寿险精算学

solutions
(1) Ax e t fT (t )dt
0

1 1 e e dt 0 60 60 （2）Var ( zt ) 2 Ax ( Ax ) 2
60 t 60 2 t
60
1 e dt ( Ax ) 2 0 60 120 60 1 e 1 e ( )2 120 60


net single premium paid at the monent of death


死亡年末赔付保险趸缴纯保费的厘定
net single premium paid at the end of the year of death
递归方程 recursion equations 计算基数 commutation functions


假定： 岁的人，保额1元终身寿险 ( x) 基本函数关系
vt v , t 0
t
bt 1 , t 0
zt bt vt v , t 0
t
2.2、终身寿险
趸缴纯保费的符号：
厘定：

Ax
Ax E ( zt ) zt fT (t )dt
0
v t px x t dt e

2.1、n年定期寿险

定义
保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险责任范围内的死亡
给付保险金的险种，又称为n年死亡保险(the insurer provides for a payment only if the insured dies within the n-year term)。

定额受益保险
第二章中英文单词对照二
定期人寿保险 终身人寿保险 两全保险 生存保险

延期保险 变额受益保险

Term life insurance Whole life insurance Endowment insurance Pure endowment insurance Deferred insurance Varying benefit insurance
2、人寿保险的分类

受益金额是否恒定
定额受益保险 level benefit insurance 变额受益保险varying benefit insurance

保障标的的不同
人寿保险life insurance 生存保险pure endowment

保单签约日和保障期期 始日是否同时进行


假定： 岁的人，保额1元n年定期寿险 ( x) 基本函数关系
vt vt , t 0 1 , t n bt 0 , t n
v t , t n zt bt vt 0 , t n
2.1、n年定期寿险
趸缴纯保费的符号：
厘定：
A
1 x:n
A

被保障人群的大数性(large number of the insured)
这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计算出
平均赔付并可预测将来的风险。
4、趸缴纯保费的厘定
4.1假定条件(assumptions)
假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保险人
的剩余寿命是独立同分布的。 假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经验生 命表进行拟合(fitting)。 假定三：保险公司可以预测将来的投资受益（即 预定利率）。
趸缴纯保费的厘定
按照净均衡原则，趸缴纯保费就等于
E( zt )
第二节
死亡即刻赔付 趸缴纯保费的厘定
1、死亡即刻赔付(payable at the moment of death)
死亡即刻赔付的含义
死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发生
保险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事件发 生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应用场合， 保险公司通常采用的理赔方式。 由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意时刻， 所以死亡即刻赔付时刻是一个连续随机变量，它距 保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的剩 余寿命。
Example2.2.2


Assume that each of 100 independent lives is age x is subject to a constant force of mortality,=0.04 and is insured for a death benefit amount of 10 units,payable at the moment of death The benefit payment are to be withdrawn from an investment fund earing =0.06. Calculate the minimum amount that at t=0 so that the probability is approximately 0.95 that sufficient funds will be on hand to withdraw the benefit payment at the death of each individual
2、主要险种的趸缴纯保费的厘定
n年期定期寿险n-year term life insurance 终身寿险whole life insurance 延期m年的终身寿险m-year deferred whole life insurance n年期生存保险n-year pure endowment n年期两全保险n-year endowment 延期m年的n年期的两全保险m-year deferred nyear endowment 递增终身寿险increasing whole life insurance 递减n年定期寿险decreasing n-year term insurance
1 x:n
E ( zt ) zt fT (t )dt
0
n
v t px x t dt e
t 0 0
n
n
t t
px x t dt
2.1、n年定期寿险
现值随机变量的方差公式
Var( zt ) E ( z ) E ( zt ) e2t fT (t )dt E ( zt ) 2
4、趸缴纯保费的厘定
4.3基本符号



—— 的人。 ( x 投保年龄 ) ——人的极限年龄 ——保险金给付函数。 t —— 贴现函数。 v t ——保险给付金在保单生效时的现时值 t
b
z
x
zt bt vt
4、趸缴纯保费的厘定


趸缴纯保费的定义
在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的期望现时值
t 0 0


t t
px x t dt
2.2、终身寿险
现值随机变量的方差公式
Var ( zt ) E ( z ) E ( zt ) e 2 t fT (t )dt E ( zt ) 2
2 t 2 0


记
2
Ax e2 t fT (t )dt
0


show
1 （） 1 A30:10
(2)Var ( zt )
solutions
S ( x t ) 1 (1) f x (t ) S ( x) 100 x
t 0 1.1 1 10 1 t t 1 A30:10 v f 30 (t )dt 1.1 dt 0.092 0 0 70 70 ln1.1 10 2 1 1 2 2 t 1 （2）Var ( zt ) A30:10 ( A30:10 ) 1.1 dt 0.0922 0 70 t 0 1.21 1 10 0.092 2 0.055 70 ln1.21 10 10
Acturial Mathematics(寿险精算学)
第三章
Net Single Premium of Life Insurance
人寿保险趸缴纯保费的厘定
本章结构
人寿保险趸缴纯保费厘定原理 the principal of net single premiun 死亡即刻赔付保险趸缴纯保费的厘定
3、人寿保险的性质

保障的长期性(long term )
这使得从投保到赔付期间的投资受益（利息）成为不容
忽视的因素。

保险赔付金额和赔付时间的不确定性(uncertain of the size and time of payment)
人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的生命
状况。被保险人的死亡时间是一个随机变量。这就意味 着保险公司的赔付额也是一个随机变量，它依赖于被保 险人剩余寿命分布。
solutions
(3) Pr( zt 0.9 ) Pr(vt 0.9 ) ln 0.9 = Pr(t ln v ln 0.9 ) P(t ) ln v ln 0.9 60 60 ln v 0.9 ln 0.9 fT (t )dt 60 ln v ln 0.9 6 ln v 0.9 v 6 e 6
非延期保险non-deferred
insurance 两全保险 endowment insurance

保障期是否有限
定期寿险 term year
insurance 延期保险 deferred insurance
insurance 终身寿险whole life insurance
2.2、终身寿险

定义
保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任范围内的死亡