八年级数学平行四边形的性质1
(1)平行四边形的性质(边角的特征)课件人教版数学八年级下册
E
D
第3题图
C
A
B
第4题图
当堂训练 平行四边形的边、角特征 查漏补缺
5.已知在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC,BF平分∠ABC.求证:AE=CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
DF
C
∴AB∥CD，AD=BC.
∴∠CDE=∠DEA,∠CFB=∠FBA.
∵DE,BF分别平分∠ADC,∠ABC, AECF ∴∠CDE=∠ADE,∠CBF=∠FBA, ∴∠DEA=∠ADE,∠CFB=∠CBF,
∴△ABD中AB边上的高为6cm．
课堂小结 平行四边形的边、角特征 知识梳理
定 义 两组对边分别平行的四边形
平行 四边形
性质
两组对边分别平行，相等 两组对角分别相等，邻角互补
两条平行线间的距离相等, 两条平行线间的平行线段也相等
当堂训练 平行四边形的边、角特征 查漏补缺
1.在□ABCD中,M是BC延长线上的一点,若∠A=135º,则∠MCD的度数是( A )
A.45° B.55° C.65° D.75°
A
D
2.判断题(对的在括号内填“√”，错的填“×”)：
(1)平行四边形两组对边分别平行且相等. (2)平行四边形的四个内角都相等.
( √ )B
( ×)
CM
(3)平行四边形的相邻两个内角的和等于180º ( √ )
(4)如果平行四边形相邻两边长分别是2和3,那么周长是10.( √ )
∴∠BAD=∠BCD.
同理可得∠A=∠C.
知识点二 平行四边形的边、角的特征
平行四边形的性质除了对边互相平行以外,还有：
平行四边形的对边相等．
人教版八年级数学下册《平行四边形的性质》平行四边形PPT优质教学课件
10 ●O
∴AC= AB2−BC2= 102−82=6
∵OA=OC，∴OA=12AC=3
B
C
∴S ABCD= BC×AC=8×6=48．
随堂检测
1．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若 AC＝14，BD＝8，AB＝10，则△OAB的周长为 21 ．
2．如图，平行四边形ABCD中，AD＝5cm，AB⊥BD， 点O是两条对角线的交点，OD＝2cm，则AB＝ 3 cm．
叫做这两条平行线之间的距离．
如图，直线a∥b，A是直线a上的任意
A
a
一点，AB ⊥b ，B是垂足，线段AB的
b
长就是a、b之间的距离．
B
随堂检测
1．如图，在 ABCD中，
A
D
A：基础知识：
B
C
若∠A=130°，则∠B=_5_0_°___ 、∠C=_1_3_0_°__ 、∠D=__5_0_°__．
B：变式训练： （1）若∠A+ ∠C= 200°，则∠A=__1_0_0_°_ 、∠B=__8_0_°__； （2）若∠A：∠B= 5：4，则∠C=__1_0_0_°_ 、∠D=___8_0_°_．
随堂检测
C:拓展延伸：
A
D
如图，在 ABCD中，
B
C
（1）∠A：∠B ： ∠C ： ∠D的度数可能是( B )
A． 1 ： 2 ： 3 ： 4
B．3 ： 2 ： 3 ： 2
C．2 ： 3 ： 3 ： 2
D．2 ： 2 ： 3 ： 3
（2）连接AC， 若∠D=60°， ∠DAC=40°，则 ∠B=_6_0_°_，
一条直线的距离相等．
已知：如图，EF∥MN，A，D是直线
人教版初中数学八年级下册教学课件 第十八章 平行四边形 平行四边形的性质 (第1课时)
数学
8年级/下
八年级数学·下 新课标[人]
第十八章 平行四边形
18.1.1 平行四边形的性质
（第1课时）
学习新知
检测反馈
观察思考
观察下图中的小区的伸缩门,庭院的竹篱笆和 载重汽车的防护栏,它们是什么几何图形的形象?
学习新知
你知道什么样的图形叫做平行四边形吗? 两组对边分别平行的四边形叫做平行四
边形.说明定义的两方面作用:既可以作为性 质,又可以作为判定平行四边形的依据.
平行四边形如何好记好读呢?
平行四边形用“□”表示,平行四边形ABCD,
记作“□ABCD”.
如右图所示 对边:AD与BC,AB与DC; 对角:∠A与∠C,∠B与∠D.
总结:四边形中不相邻的边,也就是没有公共 顶点的边叫做对边;没有公共边的角,叫做对角.
的对角线.(1)请你说出图中的相等的角、相等的线段;
AB=CD，AD=BC， ∠DAB=∠BCD，∠B=∠D.
(2)对角线AC需添加一个什么条件,能使平行四边形 ABCD的四条边相等?
添加AC平分∠DAB.
请同学们拿出方格纸,在方格纸上画两条互相平行 的直线,在其中一条直线上任取若干点,过这些点作另一 条直线的垂线.请同学们用刻度尺量一下方格纸上两平 行线间的所有垂线段的长度,你发现了什么现象?
3.如图所示,在□ ABCD中,AD=2AB,CE平分∠BCD交
AD边于点E,且AE=3,则AB的长为 A.4 B.3 C.5 D.2
2
(B)
解析:∵四边形ABCD是平行四边 形,∴AB=DC,AD∥BC,∴∠DEC=∠BCE, ∵CE平分∠DCB,∴∠DCE=∠BCE, ∴∠DEC=∠DCE,∴DE=DC=AB, ∵AD=2AB=2CD,CD=DE,∴AD=2DE, ∴AE=DE=3,∴DC=AB=DE=3.故选B.
22,1 平行四边形的性质 第一课时八年级数学下册课件(冀教版)
如图，四边形ABCD 是平行四边形，记作 “□ABCD ”，读作“平行四边形ABCD ”.线段AC， BD 为□ABCD 的两条对角线，点O 为它的中心.
1. 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2. 表示方法：平行四边形用符号“▱ ”表示，如图，平
行四边形ABCD 记作“▱ABCD ”，
这样我们证明了平行四边形具有以下性质： 平行四边形的对边相等.
1. 边的性质：平行四边形对边平行；平行四边形对边相等． 2. 数学表达式：如图，
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， AB＝CD，AD＝BC.
例3 如图，在▱ABCD 中，BM 是∠ABC 的平分线， 交CD 于点M，且MC＝2，▱ABCD 的周长是14， 则DM 等于( C )
2 如图，▱ABCD 中，EF∥GH∥BC，MN∥AB，则图中平行四
边形的个数是( D ) A．13 B．14 C．15 D．18
知识点 2 平行四边形的中心对称性
1. 如图，在半透明的纸上画一个▱ABCD，再复制一个.将两个图形
完全重合，用大头针钉在中心处.使下面的图形不动，将上面的图
形绕中心O 旋转180°.这两个图形能完全重合？平行四边形是不是
分别平行”外，它的边之间还有什么关系？ 通过观察和度量，我们猜想：平行四边形的对边相等；
下面我们对它进行证明.
证明：如图，连接AC. ∵AD//BC，AB//CD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
又AC 是△ABC 和△CDA 的公共边， ∴ △ABC ≌△CDA. ∴AD =CD，AB =CD.
归纳
中心对称图形？如果是中心对称图形，哪个点是它的对称中心？
被对角线分成的三角形中，关于点O 成中心对称的三角形有几对？
初二数学下册：平行四边形知识点
初二数学下册：平行四边形知识点1、平行四边形的定义平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”；要点诠释：平行四边形基本元素：边、角、对角线相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条。
2、平行四边形的性质边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心。
要点诠释：(1)平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系。
(2)由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择。
(3)利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决。
3、平行四边形的判定两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。
要点诠释：(1)这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法；(2)这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据。
4、三角形的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
要点诠释：(1)三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系；(2)三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的；(3)三角形的中位线不同于三角形的中线。
八年级数学下册第六章平行四边形1平行四边形的性质平行四边形及其性质知
平行四边形及其性质【学习目的】1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和断定定理.2．能初步运用平行四边形的性质进展推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．3. 理解平行四边形的不稳定性及其实际应用．4. 掌握两个推论：“夹在两条平行线间的平行线段相等〞。
“夹在两条平行线间的垂线段相等〞．【要点梳理】知识点一、平行四边形的定义平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD〞，读作“平行四边形ABCD〞.要点诠释：平行四边形的根本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条. 知识点二、平行四边形的性质定理平行四边形的对角相等；平行四边形的对边相等；平行四边形的对角线互相平分；要点诠释：〔1〕平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或者两边相等；角的性质可以证明两角相等或者两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或者倍半关系.〔2〕由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进展选择.〔3〕利用对角线互相平分可解决对角线或者边的取值范围的问题，在解答时应联络三角形三边的不等关系来解决.知识点三、平行线的性质定理1.两条平行线间的间隔：〔1〕定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的间隔，叫做这两条平行线间的间隔 .注：间隔是指垂线段的长度，是正值.2．平行线性质定理及其推论夹在两条平行线间的平行线段相等.平行线性质定理的推论：夹在两条平行线间的垂线段相等.【典型例题】类型一、平行四边形的性质1.如图，平行四边形ABCD的周长为60cm，对角线交于O，△AOB的周长比△BOC•的周长大8cm，求AB，BC的长．【答案与解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形．∴ AB＝CD，AD＝BC，AO＝CO，∵□ABCD的周长是60．∴2AB＋2BC＝60，即AB＋BC＝30，①又∵△ AOB的周长比△BOC的周长大8．即〔AO＋OB＋AB〕－〔BO＋OC＋BC〕＝AB－BC＝8，②由①②有解得∴AB，BC的长分别是19cm和11cm．【总结升华】根据平行四边形对角线互相平分，利用方程的思想解题.举一反三：【变式】如图：在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的平分线，F是AB的中点，AB＝6，BC ＝4.求AE：EF：FB的值.【答案】解：∵ ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，∠ECD＝∠CEB∵CE为∠DCB的角平分线，∴∠ECD＝∠ECB，∴∠ECB＝∠CEB，∴BC＝BE∵BC＝4，所以BE＝4∵AB＝6，F为AB的中点，所以BF＝3∴EF＝BE－BF＝1，AE＝AB－BE＝2∴AE：EF：FB＝2：1：3.2.平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M，假如△CDM的周长是40cm，求平行四边形ABCD的周长．【思路点拨】由四边形ABCD是平行四边形，即可得AB=CD，AD=BC，OA=OC，又由OM⊥AC，根据垂直平分线的性质，即可得AM=CM，又由△CDM的周长是40cm，即可求得平行四边形ABCD 的周长．【答案与解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，∵OM⊥AC，∴AM=CM，∵△CDM的周长是40，即：DM+CM+CD=DM+AM+CD=AD+CD=40，∴平行四边形ABCD的周长为：2〔AD+CD〕=2×40=80〔cm〕．∴平行四边形ABCD的周长为80cm．【总结升华】此题考察了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用．举一反三：【变式】如图，平行四边形ABCD的对角线AC.BD相交于点O，EF过点O且与AB.CD分别相交于点E.F，连接EC．〔1〕求证：OE=OF；〔2〕假设EF⊥AC，△BEC的周长是10，求平行四边形ABCD的周长．【答案】〔1〕证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD=OB，DC∥AB，∴∠FDO=∠EBO，在△FDO和△EBO中∵OD OBFOD EOFDO EBBO ⎧⎪=⎨⎪∠=∠∠∠⎩＝∴△FDO≌△EBO〔AAS〕，∴OE=OF；〔2〕解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，∵EF⊥AC，∴AE=CE，∵△BEC的周长是10∴BC+BE+CE=BC+AB=10，∴平行四边形ABCD的周长=2〔BC+AB〕=20．3.如图，口ABCD的周长为52cm，AB边的垂直平分线经过点D，垂足为E，口ABCD的周长比△ABD的周长多10cm．∠BDE=35°．〔1〕求∠C的度数；〔2〕求AB和AD的长．〔1〕由于DE是AB边的垂直平分线，得到∠ADE=∠BDE=35°，于是推出∠A═55°，【思路点拨】根据平行四边形的性质得到∠C=55°；〔2〕由DE是AB边的垂直平分线，得到DA=DB，根据平行四边形的性质得到AD=BC，AB=DC，由于口ABCD的周长为52，于是得到AB+AD=26，根据口ABCD的周长比△ABD的周长多10，得到BD=16，AD=16〔cm〕，于是求出结论．【答案与解析】解：〔1〕∵DE是AB边的垂直平分线，∴∠ADE=∠BDE=35°，∴∠A=90°﹣∠ADE=55°，∵口ABCD，∴∠C=∠A=55°；〔2〕∵DE是AB边的垂直平分线，∴DA=DB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=DC，∵口ABCD的周长为52，∴AB+AD=26，∵口ABCD的周长比△ABD的周长多10，∴52﹣〔AB+AD+BD〕=10，∴BD=16，∴AD=16〔cm〕，∴AB=26﹣16=10〔cm〕．【总结升华】此题主要考察了线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，能综合应用这两个性质是解题的关键．4.如图1，P为Rt△ABC所在平面内任一点〔不在直线AC上〕，∠ACB=90°，M为AB 的中点．操作：以PA.PC为邻边作平行四边形PADC，连接PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．〔1〕请你猜测与线段DE有关的三个结论，并证明你的猜测；〔2〕假设将“Rt△ABC〞改为“任意△ABC〞，其他条件不变，利用图2操作，并写出与线段DE有关的结论〔直接写答案〕．【思路点拨】〔1〕连接BE，证△PMA≌△EMB，推出PA=BE，∠MPA=∠MEB，推出PA∥BE．根据平行四边形的性质得出PA∥DC，PA=DC，推出BE∥DC，BE=DC，得出平行四边形CDEB即可；〔2〕连接BE，证△PMA≌△EMB，推出PA=BE，∠MPA=∠MEB，推出PA∥BE．根据平行四边形的性质得出PA∥DC，PA=DC，推出BE∥DC，BE=DC，得出平行四边形CDEB即可．【答案与解析】DE∥BC，DE=BC，DE⊥AC，证明：连接BE，∵M为AB中点，∴AM=MB，在△PMA和△EMB中∵＝＝＝PM MEPMA EMB AM BM∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴△PMA≌△EMB〔SAS〕，∴PA=BE，∠MPA=∠MEB，∴PA∥BE．∵四边形PADC是平行四边形，∴PA∥DC，PA=DC，∴BE∥DC，BE=DC，∴四边形DEBC是平行四边形，∴DE∥BC，DE=BC．∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴DE⊥AC．〔2〕解：DE∥BC，DE=BC．【总结升华】此题考察了平行四边形性质和断定，全等三角形的性质和断定，平行线的性质和断定的综合运用．举一反三：【变式】：如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，∠DAB的平分线交DE于点M，交DF于点N，交DC于点P．〔1〕求证：∠ADE=∠CDF；〔2〕假如∠B=120°，求证：△DMN是等边三角形．【答案】证明：〔1〕∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB=∠C，DC∥AB，∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，∴∠ADE=90°-∠DAB，∠CDF=90°-∠C，∴∠ADE=∠CDF．〔2〕证明：∵∠DAB的平分线交DE于点M，交DF于点N，交DC于点P，∴∠DAP=∠BAP，∵DC∥AB，∴∠DPA=∠BAP，∴∠DAP=∠DPA，∴DA=DP，∵∠ADE=∠CDF，∠DAP=∠DPA，DA=DP，∴△DAM≌△DPN，∴DM=DN，∵∠B=120°，∴∠MDN=360°-∠DEB-∠EFB-∠B=360°-90°-90°-120°=60°，∴△DMN是等边三角形．类型二、平行线性质定理及其推论5.如图1，直线m∥n，点A.B在直线n上，点C.P在直线m上；〔1〕写出图1中面积相等的各对三角形：△CAB与△PAB.△BCP与△APC.△ACO与△BOP__________________；〔2〕如图①，A.B.C为三个顶点，点P在直线m上挪动到任一位置时，总有__________△PAB 与△ABC的面积相等；〔3〕如图②，一个五边形ABCDE，你能否过点E作一条直线交BC〔或者延长线〕于点M，使四边形ABME的面积等于五边形ABCDE的面积．【思路点拨】〔1〕找出图①中同底等高的三角形，这些三角形的面积相等；〔2〕因为两平行线间的间隔是相等的，所以点C.P到直线n间的间隔相等，也就是说△ABC 与△PAB的公一共边AB上的高相等，所以总有△PAB与△ABC的面积相等；〔3〕只要作一个三角形CEM与三角形CED的面积相等即可．【答案与解析】解：〔1〕∵m∥n，∴点C.P到直线n间的间隔与点A.B到直线m间的间隔相等；又∵同底等高的三角形的面积相等，∴图①中符合条件的三角形有：△CAB与△PAB.△BCP与△APC，△ACO与△BOP；〔2〕∵m∥n，∴点C.P到直线n间的间隔是相等的，∴△ABC与△PAB的公一共边AB上的高相等，∴总有△PAB与△ABC的面积相等；〔3〕连接EC，过点D作直线DM∥EC交BC延长线于点M，连接EM，线段EM所在的直线即为所求的直线．【总结升华】此题主要考察了三角形的面积及平行线的性质，利用平行线间的间隔相等得到同底等高的三角形是解题的关键．创作人：历恰面日期：2020年1月1日。
第一课时平行四边形的性质1-八年级数学下册课件(人教版)
课堂练习
8.如图,在▱ABCD 中,∠B＝120°,DE⊥AB 于点 E,DF⊥BC 于点 F,则∠ADE＝______3_0_°______,∠EDF＝_____6__0_°______, ∠FDC＝______3_0_°______.
课堂练习
9.如图,已知 BD 是△ABC 的角平分线,点 E,F 分别在边 AB,BC 上,ED∥CF,EF∥AC.求证:BE＝CF.
边形的周长为( B )
A.16
B.26
C.22
D.11
4.如图,在▱ABCD 中,AB⊥AC,若 AB＝3,AC＝4,则 AD 的长
为( A )
A.5
B.8
C.10
D.11
课堂练习
5.在▱ABCD 中,若∠A＋∠C＝100°,则∠B＝_____1_3_0_°______. 6.在▱ABCD 中,AB＝5,则 CD＝_______5_______. 7.▱ABCD 的周长为 28 cm,且 AB∶BC＝2∶5,那么 AB＝ ______4________ cm,AD＝______1_0_______ cm.
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4
∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4
即∠BAD＝∠DCB.
归纳小结
平行四边形的性质：
1.平行四边形对边相等。 2.平行四边形对角相等。
巩固练习
1.如图,在四边形 ABFE 中,点 C,D 分别在边 AE,BF 上,若 AB∥CD∥EF,AE∥BF,则图中的平行四边形共有____3______ 个.
证明:∵ED∥CF,EF∥AC, ∴四边形 EFCD 是平行四边形. ∴ED＝CF. ∵BD 是∠ABC 的平分线, ∴∠EBD＝∠DBC. ∵ED∥BC,∴∠EDB＝∠DBC. ∴∠EBD＝∠EDB.∴BE＝ED.∴BE＝CF.
八年级数学上册知识点归纳：平行四边形的性质
八年级数学上册知识点归纳：平行四边形的性质八年级数学上册知识点归纳：平行四边形的性质知识点总结1.定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形2.平行四边形的性质（1）平行四边形的对边平行且相等；（2）平行四边形的邻角互补，对角相等；（3）平行四边形的对角线互相平分；3.平行四边形的判定平行四边形是几何中一个重要内容，如何根据平行四边形的性质，判定一个四边形是平行四边形是个重点，下面就对平行四边形的五种判定方法，进行划分：第一类：与四边形的对边有关（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；第二类：与四边形的对角有关（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；第三类：与四边形的对角线有关（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形常见考法（1）利用平行四边形的性质，求角度、线段长、周长；（2）求平行四边形某边的取值范围；（3）考查一些综合计算问题；（4）利用平行四边形性质证明角相等、线段相等和直线平行；（5）利用判定定理证明四边形是平行四边形。
误区提醒（1）平行四边形的性质较多，易把对角线互相平分，错记成对角线相等；（2）“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”错记成“一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形”后者不是平行四边形的判定定理，它只是个等腰梯形。
知识点总结一、特殊的平行四边形1.矩形：（1）定义：有一个角是直角的平行四边形。
（2）性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线平分且相等。
（3）判定定理：①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
②对角线相等的平行四边形是矩形。
③有三个角是直角的四边形是矩形。
直角三角形的性质：直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半。
2.菱形：（1）定义：邻边相等的平行四边形。
（2）性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
（3）判定定理：①一组邻边相等的平行四边形是菱形。
鲁教版(五四制)八年级数学上册第五章第一节平行四边形的性质第一课时ppt课件
对边：平行且相等
对角：相等
情景导入 活动1 生活中的平行四边形
情景导入 活动1 生活中的平行四边形
探究新知
拼图游戏
活动1：请同学将制作好的两个全等的三角形拿出来
将它们相等的一组边重合，拼成一个四边形。
问题（1）这样的四边形能拼出几种？展示你所有的 拼图结果 问题（2）观察拼出的四边形的对边有怎样的位置关 系？说说你的理由。
思考：问题（1）平行四边形是中心对称图形吗？ 如果是，你能找到它的对称中心吗？ 问题（2）平行四边形的对边有什么性质？ 问题（3）平行四边形的对角有什么性质？ 问题（4）平行四边形中相邻的两角有什么关系呢？
合作探究 1.平行四边形是中心对称图形吗？如果是，
你能找出它的对称中心吗？
A
D
O●
O
B
C
由旋转得到：
∴ ∠B =∠D
同理可证 ∠A＝∠C
同时我们还可以得到邻角有怎样的关系？ 邻角互补。
学以致用
例1 已知：如图，在 两点，并且AE=CF
求证：BE=DF
ABCD中，E,F是对角线AC上的
A
D
E
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
F
∴AB=CD,AB∥CD
B
C
∴∠BAE= ∠DCF 又∵AE=CF
温馨提示：证明边、角相等时，
平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心
探究新知 （2）平行四边形的对边相等
已知: 四边形ABCD是平行四边形.
求证: AB=CD,BC=DA.
A
D
证明：连接AC
点评：∵要四证边形明A上BCD述是结平论行四，边可形 以连接∴AABC∥或CDB，DA,D将∥平BC，行四边
平行四边形的性质课件数学北师大版八年级下册
• • •
2. 从角看：平行四边形的对角相等、邻角互补 .
• • •
注意：要根据推理证明的需要，合理选用平
行四边形的性质 .
感悟新知
知2－练
例2 [母题教材P 随堂练习T ] 如图 6-1-4，在 ABCD 中，
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AB=5 cm， BC=4 cm，则▱ ABCD 的周长为______cm.
感悟新知
知2－练
解题秘方：紧扣平行四边形边的性质进行解答 .
解：∵平行四边形的对边相等，
∴ CD=AB=5 cm， AD=BC=4 cm.
∴ ▱ ABCD 的周长 =AB+BC+CD+AD=5+4+5+4=18(cm) .
感悟新知
知2－练
2-1. [ 中考·湘潭 ] 在▱ ABCD 中(如图)，连接AC，已知
形 ABCD两条对角线的交点 O，
∴ AE+AB+BF=FC+CD+DE=
(
AB+BC+CD+DA)， S 四边形 ABFE=S 四边形
FCDE=
S
.
▱ ABCD
感悟新知
知3－练
例3 如图 6-1-7， 已知 ▱ ABCD的周长是 60，对角线
AC， BD 相交于点 O. 若△ AOB 的周长比△ BOC
AC，
OB=OD=
BD.
知3－讲
感悟新知
知3－讲
2. 拓展性质
(1)平行四边形的一条对角线将平行四边形分成面积相
八年级数学上册第五章平行四边形1平行四边形的性质第1课时平行四边形的边角性质习题课件鲁教版五四制
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(2)若 BC ＝2 AB ，∠ BCD ＝100°，求∠ ABE 的度数.
【解】由(1)易得 BF ＝2 AB ， EF ＝ EC .
∵ CD ∥ AB ，∴∠ FBC ＋∠ BCD ＝180°.
∵∠ BCD ＝100°，∴∠ FBC ＝180°－100°＝80°.
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【证明】∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB ＝ CD ，
∠ B ＝∠ D ，∠ BAD ＝∠ BCD . ∵ AE 平分∠ BAD ， CF
平分∠ BCD ，∴∠ BAE ＝ ∠ BAD ，∠ DCF ＝ ∠ BCD ，
∴∠ BAE ＝∠ DCF .
∴∠ DAC ＝∠ C ，∴ AD ＝ CD . ∵ AD ＝ AE ＝ BF ，
∴ BF ＝ CD ，∴ BD ＝ CF .
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14. 如图，在▱ ABCD 中，点 E ， F 在对角线 AC 上，∠ CBE
＝∠ ADF . 求证：
(1) AE ＝ CF ；
人教版八年级数学下册第18章平行四边形 知识要点总结
人教版八年级数学下册第18章平行四边形知识要点总结第18章平行四边形复习平行四边形知识点一、平行四边形定义：二、平行四边形的性质边：1.两组对边互相平行且相等；符号语言：角：2.两组对角分别相等；符号语言：对角线：3.对角线互相平分。
符号语言：对称性：中心对称图形但不一定是轴对称图形平行线之间的距离：平行线间的距离都相等符号语言：∵AE∥BF且AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF∴AB＝CD＝EF三、平行四边形的判定边：1. 两组对边分别平行．．．．．的四边形是平行四边形；符号语言：2. 两组对边分别相等．．．．．．的四边形是平行四边形；符号语言：3. 一组对边平行且相等．．．．．．的四边形是平行四边形；符号语言：角：4. 两组对角分别相等．．．．．．的四边形是平行四边形；符号语言：对角线：5.对角线互相平分的四边形是平行四边形；符号语言：四、平行四边形的面积公式S□ABCD=ah(a是边,h是这个边的高）；五、与三角形有关的知识点1.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段．．叫做三角形的中位线。
2.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半符号语言：3.取值范围：利用三角形的性质：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边 如：已知□ABCD 两对角线的长分别为6和8，则较短边长x 的取值范围为1<x<7.4.直角三角形性质定理（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.符号语言：∵在Rt △ABC 中，且AD ＝CD∴ BD=AD=CD（2）直角三角形中，30°角所对应的直角边等于斜边的一半.符号语言：∵在Rt △ABC 中，且∠A=30°∴BC=12AC 或 2BC=AC特殊的平行四边形知识点—矩形一、矩形的定义：二、矩形的性质1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的四个角都是直角； 符号语言：3.矩形的对角线平分且相等。
符号语言：三、矩形判定1.有一个角是直角的平行四边形．．．．．叫做矩形。
八年级数学《平行四边形性质 》课件
小组展示
A
D
一、 平行四边形的相关概念：
1、定义：有两组对边分别平行的四B 边形叫平行C四边形. 2、特征：a、属于四边形； b、有两组对边分别平行.
3、符号：“ ”如平行四边形ABCD记作： ABCD；
读作：平行四边形ABCD
4、有关名称：
A
D
（1）对边，（2）邻边；
∟
∟
（3）对角，（4）邻角；
D
3. 如图， ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂 足分别为E，F．求证：AE=CF．
两条平行线中，一条直线 D 上任意一点到另一条直线
的距离，叫做两条平行线
之间的距离
A E
FC B
DE=BF 吗？
两条平行线间的距离处 处相等
已知 : 如图, ABCD , AB=8cm,BC=10cm,∠B=30°.
B
C
（5）高。
返回
5．证明平行四边形的对边平行且相等
6．证明平行四边形的对角相等，邻角互 补
平行四边形的性质：
平行四边形的对边平行；
四边形ABCD是平行四边形 AB CD;AD BC
平行四边形的对边相等；
四边形ABCD是平行四边形 AB CD; AD BC
平行四边形的对角相等；
四边形ABCD是平行四边形 A C;B D
求 : ABCD 的面积.
A
D
解: 过A作AE⊥BC于点Ｅ
在Rt△ABE中,
B
∠B= 30°, AB=8 .
EC
∴ AE=
1 2
AB=
1 2
×8 =4
∴ ABCE的面积
S ABCD =BC·AE
=10×4 =40(cm2).
人教版数学八年级下册《 平行四边形的判定一》ppt课件
课堂检测
能力提升题
如图，五边形ABCDE是正五边形，连接BD , CE，交于点P．
D
110°
70° B
110°C
A
是
B 120°
C 60°
D
不是
能判定四边形ABCD是平行四边形的条件： ∠A:∠B:∠C:∠D的值为 （ ）D
A. 1:2:3:4
B. 1:4:2:3
C. 1:2:2:1
D. 3:2:3:2
探究新知
知识点 3 平行四边形的判定定理3
如图，将两根木条AC，BD的中点重叠，用小钉绞合在一
人教版 数学 八年级 下册
18.1 平行四边形 18.1.2 平行四边形的判定
（第1课时）
导入新知
一天，八年级的李明同学在生物实验室做实验时，不小心碰碎 了实验室的一块平行四边形的实验用的玻璃片,只剩下如图所示 部分,他想去割一块赔给学校，带上玻璃剩下部分去玻璃店不安 全，于是他想把原来的平行四边形重新在纸上画出来，然后带 上图纸去就行了，可原来的平行四边形怎么画出来呢？
E
OF
B
C
∴ A∵BO=DO，
∴四边形BFDE是平行四边形.
巩固练习
根据下列条件,不能判定四边形为平行四边形的是( C )
A.两组对边分别相等 B.两条对角线互相平分
C.两条对角线相等
D.两组对边分别平行
如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O.
八年级数学《平行四边形的判定》课件
选做题
2、已知: ABCD中， E、F分别是AC上两点， 且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F． 求证: 四边形BEDF是平行四边形．
Ａ
E
Ｄ
F
Ｂ
Ｃ
图形语言 符号语言 Ｃ∵AB∥CD, AD∥BC Ｄ
Ｂ Ｃ∵AB=CD, AD= BC
∴ABCD是平行四边形
∴ABCD是平行四边形
Ｂ Ｃ ∵∠A=∠C, ∠B=∠D Ｂ Ｃ ∵OA=OC, OB=OD
O
∴ABCD是平行四边形
∴ABCD是平行四边形
Ｂ
必做题
1、已知：E、F是平行四边形ABCD对角 线AC延长线上的两点，并且AE＝CF . 求证：四边形BFDE是平行四边形
命题3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
百炼成金
定义:两组对边分别平行的四边形是 平行四边形 定理1:两组对边分别相等的四边形是 平行四边形 定理2:两组对角分别相等的四边形是 平行四边形 定理3:对角线互相平分的四边形是 平行四边形
请你来判断：
下列哪些四边形是平行四边形？并说明理由
大显身手
人教版数学教材八年级下
18.1.2平行四边形的判定（1）
知识回顾 定义：两组对边分别平行的四边形 叫做平行四边形
边
平行四边形的两组对边 分别相等
平行四边 形的性质：
平行四边形的两组对角 角 分别相等 对角线 平行四边形的对角线互 相平分
得出猜想
命题1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
命题2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
例1：已知：E、F是平行四边形ABCD对 CF DE= ∥ BF . 角线AC上的两点，并且 AE 求证：四边形BFDE是平行四边形
课堂小结：
18.1.3平行四边形的性质课件华东师大版八年级数学下册
A.63°
B.72°
C.54°
D.60°
4. 如图，在□ABCD中，BF 平分∠ABC，交 AD 于点 F，
CE 平分∠BCD，交 AD 于点 E，AB = 6，EF = 2，则 BC 长为（ B ）
5. 如图，在平行四边形 ABCD 中，P 是 CD 边上一点， 且 AP 和 BP 分别平分∠DAB 和∠CBA，若 AD = 5， AP = 8，则△APB 的周长为__2_4____.
BC分别相交于点 E 和点 F .求证：OE=OF.
分析：要证明OE=OF，只要证明它们所在
A
E
O
D
的两个三角形全等即可.
证明：▱ABCD中
B
F
C
有OB=OD(平行四边形的对角线互相平分) 又∵∠DOE=∠BOF，
∵AD∥BC
∴△DEO≌△BFO.
∴∠DEO=∠BFE
∴OE=OF
9. 如图，▱ABCD的对角线AC与DB相交于点O，其周长为16，且△AOB
的周长比△BOCAB和BC的长.
解：在▱ABCD中
A
D
O
有OA=OC(平行四边形的对角线互相平分)
B
C
∵△AOB的周长+2=△BOC的周长
∴AB+OA+OB+2=BC+OB+OC，
∴2(AB+BC)=16
43;4=16
又∵▱ABCD的周长等于16
∴AB=3，BC=5
10. 如图，在▱ABCD中，对角线AC=21cm，BE⊥AC，垂足为点E，且 BE=5cm，ADAD和BC之间的距离.
1. 已知平行四边形 ABCD 的周长为 32，AB = 4，则 BC 的长为____1_2___.
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1.如图，在 ABCD中，若BE平分∠ABC， 则ED＝ 4cm ．
A
5cm 3
E 4cm
D
Ａ Ｅ
Ｄ
5cm
B
1 2 9cm
C
5cm
Ｂ Ｃ
2.如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB，点E为 垂足，如果∠A=125°，则∠BCE的度数为多少？
• 通过本节课的学习，你有什么收获？
１.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． ２.平行四边形的性质：对边平行
对边：AB与CD; BC与DA. 对角: ∠ABC与∠CDA; ∠BAD与∠DCB.
理解定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
A B C D 记作： ABCD
读作：平行四边形ABCD ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB∥CD
∵
AB∥CD
AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形
AD∥BC
∠A= ∠C, ∠B= ∠D（平行四边形的对角相等）
1.如图:在 ABCD中,根据已知你能得到哪 些结论？为什么?
A 30cm B
124°
32cm
56° 124°
D
30cm
56°
32cm
C
如图 小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形 的场地，其中一条边AB长为8m，其他三条边各长多少?
A 8cm B C D 解：∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD, AD=BC
∵AB=8m ∴CD=8m 又AB+BC+CD+AD=36, ∴ AD=BC=10m
1.如图, ABCD的周长是28cm,△ABC的周长
是22cm,则AC的长为(
A 6cm A B 12cm D C 4cm
)
D 8cm A B C D
B
C
2.如图,在 ABCD中,∠A:∠B=7:2,求 ∠C的度数.
已知： ABCD 求证：AB=CD，BC=DA； ∠B=∠D，∠A=∠C. 证明：连接AC ∵四边形ABCD是平行四边形
4 1 2 3
∴AB∥CD，AD∥BC ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4 在△ABC和△CDA中 ∠1＝∠2
AC＝CA ∠3＝∠4 ∴ △ABC≌△CDA（ASA）
∴AB＝CD，BC＝DA， ∠B＝∠D 又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4 ∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3 即∠BAD＝∠DCB
定理1：平行四边形的两组对边分别相等 定理2：平行四边形的两组对角分别相等
D C
几何语言：
∵ 四边形ABCD是平行四边形
A B
∴ AB＝CD，AD＝BC．（平行四边形的对边相等）
∠A= ∠C, ∠B= ∠D（平行四边形的对角相等）
在 ABCD中， AB＝CD，AD＝BC． （平行四边形的对边相等）
19.1平行四边形
平行四边形相关概念
1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
如图：四边形ABCD是平行四边形 记作： ABCD
BALeabharlann DC2．平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫
平行四边形的对角线．
线段AC、BD就是 ABCD的两条对角线。
3.平行四边形相对的边称为 对边, 相对的角称为 对角.
对边相等
对角相等
邻角互补
３.解决平行四边形的有关问题经常连结对角线转 化为三角形。
F D
G C
O
H
用两个全等的三角形纸片可以拼出几种 形状不同的平行四边形？
从拼图可以得到什么启示？
小结：
平行四边形可以是由两个全等的三角形组成， 因此在解决平行四边形的问题时，通常可以连结对 角线转化为两个全等的三角形进行解题。
平行四边形的边、角有怎样的数 量关系？
请用直尺,量角器等工具度量你手中平行 四边形的边和角，并记录下数据，验证猜想 AB=DC，AD=BC，∠A=∠C，∠B=∠D是否正确? 用你以前所学的知识证明猜想.
A
D
B
C
如图
①
②
2013-9-13
AB AD
CD BC
ABCD AB CD BC
ABCD
AD
7
如图是某区部分街道示意图，其中 BC∥AD∥EG，AB//FH∥DC．图中的平行四边形 9 共有_____个. 从B站乘车到D站只有两 A 条路线有直接到达的公交车， 路线1是B—E—A—F—D， E 路线2是B—H—O—G—D， 请比较两条路线路程的长短，B 并说明理由．