数学分析习题集7复旦大学

∫a
2
f ( x )dx = ∫a
2T − b
f ( x )dx + 2∫T f ( x )dx 。
并给出它的几何解释。
⎧ xe − x , x ≥ 0, 4 ⎪ 计算 I = ∫ f ( x − 2)dx 。 13．设 f ( x) = ⎨ 1 1 , x < 0. ⎪ ⎩1 + e x 1 x 14．设函数 f ( x ) = ∫ ( x − t ) 2 g (t ) dt ，其中函数 g ( x ) 在 ( −∞,+∞ ) 上连续，且 g (1) = 5 ， 2 0
∫
e 1
f ( x ) dx ，求 ∫ f ( x ) dx 。
1
e
∫
1
0
tf ( 2 x − t ) dt =
2 1 arctan( x 2 ) ， f (1) = 1 。求 ∫ f ( x)dx 。 1 2
∫
nπ
0
x | sin x | dx ，其中 n 为正整数。
S ( x) 。 0 x → +∞ x 19. 设 f ( x ) 在 (0,+∞ ) 上连续，且对于任何 a > 0 有
∫0 t
x
x
f ( t ) dt
是定义在
∫ 0 f ( t ) dt
[0, + ∞ ) 上的单调增加函数。
4. 求函数 f ( x) =
1
∫
x
0
(t − 1)(t − 2) 2 dt 的极值。
⑵ lim ∫ n
n→∞ 2 n+ p
5 利用中值定理求下列极限： ⑴ lim ∫ 0
n→∞
xn dt ; 1+ x
b
c
∫c
b
f ( x )dx 都存在，就成立
∫a
4．判断下列积分的大小： ⑴ ⑶
b
f ( x )dx = ∫a f ( x )dx + ∫c f ( x )dx 。
⑵ ⑷
c
b
∫0 xdx
−1
1
和
∫0 x 2 dx ； ∫0 2 x dx ；
1
1
∫1
2
π 2
xdx 和
∫1
和
2
x 2 dx ；
1 ∫−2 ( 2 ) x dx 和
⑴ 6.
⑵
⎧ − 1, x为有理数, f (x) = ⎨ x为无理数; ⎩1,
x ≠ 0, ⎧ sgn(sin π x ), = ⑷ f (x) ⎨ x = 0. ⎩ 0,
1 在 f ( x)
设 f ( x ) 在 [a , b] 上可积，且在 [a , b] 上满足 | f ( x ) |≥ m > 0 （ m 为常数） ，证明
。
习
⒈
题
设函数 f ( x ) 连续，求下列函数 F ( x ) 的导数： ⑴ F(x) = ⑶ F(x) =
∫x
b
f ( t ) dt ;
∫0 sin
x 2
∫a
ln x
f ( t ) dt ;
∫
⎛ ⎜ ⎝ a
⎞ t dt ⎟ ⎠
1 dt . 1+ t2
⑵ lim x →0
2
⒉ 求下列极限： ⑴ lim
∫ g (t )dt = 2 ，证明 f ′( x) = x ∫
0
1
x
0
g (t )dt − ∫ tg (t )dt ，并计算 f ′′(1) 和 f ′′′(1) 。
0
x
15．设 (0,+∞ ) 上的连续函数 f ( x ) 满足 f ( x ) = ln x − 16. 设函数 f ( x ) 连续，且 17. 求
(16)
( x − 1)( x 2 − x + 1) dx ; ∫1 2x 2
2
∫0 x(1 − 4 x
1
π
4
1 2
2 10
) dx ;
( x + 1)dx
∫0 arcsin x dx ;
∫− cos 2 x dx ; ∫0 e x sin 2 x dx ;
π 2
π 4 π 4
x
∫
0
x tan 2 xdx ;
∫1
e
sin(ln x ) dx ; x 2 ln( x − 1) dx 。 dx ;
∫x
0
1
2
arc tan xdx ;
x 3 e − x 2 dx ;
;
4
∫1
e +1
∫0 ∫0
1
ln 2
∫e
0
1
2 x +1
dx 1 + e2x
∫−
∫0
1 2 1 2
dx ; (1 − x 2 )3
(17)
(19)
∫0 sin xdx
∫0 xdx 。
1
π 2
5．设 f ( x ) 在 [a , b] 上连续， f ( x ) ≥ 0 但不恒为 0，证明
∫a
b
b
f ( x )dx > 0 。
6．设 f ( x ) 在 [a , b] 上连续，且 ∫a f 2 ( x )dx = 0 ，证明 f ( x ) 在 [a , b] 上恒为 0。 7．设函数 f ( x ) 在 [ a , b] 上连续，在 ( a, b) 内可导，且满足
f ( x) g ( x)dx ⎤ ≤ ∫ f 2 ( x)dx ⋅ ∫ g 2 ( x)dx ； ⎥ a a ⎦
b b
2
2
( x)dx
} + {∫ g ( x)dx}
1 2 b 2 a
1 2
。
lim ∫ [ f ( x)] g ( x)dx
n →∞ a
{
b
} = max f ( x)
7.3
⑵ F(x) =
10． （Young 不等式）设 y = f ( x ) 是 [0, ∞ ) 上严格单调增加的连续函数，且 f (0) = 0 ，记 它的反函数为 x = f −1 ( y ) 。证明
a +b
∫
α
0
f ( x)dx ≥ α ∫ f ( x)dx 。
0
1
11． 证明定积分的连续性：设函数 f ( x ) 和 f h ( x ) = f ( x + h ) 在 [a , b] 上可积，则有
2 2 f ( x ) dx = f (b) 。 ∫ a b−a 证明：存在 ξ ∈ ( a , b ) ，使得 f ′(ξ ) = 0 。 8．设 ϕ (t ) 在 [0, a ] 上连续， f ( x ) 在 ( −∞,+∞ ) 上二阶可导，且 f ′′( x ) ≥ 0 。证明 ⎛1 a ⎞ 1 a f ⎜ ∫ ϕ (t )dt ⎟ ≤ ∫ f (ϕ (t ))dt 。 ⎝a 0 ⎠ a 0 9．设 f ( x ) 在 [0,1] 上连续，且单调减少，证明对任意 α ∈ [0,1] ，成立
⒊ ⒋ ⒌ 证明 Darboux 定理的后半部分：对任意有界函数 f ( x ) ，恒有
lim S ( P) = l 。
λ→ 0
证明定理 7.1.3。 讨论下列函数在 [0,1] 的可积性：
⎧ 1 − [ 1 ], x ≠ 0, f (x) = ⎨ x x x = 0; ⎩ 0, ⎧ 0, x为有理数, ⑶ f (x) = ⎨ ⎩ x, x为无理数;
⎛ x −1⎞ ⎟ dx ; ∫0 ⎜ ⎝ x +1⎠ dx 2 ∫1 x 1 + x 2 ;
1
(18)
1
x2 +1 dx ; x4 +1 x dx ; 2− x
(20)
∫0 x
1
7.
求下列极限：
2 3 n −1⎞ ⎛ 1 + 2 + 2 +"+ 2 ⎟; 2 n n n ⎠ ⎝n p p p p 1 + 2 + 3 +"+ n ⑵ lim ( p > 0 ); n→∞ n p +1 1⎛ π 2π ( n − 1)π ⎞ + " + sin ⑶ lim ⎜ sin + sin ⎟。 n→∞ n n n n ⎠ ⎝
18. 设函数 S ( x) =
∫ | cos t | dt , 求 lim
ax x
x
g ( x) = ∫ f (t )dt ≡ 常数， x ∈ (0,+∞ ) 。
c 证明： f ( x ) = ， x ∈ (0,+∞ ) ，其中 c 为常数。 x 20. 设 f ( x ) 在 (0,+∞ ) 上连续，证明 4 ⎛ x 4 ⎛ x 2 ⎞ ln x 2⎞1 dx = (ln 2) ∫ f ⎜ + ⎟ dx 。 + ⎟ ∫1 f ⎜ 1 ⎝2 x⎠ x ⎝2 x⎠ x 21．设 f ′( x ) 在 [ a , b] 上连续。证明 b 1 b max | f ( x ) |≤ f ( x ) dx + ∫a | f ′( x) | dx 。 a ≤ x ≤b b − a ∫a 22．设 f ( x ) 在 ( −∞,+∞ ) 上连续，证明
[a , b] 上也可积。 且 lim x n 存在， 证明 f ( x ) 在 [a , b] 7． 设有界函数 f ( x ) 在 [a , b] 上的不连续点为 {x n }∞ n =1 ，
n→∞
上可积。 8． 设 f ( x ) 是区间 [ a , b] 上的有界函数。证明 f ( x ) 在 [ a , b] 上可积的充分必要条件是对任 意给定的 ε > 0 与 σ > 0 ，存在划分 P ，使得振幅 ω i ≥ ε 的那些小区间 [ xi −1 , xi ] 的长 度之和 9.
∫
a
0
f ( x)dx +
∫0
b
f −1 ( y )dy ≥ ab
（ a > 0, b > 0 ） 。
lim ∫a | f h ( x ) − f ( x )| dx = 0 。
h→ 0
b
12．设 f ( x ) 和 g ( x ) 在 [a , b] 上都可积，证明不等式 (1) （Schwarz 不等式） ⎡
x→0
∫0
x
cos t 2 dt x
x
x2
;
∫cos x
1
e − w2 dw
2
;
⑶
x → +∞
lim
∫
0
(arc tan v) dv 1+ x2
;
x u2 ⎛ ⎜ ∫0 e du ⎞ ⎟ ⎠ ⑷ lim ⎝ x 2 x → +∞ 2u ∫ e du 0
。
2
⒊ 设 f ( x ) 是 [0, + ∞ ) 上的连续函数且恒有 f ( x ) > 0 ，证明 g ( x ) =
sin x dt x
( p∈N) 。
6.
求下列定积分： ⑴ ⑶ (5) (7) (9) (11) (13)
(15)
∫0x 2 ( 2 − x 2 )2 dx ; ∫0 ( 2 x + 3x )2 dx ;
∫−1 ( x 2 + 2 x + 5)2 ;
1
1
⑵ ⑷ (6) (8) (10) (12) (14)
π
11.
求下列定积分： ⑴ ⑶
∫0 x 2 [ x ] dx ; ∫0 x | x − a | dx ;
1
6
⑵ (4)
b
∫0 sgn( x − x 3 ) dx ;
∫0 [e
b
2
2
x
]dx .
12．设 f ( x ) 在 [ a , b] 上可积且关于 x = T 对称，这里 a < T < b 。则
习
⒈ 用定义计算下列定积分： ⑴ ⒉
1
题
7.1
1
∫ 0 ( ax + b) dx ;
⑵
∫ 0 a x dx
( a > 0 ).
λ →0
证明，若对 [a , b] 的任意划分和任意 ξ i ∈ [ x i −1 , x i ] ，极限 lim
∑ f (ξ )∆x
i =1 i
n
i
都存在，则
f ( x ) 必是 [a , b] 上的有界函数。
⑴ lim⎜
n→∞
8.
求下列定积分： ⑴ ⑶ (5)
∫0 cos n xdx ; ∫0 ( a 2 − x 2 ) n dx ;
1 ∫0 x
π 2
π
⑵ ⑷
∫−π sin n x dx ;
∫0 x
e
1 2
π
a
2
(1 − 4 x 2 )10 dx ;
n
n
ln
m
xdx
;
(6)
∫1 x ln
xdx .
9.
设 f ( x ) 在 [0,1] 上连续，证明： ⑴
⎢ ⎣∫
b
a
(2) （Minkowski 不等式）
13．设 f ( x ) 和 g ( x ) 在 [a , b] 上连续，且 f ( x ) ≥ 0 ， g ( x ) > 0 ，证明
{∫ [ f ( x) + g ( x)] dx} ≤ {∫ f
b 2 1 2 b a a
n 1 n a ≤ x ≤b
∫0ห้องสมุดไป่ตู้
f (cos x ) dx =
∫0
π 2
f (sin x ) dx ;
3
⑵ 10.
∫0 xf (sin x ) dx = 2 ∫0 ∫0
π
π
π
π
f (sin x ) dx 。
利用上题结果计算： ⑴ ⑶
x sin 4 x dx ;
x
⑵
∫0 1 + cos 2 x dx ;
π
x sin x
∫0 1 + sin 2 x dx 。
∫a
b
f ( x )dx = ∫a g( x )dx 。
b
2．设 f ( x ) 和 g ( x ) 在 [a , b] 上都可积，请举例说明一般有
∫
b
a
b b f ( x) g ( x)dx ≠ ⎛ ⎜ ∫a f ( x)dx ⎞ ⎟⋅⎛ ⎜ ∫a g ( x)dx ⎞ ⎟ 。 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3． 证明：对任意实数 a, b, c ，只要 ∫a f ( x )dx ， ∫a f ( x )dx 和
ω i ≥ε
∑ ∆x
i
< σ （即振幅不能任意小的那些小区间的长度之和可以任意小） 。
证明复合函数 g ( f ( x )) 设 f ( x ) 在 [a , b] 上可积，A ≤ f ( x ) ≤ B , g (u ) 在 [ A, B ] 上连续， 在 [a , b] 上可积。
习
题
7.2
1． 设 f ( x ) 在 [a , b] 上可积， g ( x ) 在 [a , b] 上定义，且在 [a , b] 中除了有限个点之外，都有 f ( x ) = g ( x ) ，证明 g ( x ) 在 [a , b] 上也可积，并且有