第3章 冲击波导论分析

所确定的状态（或扰动）以速度
dx uc dt
顺气体流动方向（即x轴的正方向）传播；

而由
2 u c k 1
所确定的状态（或扰动）以速度
dx uc dt
逆气体流动方向传播。
2.2.3方程组的特征线及一般解
2.2.3方程组的特征线及一般解
dx/dt=u+c 和 dx/dt=u-c 分别代表一维等熵流动介
……(11)
这个方程组即是以u、c为变量描述气体一维等熵
不定常流动规律的方程组。
确定气体一维等熵流动过程中气体各参数时的时 间、空间变化规律，归结为解此偏微分方程组。
2.2.2 以u、c为求解参量的方程组

小扰动波在静止介质中是以音速进行传播的，在
一维情况下，静止气体中小扰动波的传播速度为c。 在流动介质中，小扰动波的传播速度为介质流动 速度u与当地音速c的叠加，即
2.1 波的基本概念 在一个连续的，缓慢的压缩过程中，每一小步的

压缩都是一种等熵变化，但由于每经一步压缩后
气体的温度都要上升，气体的声速必将上升，这
样下一步的压缩波的波速逐渐增加，一旦集中起
来，状态参数的变化将不再连续，就会发生突跃， 弱扰动变成强扰动。
2.1 波的基本概念

由于稀疏波的膨胀飞散是按顺序连续进行的，所以稀 疏波传播中介质的状态变化是连续的，如图2－4中的 压力变化。
4、状态方程 由于S可表示为p和 的函数，故等熵流动条件可表示为： S S p, 常数

对于理想气体，其等熵方程为： p A k
…… (4)
这样，便可由连续方程、欧拉方程、能量方程和状态方程求 解气体一维等熵流动的四个未知量 p, , u, T 。
2.2.2 以u、c为求解参量的方程组

t
x
x
该式为一维不定常流动的连续方程。 2、欧拉方程（动量方程）
u u 1 p u 0 t x x
……(2)
2.2.1气体一维流动的基本方程组
3、能量方程 在不考虑气体的粘性和热传导的情况下，气体的流动是等熵的。 dS S S ……(3) u 0
dt t x
2.1 波的基本概念

如果扰动前后介质的状态参数变化量与原来的参 数 量 相 比是很微小的 ， 则称这种 扰动为 弱 扰 动 （Weak disturbance）或小扰动。弱扰动的特点是 各种参数的变化量是微小的、逐渐的和连续的。
如果扰动前后介质的状态参数发生突跃变化， 则称这种扰动为强扰动（Strong disturbance）。


一维流动又可分为一维定常流动和一维不定常流动。
பைடு நூலகம்
2.2.1气体一维流动的基本方程组
2.2.1气体一维流动的基本方程组
气体在平面一维流动下，满足质量守恒、动量守恒和 能量守恒，其对应的方程分别叫质量方程（连续方 程）、动量方程（欧拉方程）、能量方程。 1、连续方程（质量方程） u ……(1) u 0
2.2.2 以u、c为求解参量的方程组

为使前面建立起来的气体一维等熵流动的方程组的物理意义
更容易理解，将它们稍加变换。引入声速c代替p和 。 由声速公式及等熵方程可得：
dp k 1 c2 d Ak s
……(5) ……(6)
将（5）式两边微分并同时除以 Ak k 1 ，得
2.1 波的基本概念
2.1 波的基本概念
1、波（Wave）
波通常可以分为两大类：一类是电磁波，另一 类是机械力学波。 当介质（ Medium ）受到外界作用（如振动、 这就是扰动（Disturbance）。
冲击等）时，介质的局部状态参量就会发生变化，
2.1 波的基本概念

如果活塞突然向右移动，便有波向右传播。 在扰动传播过程中，扰动介质与未扰动介质之间 存在一个界面，这个界面就叫波阵面(Wave front)。 扰动在介质中的传播速度 叫做波速(Wave velocity)。 （要与介质的质点速度区分）
压缩波（Compression Wave）：扰动传过后，介质 的压力、密度、温度等状态参数增加的波称为压缩波。 其特点是波传播的方向与介质质点运动方向相同。 稀疏波（Rarefaction Wave）：扰动传过后，介质的 压力、密度、温度等状态参数下降的波称为稀疏波， 其特点是波传播的方向与介质质点运动方向相反。
x A0 0 x x1 A0 0 d
……(1)
式中x为t1时刻扰动传播的距离，x=ct1
x1为时刻活塞运动的距离，x1=ut1 代入（1）式可得： 0 ct1 c u t1 0 d 消去t1后可得：
0 c c u 0 d
将
T 288K 150 C


代入（13）式可得 340m/s。
2.1 波的基本概念
需要指出的是，只有对于小扰动， 立，扰动才以声速传播。对于
0 d 1 0
才成
0 d 1 0
的扰动，
其传播速度大于声速，扰动越强，传播速度将越 高。
2.1 波的基本概念
3、压缩波和稀疏波
……(3)
……(4) ……(5)
（2）式代入（3）式得：
dp 0 cu
由（2）式可得：
d u c c 0 d 0 d
0c
2.1 波的基本概念
把（5）式代入（4）式得：
c2
0 d dp 0 d
……(6)

由于声波为弱扰动波，波阵面过后介质状态变化为一 微小量，故有 d 0
2.1 波的基本概念

(1)在t0时刻，活塞处于静止状态，状态参数为
p0 , 0 , T0
u0 0

(2)在t1时刻，活塞运动到B-B处，扰动传到D-D处，
弱扰动传过后，状态参数变为 质点速度变为 p0 dp, 0 du 。 , T0 dT ，
2.1 波的基本概念

质量守恒（Conservation of Mass ）：
第2章 冲击波导论
第2章 冲击波导论
炸药爆炸会形成高温、高压的气体。
气体的膨胀过程就是对外作功的过程。
需要首先了解气体的流动及有关波的知识。
第2章 冲击波导论
本章内容： 2.1 波的基本概念 2.2 气体的平面一维流动 2.3 平面正冲击波 2.4 冲击波的波速线、Hugoniot曲线和等熵线 2.5 冲击波的基本性质 2.6 冲击波的正反射 2.7 弱冲击波的声学近似理论
质中扰动沿 x 轴的正向和反向传播的速度，我们称 它们为（11）式的特征或特征方程。它们的积分各 自代表x－t平面上的一簇曲线，叫做特征线。其中 在x－t平面上由dx/dt=u+c所确定的特征线称为第一 簇特征线，用C＋表示；而由dx/dt=u-c所确定的特征 线称为第二簇特征线，用C－表示。
2.2.3方程组的特征线及一般解
dx uc dt
。顺介质流
动方向传播的扰动取正号，逆介质流动方向传播
的扰动取负号。
2.2.2 以u、c为求解参量的方程组

在
dx uc dt
条件下，（11）式可表示为 u
d 2 c 0 u dt k 1 d 2 c 0 u dt k 1
0
1
，因此，（6）式变为： ……(7)
c

dp d
看作等熵过程：
dp c d s
……(8)
2.1 波的基本概念
对于理想（多方）气体，其等熵方程为： ……(9) p A k
则
dp A k p k 1 Ak k k d
……(10)
的全导数形式，并且该导数为零，即
2 c k 1
对t
……(12)
即
2 c 常数 k 1 2 u c＝常数 k 1 u
……(13)
2.2.2 以u、c为求解参量的方程组
由此可以看出，方程（11）在
的是两个量的推进规律:

dx u c 条件下描述 dt
即由 u 2 c k 1
2 dc d k 1 c
2.2.2 以u、c为求解参量的方程组
由（5）式知，
dp c 2 d
……(7)
把（6）式代入（7）式，可得：
dp 2c dc k 1
……(8)
2.2.2 以u、c为求解参量的方程组
将（6）式代入连续方程（1）式，可得
2 c 2u c u c 0 k 1 t k 1 x x
A0为活塞的截面积。
……（2）
2.1 波的基本概念

动量守恒（Conservation of Momentum ）：气体受到
扰动后的动量等于作用在其上面的冲量。 x x1 A0 0 d u p0 dp p0 A0 t1
化简后得：
dp c u 0 d u
……(9)
将（8）式代入欧拉方程（2）式，可得
u u 2c c u 0 t x k 1 x
……(10)
2.2.2 以u、c为求解参量的方程组
将（9）、（10）两式相加和相减，整理可得
2 2 c u c u c 0 u t k 1 x k 1 2 2 c u c u c 0 u t k 1 x k 1
图2－4稀疏波现象
2.1 波的基本概念

在稀疏波扰动过的区域中，任意两相邻端面的参 数都只差一个无穷小量，因此稀疏波的传播过程 属于等熵过程，它的波速等于介质当地的声速或 音速（Local sound speed）。
2.2 气体的平面一维流动
2.2 气体的平面一维流动

所谓一维流动，是指在某一空间坐标x等于常数的平 面上流体参数都是均匀分布的，并且在给定坐标 x 处 的流体参数都只随时间 t 变化的流动，如 p=p(x,t) ， T=T(x,t)，u=u(x,t)，ρ=ρ(x,t)。 另外在球坐标系中，中心对称流动问题也是一种一维 流动，u=u(r,t)，其它参数也只是r和t的函数。
2.2.3方程组的特征线及一般解
图2－5 特征线
2.2.3方程组的特征线及一般解 方程（14）和（15）为方程组（11）的一般解。


在k≠3的最普通的情况下，由于(u+c)和(u-c)都是x和t
2.1 波的基本概念
图2－3 弱扰动和强扰动波形
2.1 波的基本概念 2、声波（sound wave） 声波是一种弱扰动波。弱扰动在介质中的传播速 度就叫声速。它是气体动力学中一个非常重要的 参数。

下面以活塞在直管中移动 所引起的气体扰动的传播 来建立声速c与其它参数 的关系式。如图所示。
所以理想气体的声速为：
c k p

……(11)
又由 p RT 可得 ：
c kRT
……(12)
2.1 波的基本概念
对于地表面上的空气，可近似地视为理想气体，将
k 1 .4
J mol K R 287.1J kg K 8.3144
c 20.05 T
，代入上式可得： ……(13)
……(14)
2.2.3方程组的特征线及一般解
沿着C－特征线
dx uc dt 2 2 d c 0或u c I 常数 u k 1 k 1 dt
……(15)
式中，I+,I-称为黎曼（Riemann）不变量。 它们在u，c平面上可用两簇相互平行的直线来描述， 称为方程组（ 11 ）在速度平面上的特征线。它们在沿着 各自的特征线（C＋和C－）传播时保持不变。如图2－5所 示。

c ，即扰 这两簇特征线分别描述的是物理状态量 u k 2 1
动波以速度

u c 沿x轴的正向或负向传播的轨迹。
因此，对于一维等熵不定常流动方程组（11）式，有
沿着C＋特征线
dx uc dt 2 2 d c 0或u c I 常数 u dt k 1 k 1