2019年华南理工大学微积分下21.doc
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一、二重积分（引例：求平面薄片的质量）
基本计算思路：把二重积分化为二次积分（定积分） 基本计算的两个步骤： 1）定限； 2）定积分的计算
基本计算方法： 1）在直角坐标下的计算方法：
x 型区域、 y 型区域；
2）在极坐标下的计算方法：注意被积函数要乘一个 r 。
其他知识点：改变积分的次序
二重积分的应用：曲面 : z
f x , y 的面积为
1 f x 2
f y 2 dxdy ，其中 D
D
为 在 xoy 面上的投影区域。
例 1：
2
y
2
R 2
, y 0 R 0
y x d , D : y R x , x
2
D
解：原式
0 R x
2
2 d
R
3
sin
cos 2
dx 0 y
x dy
r
dr
R
0 0
R 3
x 3
R
dx
2 1
sin2 d
r 3dr
R 3
3
R 4
R 4
1
R 4
4
4
2
8
例 2：交换下列二次积分的次序
1
x 2
3 1 3 x f x , y dy
1 3
2 y f x , y dx 。
dx
f x , y dy
dx
2
dy y
1
二、三重积分（引例：求空间立体的质量）
基本计算思路：把三重积分化为三次积分（定积分）基本计算的两个步骤： 1）定限； 2）定积分的计算
基本计算方法： 1）投影法； 2）切片法； 3）柱面坐标下计算法； 4）球面坐标下计算法
2
2
例 3：计算三重积分 zdv ，式中 为由
z
x
y
所确定的圆台体。
1 z 2
解：方法一、用截面法：
2
z 4
2
zdv z3dz
14
1方法二、用球面坐标：15 4
02, 0,12
4cos cos
2
24sin sin
d 4 d cos3sin cos d24d
zdv1
33
000
cos cos4cos
22142412115
cos28cos20484
三、关于弧长的曲线积分（引例：求曲线弧状物体的质量）
基本计算思路：把曲线积分化为定积分
基本计算的两个步骤： 1）化积分曲线为参数方程并确定参数取值范围，注意定积分的下限总小于上限；2）定积分的计算
注意选取适当的参数以简化定积分的计算。
例 4：计算x2 ds，其中为球面x2y2z2a2与平面x y z0 的交线。
x a
cos
a
sin 26
解： : y
2a
sin02 3
z
a a
cos sin
26
2
原式
0a
cos
a
sin
2
ad 26
3
23
2
3
2
3
a cos2 d a sin2 d a sin2 d 2 a
3
2060203
四、关于坐标的曲线积分（引例：变力对沿曲线运动的物体所做的功）
基本计算思路：把曲线积分化为定积分
基本计算的两个步骤： 1）化积分曲线为参数方程并确定参数取
值范围，注意起点对应的参数是定积分的下限终点对应的参数是
定积分上限； 2）定积分的计算
注意选取适当的参数以简化定积分的计算。
例 5：计算曲线积分
12xy
e y dx
cos y xe y dy ，其中 L 为由点
L
A
1 ,1 沿抛物线 y x
2 到点 O
0 , 0 ，再沿 x 轴到点 B 2 , 0 的弧
段。
解：原式
3 e
x 2
2
2 x 2
2
12x
2xcos x
2x e dx 1dx
1
3x 4
sin x 2
x 2
0 2 3 sin1
e 2 e sin1 1
xe 1
其他知识点：格林公式、积分与路径无关（四个等价条件） 、势函数、
两类曲线积分的联系
例 6：求 a , b ，使得曲线积分
axy 2 y 3 dx
6x 2 y bxy 2 dy 在整个 xoy 面
L
上与积分路径无关，并计算
3 , 4
y 3 dx 6x 2 y bxy
2
dy 。
1 , axy 2
2
解： P
axy 2 y 3 , Q 6x 2 y bxy 2
P 2axy 3y 2 ,
Q 12xy by 2
y
x
所以 a
6 , b 3
3 , 4
y
3
dx
6x 2 y bxy
2
dy 3 24 x
4 54 y 9 y 2
dy
axy
2
1
8 dx
1 , 2
2
12x
2
3
27 y
2
3y 3
4
236
8x
2
1
五、关于面积的曲面积分（引例：曲面状物体的质量）
基本计算思路：把曲面积分化为二重积分
基本计算的两个步骤： 1）选择适当的投影坐标面，无妨设选择了 xoy