高中数学中的类比推理问题

类比推理问题一咼考命题新亮点

类比是常见而重要的一种数学思想方法，它是指在新事物与已知事物之间的某些方面作类似的 比较，把已经获得的知识、方法、理论迁移到新事物中，从而解决新问题。类比不仅是一种富有创 造性的方法，而且更能体现数学的美感。

（一）不同知识点之间的类比

数学中的不同知识点在教材中是相对分散的，知识点之间的联系需要教师通过自己的数学设计 展示给学生，从而使得学生的概念图网络更加丰富和结构化。它不仅可以在知识复习中使用，也可 以在新知识的学习中进行。

1、立体几何中的类比推理

【例1】若从点0所作的两条射线 0M 、ON 上分别有点Ml 、M2与点Ni 、N 2,则三角形面积之

别有点Pi 、P2与点Qi 、Q2和Ri 、R2，则类似的结论为： ______________________________________

【分析】在平面中是两三角形的面积之比，凭直觉可猜想在空间应是体积之比，故猜想

OP. OQ. OR. - J J （证明略） 「,」（明略）

评注 本题主要考查由平面到空间的类比。要求考生由平面上三角形面积比的结论类比得出空 间三棱锥体积比的相应结论。

【例2】在 丄二町 中有余弦定理： 丄N ：：：__/_.拓展到空间，类 比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱亠"-」的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间 的关系式，并予以证明。

【分析】根据类比猜想得出 瞌如=认 +孔的鸟—23_^斗 ■'・「.’ '其中T 为侧面为

-与“〔丁 I 所成的二面角的平面角。

证明：作斜三棱柱-甘- 的直截面DEF,则一-二匕 为面与面"I' 所成角,

比为:

_二：若从点0所作的不在同一个平面内的三条射线 Q 舗 了 OP 、0Q 和OR 上分

在亠:匹S'中有余弦定理：丄j' 一.’，同乘以.I. / ,得a「羽2 =。尸工•AA^l + S^^AA^-2D^ AA1•谿科心"

即一二n 一心丄.-1 一亠亠丄 '二二冷丄J-：」. ’；」

评注本题考查由平面三角形的余弦定理到空间斜三角柱的拓展推广，因为类比是数学发现的

重要源泉，因此平时的教学与复习中更要注意类比等思想方法的学习。

【例3】在平面几何中有正三角形内任一点到三边的距离之和为定值”，那么在立体几何中有什么结论呢？

解析正三角形”类比到空间正四面体”，任一点到三边距离之和”类比到空间为任一点到四个面的距离之和”，于是猜想的结论为：正四面体内任一点到其各面距离之和为定值。

如图1,设边长为彳的正三角形-□匚内任一点匸到其三边的距离分别为［、「二、I，将丄上二

分割成三个小三角形■'，则有匚J—• 一匸二‘.；，即距离之和

2 4

图i

类似地，如图2,设棱长为二的正四面体 二-日〔匸内任一点上到四个面的距离分别为1、-、

, 将正四面体分割成以丄二为顶点，以四个面为底面的小三棱锥，则有

【例4】 在平面几何中，有勾股定理：设丄匸匸的两边工口、吕丁互相垂直，则 .L' I - . 。拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间

的关系，可得出的正确结论是：

设三棱锥 丄-II 匸|的三个侧面」二匚、且「匸、两两互相垂

直，则 ____________ 类比不仅可以提供探求新背景下结论的思路，而且也为寻求结论的证明提供方法上的指导。将

平面图形中的三角形与立体图形中的多面体进行类比，使不同数学分支之间的知识得到了巧妙的沟

通，也使解题过程得到美化，让人有意犹未尽却又顺理成章的感觉。

2、解析几何中的类比推理

【例5】已知两个圆一① 与；--②，则由①式减去②式可得上述两

圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，既要求得到一个更一般的命题，而

已知命题要成为所推广命题的一个特例，推广的命题为 ____________________________ 。

为正三形的高（定值）

' 所以・一「_一'一 I '■为定值

图2

【分析】将题设中所给出的特殊方程①、②推广归纳到一般情况：

设圆的方程为：•丨」■■- - - ■■③与- I! ■/ ' - ■-④，其中或，

则由③式减去④式可得两圆的对称轴方程。

评注本题通过类比推广，可以由特殊型命题直接归纳概括出一般型命题。

3、数列中的类比推理

【例6】定义等和数列”在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么

这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列，是等和数列，且心二* ,公和为5,那么二二的值为______________ ，这个数列的前n项和工的计算公式为___________________。

【分析】由等和数列的定义，易知_:：■- I；.. 故「.；二二

当n为偶数时，一一；当n为奇数时，亠- 一 - _

fad ^^1

评注本题以等和数列”为载体，解决本题的关键是课本中所学的等差数列的有关知识及其数学

活动的经验，本题还考查分类讨论的数学思想方法。

4、函数中的类比推理

【例7】设函数一'「「、，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得

【分析】此题得用类比课本中推导等差数列前n项和公式的倒序相加法，观察每一个因式的特点，尝试着计算

占广（1-巧二丄二上二

w + V2 2+^2 V J2+21

扌+血‘2

发现. J1.■.正好是一个定值，••• X 「」•••：...

2

评注此题依据大纲和课本，在常见中求新意，在平凡中见奇巧，将分析和解决问题的能力的

老本放在了突出的位置。本题通过弱化或强化条件与结论，揭示出它与某类问题的联系与区别并变更出新的命题。这样，通过从课本出发，无论是对内容的发散，还是对解题思维的深入，都能收到固本拓新之用，收到秀枝一株，嫁接成林”之效，从而有效于发展学生创新的思维。

5、排列组合中的类比推理

【例8】已知数列；（n为正整数）的首项为二，公比为的q等比数列。

（1）求和：（1）&屈-比碍+尙;⑵码Cf -旳君+川-。危

（2 ）由（1）的结果，归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明。

【分析】本题由（1）的结论，通过大胆猜测，归纳猜想出一般性的结论：

（1）- ■ 「I 十，：一] —- I - j 1.

dfjCj —勾电+'gC；—= flj —知应+滋傻卫-斶『=闵〔1 —才〕1

（2）归纳概括的结论为：若数列 ]，「是首项为心，公比为q的等比数列，贝U

+ " ----- ” •亠: ■_「一（证明略）

评注本题主要考查探索能力、类比归纳能力与论证能力，突出了创新能力的考查；通过抓住

问题的实质，探讨具有共同的属性，可以由特殊型命题直接归纳概括出一般型命题。

6、新定义、新运算中的类比

—八& + b

【例9】若记号“ *表示两个实数a与b的算术平均的运算，即“-——，则两边均含有运

算符号“*和“ +；且对于任意3个实数a, b, c都能成立的一个等式可以是_____________________ 。

【分析】由于本题是探索性和开放性问题，问题的解决需要经过一定的探索过程，并且答案不

* ?皿+占

惟一。这题要把握住--'■-—，还要注意到试题的要求不仅类比推广到三个数，而且等式两边

均含有运算符号“*和“ +”则可容易得到肚+@叱）=（口 +占严（口+少

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