零点等价于函数y m =与函数()()2y f x f x =+-的图象有2个公共点，由图象可知2m >.故选：A二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，若直线y a =与函数2y x a a =-+-的图象有且只有一个公共点，则实数a 的值为______.13．1【分析】在同一坐标系中作出函数y a =与函数2y x a a=-+-的图象，根据只有一个公共点，利用数形结合法求解.【详解】在同一坐标系中作出函数y a =与函数2y x a a =-+-的图象，如图所示：因为只有一个公共点，所以2a a -=，解得1a =.故答案为：114．已知函数()1,2,x x x a f x x a+≤⎧=⎨>⎩，若存在两个不相等的实数12,x x ，使得()()12f x f x =，则实数a 的取值范围是__________．14．01a <<【分析】根据1y x =+与2xy =交于(0,1)和(1,2)点，即可求解结论．【详解】解：因为存在两个不相等的实数1x ，2x ，使得12()()f x f x =，故函数不是单调函数，又因为1y x =+与2x y =交于(0,1)和(1,2)点，故须01a <<．故答案为：(0,1)．15．方程243x x m -+-=有四个互不相等的实数根，则实数m 的取值范围为_________. 15．()3,1-【分析】 方程243x x m -+-=有四个互不相等的实数根即243y x x =-+与y m =-的图象有四个不同的交点，作出函数图象可得实数m 的取值范围．【详解】 方程243x x m -+-=有四个互不相等的实数根即243y x x =-+与y m =-的图象有四个不同的交点 作出22243,04343,0x x x y x x x x x ⎧-+>=-+=⎨++≤⎩的函数图象如图所示：当2x =时，1y =-；0x =时，3y =，∴13m -<-<，()3,1m ∈-故答案为：()3,1-16．已知1x ，2x 是函数()()2221f x x k x k =-++的两个零点且一个大于1，一个小于1，则实数k 的取值范围是___________.16．02k <<【分析】根据二次函数的零点分布情况，得到()10f >，求解对应不等式，即可得出结果.【详解】因为1x ，2x 是函数()()2221f x x k x k =-++的两个零点且一个大于1，一个小于1， 二次函数()()2221f x x k x k =-++开口向上， 所以只需()()2211012f k k -++<=，即220k k -<， 解得02k <<.故答案为：02k <<.三、解答题17．已知函数32()2()3x f x x ax a R =--∈．（1）若()y f x =在()3,+∞上为增函数，求实数a 的取值范围； （2）若12a =-，设()ln(1)()g x x f x =-+，且方程3(1)(1)3xb g x x --=+有实根，求实数b 的最大值．17．（1）32a ≤（2）0 【解析】试题分析：（1）求导()'2220fx x x a =--≥在区间（3，+∞）上恒成立，从而转化为最值问题求解即可；（2）化简方程可得2ln b x x x x+-=，从而化为2(ln )b x x x x =+-在（0，+∞）上有解，从而讨论函数2()(ln )p x x x x x =+-的值域即可试题解析：（1）∵()f x 在区间()3,+∞上为增函数， ∴2'()220f x x x a =--≥即222a x x ≤-在区间()3,+∞上恒成立． ∵在()3,+∞内223x x -< ∴23a ≤即32a ≤（2）方程3(1)(1)3x b g x x --=+可化为2ln b x x x x +-=． ∴条件转化为2(ln )b x x x x =+-在()0,+∞上有解， 令2()(ln )p x x x x x =+-，∴即求函数2()(ln )p x x x x x =+-在()0,+∞上的值域． 令2()ln h x x x x =+-， 则1(21)(1)'()12x x h x x x x +-=+-=，∴当01x <<时'()0h x >，从而()h x 在()0,1上为增函数， 当1x >时'()0h x <，从而()h x 在()1,+∞上为减函数， 因此()(1)0h x h ≤=．又∵0x >，故()()0p x x h x =⋅≤，∴0b ≤因此当1x =时，b 取得最大值0．考点：根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性18．已知函数()lg f x kx =，()()lg 1g x x =+．（Ⅰ）当=1k 时，求函数()()y f x g x =+的单调区间；（Ⅱ）若方程()2()f x g x =仅有一个实根，求实数k 的取值集合．18．（1）单调递增区间为(0,)+∞，不存在单调递减区间；（2）0k <或4k =；【解析】试题分析：（1）由题可知，将=1k 代入，可得()()lg lg(1)lg (1)y f x g x x x x x =+=++=+，由于真数x （x+1）>0,可知x （x+1）在定义域上始终递增，外层对数函数始终递增，即单调递增区间为(0,)+∞，不存在单调递减区间；（2）由题可知，由()2()f x g x =，即lg 2lg(1)kx x =+，根据真数大于0，真数相等，可列出不等式组，对k 进行讨论，即可得出k 的取值； 试题解析：（Ⅰ）当=1k 时，()()lg lg(1)lg (1)y f x g x x x x x =+=++=+ （其中0x >），由复合函数单调性可知内层函数x （x+1）在定义域上始终递增，外层对数函数始终递增，所以，()()y f x g x =+的单调递增区间为(0,)+∞，不存在单调递减区间；（Ⅱ）由()2()f x g x =，即lg 2lg(1)kx x =+．该方程可化为不等式组 ()20101kx x kx x ⎧>⎪⎪+>⎨⎪=+⎪⎩（1）若0k >时，则0x >，原问题即为：方程2(1)kx x =+在(0,)+∞上有根，解得4k =；（2）若0k <时，则10x -<<，原问题即为：方程2(1)kx x =+在(1,0)-上有根，解得0k <．综上可得0k <或4k =为所求．考点：①复合函数的单调性②对数函数单调性的应用19．已知函数221()11x m f x x x x x -=----- (Ⅰ)若函数()f x 无零点，求实数m 的取值范围；(Ⅱ)若函数()f x 在(2,2)-有且仅有一个零点，求实数m 的取值范围．19．(Ⅰ) 47|{<m m 或2}m =；(Ⅱ)7{|4m m =或48}m ≤<。
必修1第三章函数的应用检测试题及答案与评分标准
《必修1》第三章“函数的应用”检测试题一、选择题：(本大题共10个小题，每小题６分，共６０分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的)1. 函数223y x x =--的零点是（ ）A ．1,3-B ．3,1-C ．1,2D ．不存在2. 某种植物生长发育的数量y 与时间x 的关系如下表：A ．y ＝2x －1B ．y ＝x 2－1C ．y ＝2x－1D ．y ＝1.5x 2－2.5x ＋2３．下列函数中增长速度最快的是（ ）Ａ．1100xy e =B ．y=100ln xC ．y=100xD ．1002x y =⋅4．已知函数2212341,2,21,2,x y y x y x y x==--=-=其中能用二分法求出零点的函数个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45. 若函数()f x 唯一的零点一定在三个区间(2,16)2824、（，）、（，）内，那么下列命题中正确的是（ ）A ．函数()f x 在区间(2,3)内有零点B ．函数()f x 在区间(2,3(3,4)）或内有零点C ．函数()f x 在区间(3,16)内有零点D ．函数()f x 在区间(4,16)内无零点6. 如图表示人的体重与年龄的关系，则（ ）A ．体重随年龄的增长而增加B ．25岁之后体重不变C ．体重增加最快的是15~25岁D ．体重增加最快的是15岁之前7. 世界人口已超过60亿，若按千分之一的年增长率计算，则两年增长的人口约为（ ）A ．120万B ．1100万C ．1200万D ．12000万8. 已知函数()24f x mx =+，若在[]2,1-上存在0x 使0()0f x =，则实数m 的取值范围是（）A ．5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.(][),21,-∞-+∞C. []1,2-D. []2,1-9. 若商品进价每件40元，当售价为50元/件时，一个月能卖出500件，通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件。
秋人教A版必修1《第三章函数的应用》章末检测卷含解析
第三章章末检测卷一、选择题(12×5分＝60分)1．函数f(x)＝x ln x的零点为()A．0或1B．1C．(1,0) D．(0,0)或(1,0)【解析】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由f(x)＝0得x＝0或ln x＝0，即x＝0或x＝1.又因为x∈(0，＋∞)，所以x＝1.故选B.【答案】 B2．下列函数中能用二分法求零点的是()【解析】能用二分法求零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，由图象可得，只有C能满足此条件，故选C.【答案】 C3．若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,6)，(2,4)内，那么下列命题中正确的是()A．f(x)在区间(2,3)内有零点B．f(x)在区间(3,4)内有零点C．f(x)在区间(3,16)内有零点D．f(x)在区间(0,2)内没零点【解析】由于函数y＝f(x)的零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,6)内，因此函数零点在区间(0,6)内，又函数零点在(2,4)内，因此函数零点不可能在(0,2)内，故选D.【答案】 D4．若函数f(x)＝x2＋4x＋a没有零点，则实数a的取值范围为()A．(－∞，4) B．(4，＋∞)C．(－∞，4] D．[4，＋∞)【解析】由题意知关于方程x2＋4x＋a＝0，Δ＝42－4×1×a<0，即16－4a<0，解得a>4.故选B.【答案】 B5．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是()【解析】兔子在中间一段时间内路程是不变的，且当乌龟到达终点时兔子还差一点，选B.【答案】 B6．方程0.9x－221x＝0的实数解的个数是() A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】设f(x)＝0.9x－221x，则函数f(x)为减函数，值域为R，所以函数f(x)的图象必与x轴有一个交点，即方程0.9x－221x＝0有一解．【答案】 B7．如表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据，判断它最可能的函数模型是()x 45678910y 15171921232527A.一次函数模型B．二次函数模型C．指数函数模型D．对数函数模型【解析】画出散点图，如图．由图可知其最可能的函数模型为一次函数模型，故选A.【答案】 A8．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)≈－0.984f(1.375)≈－0.260f(1.4375)≈0.162f(1.406 25)≈－0.054那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度0.1)为() A．1.2 B．1.3C．1.4 D．1.5【解析】根据题意知函数的零点在1.406 25至1.437 5之间，且|1.406 25－1.437 5|＝0.031 25<0.1，取其中点作为函数零点符合精确运算，所以1.4是方程的一个近似解．故选C.【答案】 C9．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数，现知一企业生产某种商品的数量为x件时的成本函数为c(x)＝20＋2x＋12x2(万元)，若售出一件商品收入是20万元，那么该企业为获取最大利润，应生产这种商品的数量为() A．18件B．36件C．22件D．9件【解析】设获取的利润为y，y＝20x－c(x)＝20x－20－2x－12x2＝－12x2＋18x－20.所以x ＝18时，y 有最大值．故选A. 【答案】 A10．函数f (x )＝x 2＋ln|x |的零点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】 由题意，作函数y ＝x 2与y ＝－ln |x |的图象如下，结合图象知，函数y ＝x 2与y ＝－ln |x |的图象有两个交点，即函数f (x )＝x 2＋ln |x |的零点的个数为2，故选B.【答案】 B11．函数f (x )＝3ax ＋1－2a ，在区间(－1,1)上存在一个零点，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，15 D ．(－∞，－1)【解析】 由题意⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)<0，f (1)>0或⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)>0，f (1)<0.即⎩⎨⎧－3a ＋1－2a <0，3a ＋1－2a >0或⎩⎨⎧－3a ＋1－2a >0，3a ＋1－2a <0.整理得⎩⎨⎧1－5a <0，a ＋1>0或⎩⎨⎧1－5a >0，a ＋1<0.解得a >15或a <－1，故选A. 【答案】 A12．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (毫克/升)与过滤时间t (时)之间的函数关系式为P ＝P 0e －kt (k ，P 0均为正的常数)．如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么至少还需________时间过滤才可以排放．( )A.12小时B.59小时C ．5小时D ．10小时【解析】 由题意，知前5个小时排除了90%的污染物． 因为P ＝P 0e －kt ，所以(1－90%)P 0＝P 0e －5k ， 所以0.1＝e －5k ，即－5k ＝ln 0.1，所以k ＝－15ln 0.1.设t 小时后污染物含量为1%， 由1%P 0＝P 0e －kt ，得0.01＝e －kt ， 所以－kt ＝ln 0.01， 即t5ln 0.1＝ln 0.01＝2ln 0.1， 所以t ＝10.即至少还需5个小时过滤才可以排放，故选C. 【答案】 C二、填空题(4×5分＝20分)13．已知函数f (x )＝23x ＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为________．【解析】 由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12.【答案】 －1214．在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可以断定该根所在区间为________．【解析】 设f (x )＝x 2－2x －1，因为一根在区间(1,2)上，根据二分法的规则，取区间中点32，因为f (1)＝－2<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝278－4<0，f (2)＝3>0，所以下一步可以断定该根所在区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 15．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，(x ≥2)(x －1)3，(x <2)若函数y ＝f (x )－k 有两个零点，则实数k 的取值范围是________． 【解析】 画出分段函数f (x )的图像如图所示．结合图像可以看出，函数y ＝f (x )－k 有两个零点，即y ＝f (x )与y ＝k 有两个不同的交点，k 的取值范围为(0,1)． 【答案】 (0,1)16．已知函数t ＝－144lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－N 100的图像可表示打字任务的“学习曲线”，其中t (小时)表示达到打字水平N (字/分钟)所需的学习时间，N (字/分钟)表示每分钟打出的字数，则按此曲线要达到90字/分钟的水平，所需的学习时间是________小时．【解析】 当N ＝90时，t ＝－144lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－90100＝144.【答案】 144三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)用二分法求方程2x ＋x －8＝0在区间(2,3)内的近似解．(精确度为0.1，参考数据：22.5≈5.657，22.25≈4.757,22.375≈5.187,22.437 5≈5.417，22.75≈6.727)【解析】 设函数f (x )＝2x ＋x －8， 则f (2)＝22＋2－8＝－2<0， f (3)＝23＋3－8＝3>0， 所以f (2)·f (3)<0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点x 0，即原方程的解．用二分法逐次计算，列表如下：区间中点的值中点函数近似值 (2,3) 2.5 0.157 (2,2.5) 2.25 －0.993 (2.25,2.5) 2.375 －0.438 (2.375,2.5) 2.437 5 －0.145 5由表中数据可得x 0∈(2,2.5)，x 0∈(2.25,2.5)，x 0∈(2.375,2.5)，x 0∈(2.437 5,2.5)．因为|2.437 5－2.5|＝0.062 5<0.1，所以方程2x ＋x －8＝0在区间(2,3)内的近似解可取为2.437 5. 18．(12分)若函数y ＝ax 2－x －1只有一个零点，求实数a 的取值范围．【解析】 (1)若a ＝0，则f (x )＝－x －1为一次函数，函数必有一个零点－1.(2)若a ≠0，函数是二次函数，因为二次方程ax 2－x －1＝0只有一个实数根，所以Δ＝1＋4a ＝0，得a ＝－14.综上，当a ＝0和－14时，函数只有一个零点．19．(12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2x ，x >12，x 2＋2x ＋a －1，x ≤12.(1)若a ＝1，求函数f (x )的零点；(2)若函数f (x )在[－1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．【解析】 (1)当a ＝1时，由x －2x ＝0⇒x ＝2，x 2＋2x ＝0⇒x 1＝0，x 2＝－2，所以f (x )的零点为2，0，－2.(2)显然，函数g (x )＝x －2x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上递增，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－72；函数h (x )＝x 2＋2x ＋a －1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上也递增，且h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝a ＋14，故若函数f (x )在[－1，＋∞)上为增函数，则a ＋14≤－72，所以a ≤－154，故a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－154. 20．(12分)某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为60，整治后前四月的污染度如下表：月数 1 2 3 4 … 污染度60 31 13 0 … 污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：f (x )＝20|x －4|(x ≥1)，g (x )＝203(x －4)2(x ≥1)，h (x )＝30|log 2x －2|(x ≥1)，其中x 表示月数，f (x )，g (x )，h (x )分别表示污染度．(1)选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；(2)若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60?【解析】 (1)用h (x )模拟比较合理，理由如下： 因为f (2)＝40，g (2)≈26.7，h (2)＝30，f (3)＝20，g (3)≈6.7，h (3)≈12.5， 由此可得h (x )更接近实际值， 所以用h (x )模拟比较合理．(2)因为h (x )＝30|log 2x －2|在x ≥4时是增函数，又因为h (16)＝60，故整治后有16个月的污染度不超过60. 21．(12分)某商品在近100天内，商品的单位f (t )(元)与时间t (天)的函数关系式如下：f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 4＋22，0≤t ≤40，t ∈Z ，－t 2＋52，40<t ≤100，t ∈Z .销售量g (t )与时间t (天)的函数关系式是g (t )＝－t 3＋1123(0≤t ≤100，t ∈Z )．这种商品在这100天内哪一天的销售额最高？【解析】 依题意，该商品在近100天内日销售额F (t )与时间t (天)的函数关系式为F (t )＝f (t )·g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫t 4＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 3＋1123，0≤t ≤40，t ∈Z ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－t2＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 3＋1123，40<t ≤100，t ∈Z .(1)若0≤t ≤40，t ∈Z ，则F (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 4＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 3＋1123＝－112(t －12)2＋2 5003，当t ＝12时，F (t )max ＝2 5003(元)．(2)若40<t ≤100，t ∈Z ，则F (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 2＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 3＋1123 ＝16(t －108)2－83，∵t ＝108>100，∴F (t )在(40,100]上递减，∴当t ＝41时，F (t )max ＝745.5. ∵2 5003>745.5，∴第12天的日销售额最高． 22．(12分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x .(1)求f (x )的解析式，并画出f (x )的图象； (2)设g (x )＝f (x )－k ，利用图象讨论：当实数k 为何值时，函数g (x )有一个零点？二个零点？三个零点？【解析】 (1)当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x . 设x <0，可得－x >0，则f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x ，因为函数f (x )为奇函数，则f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x ，所以f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0函数的图象如图所示．(2)由g (x )＝f (x )－k ＝0 可得f (x )＝k ， 结合函数的图象可知：①当k <－1或k >1时，y ＝k 与y ＝f (x )的图象有1个交点，即g (x )＝f (x )－k 有1个零点；②当k ＝－1或k ＝1时，y ＝k 与y ＝f (x )的图象有2个交点，即g (x )＝f (x )－k 有2个零点；③当－1<k <1时，y ＝k 与y ＝f (x )的图象有3个交点，即g (x )＝f (x )－k 有3个零点．。
高一上学期数学(必修一)《第三章函数的应用》同步练习题及答案(人教版)
高一上学期数学(必修一)《第三章函数的应用》同步练习题及答案(人教版)一、单选题1．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，第一季度共获利42万元，已知二月份和三月份利润的月增长率相同.设二、三月份利润的月增长率为x ，则x 满足的方程为（ ）A ．210(1)42x +=B ．21010(1)42x ++=C ．1010(1)10(12)42x x ++++=D ．21010(1)10(1)42x x ++++=2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（ ）A ．310元B ．300元C ．390元D ．280元3．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x 辆该品牌车的利润（单位：万元）分别为2121L x x=-+和22L x =.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为（ ）A ．90万元B ．60万元C ．120万元D ．120.25万元4．把长为12cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（ ）A ．233cm 2B ．24cmC ．232cmD ．223cm5．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为（ ）m ．A ．400B ．12C ．20D ．306．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N 满足关系2010000.70.3v N v v d =++，其中0d 为安全距离，v为车速()m /s .当安全距离0d 取30m 时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ）A ．135B ．149C ．165D ．1957．某中学体育课对女生立定跳远项目的考核标准为：立定跳远距离1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分．若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分，则该女生训练后，立定跳远距离增加了（ ）A ．0.33米B ．0.42米C ．0.39米D ．0.43米8．周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从A 地出发前往B 地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟.乙骑行25分钟后，甲以原速的85继续骑行，经过一段时间，甲先到达B 地，乙一直保持原速前往B 地.在此过程中，甲、乙两人相距的路程y （单位：米）与乙骑行的时间x （单位：分钟）之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．乙的速度为300米/分钟B ．25分钟后甲的速度为400米/分钟C ．乙比甲晚14分钟到达B 地D ．A 、B 两地之间的路程为29400米二 、多选题 9.根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)=√x x <A,√A x ⩾A(A,c 为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，下列结果正确的是（ ）A. A =16B. c =60C. A =4D. c =3010.对任意两个实数a ，b ，定义max{ a,b}={a,a >b,若f(x)=2−x 2，g(x)=x 2下列关于函数F(x)=max{ f(x),g(x)}的说法正确的有（ ）A. 函数F(x)是偶函数B. 函数F(x)有四个单调区间C. 方程F(x)=2有四个不同的根D. 函数F(x)的最大值为1，无最小值11.函数y =[x]的函数值表示不超过x 的最大整数．例如[1.1]=1，[2.3]=2设函数f(x)={1−x 2,x <0,x −[x],x ⩾0,则下列说法正确的是（ ）A. 函数f(x)的值域为(−∞,0]B. 若x ⩾0，则[f(x)]=0C. 方程f(x)=1有无数个实数根D. 若方程f(x)=−x +a 有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围是[0,+∞)12.已知函数f(x)={x 2,x ⩽0,−x 2,x >0,则下列结论中正确的是（ ） A. f(√2)=2B. 若f(m)=9，则m ≠±3C. f(x)是奇函数D. 在f(x)上R 单调递减三、填空题13．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算． 可以享受折扣优惠金额折扣优惠率 不超过500元的部分5% 超过500元的部分 10% 某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为__________元．14．函数()()222323y x x x x =---+零点的个数为_____________.15．如图，在半径为4（单位：cm ）的半圆形（O 为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD ，其顶点,A B 在直径上，顶点,C D 在圆周上，则矩形ABCD 面积的最大值为____（单位：2cm ）.四、解答题16.．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽2m ，渠深为1.8m ，斜坡的倾斜角是45°（无水状态不考虑）.(1)试将横断面中水的面积()A h （2m ）表示成水深h （m ）的函数；(2)当水深为1.2m 时，求横断面中水的面积.17．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，把每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）表示为养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数.当04x <≤时，v 的值为2；当420x <≤时，v 是关于x 的一次函数.当x ＝20时，因缺氧等原因，v 的值为0.(1)当020x <≤时，求函数()v x 的表达式；(2)当x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）()()f x x v x =⋅可以达到最大？并求出最大值.18．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为21200800002y x x =-+ ，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元. (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？19．吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产x 万盒，需投入成本()h x 万元，当产量小于或等于50万盒时()180100h x x =+；当产量大于50万盒时()2603500h x x x =++，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y （万元）关于产量x （万盒）的函数关系式；(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？20．随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）和车流密度x （单位：辆/千米）所满足的关系式：()60,030R 80,30120150x v k k x x <≤⎧⎪=∈⎨-<≤⎪-⎩.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时.(1)若车流速度v 不小于40千米/小时，求车流密度x 的取值范围；(2)隧道内的车流量y （单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y x v =⋅，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.（参考数据：5 2.236） 参考答案1．D 2．B3．C4．D5．C6．B7．B8．C9.AB;10.AB;11.BD;12.CD;13．112014．215．1616.（1）依题意，横断面中的水面是下底为2m ，上底为()22h +m ，高为h m 的等腰梯形，所以()()()222220 1.82h A h h h h h ++=⋅=+<≤. （2）由（1）知()()220 1.8A h h h h =+<≤ ()21.2 1.22 1.2 3.84h =+⨯=所以当水深为1.2m 时，横断面水中的面积为3.842m .17.（1）依题意，当04x <≤时()2v x =；当420x <≤时，()v x 是关于x 的一次函数，假设()(0)v x ax b a =+≠则42200a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得0.1252.5a b =-⎧⎨=⎩所以()2,040.125 2.5,420x v x x x <≤⎧=⎨-+<≤⎩. （2）当04x <≤时()()()2028v x f x x v x x =⇒<=⋅=≤；当420x <≤时()()20.125 2.50.125 2.5v x x f x x x =-+⇒=-+当()2.51020.125x =-=⨯-时，()f x 取得最大值()1012.5f =. 因为12.58>，所以当x ＝10时，鱼的年生长量()f x 可以达到最大，最大值为12.53/千克米.18.（1）由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为180000180000200220020022y x x x x x=+-≥⋅-=； 当且仅当1800002x x = ，即400x = 时等号成立 故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元.（2）不获利，设该单位每个月获利为S 元，则2211100100200800003008000022S x y x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭()21300350002x =--- 因为[]400,600x ∈，则[]80000,40000S ∈--故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.19.（1）当产量小于或等于50万盒时20020018010020300y x x x =---=-当产量大于50万盒时222002006035001403700y x x x x x =----=-+-故销售利润y （万元）关于产量x （万盒）的函数关系式为220300,050,N 1403700,50x x y x x x x -≤≤⎧=∈⎨-+->⎩（2）当050x ≤≤时2050300700y ≤⨯-=；当50x >时21403700y x x =-+-当140702x ==时，21403700y x x =-+-取到最大值，为1200． 因为7001200<，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．20.（1）解：由题意知当120x =（辆/千米）时，0v =（千米/小时）代入80150k v x=--，解得2400k = 所以60,030240080,30120150x v x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩. 当030x <≤时，6040v =≥，符合题意；当30120x <≤时，令24008040150x-≥-，解得90x ≤，所以3090x <≤. 所以，若车流速度v 不小于40千米/小时，则车流密度x 的取值范围是(]0,90.（2）解：由题意得60,030240080,30120150x x y x x x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩当030x <≤时，60y x =为增函数，所以1800y ≤，当30x =时等号成立；当30120x <≤时 ()()2150180150450024004500808080180150150150150x x x y x x x x x --+--⎡⎤⎛⎫=-==--+ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎣⎦ 4800(35)3667≤-≈. 当且仅当4500150150x x-=-，即30(55)83x =-≈时等号成立. 所以，隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时，此时车流密度约为83辆/千米.。
第3章函数的应用测试题
第三章测试一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．二次函数f(x)＝2x2＋bx－3(b∈R)的零点个数是()A．0B．1C．2 D．不确定解析：方程2x2＋bx－3＝0的判别式Δ＝b2＋24>0恒成立，所以方程有两个不等实根，因而函数f(x)有两个零点．答案：C2．若函数y＝f(x)唯一的一个零点在区间(0,2)，(1,2)，(0,4)内，则下列命题中正确的是() A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点B．函数f(x)在区间(1,1.5)内有零点C．函数f(x)在区间(2,4)内无零点D．函数f(x)在区间(1,4)内无零点解析：可用排除法，由题意知在(0,1)内没有零点，所以A错．B不一定，因为在(1,4)内一定有零点，所以D错，故C正确．答案：C3．(2010·湖南岳阳高三第一次质检)根据表中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间是()x－1123ex0.3712.727.3920.09x＋212345A.(－1,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)4．方程lnx＋2x－8＝0根的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：f(x)＝ex－x2＋8x，f(－2)＝e－2－4－16<0，f(－1)＝e－1－1－8<0，f(0)＝e0＝1＞0，∴f(x)在区间(－1,0)内至少有一个零点，故选B.答案：B8．某商品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝0.1x2－11x＋3000，若每台产品的售价为25万元，则生产者的利润取最大值时，产量x等于()A．55台B．120台C．150台D．180台解析：设产量为x台时，利润为S万元，则S＝25x－y＝25x－(0.1x2－11x＋3000)＝－0.1x2＋36x－3000＝－0.1(x－180)2＋240，∴当x＝180时，生产者的利润取最大值．故选D.答案：D9．有一组实验数据如下表所示.t12345s1.55.914.324.137下列所给函数模型较适合的是()A．y＝ax＋b(a>1) B．y＝ax2＋b(a>0)C．y＝logax(a>1) D．y＝logax＋b(a>1)解析：由表可知，函数为增函数，而且增长较快，因此可排除A、C、D，故选B.答案：B10．实数a、b、c是图象连续不断的函数y＝f(x)定义域中的三个数，且满足a<b<c，f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，c)上的零点个数为()A．2 B．奇数超过18 m3的部分9元/m3若某户居民本月交纳的水费为48元，则此户居民本月用水量()A．比12 m3少B．比12 m3多，但不超过18 m3C．比18 m3多D．恰为12 m3答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．函数y＝x2与函数y＝xlgx在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________．解析：当x>0时，x>lgx，∴x2>xlgx，∴在(0，＋∞)上增长较快的一个是y＝x2.答案：y＝x214．下表列出了一项试验的统计数据，表示将皮球从高h米处落下，弹跳高度d与下落高度h的关系.h(米)5080100150…d(米)25405075…写出一个能表示这种关系的式子为________．答案：d＝答案：①⑤三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3和2，求f(x)．解：∵f(x)的两个零点是－3和2，∴函数f(x)的图象过点(－3,0)和(2,0)，∴9a－3(b－8)－a－ab＝0，①4a＋2(b－8)－a－ab＝0，②①－②得b＝a＋8③③代入②得4a＋2a－a－a(a＋8)＝0，即a2＋3a＝0.∵a≠0，∴a＝－3，b＝a＋8＝5.∴f(x)＝－3x2－3x＋18.答案：－5－1931(1,2)区间中点mf(m)的符号区间长度(1,2)1.51(1,1.5)1.250.5(1,1.25)1.1250.25(1.125,1.25)1.18750.125(1.125,1.1875)0.0625|1.1875－1.125|＝0.0625<0.1原方程的近似解可取1.187519．(本小题满分12分)某桶装水经营部每天房租、工作人员工资等固定成本为200元，每桶水进价为5元，销售单价与日销售量的关系如下表：销售单价(元)6789101112日销售量(桶)480440400360320280240请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？最大利润是多少？解：设每桶水在进价的基础上上涨x元，利润为y元．由表格中的数据可知，价格每上涨1元，日销售量就减少40桶，所以涨价x元后，日销售桶数为480－40(x－1)＝520－40x>0，∴0<x<13.则利润y＝(520－40x)x－200.＝－40x2＋520x－200＝－402＋1490.∵0<x<13.∴当x＝6.5时，利润最大．即当每桶的价格为11.5元时，利润最大值为1490元．20．(本小题满分12分)某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如下图所示的曲线．(1)写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；(2)据进一步测定：每毫克血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效．①求服药一次治疗疾病有效的时间；②当t＝5时，第二次服药，求服药后30分钟，每毫升血液中的含药量．解：(1)把点M(1,4)分别代入所给解析式可得y＝(2)①∵解得0.0625≤t<1.又解得1≤t≤5.综上知，0.0625≤t≤5.②由题设知，第二次服药后血液中每毫升的含药量y＝×4＋23－5.5＝2＋0.177＝2.177(微克)．21．(本小题满分12分)某公司每生产一批产品都能维持一段时间的市场供应．若公司本次新产品生产开始x月后，公司的存货量大致满足模拟函数f(x)＝－3x3＋12x＋8，那么下次生产应在多长时间后开始？解：依题意，当存货为0时就要开始生产了，即求f(x)＝0时x的值，也就是求f(x)在(0，＋∞)的零点．∵f(0)＝8>0，f(1)＝17>0，f(2)＝8>0，f(3)＝－37<0，∴f(x)在(2,3)内有一零点．下面证明当x>3时，f(x)是单调的．设x1>x2>3，f(x1)－f(x2)＝－3x13＋12x1＋8－(－3x23＋12x2＋8)＝3(x23－x13)＋12(x1－x2)＝3(x2－x1)·(x12＋x1x2＋x22－4)∵x1>x2>3，∴x2－x1<0，x12＋x1x2＋x22－4>0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，故f(x)在(3，＋∞)上是减函数．因此，f(x)在(0，＋∞)只有一个零点x0∈(2,3)．为使货源不断，在两个月后就应该开始生产．22．(本小题满分12分)某地西红柿从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：时间t50110250种植成本Q150108150(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系．Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．解：(1)由提供的数据知道，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，从而用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝a·logbt中的任意一个进行描述时都应有a≠0，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合．所以，选取二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．以表格所提供的三组数据分别代入Q＝at2＋bt＋c，得解上述方程组得所以，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q＝t2－t＋.(2)t＝－＝150天时，西红柿种植成本最低，最低种植成本为Q＝·1502－·150＋＝100(元/100 kg)．。
高中数学必修1第三章检测含答案
第三章《函数的应用》复习测试题（一）一、选择题1.(2012北京)函数的零点个数为( ).A.0B.1C.2D.3考查目的：考查函数零点的概念、函数的单调性和数形结合思想.答案：B.解析：(方法1)：令得，，在平面直角坐标系中分别画出幂函数和指数函数的图象，可知它们只有一个交点，∴函数的零点只有一个.(方法2)：∵函数在上单调递增，且，∴函数的零点只有一个.答案选B.2.(2010天津)函数的零点所在的一个区间是( ).A.(-2，-1)B.(-1，0)C.(0，1)D.(1，2)考查目的：考查函数零点的存在性定理.答案：B解析：∵，，∴答案选B.3.(2009福建)若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则可以是( ).A. B.C. D.考查目的：考查函数零点的概念和零点存在性定理.答案：A.解析：的零点为，的零点为，的零点为，的零点为.下面估算的零点. ∵，，∴的零点.依题意，函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，∴只有的零点符合题意，故答案选A.4.在研制某种新型材料过程中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( ).1.95 3.00 3.94 5.10 6.120.97 1.59 1.98 2.35 2.61A. B. C.D .考查目的：考查几类不同增长类型函数模型与实际问题的拟合程度.答案：D.解析：通过检验可知，只有函数较为接近，故答案选D.5.已知函数，，的零点分别为，，则的大小关系是( ).A. B.C. D.考查目的：考查函数零点的定义，指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的图象，以及数形结合思想.答案：C.解析：由已知得，，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，由图象可知，，故答案选C.6.(2010陕西)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数(表示不大于的最大整数)可以表示为( ).A. B. C.D.考查目的：考查函数的建模及其实际应用，意在考查分析问题与解决问题的能力.答案：B.解析：(方法1)：当除以的余数0，1，2，3，4，5，6时，由题设知，且易验证，此时.当除以10的余数为7，8，9时，由题设知，易验证，此时.综上得，必有，故选B.(方法2)：依题意知：若，则，由此检验知选项C，D错误.若，则，由此检验知选项A错误.故由排除法知，本题答案应选B.二、填空题7.(2009浙江)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表低谷时间段用电价格表高峰月用电量(单位：千瓦时)高峰电价(单位：元/千瓦时)低谷月用电量(单位：千瓦时)低谷电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分0.56850及以下的部分0.288超过50至200的部分0.598超过50至200的部分0.318超过200的部分0.668超过200的部分0.388若某家庭5月份的高峰时间段用电量为千瓦时，低谷时间段用电量为千瓦时，则按这种计费方式，该家庭本月应付的电费为元(用数字作答).考查目的：考查分段函数在解决实际问题中的应用.答案：.解析：该家庭本月应付电费由两部分构成：高峰部分为，低谷部分为，这两部分电费之和为(元).8.(2009山东)若函数有两个零点，则实数的取值范围是__________．考查目的：考查函数零点的定义，指数函数与一次函数的图象，数形结合的思想.答案：.解析：设函数和函数，则函数有两个零点，就是函数的图象与函数的图象有两个交点.由图象可知，当时，两个函数的图象只有一个交点，不符合题意；当时，∵函数的图象过点(0，1)，而直线所过的点一定在点(0，1)的上方，∴两个函数的图象一定有两个交点，∴实数的取值范围是.9.某电脑公司2012年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2014年经营总收入要达到1690万元，且计划从2012年到2014年，每年经营总收入的年增长率相同，则2013年预计经营总收入为________万元.考查目的：考查增长率模型在实际问题中的应用和读题审题能力.答案：1300.解析：设年平均增长率为，则，∴，∴2013年预计经营总收入为×＝1300(万元).10.(2010全国I理15改编)若函数有四个零点，则实数的取值范围是 .考查目的：考查函数零点的定义，函数的图象与性质、不等式的解法，和数形结合思想.答案：.解析：在平面直角坐标系内，先画函数的图象.当时，，图象的顶点为，与轴交于点(0，-1)；当时，，图象的顶点为，与轴交于点(0，-1).是一条与轴平行的直线.当时，直线与函数的图象有4个交点，即当，函数有四个零点.11.为了预防流感，某段时间学校对教室用药熏消毒法进行消毒.设药物开始释放后第小时教室内每立方米空气中的含药量为毫克.已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中的含药量(毫克)与时间(小时)成正比.药物释放完毕后，与的函数关系式为(为常数).函数图象如图所示.则从药物释放开始，每立方米空气中的含药量(毫克)与时间(小时)之间的函数关系式为 .考查目的：考查待定系数法求指数函数、一次函数解析式的方法，以及阅读理解能力和分类讨论思想.答案：.解析：函数图象由一条线段与一段指数函数图象组成，它们的交点为(0.1，1).当时，由(毫克)与时间(小时)成正比设，∴，解得，∴.当时，将(0.1，1)代入得，∴，，∴函数关系式为.。
第三章函数的应用测验题
第三章 函数的应用测试题一、选择题1．已知函数)(1)()(x f x f x g -=，其中x x f 2)(log 2=，R x ∈，则)(x g （ ） A ．是奇函数又是减函数 B ．是偶函数又是增函数 C ．是奇函数又是增函数 D ．是偶函数又是减函数2．根据表格中的数据，可以判断方程02=--x e x必有一个根在区间( )x－1 0 1 2 3 x e0.37 1 2.78 7.39 20.09 2+x12345A. )0,1(-B ．)1,0(C ．)2,1(D ．)3,2( 3．函数xx x f 2ln )(-=的零点所在的大致区间是( ) A ．)2,1( B ．)3,2( C ．)4,3( D ．)3,(e 4．已知x xx f ln 1)(-=在区间)2,1(内有一个零点0x ，若用二分法求0x 的近似值(精确度1.0)，则需要将区间等分的次数为( )A ．3B ．4C ．5D ．65．下列函数零点不能用二分法求解的是( ) A ．1)(3-=x x f B ．3ln )(+=x x fC ．222)(2++=x x fD ．14)(2-+-=x x x f6．设833)(-+=x x f x，用二分法求方程0833=-+x x在)2,1(∈x 内近似解的过程中得0)1(<f ，0)5.1(>f ，0)25.1(<f ，则方程的根落在区间( ) A ．)25.1,1( B ．)5.1,25.1( C ．)2,5.1(D. 不能确定7．下列函数不存在零点的是( ) A ．xx y 1-= B ．122--=x x y C ．⎩⎨⎧>-≤+=0,10,1x x x x yD ．⎩⎨⎧<-≥+=0,10,1x x x x y8．如图，ABC ∆为等腰直角三角形，直线l 与AB 相交且AB l ⊥，直线l 截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y ，点A 到直线l 的距离为x ，则)(x f y =的图象大致为四个选项中的( )9．某商品价格前两年每年递增%20，后两年每年递减%20，则四年后的价格与原来价格相比，变化情况是( )A ．增加%84.7B ．减少%84.7C ．减少%5.9D ．不增不减10．某公司为了适应市场需求，对产品结构做了重大调整．调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与产量x 的关系，则可选用( )A ．一次函数B ．二次函数C ．指数型函数D ．对数型函数二、填空题11．现测得),(y x 的两组值为)2,1(，)5,2(，现有两个拟合模型，甲：12+=x y ；乙：13-=x y .若又测得),(y x 的一组对应值为)2.10,3(，则应选用________作为拟合模型较好．12．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个…这样，一个细胞分裂x 次后，得到的细胞个数y 与x 的函数关系式是________．13．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=)0(,1)0(,121)(x xx x x f ，若a a f >)(，则实数a 的取值范围是 。
必修一数学《函数的应用》经典习题(含答案解析)
必修一数学(第三章函数的应用)单元检测(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2020·洛阳高一检测)函数f(x)的图象如图所示,函数f(x)零点的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.(2020·宜昌高一检测)若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是( )A.若f(a)f(b)>0,不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0B.若f(a)f(b)<0,存在且只存在一个实数c∈(a,b)使得f(c)=0C.若f(a)f(b)>0,有可能存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0D.若f(a)f(b)<0,有可能不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=03.已知方程x=3-lgx,下列说法正确的是( )A.方程x=3-lgx的解在区间(0,1)内B.方程x=3-lgx的解在区间(1,2)内C.方程x=3-lgx的解在区间(2,3)内D.方程x=3-lgx的解在区间(3,4)内4.(2020·长沙高一检测)已知f(x)唯一的零点在区间(1,3),(1,4),(1,5)内,那么下面命题错误的是( )A.函数f(x)在(1,2)或[2,3]内有零点B.函数f(x)在(3,5)内无零点C.函数f(x)在(2,5)内有零点D.函数f(x)在(2,4)内不一定有零点5.(2020·临川高一检测)设x0是方程lnx+x=4的解,则x0在下列哪个区间内( )A.(3,4)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)6.(2020·新余高一检测)下列方程在区间(0,1)存在实数解的是( )A.x2+x-3=0B.x+1=0C.x+lnx=0D.x2-lgx=07.(2020·郑州高一检测)函数f(x)=3x-log2(-x)的零点所在区间是( )A. B.(-2,-1)C.(1,2)D.8.某种型号的手机自投放市场以来,经过两次降价,单价由原来的2000元降到1280元,则这种手机的价格平均每次降低的百分率是( )A.10%B.15%C.18%D.20%9.向高为H的圆锥形漏斗注入化学溶液(漏斗下方口暂时关闭),注入溶液量V与溶液深度h的函数图象是( )10.若方程a x-x-a=0有两个解,则a的取值范围是( )A.(1,+∞)B.(0,1)C.(0,+∞)D.∅11.(2020·福州高一检测)若函数f的零点与g=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f可以是( )A.f=4x-1B.f=(x-1)2C.f=e x-1D.f=ln12.如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80km的两城镇间旅行的函数图象,由图可知:骑自行车者用了6小时,沿途休息了1小时,骑摩托车者用了2小时,根据这个函数图象,推出关于这两个旅行者的如下信息:①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时,晚到1小时;②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动;③骑摩托车者在出发了1.5小时后,追上了骑自行车者.其中正确信息的序号是( )A.①②③B.①③C.②③D.①②二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2020·南昌高一检测)用“二分法”求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实根,取区间中点为x0=2.5,那么下一个有根的区间是.14.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)-k=0有唯一一个实数根,则实数k的取值范围是.15.若函数f(x)=lgx+x-3的近似零点在区间(k,k+1)(k∈Z)内,则k= .16.定义在R上的偶函数y=f(x),当x≥0时,y=f(x)是单调递减的,f(1)·f(2)<0,则y=f(x)的图象与x轴的交点个数是.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2020·杭州高一检测)已知函数f(x)的图象是连续的,有如下表格,判断函数在哪几个区间上有零点.x -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2f(x) -3.51 1.02 2.37 1.56 -0.38 1.23 2.77 3.45 4.89 18.(12分)设f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab的两个零点分别是-3,2.(1)求f(x).(2)当函数f(x)的定义域为[0,1]时,求其值域.19.(12分)用二分法求方程2x+x-8=0在区间(2,3)内的近似解.(精确度为0.1,参考数据:22.5≈5.657,22.25≈4.757,22.375≈5.187,22.4375≈5.417,22.75≈6.727) 20.(12分)(2020·潍坊高一检测)已知二次函数f(x)的图象过点(0,3),它的图象的对称轴为x=2,且f(x)的两个零点的平方和为10,求f(x)的解析式.21.(12分)(2020·徐州高一检测)在经济学中,函数f(x)的边际函数为Mf(x),定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x),某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产x台的收入函数为R(x)=3000x-20x2(单位:元),其成本函数为C(x)=500x+4000(单位:元),利润的函数等于收入与成本之差.求出利润函数p(x)及其边际利润函数Mp(x);判断它们是否具有相同的最大值;并写出本题中边际利润函数Mp(x)最大值的实际意义.22.(12分)A地某校准备组织学生及学生家长到B地进行社会实践,为便于管理,所有人员必须乘坐在同一列火车上;根据报名人数,若都买一等座单程火车票需17010元,若都买二等座单程火车票且花钱最少,则需11220元;已知学生家长与教师的人数之比为2∶1,从A到B的火车票价格(部分)如下表所示:(1)参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人?(2)由于各种原因,二等座火车票单程只能买x张(x小于参加社会实践的人数),其余的须买一等座火车票,在保证每位参与人员都有座位坐的前提下,请你设计最经济的购票方案,并写出购买火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式.(3)请你做一个预算,按第(2)小题中的购票方案,购买单程火车票至少要花多少钱?最多要花多少钱?参考答案与解析1【解析】选D.由图象知与x轴有4个交点,则函数f(x)共有4个零点.2【解析】选C.f(a)f(b)<0时,存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0,f(a)f(b)>0时,可能存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0.3【解析】选C.2<3-lg2,3>3-lg3,又f(x)=x+lgx-3在(0,+∞)上是单调递增的,所以方程x=3-lgx的解在区间(2,3)内.4【解析】选C.f(x)唯一的零点在区间(1,3),(1,4),(1,5)内,则区间(1,3)内必有零点,(2,5)内不一定有零点,(3,5)内无零点,所以选C.5【解析】选D.令f(x)=lnx+x-4,由于f(2)=ln2+2-4<0,f(3)=ln3+3-4>0,f(2)·f(3)<0,又因为函数f(x)在(2,3)内连续,故函数f(x)在(2,3)内有零点,即方程lnx+x=4在(2,3)内有解.6【解题指南】先从好判断的一次方程、二次方程入手,不好求解的利用函数图象的交点进行判断.【解析】选 C.x2+x-3=0的实数解为x=和x=,不属于区间(0,1);x+1=0的实数解为x=-2,不属于区间(0,1);x2-lgx=0在区间(0,1)内无解,所以选C,图示如下:7【解析】选 B.f(x)=3x-log2(-x)的定义域为(-∞,0),所以C,D不能选;又f(-2)·f(-1)<0,且f(x)在定义域内是单调递增函数,故零点在(-2,-1)内.8【解析】选D.设平均每次降低的百分率为x,则2000(1-x)2=1280,解得x=0.2,故平均每次降低的百分率为20%.9【解析】选A.注入溶液量V随溶液深度h的增加增长越来越快,故选A.10【解析】选A.画出y1=a x,y2=x+a的图象知a>1时成立.11【解析】选A.f=4x-1的零点为x=,f=(x-1)2的零点为x=1,f=e x-1的零点为x=0,f=ln的零点为x=.现在我们来估算g=4x+2x-2的零点,因为g(0)= -1,g=1,g<0,且g(x)在定义域上是单调递增函数,所以g(x)的零点x∈,又函数f的零点与g=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,只有f=4x-1的零点适合.12【解析】选A.由图象可得:①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时,晚到1小时,正确;②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动,正确;③骑摩托车者在出发了1.5小时后,追上了骑自行车者,正确.13【解析】令f(x)=x3-2x-5,f(2.5)·f(2)<0所以下一个有根的区间是(2,2.5). 答案:(2,2.5)14【解析】关于x的方程f(x)-k=0有唯一一个实数根,等价于函数y=f(x)与y=k 的图象有唯一一个交点,在同一个平面直角坐标系中作出它们的图象.由图象可知实数k的取值范围是[0,1)∪(2,+∞).答案:[0,1)∪(2,+∞)15【解析】由lgx+x-3=0,可得lgx=-x+3,令y1=lgx,y2=-x+3,结合两函数的图象,可大体判断零点在(1,3)内,又因为f(2)=lg2-1<0,f(3)=lg3>0,f(x)=lgx+x-3是单调递增函数,所以k=2.答案:216【解析】f(1)·f(2)<0,y=f(x)在区间(1,2)内有一个零点,由偶函数的对称性知,在区间(-2,-1)内也有一个零点,所以共有2个零点.答案:217【解析】因为函数的图象是连续不断的,并且由对应值表可知f·f<0,f·f(0)<0,f·f<0,所以函数f在区间(-2,-1.5),(-0.5,0)以及(0,0.5)内有零点.18【解析】(1)因为f(x)的两个零点分别是-3,2,所以即解得a=-3,b=5,f(x)=-3x2-3x+18.(2)由(1)知f(x)=-3x2-3x+18的对称轴x=-,函数开口向下,所以f(x)在[0,1]上为减函数,f(x)的最大值f(0)=18,最小值f(1)=12,所以值域为[12,18].19【解析】设函数f(x)=2x+x-8,则f(2)=22+2-8=-2<0,f(3)=23+3-8=3>0,所以f(2)·f(3)<0,说明这个函数在区间(2,3)内有零点x0,即原方程的解. 用二分法逐次计算,列表如下:区间中点的值中点函数近似值(2,3)2.50.157(2,2.5)2.25-0.993(2.25,2.5)2.375-0.438(2.375,2.5)2.437 5-0.145 5由表可得x0∈(2,2.5),x0∈(2.25,2.5),x0∈(2.375,2.5),x0∈(2.4375,2.5).因为|2.4375-2.5|=0.0625<0.1,所以方程2x+x-8=0在区间(2,3)内的近似解可取为2.4375.20【解析】设二次函数为f(x)=ax2+bx+c(a≠0).由题意知:c=3,-=2.设x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根,则+=10,所以(x1+x2)2-2x1x2=10,所以-=10,所以16-=10,所以a=1.代入-=2中,得b=-4.所以f(x)=x2-4x+3.21【解析】p(x)=R(x)-C(x)=-20x2+2500x-4000,x∈[1,100],x∈N,所以Mp(x)=p(x+1)-p(x)=[-20(x+1)2+2500(x+1)-4000]-(-20x2+2500x-4000),=2480-40x,x∈[1,100],x∈N;所以p(x)=-20+74125,x∈[1,100],x∈N,故当x=62或63时,p(x)max=74120(元),因为Mp(x)=2480-40x为减函数,当x=1时有最大值2440.故不具有相等的最大值.边际利润函数取最大值时,说明生产第二台机器与生产第一台的利润差最大.22【解析】(1)设参加社会实践的老师有m人,学生有n人,则学生家长有2m人,若都买二等座单程火车票且花钱最少,则全体学生都需买二等座火车票,依题意得:解得则2m=20,答:参加社会实践的老师、家长与学生各有10人、20人与180人.(2)由(1)知所有参与人员总共有210人,其中学生有180人,①当180≤x<210时,最经济的购票方案为:学生都买学生票共180张,(x-180)名成年人买二等座火车票,(210-x)名成年人买一等座火车票.所以火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式为:y=51×180+68(x-180)+81(210-x),即y=-13x+13950(180≤x<210).②当0<x<180时,最经济的购票方案为:一部分学生买学生票共x张,其余的学生与家长、老师一起购买一等座火车票共(210-x)张.所以火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式为:y=51x+81(210-x),即y=-30x+17010(0<x<180).(3)由(2)小题知,当180≤x<210时,y=-13x+13950,由此可见,当x=209时,y的值最小,最小值为11233元,当x=180时,y的值最大,最大值为11610元.当0<x<180时,y=-30x+17010,由此可见,当x=179时,y的值最小,最小值为11640元,当x=1时,y的值最大,最大值为16980元.所以可以判断按(2)小题中的购票方案,购买单程火车票至少要花11233元,最多。
第三章 函数的应用单元测试(A卷基础篇)(人教A版)(原卷版)
第三章函数的应用单元测试(A卷基础篇）（人教A版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________满分：150分考试时间：120分钟题号一二三总分得分第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（2019春•博望区校级期末）方程lgx+x＝3的解所在区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）2．（2019春•五华区校级月考）已知函数，g（x）＝f（x）+x，若g（x）有且仅有一个零点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，0）D．[0，+∞）3．（2019•西城区模拟）用二分法逐次计算函数f（x）＝x3+x2﹣2x﹣2的一个零点附近的函数值，参考数据如下：f（1）＝﹣2 （1.5）＝0.625f（1.25）＝﹣0.984 f（1.375）＝﹣0.260f（1.4375）＝0.165 f（1.40625）＝﹣0.052那么方程f（x）＝0的一个近似根（精确到0.1）为（）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.54．（2018秋•越城区校级期末）对于定义域为R的函数f（x），若存在非零实数x0，使函数f（x）在（﹣∞，x0）和（x0，+∞）上与x轴都有交点，则称x0为函数f（x）的一个“界点”．则下列四个函数中，不存在“界点”的是（）A．f（x）＝2x﹣x2B．f（x）＝x2+bx﹣2（b∈R）C．f（x）＝1﹣|x﹣2| D．f（x）＝x﹣sin x5．（2018秋•遂宁期末）用二分法求函数零点，函数的零点总位于区间[a n，b n]上，当|a n﹣b n|＜ε时，函数的近似零点与真正零点的误差不超过（）A．εB．εC．2εD．ε6．（2018秋•泰山区校级月考）函数f（x）＝|x2﹣6x+8|的单调递增区间为（）A．[3，+∞）B．（﹣∞，2），（4，+∞）C．（2，3），（4，+∞）D．（﹣∞，2]，[3，4]7．（2018•烟台一模）某海上油田A到海岸线（近似直线）的垂直距离为10海里，垂足为B，海岸线上距离B处100海里有一原油厂C，现计划在BC之间建一石油管道中转站M．已知海上修建石油管道的单位长度费用是陆地上的3倍，要使从油田A处到原油厂C修建管道的费用最低，则中转站M到B处的距离应为（）A．5海里B．海里C．5海里D．10海里8．（2019春•宜宾期末）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）＝﹣f（x+2），且x∈[0，2]时，f（x）＝﹣x2+2x，则函数f（x）的图象与g（x）＝|lgx|的图象交点个数是（）A．4 B．5 C．6 D．79．（2019•全国I卷模拟）如图1是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2、3所示．你能根据图象判断下列说法错误的是（）①图2的建议为减少运营成本②图2的建议可能是提高票价③图3的建议为减少运营成本④图3的建议可能是提高票价A．①④B．②④C．①③D．②③10．（2018秋•驻马店期末）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2010年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过400万元的年份是（参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，1g2≈0.30）（）A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年11．（2018春•海淀区校级期中）某商品的价格在近4年中价格不断波动，前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，最后一年的价格与原来的价格比较，变化情况是（）A．不增不减B．约增1.4% C．约减9.2% D．约减7.8%12．（2018秋•赣州期中）已知a＞0且a≠1，函数f（x），满足对任意实数x1，x2（x1≠x2），都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0成立，则实数a的取值范围是（）A．（2，3）B．（2，3] C．（2，）D．（1，2]第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得分二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（2019春•安徽期末）已知函数f（x）恰有一个零点，则a的取值范围为．14．（2018秋•云浮期末）已知汽车刹车距离y（米）与行驶速度的平方v2（v的单位：千米/时）成正比，当汽车行驶速度为60千米/时，刹车距离为20米．若某人驾驶汽车的速度为90千米/时，则刹车距离为米．15．（2019春•佛山期末）我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程，求得，类似上述过程，则．16．（2018秋•南开区期末）有一批材料可以建成360m长的图墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形（如图所示），则围成场地的最大面积为m2（围墙厚度不计）．评卷人得分三．解答题（共6小题，满分70分，17题10分，18-22题每小题12分）17．求下列函数的零点：（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）y＝x2+4x+4．18．求方程x3﹣x﹣1＝0在区间（1，1.5）内的一个近似解（精确度0.1）．19．（2018秋•桥西区校级月考）已知函数f（x）的图象如图所示：（1）根据函数图象，写出f（x）的单调区间；（2）若f（x）在[a﹣1，a+1]上单调递增，求a的取值范围20．（2018秋•江门期末）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划适度增加投入成本，提高产品档次．若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x．已知年利润＝（出厂价一投入成本）×年销售量．（Ⅰ）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；（Ⅱ）投入成本增加的比例多大时，木年度预计的年利润最大？最大值是多少？21．（2019春•宁波期末）已知函数f（x）＝x2﹣（a）x+1（x∈R）．（Ⅰ）当a时，求不等式f（x）＜0的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜0有且仅有一个整数解，求正实数a的取值范围．22．（2018秋•淮安区期末）已知定义域为R的函数f（x）是奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断并用定义证明该函数在定义域R上的单调性；（3）若方程f（4x﹣b）+f（﹣2x+1）＝0在（﹣3，log23）内有解，求实数b的取值范围．。
高中数学必修一第三章《函数的应用》单元测试卷及答案
高中数学必修一第三章《函数的应用》单元测试卷及答案（2套）单元测试题一一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1 ） A ．()8,9B ．()9,10C ．()12,13D ．()14,152．若函数f (x )在[a ，b ]上连续，且同时满足f (a )·f (b )＜0，()02a b f a f +⎛⎫⋅> ⎪⎝⎭．则（ ）A ．f (x )在,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点 B ．f (x )在,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点C ．f (x )在,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上无零点 D ．f (x )在,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上无零点3．三个变量y 1，y 2，y 3随着变量x 的变化情况如下表：则关于x A ．y 1，y 2，y 3B ．y 2，y 1，y 3C ．y 3，y 2，y 1D ．y 1，y 3，y 24．下列图象所表示的函数中，能用二分法求零点的是（ ）5．对于函数f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下：f(2014)<0，f(2015)<0，f(2016)>0，则下列叙述正确的是（ ）A ．函数f (x )在(2014,2015)内不存在零点B ．函数f (x )在(2015,2016)内不存在零点C ．函数f (x )在(2015,2016)内存在零点，并且仅有一个D ．函数f (x )在(2014,2015)内可能存在零点 6．已知x 0是函数()121x f x x=+-的一个零点．若()101,x x ∈，()20,x x ∈+∞， 则（ ）A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0D ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞07．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R)的部分对应值如下表：A ．(－3，－1)和(2,4)B ．(－3，－1)和(－1,1)C ．(－1,1)和(1,2)D ．(－∞，－3)和(4，＋∞)8．某研究小组在一项实验中获得一组关系y 、t 之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中，最能近似刻画y 与t 之间关系（ ）A ．y ＝2tB ．y ＝2t 2C ．y ＝t 3D ．y ＝log 2t9．某厂原来月产量为a ，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份产量为b ，则（ ） A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．无法判断10．设a，b，k是实数，二次函数f(x)＝x2＋ax＋b满足：f(k－1)与f(k)异号，()1f k+与f(k)异号．在以下关于f(x)的零点的说法中，正确的是（）A．该二次函数的零点都小于kB．该二次函数的零点都大于kC．该二次函数的两个零点之间差一定大于2D．该二次函数的零点均在区间(k－1，k＋1)内11．若函数f(x)＝x3－x－1在区间[]1,1.5内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算列表如下那么方程x3A．1．2 B．1．3125 C．1．4375 D．1．2512．已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．若函数y＝mx2＋x－2没有零点，则实数m的取值范围是________．14．已知二次函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若f(m)<0，则在(m，m＋1)上函数零点的个数是________．15．已知y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示．令f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0．01，则下列关于f(x)＝0的解叙述正确的是________．①有三个实根；②x ＞1时恰有一实根； ③当0＜x ＜1时恰有一实根； ④当－1＜x ＜0时恰有一实根；⑤当x ＜－1时恰有一实根(有且仅有一实根)．16．某工程由A 、B 、C 、D 四道工序完成，完成它们需用的时间依次2、5、x 、4天，四道工序的先后顺序及相互关系是：A 、B 可以同时开工；A 完成后，C 可以开工；B 、C 完成后，D 可以开工，若完成该工程总时间数为9天，则完成工序C 需要的天数x 最大为________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)设函数()[)()222,1,2,,1x x f x x x x ⎧-∈+∞⎪=⎨-∈-∞⎪⎩，求函数()()14g x f x =-的零点．18．(12分) 已知二次函数()()2,f x x bx c b c =++∈R ，若()()12f f -=，且函数()y f x x =-的值域为[)0,+∞．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()2x g x k =-，当[]1,2x ∈时，记()()f x g x ，的值域分别为A B A B A =U ，，， 求实数k 的值．19．(12分)已知函数()()3lg ,23lg 3,2x x f x x x ⎧≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，若方程f (x )＝k 无实数解，求k 的取值范围．20．(12分)某公司从1999年的年产值100万元，增加到10年后2009年的500万元，如果每年产值增长率相同，则每年的平均增长率是多少？(ln(1＋x )≈x ，lg2＝0．3，ln10＝2．30)21．(12分)关于x 的方程x 2－2x ＋a ＝0，求a 为何值时： （1）方程一根大于1，一根小于1；（2）方程一个根在(－1,1)内，另一个根在(2,3)内； （3）方程的两个根都大于零？22．(12分)一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14．（1）求每年砍伐面积的百分比；（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ （3）今后最多还能砍伐多少年？答 案一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．【答案】B【解析】当9x =时，lg91y =-；当10x =时，9111010y =-=， 即()1lg91010-⋅<，得函数在区间()9,10内存在零点．故选B ． 2．【答案】B【解析】由已知，易得()02a b f b f +⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，因此f (x )在,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上一定有零点，但在其他区间上可能有零点，也可能没有零点．故选B ． 3．【答案】C【解析】通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y 3随x 的变化符合此规律；指数函数的增长速度越来越快，y 2随x 的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y 1随x 的变化符合此规律，故选C ． 4．【答案】C【解析】∵C 中零点左右两侧的函数值的符号相反．故选C ． 5．【答案】D【解析】在区间(2015,2016)内零点的个数不确定，故B ，C 错误，在区间(2014,2015)内可能有零点，故选D ． 6．【答案】B【解析】由于函数()1111g x x x ==---在()1,+∞上单调递增，函数h (x )＝2x 在()1,+∞上单调递增，故函数f (x )＝h (x )＋g (x )在()1,+∞上单调递增，所以函数f (x )在()1,+∞上只有唯一的零点x 0，且f (x 1)＜0，f (x 2)＞0，故选B ． 7．【答案】A【解析】∵f (－3)＝6＞0，f (－1)＝－4＜0，∴f (－3)·f (－1)＜0．∵f (2)＝－4＜0，f (4)＝6＞0，∴f (2)·f (4)＜0．∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根所在的区间分别是(－3，－1)和(2,4)．故选A ． 8．【答案】D【解析】由点(2,1)，(4,2)，(8,4)，故选D ． 9．【答案】A【解析】∵()()1110%110%1100b a a ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，∴99100b a =⨯，∴b ＜a ，故选A ． 10．【答案】D【解析】由题意得f (k －1)·f (k )＜0，f (k )·f (k ＋1)＜0，由零点的存在性定理可知， 在区间(k －1，k )，(k ，k ＋1)内各有一个零点，零点可能是区间内的任何一个值， 故D 正确． 11．【答案】B【解析】由于f (1．375)＞0，f (1．3125)＜0，且1．375－1．3125＜0．1，故选B ． 12．【答案】B 【解析】因为()1111022f -=-=-<，f (0)＝1＞0，所以f (x )的零点a ∈(－1,0)； 因为g (2)＝0，所以g (x )的零点b ＝2；因为11110222h ⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭，h (1)＝1＞0，所以h (x )的零点1,12c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．因此a ＜c ＜b ．故选B ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．【答案】1m<8-【解析】当m ＝0时，函数有零点，所以应有0180m m ∆≠⎧⎨=+<⎩，解得1m<8-．14．【答案】1【解析】设函数f (x )的两个零点为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－1，x 1·x 2＝a ．∵121x x -=，又f (m )<0，∴f (m ＋1)>0．∴f (x )在(m ，m ＋1)上零点的个数是1． 15．【答案】①⑤【解析】f (x )的图象是将函数y ＝x (x －1)(x ＋1)的图象向上平移0．01个单位得到．故f (x )的图象与x 轴有三个交点，它们分别在区间(),1-∞-，10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,12⎛⎫⎪⎝⎭内，故只有①⑤正确． 16．【答案】3 【解析】如图，设工程所用总天数为f (x )，则由题意得： 当x ≤3时，f (x )＝5＋4＝9， 当x >3时，f (x )＝2＋x ＋4＝6＋x ， ∴()9,36,3x f x x x ≤⎧=⎨+>⎩，∵工程所用总天数f (x )＝9，∴x ≤3，∴x 最大值为3．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．【答案】9825-．【解析】求函数()()14g x f x =-的零点，即求方程()104f x -=的根． 当x ≥1时，由12204x --=得98x =； 当x <1时，由21204x x --=得25x + (舍去)或25x -． ∴函数()()14g x f x =-的零点是9825-．18．【答案】（1）()21f x x x =-+；（2）1k =． 【解析】（1）因为()()12f f -=，所以1b =-，因为函数()()22211y f x x x x c x c =-=-+=-+-的值域为[)0,+∞， 所以故101c c -=⇒=．所以()21f x x x =-+．（2）当[]1,2x ∈时，()21f x x x =-+递增，可得最小值为1，最大值为3， []1,3A ∴=，()2x g x k =-，当[]1,2x ∈时，()g x 递增，可得最小值为2k -，最大值为4k -，[]2,4B k k =--，由A B A =U ，有B A ⊆，所以21143k k k -≥⇒=-≤⎧⎨⎩． 19．【答案】3,lg 2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．【解析】当32x ≥时，函数f (x )＝lg x 是增函数，∴()3lg ,2f x ⎡⎤∈+∞⎢⎥⎣⎦； 当32x <时，函数f (x )＝lg(3－x )是减函数，∴()3lg ,2f x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭． 故()3lg ,2f x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭．要使方程无实数解，则3lg 2k <．故k 的取值范围是3,lg 2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．20．【答案】16．1%．【解析】设每年年增长率为x ，则100(1＋x )10＝500，即(1＋x )10＝5， 两边取常用对数，得10·lg(1＋x )＝lg5， ∴()()lg510.7lg 1lg10lg2101010x +==-=． 又∵()()ln 1lg 1ln10x x ++=，∴ln(1＋x )＝lg(1＋x )·ln10．∴()0.70.7ln 1ln10 2.300.16116.1%1010x +=⨯=⨯==． 又由已知条件：ln(1＋x )≈x 得x ≈16．1%． 故每年的平均增长率约为16．1%．21．【答案】（1）a ＜1；（2）－3＜a ＜0；（3）0＜a ＜1．【解析】（1）设f (x )＝x 2－2x ＋a ，(1)结合图象知，当方程一根大于1，一根小于1时，f (1)＜0，得1－2＋a ＜0，所以a ＜1．（2）由方程一个根在区间(－1,1)内，另一个根在区间(2,3)内， 得()()()()10102030ff f f ⎧->⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩，即30120440960a a a a +>⎧⎪-+<⎪⎨-+<⎪⎪-+>⎩，解得－3＜a ＜0．（3）由方程的两个根都大于零，得()44000a f ∆=->⎧⎪⎨>⎪⎩，解得0＜a ＜1．22．【答案】（1）110112⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）5年；（3）15年．【解析】（1）设每年砍伐面积的百分比为x (0<x <1)，则()10112a x a -=，即()10112x -=．解得110112x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （2）设经过m年剩余面积为原来的2， 则()1ma x -=，即11021122m⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1102m =，解得m ＝5．故到今年为止，已砍伐了5年．（3）设从今年开始，以后砍伐了n 年，则n年后剩余面积为()12nx -．()114nx a -≥，即()1n x -≥，31021122n⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3102n ≤，解得n ≤15．故今后最多还能砍伐15年单元测试题二一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数()1ln ,034,0x x f x x x -+>⎧=⎨+<⎩的零点个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．02．下列给出的四个函数()f x 的图象中能使函数()1y f x =-没有零点的是（ ）3．若函数y＝f(x)在区间(－2，2)上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在()-上仅2,2有一个实数根，则()()-⋅的值（）11f fA．大于0 B．小于0 C．无法判断D．等于零4．方程1lg-=必有一个根的区间是（）x xA．()0.3,0.4D．()0.4,0.50.2,0.3C．()0.1,0.2B．()5．方程2x－1＋x＝5的解所在的区间是（）A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)6．如下图1所示，阴影部分的面积S是h的函数(0≤h≤H)，则该函数的图象是下面四个图形中的（）图17．某人2011年7月1日到银行存入a 元，若按年利率x 复利计算，则到2014年7月1日可取款（ ） A ．a (1＋x )2元 B ．a (1＋x )4元 C ．a ＋(1＋x )3元D ．a (1＋x )3元8．已知函数()24f x mx =+，若在[]2,1-上存在x 0，使()00f x =，则实数m 的取值范围是（ ） A ．5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(][),21,-∞-+∞UC ．[]1,2-D ．[]2,1-9．某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：（1）如一次购物不超过200元，不予以折扣；（2）如一次购物超过200元但不超过500元，按标价予以九折优惠；（3）如一次购物超过500元，其中500元给予九折优惠，超过500元的部分给予八五折优惠．某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款（ ） A ．608元B ．574.1元C ．582.6元D ．456.8元10．若函数f (x )的零点与g (x )＝4x ＋2x －2的零点之差的绝对值不超过0．25，则f (x )可以是（ ） A ．f (x )＝4x －1 B ．f (x )＝(x －1)2 C ．f (x )＝e x －1D ．()1ln 2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭11．如图2，直角梯形OABC 中，AB ∥OC ，AB ＝1，OC ＝BC ＝2，直线l ：x ＝t 截此梯形所得位于l 左方图形的面积为S ，则函数S ＝f (t )的图象大致为（ ）图212．函数f (x )＝|x 2－6x ＋8|－k 只有两个零点，则（ ） A ．0k = B ．1k >C ．01k ≤<D ．1k >，或0k =二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间(2，4)上的实数根时，取中点x 1＝3， 则下一个有根区间是__________．14．方程e x －x ＝2在实数范围内的解有________个．15．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初始时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求？(已知lg2＝0．3010，lg3＝0．4771)16．某公司欲投资13亿元进行项目开发，现有以下六个项目可供选择：号)．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知函数f(x)＝2(m＋1)x2＋4mx＋2m－1，（1）m为何值时，函数的图象与x轴有两个交点？（2）如果函数的一个零点在原点，求m的值．18．(12分)设函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3和2．（1）求f(x)；（2）当函数f(x)的定义域是[0，1]时，求函数f(x)的值域．19．(12分)设函数f(x)＝e x－m－x，其中m R，当m>1时，判断函数f(x)在区间(0，m)内是否存在零点．20．(12分)某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看作一次函数y＝kx＋b的关系(如图所示)．（1）根据图象，求一次函数y＝kx＋b的表达式；（2）设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S元．试用销售单价x表示利润S；并求销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？图421．(12分)星期天，刘老师到电信局打算上网开户，经询问，记录了可能需要的三种方式所花费的费用资料，现将资料整理如下：①163普通：上网资费2元/小时；②163A：每月50元(可上网50小时)，超过50小时的部分资费2元/小时；③ADSLD：每月70元，时长不限(其他因素均忽略不计)．请你用所学的函数知识对上网方式与费用问题作出研究：（1）分别写出三种上网方式中所用资费与时间的函数解析式；（2）在同一坐标系内分别画出三种方式所需资费与时间的函数图象； （3）根据你的研究，请给刘老师一个合理化的建议．22．(12分)某企业常年生产一种出口产品，根据需求预测：进入21世纪以来，前8年在正常情况下，该产品产量将平衡增长．已知2000年为第一年，头4年年产量f (x )(万件)如表所示：（1）画出2000～（2）建立一个能基本反映(误差小于0．1)这一时期该企业年产量发展变化的函数模型，并求之．（3）2006年(即x ＝7)因受到某外国对我国该产品反倾销的影响，年产量应减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2006年的年产量应该约为多少？答 案一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．【答案】B【解析】当0x >时，令1ln 0x -+=，故e x =，符合；当0x <时，令340x +=，故符合，所以()y f x =的零点有2个，故选B ．2．【答案】C【解析】把()y f x =的图象向下平移1个单位后，只有C 图中图象与x 轴无交点． 故选C ． 3．【答案】C【解析】由题意不能断定零点在区间(－1，1)内部还是外部．故选C ． 4．【答案】A【解析】设()lg 1f x x x -+=，则()0.10.10.110.10f lg =-+=-<， f (0．2)＝lg0．2－0．2＋1≈0．1>0，f (0．1)f (0．2)<0，故选A ． 5．【答案】C【解析】令f (x )＝2x －1＋x －5，则f (2)＝2＋2－5＝－1<0，f (3)＝22＋3－5＝2>0， 从而方程在区间(2，3)内有解．故选C ． 6．【答案】C 【解析】当2Hh =时，对应阴影部分的面积小于整个图形面积的一半，且随着h 的增大，S 随之减小，故排除A 、B 、D ，选择C ． 7．【答案】D【解析】由题意知，2012年7月1日可取款a (1＋x )元， 2013年7月1日可取款a (1＋x )·(1＋x )＝a (1＋x )2元，2014年7月1日可取款a (1＋x )2·(1＋x )＝a (1＋x )3元．故选D ． 8．【答案】B【解析】由题意，知m ≠0，故f (x )是单调函数． 又在[]2,1-上存在x 0，使f (x 0)＝0，所以f (－2)·f (1)≤0． 所以(－4m ＋4)·(2m ＋4)≤0，即(m －1)(m ＋2)≥0，得1020m m -≥⎧⎨+≥⎩或1020m m -≤⎧⎨+≤⎩，可解得m ≤－2，或m ≥1．故选B ．9．【答案】C【解析】本题实际上是一个分段函数的问题，购物付款432元，实际商品价值为104324809⨯=(元)；则一次购买标价为176＋480＝656(元)的商品应付款5000.91560.85582.6⨯+⨯＝ (元)，故选C ． 10．【答案】A【解析】f (x )＝4x －1的零点为14x =，f (x )＝(x －1)2的零点为x ＝1， f (x )＝e x －1的零点为x ＝0，()1ln 2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点为32x =，估算g (x )＝4x ＋2x －2的零点，因为g (0)＝－1，112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以g (x )的零点10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．又函数f (x )的零点与g (x )＝4x ＋2x －2的零点之差的绝对值不超过0．25， 只有f (x )＝4x －1的零点适合．故选A ． 11．【答案】C【解析】由题图可得函数的解析式为()2,0121,12t t S f t t t ⎧≤≤⎪==⎨-<≤⎪⎩．故选C ．12．【答案】D【解析】令y 1＝|x 2－6x ＋8|，y 2＝k ，由题意即要求两函数图象有两交点，利用数形结合思想，作出两函数图象可得选D ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．【答案】(2，3)【解析】设f (x )＝x 3－2x －5，则f (2)<0，f (3)>0，f (4)>0，有f (2)f (3)<0，则下一个有根区间是(2，3)． 14．【答案】2【解析】可转化为判断函数y ＝e x 与函数y ＝x ＋2的图象的交点个数．图315．【答案】8【解析】设过滤n 次才能达到市场要求，则12%10.1%3n⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，即20.132n⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴2lg 1lg23n ≤--．∴n ≥7．39，∴n ＝8．16．【答案】ABE (或BDEF )【解析】本题适用于估算来解决．首先确定出各个项目的利润与投资比：A ：0．11；B ：0．2；C ：0．1；D ：0．125；E ：0．15；F ：0．1，大小顺序是：B ，E ，D ，A ，C ，F ；而B ，E ，D 三项的利润和超过1．6千万元；但投资不到13亿元，只有12亿元，所以可以再加上F ，即B ，D ，E ，F ；或者去掉D 选A ，即A ，B ，E 也符合题意．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．【答案】（1）当m <1，且m ≠－1时，函数的图象与x 轴有两个交点；（2）12m =． 【解析】（1）∵函数的图象与x 轴有两个交点，∴100m ∆+≠⎧⎨>⎩，即()()()214421210m m m m ≠-⎧⎪⎨-⨯+⋅->⎪⎩，整理得11m m ≠-⎧⎨<⎩． 即当m <1，且m ≠－1时，函数的图象与x 轴有两个交点． （2）∵函数的一个零点在原点，即点(0，0)在函数f (x )的图象上， ∴f (0)＝0，即2(m ＋1)·02＋4m ·0＋2m －1＝0．∴12m =． 18．【答案】（1）f (x )＝－3x 2－3x ＋18；（2）[]12,18． 【解析】（1）∵f (x )的两个零点是－3和2， ∴函数图象过点(－3，0)、(2，0)． ∴9a －3(b －8)－a －ab ＝0， ① 4a ＋2(b －8)－a －ab ＝0． ② ①－②，得b ＝a ＋8．③③代入②，得4a ＋2a －a －a (a ＋8)＝0， 即a 2＋3a ＝0．∵a ≠0，a ＝－3，∴b ＝a ＋8＝5．∴f (x )＝－3x 2－3x ＋18． （2）由（1）得()22133********f x x x x ⎛⎫=--+=-+++ ⎪⎝⎭，图象的对称轴方程是12x =-，且0≤x ≤1，∴f (x )min ＝f (1)＝12，f (x )max ＝f (0)＝18． ∴函数f (x )的值域是[]12,18． 19．【答案】存在零点．【解析】f (x )＝e x －m －x ，所以f (0)＝e －m －0＝e －m >0，f (m )＝e 0－m ＝1－m ． 又m >1，所以f (m )<0，所以f (0)·f (m )<0．又函数f (x )的图象在区间[0，m ]上是一条连续曲线，故函数f (x )＝e x－m－x (m >1)在区间(0，m )内存在零点．20．【答案】（1）y ＝－x ＋1 000(500≤x ≤800)；（2）见解析． 【解析】（1）由图象知，当x ＝600时，y ＝400； 当x ＝700时，y ＝300．代入y ＝kx ＋b 中，得400600300700k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得11000k b =-⎧⎨=⎩，∴y ＝－x ＋1 000(500≤x ≤800)（2）销售总价＝销量单价×销售量＝xy ，成本总价＝成本单价×销售量＝500y ， 代入求毛利润的公式，得S ＝xy －500y ＝x (－x ＋1 000)－500(－x ＋1 000)＝－x 2＋1 500x －500 000 ＝－(x －750)2＋62 500(500≤x ≤800)∴当销售单价为750元/件时，可获得最大毛利润62 500元，此时销售量为250件． 21．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【解析】（1）上网费用y (元)与上网时间t (小时)的函数关系： ①163普通：y ＝2t (t ≥0)；②163A ：()50,05050250,50t y t t ≤≤⎧⎪=⎨+->⎪⎩，③ADSLD ：y ＝70(t ≥0)； （2）如图5所示：图5（3）163普通：适合不常上网，偶尔上网的，当每月上网时间t ≤25小时时，这种方式划算． 163A ：适合每月上网25～60小时的情况．ADSLD ：每月上网时间t ≥60小时的情况，用此方式比较合算．22．【答案】（1）见解析；（2）()3522f x x =+；（3）9.1万件． 【解析】（1）散点图如图6：图6（2）设f (x )＝ax ＋b ．由已知得437a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得32a =，52b =，∴()3522f x x =+．检验：f (2)＝5．5，|5．58－5．5|＝0．08<0．1； f (4)＝8．5，|8．44－8．5|＝0．06<0．1． ∴模型()3522f x x =+能基本反映产量变化． （3）()35771322f =⨯+=，由题意知，2006年的年产量约为1370%9.1⨯=(万件)，即2006年的年产量应约为9.1万件。
第三章__函数的应用单元测试
函数的应用一、选择题1. 已知函数()y f x =有反函数，则方程()0f x = （ ）A ．有且仅有一个根B ．至多有一个根C ．至少有一个根D .以上结论都不对2. 如果二次函数2(3)y x mx m =+++有两个不同的零点，则m 的取值范围是 （ ）A ．（－2，6）B . ［－2，6］C ．｛－2，6｝D ．(,2)(6,)∞∞--+ 3．求函数3()231f x x x =-+零点的个数为 （ ） A ．1 B .2 C ．3 D .44．某种动物繁殖量y(只)与时间x （年）的关系为2log (1)y a x =+，设这种动物第1年有100只，到第7年它们发展到 （ ） A ．300 只 B .400只 C ．500只 D .600只5．方程1lg x x -=必有一个根的区间是 （ ） A ．（0.1，0.2） B ．（0.2，0.3） C ．（0.3，0.4） D ．（0.4，0.5）6．下列函数中增长速度最快的是 （ ）A ．1100xy e =B ．100ln y x =C . 100y x =D . 1002xy =•7．实数a 、b 、c 是图象连续不断的函数()y f x =定义域中的三个数，且满足,a b c <<()(),f a f b o ⋅<()(),f b f c o ⋅<则函数()y f x =在区间（a ，c ）上零点个数为（ ）A ．2B .奇数C ．偶数D .至少是28．在x g 浓度为a ％的盐水中，加人y g 浓度为b ％的盐水，浓度变为c ％,则x 与y 的函数关系式为 （ ）A . c a y x c b -=- B. c a y x b c -=- C. a c y x b c -=- D. b cy x c a-=- 9.已知函数()y f x =的图象是连续不断的，有如下的对应值表：A ．2个B . 3个C ．4个D .5个10．储油303m 的油桶，每分钟流出334m 的油，则桶内剩余油量3()Q m 以流出时间t （分）为自变量的函数的定义域为 （ ） A ．[0,)+∞ B . 450,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(],40-∞D .［ 0，40 ］ 11.某商店把原定价每台为2640元的彩电以九折优惠售出时，仍可获利20％，那么这种彩电每台的进价是 （ ）A ．1980元B .2000元C ．2112元D . 2200元12．某工厂一年中十二月份的产量是一月份产量的m 倍，那么该工厂一年中的月平均增长率是 （ ）A .11m B. 12m C. 1 D.1二、填空题 13．设函数()y f x =的图象在［ a, b ］上连续，若满足 ，方程()0f x =在［ a, b ］上有实根．14.某工厂1992年底某种产品年产量为a ，若该产品的年平均增长率为x ，2008年底该厂这种产品的年产量为y ，那么y 与x 的函数关系式是 . 15．长为4，宽为3的矩形，当长增加x 且宽减少2x时的面积最大，此时x= ,面积S= .16.在不考虑空气阻力的情况下，火箭（除燃料外）的质量m kg,，火箭的最大速度m s υ /和燃料的质量M kg 的函数关系是2000ln(1).Mmυ=+当燃料质量是火箭质量的 倍时，火箭的最大速度可达12/.km s三、解答题：17.设函数f(x)=x 3＋3x －5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续不断的.先求值：f(0)＝________，f(1)＝________,f(2)＝________,f(3)＝________.可参考条件：f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(1.125)<0，f(1.187 5)>0.18..对于函数f(x)=ax 2+(b+1)x+b-2(a≠0)，若存在实数x 0，使f(x 0)=x 0成立，则称x 0为f(x)的不动点.（1）当a=2,b=-2时，求f(x)的不动点；（2）若对于任何实数b ，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围.19. 设函数)7()7(),2()2(),()(x f x f x f x f x f +=-+=-+∞-∞上满足在，且在闭区间[0，7]上，只有.0)3()1(==f f（Ⅰ）试判断函数)(x f y =的奇偶性；（Ⅱ）试求方程0)(=x f 在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论。
高一数学必修一第三章测试题及答案：函数的应用
高一数学必修一第三章测试题及答案：函数的应用高一数学必修一第三章测试题及答案：函数的应用数学在科学发展和现代生活生产中的应用非常广泛，小编准备了高一数学必修一第三章测试题及答案，具体请看以下内容。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设U=r，A={x|x0}，b={x|x1}，则AUb=()A{x|01} b.{x|0c.{x|x0}D.{x|x1}【解析】 Ub={x|x1}，AUb={x|0【答案】 b2.若函数y=f(x)是函数y=ax(a0，且a1)的反函数，且f(2)=1，则f(x)=()A.log2xb.12xc.log12xD.2x-2【解析】 f(x)=logax，∵f(2)=1，loga2=1，a=2.f(x)=log2x，故选A.【答案】 A3.下列函数中，与函数y=1x有相同定义域的是()A.f(x)=lnxb.f(x)=1x7.定义在r上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(-2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是()A.y=x2+1b.y=|x|+1c.y=2x+1，x0x3+1，x0D.y=ex，x0e-x，x0【解析】∵f(x)为偶函数，由图象知f(x)在(-2,0)上为减函数，而y=x3+1在(-，0)上为增函数.故选c.【答案】 c8.设函数y=x3与y=12x-2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是()A.(0,1)b.(1,2)c(2,3)D.(3,4)【解析】由函数图象知，故选b.【答案】 b9.函数f(x)=x2+(3a+1)x+2a在(-，4)上为减函数，则实数a 的取值范围是()A.a-3b.a3c.a5D.a=-3【解析】函数f(x)的对称轴为x=-3a+12，要使函数在(-，4)上为减函数，只须使(-，4)(-，-3a+12)即-3a+124，a-3，故选A.10.某新品牌电视投放市场后第1个月销售100台，第2个月销售200台，第3个月销售400台，第4个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销量y与投放市场的月数x之间的关系的是()A.y=100xb.y=50x2-50x+100c.y=502xD.y=100log2x+100【解析】对c，当x=1时，y=100;当x=2时，y=200;当x=3时，y=400;当x=4时，y=800，与第4个月销售790台比较接近.故选c. 【答案】 c11.设log32=a，则log38-2log36可表示为()A.a-2b.3a-(1+a)2c.5a-2D.1+3a-a2【解析】 log38-2log36=log323-2log3(23)=3log32-2(log32+log33)=3a-2(a+1)=a-2.故选A.【答案】 A12.已知f(x)是偶函数，它在[0，+)上是减函数.若f(lgx)f(1)，则x的取值范围是()A.110，1b.0，110(1，+)c.110，10D.(0,1)(10，+)【解析】由已知偶函数f(x)在[0，+)上递减，则f(x)在(-，0)上递增，f(lgx)f(1)01，或lgx0-lgx1110，或0或110x的取值范围是110，10.故选c.【答案】 c二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知全集U={2,3，a2-a-1}，A={2,3}，若UA={1}，则实数a的值是________.【答案】 -1或214.已知集合A={x|log2x2}，b=(-，a)，若Ab，则实数a的取值范围是(c，+)，其中c=________.【解析】 A={x|0【答案】 415.函数f(x)=23x2-2x的单调递减区间是________.【解析】该函数是复合函数，可利用判断复合函数单调性的方法来求解，因为函数y=23u是关于u的减函数，所以内函数u=x2-2x的递增区间就是函数f(x)的递减区间.令u=x2-2x，其递增区间为[1，+)，根据函数y=23u是定义域上的减函数知，函数f(x)的减区间就是[1，+).【答案】 [1，+)16.有下列四个命题：①函数f(x)=|x||x-2|为偶函数;②函数y=x-1的值域为{y|y③已知集合A={-1,3}，b={x|ax-1=0，ar}，若Ab=A，则a 的取值集合为{-1，13};④集合A={非负实数}，b={实数}，对应法则f：求平方根，则f是A到b的映射.你认为正确命题的序号为：________. 【解析】函数f(x)=|x||x-2|的定义域为(-，2)(2，+)，它关于坐标原点不对称，所以函数f(x)=|x||x-2|既不是奇函数也不是偶函数，即命题①不正确;函数y=x-1的定义域为{x|x1}，当x1时，y0，即命题②正确;因为Ab=A，所以bA，若b=，满足bA，这时a=0;若b，由bA，得a=-1或a=13.因此，满足题设的实数a的取值集合为{-1,0，13}，即命题③不正确;依据映射的定义知，命题④正确.【答案】②④三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2-3x-10的两个零点为x1，x2(x1【解析】 A={x|x-2，或x5}.要使Ab=，必有2m-1-2，3m+25，3m+22m-1，或3m+22m-1，解得m-12，m1，m-3，或m-3，即-121，或m-3.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2+2ax+2，x[-5,5].(1)当a=-1时，求f(x)的最大值和最小值;(2)求实数a的取值范围，使y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数.【解析】 (1)当a=-1时，f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1，x[-5,5].由于f(x)的对称轴为x=1，结合图象知，当x=1时，f(x)的最小值为1，当x=-5时，f(x)的最大值为37.(2)函数f(x)=(x+a)2+2-a2的图象的对称轴为x=-a，∵f(x)在区间[-5,5]上是单调函数，-a-5或-a5.故a的取值范围是a-5或a5.19.(本小题满分12分)(1)计算：27912+(lg5)0+(2764)-13;(2)解方程：log3(6x-9)=3.【解析】 (1)原式=25912+(lg5)0+343-13=53+1+43=4.(2)由方程log3(6x-9)=3得6x-9=33=27，6x=36=62，x=2.经检验，x=2是原方程的解.20.(本小题满分12分)有一批影碟机(VcD)原销售价为每台800元，在甲、乙两家商场均有销售，甲商场用下面的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，依次类推，每多买一台单价均减少20元，但每台最低不低于440元;乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少?【解析】设购买x台，甲、乙两商场的差价为y，则去甲商场购买共花费(800-20x)x，由题意800-20x440.118(xN).去乙商场花费80075%x(xN*).当118(xN*)时y=(800-20x)x-600x=200x-20x2，当x18(xN*)时，y=440x-600x=-160x，则当y0时，1当y=0时，x=10;当y0时，x10(xN).综上可知，若买少于10台，去乙商场花费较少;若买10台，甲、乙商场花费相同;若买超过10台，则去甲商场花费较少.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=lg(1+x)-lg(1-x).(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断函数f(x)的奇偶性;【解析】 (1)由1+x0，1-x0，得-1函数f(x)的定义域为(-1,1).(2)定义域关于原点对称，对于任意的x(-1,1)，有-x(-1,1)，f(-x)=lg(1-x)-lg(1+x)=-f(x)f(x)为奇函数.22.(本小题满分14分)设a0，f(x)=exa+aex是r上的偶函数.(1)求a的值;(2)证明：f(x)在(0，+)上是增函数.【解析】 (1)解：∵f(x)=exa+aex是r上的偶函数，f(x)-f(-x)=0.exa+aex-e-xa-ae-x=0，即1a-aex+a-1ae-x=01a-a(ex-e-x)=0.由于ex-e-x不可能恒为0，当1a-a=0时，式子恒成立.又a0，a=1.(2)证明：∵由(1)知f(x)=ex+1ex，在(0，+)上任取x1f(x1)-f(x2)=ex1+1ex1-ex2-1ex2=(ex1-ex2)+(ex2-ex1)1ex1+x2.∵e1，0ex1+x21，(ex1-ex2)1-1ex1+x20，f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x)在(0，+)上是增函数.高中是人生中的关键阶段，大家一定要好好把握高中，小编为大家整理的高一数学必修一第三章测试题及答案，希望大家喜欢。
《第三章函数的应用》章末检测题及答案.doc
第三章章末检测题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y＝x2－2x－3的零点是()A．1，－3B．3，－1C．1,2 D．不存在答案 B解析方程x2－2x－3＝0的解是x1＝3，x2＝－1，所以函数y＝x2－2x－3的零点是－1,3，故选B.2．下列函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是下图中的()答案 C解析C中图像中的零点两侧的函数值为同号．3．方程x－1＝lg x必有一个根的区间是()A．(0.1,0.2) B．(0.2,0.3)C．(0.3,0.4) D．(0.4,0.5)答案 A解析 设f (x )＝lg x －x ＋1，则f (0.1)＝lg0.1－0.1＋1＝－0.1<0，f (0.2)＝lg0.2－0.2＋1≈0.1>0，f (0.1)f (0.2)<0，选A.4．若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <1 B ．a >1 C ．a ≤1 D ．a ≥1答案 B解析 f (x )没有零点，即x 2＋2x ＋a ＝0无实数解． ∴Δ<0即4－4a <0，∴a >1.5．若函数y ＝x 2＋(m －2)x ＋(5－m )有两个大于2的零点，则m 的取值范围是( )A ．(－5，－4)B ．(－∞，－4]C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－5)∪(－5，－4] 答案 A解析⎩⎪⎨⎪⎧f (2)>0，－m －22>2，Δ>0⇔－5<m <－4.6．对于定义在实数集R 上的函数，如果存在实数x 0，使得f (x 0)＝x 0，那么x 0叫做函数f (x )的一个不动点，已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1不存在不动点，那么a 的取值范围是( )A ．(－12，32)B ．(－32，12)C ．(－1,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案 A解析 因为f (x )＝x 2＋2ax ＋1不存在不动点， 即x 2＋2ax ＋1＝x 无实数解． ∴x 2＋(2a －1)x ＋1＝0无实数解． 从而Δ<0即(2a －1)2－4<0， ∴－2<2a －1<2，∴－12<a <32.7．如下图所示，阴影部分的面积S 是h 的函数(0≤h ≤H )，则该函数的图像是下面四个图形中的( )答案 C解析 当h ＝H2时，对应阴影部分的面积小于整个图形面积的一半，且随着h 的增大，S 随之减小，故排除A ，B ，D ，选择C.8．某人2011年7月1日到银行存入a 元，若按年利率x 复利计算，则到2014年7月1日可取款( )A ．a (1＋x )2元B ．a (1＋x )4元C ．a ＋(1＋x )3元D ．a (1＋x )3元解析由题意知，2012年7月1日可取款a(1＋x)元，2013年7月1日可取款a(1＋x)·(1＋x)＝a(1＋x)2元，2014年7月1日可取款a(1＋x)2·(1＋x)＝a(1＋x)3元．9．三次方程x3＋x2－2x－1＝0在下列哪些连续整数之间没有根()A．－2与－1之间B．－1与0之间C．0与1之间D．1与2之间答案 C解析∵f(－2)·f(－1)<0，f(－1)·f(0)<0，f(1)·f(2)<0，∴A，B，D都不符合题意．10．某城市为保护环境，维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过8吨，按每吨2元收取水费；每月超过8吨，超过部分加倍收费，某职工某月缴费20元，则该职工这个月实际用水()A．10吨B．13吨C．11吨D．9吨答案 D11．某商品进价为每件40元，当售价为50元/件时，一个月能卖出500件，通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件．商店为使销售该商品月利润最高，则应将每件商品定价为()A．45元B．55元C．65元D．70元解析 设每件商品定价为x 元，则月利润为[500－10(x －50)](x －40)＝－10(x －70)2＋9 000.所以当x ＝70时，利润最大．12．设函数f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1,1]上的增函数，且f (－12)·f (12)<0，则方程f (x )＝0在[－1,1]内( )A ．可能有3个实根B ．可能有2个实根C ．有唯一的实根D ．没有实根答案 C解析 因为f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (－12)·f (12)<0，所以f (x )在[－12，12]内有唯一实根，所以f (x )在[－1,1]内有唯一实根．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上)13．用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2,4)上的近似解，验证f (2)·f (4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(a ，b )的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)<0，则此时零点x 0∈________.(填区间)答案 (2,3)解析 ∵f (2)f (4)<0，f (2)f (3)<0，∴f (3)·f (4)>0，故x 0∈(2,3)． 14．若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是4和6，则函数g (x )＝bx 2＋ax －1的零点是________．答案 14，16解析 ∵4和6是函数f (x )的两个零点，∴⎩⎨⎧f (4)＝0，f (6)＝0，即⎩⎨⎧16－4a －b ＝0，36－6a －b ＝0.∴⎩⎨⎧a ＝10，b ＝－24.∴g (x )＝－24x 2＋10x －1. 令g (x )＝0，得x ＝14或x ＝16.15．方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数为______． 答案 216．某种细菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知细菌的繁殖规律为y ＝e kt ，其中k 为常数，t 表示时间，y 表示细菌个数，则k ＝________，经过5小时，1个细菌能繁殖为________个．答案 2ln2 1 024解析 将(12，2)代入y ＝e kt，得2＝e 12k . ∴12k ＝ln2，k ＝2ln2.这时函数解析式为y ＝e 2t ln2＝eln22t ＝22t ，令t ＝5， 则得一个细菌经5小时繁殖为y ＝210＝1 024个． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)设函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab 的两个零点分别是－3和2.(1)求f (x )；(2)当函数f (x )的定义域是[0,1]时，求函数f (x )的值域． 解析 (1)∵f (x )的两个零点是－3和2，∴函数图像过点(－3,0)，(2,0)． ∴9a －3(b －8)－a －ab ＝0，① 4a ＋2(b －8)－a －ab ＝0.② ①－②，得b ＝a ＋8.③③代入②，得4a ＋2a －a －a (a ＋8)＝0，即a 2＋3a ＝0. ∵a ≠0，∴a ＝－3，∴b ＝a ＋8＝5. ∴f (x )＝－3x 2－3x ＋18. (2)由(1)得f (x )＝－3x 2－3x ＋18 ＝－3(x ＋12)2＋34＋18，图像的对称轴方程是x ＝－12，且0≤x ≤1， ∴f (x )min ＝f (1)＝12，f (x )max ＝f (0)＝18. ∴函数f (x )的值域是[12,18]．18．(12分)某企业实行裁员增效，已知现有员工a 人，每人每年可创纯利润1万元，据评估在生产条件不变的情况下，每裁员一人，则留岗员工每人可多创收0.01万元，但每年需付给下岗工人0.4万元的生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的34，设该企业裁员x 人后纯收益为y 万元．(1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围； (2)当140<a ≤280时，问该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益？(注：在保证能获得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁)解析 (1)y ＝(a －x )(1＋0.01x )－0.4x ＝－1100x 2＋(a 100－140100)x ＋a ， ∵a －x ≥34a ，∴x ≤a 4，故x 的取值范围是0≤x ≤a4且x ∈N . (2)y ＝－1100x 2＋(a 100－140100)x ＋a ＝－1100[x －(a 2－70)]2＋1100(a 2－70)2＋a ，当140<a ≤280时，0<a 2－70≤a4， ∴当a 为偶数时，x ＝a2－70，y 取最大值；当a 为奇数时，x ＝a ＋12－70或x ＝a －12－70，y 取最大值． ∵尽可能少裁员，∴x ＝a －12－70.综上所述：当a 为偶数时，应裁员a2－70；当a 为奇数时，应裁员a －12－70.19．(12分)某商品的市场需求量y 1(万件)、市场供应量y 2(万件)与市场价格x (元/件)分别近似地满足下列关系：y 1＝－x ＋70，y 2＝2x －20.y 1＝y 2时的市场价格为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．(1)求平衡价格和平衡需求量；(2)若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？解析(1)由y 1＝y 2，得⎩⎨⎧x ＝30，y ＝40.∴平衡价格为30元/件，平衡需求量为40万件．(2)⎩⎨⎧44＝70－x ，44＝2(x ＋t )－20，∴⎩⎨⎧x ＝26，t ＝6.∴要使平衡需求量增加4万件，每件需补贴6元．20．(12分)“水”这个曾被认为取之不尽，用之不竭的资源，竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度．因为缺水，每年给我国工业造成的损失达2 000亿元，给农业造成的损失达1 500亿元，严重缺水困扰全国三分之二的城市．为了节约用水，某市打算出台一项水费政策措施，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.2元，若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为x (x ≤7)吨，试计算本季度他应交的水费(单位：元)．解析 设本季度他应交水费为y 元，当0<x ≤5时，y ＝1.2x ； 当5<x ≤6时，应把x 分成两部分：5与x －5分别计算，第一部分收基本水费1.2×5元，第二部分由基本水费与加价水费组成，即1.2(x －5)＋1.2(x －5)×200%＝1.2(x －5)(1＋200%)，所以y ＝1.2×5＋1.2(x －5)×(1＋200%)＝3.6x －12；同理可得，当6<x ≤7时，y ＝1.2×5＋1.2×(1＋200%)＋1.2(x －6)(1＋400%)＝6x －26.4.综上可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1.2x ，0<x ≤5，3.6x －12，5<x ≤6，6x －26.4，6<x ≤7.21．(12分)某学校拟建一块周长为400 m 的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？解析 设矩形的长为x ，宽为y ，则2x ＋2π(y 2)＝400，∴y ＝2π(200－x )(0<x <200)． ∴S ＝xy ＝2πx (200－x )．∴对称轴为x ＝100. ∴x ＝100时，S 最大，此时y ＝200π.答案 把矩形的长和宽分别设计为100 m 和200π m 时，矩形区域面积最大22．(12分)某地有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台使用，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．(1)设在甲家租一张球台开展活动x 小时的收费为f (x )元(15≤x ≤40)，在乙家租一张球台开展活动x 小时的收费为g (x )元(15≤x ≤40)．试求f (x )和g (x )；(2)你认为选择哪一家比较合算？为什么？解析 (1)依题意得f (x )＝5x (15≤x ≤40)，g (x )＝⎩⎨⎧ 90， (5≤x ≤30)，2x ＋30，(30<x ≤40).(2)f (x )－g (x )＝⎩⎨⎧ 5x －90，(15≤x ≤30)，3x －30，(30<x ≤40).易知，当15≤x <18时，f (x )－g (x )<0，∴f (x )<g (x )，即选甲家；当x ＝18时，f (x )－g (x )＝0.∴f (x )＝g (x )，即选甲家和乙家都一样；当18<x ≤30时，f (x )－g (x )>0，∴f (x )>g (x )，即选乙家；当30<x ≤40时，f (x )－g (x )>0，∴f (x )>g (x )，即选乙家．。
高一上学期数学《函数的应用》单元检测卷(A)含答案解析
第三章 函数的应用单元检测卷(A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.已知函数f (x )＝6x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)2.函数f(x)＝ln 2x －3lnx＋2的零点是( )A ．(e,0)或(e 2，0)B ．(1,0)或(e 2，0)C ．(e 2，0)D ．e 或e 23．当x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是( )A ．y ＝3x B ．y ＝log 3xC ．y ＝x 3 D ．y ＝3x4.已知函数f (x )的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )A ．4,4B ．3,4C ．5,4D ．4,35.设f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1，1]上的增函数，且f(−12)⋅f(12)<0，则方程f (x )＝0在[－1，1]内( )A ．可能有3个实根B ．可能有2个实根C ．有唯一实根D ．没有实根6.方程|x |－ax ＝0(a >0)的零点有( )A ．1个 B ．2个C ．3个 D ．至少1个7．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x 倍，需经过y 年，则函数y ＝f(x)的图象大致是( )8．用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为( )A ．0.9 B ．0.7C ．0.5 D ．0.49.已知关于x 的方程a·4x ＋b·2x ＋c ＝0(a≠0)，常数a ，b 同号，b ，c 异号，则下列结论中正确的是( )A ．此方程无实根B ．此方程有两个互异的负实根C ．此方程有两个异号实根D ．此方程仅有一个实根10．某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )A ．2017年B ．2018年C ．2019年D ．2020年11．已知f(x)是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数y ＝f(2x 2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是( )A.14B.18C ． －78D ．－3812.已知函数f(x)＝e x ,x ≤0lnx,x >0,g(x)＝f(x)＋x ＋a.若g(x)存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．函数f (x )＝lg x ＋1的零点是______.14．设y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0所在的区间是(n ，n ＋1)(n ∈Z)，则n ＝________.15.已知函数f (x )＝Error!则函数g (x )＝f (1－x )－1的零点个数为_______16.已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R.若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（本小题满分10分）若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根在(－2,0)内，另一个根在(1,3)内，求a 的取值范围．18.（本小题满分12分）如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米，CD ＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE 内截取一个矩形BNPM ，使点P 在边DE 上．(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM 面积的最大值．19.（本小题满分12分）关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围20.（本小题满分12分）《中华人民共和国个人所得税法》规定，个人所得税起征点为3500元(即3500元以下不必纳税，超过3500元的部分为当月应纳税所得额)，应缴纳的税款按下表分段累计计算：全月应纳税所得额税率%不超过1 500元的部分3超过1 500元至4 500元部分10(1)列出公民全月工资总额x(0<x<8 000)元与当月应缴纳税款额y元的函数解析式．(2)刘丽十二月份缴纳个人所得税款300元，那么她当月工资总额是多少？21.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝2x，x∈R.(1)当m取何值时方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？(2)若不等式f2(x)＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范围．22．（本小题满分12分）设函数f(x)＝x＋1x的图象为C1，C1关于点A(2,1)对称的图象为C2，C2对应的函数为g(x)．(1)求g(x)的解析式；(2)若直线y＝m与C2只有一个交点，求m的值和交点坐标．第三章 函数的应用单元检测卷(A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.已知函数f (x )＝6x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)【答案】：C【解析】：因为函数f(x)在定义域(0，＋∞)上是连续不断的，且f(2)＝3－1>0，f(4)＝32－2<0，所以，函数f(x)的零点在区间(2，4)内．2.函数f(x)＝ln 2x －3lnx ＋2的零点是( )A ．(e,0)或(e 2，0) B ．(1,0)或(e 2，0) C ．(e 2，0)D ．e 或e 2【答案】：D【解析】：f(x)＝ln 2x －3lnx ＋2＝(lnx －1)(lnx －2)，由f(x)＝0得x ＝e 或x ＝e 2.3．当x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是( )A ．y ＝3x B ．y ＝log 3x C ．y ＝x 3 D ．y ＝3x【答案】：D【解析】：几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D ．4.已知函数f (x )的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )A ．4,4B ．3,4C ．5,4D ．4,3【答案】：D【解析】：图象与x 轴有4个交点，所以零点的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3.5.设f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1，1]上的增函数，且f(−12)⋅f(12)<0，则方程f (x )＝0在[－1，1]内( )A ．可能有3个实根B ．可能有2个实根C ．有唯一实根D ．没有实根【解析】：由于f(x)＝x 3＋bx ＋c 是[－1，1]上的增函数，且f(−12)⋅f(12)<0，所以f(x)在（−12，12）上有唯一零点，即方程f(x)＝0在[－1，1]内有唯一实根．6.方程|x |－ax ＝0(a >0)的零点有( )A ．1个B ．2个C ．3个 D ．至少1个【答案】：A【解析】；令f(x)＝|x|，g(x)＝ax (a>0)，作出两个函数的图象，如图，从图象可以看出，交点只有1个．7．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x 倍，需经过y 年，则函数y ＝f(x)的图象大致是( )【答案】：D【解析】：设该林区的森林原有蓄积量为a ，由题意，ax ＝a(1＋0.104)y ，故y ＝log1.104x(x ≥1)，∴y ＝f(x)的图象大致为D 中图象．8．用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为( )A ．0.9B ．0.7C ．0.5D ．0.4【答案】：B【解析】：由题意可知函数的零点在(0.68,0.72)内，四个选项中只有0.7，满足|0.7－0.68|<0.1，故选B ．9.已知关于x 的方程a·4x ＋b·2x ＋c ＝0(a≠0)，常数a ，b 同号，b ，c 异号，则下列结论中正确的是( )A ．此方程无实根B ．此方程有两个互异的负实根C ．此方程有两个异号实根D ．此方程仅有一个实根【解析】：由常数a ，b 同号，b ，c 异号，可得a ，c 异号，令2x ＝t ，则方程变为at 2＋bt ＋c ＝0，t>0，由于此方程的判别式Δ＝b 2－4ac>0，故此方程有2个不等实数根，且两根之积为ca<0，故关于t 的方程只有一个实数根，故关于x 的方程只有一个实数根．10．某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )A ．2017年B ．2018年C ．2019年D ．2020年【答案】：D【解析】：设从2016年起，过了n(n ∈N*)年该民企全年投入的研发资金超过200万元，则130×(1＋12%)n ≥200，则n ≥l g2013l g 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，由题意取n ＝4，则n ＋2 016＝2 020.故选D.11．已知f(x)是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数y ＝f(2x 2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是( )A.14 B.18C ． －78D ．－38【答案】：C【解析】：依题意，方程f(2x 2＋1)＋f(λ－x)＝0只有1个解，故f(2x 2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x －λ)有1个实数解.∴2x 2＋1＝x －λ，即2x 2－x ＋1＋λ＝0有两相等实数解，故Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.故选C.12.已知函数f(x)＝e x ,x ≤0lnx,x >0,g(x)＝f(x)＋x ＋a.若g(x)存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)【答案】：C【解析】：令h(x)＝－x －a ，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y ＝f(x)，y ＝h(x)图象的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y ＝f(x)的图象与y ＝h(x)的图象有2个交点．平移y ＝h(x)的图象可知，当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－a ，a ＝－1.当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意；当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意．综上，a 的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．函数f (x )＝lg x ＋1的零点是______.【答案】：110.【解析】：由lg x ＋1＝0，得lg x ＝－1，所以x ＝110.14．设y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0所在的区间是(n ，n ＋1)(n ∈Z)，则n ＝________.【答案】：1【解析】：作出y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象观察可知1<x 0<2.故n ＝1.15.已知函数f (x )＝Error!则函数g (x )＝f (1－x )－1的零点个数为_______【答案】：3【解析】：g (x )＝f (1－x )－1＝Error!＝Error!易知当x ≥1时，函数g(x)有1个零点；当x<1时，函数g(x)有2个零点，所以函数g(x)的零点共有3个，16.已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R.若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．【答案】(0,1)∪(9，＋∞)【解析】：设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|.在同一平面直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图象，如图．由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图象有4个不同的交点，且4个交点的横坐标都小于1，所以Error!有两组不同的解．消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，该方程有两个不等实根．所以Δ＝(3－a )2－4a >0，即a 2－10a ＋9>0，解得a <1或a >9.又由图象得a>0，∴0<a<1或a>9.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（本小题满分10分）若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根在(－2,0)内，另一个根在(1,3)内，求a 的取值范围．解：设f(x)＝3x 2－5x＋a，则f(x)为开口向上的抛物线(如图所示)．∵f(x)＝0的两根分别在区间(－2,0)，(1,3)内，∴f (−2)>0f(0)<0 f(1)<0 f(3)>0 即3×(−2)2−5×(−2)+a >0a <03−5+a <03×9−5×3+a >0解得－12<a<0.∴所求a 的取值范围是(－12,0)．18.（本小题满分12分）如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米，CD ＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE 内截取一个矩形BNPM ，使点P 在边DE 上．(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM 面积的最大值．解：(1)作PQ ⊥AF 于Q ，所以PQ ＝(8－y )米，EQ ＝(x －4)米．又△EPQ ∽△EDF ，所以EQPQ ＝EFFD ，即x －48－y ＝42.所以y ＝－12x ＋10，定义域为{x |4≤x ≤8}．(2)设矩形BNPM 的面积为S 平方米，则S (x )＝xy ＝x (10−x2)＝－12(x －10)2＋50，S (x )是关于x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x ＝10，所以当x ∈[4,8]时，S (x )单调递增．所以当x ＝8时，矩形BNPM 的面积取得最大值，为48平方米．19.（本小题满分12分）关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围解：设f(x)＝x2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]，①若f(x)＝0在区间[0,2]上有一解x0，当0<x 0<2时，∵f(0)＝1>0，则f(2)<0，又f(2)＝22＋(m －1)×2＋1，∴m<－32；当x 0＝2时，42(m 1)10122m +-+=⎧⎪⎨-->⎪⎩,无解．②若f(x)＝0在区间[0,2]上有两解，则01022(2)0m f ∆≥⎧⎪-⎪≤-≤⎨⎪≥⎪⎩,即是：2(m 1)40314(m 1)210m ⎧--≥⎪-≤≤⎨⎪+-⨯+≥⎩∴313132m m m m ⎧⎪≥≤-⎪-≤≤⎨⎪⎪≥-⎩或,所以－32≤m ≤－1.由①②可知m 的取值范围是(－∞，－1]．20.（本小题满分12分）《中华人民共和国个人所得税法》规定，个人所得税起征点为3500元(即3500元以下不必纳税，超过3500元的部分为当月应纳税所得额)，应缴纳的税款按下表分段累计计算：全月应纳税所得额税率%不超过1 500元的部分3超过1 500元至4 500元部分10(1)列出公民全月工资总额x(0<x<8 000)元与当月应缴纳税款额y 元的函数解析式．(2)刘丽十二月份缴纳个人所得税款300元，那么她当月工资总额是多少？解：(1)依题意可得：①当0<x≤3500时，y ＝0.②当3500<x≤5 000时，y ＝(x －3500)×3%＝0.03x －105.③当5000<x<8000时，y ＝45＋(x －5000)×10%＝0.1x －455，综上可得y ＝0,035000.03105,350050000.1455,50008000x x x x x <≤⎧⎪-<≤⎨⎪-<<⎩.(2)因为需交税300元，故有5000<x<8000，所以300＝0.1x －455，所以x ＝7550.答：刘丽十二月份工资总额为7550元．21.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝2x ，x ∈R.(1)当m 取何值时方程|f(x)－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式f 2(x)＋f(x)－m>0在R 上恒成立，求m 的取值范围．解：(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x －2|，G(x)＝m ，画出F(x)的图象如图所示．由图象看出，当m ＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0<m<2时，函数F(x)与G(x)的图象有两个交点，原方程有两个解．(2)令f(x)＝t(t>0)，H(t)＝t 2＋t ，因为H(t)＝（t +12）2－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H(t)>H(0)＝0.因此要使t 2＋t>m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0].22．（本小题满分12分）设函数f(x)＝x ＋1x 的图象为C 1，C 1关于点A(2,1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g(x)．(1)求g(x)的解析式；(2)若直线y ＝m 与C 2只有一个交点，求m 的值和交点坐标．解：(1)设点P(x ，y)是C 2上的任意一点，高中11则P(x ，y)关于点A(2,1)对称的点P′(4－x,2－y)，代入f(x)＝x ＋1x ，可得2－y ＝4－x ＋14－x ，即y ＝x －2＋1x －4，∴g(x)＝x －2＋1x －4.(2)由124y my x x =⎧⎪⎨=-+⎪-⎩消去y 得x 2－(m ＋6)x ＋4m ＋9＝0.Δ＝(m ＋6)2－4(4m ＋9)，∵直线y ＝m 与C 2只有一个交点，∴Δ＝0，解得m ＝0或m ＝4.当m ＝0时，经检验合理，交点为(3,0)；当m ＝4时，经检验合理，交点为(5,4)．。
人教A版第三章函数的应用基础测试题
人教A 版第三章函数的应用基础测试题一、单选题1．已知函数()2f x ax bx c =++满足()20f <且()30f >，则()f x 在()2,3上的零点（ ）． A ．至多有一个 B ．有1个或2个 C ．有且仅有一个D ．一个也没有2．函数()ln 4f x x x =+-的零点所在的区间是（ ） A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,53．函数()6ln f x x x =-+的零点所在区间应是（ ） A ．()2,3B ．()3,4C ．()4,5D ．()5,64．下列函数中，没有零点的是（ ） A ．2()log 7f x x =- B ．()=1f x x - C ．()1f x x=D ．()2f x x x =+5．函数()228f x x x =--零点是（ ） A ．2和4-B ．2-和4C ．()2,0和()4,0-D ．()2,0-和()4,06．为了求函数()237x f x x =+-的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x 和函数()f x 的部分对应值，如表所示：x1.25 1.3125 1.375 1.4375 1.5 1.5625 ()f x－0.8716－0.5788－0.28130.21010.328430.64115则方程237x x +=的近似解（精确到0.1）可取为（ ） A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.57．把函数2()log f x x =的图像向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到函数()g x 的图像，则函数()g x 的零点是（ ）A ．3B ．5C ．34-D ．548．“道高一尺，魔高一丈”出于《西游记》第五十回“道高一尺魔高丈，性乱情昏错认家，可恨法身无坐位，当时行动念头差，”用来比喻取得一定成就后遇到的障碍会更大或正义终将战胜邪恶，若用下列函数中的一个来表示这句话的含义，则最合适的是（ ）A ．10y x =，0x >B ．110y x =，0x > C ．10y x =+，0x >D ．=9y x +，0x >9．若32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为（ ） A ．1.2B ．1.3C ．1.41D ．1.510．已知函数()351f x x x =-+，则下列区间中一定包含()f x 零点的区间是（ ） A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,211．已知函数()25xf x e x --=-的零点位于区间(),1m m +，m ∈Z 上，则42log m m +=（ ）A ．14-B ．14C ．12D ．3412．我们知道，人们对声音有不同的感觉，这与声音的强度有关系.声音的强度常用I (单位：瓦/米2，即2/m W )表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L (单位：分贝)表示，它们满足换算公式：010lgI L I =(0L ≥，其中1220110/m I W -=⨯是人们平均能听到的声音的最小强度).若使某小区内公共场所声音的强度水平降低10分贝，则声音的强度应变为原来的（ ） A ．15B ．1100C ．110D ．120二、填空题13．函数()22f x x x =+-的零点为______________.14．若二元一次方程37x y -=，231x y +=，9y kx =-有公共解，则实数k =_____________.15．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，专家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数25log 10O v =，单位是m/s ，其中O 表示燕子的耗氧量.则当燕子静止时的耗氧量是______个单位.16．已知函数3,0()1,0x x x f x x a x x ⎧+≤⎪=⎨-->⎪⎩有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为_______．三、解答题17．求下列函数的零点． （1）()43f x x =-； （2）()223f x x x =--+．18．某人向天上掷一小石子，设x 秒后离地面的高度为()2205x x -米．（1）几秒后，小石子离地面的高度为15米？ （2）几秒后，小石子落到地面？19．已知关于x 的方程()22210x k x k --+=有两个实数根12,x x ．（1）求k 的取值范围；（2）若12121x x x x +=-，求k 的值． 20．已知关于x 的一元二次方程2420x x k -+=. (1)若方程有实数根，求实数k 的取值范围；(2)如果k 是满足(1)的最大整数，且方程2420x x k -+=的根是一元二次方程22310x mx m -+-=的一个根，求m 的值及这个方程的另一个根.21．已知函数f （x ）=–3x 2+2x –m +1． （1）若x =0为函数的一个零点，求m 的值；（2）当m 为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点．22．某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌”A 系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的A 系列一个阶段的调研得知，发现A 系列每日的销售量()f x （单位：千克）与销售价格x （元/千克）近似满足关系式2()10(7)4af x x x =+--，其中47x <<，a 为常数.已知销售价格为6元/千克时，每日可售出A 系列15千克. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若A 系列的成本为4元/千克，试确定销售价格x 的值，使该商场每日销售A 系列所获得的利润最大.参考答案1．C 【分析】由零点存在定理可判定出结果. 【详解】由题意知：()f x 在R 上至多有两个零点.由零点存在定理知：若()()230f f ⋅<，则()f x 在()2,3上有且仅有一个零点. 故选：C . 2．B 【分析】计算区间端点处的函数值，根据零点存在定理判断． 【详解】(1)30f =-<，(2)ln 220f =-<，(3)ln 310f =->，∴零点在区间(2,3)上． 故选：B ． 3．C 【分析】分别计算()2f ，()3f ，()4f ，()5f ，()6f ，根据零点存在性定理，即可得出结果. 【详解】因为()6ln f x x x =-+，所以()226ln 24ln 20f =-+=-+<，()336ln33ln30f =-+=-+<，()446ln 422ln 20f =-+=-+<， ()556ln51ln50f =-+=-+>，()666ln6ln60f =-+=>，由零点存在性定理，可得函数()6ln f x x x =-+的零点所在区间应是()4,5， 即C 正确，ABD 错误. 故选：C. 4．C 【分析】分别解函数对应的方程，逐项判断，即可得出结果. 【详解】A 选项，由2()log 70f x x =-=可得72x =，即函数2()log 7f x x =-有零点；B 选项，由()10f x =得1x =，即函数()1f x 有零点；C 选项，由()10f x x ==解得，x 不存在，即函数()1f x x=没有零点； D 选项，由()20f x x x =+=解得1x =-或0，即函数()2f x x x =+有零点. 故选：C. 5．B 【分析】解方程()0f x =，即可得出函数()f x 的零点. 【详解】解方程()0f x =，即2280x x --=，解得2x =-或4x =. 因此，函数()228f x x x =--的零点是2-和4.故选：B. 6．C 【分析】根据二分法结合零点存在定理求解. 【详解】因为(1.375)0,(1.4375)0f f <>， 所以方程的解在区间()1.375,1.4375内， 又精确到0.1， 所以可取1.4 故选：C 7．A 【分析】根据平移变换得到()g x ，令()g x 0=，解方程可得结果.【详解】依题意得2()log (1)2g x x =+-，由()0g x =得2log (1)2x +=，得14x +=，得3x =. 故选：A 【点睛】关键点点睛：掌握函数零点的概念是本题解题关键. 8．A 【分析】根据一丈等于十尺，即可得出结果. 【详解】因为一丈等于十尺，所以“道高一尺魔高一丈”更适合用10y x =，0x >来表示； 故选：A. 9．C 【分析】利用零点存在性定理，判断根的较小区间，即可求得近似解. 【详解】因为(1.438)0.1650f =>，(1.4065)0.0520f =-<，(1.438)(1.4065)0f f ⨯<，所以方程的近似根在()1.4065,1.438，则近似根为1.41 故选：C 10．C 【分析】计算出各端点的函数值，利用零点存在性定理即可判断. 【详解】()351f x x x =-+，()32252130f ∴-=-+⨯+=>，()31151150f -=-+⨯+=>，()010f =>()31151130f =-⨯+=-<，()32252110f =-⨯+=-<，根据零点存在性定理可得一定包含()f x 零点的区间是()0,1. 故选：C. 11．D 【分析】利用零点存在定理求得整数m 的值，进而可求得42log mm +的值. 【详解】易知函数()f x 单调递减，又因为()2210f e -=->，()130f e -=-<，由零点存在定理可知，函数()f x 的零点在区间()2,1--内，则2m =-. 所以2441132log 2log 2424mm -+=+=+=． 故选：D. 【点睛】本题考查利用零点存在定理求参数值，同时也考查指数式与对数式的计算，考查计算能力，属于基础题. 12．C 【分析】设该小区内公共场所声音的强度水平为1L ，2L ，相应声音的强度为1I ，2I ，代入可得选项. 【详解】设该小区内公共场所声音的强度水平为1L ，2L ，相应声音的强度为1I ，2I ， 由题意，得1210L L -=，即120010lg 10lg 10I II I -=， 解得21110I I =. 故选：C. 【点睛】本题考查函数模型的应用，关键在于理解生活中的数据在数学应用中的表达，属于基础题. 13．2-和1 【分析】解方程220x x +-=，即可得出函数()y f x =的零点. 【详解】令()0f x =，得220x x +-=，解得1x =或2x =-. 因此，函数()22f x x x =+-的零点为2-和1.故答案为：2-和1. 【点睛】本题考查函数零点的求解，熟悉函数零点的定义是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题. 14．4 【分析】由题意建立关于x ，y 的方程组，求得x ，y 的值，再代入9y kx =-中，求得k 的值． 【详解】解37231x y x y -=⎧⎨+=⎩得21x y =⎧⎨=-⎩，代入9y kx =-得129k -=-， 解得4k =． 故答案为：4 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 15．10 【分析】当燕子静止时，速度为0，由此列方程，解方程求得O 的值. 【详解】若燕子静止，则0v =，即25log 0,11010O O==，所以10O =. 故填：10. 【点睛】本小题主要考查阅读理解能力，考查已知函数值以及函数解析式求自变量的值，属于基础题.16．()2,+∞ 【分析】当0x ≤时，即()f x 恒有1个零点；当0x >时，得到相切时a 的值，即可求解。
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第三章 函数的应用 本章测试（人教版必修１）一、选择题1．已知函数)(1)()(x f x f x g -=，其中x x f 2)(log 2=，R x ∈，则)(x g （ ） A ．是奇函数又是减函数 B ．是偶函数又是增函数 C ．是奇函数又是增函数 D ．是偶函数又是减函数2．根据表格中的数据，可以判断方程02=--x e x必有一个根在区间( )A. )0,1(- B ．)1,0( C ．)2,1( D ．)3,2( 3．函数xx x f 2ln )(-=的零点所在的大致区间是( ) A ．)2,1( B ．)3,2( C ．)4,3( D ．)3,(e 4．已知x xx f ln 1)(-=在区间(1,2)内有一个零点0x ，若用二分法求0x 的近似值(精确度0.1)，则需要将区间等分的次数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．65．下列函数零点不能用二分法求解的是( )A ．1)(3-=x x f B ．3ln )(+=x x fC ．222)(2++=x x x fD ．14)(2-+-=x x x f6．设833)(-+=x x f x，用二分法求方程0833=-+x x在)2,1(∈x 内近似解的过程中得0)1(<f ，0)5.1(>f ，0)25.1(<f ，则方程的根落在区间( ) A ．）（25.1,1 B ．）（5.1,25.1 C ．）（2,5.1D. 不能确定7．下列函数不存在零点的是( ) A ．xx y 1-= B ．122--=x x yC ．⎩⎨⎧>-≤+=0,10,1x x x x yD ．⎩⎨⎧<-≥+=0,10,1x x x x y8．如图，ABC ∆为等腰直角三角形，直线l 与AB 相交且AB l ⊥，直线l 截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y ，点A 到直线l 的距离为x ，则)(x f y =的图象大致为四个选项中的()9．某商品价格前两年每年递增%20，后两年每年递减%20，则四年后的价格与原来价格相比，变化情况是( )A ．增加%84.7B ．减少%84.7C ．减少%5.9D ．不增不减10．某公司为了适应市场需求，对产品结构做了重大调整．调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与产量x 的关系，则可选用( ) A ．一次函数 B ．二次函数 C ．指数型函数 D ．对数型函数第II 卷（非选择题）二、填空题11．现测得(x ，y)的两组值为)2,1(，)5,2(，现有两个拟合模型，甲：12+=x y ；乙：13-=x y .若又测得),(y x 的一组对应值为）（2.10,3，则应选用________作为拟合模型较好．12．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个…这样，一个细胞分裂x 次后，得到的细胞个数y 与x 的函数关系式是________．13．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=)0(1)0(121)(x xx x x f ，若a a f >)(，则实数a 的取值范围是 。
14．已知函数)(x f y =在R 是奇函数，且当0≥x 时，x x x f 2)(2-=，则0<x 时，)(x f 的解析式为_______________15．已知函数1)(2-=x x f ，则函数)1(-x f 的零点是________．三、解答题16．某地区为响应上级号召，在2011年初，新建了一批有200万平方米的廉价住房，供困难的城市居民（1）经过x 年后，该地区的廉价住房为y 万平方米，求)(x f y =的表达式，并求此函数的定义域． （2）作出函数)(x f y =的图象，并结合图象求：经过多少年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米？17．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数10log 52Qv =，单位是s m ，其中Q 表示燕子的耗氧量．（1）试计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？（2）当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？18．已知关于x 的方程01)1(22=-++-a x a ax ，探究a 为何值时， （1）方程有一正一负两根； （2）方程的两根都大于1；（3）方程的一根大于1，一根小于119．知5100=m ，210=n， （1）求n m +2的值.（2）1x ，2x ， ，2010x 均为正实数，若函数x x f a log )(=(0>a 且1≠a )，且n m x x x f +=2)(201021 ，求)()()(220102221x f x f x f +++ 的值.20．（14分）有一个湖泊受污染，其湖水的容量为V 立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量. 现假设下雨和蒸发平衡，且污染物和湖水均匀混合.用)0(])0([)(≥-+=-p e rp g r p t g tv r，表示某一时刻一立方米湖水中所含污染物的克数（我们称其湖水污染质量分数），)0(g 表示湖水污染初始质量分数. （1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染初始质量分数； （2）分析rpg <)0(时，湖水的污染程度如何.21．若方程022=+-a ax x 在）（1,0恰有一个解，求a 的取值范围．参考答案1．D【解析】略2．C【解析】设f(x)＝e x－x－2，∵f(1)＝2.78－3＝－0.22＜0，f(2)＝7.39－4＝3.39＞0.∴f(1)f(2)＜0，由根的存在性定理知，方程e x－x－2＝0必有一个根在区间(1,2)．故选C3．B【解析】∵f(2)＝ln2－1＜0，f(3)＝ln3－23＞0，∴f(2)·f(3)＜0，∴f(x)在(2,3)内有零点．4．B【解析】由求解方程近似解的步骤可知需将区间等分4次．5．C【解析】对于C，f(x)＝(x2≥0，不能用二分法．6．B【解析】由已知f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，∴f(1.25)f(1.5)＜0，因此方程的根落在区间(1.25,1.5)内，故选B 7．D【解析】令y＝0，得A和C中函数的零点均为1，－1；B中函数的零点为－12，1；只有D中函数无零点．8．C【解析】设AB＝a，则y＝12a2－12x2＝－12x2＋12a2，其图象为抛物线的一段，开口向下，顶点在y轴上方．故选C.9．B【解析】设该商品原价为a，四年后价格为a(1＋0.2)2·(1－0.2)2＝0.9216a.所以(1－0.9216)a＝0.0784a＝7.84%a，即比原来减少了7.84%.10．D【解析】一次函数保持均匀的增长，不符合题意；二次函数在对称轴的两侧有增也有降；而指数函数是爆炸式增长，不符合“增长越来越慢”；因此，只有对数函数最符合题意，先快速增长，后来越来越慢．11．甲【解析】图象法，即描出已知的三个点的坐标并画出两个函数的图象(图略)，比较发现选甲更好．12．y＝2x(x∈N*)【解析】该函数关系为y＝2x，x∈N*.(),1-∞-【解析】当10,()1,22a f a a a a ≥=-><-时，这是矛盾的；当10,(),1a f a a a a <=><-时；14．2()2(0)f x x x x =--<【解析】略15．0和2【解析】由f(x)＝x 2－1，得y ＝f(x －1)＝(x －1)2－1＝x 2－2x ，∴由x 2－2x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝2，因此，函数f(x －1)的零点是0和2.16．(1) y ＝200(1＋5%)x (x ∈N *)(2) 经过9年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米 【解析】解：(1)经过1年后，廉价住房面积为 200＋200×5%＝200(1＋5%)； 经过2年后为200(1＋5%)2； …经过x 年后，廉价住房面积为200(1＋5%)x ， ∴y ＝200(1＋5%)x (x ∈N *)．(2)作函数y ＝f(x)＝200(1＋5%)x (x ≥0)的图象，如图所示．作直线y ＝300，与函数y ＝200(1＋5%)x 的图象交于A 点，则A(x 0,300)，A 点的横坐标x 0的值就是函数值y ＝300时所经过的时间x 的值． 因为8<x 0<9，则取x 0＝9，即经过9年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米． 17．(1) 10个单位 (2) 15m/s【解析】解：(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入题目所给公式可得 0＝5log 2Q10，解得Q ＝10， 即燕子静止时的耗氧量为10个单位． (2)将耗氧量Q ＝80代入公式得 v ＝5log 28010＝5log 28＝15(m/s)， 即当一只燕子耗氧量为80个单位时，它的飞行速度为15m/s. 18．(1) 0＜a ＜1(2) 不存在实数a ，使方程的两根都大于1 (3) a ＞0所以由根与系数的关系得，解得0＜a ＜1.即当0＜a ＜1时，方程有一正一负两根．(2)法一：当方程两根都大于1时，函数y ＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1的大致图象如图(1)(2)所示，所以必须满足，或，不等式组无解．所以不存在实数a ，使方程的两根都大于1法二：设方程的两根分别为x 1，x 2，由方程的两根都大于1，得x 1－1＞0，x 2－1＞0，即⇒.所以⇒ ，不等式组无解．即不论a 为何值，方程的两根不可能都大于1.(3)因为方程有一根大于1，一根小于1，函数y ＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1的大致图象如图(3)(4)所示，所以必须满足或，解得a ＞0.∴即当a ＞0时，方程的一个根大于1，一个根小于1. 19．（1）1（2）2【解析】本题考查对数的性质和运算法则，考查对数式和指数式的相互转化，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．（1）由100m =5，10n=2，知2m=lg5，n=lg2，由此能求出2m+n 的值．（2）由（1）知f （x 1x 2…x 10）=f （x 1）+f （x 2）+…+f（x 10）=1，由此能求出f(x 12)+f(x 22)+…+f(x 102)的值．析：（1）方法一：5101002==m m ，……… 2分1010101022==⋅∴+n m n m ，……… 4分12=+∴n m ……… 5分方法二：5lg 2,5100=∴=m m，……… 2分2lg ,210=∴=n n ，……… 3分 110lg 2lg 5lg 2==+=+∴n m ……… 5分（2）由（1）可知f(x 1x 2…x 2010)＝f(x 1)＋f(x 2)＋…＋f(2010)＝1，……… 7分∴f(21x )＋f(22x )＋…＋f(22010x )＝2[f(x 1)＋f(x 2)＋…＋f(x 2010)] ………9分＝2×1＝2. ……… 10分 20．（1）r pg =)0(；（2）污染越来越严重【解析】解： （1）设210t t <≤，因为)(t g 为常数，)()(21t g t g =，即0]][)0([21=----t vrt v r e e r p g ， 则rp g =)0(； （2）设210t t <<，=-)()(21t g t g ]][)0([21t v rt v re e rp g ----=2112])0([t t vrt vr t vr eeerp g +-⋅-因为0)0(<-rpg ，210t t <<，)()(21t g t g <. 污染越来越严重 21．a ＜0或a ＞1【解析】解：设f(x)＝x 2－2ax ＋a. 由题意知：f(0)·f(1)＜0，即a(1－a)＜0，根据两数之积小于0，那么必然一正一负．故分为两种情况．∴a ＜0或a ＞1.。