第7章 生命曲线预测方法

k＞0，a ＞ 0，0＜b＜1
图（c）衰退期
t
图7-6 修正曲线的几种类型
图(d) 饱和后期
t
（四）龚柏兹曲线模型
其模型为： yt yt yt 1
yt k a k a
t
y t ka
bt
（ 1）
bt
b t 1 1 b
yt k ab k ab k ab (1 a ) 1 bt 1 常数 t 2 1 1 1 yt1 k a k ab b t 1 b2 k a (1 a ) a b (1 a b )
（2） （3）
由（3）可知：①其曲线方程为一条直线。 ②为一阶差分为一常数。即：
lg yt lg yt 1 t (t 1) lg b
结论:
当时间序列yt的环比指数大体相等，或时间序列yt的对 数一阶差分近似为一常数，可用简单指数曲线来拟合 实际曲线。
思考：1、画出散点图，初步识别属于哪一类？
2、为识别增长曲线属于哪一种类型，可采 用增长特征法进行识别。在这里我们用以3年为一个 跨越期，求出 yt ，然后再求出 u t 。 2 lg( u / y l g ( u / y ) t) 3、分别计算出 u y 、 、 、 lg u t t t t 与时间t的相关系数r,计算公式如下：
( 3)
y t y t 1
三阶差分
一阶差分环比指数
y t y t1
注意：增长曲线模型在理论上的变化规律都遵循着
一阶差分 、二阶差分 、三阶差分 、一阶差分环比指 数为一常数的特征。
二、成长曲线预测模型的基本类型 （一）多项式增长曲线模型P225 （二）简单指数型增长曲线模型 简单指数型增长曲线模型为：
-2.909 -3.037 -3.191 -3.464 -3.691 -3.839 -3.915 -4.256 -
2 lg( u / y t) t 由表7-9 可知， 的值基本保持不变。
根据表7-7应选取双曲指数曲线模型。
第三节 生命曲线模型的参数估计
在前面，介绍了对实际问题的模型识别，进 行完了这一步工作后，还要确定预测方程里的 参数（待定系数）后，才完成了建立预测模型。 确定参数，以预测模型与实际模型之间的偏差 为最小原则。通常是最小二乘法。由于非线性 问题用最小二乘法，使得计算非常复杂，于是 用三和法、三点法和优选法，下面分别介绍如 下：
第二节 生命曲线模型的识别 在前面，我们介绍了几种常用的生命曲线模 型，但在实际的应用中，怎样根据时间序列变 化，建立生命曲线模型？选择哪一种模型最合 适？这就涉及到生命增长曲线模型的识别问题。 下面，介绍几种识别的方法。
一、模型识别 在识别模型之前，我们应根据图形的几种特 性，掌握要识别模型的大概全貌，然后，才 能识别模型。因此要注意以下几个方面： （一）图形的单调性 利用y'判断。（某区 间内） （二）极值 利用y'和y"判断。 （三）拐点 利用y'和y"判断。 （四）对称性 利用拐点左右两端及与对称 中心的极限之差进行比较确定。 （五）时间性
表7-7 增长特征法判别曲线模型
yt 的平均增长特征
① ② ③ ④
平均增长特征对时间变化的性质 基本一样 线性变化 线性变化 基本一样 线性变化 线性变化 线性变化
曲线模型 直线方程 二次曲线方程 三次曲线方程 指数曲线方程 双指数曲线方程 龚柏兹曲线方程 罗吉斯曲线方程
ut ut
ut
ut
2
yt

⑤ lg u t ⑥ lg(ut / yt )
i 1
2
(i=1,2, …,n)
ˆi 其中：ei yi y
（三）增长特征法
这种方法就是以研究动态序列的增长变化特征与增长 曲线的相应特征为基础的一种识别方法。其基本点就 是选择增长曲线在理论上的变化规律与样本序列的实 际的变化规律最接近的一种曲线作为选择的最优曲线。 具体方法如下： 1、计算时间序列的滑动平均值 y t 。 其目的是要消除时间序列中的随机因素，计算公式为
ut
72.35 111.7 139.7 135.5 110.2 104.0 89.9 58.8 -
ut
yt
lg u t
10857 2.048 2.145 2.132 2.042 2.017 1.954 1.769 -
lg(ut / y 2 t )
0.299 0.320 0.300 0.216 0.150 0.123 0.115 0.057 -
（三）修正指数型增长曲线模型
1、其模型为：
yt k ab
t
（5）
其一阶差分为：
t t 1 t 1 yt yt yt 1 (k ab ) (k ab ) ab (b 1) t 1 yt ab (b 1) 一阶差分环比为： t 2 b yt1 ab (b 1)




一、最小二乘法(略) 二、三和法 这种方法是将整个增长的时间序列分为三个 相等的时间周期，并对每一个时间周期的数 据求和后，再估计参数。它适用于“S”形的 模型。 现以修正指数方程应用“三和法”确定参数 为例：
yt
i t p
y 2 p 1
i
t p
（ 9）
2 p 1称为移动平均的跨越期， 其大小由实际经验确定。
2、计算时间序列的平均增长量。其公式为：
ut
i p
iy
p
t i
i p
i
p
2
（10）
yt 1 yt 1 当p 1时, ut 2 2 yt 2 yt 1 yt 1 2 yt 2 p 2时, ut 2 2 2 11 2 p 3时, 3 yt 3 2 yt 2 yt 1 yt 1 2 yt 2 3 yt 3 ut 28
Market survey & Forecast 市场调查与预测
(7)
第七章
生命曲线预测方法
生物的生长过程经历发生、发展到成熟三个阶 段，在这三个阶段中生物生长速度是不一样的， 例如,南瓜的增长速度，在第一阶段增长较慢， 在成长时期则突然加快，而到了成熟期又趋减 慢，形成一条S形曲线，这就是有名的生长曲线 （增长曲线）。 生命曲线也可以是描述经济指标随时间变化呈 某种生物变化规律的一种曲线。
一、例子 1、人类成长的生命曲线
例1
人类身高的成长曲线的生长规律如表7-1所示
年龄 身高 3 6 9 112 12 140 15 168 18 172 21 176 24 178 48 76
单位：cm
27 180 30 181
身 高
图7-1人身高成长曲线
年龄
2、生物生长的生命曲线 例 2
如表7-2 是南瓜重量随时间变化的生长曲线。
（10）是平均增长计算公式，主要是因为对动 态时间序列选配趋势直线时，是以时间原点作 为中心进行计算的。直线方程是：y=a+bt b是平均增长，其计算公式为：
b
t p
ty t
t t p
p
p
2
3、计算时间序列的增长特征 时间序列 yt 经过移动平均修匀后，yt 的变化特征，可 ut 通过计算平均增长数 (ut ) 及 (ut y ) 和 lg ut、 来 lg( ) t yt 判断识别曲线的模型。如表7-7
在市场预测中，经常会碰到预测对象在其发 展过程中呈现出与生物类似的发展过程。即在 成长期快速增长、成熟（饱和期增长放慢）、 衰退等各种不同形态。例如新技术、新产品的 开发和更新换代过程，需求增长规律等均可用 生命曲线来描述。这种方法是根据时间序列变 化的历史数据，运用三和法、三点法。
第一节 生命曲线的概念与一般模型
t
图7-12
罗吉斯曲线拐点左侧呈上凹趋势，过了该拐点 后曲线转变为向下凹趋势。 （1）当t=0时, 有：yt =1/k+a，则yt =0和yt =1/k 都是罗吉斯曲线的渐进线。 （2）当t→∞时， yt →1/k 当t→-∞时， yt →0
罗吉斯曲线形状与龚柏兹曲线形状很相似，它 所描述的经济变量的变化规律也是开始缓慢增 长，而后逐渐加快，达到拐点后，增长率减缓， 最后达到一临界值。
t 1
t
或由（ 1 ）可得： lg yt lg k bt lg a 则有： lg yt k1 a1b t
（ 2） （ 3）
结论：龚柏兹曲线类似于修正曲线。
龚柏兹曲线的几种类型图
yt
0 ＜ a ＜ 1 ， 0 ＜ b＜ 1
yt
0＜ a ＜ 1， b ＞ 1
y k
y k
y0=K
yt
y k
图（a）成长期和成熟前期
a ＞ 1 ，b ＞ 1
t
图(b) 成长期后半期和衰退期
t
yt
y k
a ＞ 1 ， 0 ＜ b＜ 1
y0=K
图（c）成长期
t
图(d) 衰退期
t
（五）罗吉斯曲线其曲线模型
1 yt (9) t k ab 1 (10) k abt yt 式中：k,a,b为待定参数.由（9）可得一阶、二阶导数为
abt ln b yt ( k abt ) 2
t 2 t
yt =0 y =1/k
∞
yt
k ＞0，a＞1 0＜b＜1
ab (ln b) ( k ab ) yt ( k abt ) 3 取yt 0, 可得曲线的一拐点为： y0=1/(k+a) ln k ln a 1 t , yk ln b 2k
二、预测模型的识别方法



（一）目估法 这种方法首先将图画出来，根据此图形，选 择合适的模型。 若构成指数形，可选择简单指数形或修正指 数模型；若接近S形，可选择龚柏兹模型。 特点： 1、直观简便 2、若数据不足，（不能画出完整的图形） 对选择模型造成困难。