2017高等数学下试题及参考答案
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华南农业大学期末考试试卷(A 卷)
2016~2017学年第2 学期 考试科目:高等数学A Ⅱ 考试类型:(闭卷)考试 考试时间: 120 分钟 学号 姓名 年级专业
一、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
1.二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。
2. 设向量(2,1,2)a =r ,(4,1,10)b =-r
,c b a λ=-r r r ,且a c ⊥r r ,则λ= 。 3.经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4.设yz u x =,则du = 。 5.级数11
(1)n
p n n
∞
=-∑,当p 满足 条件时级数条件收敛。
二、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
1.微分方程2()'xy x y y +=的通解是
( )
A .2x y Ce =
B .22x y Ce =
C .22y y e Cx =
D .2y e Cxy = 2.求极限
(,)(0,0)lim x y →= ( )
A .
14 B .12- C .1
4
- D .12
3
.直线:
327
x y z
L ==-和平面:327
80x y z π-+-=的位置关系是 ( ) A .直线L 平行于平面π B .直线L 在平面π上
C .直线L 垂直于平面π
D .直线L 与平面π斜交
4.D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤,
则D
σ= ( )
A .33()2
b a π
- B .332()3b a π- C .334()3b a π- D .333()2b a π-
5.下列级数收敛的是 ( )
A .11(1)(4)n n n ∞
=++∑ B .2111n n n ∞=++∑ C .1121n n ∞=-∑ D
.1
n ∞
=
三、计算题(本大题共7小题,每小题7分,共49分) 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =,2y =的特解。
2. 计算二重积分22
D
x y
dxdy x y
++??
,其中22{(,)1,1}D x y x y x y =+≤+≥。
3.设(,)z z x y =为方程2sin(23)43x y z x y z +-=-+确定的隐函数,求z z x y
??+??。
4.求曲线积分()()L
x y dx x y dy ++-?,其中L 沿222(0,0)x y a x y +=≥≥,逆时针方
向。
5.
计算D
y ??,其中D
是由y =1x =-及1y =所围成的区域。
6
.判断级数1(1)1
n n n n ∞
=-+∑
7.将函数1
(1)(2)
x x --展开成x 的幂级数,并求其成立的区间。
四、解答题(本大题共 3 小题,每小题 7 分,共 21 分)
1.抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆,求原点到这椭圆的最长与最短距离。
2. 求幂级数1
(1)(1)!n n
n nx n ∞
=-+∑的和函数。
3. 设函数()f x 和()g x 有连续导数,且(0)1f =,(0)0g =,L 为平面上任意简单光滑闭曲线,取逆时针方向,L 围成的平面区域为D ,已知
[()()]()L
D
xydx yf x g x dy yg x d σ++=????,
求()f x 和()g x 。
华南农业大学期末考试试卷(A 卷)
2016~2017学年第2 学期 考试科目:高等数学A Ⅱ参考答案 一、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 1.2{(,)|210}x y y x -+> 2.3
3.920y z --= 4.1ln ln yz yz yz yzx dx zx xdy yx xdz -++ 5.01p <≤ 二、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
1.C 2.C 3.C 4.B 5.A
三、计算题(本大题共7小题,每小题7分,共49分) 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =,2y =的特解。 解:先求'0y y +=的通解,得1x y C e -=………………2分
采用常数变易法,设()x y h x e -=,得''()()x x y h x e h x e --=-………3分 代入原方程得'()()()x x x x h x e h x e h x e e ----+=………………4分
得21
()2
x h x e C =+………………5分
故通解为1
2
x x y e Ce -=+………………6分
将初始条件0x =,2y =带入得32C =,故特解为13
22
x x y e e -=+…………7分
2. 计算二重积分22
D
x y
dxdy x y
++??
,其中22{(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。 解:设cos ,sin x r y r θθ==………………1分
则1
0,
12
sin cos r π
θθθ
≤≤
≤≤+………………3分
所以12
12220sin cos cos sin D
x y r r dxdy d rdr x y r π
θθθθθ+++=+????………………5分 20
(sin cos 1)d π
θθθ=+-?………………6分
42
π
-=
………………7分
1.5CM
3. 设(,)z z x y =为方程2sin(23)43x y z x y z +-=-+确定的隐函数,求z z
x y
??+??。
解:设(,,)432sin(23)F x y z x y z x y z =-+-+-………………1分
12cos(23),44cos(23),36cos(23)
x y z F x y z F x y z F x y z =-+-=--+-=++-………………4分
2cos(23)14cos(23)4
,3[12cos(23)]3[12cos(23)]y x z z F F z x y z z x y z x F x y z y F x y z ?+--?+-+=-==-=
?++-?++-……6分 所以
1z z x y
??+=??………………7分
4. 求曲线积分()()L
x y dx x y dy ++-?,其中L 沿222(0,0)x y a x y +=≥≥,逆时针
方向。
解:圆的参数方程为:cos ,
sin (0)2
x a t y a t t π
==≤≤
……………1分
220
()()(cos sin (cos sin )cos )sin L
x y dx x y dy a t a t da a t a t da t t π
π
++-=+-+??
?……3分
2
20
(cos 2sin 2)a
t t dt π
=-?
………………4分
2
2
0[sin 2cos2]2
a t t π
=+………………6分 2a =-………………7分
(本题也可以利用“曲线积分与路径无关”来解)
5.
计算D
y ??,其中D
是由y =1x =-及1y =所围成的区域。
解:{(,)1,11}D x y y x =≤≤-≤≤………………1分
1
1
1
D
y dx y -=???………………2分
312621
12[(1)63x y -=-?+-?………………4分
1
311(||1)9x dx -=--?………………5分
1
302(1)9x dx =--?………………6分
1
6=………………7分
6.
判断级数1
(1)1n n n n ∞
=-+∑
解:(1)11n n n n n -=++1分
)n →∞:
………………3分 所以级数发散。………………4分 又
(1)1(1)(111n n n n n -=--++5分
1
n n +=………………6分
显然,交错级数1n n ∞
=
1n
n ∞
=都收敛,所以原级数收敛。因此是条件
收敛。………………7分
7. 将函数
1
(1)(2)
x x --展开成x 的幂级数,并求其成立的区间。
解:
111
(1)(2)12x x x x
=-----………………2分
而
1
,||11n n x x x ∞
==<-∑………………3分 211[1()](||2)2222x x
x x =+++<-L ………………4分 所以
22111[1()](1)(2)222
x x
x x x x =+++-+++--L L ………………5分
10
1(1)2
n
n n x ∞
+==-
∑………………6分 成立范围||1x <………………7分
四、 解答题(本大题共 3 小题,每小题 7 分,共 21 分)
1. 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆,求原点到这椭圆的最长与最短距离。
解:设椭圆上任一点P 的坐标为(,,)P x y z ,P 点满足抛物面和平面方程。原点到这椭圆上任一点的距离的平方为222x y z ++,………………1分 构造拉格朗日函数
22222()(1)F x y z x y z x y z λμ=++++-+++-………………2分
2222022020
010
x y
z
F x x F y y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ=++=??=++=??=-+=??=+-=?=++-=??………………4分
解得1
(12
x =-………………5分
得两个驻点为12
1111(2(22222P P =---=---+ …………………6分
………………7分
2. 求幂级数1
(1)(1)!n n
n nx n ∞
=-+∑的和函数。
解:因为0!n x
n x e n ∞
==∑,所以0
(1)!n n x
n x e n ∞-=-=∑,………………1分
00
(1)(1)(11)()(1)!(1)!n n n n
n n nx n x S x n n ∞
∞
==--+-==++∑∑………………2分
00
(1)(1)!(1)!n n n n
n n x x n n ∞
∞==--=-+∑∑………………3分
(1)!n n
x n x e n ∞
-=-=∑………………4分 110010
010(1)(1)!11(1)1(11(1)1)(1)!(1)!1(1)1(1)1!1!!n n n n n n n n n n n n n n n n n x n x x x n x n x x x x n x e x x n x x
n x n ∞
+++∞∞==∞∞=∞-===--=-++??--=-=--????=-=+--=-∑∑∑∑∑∑ (0)x ≠…………5分
所以
1
()(1)(0)x x S x e e x x --=--≠
故1
()(1)(0)x x S x e e x x --=--≠……6分
当0x =时,()0S x =。………7分
另解:
当0x ≠时,11110(1)1(1)1(1)(1)!(1)!(1)!n n n n x n n n n n n x x n x n x n x n d x +∞
∞∞===??
---==??++-??
?∑∑∑ 1111
001(1)1(1)(1)!(1)!n n n x n n n x x n x n x x dx x dx -∞∞==-??????--??==-??????--???????
???∑∑ 001(1)!
n x n n x n x x dx ∞=-=-∑?
00
11x
x x x
x dx e x
d e x x --=-=
??
()1
1x x e e x x
--=
+- 11x x e e x x --=+-
当0x =时,()0S x =。
3. 设函数()f x 和()g x 有连续导数,且(0)1f =,(0)0g =,L 为平面上任意简单光滑闭曲线,取逆时针方向,L 围成的平面区域为D ,已知
[()()]()L
D
xydx yf x g x dy yg x d σ++=????,
求()f x 和()g x 。 解:由格林公式得
['()'()]()D
D
yf x g x x dxdy yg x dxdy +-=????………………2分
即['()'()()]0D
yf x g x x yg x dxdy +--=??………………3分
由于区域的任意性,'()'()()0yf x g x x yg x +--=………………4分 又由于y 的任意性,有'()()f x g x =,'()g x x =……………5分
又由(0)1f =,(0)0g =得, 2
()2x g x =………………6分
所以3
()16
x f x =+………………7分