§4.5 力学量测量结果的几率 平均值

§4.5 力学量测量结果的几率平均值

重点：

在本征态和任意态中测量力学量的物理过程

（一）力学量测量结果的几率

的本征函数组成正交归一完全系，它所属的本征值

设算符

（4.5-2）

根据本征函数的守全性，可看作是各本征态的线性迭加：

（4.5-3）

根据态迭加原理，也是体系的可能状态，但它显然不是的本征态，因为

我们得不到关系式即在态中，将得不到确定的数值，由于态可看成是

各个本征态

的迭加，因此在测量的某一瞬刻、体系实际上是处于各本征态的

某一个中，故可能测量到数值将是本征值谱

中的某一个，所以我们称各次测

量到的数值为可能值。

出现的相对次数即相对几率分别为这些几率正好

设测得

分别是的展开式（4.5-3）中各项系数模的平方，即

（4.5-4）设已归一化的，即

（4.5-5）的正交归一性，就得到

注意到

我们看到具有几率的意义，它表明态中测量力学量F得到结果是的本的几率，故c n常称为几率振幅。

征值

可以证明，当的本征值组成连续谱时，也类似的结果，即

（4.5-8）

而

（4.5-9）

是在

态中，测得体系的力学量F的数值为的几率，其中右由（4.4-17）

式即

（4.5-10）

算出。

归纳上面的讨论，我们引进量子力学中关于力学量与算符关系的一个基本假定：

量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符，它的本征函数组成完全系，

的属于本征值的本征态中，测量力学量F所得的数值，就是的

如果体系处在

；如果体系所处的状态不是的本征态，可以测到力学量F的各

本征值

的本征值谱之中，而且测得数值为的几率是。

种可能值，这些可能值都是在

这个假定的正确性，如同薛定谔方程一样，由理论与实验结果符合而得到验证。

（二）平均值

当体系所处状态不是的本征态时，测量力学量得到的可能值是以一定的几率出现，但是多次测量的平均值是确定的，按照由几率求平均值的法则，可以求得力学量F在态中的平均值是

（4.5-11）

这式子可改写为

（4.5-12）

的正交归一性（4.4-8）式来证明，即

这两个式子相等可以用（4.4-14）式及

对于没有归一化的波函数，乘进归一化因子后，（4.5-12）式改写为

（4.5-13）