高一三角函数教案

三角函数知识梳理

§1.1任意角和弧度制

⎪⎩

⎪

⎨⎧零角负角：顺时针防线旋转正角：逆时针方向旋转

任意角..1

2.象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。

3.. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合：{}

Z k k ∈+⨯=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {}

Z k k ∈⨯=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{}

Z k k ∈+⨯=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{}

Z k k ∈⨯=,90| ββ

⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{

}

Z k k ∈+⨯=,45180|

ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}

Z k k ∈-⨯=,45180| ββ

⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：Z k k ∈-=，βα

360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与角β的关系：Z k k ∈-+=，βα 180360 ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则α与角β的关系：Z k k ∈+=，βα

180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则α与角β的关系：Z k k ∈++=，

90180βα 4. 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角所对

的弧长为l ，则其弧度数的绝对值|r

l

=

α,其中r 是圆的半径。 5. 弧度与角度互换公式： 1rad ＝（π

180）°≈57.30° 1°＝180

π

注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 6.. 第一象限的角：⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧∈+<

απα 锐角：⎭⎬⎫

⎩

⎨⎧

<

<20|παα ； 小于o

90的角：⎭⎬⎫⎩

⎨⎧<2|παα（包括负角和零角） 7. 弧长公式：||l R α= 扇形面积公式：2

11||2

2

S lR R α==

§1.2任意角的三角函数

1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上

的任意一点（异于原点）

，它与原点的距离是0r =

>，那么

sin ,cos y x r r αα==，()tan ,0y

x x

α=≠

三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P

2.. 三角函数线

正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：3.三角函数在各象限的符号：

＋ ＋ － ＋ － － － ＋ sin α cos α tan α

4. 同角三角函数的基本关系式：

（1）平方关系：2

2

2

21

sin cos 1,1tan cos αααα

+=+=

（2）商数关系：sin tan cos α

αα

=

（用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换

§1.3三角函数的诱导公式

1.诱导公式（把角写成απ

±2

k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限）

Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ⎪⎩

⎪⎨⎧=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+ααπααπsin )2cos(cos )2sin(

§1.4三角函数的图像与性质

1.周期函数定义：对于函数()f x ，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，()()+=f x T f x 都成立，那么就把函数()f x 叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。（并非所有函数都有最小正周期） ①x y sin =与x y cos =的周期是π.

②

)sin(ϕω+=x y 或)cos(ϕω+=x y （0≠ω）的周期ω

π

2=T .

③ω

πϕω=

+=T x A y 的周期为)tan( 2tan

x y =的周期为2π（πω

π2=⇒=T T ，如图）

（1）几个物理量：A ―振幅；1

f T

=―频率（周期的倒数）；x ωϕ+—相位；ϕ

―初相； （2）函数sin()y A x ωϕ=+表达式的确定：A 期确定；

ϕ由图象上的特殊

点确()sin()(0,0f x A x A ωϕω=+>>，||)2

π

ϕ<()f x ＝_____（答：15()2sin()23

f x x π

=+）；

（3）函数sin()y A x ωϕ=+图象的画法：

①“五点法”――设X x ωϕ=+，令X ＝0，

3,,

,22

2

π

π

ππ求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象； ②图象变换法：这是作函数简图常用方法。