§4.5 力学量测量结果的几率 平均值
《量子力学》复习资料提纲
)(Et r p i p Ae-⋅=ρϖηϖψ《量子力学》复习 提纲一、基本假设 1、（1）微观粒子状态的描述 （2）波函数具有什么样的特性 （3）波函数的统计解释2、态叠加原理（说明了经典和量子的区别）3、波函数随时间变化所满足的方程 薛定谔方程4、量子力学中力学量与算符之间的关系5、自旋的基本假设 二、三个实验1、康普顿散射（证明了光子具有粒子性） 第一章2、戴维逊-革末实验（证明了电子具有波动性） 第三章3、史特恩-盖拉赫实验（证明了电子自旋） 第七章 三、证明1、粒子处于定态时几率、几率流密度为什么不随时间变化；2、厄密算符的本征值为实数；3、力学量算符的本征函数在非简并情况下正交；4、力学量算符的本征函数组成完全系；5、量子力学测不准关系的证明；6、常见力学量算符之间对易的证明；7、泡利算符的形成。
四、表象算符在其自身的表象中的矩阵是对角矩阵。
五、计算1、力学量、平均值、几率；2、会解简单的薛定谔方程。
第一章 绪论1、德布洛意假设： 德布洛意关系：戴维孙-革末电子衍射实验的结果： 2、德布洛意平面波：3、光的波动性和粒子性的实验证据：4、光电效应：5、康普顿散射： 附：（1）康普顿散射证明了光具有粒子性（2）戴维逊-革末实验证明了电子具有波动性∑=nnn c ψψ1d 2=⎰τψ（全）()ψψψψμ∇-∇2=**ηϖi j ⎩⎨⎧≥≤∞<<=ax x a x x V 或0,0,0)(0=⋅∇+∂∂j tϖρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=),(222t r V H ϖημ)(,)(),(r er t r n tE i n n n ϖϖϖηψψψ-=n n n E H ψψ=（3）史特恩-盖拉赫实验证明了电子自旋第二章 波函数和薛定谔方程1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。
2．波函数统计解释：若粒子的状态用()t r ,ρψ描写，τψτψψd d 2*=表示在t 时刻，空间r ρ处体积元τd 内找到粒子的几率（设ψ是归一化的）。
力学量的平均值、算符表示 平均值
r = x2 + y2 + z 2 z θ = arccos x2 + y2 + z 2 y ϕ = arctan x
§2.6 单电子(H)原子—中心力场薛定谔方程
From
求解中心力场中的薛定谔方程，球坐标系是自然的选择
§2.6 单电子(H)原子—角向方程
角动量平方算符
2 ∂ ∂ ∂ 1 1 ˆ L = sin θ − + 2 2 sin sin θ θ θ θ ϕ ∂ ∂ ∂ 2 2
所以
1 ∂ 1 ∂ 2Y ∂Y λY − = sin θ − 2 2 sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ
2 2 Eu (r ) − ∇ u (r ) + V (r )u (r ) = 2m
库仑势 Laplace算符：
Ze 2 V (r ) = − 4πε 0 r
r = (r ,θ , ϕ )
1 ∂ 2 ∂ 1 1 ∂2 ∂ ∂ ∇ = 2 + 2 2 sin θ + 2 r ∂θ r sin θ ∂ϕ 2 r ∂r ∂r r sin θ ∂θ
p ↔ −i∇
动量算符：
ˆ= p −i∇
§2.5 力学量的平均值、算符表示—平均值
(4) 粒子的动能T = p2/2m
类似地，动能的平均值
2 2 = T ∫−∞ ψ (r , t )(− 2m ∇ )ψ (r , t )dτ 2 2 ˆ p ˆ= ˆ= 动能算符： T 且有 T − ∇2 2m 2m
2
∫
+∞
−∞
ϕ * ( p, t ) pϕ ( p, t )dp
ϕ ( p, t ) =
计算材料学(第一性原理_密度泛函理论_分子动力学)-md(课堂课资)
• 其中， • 根据定理一， • 根据变分原理有：
因此，基态电荷密度所对应的总能值，总是比其他任何密
广义梯度近似泛函不仅是电荷密度的函数而且和这点电荷密度随空间的变化有关轨道泛函范德瓦尔斯泛函95章节内容均匀电子气体系的定义均匀电子气体系完全由其电荷密度来表示同时也可定义一个只包含一个电子的球体的半径96章节内容excn与交换关联项的关系excn是由于电子间交换和关联相互作用带来的能量变化空间某点的excn值通过对其周围空间的各点积分得到在每个电子周围会产生所谓的xchole即在其周围其他电子密度将减少电子间的相互作用包括泡利排斥简并能库仑能等97章节内容蒙特卡罗方法得到的si的xchole98章节内容三种方法lcao利用分子和原子轨道展开波函数99章节内容
在
的区域内的通解是：
利用边界条件：
得：
章节内容
12
简单例子二：一维无限深势阱（1）
解：A=0， cos =0, B=0， sin =0,
能级（能量本征值） ：
波函数：
(n 为奇数)
(n 为偶数)
分立能级！！！ n= 1， 2，3， 。。。
章节内容
13
简单例子三：库仑场（中心力场）中的电子(1)
• 原子核产生的库仑场是一种特殊的中心力场， 如果原子核外只有一个 电子：质量为m, 带电量-e， 取原子核为坐标原点，电子受原子核吸
电子的动能项
原子核的动能项
核与核的相互作用项
电子与电子相互作用项
电子与原子核的相互作用项
-- 每立方米物质对应的求和指标i, j 是 的数量级。想要求解这样的系统，必 须做一系列的合理简化
4.1力学量的平均值
（6）动量表象下的薛定谔方程
薛定谔方程可在不同的表象下写出来。在动量表象下
p2
[ V(i 2m
p)]C(p)EC(p)
有时，在动量表象中求解薛定谔方程变得比较容易。如在线
形势函数V(x)=Fx中运动的粒子，其定态薛定谔方程变为
(px2Fi 2m
px)C(px)EC(px)
其中F为常数。这个方程立即可化为
如果算符 Fˆ表示力学量F，那么当体系处于 Fˆ
的本征态中时，力学量F 有确定值，这个值就是 属于Fˆ该本征态的本征值。
该假设给出了表示力学量的算符与该力学量的关系。
是
xˆi , px
rˆi p
平均值是 x c*(p,t)(i )c(p,t)dp px
r c * (p ,t) ( i p ) c (p ,t) d p
并且可推广到的函数F(r) 情形:
F(r)F ˆ(i p)
F ( r ) c * ( p ,t ) F ˆ ( i p ) c ( p ,t )
z ) y
Lˆ y
zpx xpz i
(z x ) x z
Lˆ z
xp y
ypx
i
(x y
y ) x
（4）任一力学量的平均值
一般地，微观粒子的任何一个力学量O的平均值总 能表示为
o*o ˆdr
其中 oˆ 是力学量O 相应的算符。如果该力学量 O 在经典力学 中有相对应的力学量，则表示该力学量的算符 由oˆ 经典表达式
，再 *对(r全, t)空
则坐标表象中动量的平均值可表为：
p p * (r ,t)p ˆ(r ,t)d r
pˆ x i
x
pˆ y i
y
第三章-量子力学中的力学量(下)
1= ∫ψ ψdV = ∑∑c c ∫ψ ψ dV =∑∑c c δ =∑cn
* * n m * n m * n m nm n m n m n
2
第5(6)节 算符与力学量的关系 5(6
ˆ 量子力学基本假定：力学量 对应厄米算符 对应厄米算符, 量子力学基本假定：力学量F对应厄米算符 算符F的本征函数构成 描述时， 完全系。当系统由归一化 归一化波函数 完全系。当系统由归一化波函数 ψ = ∑ cnψ n 描述时，测量力学
角动量算符本征函数
* Y lm (θ , ϕ )Y l ' m ' (θ , ϕ )d Ω ≡ ∫ 2π
波函数 ψ
r p
r (r ) =
1 e ( 2πh )3 / 2
r r ip⋅ r h
波函数 Ylm (θ , ϕ ) = N lm Pl|m| (cosθ )e imϕ
* d ϕ ∫ sin θ d θ Y lm (θ , ϕ )Y l 'm ' (θ , ϕ ) = δ ll 'δ mm ' ∫ 0 0
的结果必定是对应算符的本征值， 量F的结果必定是对应算符的本征值，测量到本征值 f n 的几率 的结果必定是对应算符的本征值 是 cn 2。 ˆ 如果测量F的结果为 如果测量 的结果为 fn， 波函数塌缩为ψ = ∑cnψn →ψn (Fψ n = f nψ n ) 。
力学的算符表示和表象
(18)
对于 p y ， p z 也有同样的等式。如果 G px 是 p x 的解析函数，且可展成 p x 的幂级数 G p x Cn p x n (19)
n
则有
n ˆx G px G px Cn * r , t p r , t dr n
(1)
等均代表对 的运算。概括起来讲，设某种运算将函数 变为函数 u，记作
ˆ u Fv
ˆ 称作算符。若算符 F ˆ 满足 则表示这种运算的符号 F
(2)
ˆ c v c v c F ˆ ˆ F 1 1 2 2 1 v1 c2 Fv2
(3)
ˆ 为线性算符。动量算符， 其中 v1 和 v2 是任意函数， c1 和 c2 是常数（一般为复数） ，则称 F
(3)
（二）再论(归一化的) r , t 和 C r , t 的物理意义
2 2
与波函数相联系的粒子，一般既不具有精确的位置，有不具有精确的动量。一般 地，对于 ψ 表示的单个粒子系统，要对该粒子的动力学变量中的这个或者那个做测量 时，我们不能对测量结果做确定的预言，但是对于 N 个大量数目、彼此独立的等价系统 （每个系统都由同一波函数 ψ 描述） ，如果我们对它们中的每一个做位置测量，则 给
（一）统计平均值的意义
如果通过一系列的实验测定系统的一个状态参量 ξ，得到相应的值为 A1,A2……AS，在 总的试验次数 N 中，得到这些值的次数分别是 N1,N2,……NS，则 ξ 的（算数）平均值为
AN
i 1 s i
s
i
N
i 1
Ai
i 1
s
Ni N
(1)
i
当总的试验次数 N 时，量 ξ 的平均值的极限便是ξ的统计平均值
高二物理竞赛课件：力学量在体系一个运动状态下可能取值的几率分布
(x
x0
)dx
- (x x0 )dx 1
性质： * (x) (x)
(x) (x)
- f (x) (x x0 )dx f (x0 )
x (x x0 ) x0 (x x0 )
x (x) 0
( x) 1 (x) | |
坐标算符的函数：如势能函数 V V (xˆ) V (x)
mn
Cm* (t)Cn (t)nmn n Cn (t) 2
mn
n
量子力学假设：
展开系数 Cn (t) 的绝对值平方 Cn (t) 2 是体系在由 归一化波函数 (r ,t) 描述的运动状态下，在时刻
t，力学量 Fˆ 取值为 n 的几率。
(参见补例2.4-2)
3.2-4 量子力学算符必须满足的条件
动量算符：
pˆ i
直角坐标系分量： pˆ x i
; x
pˆ y
i
y
;
pˆ z
i
z
一维运动： pˆ x 的本征值方程为
i
d dx
px
(x)
px px
(x)
归一化的本征函数为
px
(x)
1
(2 )1/ 2
exp(ipx x
/
)
本征值在区域 (, ) 连续取值
正交归一化
* - px
( x) px
其本征值方程为
V (x) (x x0 ) V (x0 ) (x x0 )
三维空间： rˆ r
本征值方程分别为 r (r r0 ) r0 (r r0 ) V (r ) (r r0 ) V (r0 ) (r r0 )
这里
(r r0 ) (x x0 ) ( y y0 ) (z z0 )
《量子力学》课程教学大纲
《量子力学》课程教学大纲课程编号: 11122616课程名称：量子力学英文名称： Quantum Mechanics课程类型: 专业核心课总学时： 72 讲课学时： 72 实验学时：0学分： 5适用对象: 物理专业本科学生先修课程：高等数学、线性代数、原子物理学、数学物理方法、理论力学、电动力学等课程执笔人：李淑红审定人：孙长勇一、课程性质、目的和任务量子力学是物理专业的一门重要的专业基础理论课。
该课程是研究微观粒子运动规律的基础理论。
该课程的主要目的和任务：1、使学生了解微观粒子的运动规律，初步掌握量子力学的基本原理和处理具体问题的一些重要基本方法，为进一步学习和今后从事教学和科学研究打下必要的基础；2、使学生适当地了解量子力学在现代物理学中的应用和新进展，深化和扩大学生在普通物理学(特别是原子物理学)中所学过的有关内容，以适应现代物理学发展的状况和今后教学及科研工作的需要。
二、课程教学和教改基本要求量子力学是20世纪二十年代人们在总结了大量实验事实和旧量子论的基础上，通过一代物理学家的共同努力而建立起来的；它的基本概念除了与经典力学不同之外，还视量子力学的各种表述形式的不同而各异。
根据本课程的特点和计划学时，编制了适合学生水平的PPT教学课件，采用多媒体教学，增加课时容量；同时，注意到学生的接受情况，把传统教学和多媒体教学的优点结合起来，利用启发式教学方法；教学过程中介绍一些相关的前沿科研内容和动向，扩大学生的知识面，从而激发学生的学习兴趣。
通过课堂教学、自学、作业等环节使学生掌握所学内容，提高分析、归纳、推理的能力，为以后从事现代物理学研究打下坚实的理论基础。
三、课程各章重点与难点、教学要求与教学内容按照教育部颁布的量子力学教学大纲，本课程总学时为72学时，本大纲安排课堂讲授66学时，习题课6学时。
下面大纲中加带“*”号的为选讲内容，在教学过程中可视具体情况和总学时的多少，略讲或不讲，而以学生自学为主。
§4.9厄密算符的基本性质
§4.9厄密算符的基本性质一、厄密算符设u 和v 是任意两个函数，如果算符F ∧满足**()u F vdx F u vdx ∧∧=⎰⎰，式中x 代表u和v 的所有变数，积分是在所有变数的全部区域进行的，则称算符F ∧为厄密算符或自轭算符。
我们前面已讨论过的坐标算符、动量算符和 能量算符都是厄密算符 例：证明动量算符x p i x∂=-∂是厄密算符 证明：***()x u p vdx u ivdx i u vdx xx∧+∞+∞+∞-∞-∞-∞∂∂=-=-∂∂⎰⎰⎰**** =[()]=|i u v dx u vdx x xi u v i u vdx x+∞+∞-∞-∞+∞+∞-∞-∞∂∂--∂∂∂-+∂⎰⎰⎰因为u 和v 都是满足波函数标准条件的波函数，它们在无穷远处的边界应为0，上式右边第一项为0，而第二项可写为**()()x iu vdx p u vdx x+∞+∞-∞-∞∂-=∂⎰⎰，所以有**()x x u p vdx p u vdx ∧+∞+∞-∞-∞=⎰⎰故动量算符x p 是厄密算符二. 厄密算符的性质1. 厄密算符的本征值都是实数，表示为*λλ=证明：设F 为厄密算符，λ表示它的的本征值，u 表示对应的本征函数，即：Fu u λ=由厄密算符的定义式可得：**()u F udx F u udx ∧∧=⎰⎰⇒**()u udx u udx λλ=⎰⎰，即***u udx u udx λλ=⎰⎰由此得：*λλ=即λ是实数。
2. 厄密算符的本征值代表力学量的确定值表示力学量的算符的本征值是测量该力学量可能得到的数值，这些数值必须是实数，因此表示力学量的算符必须是厄密算符。
根据波函数应满足态叠加原理的要求，表示力学量的算符还必须是线性的，因此表示力学量的算符应是线性厄密算符。
那么体系处于什么状态时，力学量具有确定的数值呢?设体系处于波函数(,)r t ψ所描写的状态。
测量力学量为F ，它是一个线性厄密算符。
第四章态和力学量的表象
.n n nc ψφ=∑第四章 态和力学量的表象量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。
在前面，我们采用的表象是坐标表象，还可以用其它表象表示体系状态。
在选定了一定的表象后，力学量算符用矩阵表示，算符的运算归结为矩阵的运算。
因此，引入表象理论后的量子力学也称为矩阵力学。
本章首先给出态、算符和量子力学公式的表象表示，以及它们在不同表象间的变换关系，并证明量子力学在幺正变换下的不变性。
之后介绍文献中常见的狄拉克（Dirac ）符号，最后在粒子数表象中重新讨论了线形谐振子问题。
§4.1态的表象表示由前两章讨论可知，任意波函数可按某力学量的本征函数做完全性展开例如，动量的本征函数表示组成完全系，任意波函数(,)x t ψ可以按 ()x p x ψ展开为(,)(,)()xx p x x t c p t x dp ψψ=⎰ ，展开系数(,)x c p t 由下式给出()(),(),x x p c p t x x t dx ψψ*=⎰. 设 (,)x t ψ已归一化，则容易证明(,)x c p t 也是归一化的，2(,)x t dx ψ代表体系处于(,)x t ψ所描写的态中，发现粒子位置在x x dx →+范围内的几率；2(,)x x c p t dp 代表在该态下发现粒子动量在 x x x p p dp →+范围内的几率。
(,)x c p t 和 (,)x t ψ描写同一状态。
我们称(,)x t ψ是这个状态在x -表象（坐标表象）中的波函数；(,)x c p t 是同一状态在p -表象（动量表象）中的波函数。
动量表象中的波函数(,)x c p t 以动量为自变量，它的获得是通过动量本征函数系的完全性展开取得展开系数得来的。
在量子力学中，选定一组本征函数系作为基失，就称为选定了一个表象。
这与三维空间中的坐标系类似。
表象中的基矢与坐标系中的单位矢量一样具有正交归一完全性。
所不同的是本征函数有多个，所以态矢量所在的空间是多维的函数空间。
力学量平均值及均方偏差例题选讲
则有
1 r3
Z l (l 1)a0
1 r2
2Z 3 3 3 a0 n l (l 1)(2l 1)
例5. 计算在束缚定态下动量的平均值。
ˆ2 p ，它的任意一个束缚定态为 r ˆ 解：设哈密顿量为 H ，相应的本 V r n 2 征值为 En ，即 ˆ r H E r n n n ˆ2 p i ˆ ˆx V r p 利用基本对易式 x, H x, 2 在 n r 态下求平均值，即得
ˆ2 L ˆ2 l (l 1)2 m2 2 Y * Y d L x y lm lm 1 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ l ( l 1) m Lx Ly Lx Ly 2
则测不准关系：
Lx
可以证明
, V ( r ) r
dV , V ( r ) ; r dr
2 1 , 2 r3 r r
2 2 2 2 , , , r 2 r r r r r r r r r r
* nlm
(1) (2)
1 * Lx Lx nlm d nlm Ly , Lz nlm d i 1 1 * * nlm Ly Lz nlm d nlm Lz Ly nlm d i i m * 1 * nlm Ly nlm d Lz nlm Ly nlm d i i m * m * nlm Ly nlm d nlm Ly nlm d 0 i i 类似地，将对易式 Lz , Lx Lz Lx Lx Lz iLy
力学基本量测量实验数据
力学基本量测量实验数据引言力学作为物理学的一个重要分支，研究对象是物体的运动和相互作用。
在力学实验中，测量物体的各种基本量是非常重要的。
本文将探讨力学基本量的测量实验数据，包括长度、质量和时间的测量方法以及实验误差分析。
一、长度测量实验数据1. 直尺测量法直尺是一种常见的长度测量工具，适用于小范围的测量。
在实验中，我们可以用直尺测量物体的长度，并记录数据。
以下是一项直尺测量实验数据的示例：实验次数长度 (cm)1 5.32 5.13 5.22. 游标卡尺测量法游标卡尺是一种精度较高的长度测量工具，适用于较小物体的测量。
在实验中，我们可以使用游标卡尺测量物体的长度，并记录数据。
以下是一项游标卡尺测量实验数据的示例：实验次数长度 (mm)1 16.32 16.43 16.2二、质量测量实验数据1. 砝码秤量法砝码秤是一种常用的质量测量工具，适用于大范围的测量。
在实验中，我们可以使用砝码秤量取物体的质量，并记录数据。
以下是一项砝码秤量实验数据的示例：实验次数质量 (g)1 52.72 52.53 52.62. 弹簧秤量法弹簧秤是一种精度较高的质量测量工具，适用于较小质量的测量。
在实验中，我们可以使用弹簧秤量取物体的质量，并记录数据。
以下是一项弹簧秤量实验数据的示例：实验次数质量 (g)1 16.32 16.43 16.2三、时间测量实验数据1. 显微秒表测量法显微秒表是一种常见的时间测量工具，适用于较小时间间隔的测量。
在实验中，我们可以使用显微秒表测量物体的时间，并记录数据。
以下是一项显微秒表测量实验数据的示例：实验次数时间 (s)1 2.352 2.373 2.362. 计时器测量法计时器是一种精度较高的时间测量工具，适用于大范围的时间测量。
在实验中，我们可以使用计时器测量物体的时间，并记录数据。
以下是一项计时器测量实验数据的示例：实验次数时间 (s)1 50.22 50.13 50.3实验误差分析在实验中，由于各种测量仪器的误差和操作的不确定性等原因，测量数据可能存在误差。
力学量的平均值随时间的变化
力学量的平均值随时间的变化
•23 一个质量为m的粒子在中心力场V(r)中运动，试证明
•其中E代表能级，ψ是相应的束缚定态波函数，λ是H中的参量 •(2)对于确定节点（即nr相同）的状态，若轨道角动量越大 •（即l越大），则其能量越高。
•证明: (1)由于
•则
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力学量的平均值随时间的变化
•20 在p表象中计算一维谐振子的定态能量和定态波函数 •解：薛定谔方程为
•在动量表象中有
•即 •其中
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力学量的平均值随时间的变化
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力学量的平均值随时间的变化
•代入薛定谔方程得
•以后的求解见陈<量子力学习题与解答>p97
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力学量的平均值随时间的变化
•21. t=0时刻自由粒子的波函数是 •求此时粒子动量的可能取值、概率和平均值
•解: (1) F是守恒量，即
•(2) |ψ(t)> 是定态
•18. 对于
•α是常数，下列哪些量是守恒量
•答： 守恒量是
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力学量的平均值随时间的变化
•18. 电荷为q，质量为m的无自旋粒子在磁场B中运动，其哈密顿 •算符可近似写成
•(1)指出(不必证明)下列各物理量中的守恒量
•(2)任选一个非守恒量，写出其海森堡运动方程 •(3)写出ω的构造式(用m,q…表示)及B的方向。 •解：（1） 守恒量是
•(2) N个全同Femi子组成的体系
•三个全同Femi子：设三个无相互作用的全同Femi子，处于三个 •不同的单粒子态φk1, φk2, φk3 上，则反对称波函数为
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•Slater •行列式
3-4,5动量算符,正交性 平均值
c c n n d
m n
m n
m
n
m
c c n m n
m
n
c c n
n n
2
m
n
cn n
n
n
A cn n
2 n
A Pnn
n
c
n
2
n
1
所以，任意态中测量A的平均值公式
动量算符
动量算符的本征值方程为
i p(r ) p p(r )
上式的三个分量方程是
p(r ) i px p(r ) x p(r ) i py p(r ) y p(r ) i pz p(r ) z
解上面三个方程可得动量算符的本征函数
p(r ) Ce
( x) dx
2
0
2 A A2 e 2 x dx 1 2
A 2
（2 ） x
Ae
0
x
xAe
x
dx
A
2
0
xe 2 x dx
1 2 x A e dx 2 0 1 1 2 A 2 2 4
2
（3） px 0 Ae
若粒子处于任意态 ( r ) ，那么测量力学量A又取什么值？
对任意态我们可以按本征态展开，即
(r ) cn n (r )
所以在 ( r )中测量力学量A时，其测量值中应有λ1，λ2， …，λ ，…。且各个值以一定的概率出现。 n
由几率求平均值的方法，得
n
A P11 P22
第四章 态和力学量的表象
章 >> 第一节§4.1 态的表象一.矢量的表示矢量基矢是矢量在坐标系中的表示。
对另一坐标系,是矢量在坐标系中的表示，同一矢量在不同坐标系中表示有什么关系?有什么性质？(真正交矩阵)幺正矩阵同一矢量在不同坐标系中的表示通过一个幺正矩阵联系起来。
二.态的表象与表象变换表象: 态和力学量的具体表示方式。
量子力学中，量子态可看成Hilbert空间一矢量。
, 是波函数和力学量在坐标表象中的表示，这种表示方法并不是唯一的。
（一）.态的表象1．特例动量本征函数组成完全基任意态利用：是所描写的态中测量粒子动量在范围的几率. 与描述的是同样波函数。
2推广到一般情况在任意力学量的表象中,态的表示：分立本征值：本征函数：是态中测量力学量所得结果为的几率。
为态在表象中的表示。
用矩阵表示：同一态可以在不同表象中用波函数来描写，所取的表象不同波函数形式也不同, 但它们描写同一态。
经典力学量子力学矢量态矢量普通三维空间希尔伯特（Hilbert）空间特定坐标系特定表象本征函数（二）态的表象变换态矢量在力学量的完备基下,即在表象下表象:另一力学量的完备基下,表象:二表象之间的的关系：左乘取标积,对积分即：矩阵表示幺正矩阵同一个量子态在表象中的不同表示的关系通过一幺正矩阵S相联系。
[证明]即：。
§4.2 力学量算符的矩阵表示与表象变换一.力学量的矩阵表示设一力学量作用于态得到另一态在坐标表象中在任一表象下本征值:两边左乘对积分利用正交归一性是算符在表象中的表示力学量算符为厄密算符: 即厄密算符在表象中的矩阵特点：利用厄密算符性质即即: 力学量算符的矩阵表示为厄密矩阵。
算符在自身表象的矩阵：算符在其自身表象中是一对角矩阵。
如具有连续本征值，本征函数为在坐标表象中例:求一维谐振子的坐标,动量及Hamilton量在能量表象中的矩阵表示。
[解]线性谐振子的能级为对应的能量本征函数，利用公式(1)(2)(3)二．力学量的表象变换力学量算符在表象中: 算符的本征函数在表象中: 算符的本征函数§4.3 量子力学中一些关系式的矩阵表示态矢量和力学量算符已用矩阵表示出来，也就是说态矢量和力学量算符在一确定的表象下可用矩阵表示。
力学量的算符表示和平均值.ppt
2
角动量平方算符也可以表示为
2 1 ˆ2 2 ˆ L (sin ) 2 Lz sin sin
二、本征函数、本征值和平均值
算符是代表对波函数的一种运算，是把一个波函数 或量子态变换成另一个波函数或量子态。 A A
此式为力学量的本征值方程，常量A称为力学量的本征值。
§15-3 力学量的算符表示和平均值
一、力学量的算符表示 量子力学中描述系统的每一个力学量对应一个算符。 与动量相对应的算符 动量分量的算符
x i p x y i p y z i p z
ˆ i p
引入哈密顿算符后，定态薛定谔方程可以简化为 ˆ H (r ) E (r ) 量子力学中，任何一个力学量的平均值都可以用下 ˆ 式计算 A A (r ) A (r )d
3
角动量平方算符为
ˆ2 L ˆ2 L ˆ2 L ˆ2 L x y z
1 1 2 ˆ2 ˆ2 2 [ L (sin ) 2 ] Ω sin 1 (sin ) sin sin 2 2
与动量平方相对应的算符是
2 2 2 ˆ p
与能量相对应的算符
2 2 ˆ H U (r ) 2
称为哈密顿算符
1
角动量算符为
直角坐标系中的分量式
ˆ ˆ Lrp
球坐标系中的分量式
ˆ i(sin cot cos ) L x ˆ Ly i( cos cot sin ) ˆ Lz i
ˆ ˆ z zp ˆ y i( y z Lx yp ) z y ˆ ˆ ˆ Ly zp x xp z i( z x ) x z ˆ ˆ y yp ˆ x i( x Lz xp y ) y x
力学量算符 力学量测量值
,
ˆ ˆ B px
，
ˆˆ ˆˆ AB BA
因为
ˆ xp x ix
ˆ px x i ix
算符
ˆ ˆ xpx px x i
ˆ ˆ xpx px x i
ˆ ˆ ˆ ˆ 引入对易子：A 和 B 的对易子 A, B
ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ A, B AB BA
由于角动量平方算符中含有关于 x，y， z 偏导数的交叉项,所以直角坐标下角动量 平方算符的本征方程不能分离变量,难于求 解,为此我们采用球坐标较为方便.
z
r
r
y
(II) 球坐标
直角坐标与球坐标之间的变换关系
r 2 x 2 y 2 z 2 cos z / r tan y / x (1) ( 2) ( 3)
左式= 右式 因为对任 意波函数
ˆ ˆ ˆ ˆ d 1 * F 1 | c |2 d 2 * F 2 c * d 2 * F 1 c d 1 * F 2
ˆ ˆ ˆ ˆ [ d 1 * F 1 ]* | c |2 [ d 2 * F 2 ]* c * d ( F 2 ) * 1 c d ( F 1 ) * 2
[lˆx , x] 0, [lˆx , y ] iz , [lˆy , x] iz , [lˆy , y ] 0, [lˆz , x] iy , [lˆz , y ] ix,
[lˆx , z ] iy , [lˆ , z ] ix,
y
[lˆz , z ] 0,
及相应误差。
x ( x, t ) x1 ( x, t )dx
0 * 1
a
a
0
力学量的平均值随时间的变化
6. 能级简并与守恒量的关系
定理 设体系有两个彼此不对易的守恒量F和G，即 [F,H]=0,[G,H]=0,[F,G]≠0, 则体系能级一般是简并的。
推论： 如果体系有一守恒量F，而体系的某条能级并不
[
1
(q1
)
1
(q2
)
2
(q3
)
1
(q2
)
1
(q3
)
2
(q1
)
1(q3 )1(q1) 2 (q2 )]
3 (q1, q2 , q3 )
1 3
[
1
(q1
)
2
(q2
)
2
(q3
)
1
(q2
)
2
(q3
)
2
(q1
)
1(q3 ) 2 (q1) 2 (q2 )]
4 (q1, q2 , q3 ) 2 (q1) 2 (q2 ) 2 (q3 )
而
d dt
x(t)
1 i
eiHt / [ x, H ]eiHt /
p(t) / m
d
dt
p(t)
1 i
eiHt / [ p, H ]eiHt /
mω 2 x(t)
则
d2 dt 2
x(t)
1 m
d dt
p(t)
ω 2 x(t)
其解为 则
x(t) c1 cosωt c2 sinωt
p(t )
t
积分得
U (t,0) eiHt /
( 7)
可以证明： U (t,0)U (t,0) U (t,0)U (t,0) 1 (8)
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§4.5 力学量测量结果的几率平均值
重点：
在本征态和任意态中测量力学量的物理过程
（一）力学量测量结果的几率
的本征函数组成正交归一完全系，它所属的本征值
设算符
（4.5-2）
根据本征函数的守全性，可看作是各本征态的线性迭加：
（4.5-3）
根据态迭加原理，也是体系的可能状态，但它显然不是的本征态，因为
我们得不到关系式即在态中，将得不到确定的数值，由于态可看成是
各个本征态
的迭加，因此在测量的某一瞬刻、体系实际上是处于各本征态的
某一个中，故可能测量到数值将是本征值谱
中的某一个，所以我们称各次测
量到的数值为可能值。
出现的相对次数即相对几率分别为这些几率正好
设测得
分别是的展开式（4.5-3）中各项系数模的平方，即
（4.5-4）设已归一化的，即
（4.5-5）的正交归一性，就得到
注意到
我们看到具有几率的意义，它表明态中测量力学量F得到结果是的本的几率，故c n常称为几率振幅。
征值
可以证明，当的本征值组成连续谱时，也类似的结果，即
（4.5-8）
而
（4.5-9）
是在
态中，测得体系的力学量F的数值为的几率，其中右由（4.4-17）
式即
（4.5-10）
算出。
归纳上面的讨论，我们引进量子力学中关于力学量与算符关系的一个基本假定：
量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符，它的本征函数组成完全系，
的属于本征值的本征态中，测量力学量F所得的数值，就是的
如果体系处在
；如果体系所处的状态不是的本征态，可以测到力学量F的各
本征值
的本征值谱之中，而且测得数值为的几率是。
种可能值，这些可能值都是在
这个假定的正确性，如同薛定谔方程一样，由理论与实验结果符合而得到验证。
（二）平均值
当体系所处状态不是的本征态时，测量力学量得到的可能值是以一定的几率出现，但是多次测量的平均值是确定的，按照由几率求平均值的法则，可以求得力学量F在态中的平均值是
（4.5-11）
这式子可改写为
（4.5-12）
的正交归一性（4.4-8）式来证明，即
这两个式子相等可以用（4.4-14）式及
对于没有归一化的波函数，乘进归一化因子后，（4.5-12）式改写为
（4.5-13）。