巧用矩阵特征值证明矩阵不等式

海南师范大学本科生毕业论文

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目录

1.引言 (1)

2.定义与符号 (1)

3.利用特征值证明矩阵不等式 (2)

3.1利用特征值估计矩阵和的特征值 (2)

3.2利用特征值估计矩阵行列式 (3)

3.3利用特征值估计Kronecker积的特征值 (5)

3.4利用特征值估计矩阵的迹 (6)

参考文献 (8)

巧用矩阵特征值证明矩阵不等式

（海南师范大学数学与统计学院，海口，571158)

摘 要:矩阵特征值问题是矩阵论中很重要的一部分,具有很重要的理论和实际意义。利用矩阵论中两个重要的基本概念特征值和特征向量证明矩阵不等式，在矩阵研究和应用中有着非常重要的作用。为此，本文介绍了矩阵特征值在证明有关矩阵和的的特征值、矩阵行列式、Kronecker 积的特征值、矩阵的迹等不等式上的应用。

关键词:矩阵特征值;行列式; 迹;Kronecker 积

Using matrix inequalities to prove matrix eigenvalue

Author: LI Yanlan Tutor: lecturer Zhang Tai

(School of Mathematics and and Statistics Hainan normal university, Haikou, 571158)

Abstract: The matrix eigenvalue problem is a very important part of matrix theory, they have considerably practical significance.The use of eigenvalue and eigenvector to prove matrix inequality play a very important role in the research of matrix. The paper introduces the matrix eigenvalue is used to prove that the inequality of matrix eigenvalues, matrix determinant, eigenvalues of Kronecker product and the matrix trace.

Key words : matrix eigenvalue; determinant; trace; Kronecker product

1.引言

矩阵特征值问题是矩阵中举足轻重的一部分。利用矩阵论中两个重要的基本概念特征值和特征向量来证明矩阵不等式是非常有用的方法，已有许多成果出现在一些国内外期刊文献中[4-8]。本文主要总结了矩阵特征值在证明矩阵和的的特征值、矩阵行列式、Kronecker 积的特征值、矩阵的迹等问题上的应用，并系统归纳了许多相关内容，肯定了利用矩阵特征值在证明矩阵不等式中的优势。

2.定义、符号

设n n C ⨯表示所有n 阶复方阵所成之集,n n R ⨯ 表示所有n 阶实方阵所成之集，. m n F ⨯以数域F 中的数为元素的m n ⨯阶矩阵集合，0A ≥表示A 为半正定矩阵。

定义1[1]设A 为n 阶方阵，若数和λ非零向量x 满足

Ax x λ=

则称λ为A 的特征值,x 为A 的对应于的特征向量.

定义2[1]设ij A a =为n 阶方阵，记'

*A A =;即取共轭同时又转置.若*A A =，则称A 为Hermite 阵. 定义3[2]设A 为n 阶Hermite 阵，若对于任意*,n x C x Ax o ∈≥，则称A 为半正定的，记为0A ≥.

定义4[1] 设A 为Hermite 矩阵，下列命题是等价地：

（1）A 是半正定的；

（2）对于任何n 阶可逆矩阵P 都有*P AP 是半正定的；

（3）A 的n 个特征值全是非负的；

定义5[1]设A =()ij a ∈n n C ⨯.称它为对角线元素之和的A 的迹.记为trA.即

1n

ii i trA a ==∑

定义6[2]设A =()ij a 和()ij B b =分别为m n ⨯和p q ⨯矩阵，矩阵()ij C a B =是一个mp nq ⨯矩阵，称为A 与B 的Kronecker 乘积，记为C A B =⊗，即

1112121

2121

2n n m m mn a B a B a B a B a B a B A B a B a B a B ⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅ ⎪⊗= ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭ 定义7[3] 对n 级复矩阵A ，如满足''

A A AA E ==,就叫做酉阵.它的行列式的绝对值等于1. 3.利用矩阵特征值证明矩阵不等式

3.1利用矩阵特征值估计矩阵和的的特征值

鉴于特征值的重要性,在很多期刊杂志上出现过研究特征值的各种不等式.而Rayleigh-Ritz 定理和Courant-Fischer 定理是比较重要的两个定理.他们通过Rayleigh-Ritz 商的各种极值来表征Hermite 阵的特征值,在应用上往往有这样的情况,我们感兴趣的是方阵A,但实际A 不能被精确观测到,我们只能观测A+B ，这种情况下,我们需要研究A+B 的特征值与A 和B 特征值之间的关系，下面的内容主要介绍如何利用矩阵特征值估计矩阵和的特征值.

引理3.1[1]（Rayleigh-Ritz ）设A 为n ×n Hermite 阵,则