反函数PPT教学课件

x=f-1(y) 一般改写成 y=f-1(x), 其定义域为 C, 值域为 A.
二、定义理解
1.函数存在反函数的条件: 映射 f: A→C 为一一映射.
2.函数在其定义域区间上可能不存在反函数, 但可以在定义 域区间的某个子区间上存在反函数.
3.反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域.
注意: 反函数的定义域不能由其解析式来求.
1 f-1(x)
+
x +2, 求: (1) f-1(x) 的定义域和单调区间; (2) g(x) 的最
小值. 解: (1) ∵x≥1,
∴
0≤ xx+-11<1.
∴
0≤( xx+-11)2<1.
即 0≤f(x)<1.
∴f(x) 的值域是 [0, 1). 故 f-1(x) 的定义域是 [0, 1).
由 y=( xx+-11)2(x≥1)得:
f-1(x)>log21+kx .
解: (1) 由已知 f(0)=0, 解得 a=1;
(2)
当 ∴
a2=x(11时-y),=f1(+x)y=(22yxx+-111),(x∴R2x)=, 设11+-yyy=,f(x),
则 2xy+y=2x-1,
(3)
∴x=lowenku.baidu.com2
1+y 1-y
∴ f-1(x)=log2
8.已知函数 f(x)=2-x(x>0) 和定义在 R 上的奇函数 g(x), 当 x>0 时, g(x)=f(x), 试求 g(x) 的反函数.
解: 当 x>0 时, g(x)=f(x)=2-x 且有 0<g(x)<1; 当 x=0 时, g(0)=0 ;
当 x<0 时, 由于 g(x) 是奇函数, -x>0,
例4 解答下列关于反函数的问题:
(1)已知函数 f(x) = a 的值;
3x+2 x+a
的图像关于直线 y=x 对称,
求实数
(2)求函数 y= 1-x 与它的反函数图像的交点坐标.
例5 已知 f(x)=
2x 1+2x
,
x∈R,
求
f-1(
1 3
)
的值.
答案
4.(1)a=-3; (2)(
5.
f-1(
1 3
x-1 x+1
=
y,
解得:
x=
1+ 1-
y y (0≤y<1).
∴f-1(x)=
1+ 1-
x (0≤x<1). x
∴∴又对1--1任+ 1x意-1 >的21x-1x1<,x-x212>+01[,0-∴,21x),12且-. 2即xx1为1<<x:21f,--有12(xx:12)<x. f1-<1(x2x)2. <1. ∴ [0, 1) 是 f-1(x) 的单调增区间.
)=
-1.
5-1 2
,
5-1 2
);
(1,
0);
(0,
1).
七、课堂练习
1.若映射 f: A B 中, A=B={(x, y) | x∈R, y∈R}, f: (x, y) (x+2y+2, 4x+y), 试求: (1) A 中的元素 (5, 5) 的象; (2) B 中的元 素 (5, 5) 的原象.
一、醇的概述
1. 醇的分类
（1）根据羟基的数目分
（2）根据烃基是否饱和分
一元醇：如CH3OH 甲醇
二元醇：CH2OH 乙二醇 CH2OH
多元醇：CH2OH 丙三醇 CHOH CH2OH
饱和醇(含饱和一元醇)
不饱和醇 CH2=CHCH2OH
2. 几种典型的醇的物理性质和用途：
名 俗名 色、态、味 毒
3、 4、 5、
CH2OH
OH
6、
左侧有机物中
属于醇的是 1 3 4 ；
属于酚的是
256
。
两者相似之处？ 体会醇与酚的区别。
CH3CH2OH
乙醇
乙二醇
丙三醇
茶多酚
苯酚
漆酚
思考●讨论 什么是醇？什么是酚？
醇：烃分子中饱和碳原子上的一个或几 个氢原子被羟基取代生成的有机化合物
酚：芳香烃分子中苯环上的一个或几个 氢原子被羟基取代生成的有机化合物
原子数目称为某醇。
2.编号。从离羟基最近的一端开始编号。 3.定名称。在取代基名称之后，主链名称之前用
阿拉伯数字标出—OH的位次，且主链称为某醇。 羟基的个数用“二”、“三”等表示。
4. 醇的重要物理性质
〔阅读〕P56页表2-2-1相对分子质量相近的醇与 烷烃、烯烃的沸点比较
名称 相对分子质量
沸点/℃
一、定义
设函数 y=f(x) 定义域为 A, 值域为 C. 如果从式子 y=f(x) 解
得 x=(y), 且对于 y 在 C 中的任何一个值, x 在 A 中都有唯一 确定的值和它对应, 那么式子 x=(y) 就表示 x 是变量 y 的函数, 把 x=(y) 叫做函数 y=f(x) 的反函数, 记作: x=(y)=f-1(y).
x≥0, x<0.
5.已知点 (-2, -4) 在函数 f(x)=1- ax2+25 (-5≤x≤0) 的反函 数 f-1(x) 的图象上, 试讨论 f-1(x) 的单调性. 解: 由已知, 点 (-4, -2) 在函数 f(x)=1- ax2+25 的图象上.
∴ -2=1- 16a+25 . 解得 a=-1. ∴f(x)=1- 25-x2 . ∵-5≤x≤0, ∴-4≤f(x)≤1. 由 y=f(x)=1- 25-x2 得 x=- 25-(y-1)2 (-4≤y≤1).
H O H
H O HH O
C2H5
比较下表含相同碳原子数、不同羟基数的醇的沸点
名称
分子中羟基数目
沸点/℃
乙醇
1
78
乙二醇
2
197.3
1-丙醇
1
97.2
1，2-丙二醇
2
188
1，2，3-丙三醇
3
259
〔结论〕含相同碳原子数、不同羟基数的多元醇的沸点
比一元醇二元醇都高，多元醇具有易溶于水的性质。
〔原因〕是因为多元醇分子中羟基多，一方面增加了分子间 形成氢键的几率；另一方面增加了醇与水分子间形成氢键的几率。
,11又-+xx∵(-122<xxx+-<111=).1-
由不等式
f-1(x)>log2
1+x k
,
得
∴
x>1-k, -1<x<1.
又 k>0,
2 2x+1
(-1,
1),
11-+xx
>
1+x k
,
-1<x<1.
∴ 当 0<k<2 时, 1-k<x<1, 原不等式的解集为 (1-k, 1);
∴ 当 k≥2 时, -1<x<1, 原不等式的解集为 (-1, 1).
答案
1. (17, 25); (1, 1)
2.(-∞, 0], f-1(x)=log2(1- x+1 )(-1≤x<0);
[0, +∞), f-1(x)=log2(1+ x+1 )(x≥-1).
3.
f-1(x)=
1-ax x-2
(x≠2);
a=-2.
4.求函数 y=x|x|+2x 的反函数.
解: 原函数可写成: y=
5.饱和一元醇的水溶性
饱和一元醇分子中碳原子数1～3的醇能与水以任意 比例互溶；分子中碳原子数4～11的醇为油状液体， 仅部分溶与水；分子中碳原子更多的高级醇为固体， 不溶与水；
【规律】CnH2n+1OH可以看成是H-OH分子中的一个H原 子被烷基取代后的产物。当R-较小时，醇分子与水分子 形成的氢键使醇与水能互溶；随着分子中的R-的增大， 醇的物理性质接近烷烃。
y
y
y
y
1
-1 o x
1
o
x
-1
1
o 1x
1
o
x
-1
(A)
(B)
(C)
(D)
例3 求下列函数的反函数:
(1)
y=
2+ 3-
x x
(0≤x<1);
(2) y=x|x-2|+4x.
(1)
y
=(
3x-2 x+1
)2(
2 3
≤x<
3 2
).
(2) y = x+1 -1 (x≥8), 3- 9-x (x<8).
x-2 2x-1
(x∈R, 且
x≠
12)
(B) y=
2x-1 x-2
(x∈R,
且
x
≠
2)
(C) y=
x+2 2x-1
(x∈R, 且
x≠
12)
(D) y= 2xx+-21(x∈R, 且 x≠-2)
例2 设函数 f(x)=1- 1-x2 (-1≤x≤0), 则函数 y=f-1(x)的图像可 能是 ( B)
称
性
甲 木醇 无色、有酒 有
醇
精气味、具 毒
有挥性液体
乙
无色、粘稠、 无
二
甜味、液体 毒
醇
丙 甘油 无色、粘稠、 无
三
甜味、液体 毒
醇
水溶性
与水互 溶
与水互 溶
与水互 溶
用途
燃料、化工 原料
防冻液、合 成涤纶、
化妆品、制 炸药（硝化 甘油）
3.醇的命名
1.选主链。选含—OH的最长碳链作主链，根据碳
6.已知函数 f(x)=( xx+-11)2 (x≥1), f-1(x) 是 f(x) 的反函数, g(x)=
1 f-1(x)
+
x +2, 求: (1) f-1(x) 的定义域和单调区间; (2) g(x) 的最
小值.
解:
(2)
由已知
g(x)=
11+
x x
+
x
+2
=
2 1+
x
+1+
x (0≤x<1).
四、求函数的反函数的步骤
1.求函数 y=f(x) 中 y 的取值范围, 得其反函数中 x 的取值范围; 2.由 y=f(x) 解出 x=f-1(y) (即用 y 表示 x); 3.交换 x=f-1(y) 中的字母 x, y, 得 f(x) 反函数的表达式 y=f-1(x), 4. 标出 y=f-1(x) 中 x 的取值范围.
∴ f-1(x) =- 25-(x-1)2 (-4≤x≤1).
令 t(x)=25-(x-1)2, 易知, t(x) 是 [-4, 1] 上的增函数. 又 y=- t 是减函数,
∴ f-1(x) =- 25-(x-1)2 是 [-4, 1] 上的减函数.
6.已知函数 f(x)=( xx+-11)2 (x≥1), f-1(x) 是 f(x) 的反函数, g(x)=
甲醇
32
65
乙烷
30
－89
乙烯
28
－102
乙醇
46
78
丙烷
44
－42
丙烯
42
－48
〔结论〕从表2-2-1数据可以看出：饱和一 元醇的沸点比与其相对质量接近的烷烃或烯 烃的沸点要高。 〔原因〕这主要是因为一个醇分子中羟基上 的氢原子可与另一个醇分子中羟基上的氧原 子相互吸引形成氢键，增强了醇分子间的相 互作用
∴g(x)=-g(-x)=-2-(-x)=-2x 且有 -1<g(x)<0.
2-x, x>0, ∴g(x)= 0, x=0,
-2x, x<0.
∴g-1(x)=
-log2x, 0,
0<x<1, x=0,
log2 (-x), -1<x<0.
第二节 醇 酚
（第一课时）
酒精饮料 的中乙醇
酒精燃料 的中乙醇 汽车发动机防冻
三、简单性质
1.互为反函数的两个函数的图像关于直线 y=x 对称;
2.单调函数一定存在反函数, 但有反函数的函数不一定是单 调函数;
3.奇函数不一定有反函数, 偶函数在一般情况下无反函数;
4.互为反函数的两个函数在各自的定义域区间上具有相同的 单调性;
5.若 b=f(a), 则 a=f-1(b); 若 a=f-1(b), 则 b=f(a), 即: 若 a∈A, b∈C, 则 f-1[f(a)]=a, f[f-1(b)]=b.
x2+2x, -x2+2x,
x≥0, x<0.
即 y=
(x+1)2-1, -(x-1)2+1,
x≥0, x<0.
当 x≥0 时, y≥0, 由 y=(x+1)2-1 得: x=-1+ y+1 ;
当 x<0 时, y<0, 由 y=-(x-1)2+1 得: x=1- 1-y .
故所求反函数为 y=
-1+ x+1, 1- 1-x ,
2.试求使函数y=4x-2x+1 存在反函数的定义域区间, 并求相 应区间上的反函数.
3.已知
f(x)
=
2x+1 x+a
(x≠-a,
a
≠
)12. (1) 求 f(x) 的反函数 f-1(x);
(2) 若f(x)=f-1(x), 求 a 的值; (3)作出满足(2)中条件的 y=f-1(x) 的
图象.
由均值不等式, 有: g(x) ≥2 2 .
仅当 x=3-2 2 时取等号.
∴当 x=3-2 2 时, g(x) 取得最小值 2 2 .
7.已知
f(x)=
a·2x-1 1+2x
(aR)
是
R
上的奇函数.
(1)求 a 的值;
(2)求 f(x) 的反函数 f-1(x); (3)对任意给定的 k>0, 解不等式:
液中的乙二醇
化妆品中 的丙三醇
茶叶中的茶多酚
药皂中的苯酚
漂亮漆器上的漆酚
教学目标：
1、知道醇的的主要类型，能列举一些常见的 醇并说明其用途。
2、能够利用系统命名法对简单的饱和一元醇 进行命名。
3、了解饱和一元醇的沸点和水溶性特点。 4、根据饱和一元醇的结构特征，说明醇的化
学性质及应用。
1、CH3CH2OH 2、
五、函数与其反函数图像的交点问题
如果一个函数与其反函数的图像有公共点, 则公共点在 直线 y=x 上, 或者关于直线 y=x 对称地成对出现.
例如函数 y = -3x+7 ; 又如函数 y =(116 )x.
六、典型例题
例1
函数
y=
x-2 2x-1
(x∈R,
且
x≠
12) 的反函数是 (
A)
(A) y=