倒易点阵介绍
倒易点阵概念
倒易点阵概念
倒易点阵是一种用于描述晶体结构中原子排列和晶格常数的强大数学工具。
在倒易点阵中，一系列点表示晶格中原子位置的倒易矢量，这些点对应着晶体结构中的原子位置。
通过这些倒易点阵，我们可以计算出晶格常数、原子间距以及晶格结构中的对称性和对称元素。
倒易点阵的概念在晶体学和材料科学中具有极其重要的意义。
首先，它可以帮助我们深入理解晶体的结构和性质。
通过倒易点阵，我们可以直观地观察到原子在晶体中的排列和分布，从而更好地理解晶体的构造和形成机制。
此外，倒易点阵还可以帮助我们预测和解释晶体的物理和化学性质。
通过对倒易点阵的分析，我们可以推断出晶体的力学、光学、电学等性质，为材料科学的研究和应用提供重要依据。
此外，倒易点阵还可以用于计算晶体结构中的对称性和对称元素。
对称性是晶体学中的一个核心概念，它涉及到晶体的几何结构和物理性质。
通过对称性分析，我们可以了解晶体的稳定性和各向异性等特点，从而更好地理解晶体的性质和应
用。
倒易点阵是一种强大的工具，可以帮助我们理解和描述晶体的结构和性质。
它是晶体学和材料科学领域的重要概念之一，对于研究晶体的物理和化学性质、探索新的材料和设计具有广泛应用价值。
倒易点阵
＊
* * * * * a r*001 * * * * * * *c * β * *
＊
＊
202 ＊ ＊ r*001 ＊ ＊
a* = r*200 = 1/d200 = 2/(a.cos[β-90])= 2/(a.sinβ) b* = r*002 = 1/d002 = 2/b c* = r*001 = 1/d001 = 1/(c.cos[β-90])= 1/(c.sinβ) ＊
5、对于面心型，指数同为偶数或奇数的晶面才出现； 、对于面心型，指数同为偶数或奇数的晶面才出现； (111) (220)
(200)
（三）、倒易点阵小结 ）、倒易点阵小结
1、均为无限的周期点阵， 、均为无限的周期点阵， 2、正点阵的晶面对应于倒易点阵的阵点（除有公因子指数外）； 、正点阵的晶面对应于倒易点阵的阵点（除有公因子指数外）； 3、晶系不变，为11种中心对称的劳厄点群； 种中心对称的劳厄点群； 、晶系不变， 种中心对称的劳厄点群 4、P->P*, C->C*, I->F*, F->I*，即对复合单胞出现倒易点阵系统消光， 、 ，即对复合单胞出现倒易点阵系统消光， 立方系指数表见下表
r∗ r∗ r r r∗ r∗ r rhkl ⋅ AB = (ha + kb + lc ) (b / k − a / h) = 1 − 1 = 0 r∗ r c ∴ rhkl ⊥ AB r r∗ 同理可证： 同理可证： rhkl ⊥ AC C r b r∗ rhkl ⊥ BC B
∴
性质一证明 r r r r O A = a / h OB = b / k
1/ a2 cos γ * G* = ab 0
cos γ * ab 1/ b2 0
倒易点阵介绍
n O
光程差 On Am OA S OA S0 OA ( S S0 )
相应的位向差为
2
2
( S S0 )
OA
其中p、q、r是整数 因为S0是入射线方向单位矢量, S是衍射线方向为单 位矢量，因此S- S0是矢量，则：(S S0 ) * *
2
1/
A
O
S0 /
5 、以S0端点O点为原点，作
倒易空间，某倒易点（代表
某倒易矢量与hkl面网）的 端点如果在反射球面上， 说明该g*=S, 满足Bragg’s Law。某倒易点的端点如果
P
S/
S S0 g
2
不在反射球面上， 说明不
满足Bragg’s Law，可以直
1/
A
O
S0 /
25
概念回顾
以A为圆心，1/λ 为半径所做的球称为反 射球，这是因为只有在这个球面上的倒 易点所对应的晶面才能产生衍射。有时 也称此球为干涉球， Ewald球。 围绕O点转动倒易晶格，使每个倒易点 形成的球称为倒易球 以O为圆心，2/λ 为半径的球称为极限球。
26
大倒易球半径为
g=1/d≤ 2/:
hkl
即 d hkl
2
S/的晶面不Fra bibliotek1/
2 C S0/
g
O
Direction of direct beam
可能发生衍射
Sphere of reflection
极限球
Limiting sphere
关于点阵、倒易点阵及Ewald球的思考
(1) 晶体结构是客观存在，点阵是一个数学抽象。 晶体点阵是将晶体内部结构在三维空间周期平移这 一客观事实的抽象，有严格的物理意义。 (2) 倒易点阵是晶体点阵的倒易，不是客观实在， 没有特定的物理意义，纯粹为数学模型和工具。 (3) Ewald球本身无实在物理意义，仅为数学工具。 但由于倒易点阵和反射球的相互关系非常完善地描 述了X射线和电子在晶体中的衍射，故成为研究晶 体衍射有力手段。
倒易点阵
倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• 劳厄方程
当相邻原子的散射X射线光程差等于 入射X射线波长整数倍时发生衍射。
a(cosα-cosα0) = Hλ
一维原子列的衍射示意图
倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• 劳厄方程
设空间点阵的三个平移向量为a ,b和c,入射的X射线与它们的交角分别为α0，β0和γ0。 衍射方向与它们的交角分别为α，β和γ 。根据上述讨论可知，衍射角α，β和γ在x, y, z三个轴上应满足以下条件：
单晶体电子衍射花样标定
• 确定零层倒易截面上各ghkl矢量端点(倒易阵点)的指数，定出零层倒易截面的 法向(即晶带轴[uvw])，并确定样品的点阵类型、物相及位向。 (1)测量靠近中心斑点的几个衍射斑点至中心斑点距离R1、R2、R3、R4…及 R1与R2、R1与R3等衍射斑点之间的夹角。 (2) 计算R12∶R22∶R32∶…=N1∶N2∶N3∶… 其中N = h2 + k2 + l2
故
于是，它们的点乘 根据倒易基矢定义式，显然有
和
都为0。
倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• „ 劳厄的一个科学假设
1911年埃瓦尔德在索末菲的指导下在慕尼黑大学从事博士论文研究，劳厄在 与他的讨论中了解到晶格的平移周期与X射线的波长属于同一量级，因此想到 在二维光栅的两个衍射方程组中再加一个类似的方程，就可以描述X射线在三 维晶体中的衍射。 在此假设的指导下，Knipping和Friedrich在1912年4月开始用CuSO4 后来 用闪锌矿（立方ZnS）进行实验，很快就得到X射线衍射的证据。这不但证明 了X射线的波动性，还确定了晶体的三维周期性。
a*、b*、c*
即倒易基矢
倒易点阵名词解释
倒易点阵名
倒易点阵是由被称为倒易点的点所构成的一种点阵，它也是描述晶体结构的一种几何方法，它和空间点阵具有倒易关系。
倒易点阵中的一倒易点对应着空间点阵中一组晶面间距相等的点格平面。
倒易点阵的概念在晶体结构和固体物理学中都有十分重要的作用。
到目前为止，大多数教程都是在密勒指数或晶面指数无关的情况下来定义倒易点阵概念的。
由于晶面指数的概念出现得很早，有一些老的晶体学和固体物理学教程中甚至没有提到倒易点阵这个概念。
在目前流行的固体物理学教科书中，对倒易点阵均有叙述，而且处处应用。
但是，倒易点阵概念的引入比较生硬，对倒易点阵与晶面指数的关系交待得不够清楚。
晶体学基础-倒易点阵
倒易点阵晶体学中最关心通常是晶体取向，即晶面的法线方向。
倒易点阵是在晶体点阵的基础上按一定对应关系建立起来的空间几何图形（倒易空间），是晶体点阵的另一种表达形式。
将晶体点阵空间称为正空间。
倒易空间中的结点称为倒易点。
部分。
a a * = b把正点阵基矢与倒易点阵基矢的关系代入，得正点阵与倒易点阵的关系•O 点到(hkl)晶面的垂直距离就是晶面间距d hkl 。
倒数关系（大小）●d hkl =h a H H H1=•确定倒易矢量H ，就确定了正点阵晶面。
S hkl P 及Q ⊥•倒易矢量[hkl]的大小（模）就是其正点阵中相邻平行(hkl)晶面间距的倒数。
(倒—Reciprocal)进行矢量相乘并且展开。
a H hkl •在倒易点阵中，从原点指向阵点[坐标hkl ]的倒易矢量H hkl = ha* +kb* +lc*•H hkl 必和正点阵的(hkl )面垂直，•即倒易点阵的阵点方向[hkl ]*和正点阵的(hkl )面垂直：[hkl ]*⊥(hkl )。
CBAx y z(010)(100)(001)a例：由单斜点阵导出其倒易点阵•单斜点阵：b轴垂直于a和c轴。
左图图面为（010）面。
•从作图可以看出，正点阵和其对应的倒易点阵同属一种晶系。
把上面三个式子写成矩阵形式：•同理，可按下式求出与方向指数为[uvw]的方向相垂直的面的面指数(hkl):•例如，对立方系而言，a*●a* = b* ●b* = c*●c *=1/a2;a*●b* = b* ●c* = c*●a *=0;•u:v:w=h:k:l。
所以(hkl)面的法线指数和面指数同名，即为[hkl]。
倒易点阵 晶体结构
倒易点阵晶体结构倒易点阵晶体结构倒易点阵晶体结构是一种特殊的晶体结构，它具有许多独特的性质和应用。
本文将介绍倒易点阵晶体结构的基本概念、性质和应用。
一、基本概念倒易点阵是指在晶体中原子或分子排列的方式。
晶体是由周期性排列的原子或分子组成的固体，而倒易点阵则是晶体中原子或分子排列的镜像。
倒易点阵具有高度的对称性和周期性，其结构可以用倒易点群来描述。
二、性质1. 高度的对称性：倒易点阵具有高度的对称性，这是由于晶体中原子或分子的周期性排列所决定的。
倒易点阵的对称性可以通过倒易点群来描述，倒易点群是一组对称操作，包括旋转、镜像和反演等操作。
2. 布拉格定律：倒易点阵的周期性排列使得它们能够散射入射的电磁波。
布拉格定律描述了散射波与倒易点阵的相互作用。
根据布拉格定律，散射波的波矢量与倒易点阵的倒格矢量之间满足关系式：2π/λ = |G|，其中λ是散射波的波长，G是倒格矢量的模长。
3. 能带结构：倒易点阵的周期性排列使得它们具有能带结构。
能带结构是描述固体中电子能量与动量关系的理论。
倒易点阵的能带结构对于材料的电子输运和光学性质具有重要影响。
三、应用倒易点阵晶体结构在许多领域都有重要的应用，以下列举几个典型的应用：1. 光学器件：倒易点阵晶体结构具有特殊的光学性质，可用于制造光学器件。
例如，倒易点阵光纤具有高度的光学导引性能，可用于制造光纤通信设备。
2. 光子晶体：倒易点阵晶体结构可以形成光子禁带，即在某一频率范围内禁止光的传播。
光子晶体具有重要的光学性质，可用于制造光学滤波器、光学调制器等光学器件。
3. 电子器件：倒易点阵晶体结构对于电子输运具有重要的影响，可用于制造电子器件。
例如，倒易点阵晶体管具有优良的电子输运性能，可用于制造高频放大器和微波器件。
4. 气体吸附：倒易点阵晶体结构具有大的表面积和孔隙度，可用于吸附气体。
倒易点阵材料可以用作气体传感器、催化剂和分离膜等。
四、总结倒易点阵晶体结构是一种特殊的晶体结构，具有高度的对称性和周期性。
倒易点阵介绍重点
8
衍射条件
设:入射线波长为λ ,入 射线方向为单位矢量S0, 衍射线方向为单位矢量S, 那么在S方向有衍射线的 条件是:在与S方向相垂 直的波阵面上,晶体中各 原子散射线的位向相同。 先计算原点O和任一原子 A的散射线在与S方向的 位向差。
g
1
m
θ
hkl
A
θ θ
S 2 (S-S0) (HKL) S0
n O
光程差 On Am OA S OA S0 OA ( S S0 )
相应的位向差为
2
2
( S S0 )
OA
其中p、q、r是整数 因为S0是入射线方向单位矢量, S是衍射线方向为单 位矢量，因此S- S0是矢量，则：(S S0 ) * *
6
1. 倒易矢量 ghkl 垂直于正点阵中相应的 [hkl] 晶面，或 平行于它的法向Nhkl 2.倒易点阵中的一个点代表的是正点阵中的一组晶面
ghkl=h a*+k b*+lc* 表明：
7
晶带定理
在正点阵中，同时平行于某一晶 向[uvw]的一组晶面构成一个晶带， 而这一晶向称为这一晶带的晶带 轴。 图示为正空间中晶体的[uvw]晶带 图中晶面（h1k1l1）、（h2k2l2）、 （h3k3l3）的法向N1、N2、N3和倒 易矢量gh1k1l1、gh2k2l2、gh3k3l3的方 向相同. 晶带定理：因为各倒易矢量都和 其晶带轴r=[uvw]垂直，固有 ghkl•r=0 ，即 hu+kv+lw=0, 这就 是晶带定理。
(S-S0)/λ= 2sinθ )/λ=ghkl=1/d
2dsinθ =λ
倒易点阵
倒易点阵:晶体点阵结构与其电子衍射斑点之间可以通过另外一个假想的点阵很好地联系起来，这就是~零层倒易截面：电子束沿晶带轴的反向入射时，通过原点的倒易平面只有一个，我们把这个二维平面叫做~消光距离：透射束或衍射束在动力学相互作用的结果，在晶体深度方向上发生周期性的振荡，这种振荡的深度周期叫做~明场像：通过衍射成像原理成像时，让透射束通过物镜光阑而把衍射束挡掉形成的图像称为明场像。
暗场像：通过衍射成像原理成像时，让衍射束通过物镜光阑而把透射束挡掉形成的图像称为暗场像。
衍射衬度：由于样品中不同位向的晶体的衍射条件不同而造成的衬度差别叫~质厚衬度：是建立在非晶体样品中原子对入射电子的散射和透射电子显微镜小孔径角成像基础上的成像原理，是解释非晶态样品电子显微图像衬度的理论依据。
二次电子：在入射电子束作用下被轰击出来并离开样品表面的样品的核外电子叫~吸收电子：入射电子进入样品后，经多次非弹性散射能量损失殆尽，然后被样品吸收的电子。
透射电子：如果被分析的样品很薄，那么就会有一部分入射电子穿过薄样品而成为透射电子。
结构消光：当Fhkl=0时，即使满足布拉格定律，也没有衍射束产生，因为每个晶胞内原子散射波的合成振幅为零。
这叫做~分辨率：是指成像物体（试样）上能分辨出来的两个物点间的最小距离。
焦点：一束平行于主轴的入射电子束通过电磁透镜时将被聚焦在轴线上一点。
焦长：透镜像平面允许的轴向偏差.景深：透镜物平面允许的轴向偏差.磁转角：电子束在镜筒中是按螺旋线轨迹前进的，衍射斑点到物镜的而一次像之间有一段距离，电子通过这段距离时会转过一定的角度.电磁透镜：透射电子显微镜中用磁场来使电子波聚焦成像的装置。
透射电子显微镜：是以波长极短的电子束作为照明源，用电磁透镜聚焦成像的一种高分辨率，高放大倍数的电子光学仪器。
弹性散射：当一个电子穿透非晶体薄样品时，将与样品发生相互作用，或与原子核相互作用，或与核外电子相互作用，由于电子的质量比原子核小得多，所以原子核入射电子的散射作用，一般只引来电子改变运动方向，而能量没有变化，这种散射叫做弹性散射。
1-4倒易点阵
四、倒易点阵
2 怎样拟定倒易点阵
2.1 什么是倒易基矢 我们将正点阵中晶胞中旳a、b、c、、、六个点阵
常数用三个基矢 a、b、c 来替代，那么 a、b、c 就能
四、倒易点阵
4 实际晶体中旳倒易点阵
倒易点阵中出现节点旳条件： 正点阵中相互平行旳（hkl）面旳全体包括（经过）全部旳正点阵节 点。 例如：BCC和FCC旳（002）平行晶面族包括了全部原子
（001）平行晶面族只包括了二分之一原子 所以：在BCC和FCC旳倒易点阵中只出现（0，0，2）节点，而不 出现（0，0，1）节点。
四、倒易点阵
1 什么是倒易点阵
• 为了从几何学上形象旳拟定衍射条件， 人们就找到一个新旳点阵（倒易点阵），使 其与正点阵（实际点阵）相相应。
•
相应旳条件：新点阵中旳每一个结点都 相应着正点阵旳一定晶面，该结点既反O映P 该
晶面旳取向也反映该晶面旳面间距。
•
具体条件：OP 1/d(hkl)
• a. 新点阵中原点O到任意结点P(hkl) （倒易 点）旳矢量 正好沿正点阵中{hkl}面旳法 线方向。
（100）
四、倒易点阵
2.2 怎样拟定倒易基矢 2经过怎正样点拟阵定，倒能易够点得阵到：
d(100) =a
b b
c c
（2）
将（2）式代入（1）式得到：
a*= bc bc abc V
一样：b*
=
c
a V
c*
ab V
V 为正点阵晶胞旳体积。
（100）
四、倒易点阵
2 怎样拟定倒易点阵
倒易点阵概念
倒易点阵概念倒易点阵是一种特殊的图像处理技术，它是通过将图像的像素点进行重新排列，从而使得图像中的信息阅读不受制于字的排列顺序。
倒易点阵的设计旨在提高人类对图像信息的识别速度和准确性。
下面是对倒易点阵概念的详细回答。
倒易点阵的概念最早由日本的科学家田岛丰提出。
他观察到人类在日常生活中，识别一张印刷的纸张或屏幕上的信息时，通常通过目光在信息区域内跳跃以快速获取所需的信息。
这种目光跳转的方式导致我们需要先看一遍信息，再进行二次搜索来确保没有漏掉任何重要的细节。
倒易点阵技术正是通过重新排列图像的像素点来解决这个问题。
倒易点阵的原理很简单，就是将图像的像素点按照某种规则进行重新排列，通过矩阵的方式呈现给人眼。
这样一来，我们只需要一次扫视整个图像，就可以直接获取到所需的信息，而不需要再进行二次搜索。
在倒易点阵中，每个像素点的位置都被重新指定。
尽管像素点的位置改变了，但是图像的信息仍然可以被准确地还原出来。
这是因为倒易点阵技术充分利用了人脑对于横向和纵向线条的感知能力。
通过合理地调整像素点的位置，倒易点阵不仅可以保持图像信息的完整性，而且还可以提高人类对图像信息的识别速度和准确性。
倒易点阵技术可以应用于各种领域，例如印刷、屏幕显示、电子书阅读器等。
在印刷领域，倒易点阵可以使得书籍和报纸的阅读更加高效和方便。
通过使用倒易点阵技术，读者可以在一次扫视中获取到所需的信息，无需二次搜索整个页面。
倒易点阵技术在屏幕显示领域也有广泛应用。
例如，在智能手机和平板电脑上，通过倒易点阵技术可以提高用户对图像和文字的阅读体验。
用户在阅读电子书或浏览网页时，可以更快速地获取信息，更加方便地阅读和学习。
此外，倒易点阵技术还可以应用于电子书阅读器中。
传统的电子书阅读器需要读者滑动屏幕或按键翻页，才能够看到下一页的内容。
而通过使用倒易点阵技术，读者只需要一次扫视屏幕，就可以获取到整页的内容，从而提高了阅读的效率。
倒易点阵是一个创新的图像处理技术，它通过重新排列图像的像素点，改变图像的表达形式，提高了人类对图像信息的识别速度和准确性。
倒易点阵介绍综述
(2) 波长连续， 使Ewald球的数 量增加，即球壁 增厚（Laue法）
S / 1/
A
S 0 /
O
Δλ
增大晶体产生衍射几率的方法
（ 3 ） Ewald 球 不 动 ， 增 加随机分 布的晶体 数量 ， 相当于围绕O点转动倒易
S / 1/ hkl
晶格，使每个倒易点均
形成一个 球 （倒易 球 ）。 （粉晶法的基础）
OA pa qb rc
ha k b l c*
现在不明确h、k、l一定是整数。由：
2
( S S0 )
可见，只有当φ =2π n时，才能发生衍射，此时n应 为整数。 由于p、q、r是整数，因此满足衍射条件时h、k、l 一定是整数。于是得到结论：
OA 2 (ha* k b* l c* ) ( pa qb r c) 2 (hp kq lr )
5
倒易点阵的性质
1. 正倒点阵异名基矢点乘为0; a*·b= a*·c=b*·a=b*·c=c*·b=0 同名基矢点乘为1。 a*·a=b*·b=c*·c=1. 2. 在倒易点阵中，由原点O*指向任意坐标为hkl的阵点的矢量 ghkl(倒易矢量)为：ghkl=h a*+k b*+lc* 式中hkl为正点阵中 的晶面指数 3. 倒易矢量的长度等于正点阵中相应晶面间距的倒数，即 ghkl=1/dhkl 4. 对正交点阵，有 a*∥a，b*∥b，c*∥c， a*=1/a，b*=1/b，c*=1/c， 5. 只有在立方点阵中，晶面法线和同指数的晶向是重合（平行） 的。即倒易矢量ghkl是与相应指数的晶向[hkl] 平行的。
O
观地看出那些面网的衍射状
况。
倒易点阵
倒易点阵的概念
• 定义 用a, b, c表示基矢量，用a*, b*, c*表示倒 易点阵的基矢量，则 •
倒易点阵的两个基本性质
• 倒易矢量的定义：从倒易点阵原点向任一倒易 点阵的阵点所连接的矢量叫倒易矢量。 r*=Ha*+Kb*+Lc* 1)r*HKL(HKL) , r*垂直于正点阵的（HKL）晶面；
倒易点阵
•倒易点阵的特点 •倒易点阵的概念 •倒易点阵的两个基本性质
倒易点阵的特点(从物理角度讲)
正点阵 从实际晶体结构中抽象出来,正点 阵与晶体的结构相关，是物质空 间（正空间）。
倒易点阵
由正点阵派生出的一种几何图象。 倒易点阵与晶体的衍射现象相关， 反映的是衍射强度分布
倒易点阵的特点
• 利用倒易点阵处理晶体几何关系和衍射 问题，使几何概念清楚，数学描述简化。 • 晶体点阵中的二维平面在倒易空间中对 应一个零维的倒易阵点。 • 晶面间距和取向两个参量在倒易空间中 仅用一个倒易矢量表示。
2）| r*HKL|=1/dHKL
倒易点阵介绍
❖ 晶带定理：因为各倒易矢量都和
其晶带轴r=[uvw]垂直，固有
ghkl•r=0 ，即 hu+kv+lw=0, 这就
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是晶带定理。
衍射条件
设:入射线波长为λ,入
射线方向为单位矢量S0,
衍射线方向为单位矢量S,
那么在S方向有衍射线的
条件是:在与S方向相垂
1
直的波阵面上,晶体中各
原子散射线的位向相同。
5. 只有在立方点阵中，晶面法线和同指数的晶向是重合（平行） 的。即倒易矢量ghkl是与相应指数的晶向[hkl] 平行的。
5
ghkl=h a*+k b*+lc* 表明：
❖ 1平.倒行易于矢它量的法gh向kl垂N直hkl于正点阵中相应的 [hkl]晶面，或 ❖ 2.倒易点阵中的一个点代表的是正点阵中的一组晶面
a*=b×c/V, b*=c×a /V, c*=a×b/V. 式中，V为正 点阵中单胞的体积： V=a·(b×c) =b·(c×a) =c·(a×b)
表明某一倒易基矢垂直于 正点阵中和自己异名的二基矢 所成平面
4
倒易点阵的性质
1. 正倒点阵异名基矢点乘为0; a*·b= a*·c=b*·a=b*·c=c*·b=0
先计算原点O和任一原子 A的散射线在与S方向的 位向差。
ghkl
m
θ
A
θ
θ
n O
光程差 On Am OA S OA S0
OA (S S0 )
S2 (S-S0) (HKL)
S0
❖ 相应的位向差为 2 2 (S S0 ) OA
OA pa qb rc 其中p、q、r是整数
由于p、q、r是整数，因此满足衍射条件时h、k、l 一定是整数。于是得到结论：
倒易点阵
倒易点阵晶体点阵：－－实空间(用S表示) 由晶体的周期性直接抽象出的点阵(正点 阵)； 倒易点阵：－－倒易空间(用S*表示) 根据空间点阵虚构的一种点阵。
倒易点阵 (reciprocal lattice)倒易空间 倒易晶格c* c b b* a* auu r uur uur uu r r * = ha * + k b * + lc *uur uu uu r r 以 a *, b *, c * 为新的三个基矢，引入另一个点阵，显然该点阵中的点阵的方向uu r uur uu uu r r r * = ha * + kb * + lc *就是晶面 (hkl)的法线方向，该矢量指向的点阵点指数即为hkl。
倒易点阵的一个结点对应空间 点阵的一个晶面。
二维问题一维化处理倒易矢量的性质倒易点阵矢量垂直于正空间点阵平面。
正空间点阵平面间距等于倒易点阵矢量的 倒数。
dhkl=1/r*倒易矢量：由倒易点阵的原点O至任一倒易点 hkl的矢量为r* 。
r* = ha* + kb* + lc*倒易矢量的两个重要性质(1) r*的方向与实际点阵面（hkl）相垂直，或r* 的方向是实际点阵面（hkl）的法线方向。
(2) r*的大小等于实际点阵面（hkl）面间距的倒数， 即:rhkl1 = d hkl倒易基矢的方向:要求倒易基矢垂直于晶面001a* ⊥ (100) b* ⊥ (010) c* ⊥ (001)c*c*c b b*a* a 100010Z立方晶格的倒易变换 （简单点阵）0.25 Å-1 1Å b (220) (010) (110) b* 010 H110C*Y 220 X020120 H220 110 H210 100 a*(100)210c(210) a200000正晶格倒易晶格Z立方晶格的倒易变换 （面心点阵）0.25 Å-1 1Å b (220) (010) (110) b* 020 H220 220 X Y(100)c(210) aC*200 000 a*正晶格倒易晶格。
三维晶体的倒易点阵
三维晶体的倒易点阵
在固体物理学领域中，晶体结构是一个重要的研究方向。
晶体的结构可以通过晶体学中的点阵理论进行描述和分析。
在三维晶体中，倒易点阵是一个关键概念，它对于理解晶体的物理性质和行为起着重要的作用。
倒易点阵是指晶体中原子的倒空间排列方式。
倒空间是晶体中晶胞的倒格子所张成的空间。
晶体的倒格子是原晶格的傅里叶变换。
在倒空间中，原子的位置和相互关系对应于在实空间中原子之间的相对位置和相互关系。
倒易点阵可以通过倒格子的点群和空间群来描述。
点群是倒格子中保持不变的对称操作的集合，而空间群则是包括平移操作在内的点群和平移操作的组合。
倒易点阵具有与原晶格相似的对称性，但是点群元素的性质发生了改变。
例如，在立方晶体中，原晶格具有立方对称性，而其倒易点阵具有体心立方对称性。
倒易点阵的理解对于研究晶体的电子结构、光学性质等具有重要意义。
电子在倒易点阵中的能带结构决定了晶体的导电性质。
倒易点阵的对称性可以导致特殊的电子态出现，例如在倒易点阵中存在能带交叉点的材料具有独特的电子输运性质。
另外，倒易点阵还可以用来描述晶体的光学性质，例如晶体的光学吸收、折射等现象。
总而言之，三维晶体的倒易点阵是描述晶体结构和性质的重要概念。
倒易点阵通过倒格子的点群和空间群来描述晶体中原子的倒空间排列方式。
倒易点阵的理解对于研究晶体的物理性质具有重要意义，包括电子结构和光学性质等方面。
深入理解倒易点阵的概念将有助于我们更好地理解和应用晶体学的知识。
倒易点阵
• 晶体的X射线衍射结果得到的是一系列规则排列的斑 点。这些斑点虽然与晶体点阵结构有一定对应关系，但是 不是晶体某晶面上原子排列的直观影像。人们在长期实验 中发现，晶体结构与其衍射斑点之间可以通过另外一个假 象的点阵很好地联系起来，这就是倒易点阵。通过倒易点 阵可以把晶体的衍射斑点直接解释成晶体相应晶面的衍射 结果。也可以说，衍射斑点就是与晶体相对应的倒易点阵 中某一截面上阵点排列的像。 • 倒易点阵是与正点阵相对应的量纲为长度倒数的一个 三维空间（倒易空间）点阵，它的真面目只有从它的性质 及其正点阵的关系中才能真正了解
1.倒易点阵中基本矢量的定义
• 设正点阵的原点为O，基矢为a，b，c，倒 易点阵的原点为O*，基矢为a*，b*，c*则有 a*=b×c/V,b*=c×a/V,c*=a×b/V 式中，V为正点阵中单胞的体积： V=a· （b×c）=b · （c×a）=c · （a×b） 表明某一倒易基矢垂直于正点阵中和自己异 名的二基矢所组成的平面。
2.倒易点阵的性质
• • • • 1）根据上面的式子可以得到： a* · b=a* · c=b* · a=b* · c=c* · a=c* · b=0 a* · a=b* · b=c* · c=1 即正倒ห้องสมุดไป่ตู้阵异名基矢点乘为0，同名基矢点 乘为1。 • 2）在倒易点阵中，有原点O*指向任意坐标 为hkl的阵点的矢量r*(倒易矢量）为： r*=ha*+kb*+lc*
式中，hkl为正点阵中的晶面指数，上式表明： Ⅰ倒易矢量r*垂直于正点阵中相应的（hkl） 晶面，或平行与它的法向；Ⅱ倒易点阵中 的一个点代表的是正点阵中的一组面。
• 3）倒易矢量的长度等于正点阵中相应晶面 间距的倒数，即 • r*=1/dhkl • 这最后两个性质是非常重要的，正式根据 这一性质，我们才能够将衍射是来那个和 倒易矢量联系起来，从而在衍射花样和晶 体结构之间建立起联系，为后边的解释衍 射花样的形成规律打下理论基础。
倒易点阵特点
倒易点阵特点
倒易点阵是一种特殊的点阵编码方式，它的特点是将二进制码的高位和低位颠倒，即将原本的最高位变成最低位，最低位变成最高位。
这种编码方式在数字电路设计和通信领域中广泛应用。
倒易点阵的特点主要有以下几个方面：
1. 简单易实现：倒易点阵的编码方式非常简单，只需要将二进制码的高位和低位颠倒即可。
这种编码方式不需要额外的硬件支持，可以直接在数字电路中实现。
2. 可靠性高：倒易点阵的编码方式可以有效地减少传输过程中的误码率。
由于颠倒了二进制码的高低位，即使在传输过程中发生了一些位错误，也不会影响整个编码的正确性。
3. 适用范围广：倒易点阵的编码方式可以应用于各种数字电路和通信系统中。
例如，在数字电路中，倒易点阵可以用于存储器地址的编码；在通信系统中，倒易点阵可以用于数据传输的编码。
4. 可扩展性强：倒易点阵的编码方式可以很容易地进行扩展。
例如，在原有的倒易点阵编码基础上，可以增加一些冗余位，以提高编码的可靠性。
在中心扩展下，倒易点阵的应用也得到了进一步的拓展。
例如，在数字电路中，倒易点阵可以用于存储器地址的扩展。
通过增加一些
冗余位，可以扩展存储器的地址空间，提高存储器的容量和性能。
在通信系统中，倒易点阵可以用于数据传输的扩展。
通过增加一些冗余位，可以提高数据传输的可靠性和速度，同时还可以支持更多的数据格式和协议。
倒易点阵是一种简单、可靠、适用范围广、可扩展性强的编码方式，它在数字电路设计和通信领域中有着广泛的应用前景。
随着技术的不断发展，倒易点阵的应用也将得到进一步的拓展和完善。
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倒易点阵
❖ 倒易点阵概念及定义 ❖ 倒易点阵的物理意义 ❖ 倒易点阵的应用是一个假想的点阵.
❖ 将空间点阵(真点阵或实点阵)经过倒易变换,就 得到倒易点阵,倒易点阵的外形也是点阵,但其 结点对应真点阵的晶面,倒易点阵的空间称为倒 易空间。
❖ 1860年法国结晶学家布拉菲提出并作为空间点 阵理论的一部分，但缺乏实际应用。
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点阵中单胞的体积：V=a·(b×c)=b·(a×c) =c·(a×b)
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倒易点阵基矢与正点阵基矢的关系
（仅当正交晶系）
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倒易点阵的性质
1. 正倒点阵异名基矢点乘为0;
a*·b= a*·c=b*·a=b*·c=c*·b=0
同名基矢点乘为1。
a*·a=b*·b=c*·c=1.
2. 在倒易点阵中，由原点O*指向任意坐标为hkl的阵点
的。即倒易矢量ghkl是与相应指数的晶向[hkl] 平行的。
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ghkl=h a*+k b*+lc* 表明：
❖ 1平.倒行易于矢它量的法gh向kl垂N直hkl于正点阵中相应的 [hkl]晶面，或 ❖ 2.倒易点阵中的一个点代表的是正点阵中的一组晶面
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晶带定理
❖ 在正点阵中，同时平行于某一晶 向[uvw]的一组晶面构成一个晶带， 而这一晶向称为这一晶带的晶带 轴。
向平行于（hkl）晶面的法线，则有K‘ –K= G，即为布拉格方程 14
的矢量形式。
倒易点阵的应用
倒易点阵使许多晶体几何学问题的解决变得简易。例如单胞体 积，晶面间距、晶面夹角的计算以及晶带定理的推导等等。以 下是倒易点阵的应用。 1°由倒易点阵的基本性质可得： a*=1/d100，b*=1/d010，c*=1/d100 （a*=G100=1/d100） 在晶体点阵S 中，点之间或点阵平面之间的距离用Å 作单位， 因此，a*、b*、c*的单位为Å－1。在用图解法解决实际问题时， 用相对标度值表示相对大小即可。
ghkl(倒易矢量)为：ghkl=h a*+k b*+lc* 式中hkl为正点阵中的 晶面指数
3. 倒易矢量的长度等于正点阵中相应晶面间距的倒数，即
ghkl=1/dhkl 4. 对正交点阵，有 a*∥a，b*∥b，c*∥c，
a*=1/a，b*=1/b，c*=1/c，
5. 只有在立方点阵中，晶面法线和同指数的晶向是重合（平行）
❖ 图示为正空间中晶体的[uvw]晶带
❖ 图中晶面（h1k1l1）、（h2k2l2）、 （h3k3l3）的法向N1、N2、N3和倒 易矢量gh1k1l1、gh2k2l2、gh3k3l3的方 向相同.
❖ 晶带定理：因为各倒易矢量都和
其晶带轴r=[uvw]垂直，固有
ghkl•r=0 ，即 hu+kv+lw=0, 这就
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倒易点阵的应用
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倒易点阵的应用
4°晶带轴 按定义，指数为（h1、k1、l1）和（h2、k2、l2）两晶面的 晶带轴即为这两个晶面的交线方向，若含此交线平行于某一 （正）矢量，puvw p=ua+vb+wc 所求晶带轴即求出[uvw]三数即可。 （h1、k1、l1）和（h2、k2、l2）晶面的法线是平行Gh1k1l1 和Gh2k2l2
于是它们的点乘为0 20
倒易点阵的应用
根据倒易基矢定义式，显然有：
为了便于记忆，一般写成如下形式：
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倒易点阵的应用
证明
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倒易点阵的应用
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1 黄昆原(著)．韩汝琦(改编)．固体物理学[M]．北京：高等教育出版社，1988 2 王莉.WANG Li 正点阵与倒易点阵中的对应关系[期刊论文]-唐山师范学院学报 2004(5) 3 陈难先.CHEN Nan-xian 倒易点阵与晶面指数的关系[期刊论文]-大学物理 2011(2) 4 申成.SHEN Cheng 二维晶体的衍射及其倒易点阵的物理内容[期刊论文]-长沙电 力学院学报（自然科学版）2005,20(4) 5 付宝连 广义倒易定理及其应用[期刊论文]-应用数学和力学2002,23(2)
中,AO*与AG 的夹角为θ，则ΔAO*G 满足布拉格方程，即此时电 子束波长λ，晶面间距dhkl 及取向关系θhkl之间可用直角三角形表
示出来：即AO* = 2/λ, ∠O*AG =θ , O*G = 1/d，沿AO*方向入射
的电子束照射在O 点处的晶体，一部份电子束透射过去，一部份 使晶面间距为dhkl 的（hkl）面发生衍射，在OG 方向产生衍射束。 若入射波卡量用K 表示，衍射波矢量用K表示，含O*G＝G，其方
于其倒易矢量长度的一半。
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Ewald 图解
入射线
θ
B
1
反射方向 P
反射线
g
2θ
θ (hkl)
A
θO
反射球
Ewald 作图法
以一晶体为中心（O 点）， 以1/λ为半径，在空间画一 个球，这个球即为爱瓦尔 德球
如图令电子束沿直径AO*的方向入射，经过晶体O
点亦到达O*点，取O*G 的长度为1/dhkl，若直角三角形ΔAO*G
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是晶带定理。
倒易点阵的物理意义
在研究晶体对X射线或对电子束的衍射效应时， 某晶面{hkl}能否产生衍射的重要条件就是该晶 面相对于入射束的取向以及晶面间距d(hkl)满足： d(hkl)sin=n ，即著名的布拉格方程，其中-入 射角，-波长。各晶面的散射波干涉加强的条 件是，波程差为波长的整数倍。这是满足衍射 的必要条件，但不是充分条件。
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倒易点阵的物理意义
❖ 为了从几何学上形象的确定衍射条件，人们就找到一个新的 点阵（倒易点阵），使其与正点阵（实际点阵）相对应。
❖ 对应的条件：新点阵中的每一个结点都对应着正点阵的一定 晶面，该结点既反映该晶面的取向也反映该晶面的面间距。
❖ 具体条件： ❖ a正. 点新阵点中阵{中hk原l}面点的O到法任线意方结向点。P(hkl) （倒易点）的矢量正好沿 ❖ b. 新点阵中原点O到任意结点P(hkl)的距离等于正点阵中{hkl}
❖ 1921年德国物理学家埃瓦尔德把倒易点阵引入
衍射领域。此后，倒易点阵成了研究各种衍射
问题的重要工具。
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倒易点阵定义
❖ 倒易点阵的定义 ❖ 倒易点阵的性质 ❖ 晶带定理
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倒易点阵的定义
倒易点阵的基本矢量垂直于正点阵异名矢量构成的平 面。 用a、b、c表示晶体点阵（正点阵）的基本矢量；用 a*、b * 、c *表示倒易点阵的基本平移矢量，则倒易 点阵与正点阵的基本对应关系为：
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倒易点阵的应用
2°晶面间距公式 （ hkl ）晶面的间距dhkl为: dhkl=1/IGhklI (dhkl )-2 =G2hkl =ha*+ kb*+ lc* 2
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倒易点阵的应用
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倒易点阵的应用
3°晶面之间的夹角ϕ ，（h1、k1、l1）晶面与（h2、k2、l2） 晶面之间的夹角ϕ （也即这两个晶面的法线之间的夹角ϕ 即为 Gh1、k1、l1 与Gh2、k2、l2 晶面之间的夹角），故
面的面间距的倒数。
❖ 将实际晶体中一切可能的的{hkl}面所对应的倒易点都画出来， 由这些倒易点组成的点阵称为倒易点阵。
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倒易点阵的物理意义
爱瓦尔德球（反射球）(P.P.Ewald) ❖ Ewald 图解是衍射条件的几何表达式。 ❖ sinθ =λ/2d ❖ 令d= λ /ghkl （此时比例系数用X射线的波长） ❖ 则sinθ = ghkl /2 ❖ 即某衍射面（ hkl）所对应的布拉格角的正弦等