计算材料学第三章原子间相互作用势
高中化学第三章探索原子构建物质的奥秘3.1原子间的相互作用素材沪科版
第三章探索原子构建物质的奥秘 3.1 原子间的相互作用由量子化学从头计算方法得出不同距离时两个原子间的相互作用能，以势能曲线最低点与量子化学从头计算的最小值相重合的拟合原则，拟合出原子间相互作用对势。
并尝试用原子间相互作用对势研究铁团簇（奥氏体、铁素体和马氏体）的原子平均结合能和最近平衡原子间距。
计算结果表明，这种近似方法对理解金属晶体的相变和许多性能可以提供证据。
如此推断，可以计算Fe-Cr-Mn-C-B系复杂合金的奥氏体的能量变化，并为解释相变的趋势提供参考。
关键词：原子间相互作用势；量子化学从头计算；拟合对势；铁团簇 1．引言由第一性原理量子力学所作的计算可以给出精确的结果。
然而，由于需要很大的计算量来精确求解Schrödinger方程，目前这些方法仅限于研究包含几十个原子的体系。
原子间相互作用势是分子动力学、蒙特卡罗方法模拟计算的基础，也是在原子、分子层次上进行合金设计的重要部分。
原子间相互作用势有很多种，按相互作用的类型划分为两体势（即对势、偶对势）、三体势、四体势、N 体势、嵌入原子势等。
物质（包括各种相，如固相、液相和气相）的许多物理性质既可以通过实验观察和测定，也可以在理论上计算和预测。
另一方面，经验的原子间相互作用势虽不及上述方法精确，但能处理大得多的体系。
对于复杂的材料科学问题的计算机模拟，原子间相互作用势及分子动力学方法占有重要地位[1]。
本文尝试用原子间相互作用对势研究奥氏体、铁素体和马氏体铁团簇的原子平均结合能和最近平衡原子间距，为进行Fe-Cr-Mn-C-B系实用合金的复杂体系的特性的预测提供参考。
2．原子间相互作用对势原子间相互作用对势的简单函数是Lennard-Jones势。
尽管Lennard-Jones型函数仅仅可以用来描述多体势作用最小的稀有气体，而对于象金属晶体这样多体势作用强的晶体被认为是不适用的，但是，作为对复杂体系合金的初步探讨，这种方法很可能对理解许多性能和过程可以提供有益的参考。
原子间相互作用势
h,i j i aj (rij )
微观尺度材料设计原子间相互作用势
原子间相互作用势-基于有效介质方法
二阶动量近似和TB势：二阶动量近似和紧束缚方法起源 于能带理论的紧束缚模型。根据紧束缚理论, 电子态密度 的二阶动量与周围原子的径向函数和有关。带能量近似 地等于电子能带的宽度, 即二阶动量的平方根。
ij 也可以是的函数。
微观尺度材料设计原子间相互作用势
原子间相互作用势-对势
Lennard-Jones势
m r0 n 0 A B r0 (r ) n m m n r nm r r r
(r ) 4 r
微观尺度材料设计原子间相互作用势
原子间相互作用势-对势
对于由N个粒子组成的体系, 对势函数描述的系统总能量 N 为 1
E total
2
i j 1
ij
(rij ) U ()
其中ij(rij)为原子i、j相距为rij时的对势函数。对于第一类 对势U=0, 对于第二类对势U()为原子凝聚对系统总能量 的贡献, 它是原子平均体积或材料平均密度的函数, 同时
微观尺度材料设计原子间相互作用势
晶体的结合-结合力的一般性质
1 N N U (r ) u (rij ) 2 i 1 j i
2 U U U V P V 2 V V V0 V0
V 2U V P K V 2 V0 V V0 V0 0 2U K V 2 V0 V0
微观尺度材料设计原子间相互作用势
原子间相互作用势-对势
对势在早期的材料研究中发挥了极为重要的作用, 并仍 然活跃在计算机模拟的许多领域。 根据对系统总能量的贡献, 可以把对势分为两类。 系统的总能量完全由对势函数决定, 这类对势可以有效 地描述van der Waals相互作用占主导地位的体系； 对势函数仅描述恒定的材料平均密度下系统能量随原 子构型的变化, 这类对势适用于描述sp-价态金属。
12 第三章 原子间的相互作用(教师版)
一、知识梳理(C)物质的硬度差异，在生产、生活、科研中有着广泛的应用(D)金刚砂（SiC）和金刚石具有同样的硬度【解析】A正确，因为指明是天然的。
B正确，相信随着科学技术的不断发展，一定会有新物质被制备出来。
C正确，可以举出许多例子。
D错，据目前报道，硬度大于金刚石的只有氮化碳。
金刚砂的硬度仅次于金刚石。
故选D。
【答案】D【例2】已知乙酸分子的结构可表示为，下列说法正确的是( )(A)氢原子与氢原子之间存在化学键(B)碳原子与碳原子之间存在化学键(C)氧原子与氧原子之间存在化学键(D)乙酸分子之间存在化学键【解析】由于乙酸是由分子构成的物质，在乙酸的分子内只有相邻的原子之间存在化学键，不相邻的原子同就不存在化学键。
但在乙酸的分子与分子之问是由微弱的范德华力结合，范德华力比化学键的能量小得多。
【答案】B【例3】已知水的分解温度高于1 800℃多，难以分解的原因是________________________。
【解析】由于水分子内氢、氧原子之间存在强烈的相互作用——共价键（如图中的实线部分），所以要破坏氢、氧原子间的共价键，就需要吸收很多的能量，才能使其分解成为H2和O2，因而分解温度很高，需要超过1800℃。
但水分子与水分子之间，存在较弱的相互作用力——氢键（如图中的虚线部分），因此要使水蒸发成为水蒸气，只须破坏氢键及范德华力即可，所需能量较小，所以水的沸点是100℃。
【答案】见解析。
【例4】已知二氧化碳和二氧化硅( SiO2)组成相近，二氧化硅俗称石英。
水晶是一种纯度较高的二氧化硅晶体，试从物理性质上分析两者的差异，思考为什么组成相近的物质性质也有那么大的差异。
【解析】二氧化碳是我们熟悉的物质，所以在对比时不难得出结论。
但关键在如何作全面的对比分析，借助我们平时研究物质的物理性质时的规律，从色、态、味，溶解性、熔、沸点着手，就可以发现它们的反差很大，所以用途也完全不同。
组成相近并不代表组成的物质结构相同，所以物质的性质是由多方面因素综合决定的。
兰纳琼斯势基础知识
记 因此有：
另外一种表达式：
h：两表面间的空气间隙； Wad：粘性力做工。 一般，为了简便，采用下式估算来代替兰纳琼斯势。
C U= r 6 r r0 r r0
这种简化对很多重要参数， 如平衡距离和结合能等影响不大， 却有利于计算。
h
单个原子和由相同原子构成的体之间的相互作用能为：
U a s =-
h
Cn Cn dV 2 r6 6h
可以计算两个固体的平行面的想呼呼作用能，假设每个平面都由相同的原子 构成，这种相互作用能是第一个物体沿 z 轴的积分乘以物体表面积 A 和原子密 度 n 得到的。
h
单位面积的相互作用能表示为：
2 Cn US S Cn2 =- dz 3 h A 6z 12h2
根据范德华力，若中性原子之间的距离大于或者等于其本身原子直径，就会 相互吸引。 两个距离为 r 的中性原子之间的相互作用势 Lennard-Jones 势来描述：
：势能阱深度。 ：是互相作用的势能正好为零时的两体距离。
在实际应用中，ε、σ 参数往往通过拟合已知实验数据或精确量子计算结果而 确定。两个原子之间的相互作用力为：
当 r r0 1010 m 时，分子间排斥力和吸引力平衡。分子间相互作用力为零，此 时成为平衡位置。
经过推导，两个原子之间的相互作用势能可以表示为两个表面之间的相互牵 引力。由兰纳琼斯势引起的表面作用力表示为
其中： z：两个接触平面面之间的距离。 当两表面之间的作用力为 0 时，其平衡距离 h0 为：
如果将两个物体从很远的地方移动到一起“直接接触”（接近 r0=10-10m）,则单 位面积相互作用力做的功为:
2 Cn W Cn 2 =- dz h A 6z3 12r02
计算材料学-14-3-2
Properties of Stilling-Weber potential
• Diamond structure has lowest energy. Other structures are de-stabilized by the three-body U3 term. • If the value of β is cos(109.47°) = −1/3 → U3=0, then the diamond lattice is the energetically favorable structure within SW potential.
共价键合的多体效应
在共价材料中原子间相互作用不仅取决于原子间距，而且与原子 间的成键方向密切相关。为了正确地描述共价键合，不仅要考虑 原子间的距离，而且要体现成键取向的变化对势函数的影响。
Stilling-Weber Potential
• Stillinger-Weber (1985) focused on silicon and constructed two-and three-body terms with 7 adjustable parameters. • The pair potential is a product of inverse powers and an exponential function (attractive and repulsive parts). • The three-body potential is the product of an exponential and a cosine function (this ensures directionality and mechanical stability for ideal tetrahedral angles (109.5°). • The potential is empirical but tested in both the solid and liquid states of Si. • The Stilling-Weber potential has been extended to many other tetracoordinated systems like Ge, GaAs, CdTe, etc.
计算材料学-14-1
2.
M.I. Eremets, V.V. Struzhkin, H.K. Mao, R.J. Hemley, Science 293: 272-274 (2001).
27
材料模拟的重要性－解释相变机制
Two typical reason of pressure-induced metallization 1. Structural transition from low coordination insulator to a high coordination metallic phase (e.g., Si, Ge) Band overlap due to the increased interatomic interactions with pressure (e.g., I)
25
材料模拟的重要性－预言新的结构相
Phys. Rev. B60, 14177(1999). (理论预言)
Germanium Clathrate
A. M. Guloy, et al., Nature 443, 320 (2006). (实验合成)
26
材料模拟的重要性－解释相变机制
1. Boron (in β-phase) transforms from a nonmetal to a metal (superconductor) at about 160 GPa. The critical temperature of the transition increases from 6 K at 175 GPa to 11.2 K at 250 GPa.
Gerbrand Ceder, “COMPUTATIONAL MATERIALS SCIENCE: Predicting Properties from Scratch”, Science, Vol 280, Issue 5366, 1099-1100 , 15 May 1998
高一化学上册 3.1《原子间的相互作用》课件 沪科版
二、化学键
相邻原子之间的强烈相互作用称为化学键。 离子键、共价键、金属键
Na
氯化钠的形成
Cl
电子转移
+11② ⑧ ①
⑦⑧②+17
+11 ② ⑧ Na+
⑧ ⑧② +17 +11 ② ⑧
NaCl
⑧ ⑧② +17 Cl–
氯化氢的形成
H +1
Cl +1 HCl
三、原子趋向稳定的途径 得失电子 ----活泼金属元素原子和活泼非金属元素原子间 电子共用 ----非金属元素的原子之间
离子的电荷 阳离子 Mg2+ NH4+ Ca2+ Na+ 阴离子 O2- Cl- SO42-
部分离子的 最外层2个电子 Li+ Be2+ 电子层结构 最外层8个电子 Na+ K+ Mg2+ Cl- O2-
离子的半径
阳离子半径小于相应的原子半径 阴离子半径大于相应的原子半径 电子层结构相同时，核大径小
三.离子化合物
以离子键结合的化合物叫离子化合物
离子化合物一般是晶体 ——离子晶体。
离子晶体的结构
离子晶体中，阴、阳离子按一定规律作空间排列
例 NaCl的晶体结构
离子晶体的性质
熔沸点较高 硬度较大 熔化时导电 溶于水时导电
ClNa+
NaCl是氯化钠的分子式吗？
在氯化钠晶体中, 不存(填在存在或不存在)分子；
物
子 式 表 示
❖ 已知：熔沸点NaCl>CsCl，则推测KCl， LiCl，CsCl熔沸点高低顺序。
答案: LiCl >KCl>CsCl
势晶体总的势能—N个原子两原子相互作用势能
2 j
2
设L是原子链的长度，是质量密度，T0为周期
mnj平方的动能时间平均值为
Knj
1 T0
T0 0
L 0
1 2
dx
dm nj dt
2 dt
w2j 2T0
L
dx
0
T0 a 2 cos2
0j
wjt
naq j
dj
dt
w2j
La
2 j
4
题目告知较高温度下每个格波的能量为kT
j
j
位移平方平均值为
m
2 n
m nj
m*nj
m
2 nj
m nj m*nj'
j
j
j
j j'
mnj取正和取负几率相等，第1项是主要项，忽略2nd项
m
2 n
m
2 nj
j
计算mnj平均值
m
2 nj
1 T0
T0 a 2
0j
sin2
wjt
a
故得证
(b) ul,m u( 0 )exp i lkxa mk ya wt 满足运动方程且
色散关系为 w2M 2c 2 coskxa coskya
M d 2ul,m c dt2
ul1,m ul1,m 2ul ,m
ul ,m1 ul ,m1 2ul ,m
3.1 已知一维单原子链，其中第j个格波，在第n个格点
引起的位移为，mnj=ajsin(wjt+naqj+dj)，dj为任意相
双原子之间的作用力
r r0 du (r ) 0 dr r0
第二章 晶体的结合
第 14 页
f (r0 ) 0
r0
n m
Bn Am
(2) (3)
A m U C U (r0 ) m (1 ) r0 n
互作用势能达极小值，由此决定原子
间的平衡距离r0。
此时的状态称为稳定状态。
荷间的库仑吸引力，长程作用； +B/rn :代表排斥能，来自同性电荷 间的库仑斥力及泡利原理所引起的 排斥力，总体表现短程作用。
第二章
晶体的结合
第 13 页
相互作用势能的一般性质
（1）平衡位置r0的确定： 图（a）：互作用势能曲线
图（b）: 互作用势能曲线的微商曲线
du( r ) mA nB f (r ) m 1 n 1 dr r r
1 k V
第二章
V P
T
第 12 页
晶体的结合
1、三维晶体参数与结合能的关系
相距r的两个原子之间的互作用势能用U(r)表示：
A B U (r ) m n r r
A、B、m、n皆为大于零的常数。
(1)
( m n)
-A/rm :代表吸引能，来自异性电
这表明，分子间的范德瓦尔斯－伦敦力引起的互作用势能与r-6成正比。 而由泡利原理产生的斥力作用，较难计算，一般由实验求得，排斥 势与r-12成反比 因此，一对分子间总的互作用势能为：
第二章
晶体的结合
第9页
Page 10
A B u( r ) 6 12 (11) r r or
12 6 u( r ) 4 (12) r r A2 B , 4B A
晶体的结合能、内能、原子间相互作用势能之间的区别
晶体的结合能、内能、原子间相互作用势能之间的区别晶体是由大量原子或分子组成的固体材料，它具有一定的结构和周期性，具有一定的热力学性质。
在研究和理解晶体性质的过程中，结合能、内能和原子间相互作用势能是重要的概念。
它们之间存在着一些区别和联系，接下来我将详细介绍这三个概念。
首先，我们来讨论结合能。
结合能是指晶体中各个原子之间的结合程度。
它代表了形成或破坏一个晶体所需要的能量。
结合能的大小可以反映晶体的稳定性和强度。
在晶体中，原子或分子之间通过化学键来相互结合，形成晶体的稳定结构。
不同类型的物质有不同的结合方式，例如离子晶体是通过离子键相互结合，而共价晶体是通过共价键相互结合。
结合能可以通过实验或计算方法来确定，它通常以能量的形式表示，单位为焦耳或电子伏特。
其次，我们来谈谈内能。
内能是指晶体中各个原子或分子的总能量。
它包括晶格振动能、电子能和其他能量形式。
晶体的内能与其温度和压力有关。
在晶体中，原子或分子通过振动和相互作用来形成晶格结构。
晶格振动能是晶体中原子或分子振动的能量，它与温度相关，随着温度的升高而增加。
电子能是晶体中电子的能量，它与原子或分子内部的电子分布和电子运动状态有关。
除了晶格振动能和电子能，晶体中还可能存在其他能量形式，例如电磁能、磁能等。
内能可以通过实验或计算方法来确定，它通常以能量的形式表示，单位为焦耳或电子伏特。
最后，我们来探讨原子间相互作用势能。
原子间相互作用势能是指晶体中相邻原子或分子之间相互作用的能量。
它描述了晶体中原子或分子之间的相互作用强度和性质。
在晶体中，原子或分子之间的相互作用可以通过势能函数来描述，其中吸引势能和排斥势能是两个主要成分。
吸引势能是由于原子或分子之间的吸引力而产生的，它使得晶体能够形成稳定的结构。
排斥势能是由于原子或分子之间的排斥力而产生的，它使得晶体中原子或分子之间保持一定的距离。
原子间相互作用势能可以通过实验或计算方法来确定，它通常以能量的形式表示，单位为焦耳或电子伏特。
原子间相互作用势解读
微观尺度材料设计原子间相互作用势
晶体的结合-晶体的类型
金属晶体：结合力主要依靠原子实和电子云间的静 电库仑力。金属晶体一般为密堆结构，配位数为 12 ； 少数金属具有体心立方结构，配位数为8。金属晶体 的结合能一般比较小，但过渡金属的结合能比较大。 金属晶体的导电性能好、一般熔点低，过渡金属的 熔点比较高。 典型的金属晶体：I、II及过渡元素
晶体的结合-晶体的类型
氢键晶体：结合力主要依靠氢原
子与电负性很大而原子半径较小
的两个原子结合成 XHY 强 键弱键形式。氢键晶体的结合 能一般比较低、氢键具有饱和性。 典型的氢键晶体：H2O
微观尺度材料设计原子间相互作用势
晶体的结合-结合力的一般性质
力函数 平衡位置
最大有效位置
du (r ) f (r ) dr du (r ) r0 0 0 dr d 2u ( r ) rm 0 2 dr
微观尺度材料设计原子间相互作用势
晶体的结合-晶体的类型
离子晶体：结合力主要依靠正、负离 子间的静电库仑力。离子晶体的结合 能一般在 800kJ/mol 、配位数最多为 8 。 离子晶体的结合稳定性导致导电性能 差、熔点高、热膨胀系数小等特征。 大多数离子晶体对可见光透明，在远 红外区有一个特征吸收峰。 典型的离子晶体：I-VII、II-VI
ij 也可以是的函数。
微观尺度材料设计原子间相互作用势
原子间相互作用势-对势
Lennard-Jones势
n m 0 A B r0 r0 (r ) n m m n r nm r r r
(r ) 4 r
12
Байду номын сангаас
(完整版)第三章 晶格振动与晶体热学性质1
第三章晶体热振动与晶体的热学性质3。
1一维单原子链3。
1。
1一维原子间相互作用势图 3—1-1 一维单原子晶格考虑由N 个相同的原子组成的一维晶格，如图 3-1-1 所示，相邻原子间的平衡距离为 a ，第 j 原子的平衡位置用x0j来表示，它偏离平衡位置的位移用 u j来表示，第 j 原子的瞬时位置就可以表示为:（3-1-1）原子间的相互作用势能设为,如果只考虑晶体中原子间的二体相互作用，则晶体总的相互作用能可表示为：（3-1—2)式中是 i 、 j 原子的相对距离，是 i ， j 两原子的相对位移，在温度不太高时，原子在平衡位置附近作微振动，相邻原子的相对位移要比其平衡距离小得多,可将展开为：（3-1—3)于是有:（3—1-4）式中第一项是所有原子处于平衡位置上时的总相互作用能，用 U 0来表示，是 U 的极小值,(3-1—5)第二项是的线性项，它的系数为: ，是所有其它原子作用在 i 原子的合力的负值，当所有原子处在平衡位置上时,晶体中任一原子所受到的净作用力应为零，所以在式( 3-1-4 ）中不存在位移的线性项。
因此，(3-1-6)式中：（3-1—7）称为力常数。
3。
1。
2 简谐近似下运动方程若在 U 的展开式中，忽略 u 的高次项而仅保留到 u 的平方项，即有(3—1—8）这种近似称为简谐近似。
由此可以得出第 n 原子的运动方程式为：(3-1-9）式中 m 为原子的质量，如果只考虑最近邻的相互作用，在上式中只保留i=n+ 1 和i = n —1 两项，且令，则可得到形式上很简单的运动方程式：(3-1-10）3。
1.3 周期性边界条件对于无限大的晶体，每个原子都有形如式( 3-1—10 ）的运动方程,但实际上晶体是有限大的，处在表面上（对一维晶格来说是两端上）的原子所受到的作用与内部原子不同，其运动方程式应有不同,使问题变复杂.为解决这一问题，需要引入边界条件,常用的边界条件是所谓的周期性边界条件，是玻恩—卡曼提出的,又称为玻恩 - 卡曼边界条件。
计算材料学-14-3-1
E total
1 N = ∑ φ ij (rij ) + U (Ω) （Ω为原子平均体积） 2 i ≠ j =1
对 势
对 势
描述vdW作用的Lennard-Jones 势
范德瓦尔斯（vdW）作用：基本不存在电子密度的交叠，相互作 用源于原子/分子间量子力学涨落的耦合，包括偶极子－偶极子、 偶极子－诱发偶极子、诱发偶极子－诱发偶极子的耦合等。典型 的vdW作用如惰性元素原子间作用，分子间相互作用等。 r
Energy
σ = Effective atom size
σ 12 σ 6 A B − 6 + 12 = φ (r ) = 4ε − r r r r
• 仅仅两个参数 – 较简单和需要少的数据来拟合 • 适合于惰性气体元素 (Ne, Ar, Kr, Xe) • 参数能通过拟合气相数据导出
Lennard-Jones solid
σ 12 σ 6 φ (r ) 4ε − For each pair of atoms = r r
For solid (fcc lattice) the total potential energy can be written
势函数的拟合
势函数可以采取不同的函数形式，通常拟合过程将消除势函数 解析形式中所包含的物理因素。
势函数的一般性质
力函数 平衡位置 最大有效位置 内能 压强
du (r ) f (r ) = − dr du (r ) r0 = 0 = 0 dr d 2u ( r ) rm = 0 2 dr
1 N N U (r ) = ∑∑ u(rij ) 2= i 1 j ≠i
− = −8.6ε u (r0 ) = 2 A12
原子间相互作用势
氢键晶体：结合力主要依靠氢原 子与电负性很大而原子半径较小 的 两 个 原 子 结 合 成 XHY 强 键弱键形式。氢键晶体的结合 能一般比较低、氢键具有饱和性。 典型的氢键晶体：H2O
微观尺度材料设计原子间相互作用势
❖晶体的结合-结合力的一般性质
力函数 平衡位置
f (r) du(r) dr
微观尺度材料设计原子间相互作用势
❖晶体的结合-晶体的类型
分子晶体：结合力主要依靠瞬时偶极 矩的相互作用 范德瓦耳斯力。分子 晶体的结合能很低、以密堆结构排列、 配位数为12。分子晶体导电性能差、 熔点低。分子晶体对可见光透明。分 子晶体分为极性和非极性两大类。 典型的分子晶体：VIII
微观尺度材料设计原子间相互作用势
❖原子间相互作用势-基于有效介质方法
EMT和EAM势：有效介质理论和嵌入原子方法的物理思
想起源于Friedel提出的原子嵌入能概念。原子嵌入能的
基本思想是：原子的凝聚能主要取决于该原子所占据位
置的局域电子密度。
Etotal
i
Fi
( h,i
)
1 2
i j
ij
(rij
)
h,i
j
i
a j
(rij
在FBD- EAM方法中, 排斥对势的形式为
ij (r) Zi (r)Z j (r) / r
Z(r) Z0 (1 r ) exp(r)
微观尺度材料设计原子间相互作用势
❖原子间相互作用势-EAM势
FBD-EAM势的有关参数和所选用的原子构型
Cu
Ag
Au
Ni
Pd
Pt
Z0
11.0
11.0
原子间引力公式范文
原子间引力公式范文引力是自然界中最重要的基本力之一，它对我们的生活和科学研究有着重要的影响。
通过研究原子间引力，我们可以了解和解释物质的结构和性质。
在本文中，我将详细讨论原子间引力的公式以及其应用。
首先，我们需要了解原子间引力的概念。
原子间引力是指两个或多个原子之间的相互作用力，这种力的大小取决于原子之间的距离和它们之间的性质。
原子间引力是由于原子之间的静电相互作用而产生的，其中正电荷与负电荷相吸引，正电荷与正电荷或负电荷与负电荷相斥。
这种引力决定了原子的排列方式和物质的物理性质。
F=k(q1*q2)/r^2其中，F表示引力或斥力的大小，k是库仑常数，q1和q2是两个原子上的电荷，r是两个原子之间的距离。
库仑定律指出，原子间引力与电荷的乘积成正比，与两个原子之间的距离的平方成反比。
这意味着，如果两个原子上的电荷增加，它们之间的引力也会增加；如果两个原子之间的距离增加，它们之间的引力会减小。
这个公式的应用非常广泛，不仅可以用来描述原子间引力，还可以用来描述分子间引力、电场、介质的极化等现象。
它为我们解释物质的性质和现象提供了重要的数学工具。
然而，实际情况并非总是简单的，有时我们需要考虑更多的因素来描述原子间引力。
例如，当原子之间存在电荷分布不均匀、极化效应或多极相互作用时，库仑定律需要进行修正。
这些修正包括使用多项式来描述电荷分布、引入极化能量项等。
除了库仑定律之外，还有其他描述引力的公式。
例如，范德瓦尔斯力是一种描述非极性分子或原子之间引力的常见公式，它可以用以下公式表示：F=-(A/r^6)+(B/r^12)其中，F表示引力的大小，A和B是与分子之间的极化和形状相关的常数，r是分子之间的距离。
范德瓦尔斯力公式是原子间引力研究的重要工具，它可以解释很多实际问题，如液体的表面张力、气体的相变等。
总之，原子间引力是一种重要的相互作用力，它决定了物质的结构和性质。
库仑定律和范德瓦尔斯力公式是描述原子间引力的常用公式，它们为我们研究和理解物质的行为提供了重要的数学工具。
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• Reference system: an atom in a FCC crystal. The lattice constant of the reference crystal should match the density of the actual system. Use a measure for the local electron density as the map.
K.W. Jacobsen, M. Puska and J. K. Nørskov, Surf. Sci. 366, 394 (1996); Phys. Rev. B 35, 7423 (1987).
Effective medium theory (EMT)
• •
Blue lines: Electron density from blue atoms. Green line: Sum of contributions from blue atoms. This is the embedding density of red atom.
The Sutton-Chen potential provides a reasonable description of various bulk properties, with an approximate many-body representation of the delocalized metallic bonding. However, it does not include any directional terms, which are likely to be important for transition metals with partially occupied d shells.
Electron density ρ
ion ion
EAM框架下内聚能的一般形式
镶嵌原子势的内聚能表述
电子密度和镶嵌函数
原子的电子密度函数
0.02 (a)
0.02 (b)
ρ(R ) (10 e/nm )
ρ(R) (10 e/nm )
3
3
0.01
←
0.01
←
Pt
3
ACu → 0.00 2.0 3.0
EAM和SC势比较适用于没有成键取向结构的密堆金属； TB和FS势更适用于具有体心立方结构的过渡金属； EMT势的势函数计算往往过于复杂。
Effective medium theory (EMT)
• Energy differences are easier to calculate than energies. Choose a reference system with a known energy, and concentrate on the energy difference.
Glue potential for Au
Phonon dispersion of Au. Lines: glue potential; dots: experiments
Force matching method
http://www.ud.infn.it/~ercolessi/forcematching.html
• • • • • •
Effective medium theory (EMT): Phys. Rev. B26, 2875 (1982). EAM potential: Phys. Rev. Lett. 50, 1285 (1983). Finnis-Sinclair (FS) potential: Philos. Mag. A 50, 45 (1984). Glue potential: Phys. Rev. Lett. 57, 719 (1986). Sutton-Chen (SC) potential: Philos. Mag. Lett. 61, 139 (1990). Tight-binding (TB) potential: Phys. Rev. B 48, 22 (1993).
镶嵌原子方法(embedded atom method, EAM)
EAM的物理图像
镶嵌原子方法的物理思想起源于 Friedel提出的原子嵌入能概念， 即：原子的凝聚能主要取决于该原 子所占据位置的局域电子密度。后 来也和密度范函理论建立了联系。 ion ion ion ion ion ion ion ion
Original ideal: J. K. Nørskov, Phys. Rev. B 26, 2875 (1982).
Effective medium theory (EMT)
Eref: the energy of the reference system; EAS is the correction. • The energy of an atom (and thus its force) is a function of the position of the atoms in a local neighbourhood. • Lessons from quantum mechanics are built into the functional form.
Sutton-Chen potential
• • • •
C: a dimensionless parameter ε: a parameter with dimensions of energy, α: lattice constant, m, n: positive integers with n>m
Effective medium theory (EMT)
Effective medium theory (EMT)
Phonon dispersion relation for Al. Lines: EMT, dots: experiment
Finnis-Sinclair potential
The FS potential incorporates the band character of metallic cohesion and allows to obtain correct values for the vacancy formation and cohesive energy. It reproduces the lattice constants, bulk modulus and surface energy accurately.
Philos. Mag. Lett. 61, 139 (1990).
Tight-binding potential
• Cohesive energy due to d electron
Friedel model of d band
EF=W(Z-5)/10
•
Bandwidth W computed from 2rd moment of density of state for d band
Pd Ni 2.0
→
0.00
4.0 5.0 6.0
3.0
4.0
5.0
6.0
R (0.1 nm)
R (0.1 nm)
“Training” of parameters
拟合EAM参数采用的典型实验数据
EAM在金属中的成功应用
基于镶嵌原子思想的各种经验势
基于镶嵌原子的思想, 先后发展出了描述原子间相互作用势的有效介 质理论(EMT)、镶嵌原子方法(EAM) 、紧束缚势(TB) 、二级矩近似 (SMA) 和胶体模型(Glue model) 等。它们的区别在于镶嵌能的非线性 表述不同或是镶嵌密度的测度不一样。
Glue potential for Au
F. Ercolessi, M. Parrinello and E. Tosatti, Philos. Mag. A 58, 213 (1988)
Glue potential for Au
Glue potential for Au
Lattice parameter of Au as function of temperature. Line: MD simulation using glue potential; Dots: experiment
计算材料学第三章 原子间相互作用势
赵纪军
三束实验室，物理学院&高科技研究院 Email: zhaojj@，电话：84709748
计算材料学第三章
3-2. 金属键合的经验势描述
描述金属键合的基本要求 • The main physical point to model is that bonds become weaker when the local environment becomes more crowded (consequence of the Pauli principle). • The potentials must be able to reproduce the energy difference between FCC, HCP and BCC.
Philos. Mag. A 50, 45 (1984).
Glue potential
In 1983-1986, Ercolessi et al. developed the glue model, a formulation containing a density-dependent many-body term in addition to usual two-body interactions. This term allows to mimic the "gluing" character of the cohesion due to conduction electrons in metals: ions have a low energy as long as they are immersed in the "electron sea", while the exact position of neighbouring ions is relatively unimportant. This led us to write a Hamiltonian where a short-ranged "density function" is attached to atoms, so that for each atom in the system we can compute an effective coordination defined as the sum of all the density contributions coming from neighboring atoms. The energy of this atom will then depend non-linearly upon this effective coordination. The non-linearity of the energy dependence upon coordination essentially models this physical fact, ultimately a consequence of Pauli's principle: the strength of individual bonds decreases as the local environment becomes more crowded. In contrast, with two-body potentials the strength of individual bonds does not depend on the environment. This feature is crucial to capture the physics of bonding in metals. http://www.ud.infn.it/~ercolessi/potentials/