《高等代数》欧氏空间

把（1）中每一向量除以它长度，我们就得 C[0，2π]的一个标准正交组 1 1 1 1 1 , cos x, sin x,..., cosnx, sin nx,... 2π π π π π
2．正交组的性质 正交组的性质
定理8.2.1 设 定理
, 一个正交组，那么 α1,α2,Lαn 线性无关.
证： 设有 α1,0 2= αan∑ajα j , 0 = ai , a ,L i , ∈R 使得
f (x), g(x),
b
有不等式
b 2
∫a f (x)g(x)dx ≤ ∫a f
(x)dx∫
g (x)dx. a
b
2
(8)
(8)式称为施瓦兹(Schwarz)不等式. （7）和（8）在欧氏空间的不等式（6）里被 统一 起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹 不等式.
例8 设 (1)
ξ,η
为欧氏空间V 中任意两个
思考题1： 思考题 ：设
α, β 是 n 维欧氏空间V 中 两个不同的向量,且 | α |= β |=1 | , 证明: α, β ≠1 .
R
n
思考题2： 思考题 ：在欧氏空间 两两正交,且
中,设
αi = (ai1, ai2 ,L ain )(i =12,L n) , , ,
| αi |= i, A = (aij )n×n
< ξ,η >2 ≤< ξ,ξ ><η,η > 的灵活运用.
2.不等式
8.1.1 向量的内积、欧氏空间的定义 向量的内积、
定义1 是实数域R上一个向量空间 定义 设V是实数域 上一个向量空间 如果对于 是实数域 上一个向量空间. V中任意一对向量 ξ,η有一个确定的记作 < ξ,η > 中任意一对向量 的实数与它们对应，并且下列条件被满足： 的实数与它们对应，并且下列条件被满足： 1) <ξ,η >=<η,ξ > 2) <ξ +η,ζ >=<ξ,ζ > + <η,ζ > 3) < aξ,η >= a <ξ,η > 4) 当 ξ ≠ 0时, < ξ,η >f 0 这里 ξ,η,ζ 是V的任意向量，a是任意实数，那么 < ξ,η > 叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于 这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）.
8.2.2 标准正交基的定义、性质及存在性 标准正交基的定义、
1．标准正交基的定义 ．
设V 是一个n 维欧氏空间，如果V 中有
, n 个向量 α1,α2,Lαn 构成一个正交组，那么
由定理8.2.1，这个n 个向量构成V 的一个基， 叫做V 的一个正交基。如果V 的一个正交基 还是一个规范正交级，那么就称这个基是一 个规范的正交基。
n
a1, a2 ,L n , b , b2 ,L bn 有不等式 a 1 ,
(a1b +L+ anbn )2 ≤ (a1 +L+ an )2 (b +L+ bn )2 1 1
(7)
(7)式称为柯西(Cauchy)不等式.
例7 考虑例3的欧氏空间C[a,b]，由不等式（6） 推出，对于定义在[a,b]上的任意连续函数
例2 欧氏空间
Rn 的基是
(i)
εi = (0,L0, 1,0,L0), i =1,2,…,n, , ,
{ 1,α2 ,L αn}是n 维欧氏空间V的一个标准 α ,
正交基。令ξ是V的任意一个向量那么ξ是可 是 Rn 的一个标准正交基. 如果
ξ = x1α1 + x2α2 +L+ xnαn. 以唯一写成 x1, x2 ,L xn 是ξ关于 { 1,α2 ,L αn} 的坐标。 , α ,
aξ = < aξ, aξ > = a <ξ,ξ > = a ξ
2
一个实数a与一个向量 与一个向量ξ的乘积的长度 注：一个实数 与一个向量 的乘积的长度 等于a的绝对值与 的长度的乘积. 的绝对值与ξ的长度的乘积 等于 的绝对值与 的长度的乘积 例 6 考虑例 1 的欧式空间
R 由不等式(6)推出,对于任意实数
=∑aj αi ,α j = ai αi ,αi j=α 因为当i≠j 时 <1 i ,αj >= 0 ，所以 , , , 但 αi ,αi = 0 ，所以 a =12 L n, 即 i
n
{ 1,α2 ,L αn} 是欧氏空间的 α ,
a1α1 + a2α2 +L+ anαn = 0 n
j= 1
α1,α2,Lαn 线性无关. ,
<ξ,η >= ∑xn yn
给出，那么H是一个欧氏空间. 练习1 练习
n= 1
∞
α = (a1, a2 ), β = (b ,b2 ) 为向量空间 1
中任意两向量,证明:
α, β = ma1b1 + na2b2
作成欧氏空间的充分必要条件是m > 0, n > 0.
R
2
对
8.1.2 向量的长度、两非零向量的夹角 向量的长度、
8.1 向量的内积
一、内容分布 8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义 8.1.2向量的长度、两非零向量的夹角 8.1.3两向量正交、正交向量组的定义、性质
教学目的： 二、教学目的 1．准确理解并掌握以下概念及其基本性质：向量的内积、欧氏空间、向量的 长度、单位向量、两非零向量的夹角、两向量正交、两向量的距离． 2．掌握常见的几种欧氏空间；会用向量的内积及欧氏空间的定义判断向量ξ 与η的内积<ξ,η>，以及向量空间关于这个内积构成欧氏空间． 3．掌握 <ξ,η >2≤<ξ,ξ ><η,η > 及其它不等式，并会用它来证明另 一些不等式 三、重点难点： 重点难点 1.准确理解并掌握向量的内积、欧氏空间及两向量正交的概念;
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构成 R3 一个标准正交组，因为
α1 = α2 = α3 =1 , <α1,α2 >=<α2 ,α3 >=<α3,α1 >= 0.
例2 考虑定义在闭区间
[0,2π] 上一切连续
函数所作成的欧氏空间 C 0,2 ] [ π （参看8.1例3），函数组 (1) 1，cosx, sinx, … ,cosnx ,sinnx,… 构成 C 0,2 ] 的一个正交组。 [ π
定义2 设ξ是欧氏空间的一个向量，非负实数 定义 <ξ,ξ > 的算术根 <ξ,ξ > 叫做ξ的长度，向量ξ的长度用符号
ξ表示： ξ = <ξ,ξ >
定理8.1.1 在一个欧氏空间里,对于任意向量 定理 有不等式 <ξ,ξ >2≤<ξ,ξ ><η,η >
ξ,η.
(6)
当且仅当ξ与η线性相关时，上式才取等号.
αi 的长度
求 A 的行列式 | A| 的值.
8.2 正交基
一、内容分布 8.2.1正交组的定义 8.2.1正交组的定义、性质 正交组的定义、 8.2.2标准正交基的定义 8.2.2标准正交基的定义、性质及存在性 标准正交基的定义、 8.2.3子空间的正交补 8.2.3子空间的正交补 8.2.4正交矩阵的概念 8.2.4正交矩阵的概念 8.2.5 n维欧氏空间同构的概念及判别
0 0
2π
2π
所 <1 >= 2π, < cosnx,cosnx >=< sinnx,sinnx >=π, 以 ,1 <1 ,cosnx >=<1 nx >= 0, ,sin < cosm ,cosnx >=< sinm ,sinnx > x x
=< cosmx,sin nx > = 0,若 ≠ n, m≠ m
ξ = (x1, x2,..., xn), η = (y1, y2 ,..., yn )
规定 <ξ,η >= x1 y1 + x2 y2 +... + xn yn 不难验证, Rn 也作成一个欧氏空间.
例3 令C[a,b]是定义在[a,b]上一切连续实函数 所成的向量空间, f (x), g(x) ∈C[a,b] b 我们规定 < f , g >= ∫ f (x)g(x)dx. a 根据定积分的基本性质可知,内积的公理 1)---4)都被满足,因而C[a,b]作成一个欧氏空间. 例4 令H是一切平方和收敛的实数列
8.2.1 正交组的定义、性质 正交组的定义、
1．正交组的定义 ． 定义1 定义 欧氏空间V的一组两两正交的非零向量叫做V的 一个正交组,如果一个正交组的每一个向量都是单位向 量, 这个正交组就叫做一个标准正交组. 例1 向量
1 1 1 1 α1 = (0,10),α2 = ,0, , α3 = − , ,0,− 2 2 2 2
第八章 欧氏空间
8.1 向量的内积 8.2 正交基 8.3 正交变换 8.4 对称变换和对称矩阵
课外学习9： 课外学习 ：实现正交化过程的新方法
在几何学中（编者按:在数学中）， ），没有专门为国 在几何学中（编者按:在数学中），没有专门为国 王设置的捷径。 王设置的捷径。 ---欧几里德(Euclid ,约前325 - 约前265) ---欧几里德 欧几里德(Euclid ,约前 约前325 约前265)
α , 由于 { 1,α2 ,L αn} 是规范正交基，我们有
（3）
ξ,αi =
∑x α ,α
j= 1 j j
n
i
= xi
这就是说，向量ξ关于一个规范正交基的 第i个坐标等于ξ与第i个基向量的内积；
η = y1α1 + y2α2 +L+ ynαn 其次，令 那么 ξ,η = x1 y1 + x2 y2 +L+ xn yn （4） 由此得
事实上，我们有
∫
2π
0
1 =2 , dx π
∫0
2π
π m , 若 = n, cosmxcosnxdx = m 0, 若 ≠ n,
∫0
2π
π,若 =n m , sin mxsin nxdx = , m , 0 若 ≠n
∫
2π
0
x cosm sinnxdx = ∫ cosnxdx = ∫ sinnxdx = 0
例1 在 Rn 里,对于任意两个向量
规定 <ξ,η >= x1 y1 + x2 y2 +... + xn yn
ξ = (x1, x2,..., xn), η = (y1, y2 ,..., yn )
容易验证,关于内积的公理被满足,因而 Rn 对于这样定义的内积来说作成一个欧氏空间. . 例2 在 Rn 里,对于任意向量
ξ = aη(a > 0)当且仅当 ξ,η 的夹角为0; (2) ξ = aη(a < 0)当且仅当 ξ,η 的夹角为π;
非零向量.证明:
8.1.3 向量的正交
定义4 定义 欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的, 如果 <ξ,η >= 0 定理8.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量ξ 定理 与
η1,η2,Lηr 中每一个正交，那么ξ与 , η1,η2,Lηr 的任意一个线性组合也正交. ,
2 ξ = (x1, x2,..., xn), ∑xn < +∞ ∞ n= 1
所成的集合.在H中用自然的方式定义加法和标 量与向量的乘法:
), . 设 ξ = (x , x2,...),η = (y1, y2,L a∈R 1
规定 ξ +η = (x1 + y1, x2 + y2 ,...); aξ = (ax1, ax2 ,...) ) 向量 ξ = (x , x2,...),η = (y1, y2,L 的内积由公式 1
定义3 定义 设ξ与η是欧氏空间的两个非零向量， ξ与η的夹角θ由以下公式定义： <ξ,η > cosθ = ξ ⋅η 例5 令
R ξ = (x1, x2 ,..., xn )
n
是例1 中的欧氏空间.
R 中向量
n
的长度是
2 2 2 ξ = <ξ,ξ > = x1 + x2 +... + xn
由长度的定义,对于欧氏空间中任意向量ξ 和 任意实数a,有
二、教学目的： 教学目的： 1．准确理解和掌握正交向量组、n维欧氏空间的标准正交基等概念 准确理解和掌握正交向量组、 及基本性质． 及基本性质． 2．能熟练运用施密特正交化方法，由一个线性无关向量组求出一个 能熟练运用施密特正交化方法， 标准正交向量组 3．能掌握一个向量与一个非空子集正交、子空间的正交补的概念及 能掌握一个向量与一个非空子集正交、 基本性质，并会求某些子空间的正交补． 基本性质，并会求某些子空间的正交补． 4．掌握正交矩阵的概念及其与标准正交基的关系． 掌握正交矩阵的概念及其与标准正交基的关系． 5．掌握n维欧氏空间同构的概念及基本理论． 掌握n维欧氏空间同构的概念及基本理论． 重点难点：正交向量组、 维欧氏空间的标准正交基等概念; 三、重点难点：正交向量组、n维欧氏空间的标准正交基等概念; 子空 间的正交补的概念及基本性质; 间的正交补的概念及基本性质;施密特正交化方法