专题3：立体几何中平行关系的证明基础练习题
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，
为异面直线 和 所成角，
由题意知，四边形 为正方形，所以 ，
即 和 所成角为 .
【点睛】
本题考查通过线面平行证明面面平行，考查异面直线所成的角，是基础题.
6．见解析．
【分析】
先通过中位线，通过线线平行，证得平面 平面 ，在根据面面平行的性质定理证得 .
【详解】
因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB．
（1）求证： 平面 ；
（2）是否在线段 上存在一点 使得平面 平面 ，若存在指出 具体位置；若不存在请说明理由.
9．如图，在三棱锥 中， 分别是 中点，平面 平面 .求证： .
10．如图为一简单组合体，其底面 为正方形，棱 与 均垂直于底面 ， ，求证：平面 平面 .
参考答案
1．证明见解析.
【分析】
7．证明详见解析．
【解析】
【分析】
利用中位线，分别证明 ，由此证得平面内两条相交直线和另一个平面平行，从而证得两个平面平行.
【详解】
因为EF是△PAB的中位线，所以EF∥PA．
又EF 平面PAC，PA 平面PAC，所以EF∥平面PAC．
同理得EG∥平面PAC．
又EF 平面EFG，EG 平面EFG，EF∩EG＝E，
又D1O⊂平面BB1D1D，∴EG∥平面BB1D1D．
（3）由（1）知D1H∥BF，又BD∥B1D1，B1D1、HD1⊂平面HB1D1，BF、BD⊂平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1，DB∩BF＝B，∴平面BDF∥平面B1D1H．
【点睛】
本题考查了面面平行、线面平行的方法，直线与平面平行的判定、性质的应用，属于基础题.
（2）求异面直线 和 所成角的大小.
6．如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点．M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接FN，求证：FN∥CM．
7．已知P是四边形ABCD所在平面外一点，E，F，G分别是PB，AB，BC的中点．
求证：平面PAC∥平面EFG．
8．如图，在三棱柱 中， ， 分别是线段 ， 的中点.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，
所以平面DEF∥平面ABC．
又平面PCM∩平面DEF＝FN，
平面PCM∩平面ABC＝CM，
所以FN∥CM．
【点睛】
本小题主要考查线线平行的证明、线面平行的证明和面面平行的证明，其中涉及到了线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，还有面面平行的性质定理.在平行转化的过程中，已知和求之间，用判定定理还是性质定理，要看清楚题目所给的条件来判断.
通过三角形的中位线证得 ，由此证得 平面 .
【详解】
因为 分别是 的中点，
所以 是三角形 的中位线，
所以 .
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
2．证明见解析.
【分析】
通过三角形的中位线证得 ，结合 证得 ，由此证得 平面 .
【详解】
因为D，E分别为BC，AC的中点，所以 是三角形 的中位线，
Hale Waihona Puke Baidu所以 .
专题3：立体几何中平行关系的证明基础练习题
1．在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．求证： 平面 .
2．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：A1B1 平面DEC1.
3．如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥 中， ， 平面 ，且 ，点 是 的中点.求证： 平面 .
5．（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）连接 ，通过证明 平面 与 平面 ，可得平面 平面 ；
（2）找到 为异面直线 和 所成角，求 即可.
【详解】
证明：（1）由题意可得，点 分别是 和 的中点，连接 ，
，
又 平面 平面 ，
平面 ，
同理： ，则 平面 ，
又 平面 平面 ，
平面 平面 ；
（2） 点 分别是 和 的中点，
【详解】
（1）取BB1的中点M，连接HM、MC1，四边则HMC1D1是平行四边形，∴HD1∥MC1．
又∵MC1∥BF，∴BF∥HD1．
（2）取BD的中点O，连接EO、D1O，则OE∥ ，OE＝ ．又D1G∥DC，D1G＝ DC，
∴OE∥D1G，OE＝D1G，∴四边形OEGD1是平行四边形，∴GE∥D1O．
所以平面PAC∥平面EFG．
【点睛】
本小题主要考查空间两个平面平行的证明.要两个平面平行，需要一个平面内有两条相交直线和另一个平面平行，这样才能够证得两个平面是平行的.或者一个平面内有两条相交直线和另一个平面的两条相交直线平行，这样可以证明两个平面平行.
8．（1）证明见解析（2）存在， 为 的中点.
证明：连 ， ，
在直三棱柱ABC−A1B1C1中， ，
所以 .
又因为ED⊂平面DEC1，A1B1 平面DEC1，
所以A1B1 平面DEC1.
3．证明见解析
【分析】
根据图像，连接 ，与 相交与 ，连接 ， 是平行四边形， 是 的中点，根据中位线的性质即可得证.
【详解】
如图，
连接 ，与 相交与 ，连接 ，
∵ 是平行四边形，
4．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证：
(1)BF∥HD1；
(2)EG∥平面BB1D1D；
(3)平面BDF∥平面B1D1H.
5．如图，在三棱柱 中， 且 ，点 ， 分别为 和 的中点， 与 相交于点 .
（1）证明：平面 平面 ；
【分析】
（1）连接 ，则 也为 的中点，由 可证 平面 ；
（2）存在， 为 的中点时，平面 平面 ，利用平面与平面平行的判定定理可证结论.
【详解】
（1）连接 ，则 也为 的中点，
因为 为 的中点，所以 为△ 的中位线，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）存在， 为 的中点时，平面 平面 ，
∴ 是 的中点，
又 是 的中点，
∴ ，
又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
4．(1) 见解析；(2) 见解析；(3)见解析.
【分析】
（1）取BB1的中点M，连接HM、MC1，四边则HMC1D1是平行四边形，即可证明BF∥HD1；（2）取B1D1的中点O，易证四边形BEGO为平行四边形，故有OB∥GE，从而证明EG∥平面BB1D1D．（3）由正方体得BD∥B1D1，由四边形HBFD1是平行四边形，可得HD1∥BF，可证平面BDF∥平面B1D1H．
为异面直线 和 所成角，
由题意知，四边形 为正方形，所以 ，
即 和 所成角为 .
【点睛】
本题考查通过线面平行证明面面平行，考查异面直线所成的角，是基础题.
6．见解析．
【分析】
先通过中位线，通过线线平行，证得平面 平面 ，在根据面面平行的性质定理证得 .
【详解】
因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB．
（1）求证： 平面 ；
（2）是否在线段 上存在一点 使得平面 平面 ，若存在指出 具体位置；若不存在请说明理由.
9．如图，在三棱锥 中， 分别是 中点，平面 平面 .求证： .
10．如图为一简单组合体，其底面 为正方形，棱 与 均垂直于底面 ， ，求证：平面 平面 .
参考答案
1．证明见解析.
【分析】
7．证明详见解析．
【解析】
【分析】
利用中位线，分别证明 ，由此证得平面内两条相交直线和另一个平面平行，从而证得两个平面平行.
【详解】
因为EF是△PAB的中位线，所以EF∥PA．
又EF 平面PAC，PA 平面PAC，所以EF∥平面PAC．
同理得EG∥平面PAC．
又EF 平面EFG，EG 平面EFG，EF∩EG＝E，
又D1O⊂平面BB1D1D，∴EG∥平面BB1D1D．
（3）由（1）知D1H∥BF，又BD∥B1D1，B1D1、HD1⊂平面HB1D1，BF、BD⊂平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1，DB∩BF＝B，∴平面BDF∥平面B1D1H．
【点睛】
本题考查了面面平行、线面平行的方法，直线与平面平行的判定、性质的应用，属于基础题.
（2）求异面直线 和 所成角的大小.
6．如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点．M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接FN，求证：FN∥CM．
7．已知P是四边形ABCD所在平面外一点，E，F，G分别是PB，AB，BC的中点．
求证：平面PAC∥平面EFG．
8．如图，在三棱柱 中， ， 分别是线段 ， 的中点.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，
所以平面DEF∥平面ABC．
又平面PCM∩平面DEF＝FN，
平面PCM∩平面ABC＝CM，
所以FN∥CM．
【点睛】
本小题主要考查线线平行的证明、线面平行的证明和面面平行的证明，其中涉及到了线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，还有面面平行的性质定理.在平行转化的过程中，已知和求之间，用判定定理还是性质定理，要看清楚题目所给的条件来判断.
通过三角形的中位线证得 ，由此证得 平面 .
【详解】
因为 分别是 的中点，
所以 是三角形 的中位线，
所以 .
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
2．证明见解析.
【分析】
通过三角形的中位线证得 ，结合 证得 ，由此证得 平面 .
【详解】
因为D，E分别为BC，AC的中点，所以 是三角形 的中位线，
Hale Waihona Puke Baidu所以 .
专题3：立体几何中平行关系的证明基础练习题
1．在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．求证： 平面 .
2．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：A1B1 平面DEC1.
3．如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥 中， ， 平面 ，且 ，点 是 的中点.求证： 平面 .
5．（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）连接 ，通过证明 平面 与 平面 ，可得平面 平面 ；
（2）找到 为异面直线 和 所成角，求 即可.
【详解】
证明：（1）由题意可得，点 分别是 和 的中点，连接 ，
，
又 平面 平面 ，
平面 ，
同理： ，则 平面 ，
又 平面 平面 ，
平面 平面 ；
（2） 点 分别是 和 的中点，
【详解】
（1）取BB1的中点M，连接HM、MC1，四边则HMC1D1是平行四边形，∴HD1∥MC1．
又∵MC1∥BF，∴BF∥HD1．
（2）取BD的中点O，连接EO、D1O，则OE∥ ，OE＝ ．又D1G∥DC，D1G＝ DC，
∴OE∥D1G，OE＝D1G，∴四边形OEGD1是平行四边形，∴GE∥D1O．
所以平面PAC∥平面EFG．
【点睛】
本小题主要考查空间两个平面平行的证明.要两个平面平行，需要一个平面内有两条相交直线和另一个平面平行，这样才能够证得两个平面是平行的.或者一个平面内有两条相交直线和另一个平面的两条相交直线平行，这样可以证明两个平面平行.
8．（1）证明见解析（2）存在， 为 的中点.
证明：连 ， ，
在直三棱柱ABC−A1B1C1中， ，
所以 .
又因为ED⊂平面DEC1，A1B1 平面DEC1，
所以A1B1 平面DEC1.
3．证明见解析
【分析】
根据图像，连接 ，与 相交与 ，连接 ， 是平行四边形， 是 的中点，根据中位线的性质即可得证.
【详解】
如图，
连接 ，与 相交与 ，连接 ，
∵ 是平行四边形，
4．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证：
(1)BF∥HD1；
(2)EG∥平面BB1D1D；
(3)平面BDF∥平面B1D1H.
5．如图，在三棱柱 中， 且 ，点 ， 分别为 和 的中点， 与 相交于点 .
（1）证明：平面 平面 ；
【分析】
（1）连接 ，则 也为 的中点，由 可证 平面 ；
（2）存在， 为 的中点时，平面 平面 ，利用平面与平面平行的判定定理可证结论.
【详解】
（1）连接 ，则 也为 的中点，
因为 为 的中点，所以 为△ 的中位线，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）存在， 为 的中点时，平面 平面 ，
∴ 是 的中点，
又 是 的中点，
∴ ，
又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
4．(1) 见解析；(2) 见解析；(3)见解析.
【分析】
（1）取BB1的中点M，连接HM、MC1，四边则HMC1D1是平行四边形，即可证明BF∥HD1；（2）取B1D1的中点O，易证四边形BEGO为平行四边形，故有OB∥GE，从而证明EG∥平面BB1D1D．（3）由正方体得BD∥B1D1，由四边形HBFD1是平行四边形，可得HD1∥BF，可证平面BDF∥平面B1D1H．