立体几何所有的定理大总结(绝对全)
立体几何所有的定理大总结（绝对全）
⽴体⼏何所有的定理⼤总结（绝对全）（⼆）异⾯直线所成⾓1.定义：不同在任何⼀个平⾯内的两条直线或既不平⾏也不相交的两条直线叫异⾯直线。
2.画法：借助辅助平⾯。
1.定义：对于异⾯直线a 和b ，在空间任取⼀点P ，过P 分别作a 和b 的平⾏线1a 和1b ，我们把1a 和1b 所成的锐⾓或者叫做异⾯直线a 和b 所成的⾓。
2.范围：(0°，90°】(★空间两条直线所成⾓范围：【0°，90°】)（三）线⾯⾓1.定义：当直线l 与平⾯α相交且不垂直时，叫做直线l 与平⾯α斜交，直线l 叫做平⾯α的斜线。
设直线l 与平⾯α斜交与点M ，过l 上任意点A ，做平⾯α的垂线，垂⾜为O ，把点O 叫做点A 在平⾯α上的射影，直线OM 叫做直线l 在平⾯α上的射影。
1.定义：把直线l 与其在平⾯α上的射影所成的锐⾓叫做直线l 和平⾯α所成的⾓。
2.范围【0°，90°】（★斜线与平⾯所成⾓范围：【0°，90°】）（三）⼆⾯⾓1.定义：（1）半平⾯：平⾯内的⼀条直线把这个平⾯分成两个部分，其中每⼀个部分叫做半平⾯。
（3）⼆⾯⾓的棱：这⼀条直线叫做⼆⾯⾓的棱。
（4）⼆⾯⾓的⾯：这两个半平⾯叫做⼆⾯⾓的⾯。
（5）⼆⾯⾓的平⾯⾓：以⼆⾯⾓的棱上任意⼀点为端点，在两个⾯内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的⾓叫做⼆⾯⾓的平⾯⾓。
（6）直⼆⾯⾓：平⾯⾓是直⾓的⼆⾯⾓叫做直⼆⾯⾓。
1.定义：从⼀条直线出发的两个半平⾯所组成的图形叫做⼆⾯⾓。
2.表⽰：如下图，可记作α-AB-β或P-AB-Q3.范围为【0°，180°】（五）六种距离1.点到点的距离：两点之间的线段PQ 的长。
2.点到线的距离：过P 点作1PP ⊥l ，交l 于1P ，线段1PP 的长。
3.点到⾯的距离：过P 点作1PP ⊥α，交α于1P ，线段1PP 的长。
立体几何所有的定理大总结
（4）借助法：两条平行直线，若其中一条垂直于一个平面，则另一条必定也垂直于这个平面。
{}
（5）借助法：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
{}
“平行”的判定：
（1）定义法：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。
（2）判定法：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（线线平行线面平行）
相交
共面垂直（）
平行（）
“异面垂直”的判定：
（1）定义法：如ห้องสมุดไป่ตู้两条异面直线所成的角是直角，那么这两条异面直线互相垂直。
（2）其它法：三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。
{}
“共面垂直”的判定：
（1）定义法：如果两条直线所成的角是直角，那么这两条直线互相垂直。
（6） 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。
1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
2.表示：如下图，可记作α-AB-β或P-AB-Q
3.范围为【0°，180°】
（5）六种距离
1.点到点的距离：两点之间的线段PQ的长。
2.点到线的距离：过P点作，交于，线段的长。
3.点到面的距离：过P点作，交于，线段的长。
3.经过平面外一点，有且只有一条直线和已知平面垂直。
4.经过平面外一点，有无数个平面和已知平面垂直。
5.经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行。
6.经过直线外一点，有无数个平面和已知直线平行。
7.经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线垂直。
8.经过直线外一点，有无数个平面和已知直线垂直。
立体几何的八大定理
l ⊥b ab
=
O
a
b
⇒l⊥α
ab⊥ ⊥αα⇒a∥b
4． 平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 一个平面过另 一个平面的垂 判定定理 线，则这两个平 面垂直
两个平面垂直， 则一个平面内 性质定理 垂直于交线的 直线与另一个 平面垂直
图形语言
符号语言
ll⊂ ⊥βα⇒α⊥β
αlαl⊂ ⊥⊥ ∩aβββ＝a⇒
l⊥α
2
符号语言
∵a∥β，b∥β， a∩b＝P，a⊂α，
b⊂α，∴α∥β
∵α∥β， α∩γ＝a， β∩γ＝b，
∴a∥b
1
3．直线与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
一条直线与一个 平面内的两条相 判定定理 交直线都垂直，则 该直线与此平面 垂直
垂直于同一个平 性质定理 面的两条符号语言
∵l∥a，a⊂α， l⊄α，∴l∥α
∵l∥α，l⊂β， α∩β＝b， ∴l∥b
2． 平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
一个平面内的两条相
交直线与另一个平面
判定定理 平行，则这两个平面
平行(简记为“线面
平行⇒面面平行”)
性质定理
如果两个平行平面同 时和第三个平面相 交，那么它们的交线 平行
立体几何的八大定理
1． 直线与平面平行的判定定理和性质定理
判定定理 性质定理
文字语言 平面外一条直线与 此平面内的一条直 线平行，则该直线与 此平面平行(线线平 行⇒线面平行) 一条直线与一个平 面平行，则过这条直 线的任一平面与此 平面的交线与该直 线平行(简记为“线 面平行⇒线线平 行”)
图形语言
立体几何判定定理与性质定理汇总[借鉴]
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立体几何判定定理与性质定理汇总[借鉴]
1. 判定定理：
- 判断一个多面体是否是正多面体：如果一个多面体的所有面都是相等的正多边形，并且每个顶点都是相等的，则它是一个正多面体。
- 判断一个多面体是否是凸多面体：如果多面体上任意两点之间的直线都完全位于多面体的内部，则它是一个凸多面体。
2. 性质定理：
- 正方体的对角线平分立方体的面对角线。
- 一个正六面体的每条对角线都是立方体的对角线，且所有对角线的中点构成一个正八面体。
- 立方体的体对角线的长度等于边长的√3倍。
- 正四面体的高度是边长的√6倍，而底面三角形的高度是边长的√3倍。
- 一个正八面体的每条对角线都是正六面体的边，且所有对角线的中点构成一个正二十面体。
立体几何定理大全
立体几何公式大全基本概念公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。
公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。
推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：〔1〕共面：平行、相交〔2〕异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。
异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条)2、假设从有无公共点的角度看可分为两类：〔1〕有且仅有一个公共点——相交直线；〔2〕没有公共点——平行或异面直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行①直线在平面内——有无数个公共点②直线和平面相交——有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
esp.空间向量法(找平面的法向量)规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为 [0°，90°]最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。
立体几何证明定理归纳
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立体几何证明定理归纳
（1）线线平行线面平行
定理内容：
图示：
符号语言：
（2）线面平行线线平行
定理内容：
图示：符号语言：
（3）线面平行面面平行
定理内容：
图示：符号语言：
（4）面面平行线面平行
定理内容：
图示：符号语言：
（5）面面平行线线平行
定理内容：
图示：符号语言：
. （6）线线垂直线面垂直
定理内容：
图示：符号语言：
（7）线面垂直线线垂直
定理内容：
图示：符号语言：
（8）线面垂直面面垂直
定理内容：
图示：符号语言：
（9）面面垂直线面垂直
定理内容：
图示：符号语言：
（10）线面垂直线线平行
定理内容：
图示：符号语言：。
立体几何公理、定理一览表(新)
立体几何公理、定理一览表
用“平移法”作异面直线所成的角，关键是选择适当的点，一般选在一对异面直线的一条线段的端点或中点；用“射影法”作斜线与平面所成的角，关键是垂足位置的确定；作二面角的平面角有三种方法，一是“定义法”，二是“垂线法”，三是作棱的“垂面法”。
求距离，找垂足或转换（利用平行间距离相等或三棱锥的顶点转换）；
即：遇到求“距离、线面所成角、面面所成角”等，都要设法找到图中存在或隐藏的“线面垂直、面面垂直”关系。
且要一作（找）、二证（说理）、三计算（平面分离）。
立体几何基本定理与公式
立体几何基本定理与公式
立体几何基本定理与公式包括以下几个方面：
1. 欧拉定理：对于任何一个凸多面体，其顶点数、边数和面数满足顶点数+面数=边数+2。
2. 平面角和定理：一个凸多面体的每个面的角和等于360度。
3. 球面面积公式：一个球面的面积等于4πr^2，其中r为球的
半径。
4. 球体体积公式：一个球体的体积等于(4/3)πr^3，其中r为球
的半径。
5. 正方体体积公式：一个正方体的体积等于边长的立方。
6. 矩形体积公式：一个矩形的体积等于长度乘以宽度乘以高度。
7. 棱柱体积公式：一个棱柱的体积等于底面积乘以高度。
8. 棱锥体积公式：一个棱锥的体积等于底面积乘以高度的一半。
9. 圆锥体积公式：一个圆锥的体积等于底面积乘以高度的三分之一。
10. 圆柱体积公式：一个圆柱的体积等于底面积乘以高度。
(完整版)高中数学立体几何定理总结,推荐文档
l
m
l
//
l // m
三、面面平行的判定 1.定义：两个平面没有公共点.
//
2.如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面 互相平行．
a
a
b b
A
//
a //
b //
3. 一个平面内的两条相交直线与另一平面平行，则这两个平面平行.
a //
a AB
4.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线
垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.
PA A
PB a
a
AB
a PA
二、线面垂直 1.定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条 直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直. 2. 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于 这个平面.
直判定总结 一、线线垂直 1.定义：两直线所成角为 90o. 2.线面垂直的性质：若直线垂直平面，则直线垂直平面内的任何直线.
l a
l
a
3.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，
那么它也和这条斜线垂直.
PA A
PB a
a
PA
平行判定总结 一、线线平行的判定 1.定义:在同一平面内,没有公共点的两条直线.
a
b
a
//
b
a b
2.平行于同一条直线的两条直线互相平行.
a b
// //
b
c
a
//
c
3.如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，
那么这条直线和交线平行．
立体几何公理定理汇总
立体几何公理、定理推论汇总一、公理及其推论公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
符号语言:,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂ 作用: ① 用来验证直线在平面内;② 用来说明平面就是无限延展的。
公理2 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。
符号语言:,,,,A B C A B C ⇒不共线确定一个平面推论1 经过一条直线与这条直线外的一点,有且只有一个平面。
符号语言:A a A a a αα∉⇒∈⊂有且只有一个平面，使， 推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面。
符号语言:a b P a b ααα⋂=⇒⊂⊂有且只有一个平面，使， 推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面。
符号语言://a b a b ααα⇒⊂⊂有且只有一个平面，使， 公理2及其推论的作用:用来证明多点共面,多线共面。
公理3 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其她公共点,且所有这些公共点的集合就是一条过这个公共点的直线。
(那么它们有且只有一条过这个公共点的公共直线) 符号语言:P l P l αβαβ∈⇒=∈I I 且 作用:① 用来证明两个平面就是相交关系;② 用来证明多点共线,多线共点。
公理4 平行于同一条直线的两条直线平行(平行公理)。
符号语言://////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭作用:用来证明线线平行。
二、平行关系公理4 平行于同一条直线的两条直线平行(平行公理)。
(1)符号语言://////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭线面平行的判定定理 如果平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行。
(2)符号语言:////a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭线面平行的性质定理 如果一条直线与一个平面平行,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线与交线平行。
(3)符号语言:////a b a a b βαβα⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭I面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行、(4)符号语言:////,/(/),αβαβαβ⊂⊂=⎫⎪⇒⎬⎪⎭I m m n n m n O面面平行的判定 如果两个平面垂直于同一条直线,那么这两个平面平行。
(完整)立体几何八大定理
lmβααba立体几何的八大定理一、直线与平面平行的判定定理：文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则这条直线与平面平行。
图形语言： 符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α 作用:线线平行⇒线面平行二、直线与平面平行的性质定理：文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。
图形语言：符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m作用:线面平行⇒线线平行三、平面与平面平行的判定定理文字语言:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行． 图形语言： 符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥作用:线线平行⇒ 面面平行四、平面与平面平行的性质定理:1、文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行. 图形语言：符号语言：////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭作用： 面面平行⇒线线平行2、如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。
符号语言：//,//a a αβαβ⊂⇒nmAαaBA l βαaβα作用: 面面平行⇒线面平行五、直线与平面垂直的判定定理：文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 图形语言： 符号语言： ,a ma n a m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭作用：线线垂直⇒线面垂直六、直线与平面垂直的性质定理：文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意一条直线. 图形语言： 符号语言：l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭作用：线面垂直⇒线线平行七、平面与平面垂直的判定定理：文字语言:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直. 图形语言：符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭作用：线面垂直⇒面面垂直八、平面与平面垂直的性质定理：文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另一个平面. 图形语言：符号语言：l AB AB AB l αβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭作用：面面垂直⇒线面垂直。
立体几何判定定理及性质定理汇总
立体几何判定定理及性质定理汇总
一线面平行
线面平行判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
线面平行性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行。
二面面平行
面面平行判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
推论一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两条直线分别平行，则这两个平面平行.
面面平行性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,则它们的交线平行.
三线面垂直
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面平行.
线面垂直性质定理1
如果一条直线垂直于一个平面,则它垂直于平面内的所有直线。
线面垂直性质定理２
垂直于同一个平面的两条直线平行．
四面面垂直
面面垂直判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
面面垂直性质定理１
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
面面垂直性质定理2
两个平面垂直,过一个平面内一点与另一个平面垂直的直线在该平面内．１。
立体几何中的公理、定理和常用结论汇总
立体几何中的公理、定理和常用结论汇总1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．3．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．4．平行与垂直的八大定理（1）．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)因为l∥a，a⊂α，l⊄α，所以l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)因为l∥α，l⊂β，α∩β＝b，所以l∥b（2）．平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)因为a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，所以α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行因为α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，所以a∥b（3）．直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b（4）．平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊂βl⊥α⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α5．(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(4)如果两个平面平行，那么一个平面的任意一条直线与另一个平面平行．6．垂直关系中的三个重要结论(1)两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直．(2)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直．(3)若果一条直线垂直于一个平面，那么该直线与平面中的任意直线垂直．。
立体几何证明定理归纳
立体几何证明定理归纳
公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
立体几何证明定理归纳
（1）线线平行线面平行
定理内容：
图示：
符号语言：
（2）线面平行线线平行
定理内容：
图示：符号语言：
（3）线面平行面面平行
定理内容：
图示：符号语言：
（4）面面平行线面平行
定理内容：
图示：符号语言：
（5）面面平行线线平行
定理内容：
图示：符号语言：
（6）线线垂直线面垂直
定理内容：
图示：符号语言：
（7）线面垂直线线垂直
定理内容：
图示：符号语言：
（8）线面垂直面面垂直
定理内容：
图示：符号语言：
（9）面面垂直线面垂直
定理内容：
图示：符号语言：
（10）线面垂直线线平行
定理内容：
图示：符号语言：。
立体几何的定理
立体几何的定理
立体几何的定理主要包括以下几个方面：
公理：如果一条直线上的两点落在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
公理：过不在一条直线上的三点，有且仅有一个平面。
推论：一条直线和直线外的一点确定一个平面。
推论：两条相交直线确定一个平面。
三余弦定理（最小角定理）：设点A为平面Γ外的一点，过点A的斜线AB
在平面Γ上的射影为BO，直线BC为平面Γ上的任意直线，那么∠ABC、∠OBA、∠OBC的余弦关系为：cos∠ABC=cos∠OBC⋅cos∠OBA。
三正弦定理（最大角定理）：设二面角M-AB-N的大小为γ，在平面M上有一条射线AC，AC与棱AB所成角为β，和平面N所成角为α，则sinα=sinβ⋅sin γ。
立体几何公理定理汇总
立体几何公理、定理推论汇总一、公理及其推论公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂ 作用： ① 用来验证直线在平面内；② 用来说明平面是无限延展的。
公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号语言：,,,,A B C A B C ⇒不共线确定一个平面推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
符号语言：A a A a a αα∉⇒∈⊂有且只有一个平面，使， 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。
符号语言：a b P a b ααα⋂=⇒⊂⊂有且只有一个平面，使， 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。
符号语言：//a b a b ααα⇒⊂⊂有且只有一个平面，使， 公理2及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。
公理3 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
（那么它们有且只有一条过这个公共点的公共直线） 符号语言：P l P l αβαβ∈⇒=∈I I 且 作用：① 用来证明两个平面是相交关系；② 用来证明多点共线，多线共点。
公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭作用：用来证明线线平行。
二、平行关系公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
（1）符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
（2）符号语言：////a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
（3）符号语言：////a b a a b βαβα⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭I面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4）符号语言：////,/(/),αβαβαβ⊂⊂=⎫⎪⇒⎬⎪⎭I m m n n m n O面面平行的判定 如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
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（二）异面直线所成角1.定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交的两条直线叫异面直线。
2.画法：借助辅助平面。
1.定义：对于异面直线a和b，在空间任取一点P，过P分别作a和b的平行线1a和1b，我们把1a和1b所成的锐角或者叫做异面直线a和b所成的角。
2.范围：(0°，90°】(★空间两条直线所成角范围：【0°，90°】)（三）线面角1.定义：当直线l与平面α相交且不垂直时，叫做直线l与平面α斜交，直线l叫做平面α的斜线。
设直线l与平面α斜交与点M，过l上任意点A，做平面α的垂线，垂足为O，把点O叫做点A在平面α上的射影，直线OM叫做直线l在平面α上的射影。
1.定义：把直线l与其在平面α上的射影所成的锐角叫做直线l和平面α所成的角。
2.范围【0°，90°】（★斜线与平面所成角范围：【0°，90°】）（三）二面角1.定义：（1）半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。
（3）二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。
（4）二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。
（5） 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
（6） 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。
1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
2.表示：如下图，可记作α-AB-β或P-AB-Q3.范围为【0°，180°】（五）六种距离1.点到点的距离：两点之间的线段PQ 的长。
2.点到线的距离：过P 点作1PP ⊥l ，交l 于1P ，线段1PP 的长。
3.点到面的距离：过P 点作1PP ⊥α，交α于1P ，线段1PP 的长。
两条平行线的距离4.线到线的距离：异面直线的距离：公垂线段PQ ⊥1l ， PQ ⊥2l ，则线段PQ 的长。
（★两条异面直线有且只有一条公垂线。
）5.线到面的距离（1l //2l ）：过l 上一点P 作1PP ⊥α，交α于1P ，线段1PP 的长。
面到面的距离（α//β)：过β上一点P 作1PP ⊥α，交α于1P ，线段1PP 的长。
二．证明（位置关系）（一）点与直线 外（l A ∉）点在直线上（l A ∈）“上”的判定：（1）借助法：公理2：如果两个平面有一个公共点，那它还有其它公共点，这些公共点的集合是一条直线 。
{l l ∈=⋂⋂∈A ,A 且则，，若存在、对于不同的两个平面βαβαβα}（二）点与平面外（α∉A ）点在平面上（α∈A ）“上”的判定：（1）借助法：（线在面上⇒点在面上）{αα∈⇒⊂上所有的点l l }（2）借助法：（同一平面内⇒点在面上）（三）直线与平面斜交A ）垂直（α⊥l ）“上”的判定：（1）定义法：直线与平面有无数个公共点。
（2）判定法：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。
（ααα⊂⇒∈∈∈∈l B A l B ,,l A ，）（3）其它法：公理2：如果两个平面有一个公共点，那它还有其它公共点，这些公共点的集合是一条直线 。
{l l ∈=⋂⋂∈A ,A 且则，，若存在、对于不同的两个平面βαβαβα}（4）其它法：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。
{αβαβα⊂⇒⊥∈∈⊥l l l A A ,,，}“垂直”的判定：（1）定义法：如果一条直线和一个平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线和平面 互相垂直.（2）判定法：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
（线线垂直⇒线面垂直）{ααα⊥⇒⊥⊥=⊂⊂l b l a l O b a b a ,,,, 若}（3）推理法：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
（面面垂直⇒线面垂直）{βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⊥a b a a b ,, ，}（4）借助法：两条平行直线，若其中一条垂直于一个平面，则另一条必定也垂直于这个平面。
{αα⊥⇒⊥b a b a ,//}（5）借助法：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
{βαβα⊥⇒⊥a a ,//}“平行”的判定：（1）定义法：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。
（2）判定法：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
（线线平行⇒线面平行）{ααα////,,a b a b a ⇒⊂⊄若}（3）推理法：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
（面面平行⇒线面平行）{βαβα//,//a a ⇒⊂}（4）借助法：两条平行直线，若其中一条平行于一个平面，则另一条必定也平行于这个平面。
{αα////,//b a b a ⇒}（四）点与点1.不重合2.重合（符合某一共同特征，适合用“同一法”）（五）直线与直线不垂直异面a⊥）垂直（异面直线b直线与直线不垂直相交a⊥）共面垂直（ba//）平行（b“异面垂直”的判定：（1）定义法：如果两条异面直线所成的角是直角，那么这两条异面直线互相垂直。
（2）其它法：三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。
{AO a PO a a PA ⊥⇒⊥⊂⊥,,αα}“共面垂直”的判定：（1）定义法：如果两条直线所成的角是直角，那么这两条直线互相垂直。
（2）推理法：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任何一条直线。
（线面垂直⇒线线垂直）{b a b a ⊥⇒⊂⊥αα,} （2）借助法：两条平行线，若一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线。
{l b l a b a ⊥⇒⊥,//}（3）其它法：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直。
{PO a AO a a PA ⊥⇒⊥⊂⊥,,αα}“平行”的判定：（1）定义法：如果两条直线没有公共点，那么这两条直线平行。
（2）推理法：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
（线面平行⇒线线平行）{b a b a a //,,//⇒=⊂βαβα 若}（3）推理法：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
（面面平行⇒线线平行）{b a b a //,,//⇒==γβγαβα }（4）借助法：公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行{c a c b b a ////,//⇒}（5）借助法：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
{b a b a//,⇒⊥⊥αα若}（六）平面与平面“平行”的判定：（1）定义法：两个平面没有公共点，称两个平面平行。
（2）判定法：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
（线面平行⇒面面平行）{βαββαα////,//,,,⇒=⊂⊂b a O b a b a } （3）借助法：垂直于同一条直线的两个平面平行。
{βαβα//,⇒⊥⊥a a }“垂直”的判定：（1）定义法：若两个平面所成的二面角是直二面角，则称这两个平面垂直。
（2）判定法：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
（线面垂直⇒面面垂直）{βααβ⊥⇒⊂⊥a a ,}（七）其它1.异面直线的判定：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。
{是异面直线和a AB a B B A a ⇒∉∈∉⊂,,,ααα}2.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。
{1111111111,//,//C A B BAC C A AC B A AB C A B BAC ∠=∠⇒∠∠且方向相同的边和}3.确定平面 公理3：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
{确定一个平面、、不共线、、C B C B A A ⇒}推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面。
{确定一个平面与以及已知直线l A l ⇒∉l A ,}推论2：经过两条相交直线，有且仅有一个平面。
{确定一个平面、b a A b a ⇒=⋂}推论3：经过两条平行线，有且仅有一个平面。
{确定一个平面、b a b a ⇒//}4.射影长定理：5.最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角。
6.折叠角公式：三．思想方法1.降维：三维 二维2.有且只有：存在性and唯一性3.直接证明/间接证明4.换序（尤其证垂直时）5.空间图形平面化。
6.反证法7.同一法四．心得体会要把所有的已知条件标在图上，并根据这些挖掘隐藏条件。
五．一些结论1.经过平面外一点，有无数条直线和已知平面平行。
2.经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行。
3.经过平面外一点，有且只有一条直线和已知平面垂直。
4.经过平面外一点，有无数个平面和已知平面垂直。
5.经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行。
6.经过直线外一点，有无数个平面和已知直线平行。
7.经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线垂直。
8.经过直线外一点，有无数个平面和已知直线垂直。
9.如果平面的一条斜线和这个平面内以斜足为顶点的角的两边成等角，那么这条斜线在这个平面上的射影是这个角的平分线所在直线。
10.11六．题型总结1.2.证明是公垂线：（1）证明与两条异面直线都垂直（2）证明与两条异面直线都相交钝角三角形Cos最大角<03.证明是锐角三角形三个Cos都<0直角三角形见平面几何4.空间想象点线面的位置关系：回想判定定理，每个点一一对照。
5.求角No1.异面直线所成角：（1）先平移，是两线在同一平面内，成为相交直线。
平移一条直线/两条直线一起平移，分为直接平移法、中点平移法、补形平移法。
（2）交待角，...即为所求角或其补角。
（3）求角，放于一个三角形中，用余弦定理。
No2.线面角（线面垂直应用）（1）作出斜线与射影所成的角。
（2）论证所做（或找到的）角即为所求。
（3）求角，放于一个Rt三角形中，解Rt三角形。
或用折叠角公式。
No3.二面角（线线垂直应用）或利用平行的传递性：的二面角与的二面角即为与βγαγβα⇒//。
6.求距离（线线垂直、线面垂直应用）点到平面⇔线到平面⇔面到平面（1）找或作出距离（2）构造三角形（3）计算求值。
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