2.4一元二次方程系数与根的关系(教师版)

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21.2.4一元二次方程的根与系数的关系教案2021-2022学年九年级数学人教版上册

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系一、教学目标1.要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程的根与系数的关系，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和，两根之差.2.通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神.二、教学重难点重点掌握一元二次方程的根与系数的关系.难点一元二次方程的根与系数关系的推导过程及其应用.重难点解读在使用一元二次方程的根与系数的关系时，应注意：（1）方程不是一般形式的要先化为一般形式.（2）使用x 1+x2=ba时，“-”不要漏写.（3）根与系数关系是在方程ax2+bx+c=0（a≠0）有根的前提下（即b2-4ac≥0）才成立的，运用根与系数的关系解题时首先要检验b2-4ac是否非负.（4）若已知方程“有两个实数根”，则该方程是一元二次方程，即存在隐含条件：二次项系数不为零.三、教学过程活动1 旧知回顾提出问题：（1）一元二次方程的一般形式是什么？（2）请同学们写出一元二次方程的求根公式.（3）在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a的取值决定什么？b2-4ac的取值呢？两根怎么求？（4）一元二次方程的根与系数有着密切的关系，其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系呢？今天我们进一步研究一元二次方程的这种关系.活动2 探究新知1.解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x 1+x 2，x 1·x 2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？用语言叙述你发现的规律.2.教材第15页第1个思考. 提出问题：（1）把方程（x-x 1）（x-x 2）=0化为一般形式后的方程是什么？（2）这个方程的二次项系数是多少？一次项系数是多少？常数项是多少？（3）由此可知，方程x 2-（x 1+x 2）x+x 1x 2=0两个根的和、积与系数有怎样的关系？ 3.教材第15页第2个思考. 提出问题：（1）如果一元二次方程的二次项系数不为1，根与系数之间又有怎样的关系呢？你能证明你的猜想吗？（2）由求根公式可知一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0），当b 2-4ac ≥0时，两根分别为x 1=242bb ac a，x 2=242bb aca.观察两式右边，分母相同，分子是-b-.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？x 1+x 2=__________，x 1x 2=___________.（3）由此你能说出方程的两个根x 1，x 2和系数a ，b ，c 有怎样的关系吗？把方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两边同时除以a ，能否得出该结论？为什么？活动3 知识归纳一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根x 1，x 2和系数a ，b ，c 有如下关系： x 1+x 2=b a ，x 1x 2= ca. 提出问题：（1）方程的根是由什么决定的？（2）在运用根与系数的关系解决具体问题时，是否需要考虑根的判别式Δ=b 2-4ac ≥0呢？为什么？活动4 典例赏析及练习例1 教材第16页例4.例2 已知一元二次方程的两个根是-1和2，请你写出一个符合条件的方程.（你有几种方法？）【答案】解：两种.（1）直接利用因式分解法，得（x+1）（x-2）=0；（2）用根与系数关系法求解：∵两根之和为1，两根之积为-2，∴满足条件的方程为ax 2-ax-2a=0（a ≠0）.例3 已知方程2x 2+kx-9=0的一个根是-3，求另一根及k 的值. 变式一：已知方程x 2-2kx-9=0的两根互为相反数，求k ；变式二：已知方程2x 2-5x+k=0的两根互为倒数，求k. 【答案】解：由两根之积，得-3k=92，解得k=32；（变式一）互为相反数的两根之和为0，得0=2k.解得k=0；（变式二）互为倒数的两根之积为1，得1=2k，解得k=2. 练习：1.教材第16页练习.2.若x 1，x 2是一元二次方程x 2+x-2=0的两个实数根，则x 1+x 2+x 1x 2= -3 . 3.两根均为负数的一元二次方程是（ C ） A.7x 2-12x+5=0 B.6x 2-13x-5=0 C.4x 2+21x+5=0 D.x 2+15x-8=04.已知关于x 的方程x 2+2x-k=0有两个不相等的实数根.若α，β是这个方程的两个实数根，求1+1的值.【答案】解：由根与系数的关系可知α+β=-2，αβ=-k ，∴1+1=(1)(1)(1)(1)=21=2212kk=2.活动5 课堂小结1.若方程x 2+px+q=0有两个实根x 1，x 2，则x 1+x 2=-p ，x 1x 2=q.2.方程ax2+bx+c=0中，在a≠0，b2-4ac≥0的条件下，两个根x1，x2与系数a，b，c有如下关系：x 1+x2=ba，x1x2=ca.3.运用一元二次方程的根与系数的关系求方程的两根之和，两根之积时要注意：（1）先把方程化为一般形式，明确方程的二次项系数、一次项系数和常数项的值，然后直接代入关系式；（2）确定方程的各项系数时一定要包括符号；（3）只有在一元二次方程有实根数的前提下，才能使用根与系数的关系，如果所给一元二次方程没有实数根，那也就不存在根与系数的关系.四、作业布置与教学反思。

2.4 一元二次方程根与系数的关系

2.当b2-4ac≥0时，方程才有解，可以用求根公式写出它的根 b b 2 4ac
x
2a
2.4 一元二次方程根与系数的关系
9
x1 x2
x 5x 6 0
2
x1 x2
2 x 5x 0
2
9 x 24 x 16 0
2
请大家再仔细的观察这张表,能不能发现 x1 x2 , x1 x2与方程的系数有什么关系？
变式：若a、b为互不相等的实数,且a2－3a＋1＝ 0,b2－3b+1=0,求a2-ab+b2的值.
分析：要求一个含字母a、b的代数式的值，常规的解法就是先求出a、b的值，然后代入求解．本题若按这个思路计算将会涉及到解一元二次方程及二次根式的运算，运算量非常大．但如果考虑a、b的关系，把a、b看作某个一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系得到a、b的关系式，再利用a、b的关系式整体代入，问题将会变得简便．解：根据题意知a、b是方程x2－3x＋1＝0的两个根由根与系数关系得a＋b＝3，ab＝1．总结：本题的解题关键是把a、b看作一元二次方程x2－3x ＋1＝0的两根，利用根与系数关系得a＋b＝3，ab＝1,再通过运用整体代换的思想代入运算，问题可求．利用根与系数的关系求与根有关的代数式的值，
（1）∵（x1+x2）2=x12+2x1.x2 + x22 ∴ x12+x22 = （x1+x2）2 - 2x1.x2 x1+x2 2 （2）—+— = ———— = ——— =3 1 x1 x2 x1.x2 2
1 1
2 1 2
3 1 13 2 =（-—） -2（- —）=— 2 2 3 4

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课件人教版数学九年级上册

也可以把 x=2 代入方程，求得 q=8，再解 x2 － 6x+8=0，求得另一个根为4.
知1－练
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2-1.[中考·怀化] 已知关于x 的一元二次方程x2＋mx－ 2=0 的一个根为－1，则m 的值为___－__1__ ，另一个根为___2____ .
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知识点 2 二次项系数为 1 的一元二次方程的性质知2－讲
21.2 解一元二次方程
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
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知识点 1 一元二次方程的根与系数的关系知1－讲
1.一元二次方程的根与系数的关系
方程 ax2+bx+c=0(a ≠ 0)，当 b2－4ac ≥ 0 时，方程有实数根，
设这两个实数根分别为 x1， x2. 这两个根与系数的关系是
知2－练
解题秘方：直接用以 x1， x2 为根的一元二次方程 (未知数为 x，二次项系数为 1)是 x2－ ( x1+x2) x+x1x2=0 求解 .
解：由题可知所求方程是 x2－( x1+x2) x+x1x2=0， ∴所求的一元二次方程是 x2－7x+12=0. 答案：A
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3-1. ［中考·淄博］若x1+x2=3，x12+x22=5，则以 x1， x2 为根的一元二次方程是( A ) A. x2－3x+2=0 B. x2+3x－2=0 C. x2+3x+2=0 D. x2－3x－2=0
转化记忆一元二次方程根与系数的关系 .
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例3 [ 中考·来宾 ]已知实数 x1， x2 满足 x1+x2=7，

专题2.4根与系数的关系及判别式综合大题(老师版)

1专题2.4根与系数的关系及判别式综合大题一．解答题（共30小题）1．（2022春•姜堰区期末）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k+1）x+k 2+1＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若①或②或③（选一个即可）（填序号），求k 的值．（从①x 1•x 2＝2；②x 1+x 2＝3；③x 1﹣x 2＝1中选择一个作为条件，补充完整题目，并完成解答．）【分析】（1）利用根的判别式进行求解即可；（2）选择其中一个进行解答即可．【解析】（1）∵一元二次方程x 2﹣（2k+1）x+k 2+1＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2，∴Δ＝﹣（2k+1）2﹣4×1×（k 2+1）＞0，解得：k＞34；（2）当①x 1•x 2＝2时，得：k 2+1＝2，解得：k＝±1，∵k＞34，∴k＝1；当②x 1+x 2＝3时，得：2k+1＝3，解得：k＝1；当③x 1﹣x 2＝1时，（x 1﹣x 2）2＝1，（x 1+x 2）2﹣4x 1•x 2＝1，（2k+1）2﹣4（k 2+1）＝1，解得：k＝1．故答案为：①或②或③（选一个即可）．2．（2022春•莱西市期中）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+m﹣5＝0，（1）求证：无论m 取何值，方程一定有两个不相等的实数根；（2）若方程有一根为2+5，求m 的值．【分析】（1）根据根的判别式得出Δ＝m 2﹣4×1×（﹣2）＝m 2+8＞0，据此可得答案；（2）把x＝2+5代入x 2﹣mx+m﹣5＝0，求得m＝4可得答案．【解答】（1）证明：∵Δ＝m 2﹣4×1×（m﹣5）＝m 2﹣4m+20＝（m﹣2）2+16＞0，∴无论m 取何值，方程一定有两个不相等的实数根；（2）解：将x＝2+5代入方程得4+45+5﹣（2+5）m+m﹣5＝0，解得m＝4．故m 的值为4．3．（2022•南京模拟）关于x的方程x2+2x+2k﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k取最大整数值时，求方程的两个根．【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，则Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4（2k﹣1）＝8﹣8k＞0，求解即可；（2）根据（1）确定的k的取值范围，得出k取最大整数值，代入方程，求解方程即可．【解析】∵方程x2+2x+2k﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4（2k﹣1）＝8﹣8k＞0，∴k＜1，∴当k＜1时，方程有两个不相等的实数根；（2）∵k＜1，∴k的最大整数值为0，把k＝0代入方程x2+2x+2k﹣1＝0，得方程x2+2x﹣1＝0，解得x1=−1+2，x2=−1−2．4．（2022•海淀区校级开学）已知关于x的一元二次方程kx2+（k﹣2）x﹣2＝0（k≠0）．（1）求证：不论k为何值，这个方程都有两个实数根；（2）若此方程的两根均整数，求整数k的值．【分析】（1）先计算判别式的值得到Δ＝（k﹣2）2﹣4k×（﹣2）＝（k+2）2，然后根据非负数的性质得到Δ≥0，则根据判别式的意义即可得到结论；（2）先利用因式分解法求得kx2+（k﹣2）x﹣2＝0（k≠0）的解为x1=2k，x2＝﹣1，然后根据整数的整除性可确定整数k的值．【解答】（1）证明：Δ＝（k﹣2）2﹣4k×（﹣2）＝（k+2）2，∵（k+2）2≥0，∴Δ≥0，∴不论k为何值，这个方程都有两个实数根；（2）解：kx2+（k﹣2）x﹣2＝0（k≠0），（kx﹣2）（x+1）＝0，解得x1=2k，x2＝﹣1，因为该方程的两根均整数，所以2k为整数，所以整数k为±1或±2．5．（2022•兴化市开学）已知关于x的一元二次方程x2+（k+2）x+2k＝0．2（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是正数，求k的取值范围．【分析】（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可；（2）求得方程两根，再结合条件判断即可．【解答】（1）证明：依题意，得Δ＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣2）2，∵（k﹣2）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：x2+（k+2）x+2k＝0．（x+2）（x+k）＝0，得x1＝﹣2，x2＝﹣k，∵方程有一个根是正数，∴﹣k＞0，∴k＜0．6．（2022•十堰模拟）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形一腰长为5，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长．【分析】（1）先计算出Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×2k＝（k﹣2）2，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况；（2）依题意方程x2﹣（k+2）x+2k＝0一个根为5，代入方程求得k＝5，再把k代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长．【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×2k＝（k﹣2）2，∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，∴无论k取任何实数值，方程总有实数根；（2）解：∵等腰三角形一腰长为5，∴另外一边长度为5，∴方程x2﹣（k+2）x+2k＝0一个根为5，∴25﹣5（k+2）+2k＝0，解得k＝5，∴方程为x2﹣（5+2）x+2×5＝0，∴（x﹣5）（x﹣2）＝0，解得x1＝5，x2＝2，故△ABC的周长＝5+5+2＝12．7．（2022春•工业园区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2−2x+m−1＝0．（1）当m取何值时，这个方程有两个不相等的实数根？（2）若x＝1是这个方程的一个根，求m的值和另一根．3【分析】（1）根据一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，可得Δ＞0，从而可以求得m的取值范围；（2）把x＝1代入已知方程，得到关于m的一元一次方程，通过解该方程来求m的值，则可得出答案．【解析】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＝4﹣4m+4＞0，即m＜2．（2）当x＝1时，1﹣2+m﹣1＝0，∴m＝2，∴x2−2x+1＝0，解得x1＝x2＝1．即另一根是1．8．（2022春•宿豫区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣8x﹣k+4＝0有两个相等的实数根．（1）求k的值；（2）求此时方程的根．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，即可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值；（2）利用配方法解方程即可．【解析】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣8x﹣k+4＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝0，即（﹣8）2﹣4×1×（﹣k+4）＝0，解得：k＝﹣12；（2）当k＝﹣12时，此时方程为x2﹣8x+16＝0，∴（x﹣4）2＝0，∴x1＝x2＝4．9．（2022春•鼓楼区校级期末）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+（a+3）x+a+1＝0的一个根．（1）求实数a的值；（2）求证：方程总有两个不相等的实数根．【分析】（1）根据一元二次方程的解的定义，将x＝1代入关于x的一元二次方程x2+（a+3）x+a+1＝0，列出关于a的方程，通过解该方程求得a值即可；（2）求出根的判别式Δ＝（a+1）2+4＞0，据此可得答案；【解答】（1）解：∵x＝1是关于x的一元二次方程x2+（a+3）x+a+1＝0的一个根．∴1+a+3+a+1＝0，解得a＝﹣2.5；（2）证明：∵Δ＝（a+3）2﹣4（a+1）＝a2+6a+9﹣4a﹣44＝（a+1）2+4＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．10．（2022春•定远县校级期末）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m＝1．（1）如果方程根的判别式的值为1，求m的值．（2）如果方程有一个根是﹣1，求此方程的根的判别式的值．【分析】（1）由一元二次方程的Δ＝b2﹣4ac＝1，建立m的方程，求出m的解．（2）根据一元二次方程的解的定义，将x＝﹣1代入一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m＝1，求得m值，然后将m值代入原方程，利用Δ＝b2﹣4ac求得即可【解析】（1）∵mx2﹣（3m﹣1）x+2m＝1．∴mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣1＝0，∵Δ＝（3m﹣1）2﹣4m（2m﹣1）＝1，整理得m2﹣2m＝0，解得m1＝0，m2＝2，∵m≠0，∴m＝2；（2）根据题意，将x＝﹣1代入方程得m+（3m﹣1）+2m＝1，整理，得：6m﹣2＝0，解得：m=13，原方程为13x2−13=0，∴Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×13×(−13)=49．11．（2022春•广饶县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0．（1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；（2）若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，求m的值．【分析】（1）根据根的判别式的意义得Δ的值，于是得到结论；（2）分两种情况：当腰为4时，当底为4时，解方程即可得到结论．【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×3m＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2．∵（m﹣3）2≥0，即Δ≥0，∴无论m取任何实数，方程总有实数根；（2）解：当腰为4时，把x＝4代入x2﹣（m+3）x+3m＝0，得，16﹣4m﹣12+3m＝0，解得m＝4；当底为4时，则程x2﹣（m+3）x+3m＝0有两相等的实数根，5∴（m﹣3）2＝0，∴m＝3，综上所述，m的值为4或3．12．（2022春•平桂区期末）已知关于x的一元二次方程（c+a）x2+2bx+（c﹣a）＝0（其中a、b、c分别为△ABC 三边的长）有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式可得出Δ＝4b2﹣4（c+a）（c﹣a）＝0，整理即可得出c2＝a2+b2，再根据勾股定理的逆定理得出△ABC为直角三角形．【解析】△ABC是直角三角形，理由如下：∵方程（c+a）x2+2bx+（c﹣a）＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝4b2﹣4（c+a）（c﹣a）＝0，即c2＝a2+b2，∵a、b、c分别为△ABC三边的长，∴△ABC为直角三角形．13．（2022春•宝应县期末）已知关于x的一元二次方程x（x﹣2）＝k．（1）若k＝3，求此方程的解；（2）当k≥﹣1时，试判断方程的根的情况．【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）根据根的判别式的意义得Δ＝（﹣2）2﹣4×1（﹣k）＝4+4k，判断即可得到结论．【解析】（1）把k＝3代入原方程得：x（x﹣2）＝3，整理得：x2﹣2x﹣3＝0，分解因式得：（x﹣3）（x+1）＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1；（2）∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1（﹣k）＝4+4k，∵k≥﹣1∴4+4k≥0，∴方程有两个实数根．14．（2022春•百色期末）已知a、b、c是△ABC的三边长，关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+a﹣c＝0有两个相等的实数根．（1）请判断△ABC的形状；（2）当a＝5，b＝3时，求一元二次方程的解．【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根得出Δ＝0，即可得出a2＝b2+c2，根据勾股定理的逆定理判断即可；（2）把a＝5，b＝3代入方程化简，即可求出方程的解．【解析】（1）∵关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，6∴△ABC是直角三角形；（2）∵a＝5，b＝3，∴c=52−32=4，∴方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0可整理为9x2+6x+1＝0，解得：x1＝x2=−13．15．（2022•高新区校级开学）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0．（1）证明无论k取何值时方程总有两个实数根．（2）△ABC中，BC＝5，AB、AC的长是这个方程的两个实数根，求k为何值时，△ABC是等腰三角形？【分析】（1）表示出方程根的判别式，根据根的判别式的正负即可确定出方程根的情况；（2）由（1）得到AB≠AC，分AC＝BC与AB＝BC两种情况求出k的值即可．【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+3）]2﹣4×1×（k2+3k+2）＝1＞0，∴无论k取何值时方程总有两个实数根．（2）解：∵方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的解为：x=(2k+3)±12=(2k+3)±12，即x1＝k+2，x2＝k+1，∵AB、AC是方程的两个实数根，∴AB≠AC，∵BC＝5，∴当k+2＝5，或k+1＝5时，△ABC是等腰三角形，∴k＝3或4，故当k为3或4时，△ABC是等腰三角形．16．（2022•下陆区校级开学）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+2＝0．（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个实数根；（2）若x1，x2是原方程的两根，且x12+x22＝1，求m的值．【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．（2）根据根与系数的关系以及配方法即可求出答案．【解析】（1）证明：∵Δ＝（m+3）2﹣4（m+2）＝（m+1）2，∵无论m取何值，（m+1）2≥0，∴原方程总有两个实数根．（2）∵x1，x2是原方程的两根，∴x1+x2＝﹣（m+3），x1x2＝m+2，∵x12+x22＝1，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝1，78∴代入化简可得：m 2+4m+4＝0，解得：m＝﹣2．17．（2022•文安县校级开学）已知关于x 的一元二次方程x 2+（m+3）x+m+1＝0．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若已知方程的一个根为﹣2，求方程的另一个根以及m 的值．【分析】（1）由Δ＝（m+3）2﹣4×1×（m+1）＝（m+1）2+4＞0可得答案；（2）设方程的另外一根为a，根据根与系数的关系得出a −2=−m −3−2a =m +1，解之即可得出答案．【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+3）2﹣4×1×（m+1）＝m 2+6m+9﹣4m﹣4＝m 2+2m+1+4＝（m+1）2+4＞0，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）解：设方程的另外一根为a，根据题意，得：a −2=−m −3−2a =m +1，解得：a =0m =−1，所以方程的另一根为0，m 的值为﹣1．18．（2022•亭湖区校级开学）如图，菱形ABCD 中，m、n、t 分别是菱形ABCD 的两条对角线和边长，这时我们把关于x 的形如mx 2+22tx+n＝0的一元二次方程称为“菱系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）填空：①当m＝2，n＝4②用含m、n 的代数式表示t 2＝14m 2+14n 2；（2）求证：关于x 的“菱系一元二次方程”mx 2+2tx +12n＝0必有实数根．【分析】（1）由菱形的对角线互相垂直平分得出AO、DO 的长，再利用勾股定理可得AD，从而得出答案；（2）此方程的判别式Δ＝（2t）2﹣2mn＝4t 2﹣2mn，结合t 2=14m 2+14n 2可得答案．【解答】（1）解：①菱形ABCD 中，m、n、t 分别是菱形ABCD 的两条对角线和边长，当m＝2，n＝4时，则AO＝2，DO＝1，则AD =AO 2+DO 2=22+12=5，即t =5，故答案为：5；②由题意知AO =12AC =12m，DO =12BD =12n，则AD=AO2+DO2==∴t2=14m2+14n2，故答案为：14m2+14n2；（2）证明：mx2+2tx+12n＝0，这里，a＝m，b＝2t，c=12n，∴Δ＝（2t）2﹣4m•12n＝4t2﹣2mn，∵t2=14m2+14n2，∴Δ＝m2+n2﹣2mn＝（m﹣n）2≥0，∴关于x的“菱系一元二次方程”mx2+2tx+12n＝0必有实数根．19．（2022•荔城区校级开学）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有x1，x2两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若x1＝1，求x2及m的值．【分析】（1）由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围；（2）利用根与系数的关系得x1+x2＝4，x1x2＝m﹣1，则可先求出x2，再求出m的值．【解析】（1）∵方程有实数根，∴Δ＝16﹣4（m﹣1）≥0．解得m≤5．（2）依题意得：x1+x2＝4，x1⋅xx＝m﹣1且x1＝1，则x2＝3，m＝4．20．（2022•雨花区校级开学）已知关于x的方程x2﹣4（m﹣2）x+4m2＝0．（1）若方程有两个实数根，求m的取值范围；（2）是否存在m，使方程的两个实数根的平方和等于224．若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）方程有两个实数根，利用Δ≥0求出m的值．（2）利用根与系数的关系x1+x2=−b a=4m﹣8，x1x2=c a=4m2，x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2，代入即可得到关于m的方程，求出m的值，再根据△来判断所求的m的值是否满足原方程．【解析】（1）∵a＝1，b＝﹣4（m﹣2），c＝4m2方程有两个实数根，∴Δ≥0，即Δ＝b2﹣4ac＝[﹣4（m﹣2）]2﹣4×1×4m2＝﹣64m+64≥0，∴m≤1．（2）存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224．∵x1+x2=−b a=4m﹣8，x1x2=c a=4m2，910x 12+x 22＝（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝（4m﹣8）2﹣2×4m 2＝8m 2﹣64m+64＝224，即：8m 2﹣64m﹣160＝0，解得：m 1＝10（不合题意，舍去），m 2＝﹣2，又∵m 1＝10时，Δ＝﹣4m+4＝﹣36＜0，此时方程无实数根，∵m 2＝﹣2时，Δ＝﹣4m+4＝8+4＝12＞0，此时方程有实数根，∴存在m 使方程的两个实数根的平方和等于224．21．（2022春•招远市期末）已知关于x 的一元二次方程x 2+mx+m﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）设方程的两个根为x 1，x 2，且x 12+x 22=10，求(x 1−x 2)2的值．【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；（2）先利用根与系数的关系得到x 1+x 2＝﹣m，x 1x 2＝m﹣1，再利用完全平方公式由x 12+x 22=10得到（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝10，所以（﹣m）2﹣2（m﹣1）＝10，解得m 1＝4，m 2＝﹣2，再把（x 1﹣x 2）2化为（m﹣2）2，然后把m＝4和﹣2分别代入计算即可．【解答】（1）证明：∵Δ＝m 2﹣4（m﹣1）＝m 2﹣4m+4＝（m﹣2）2≥0，∴一元二次方程总有两个实数根；（2）解：∵x 1，x 2是方程x 2+mx+m﹣1＝0的两个根，∴x 1+x 2＝﹣m，x 1x 2＝m﹣1，∵x 12+x 22=10，∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝10，∴（﹣m）2﹣2（m﹣1）＝10，解得m 1＝4，m 2＝﹣2，∵（x 1﹣x 2）2＝（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2＝m 2﹣4（m﹣1）＝m 2﹣4m+4＝（m﹣2）2，当m＝4时，（x 1﹣x 2）2＝（4﹣2）2＝4，当m＝﹣2时，（x 1﹣x 2）2＝（﹣2﹣2）2＝16，综上所述，（x 1﹣x 2）2的值为4或16．22．（2022•宁波自主招生）关于x 的一元二次方程ax 2+6x﹣5a＝0…①和3x 2﹣ax+a＝0…②．（1）若a＞0，且方程①有两实根x 1，x 2，方程②有两实根x 3，x 4，求代数式x 1x 2+x 1x 3+x 1x 4+x 2x 3+x 2x 4+x 3x 4的最小值；（2）是否存在实数a，使得方程①和②恰有一个公共的实数根？若存在，请求出实数a 的值；若不存在请说明理由．【分析】（1）根据根与系数的关系得x 1+x 2=−6a ，x 1x 2＝﹣5，x 3+x 4=a 3，x 3x 4=a 3，则x 1x 2+x 1x 3+x 1x 4+x 2x 3+x 2x 4+x 3x 4＝﹣7+a3，再根据两个方程都有实根，得a 的取值范围，即可求出最小值；（2）假设存在实数a，使得方程①和②恰有一个公共的实数根，设公共解为m，则am 2+6m﹣5a＝3m 2﹣am+a，根据方程有两个相等的实根，由Δ＝0即可求出a 的值．【解析】（1）∵方程①有两实根x 1，x 2，方程②有两实根x 3，x 4，∴x 1+x 2=−6a ，x 1x 2＝﹣5，x 3+x 4=a 3，x 3x 4=a 3，∴x 1x 2+x 1x 3+x 1x 4+x 2x 3+x 2x 4+x 3x 4＝﹣5+x 1（x 3+x 4）+x 2（x 3+x 4）+a 3＝﹣5+（x 1+x 2）（x 3+x 4）+a 3＝﹣5+（−6a ）×a 3+a 3＝﹣7+a 3，∵一元二次方程ax 2+6x﹣5a＝0…①和3x 2﹣ax+a＝0…②都有两个实根且a＞0，∴36+20a 2≥0a 2−12a ≥0，解得a≥12，∴当a＝12时，﹣7+a 3有最小值为﹣3，∴代数式x 1x 2+x 1x 3+x 1x 4+x 2x 3+x 2x 4+x 3x 4的最小值为﹣3．（2）假设存在实数a，使得方程①和②恰有一个公共的实数根，设公共解为m，则am 2+6m﹣5a＝3m 2﹣am+a，∴（a﹣3）m 2+（6+a）m﹣6a＝0，∴Δ＝（6+a）2+24a（a﹣3）＝0，解得a =65，∴存在实数65，使得方程①和②恰有一个公共的实数根．23．（2022•黄石）阅读材料，解答问题：材料1为了解方程（x 2）2﹣13x 2+36＝0，如果我们把x 2看作一个整体，然后设y＝x 2，则原方程可化为y 2﹣13y+36＝0，经过运算，原方程的解为x 1，2＝±2，x 3，4＝±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．材料2已知实数m，n 满足m 2﹣m﹣1＝0，n 2﹣n﹣1＝0，且m≠n，显然m，n 是方程x 2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n＝1，mn＝﹣1．根据上述材料，解决以下问题：（1）直接应用：方程x 4﹣5x 2+6＝0的解为x 1=−−（2）间接应用：已知实数a，b 满足：2a 4﹣7a 2+1＝0，2b 4﹣7b 2+1＝0且a≠b，求a 4+b 4的值；（3）拓展应用：已知实数m，n 满足：14+12=7，n 2﹣n＝7且n＞0，求14+n 2的值．【分析】（1）利用换元法降次解决问题；（2）模仿例题解决问题即可；（3）令1m2=a，﹣n＝b，则a2+a﹣7＝0，b2+b﹣0，再模仿例题解决问题．【解析】（1）令y＝x2，则有y2﹣5y+6＝0，∴（y﹣2）（y﹣3）＝0，∴y1＝2，y2＝3，∴x2＝2或3，∴x1=2，x2=−2，x3=3，x4=−3；故答案为：x1=2，x2=−2，x3=3，x4=−3；（2）∵a≠b，∴a2≠b2或a2＝b2，当a2≠b2时，令a2＝m，b2＝n．∴m≠n，则2m2﹣7m+1＝0，2n2﹣7n+1＝0，∴m，n是方程2x2﹣7x+1＝0的两个不相等的实数根，∴m+n=72mn=12，此时a4+b4＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn=454．②当a2＝b2（a＝﹣b）时，a2＝b2=7±414，此时a4+b4＝2a4＝2（a2）2=45±7414，综上所述，a4+b4=454或45±7414．（3）令1m2=a，﹣n＝b，则a2+a﹣7＝0，b2+b﹣7＝0，∵n＞0，∴1m2≠−n，即a≠b，∴a，b是方程x2+x﹣7＝0的两个不相等的实数根，∴a+b=−1ab=−7，故1m4+n2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝15．24．（2022春•惠城区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k﹣2＝0．（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根：（2）若该方程的两个实数根x1，x2，满足x1﹣x2＝﹣2k+3．求k的值．【分析】（1）根据根的判别式得出Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k﹣2）＝4k2+9＞0，据此可得答案；（2）先根据根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，x1x2＝k﹣2，由x1﹣x2＝﹣2k+3知（x1﹣x2）2＝4k2﹣12k+9，即（x1+x2）2﹣4x1x2＝4k2﹣12k+9，从而列出关于k的方程，解之可得答案．【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k﹣2）＝4k2+4k+1﹣4k+8＝4k2+9＞0，∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：由根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，x1x2＝k﹣2，∵x1﹣x2＝﹣2k+3，∴（x1﹣x2）2＝4k2﹣12k+9，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝4k2﹣12k+9，∴（2k+1）2﹣4（k﹣2）＝4k2﹣12k+9，解得k＝0．25．（2022春•丰城市校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m﹣2＝0．（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根为x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值．【分析】（1）根据根的判别式得出Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×（m﹣2）＝4m2+9＞0，据此可得答案；（2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝2m+1，x1x2＝m﹣2，代入x1+x2+3x1x2＝1得出关于m的方程，解之可得答案．【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×（m﹣2）＝4m2+4m+1﹣4m+8＝4m2+9＞0，∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）解：由根与系数的关系，得x1+x2＝2m+1，x1x2＝m﹣2，由x1+x2+3x1x2＝1，得2m+1+3（m﹣2）＝1，解得m=65．26．（2022•大冶市模拟）若α=x2﹣x+t＝0的根；（1）则方程的另外一个根β＝1−52，t＝﹣1；（2）求（α3﹣α2+1）（β3﹣β2+1）的值．【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系列出等式即可求解；（2）利用一元二次方程根的意义得出α2＝1+α，β2＝1+β，再求出α3﹣α2+1＝α2（α﹣1）+1＝（1+α）（α﹣1）+1＝α2，β3﹣β2+1＝β2（β﹣1）+1＝（1+β）（β﹣1）+1＝β2，然后利用根与系数的关系解答即可求得结论．【解析】（1）由根与系数的关系，α+β＝1，αβ＝t，∴β＝1﹣α＝1−∴t＝αβ=1+52=−1，故答案为：1−52，﹣1；（2）∵α、β为一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根，∴α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，αβ＝﹣1，∴α2＝1+α，β2＝1+β，∴α3﹣α2+1＝α2（α﹣1）+1＝（1+α）（α﹣1）+1＝α2，β3﹣β2+1＝β2（β﹣1）+1＝（1+β）（β﹣1）+1＝β2，∴（α3﹣α2+1）（β3﹣β2+1）＝α2β2＝（αβ）2＝（﹣1）2＝1．27．（2022春•淄川区期末）已知关于x的一元二次方程x2−2kx+k−12=0．（1）判断该方程根的情况，并说明理由；（2）若方程的两个实数根之和等于两根之积，求k的值．【分析】（1）表示出根的判别式，判断正负即可得到结果；（2）利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，令其值相等求出k的值即可．【解析】（1）∵Δ＝（﹣2k）2﹣4（k−12）＝4k2﹣4k+2＝4（k−12）2+1≥1＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x1，x2，则有x1+x2＝2k，x1x2＝k−12，∵方程的两个实数根之和等于两根之积，∴2k＝k−12，解得：k=−12．28．（2022春•安庆期末）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣9x+18＝0的两个根是3和6，则方程x2﹣9x+18＝0就是“倍根方程”．（1）若一元二次方程x2﹣6x+k＝0是“倍根方程”，则k＝8；（2）若一元二次方程nx2﹣（2n+m）x+2m＝0（n≠0）是“倍根方程”，求m+n2m−n的值；【分析】（1）设一元二次方程x2﹣6x+k＝0两根为α和2α，根据一元二次方程根与系数的关系列方程组可解得答案；（2）解nx2﹣（2n+m）x+2m＝0得x=m或x＝2，当m m+n5，当m可得m+n2m−n=n+n2n−n=2．【解析】（1）设一元二次方程x2﹣6x+k＝0两根为α和2α，则α+2α=6α⋅2α=k，解得α=2k=8，故答案为：8；（2）由一元二次方程nx2﹣（2n+m）x+2m＝0得（nx﹣m）（x﹣2）＝0，∴x=m n或x＝2，∵一元二次方程nx2﹣（2n+m）x+2m＝0（n≠0）是“倍根方程”，∴m n=4或m n=1，当m n=4时，m＝4n，∴m+n2m−n=4n+n2×4n−n=57，当m n=1时，m＝n，∴m+n2m−n=n+n2n−n=2，综上所述，m+n2m−n的值为57或2．29．（2022春•安庆期末）已知关于的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）＝0（1）求证：无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根分别为x1，x2，且x1，x2分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为6，求m的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝1＞0，由此即可证出方程总有两个不相等的实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，列出关于m的方程，解方程并检验可得答案．【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4m（m+1）＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m＝1＞0，∴Δ＞0，∴x2﹣（2m+1）x+m（m+1）＝0总有两个不相等的实数根；（2）∵方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）＝0的两根分别为x1，x2，∴x1•x2＝m（m+1），∵x1，x2分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为6，∴12x1•x2＝6，∴12m（m+1）＝6，解得m＝﹣4或m＝3，当m＝﹣4时，x1＝﹣3，x2＝﹣4，不符合题意，舍去，当m＝3时，x1＝3，x2＝4符合题意，∴m的值为3．30．（2022春•海陵区期末）已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根．（1）求a的取值范围；（2）若此方程的一个实数根为2，求a的值；（3）直接写出所有不大于5的正整数a的值，使原方程的两个根均为有理数．【分析】（1）根据根的判别式的意义得到a≠0且Δ＝22﹣4a×（﹣3）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可；（2）把x＝2代入ax2+2x﹣3＝0得4a+4﹣3＝0，然后解关于a的方程即可；（3）利用求根公式得到当Δ＝4+12a为完全平方数时，原方程的两个根均为有理数，然后对a＝1、2、3、4、5依次进行判断．【解析】（1）根据题意得a≠0且Δ＝22﹣4a×（﹣3）＞0，解得a＞−13且a≠0；（2）把x＝2代入ax2+2x﹣3＝0得4a+4﹣3＝0，解得a=−14；（3）当Δ＝4+12a为完全平方数时，原方程的两个根均为有理数，当a＝1时，Δ＝4+12＝16；当a＝2时，Δ＝4+24＝28（舍去）；当a＝3时，Δ＝4+36＝40（舍去）；当a＝4时，Δ＝4+48＝52（舍去）；当a＝5时，Δ＝4+60＝64，综上所述，当a为1或5时，原方程的两个根均为有理数．。

人教版初中数学21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课件

答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2.
探究新知
21.2 解一元二次方程/
素养考点 3 利用根与系数的关系求两根的平方和、倒数和
例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.
解：根据根与系数的关系可知：
x1
x2
3 2
, x1
x2
1. 2
1∵ x1 x2 2 x12 2x1x2 x22 ,
（2）因为k=-7,所以 x1 x2 7, x1x2 4. 则：(x1 x2)2 (x1 x2)2 4x1x2 72 4 (4) 65.
课堂检测
21.2 解一元二次方程/
能力提升题
设x1,x2是方程3x2 + 4x – 3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系,
求下列各式的值.
（1）x2 + 7x + 6 = 0; 解：这里 a = 1 , b = 7 , c = 6. Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.
探究新知
课堂检测
21.2 解一元二次方程/
3.已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另
一个根及m的值.
解：将x = 1代入方程中： 3 -19 + m = 0.
解得 m = 16,
设另一个根为x1,则：
1 × x1 =
c 16 . a3
∴x1 =
16 . 3
课堂检测
21.2 解一元二次方程/
21.2 解一元二次方程/
（2）2x2 - 3x - 2 = 0.

专题2.4一元二次方程根与系数的关系(举一反三)(浙教版)(原卷版)

专题2.4 一元二次方程根与系数的关系【八大题型】【浙教版】【题型1 由根与系数的关系求代数式的值（直接）】 (1)【题型2 由根与系数的关系求代数式的值（代换）】 (2)【题型3 由根与系数的关系求代数式的值（降次）】 (2)【题型4 由方程两根满足关系式求字母系数的值】 (2)【题型5 构造一元二次方程求代数式的值】 (3)【题型6 已知方程根的情况判断另一个方程】 (4)【题型7 根与系数关系中的新定义问题】 (4)【题型8 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】 (5)【题型1 由根与系数的关系求代数式的值（直接）】【例1】（2022•江安县模拟）若α、β是一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的两根，则αβ+βα的值是．【变式11】（2021秋•密山市校级期末）若x1，x2是一元二次方程x2﹣7x+5＝0的两根，则（x1﹣1）（x2﹣1）的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【变式12】（2022•汉川市模拟）已知实数a、b满足√a−2+|b+3|＝0，若关于x的一元二次方程x2﹣ax+b＝0的两个实数根分别为x1、x2，则1x1+1x2的值是（）A．−23B．23C．2D．16【变式13】（2022春•琅琊区校级月考）若α，β（α≠β）是一元二次方程x2﹣5x﹣14＝0的两个根，则α﹣β的值为（）A ．﹣9B ．9C ．﹣9或9D ．﹣5或5【题型2 由根与系数的关系求代数式的值（代换）】【例2】（2022•乳山市模拟）若x 1，x 2是方程2x 2﹣3x +1＝0的两个根，则3x 12﹣3x 1+x 22＝（） A ．14B ．54C ．94D ．34【变式21】（2022•牟平区一模）已知一元二次方程x 2﹣2022x +1＝0的两个根分别为x 1，x 2，则x 12−2022x 2+1的值为（） A ．﹣1B ．0C ．﹣2022D ．﹣2021【变式22】（2022•东港区校级一模）若m ，n 是一元二次方程x 2﹣5x ﹣1＝0的两个实数根，则m 2﹣6m ﹣n +2022的值是（） A ．2016B ．2018C ．2020D ．2022【变式23】（2022春•海门市期末）若m ，n 是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个实数根，则2m 2+4n 2﹣4n +2022的值为．【题型3 由根与系数的关系求代数式的值（降次）】【例3】（2022•呼和浩特）已知x 1，x 2是方程x 2﹣x ﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x 13﹣2022x 1+x 22的值是（） A ．4045B ．4044C ．2022D ．1【变式31】（2022•硚口区模拟）已知a ，b 是方程x 2﹣x ﹣5＝0的两根，则代数式﹣a 3+5a −5b 的值是（） A ．5B ．﹣5C ．1D ．﹣1【变式32】（2022•松山区模拟）若m ，n 是一元二次方程x 2+x ﹣3＝0的两个实数根，则m 3﹣4n 2+17的值为（） A ．﹣2B ．6C ．﹣4D ．4【变式33】（2022春•汉阳区校级月考）已知m ，n 是方程x 2﹣4x +2＝0的两根，则代数式2m 3+5n 2−16n +4的值是（） A ．57B ．58C ．59D ．60【题型4 由方程两根满足关系式求字母系数的值】【例4】（2021秋•毕节市期末）已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +3）x +m 2＝0的两个不相等的实数根，且满足1x 1+1x 2=1，则m 的值为（）A ．﹣3或1B ．﹣1或3C ．﹣1D ．3【变式41】（2021秋•黔西南州期末）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2（a ﹣1）x +a 2﹣a ﹣2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．且x 1，x 2满足x 12+x 22﹣x 1x 2＝16，则a 的值为（） A ．﹣6B ．﹣1C ．1或﹣6D ．6或﹣1【变式42】（2022春•仓山区校级期末）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4kx +3k 2＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若此方程的两个实数根x 1，x 2，满足x 1﹣x 2＝3，求k 的值．【变式43】（2022•内江）已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣2x +k ﹣1＝0的两实数根，且x 2x 1+x 1x 2=x 12+2x 2﹣1，则k 的值为．【题型5 构造一元二次方程求代数式的值】【例5】（2022•鄞州区模拟）已知实数a ≠b ，且满足（a +1）2＝3﹣3（a +1），3（b +1）＝3﹣（b +1）2，则b √ba +a√ab 的值为（） A ．23B ．﹣23C ．﹣2D ．﹣13【变式51】（2021秋•鄞州区校级期末）已知实数α，β满足2α2+5α﹣2＝0，2β2﹣5β﹣2＝0，且αβ≠1，且1β2+αβ−52α的值为（）A ．254B ．−254C ．−174D ．334【变式52】（2022•周村区二模）已知a 、b 、m 、n 为互不相等的实数，且（a +m ）（a +n ）＝2，（b +m ）（b +n ）＝2，则ab ﹣mn 的值为（） A ．4B ．1C ．﹣2D ．﹣1【变式53】（2022春•杭州期中）若xy +x ≠1，且5x 2+300x +9＝0，9y 2+318y +314＝0，则xy+1的值是．【题型6 已知方程根的情况判断另一个方程】【例6】（2022•新华区校级一模）已知关于x 的一元二次方程（p +1）x 2+2qx +（p +1）＝0（其中p ，q 为常数）有两个相等的实数根，则下列结论： ①1和一1都是方程x 2+qx +p ＝0的根 ②0可能是方程x 2+qx +p ＝0的根 ③﹣1可能是方程x 2+qx +p ＝0的根 ④1一定不是方程x 2+qx +p ＝0的根其中正确的是（） A ．①②B ．③④C ．②③D ．①④【变式61】（2022春•余杭区月考）已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0与cx 2+bx +a ＝0，且ac ≠0，a ≠c ．下列说法正确的是（）A ．若方程ax 2+bx +c ＝0有两个相等的实数根，则方程cx 2+bx +a ＝0没有实数根B ．若方程ax 2+bx +c ＝0的两根符号相同，则方程cx 2+bx +a ＝0的两根符号也相同C ．若5是方程ax 2+bx +c ＝0的一个根，则5也是方程cx 2+bx +a ＝0的一个根D ．若方程ax 2+bx +c ＝0和方程cx 2+bx +a ＝0有一个相同的根，则这个根必是x ＝1【变式62】（2022春•仓山区校级期末）已知两个关于x 的一元二次方程M ：ax 2+bx +c ＝0，N ：cx 2+bx +a ＝0，其中ac ≠0，a ≠c ．下列结论错误的是（）A ．若方程M 有两个相等的实数根，则方程N 也有两个相等的实数根B ．若方程M 有一个正根和一个负根，则方程N 也有一个正根和一个负根C ．若5是方程M 的一个根，则15是方程N 的一个根D ．若方程M 和方程N 有一个相同的根，则这个根一定是x ＝1【变式63】（2022春•瑶海区校级期末）关于x 的一元二次方程x 2+px +q ＝0有两个同号非零整数根，关于y 的一元二次方程y 2+qy +p ＝0也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（） A ．p 是正数，q 是负数 B ．（p ﹣2）2+（q ﹣2）2＜8 C ．q 是正数，p 是负数D ．（p ﹣2）2+（q ﹣2）2＞8【题型7 根与系数关系中的新定义问题】【例7】（2022秋•武侯区校级期中）如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0有两个实数根x 1，x 2，且满足数轴上x 1，x 2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有．（填序号）①方程x2﹣4x＝0是关于2的等距方程；②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x+1）（mx+n）＝0一定是关于2的等距方程；③若方程ax2+bx+c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）；④当两根满足x1＝3x2，关于x的方程px2﹣x+34=0是关于2的等距方程．【变式71】（2021秋•金牛区期末）将两个关于x的一元二次方程整理成a（x+h）2+k＝0（a≠0，a、h、k 均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）与方程（x+1）2﹣2＝0是“同源二次方程”，且方程ax2+bx+c ＝0（a≠0）有两个根为x1、x2，则b﹣2c＝4，ax1+x1x2+ax2的最大值是．【变式72】（2021秋•章贡区期末）我们定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）请说明方程x2﹣3x+2＝0是倍根方程；（2）若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则m，n具有怎样的关系？（3）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（b2﹣4ac≥0）是倍根方程，则a，b，c的等量关系是．（直接写出结果）【变式73】（2022春•宜秀区校级月考）x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：①x2﹣4x﹣5＝0；②2x2﹣2√3x+1＝0；（2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．【题型8 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】【例8】（2021秋•锦江区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个小于5的根，另一个根大于5，求m的取值范围；【变式81】（2022春•临平区月考）已知一元二次方程mx2+nx﹣（m+n）＝0．（1）试判断方程根的情况．（2）若m＜0时方程的两根x1，x2满足x1•x2＞1，且n＝1，求m的取值范围．【变式82】（2022秋•新都区校级月考）实数k取何值时，关于x的一元二次方程x2+（3k﹣1）x+3k﹣2＝0（1）有两个负根？（2）两根异号，且负根绝对值较大？（3）一根大于5，一根小于5？【变式83】（2022春•越秀区校级月考）设关于x的方程x2﹣5x﹣m2+1＝0的两个实数根分别为α、β．（1）证明：无论实数m为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）当|α|+|β|≤6时，试确定实数m的取值范围．。

人教版数学九年级上册 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课件(共19张PPT)

的关系进行简单计算。
情感态度与价值观：
1）培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。
2）激发学生对学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意
识。
教学重难点
掌握一元二次方程根与系数的关系。
利用一元二次方程根与系数的关系进行简单
计算。
复习引入：
1.一元二次方程的一般式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
b2-6b+4=0，且
A.

B.

a≠b，则 + 的值是( A )

−

C.

D.

−

解：∵ a2-6a+4=0 和 b2-6b+4=0 两个等式的
形式相同，且 a≠b，∴ a，b 可以看成是方
程 x2-6x+4=0 的两个根，∴ a+b=6，ab=4，

∴

+ =

+

=
+
巩固练习：
1.不解方程，求下列方程两个根的和与积.
(1) x2－3x＝15；
(2) 3x2＋2＝1－4x；
(3) 5x2－1＝4x2＋x；
(4) 2x2－x＋2＝3x＋1.
解：(1)方程化为 x2－3x－15＝0，
x1＋x2＝－(－3)＝3，x1x2＝－15.
(2)方程化为 3x2＋4x＋1＝0，
2.判断一元二次方程根的情况.
b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根.

新浙教版八年级数学下册第二章《一元二次方程根与系数的关系》精品课件

例1 则：
x1 x2
1. 2.
4
x1 x2
2 2
1
x
2 1
x
2பைடு நூலகம்
( x1 x2 )
另外几种常见的求值
x1 x2 1 1 1. x1 x 2 x1 x2
x1 x 2 x x 2. x1 x2 x 2 x1
2 1
2 2
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 x1 x2
2 2
c ＝． a
【总结发现】
如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 （a≠0），的两个根分别x1、x2，那么：
c b x1 x2 ， x1 x2 a a
．
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。
【例题精讲】
例求下列方程两根的和与两根的积：（1）x2＋2x－5＝0；（2）2x2＋x＝1. 需要解方程吗？
2.4一元二次方程的根与系数的关系
探究：观察下表，你能发现下列一元二次方程的根与系数有什么关
系吗？
ax²+bx+c=0
x1
1 -1 2 -2 0
x2 x x x x 1 2 1 2
2 -2 3 -3 2 3 -3 5 -5 2 2 2 6 6 0
x²-3x+2=0 x²+3x+2=0
x²-5x+6=0
2
2
B、 D、
y －3y-5=0 y2－3y＋5=0
2
分析:设原方程两根为
新方程的两根之和为 ( x1 ) ( x2 )
3 新方程的两根之积为( x1 ) ( x2 ) 5
x1 , x 2 则: x1 x2 3, x1 x2 5

人教数学九年级上册21.2.4：一元二次方程的根与系数关系教学设计

《一元二次方程的根与系数关系》教学设计教材分析学生已经学习了完一元二次方程求根公式的基础上，对一元二次方程的根与系数之间的关系进行再探究，通过本课进一步的学习，使学生了解一元二次方程两根之和、两根之积与一元二次方程中系数之间的关系．教学目标1.掌握一元二次方程根与系数的关系；2.能运用根与系数的关系解决具体问题.3.在探索一元二次方程根与系数的关系的过程中,体验观察→发现→猜想→验证的思维转化过程，培养学生分析问题和解决问题的能力.教学重难点重点：一元二次方程根与系数的关系及其应用.难点：探索一元二次方程根与系数的关系.课前准备多媒体课件教学过程问题1：（1）一元二次方程的一般形式是什么？（2）一元二次方程有实数根的条件是什么？（3）当Δ>0，Δ＝0，Δ<0时，一元二次方程根的情况如何？（4）一元二次方程的求根公式是什么？[师生活动]教师指导学生回忆知识，学生进行口答，教师指出重点．[答]（1）一元二次方程一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)；（2）当△≥0时，一元二次方程有两个实数根；（3）当△＞0时，一元二次方程有两个不等实根；当△=0时，一元二次方程有两个相等实根；当△＜0时，一元二次方程没有实根；（4）方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为a acbbx24 2-±-=（△≥0）. 【设计意图】通过复习巩固旧知识，并为新知识的学习做铺垫。

问题2：请完成下面的表格观察、思考表格中方程两根之和与两根之积与系数有何关系，你能从中发现什么规律？你有什么发现？【设计意图】学生通过计算、观察、分析，发现一元二次方程中根与系数的关系，发展学生的感性认识，体会由特殊到一般的认识过程。

问题3：（1）填写上表后思考：①运用你所发现的规律，你能解答下列问题吗？已知方程x 2-4x-7=0的根为x 1,x 2，则x 1+x 2= , x 1·x 2= ; 已知方程x 2+3x-5=0的两根为x 1,x 2，则x 1+x 2= , x 1·x 2= .已知方程2x 2－3x －2＝0的两根分别是x 1和x 2，则x 1+x 2= , x 1·x 2= . [答案]4，-7；-3，-5；23，-1. ②如果方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1,x 2,你知道x 1+x 2和x 1·x 2与方程系数之间的关系吗？ [回答]若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的两个根分别为x 1和x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a .③如何证明以上发现的规律呢？[论证结论]教师与学生共同整理证明过程：证明：当Δ>0时，由求根公式得x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac2a，所以x 1＋x 2＝－b ＋b 2－4ac 2a ＋－b －b 2－4ac 2a ＝－2b 2a ＝－ba ，x 1x 2＝－b ＋b 2－4ac 2a ·－b －b 2－4ac 2a ＝（－b ）2－（b 2－4ac ）4a 2＝ca ；当Δ＝0时，x 1＝x 2＝－b2a .所以x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.[归纳并板书]根与系数关系：若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的两个根分别为x 1和x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.[文字表达]一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.【设计意图】 ①进一步分析、验证所发现的根与系数的关系，为从感性到理性打好基础．②通过设置问题2使学生明确利用一元二次方程根与系数的关系进行计算需要满足Δ≥0.问题4：例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两个根x 1，x 2的和与积．(1)x 2－6x －15＝0；(2)3x 2＋7x －9＝0；(3)5x －1＝4x 2. [师生活动]学生自主进行解答，教师做好评价和总结．[注意]把一元二次方程整理为一般形式，确定a ，b ，c 的值，比较b 2－4ac 与0的大小，然后利用根与系数的关系代入求值．[解]（1）x 1+x 2=6，x 1·x 2=-15；（2）x 1+x 2=37-，x 1·x 2=39-；（3）方程化为4x 2-5x+1=0，∴x 1+x 2=45，x 1·x 2=41. 变式练习1 已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－4x ＋1＝0的两个实数根，则x 1x 2等于(C )A ．－4B ．－1C ．1D ．4变式练习2 若x 1，x 2为方程x 2－2x －1＝0的两个实数根，求x 1＋x 2－x 1x 2的值． [解]由根与系数关系得，x 1+x 2=2，x 1·x 2=-1， ∴x 1＋x 2－x 1x 2=2-（-1）=3.【设计意图】问题的设置是针对本课时的重点所学进行及时巩固，也是培养学生计算能力和熟记公式的关键。

数学(浙教版)八年级下册第2章 2.4 一元二次方程根与系数的关系(解析版)

解：(1)∵x1，x2 是方程 x2－6x＋k＋4＝0 的两个实数根， ∴Δ＝(－6)2－4(k＋4)＝20－4k≥0，∴k≤5； (2)由一元二次方程根与系数的关系，可得∴x1＋x2＝6①，x1·x2＝k＋4②， ∵3x1－2＝|x2|，第一种情况：当 x2≥0 时，有 3x1＝x2＋2③，联立①③解得 x1＝2，x2＝4，∴8＝k＋4，k＝4；第二种情况：当 x2＜0 时，有 3x1＝－x2＋2④，联立①④解得 x1＝－2，x2＝8(不合题意，舍去)， ∴符合条件的 k 值为 4.
∵x21＋x22＝14，∴m2－2(2m－1)＝14，解得 m＝6 或 m＝－2，
当 m＝6 时，方程为 x2－6x＋11＝0，此时 Δ＝(－6)2－4×11＝36－44＝－8＜0，不合题意，舍去，∴m＝－2.
9.[2018·眉山]若 α，β 是一元二次方程 3x2＋2x－9＝0 的两根，则 βα＋αβ的值是__－5287__．
A．1
B.3－ 3
C．1＋ 3
D．2＋ 3
【解析】 (解法一)∵2－ 3是方程 x2－4x＋c＝0 的一个根，
∴(2－ 3)2－4(2－ 3)＋c＝0.∴c＝1.
(解法二)令此一元二次方程的另一个根为 x2，由根与系数的关系，
x2＋2－ 3＝4，得
解得 x2＝2＋ 3，
（2－ 3）x2＝c， c＝1.
的值是(
C
)
4 A．
27
B． − 4 27
C． − 58 27
58 D．
27
二．填空题 1.(2018•四川达州)已知：m2﹣2m﹣1=0，n2+2n﹣1=0 且 mn≠1，则 mn + n + 1 的值为 3 ．
n 2.已知关于 x 的方程 x2－(k＋2)x＋2k＋1＝0 的两实数根为 x1，x2，若 x21＋x22＝11，则实数 k 的值为__－3__．【解析】 ∵方程 x2－(k＋2)x＋2k＋1＝0 的两实数根为 x1 与 x2，∴Δ＝(k＋2)2－4(2k＋1)≥0，解得 k≥4 或 k≤0，由根与系数的关系得 x1＋x2＝k＋2，x1x2＝2k＋1， ∵x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝11，∴(k＋2)2－2(2k＋1)＝11，∴k2－9＝0，解得 k＝±3.∵k≥4 或 k≤0，∴k＝3 舍去，故 k＝－3.

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系教案

人教版数学九年级上第四课时教学设计课题21.2.4解一元二次方程单元第二十一章学科数学年级九年级上学习目标情感态度和价值观目标培养学生观察，分析和综合，判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神。

能力目标学生经历探索、尝试发现一元二次方程根与系数的关系，感受不完全归纳验证以及演绎证明。

知识目标 1.了解一元二次方程根与系数的关系，能进行简单应用；2.在一元二次方程根与系数关系的探究过程中，感受由特殊到一般地认识事物的规律。

重点一元二次方程根与系数关系的探索及简单应用。

难点发现一元二次方程根与系数的关系。

学法探究学习、合作交流法教法启发引导、归纳推理教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课一、复习引入1. 一元二次方程的求根公式是什么？2. 方程的两根x1，x2与系数a，b，c还有其他关系吗？一元二次方程的求根公式：求根公式不仅表示可以由方程的系数a，b，c决定根的值，而且反应了根与系数之间的关系。

出示问题，引出课题学生初步了解本课所要研究的问题。

通过温故知新，创设问题情境，激发学生好奇心，求知欲。

讲授新课二、探究新知1.填表、观察、猜想启发：猜想二次项系数为1时，根与系数的关系. 学生通过去括号、合并得到一般形式的一元通过思考问题，让学生知道二次项系问题：（1）用语言叙述你发现的规律；（2）x2+px+q=0的两根x1，x2用式子表示你发现的规律。

跟踪练习：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：x2-6x-15=02.启发：如果方程二次项系数不为1呢？表2:填表、观察、猜想问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律：（1）用语言叙述你发现的规律；（2）ax2+bx+c=0的两根x1，x2用式子表示你发现的规律。

跟踪练习：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：(1)3x2+7x-9=0 (2)5x-1=4x23.总结归纳：一元二次方程的根与系数的关系：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比。

一元二次方程根与系数的关系的关系(含答案)

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系A基础知识详解——————————————☆知识点一元二次方程根与系数的关系B重难点解读—————————☆重难点根据方程中两根的关系确定方程中字母的值○随堂例题例1 已知关于x的方程x2+（2k-1）x+k2-1=0有两个实数根x1、x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若x1、x2满足x12+x22=16+x1•x2，求实数k的值．（2）∵关于x 的方程x +（2k-1）x+k -1=0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=1-2k ，x 1•x 2=k 2-1．∵x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1•x 2=16+x 1•x 2，∴（1-2k ）2-2×（k 2-1）=16+（k 2-1），即k 2-4k-12=0，解得k=-2或k=6（不符合题意，舍去）． ∴实数k 的值为-2．【一中名师点拨】题目中提到两个实数根，即隐含着根的判别式大于等于0；当根据方程中两根的关系确定方程中字母的值，关键是把这种关系式转化为含x 1+x 2及x 1x 2的形式. ○随堂训练1.（2017烟台）若x 1，x 2是方程x 2-2mx+m 2-m-1=0的两个根，且x 1+x 2=1-x 1x 2，则m 的值为（ D ）A ．-1或2B ．1或-2C ．-2D ．12.已知关于x 的一元二次方程x 2+（m+2）x+m=0，（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若x 1，x 2是原方程的两根，且2111x x +=-2，求m 的值.解：（1）△=（m+2）2-4m=m 2+4＞0，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）∵x 1，x 2是原方程的两根， ∴x 1+x 2=-（m+2），x 1x 2=m ． ∵2111x x +=2121x x x x +=-mm 2+=-2，解得m=2，经检验，m=2是分式方程的解，且符合题意，∴m 的值为2．课后达标基础训练1.（2017呼和浩特）关于x 的一元二次方程x 2+（a 2-2a ）x+a-1=0的两个实数根互为相反数，则a 的值为（ B ） A ．2 B ．0 C ．1 D ．2或02.（2017新疆）已知关于x 的方程x 2+x-a=0的一个根为2，则另一个根是（ A ） A ．-3 B ．-2 C ．3 D ．63.已知m ，n 是一元二次方程x 2-4x-3=0的两个实数根，则代数式（m+1）（n+1）的值为（ D ） A ．-6 B ．-2 C ．0 D ．24.已知实数x 1，x 2满足x 1+x 2=11，x 1x 2=30，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ A ）A ．x 2-11x+30=0B ．x 2+11x+30=0C ．x 2+11x-30=0D ．x 2-11x-30=05.已知x 1、x 2是方程2x 2+3x-4=0的两根，那么x 1+ x 2= 23- ；x 1·x 2= 2 ；11x +21x = 43- ；x 12+ x 22=47-；21x x -= 423-. 6.已知关于x 的方程x 2+ax+b+1=0的解为x 1=x 2=2，则a+b 的值为 -1 .7.以3+2和3-28.已知方程5x 2+mx-10=0的一根是-5，求方程的另一根及m 的值. 解：设方程的另一个根为k ，则-5k=-2，解得52k =，又k-5=5m -，得m=23.9.已知关于x 的一元二次方程kx 2+x-2=0有两个不相等的实数根．（1）求实数k 的取值范围；（2）设方程两个实数根分别为x 1，x 2，且满足x 12+x 22+3x 1•x 2=3，求k 的值．12（1）求实数m 的取值范围；（2）若x 1+x 2=6-x 1x 2，求（x 1-x 2）2+3x 1x 2-5的值．解：（1）△=（2m-3）2-4m 2=4m 2-12m+9-4m 2=-12m+9，∵△≥0，∴-12m+9≥0，∴m ≤43；（2）由题意可得x 1+x 2=-（2m-3）=3-2m ，x 1x 2=m 2，又∵x 1+x 2=6-x 1x 2，∴3-2m=6-m 2，∴m 2-2m-3=0，∴m 1=3，m 2=-1，又∵m ≤43，∴m=-1，∴x 1+x 2=5，x 1x 2=1，∴（x 1-x 2）2+3x 1x 2-5=（x 1+x 2）2-4x 1x 2+3x 1x 2-5=（x 1+x 2）2-x 1x 2-5=52-1-5=19．能力提升11.（2017仙桃）若α、β为方程2x 2-5x-1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（ B ） A ．-13 B ．12 C ．14 D ．1512.若非零实数a ，b （a ≠0）满足a 2-a-2018=0,b 2-b-2018=0，则ba 11+= 20181-. 13.已知关于x 的方程x 2-（k+1）x+41k 2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为5，求k= 2 .14.已知关于x 的一元二次方程x 2+(2k+1)x+k 2-2=0的两根为x 1和x 2，且(x 1-2)(x 1-x 2)=0，则k 的值是 -2或-4.15.（2017黄石）已知关于x 的一元二次方程x 2-4x-m 2=0. （1）求证：该方程有两个不等的实根；（2）若该方程的两实根x 1、x 2满足x 1+2x 2=9，求m 的值．。

22.2.4一元二次方程的根与系数的关系课件(新人教版九年级上)

x1 x2 p
x1 x2 q
方程
2
x
1
x x x x1. x2
2
1
2
2 1 1 9 x 6x 1 0 3 3 3 4 2 2 7 2 7 3 x 4x 1 0 3 3 3 2 1 7 3 x 7x 2 0 -2 3 3
1 9 1 3 2 3
2 1
x 4
2 2
小结
一元二次方程根与系数的关系？
如果ax bx C 0(a 0)的两根分别是 b c x1 , x2 则有 x1 x2 a ; x1. x2 a
2
注：能用根与系数的关系的前提条件为 b2-4ac≥0
*已知两个数的和与积，求两数
已知两个数的和是1，积是-2，则两个数是
(1) x 6 x 15 0
2
( 2)3 x 7 x 9 0
2
(3)5 x 1 4 x
2
知识源于悟
在使用根与系数的关系时，应注意：
⑴不是一般式的要先化成一般式；
b ⑵在使用X1+X2=－时， a
注意“－ ”不要漏写.
二、求关于两根的对称式或代数式的值
例2、设 x1 , x2是方程 2x 4x 3 0 的两个
2
根，利用根与系数的关系，求下列各式的值.
(1) x x
2 1
2 2
(3)(x1 1)(x2 1) (4) x x x x x2 x1 2 (5) (6)(x1 x2 ) x1 x2
2 1 2 2 1 2
1 1 ( 2) x1 x2
关于两根几种常见的求值 2 2 2 1.x1 x2 ( x1 x2 ) 2 x1 x 2

人教版九年级数学上册一元二次方程的根与系数的关系课件

常数项与二次项系数的比．
例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，
x2的和与积：
(1) x2 - 6x - 15 = 0 ； (2) 3x2 + 7x - 9 = 0；(3) 5x - 1 = 4x2.
解：(1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15.
7
－9
(2) x1＋x2＝－，x1 x2＝＝－3.
3
3
(3)方程化为 4x2－5x＋1＝0，∴
x1＋x2＝－
1
5 5
= ， x1 x2＝ .
4
4 4
二一元二次方程的根与系数的关系的应用
例1 已知关于 x 的一元二次方程 x²＋ax＋a - 5 = 0，若该方程的一
个根为 1，求 a 的值及该方程的另一个根.
解: 将 x = 1 代入方程得，1 + a + a - 5 = 0，
3.

;
x2 x1
x1 x2
x1 x2
4.( x1 1)( x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1;
5. x1 x2 ( x1 x2 )2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 .
随堂练习
1.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则：p = 1
2
1
1 x1 x2 x1 x2

1
x1 x2
x1 x2
16
4.已知关于x的一元二次方程x2+(2k+3)x+k2=0有两个不相等的实数
根x1,x2.
(1)求k的取值范围；
解：(1)∵关于 x 的一元二次方程 x2+(2k+3)x+k2＝0有两个不相等

一元二次方程的根与系数的关系教案

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系一、内容和内容解析 1.内容一元二次方程根与系数的关系2.内容解析一元二次方程根与系数的关系是一元二次方程中一种重要的关系，利用这一关系可以解决很多问题，同时在高中数学的学习中有着更加广泛的应用。

实际上，一元n次方程的根与系数之间也存在着确定的数量关系。

一元二次方程02=++c bx ax 的求根公式x =，反映了方程的根是由系数c b a ,, 所决定的，从一方面反映了根与系数之间的联系；而本节课中的ab x x -=+21, ac x x =21是从另一方面更简洁的反映了一元二次方程的根与系数之间的关系，即通常所说的一元二次方程的根与系数之间的关系.本节课从思考一元二次方程的根与方程中的系数之间的关系开始，由特殊到一般，先让学生思考二次项系数为1的情形，然后再思考并证明一般形式时根与系数的关系。

本节课为选学内容，所以在利用根系关系解决问题时需酌情控制难度。

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：一元二次方程的根与系数的关系的探索及简单应用。

二、目标和目标解析1.目标（1）知识与技能：了解一元二次方程的根与系数之间的关系，能进行简单应用。

（2）过程与方法：在一元二次方程的根与系数的关系的探究过程中，感受由特殊到一般地认知规律。

（3）情感态度与价值观：感受数学的严谨性和数学结论的确定性，提高运算能力，获得成功的体验，建立自信心。

2.目标解析达成目标（1）的标志是：学生知道一元二次方程的根与系数的关系，并利用根与系数关系求出两根之和，两根之积。

达成目标（2）的标志是：学生能够借助问题的引导，发现、归纳并证明一元二次方程的根与系数的关系。

达成目标（3）的标志是：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。

在观察、归纳、类比、计算与交流活动中，感受数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。

三．教学问题诊断分析一元二次方程的根与系数的关系是在学生已经学习了一元二次方程解法基础上，对一元二次方程的根与系数之间的关系进行再探究。

人教版初中九年级上册数学教案21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系

*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系1．探索一元二次方程的根与系数的关系．2．会不解方程利用一元二次方程的根与系数解决问题．一、情境导入一般地，对于关于x 的方程x 2＋px ＋q＝0(p ，q 为已知常数，p 2－4q ≥0)，试用求根公式求出它的两个解x 1、x 2，算一算x 1＋x 2、x 1·x 2的值，你能得出什么结果？二、合作探究探究点：一元二次方程根与系数的关系【类型一】利用一元二次方程根与系数的关系求关于方程根的代数式的值已知m 、n 是方程2x －x －2＝0的两实数根，则1m ＋1n的值为( )A ．－1 B.12 C ．－12 D ．1解析：根据根与系数的关系，可以求出m ＋n 和mn 的值，再将原代数式变形后，整体代入计算即可．因为m 、n 是方程2x 2－x－2＝0的两实数根，所以m ＋n ＝12，mn ＝－1，1m ＋1n ＝n ＋m mn ＝12－1＝－12.故选C. 方法总结：解题时先把代数式变形成与两根和、积有关的形式，注意前提：方程有两个实数根时，判别式大于或等于0. 【类型二】根据方程的根确定一元二次方程已知一元二次方程的两根分别是4和－5，则这个一元二次方程是( )A ．x 2－6x ＋8＝0B ．x 2＋9x －1＝0C ．x 2－x －6＝0D ．x 2＋x －20＝0解析：∵方程的两根分别是4和－5，设两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－1，x 1·x 2＝－20.如果令方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，a ＝1，则－b ＝－1，c ＝－20.∴方程为x 2＋x －20＝0.故选D.方法总结：先把所构造的方程的二次项系数定为1，利用一元二次方程根与系数的关系确定一元二次方程一次项系数和常数项．【类型三】根据根与系数的关系确定方程的解(2014·云南曲靖)已知x ＝4是一元二次方程x 2－3x ＋c ＝0的一个根，则另一个根为________．解析：设另一根为x 1，则由根与系数的关系得x 1＋4＝3，∴x 1＝－1.故答案为x ＝－1.方法总结：解决这类问题时，利用一元二次方程的根与系数的关系列出方程即可解决．【类型四】利用一元二次方程根与系数的关系确定字母系数(2014·山东烟台)关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和是5，则a的值是( )A．－1或5 B．1C．5 D．－1解析：将两根平方和转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决．设方程两根为x1，x2，由题意，得x21＋x22＝5.∴(x1＋x2)2－2x1x2＝5.∵x1＋x2＝a，x1x2＝2a，∴a2－2×2a＝5.解得a1＝5，a2＝－1.又∵Δ＝a2－8a，当a＝5时，Δ<0，此时方程无实数根，所以舍去a＝5.当a＝－1时，Δ>0，此时方程有两实数根．所以取a＝－1.故选D.方法总结：解答此类题的关键是将与方程两根有关的式子转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决问题．注意不要忽略题目中的隐含条件Δ≥0，导致解答不全面．【类型五】一元二次方程根与系数的关系和根的情况的综合应用已知x1、x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．(1)是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；(2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．解：(1)根据题意，得Δ＝(2a)2－4×a(a －6)＝24a≥0.解得a≥0.又∵a－6≠0，∴a≠6.由根与系数关系得：x1＋x2＝－2aa－6，x1x2＝aa－6.由－x1＋x1x2＝4＋x2得x1＋x2＋4＝x1x2，∴－2aa－6＋4＝aa－6，解得a＝24.经检验a＝24是方程－2aa－6＋4＝aa－6的解．即存在a＝24，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立．(2)原式＝x1＋x2＋x1x2＋1＝－2aa－6＋aa－6＋1＝66－a为负整数，则6－a为－1或－2，－3，－6.解得a＝7或8，9，12.三、板书设计教学过程中，强调一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式得到的，在利用此关系确定字母的取值时，一定要记住Δ≥0这个前提条件.。

一元二次方程根与系数的关系教案华东师大版

3.探究一元二次方程根与系数的关系，即：若一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的两根分别为x1、x2，则有x1 + x2 = -b/a，x1 * x2 = c/a；
4.应用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题，如：面积问题、距离问题等。
教学重点：一元二次方程的解法、根与系数的关系及其应用。
三、学情分析
本节课的授课对象为八年级的学生，他们已经学习了初中数学的前置知识，对一元一次方程、函数等概念有了一定的了解。在学习本节课之前，他们已经掌握了代数式的基本运算、因式分解等知识，这为一元二次方程的学习奠定了基础。
1.知识层次分析：学生在学习一元二次方程时，需要掌握方程的一般形式、解法、根与系数的关系等知识点。根据华东师大版教材的安排，这些知识点分布在多个章节中，学生需要将这些知识点贯穿起来，形成系统的一元二次方程知识结构。
2.教学手段
（1）多媒体设备：教师利用多媒体课件，生动形象地展示一元二次方程的解法、根与系数关系等知识点，提高学生的学习兴趣和理解程度。
（2）教学软件：教师运用教学软件，进行实时讲解、解题演示等，使学生更直观地理解一元二次方程的解法和应用。
（3）网络资源：教师引导学生利用网络资源，查找与一元二次方程相关的实际问题，培养学生的自主学习能力和数据分析能力。
内容逻辑关系
本节课的教学内容来自华东师大版八年级上册数学教材，章节为“二次方程的解法与应用”。具体内容包括：
1.理解一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0；
2.掌握一元二次方程的解法（求根公式）：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)；
3.探究一元二次方程根与系数的关系，即：若一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的两根分别为x1、x2，则有x1 + x2 = -b/a，x1 * x2 = c/a；

21.2.4一元二次方程的根和系数的关系(教案)

2.教学难点
-理解韦达定理的推导过程，特别是为何两根之和等于-b/a，两根之积等于c/a。
-学会灵活运用韦达定理解决复杂的一元二次方程问题。
-在实际问题中，如何将问题抽象成一元二次方程，并进行求解。
举例解释：
-难点在于让学生理解韦达定理背后的数学原理。可以通过图形或代数方法解释，如：一元二次方程的图像是一个开口向上或向下的抛物线，其两根对应的点在x轴上，而韦达定理正是这两个点的坐标关系的体现。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的根与系数关系的基本概念。一元二次方程的根与系数关系是通过韦达定理进行描述的，它是解决一元二次方程相关问题的重要工具。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何通过韦达定理快速求解一元二次方程的系数和根。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调韦达定理的两个重点：根之和与根之积的表达式。对于难点部分，如推导过程和理解其背后的数学原理，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
2.学会运用韦达定理解决实题，让学生感受数学在现实生活中的应用，提高解决问题的能力。
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学知识分析和解决问题的能力，通过一元二次方程的根与系数关系的探究，提高学生的逻辑推理和数学抽象素养。
2.强化学生的数学建模素养，使学生能够将现实问题转化为数学问题，运用所学知识求解，并解释结果的实际意义。
-通过实际例题，让学生感受数学在现实生活中的应用。
举例解释：
-对于一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0），重点强调其两根x1、x2与系数a、b、c的关系：x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
-在解决实际问题时，如已知一个根x1，可以运用韦达定理求解另一个根x2或方程的系数，如：若x1=2，则x2=(-b-a*x1)/a，或b=-a*(x1+x2)。