14.1.1算术平方根
算术平方根教学设计10篇
算术平方根教学设计10篇《平方根》教案篇一教学设计示例一．教学目标1.会用计算器求数的平方根；2.通过用计算器求值及近似值计算，提高学生的运算能力和动手能力；3.通过利用计算器求值体验现代科技产品迅速、精确的功能，激发学习知识的兴趣。
二．教学重点与难点教学重点：用计算器求一个正数的平方根的程序教学难点：准确用计算器求解一个正数的平方根三．教学方法讲练结合四．教学手段实物投影仪，计算器五．教学过程在前面我们已学过平方根的概念，现在已掌握了一些数的平方根，如4，25，0.01，等数的平方根，但对于如：2，3，，0.3的平方根就不能像前面的数那样容易求解了，只能用根号表示。
具体的值或近似值如何求解的？在乘方时曾讲过毅力计算器求解，今天我们来研究如何用计算器求解一个数的平方根。
复习提问学生有关乘方如何用计算器运算的步骤。
熟悉计算器基本键的功能。
现在讲计算器打开，按键，屏幕上显示“0”此时可以进行运算。
例1．用计算器求的值。
分析：首先要学生熟悉计算器基本键的功能，对于平方根运算尤其要掌握“2F”的功能。
解：用计算器求的步骤如下：小结：在求解的过程中，由于要用到这个键上方的功能，这就需要用上方标有“2F”的键来转换。
例2．用计算器求的值。
（保留4个有效数字）解：用计算器求的步骤如下：小结：由于计算器的结果较精确小数的位数较多，在遇到开方开不尽的情况下，如无特殊说明，计算结果一律保留四个有效数字。
例3．用计算器求的'值。
解：用计算器求的步骤如下：因为计算结果要求保留4个有效数字，例4．用计算器求1360.57的平方根。
解：用计算器求1360.57平方根的步骤如下：因为计算结果要求保留4个有效数字，小结：这里要注意一个正数的平方根有两个，且互为相反数，用计算器求的式这个数的算术平方根。
例5．用计算器求值：分析：本题是由加、减、乘方、开方运算的混合运算题，由于计算器能自动识别运算顺序，故按键顺序与书写顺序完全一致。
2022年初中数学精品《平方根》word版精品教案
14.1平方根（1）教学目标【知识与能力】1.能说出平方根的概念,会用根号表示一个数的平方根.2.知道开平方与平方是互逆运算,会利用这个互逆运算关系求某些非负数的平方根.3.知道±√a表示的是非负数a的平方根.【过程与方法】在学习开平方运算求一个数的平方根的过程中,体会开平方运算与平方运算之间的互逆关系.【情感态度价值观】1.通过探究学习,使学生进一步感受到所学数学知识之间的内在联系.2.培养学生发现问题、归纳结论、应用新知的意识,培养学生学数学、爱数学的良好情感.教学重难点【教学重点】平方根、算术平方根的概念及求法.【教学难点】有关平方根、算术平方根的运算以及它们的区别与联系.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方的运算,但在现实生活中,有些问题仅运用这五种运算是无法解决的.例如:小明家有一块面积为100 m2的正方形花圃.花圃周围要用护栏围起来,需要护栏多少米?解决这个问题就要运用一种新的运算,这种运算叫做开平方.这节课我们就要学习开平方运算和平方根.[设计意图]新课程数学课堂强调,从学生已有的经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并解释与应用的过程,进而使学生获得对数学理解的同时,在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展.导入二:小明家的新房刚刚装修好,星期天小明的爸爸带着小明去挑选餐桌.他们看中了一款非常漂亮的餐桌,可是不知道边长是多少,正当小明的爸爸犯愁的时候,小明看了看桌子上的标签,得意地说:“我知道了”.几秒之后提问:同学们,你们知道吗?[设计意图] 设疑之后,引导学生发现这个问题的本质,即求平方等于100的数是多少.随后,再说几个数让学生们找哪些数的平方等于它们.有了以上的铺垫,解决这一问题对于学生来说就轻而易举了,即可轻松地引入课题. 导入三:玲玲家最近喜事不断,家里新购了一套房子,全家欢欢喜喜地搬进新居,爸爸妈妈又增加了工资.条件改善了,为了给玲玲一个好的学习环境,爸爸打算给玲玲买一张桌子供她在家做作业.爸爸问玲玲:“你喜欢长方形桌子还是正方形桌子?”玲玲认为正方形桌子更大,可以多放点书,又可以有足够的位置写字,所以她更喜欢正方形桌子.于是爸爸根据她的要求为她购置了一张正方形桌子,玲玲量了量课桌的边长为100 cm,你能算出这张桌子的周长和面积吗?如果玲玲更直接地告诉爸爸:“我想要一张面积约为125 dm 2的正方形桌子”.爸爸能为她购置到满意的桌子吗?计算正方形的面积必须要知道正方形的边长,根据边长求面积是乘方运算,而根据面积求边长又是什么运算呢?这节课我们就来探讨这个问题.[设计意图] 好的故事情境,充满了生活气息,让学生感知数学与生活的密切联系,从中体会学习数学的重要性,使学生更能积极地投入到本节的学习之中.二、新知构建：活动一:做一做——感知平方根思路一 【课件1】1.35和-35的平方等于多少?10和-10的平方等于多少?2.平方等于925的数有哪些?平方等于100的数呢? 3.满足x 2=25的x 的值是多少?解:1.925,100. 2.35,-35,10,-10. 3.5,-5.教师说明:因为52=25,所以x =5;又因为(-5)2=25,所以5或-5的平方都等于25. 因为5和-5的平方都等于25,我们把5和-5叫做25的平方根.归纳:一般地,如果一个数x 的平方等于a ,即x 2=a ,那么这个数x 就叫做a 的平方根,也叫做a 的二次方根.例如:100的平方根是10与-10.因为(±10)2=100,所以10与-10都是100的平方根. 你能说出49,144的平方根吗?(49的平方根是7和-7;144的平方根是12和-12.)[设计意图] 使学生初步体会到:(1)互为相反数的两个数的平方相等;(2)初步感受平方与开平方这种互逆关系.【课件2】(1)当一个正数和一个负数互为相反数时,它们的平方有什么关系?(2)正数有平方根吗?如果有,有几个?它们有什么关系?(3)0有平方根吗?如果有,它是什么数?(4)负数有平方根吗?学生独自思考,通过具体实例弄懂上述问题,然后总结出:(1)它们的平方相等.(2)一个正数有两个平方根,它们互为相反数.(3)0有一个平方根,是0本身.(4)负数没有平方根.说明:通过具体数的平方根的探究,引导学生总结出正数、0、负数的平方根的情况.教师指出:一个正数a的正的平方根,用符号“√a”表示,a叫做被开方数.正数a的负的平方根,用符号“-√a”表示,这两个平方根合起来可以记作“±√a”.根指数是2时,通常这个2省略不写,如√a记作√a,读作“根号a”;±√a记作±√a,读作“正、负根号a”.【课件3】观察框图,说一说求一个数的平方运算和求一个数的平方根运算具有怎样的关系.教师指导学生根据框图,明确求一个数的平方运算和求一个数的平方根运算互为逆运算,并举例加以说明,我们把求一个数的平方根的运算,叫做开平方.[设计意图]理解和掌握平方根的性质,认识平方与开平方互为逆运算.思路二说明:导入一中的问题,实际就是要求一个数,这个数的平方等于100,结合以前乘方的知识,我们不难得出102=100.所以护栏的边长是10 m.教师说明:一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根,也叫做a的二次方根.因为52=25,所以5是25的一个平方根.说明:除52=25外,可以由学生多举几个例子,以加深对概念的认识,从具体到抽象,便于学生理解和接受平方根的概念.问1:25的平方根只有一个吗?有没有其他的数,它的平方也是25?学生思考,快速得到:因为(-5)2=25,所以-5也是25的一个平方根.问2:从上述解决问题的过程中,你能总结一下求一个数的平方根的方法吗?(根据平方根的意义,可以利用平方来寻找或检验一个数的平方根)【课件4】求100的平方根.问1:你能按照上述问题解决的方法求出100的平方根吗?问2:你能正确书写解题过程吗?解:∵(10)2=100,(-10)2=100,∴100的平方根为10或-10(也可以写成±10).说明:理解概念的基础上,引导学生思考,由学生口述,教师适时纠正易出现的错误,板书规范解题格式.【课件5】 试一试. (1)144的平方根是什么? (2)0.0001的平方根是什么? (3)0的平方根是什么?讨论:通过刚才的“试一试”你能发现什么规律? 总结:1.正数的平方根有两个,它们互为相反数. 2.0的平方根是0.由以上讨论发现,有时候我们已知一个数要求这个数的二次幂时,只有一个,也有些时候,我们已知某数的二次幂,要求出这个数,发现此时通常可找到两个数,且这两个数互为相反数.[设计意图] 进一步巩固有关平方根的概念,在练习中总结平方根的有关性质,培养学生的总结归纳能力.教师引导,学生自己总结出平方根的性质,充分反映了“教师主导,学生主体”的理念.问1:-4有没有平方根?为什么?学生思考得出:一个负数没有平方根,因为任何数的平方都是非负数. 结论:1.正数的平方根有两个,它们互为相反数.2.0的平方根只有一个,为0.3.负数没有平方根.(补充:非负数才有平方根.) 问2:a 有没有平方根?为什么?结合问1:当a ≥0时,a 有平方根;当a <0时,a 没有平方根.[设计意图] 引导学生学会用简练的数学语言来表达,促进学生数学思维的发展及数学语言的运用.注:学生刚开始接触平方根时,有两点可能不太习惯:一是正数有两个平方根,即正数进行开平方运算时有两个结果,这与学生过去遇到的运算结果唯一的情况有所不同;另一个是负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算.教学时,可以通过较多实例说明这两点,并在本节以后的教学中继续强化这两点.说明:正数a 的两个平方根记为±√a ,其中a 叫做被开方数.如4的平方根为±√4,被开方数是4;0.01的平方根为±√0.01,被开方数是0.01. 活动二:例题讲解【课件6】求下列各数的平方根.(1)81; (2)36121; (3)0.04.指导学生利用平方与开平方的互逆关系求各数的平方根. 解:(1)因为(±9)2=81,所以81的平方根为±9,即±√81=±9. (2)因为(±611)2=36121,所以36121的平方根为±611,即±√36121=±611. (3)因为(±0.2)2=0.04,所以0.04的平方根为±0.2,即±√0.04=±0.2.教师规范书写格式.思考:±√a表示什么意思,这里的a可取什么样的数呢?-√x-1又该怎样理解呢?这里的x又可取什么样的数呢?学生讨论回答.【课件7】(补充)下列各数有平方根吗?如果有,求出它的平方根,如果没有,说明理由.-64,0,(-4)2.学生分组讨论,选派一名代表回答.解:-64没有平方根;0的平方根是0;(-4)2的平方根是±4.[知识拓展](1)平方根是一个数,是开平方的结果;而开平方和加、减、乘、除、乘方一样,指的是一种运算,是求平方根的过程.(2)平方和开平方互为逆运算,我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确.(3)平方和开平方之间的关系我们可以这样来理解:①已知底数m和指数2,求幂,是平方运算,即m2=(?);②已知幂a和指数2,求底数,是开平方运算,即(?)2=a.[设计意图]通过例题,让学生掌握平方根的计算方法,强化对平方根性质的理解,进一步掌握正数有两个平方根,它们互为相反数;负数没有平方根;0的平方根是0.三、课堂小结：平方根的定义一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根,也叫做a的二次方根.表示方法当a为正数时,a的平方根为±√a.平方根的性质(1)一个正数有两个平方根,它们互为相反数.(2)0只有一个平方根,是0本身.(3)负数没有平方根.1.2.3 绝对值【知识与技能】1.借助数轴初步理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值.2.通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用.【过程与方法】通过观察实例及绝对值的几何意义，探索一个数的绝对值与这个数之间的关系，培养学生语言描述能力.【情感态度】帮助学生体会绝对值的意义和作用，感受数学在生活中的价值.【教学重点】理解绝对值的含义.【教学难点】正确理解绝对值的代数意义及其应用.一、情景导入，初步认知上一节我们学过互为相反数的两个数到原点的距离相等.1.什么叫相反数？互为相反数的两个数的代数意义及几何特征如何？２.到原点的距离为2.5的点有几个？它们有什么特征？【教学说明】对上节课的知识进行复习，同时为本节课的教学作准备.二、思考探究，获取新知1.思考：小明家、学校、小李家在数轴上的位置分别如图中点A、O、B所示，若数轴的单位长度表示1km，则A,B两点表示的有理数分别是多少？小明、小李各自从家到学校要走多远？【归纳结论】在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值.如4叫做-4的绝对值，记作“|-4|=4”.2.求下列各数的绝对值：6、-7、1、-21，+94，0，-7.8.观察并回答下列问题：（1）正数的绝对值有什么特点？（2）负数的绝对值有什么特点？（3）0的绝对值是什么？【归纳结论】正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.3.给出几对相反数，让学生求出它们的绝对值后，引导学生思考：互为相反数的两个数的绝对值有什么关系?4.每两个同学相互给对方任意写出三个正数、三个负数和零，然后要求对方求出它们的绝对值.【教学说明】同桌之间举例，体现了“自主——协作”学习.积极调动学生的思维，使学生在协商、讨论中将问题逐渐明朗化、具体化，在共享集体思维成果的基础上达到对当前所学内容比较全面、正确的理解.5.如果a表示一个数，则|a|等于多少？同时你发现了什么？【归纳结论】一般地，如果a表示一个数，则（1）当a是正数时，|a|=a；（2）当a=0时，|a|=0；（3）当a是负数时，|a|=-a.任何一个数的绝对值都是一个非负数.【教学说明】对数a的绝对值的讨论，是初中阶段渗透数学分类思想的重要体现，限于学生的认知水平，本环节教师给出思考的问题，帮助学生明确思考方向，大大降低了讨论和理解难度，保护学生学习的信心.三、运用新知，深化理解1.教材P12例5、例6.2.下列说法中正确的个数是(C)(1)一个正数的绝对值是它本身;(2)一个非正数的绝对值是它的相反数; (3)互为相反数的两个数的绝对值相等; (4)一个非正数的绝对值是它本身. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.若-│a │=-3.2,则a 是(C) A.3.2B.-3.2C.±3.2D.以上都不对4.一个数的绝对值等于它的相反数的数一定是(C) A.负数 B.正数 C.负数或零 D.正数或零5.a<0时,化简3a aa结果为(B) A.23B.0C.-1D.-2a 6.绝对值小于5而不小于2的所有整数有±4,±3,±2. 7.绝对值和相反数都等于它本身的数是0.8.数a 的绝对值等于9，那么在数轴上表示数a 的点与原点的距离是9，这样的点在数轴上共有2个.9.计算.10.化简下列各式：【教学说明】对本节知识进行巩固训练，进一步培养学生分析问题、解决问题的能力.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“习题1.2”中第6、7、10题.一个数的绝对值实质上是数轴上该数所对应的点到原点的距离的数值，而这种几何解释反映了绝对值概念的本质，学生在对概念理解的基础上，最后再概括上升到形式定义上来，这样比较符合从感性认识上升到理性认识的规律，同时使得绝对值概念的非负性具有较扎实的基础.在传授知识的同时，一定要重视学科基本思想方法的教学，如果把数学思想和方法学好了，在数学思想和方法的指导下运用数学方法驾驭数学知识，就能逐步形成和发展学生的数学能力.。
14.1平方根
a(a＞0)
2、 a a
2
0（a=0) -a(a＜0)
3、
a
2
a(a 0)
计算下列各式：
(1)
1.69
9 49(2) 25(3)(4)
17
2
解：（1） 1.69 1.32 1.3
14.1平方根
学习目标：
1、掌握平方根的定义和性质，并会用符号来 表 示一个非负数的平方根
2、理解平方与开平方为互逆运算
3、会应用平方与开平方为互逆运算的关系求 一 个非负数的平方根
我们已学过了有理数的加法、减法、乘法、除 法、乘方这五种运算。
在这五种运算中：
★加法与减法互为逆运算；
★乘法与除法互为逆运算；
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正数a的正的平方根叫做a的算术平方根。
正数a的算术平方根记作： a 它的另一个平方根记作： a a 一个正数a的平方根表示为： 0的算术平方根还是0
说明：这样求一个正数的平方根，只 要求出它的算术平方根后，就可以写 出它的平方根了。
5 的平方根，可以记作 5 和－ 5 ，或± 5
★那么乘方与谁互为逆运算呢？
本节课我们就来学习研究这个问题。
做一做
3 5
2
9 25
3 9 25 5
2
10
2
100
10
X=5
2
100
2
25
或
x=-5
平方根定义
(
) a
2
一般地，如果一个数x的平方等于a， 即x² =a，这个数x就叫做a的平方根， 也叫做a的二次方根。
平方根
“平方根”在汉英词典中的解释： 平方根”在汉英词典中的解释：
1.[Mathematics] square root
平方根表
1^2=1 2^2=4 3^2=9 4^2=16 5^2=25 6^2=36 7^2=49 8^2=64 9^2=81 10^2=100 11^2=121 12^2=144 13^2=169 14^2=196 15^2=225 16^2=256 17^2=289 18^2=324 19^2=361 20^2=400
平方根
有关系，输出值会自动调节，接近准确值。 例如A=200. 200介如10的平方---20的平方之间。初始值可以取11，12，13，14，15，16，17，18， 19。我们取15. 第一步：15+（200/15-15)1/2=14。取19也一样得出14.。：19+（200/19-19)1/2=14.。 第二步：14+(200/14-14)1/2=14.1。 第三步：14.1+（200/14.1-14.1)1/2=14.14. 这个方法的依据是根据牛顿切线法得来。也可以通过牛顿二项式定理推出。 A=(X±Y)^k=展开，把A即(X±Y)^k展开后代入公式就得到推导过程。X是假想值，Y是误 差值。 X(n+1)=Xn-(X^k-A)/kX^(k-1)=Xn-f(X)/f'(x)=Xn+(A/X^(k-1)X(n+1)=Xn-(X^k-A)/kX^(k-1)=Xn-f(X)/f'(x)=Xn+(A/X^(k-1)-Xn)1 x)=X^K- f'(X)=KX^(k（f（x)=X^K-A; f'(X)=KX^(k-1）；
C语言版求平方根
double Sqrt(double a,double p)//a是被开平方根数，p是所求精度
冀教版八年级数学上册《14.1平方根》同步练习题(带答案)
冀教版八年级数学上册《14.1 平方根》同步练习题(带答案)一、选择题1.数14的算术平方根是( ) A.12 B.－12 C.116 D.±122.化简：9＝( )A.2B.3C.4D.53.已知一个正方体的表面积为12dm 2，则这个正方体的棱长为( )A.1dmB.2dmC.6dmD.3dm4.一个自然数的算术平方根是x ，则它后面一个数的算术平方根是( )A.x ＋1B.x 2＋1C.x ＋1D.1＋x 25.设a=76，则下列关于a 的取值范围正确的是（ ）A.8.0<a<8.2B. 8.2<a<8.5C. 8.5<a<8.8D. 8.8<a<9.16.估计7+1的值（ ）A.在1和2之间B.在2和3之间C.在3和4之间D.在4和5之间7.下列叙述中正确的是( )A.(－11)2的算术平方根是±11B.大于零而小于1的数的算术平方根比原数大C.大于零而小于1的数的平方根比原数大D.任何一个非负数的平方根都是非负数8.计算1916＋42536的值为( ) A.2512 B.3512 C.4712 D.57129.若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，则m 的值是（ ）A.-3B.1C.-3或1D.-110.分别取9和4的一个平方根相加，其可能结果为( )A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题11.9的算术平方根是_____.12.计算：81-4= .13.把无理数11，5，﹣3表示在数轴上，在这三个无理数中，被墨迹(如图所示)覆盖住的无理数是 .14.取2＝1.4142135623731…的近似值，若要求精确到0.01，则2＝.15.如果a，b分别是30的两个平方根，那么a＋b﹣ab＝.16.如果一个数的平方根是a＋3和2a﹣15，则a的值为_____，这个数为_____．三、解答题17.求x的值：16x2﹣9=4018.求x的值：（x＋2）2－36=0；19.求x的值：（x﹣1）2=6.20.求x的值：4(3x＋1)2﹣1＝0.21.求下列各式的值：(1)225； (2)－3649； (3)±144121.22.一个正数x的平方根是3a－4和1－6a，求a及x的值.23.已知2a－1的平方根是±3，（－16）2的算术平方根是b，求a＋b.24.已知a－1和5－2a都是m的平方根，求a与m的值.25.你能找出规律吗？(1)计算：4×9＝________，4×9＝________；16×25＝________，16×25＝________；(2)请按找到的规律计算：①5×125；②123×935；(3)已知a＝2，b＝10，用含a，b的式子表示40.答案1.A2.B3.B4.D5.C6.C7.B8.B9.C10.D11.答案为：3.12.答案为：5.13.答案为：11.14.答案为：1.41.15.答案为：30.16.答案为：4，49.17.解：x=±74. 18.解：x=4或x=－8.19.解：x=6+1或x=﹣6+1.20.解：4(3x ＋1)2＝1(3x ＋1)2＝143x ＋1＝±12，3x ＝﹣1±12x ＝﹣12或x ＝﹣16. 21.解：(1)∵152＝225，∴225＝15.(2)∵(67)2＝3649，∴－3649＝－67.(3)∵(1211)2＝144121，∴±144121＝±1211.22.解：由题意得3a－4＋1－6a＝0，解得a＝－1. ∴3a－4＝－7.∴x＝(－7)2＝49.答：a的值是－1，x的值是49.23.解：由题意，得2a－1＝32.解得a＝5.由于（－16）2＝16∴b＝4.∴a＋b＝5＋4＝3.24.解：根据题意，分以下两种情况：①当a－1与5－2a是同一个平方根时a－1＝5－2a.解得a＝2.此时，m＝12＝1；②当a－1与5－2a是两个平方根时a－1＋5－2a＝0.解得a＝4.此时，m＝(4－1)2＝9.综上所述，当a＝2时，m＝1；当a＝4时，m＝9.25.解：(1)6 6 20 20；(2)①原式＝5×125＝25.②原式＝53×485＝4.(3)40＝2×2×10＝2×2×10＝a2b.。
14.1平方根
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正数a的正的平方根叫做a的算术平方根。
正数a的算术平方根记作： a 它的另一个平方根记作： a a 一个正数a的平方根表示为： 0的算术平方根还是0
说明：这样求一个正数的平方根，只 要求出它的算术平方根后，就可以写 出它的平方根了。
5 的平方根，可以记作 5 和－ 5 ，或± 5
表示方法：
一个正数有两个平方根： 一个正数，一个负数，我们把正数a的正的平方 根用符号“ a ”表示，读作“根号a”；把正数 a a的负的平方根用符号“ ”表示，读作“负根 号a”。 正数a的两个平方根记为“ ”，其 a 中a成为被开方数。
练一练 说明各式表示的意义.
（1）
0.81
，（2）－
144
即 100 10 注意：不能写成 100 10 请你妨照上面的例子完成其余三个小题。
利用平方根的定义解方程
计算下列各式的x值 （1）16x² -49=0
解：因为16x² -49=0， 所以X² =16/49 因为（±4/7）² =16/49 所以x=±4/7
（2）3（x-1）² =300
例如16的平方根时4和-4， 100的平方是10或-10
认真观察下式可知：
(
2
) 9
2
我们把括号里的±3叫做9的平方根（二次 方根）。 一般地，如果 x a ，那么 平方根， a 叫 x 的平方数。
x
叫
a
的
说出刚才举例中什么数是什么数的平方根
一起探究
1.填写下表
x
…
-3
3 -2
9 4
-1
0
1
3 2
9 4
3
…
算术平方根(最新)
身边小事
学校要举行美术作品比 赛，小鸥很高兴，他想裁出 一块面积为25平方分米的正 方形画布，画上自己的得意 之作参加比赛，这块正方形 画布的边长应取多少？
5
因为 5 =25
2
小欧与同学们还要准备一些面 积如下的正方形画布,请你帮他 把这些正方形的边长都算出来.
填表：
正方形 的面积 边长
1 1
9 3
2、 a 是什么数？
被开方数a是非负数，即 a 0
a 是非负数，即 a 0
我能分清楚
下列各式中哪些有意义？哪些无意义？为什么？
5 ; 3 ; 3 ;
答：有意义的是
3 ;
2
5
无意义的是
3 3
3
2
试一试
你知道下列式子表示什么意思吗? 你能求出它们 的值吗? 25 =5
16
36
4 25
4
6
2 5
已知一个正数的平方, 求这个正数的问题.
概念引入
象5 =25, 那么5叫做25的算术平方根; 2 10 =100,那么10叫做100的算术平方根;
2
一般地, 一个正数 如果一个正数 的平方等于 那么这个正数 叫做 的算术平方根. 算术平方根
x
a
x
= a, 即 x = a ,
2 ____.
4 （） 4 若 x 2， x _____. 则
新知应用
求下列各数的算术平方根： 49 （1）100 （2） （3）0.0001
64
解：（1）因为 10 =100，所以100的算术平方根为10， 即 100 =10。
2
思考： 4 的算术平方根是多少？
能力提升 探究
(常考题)人教版初中数学八年级数学上册第四单元《整式的乘法与因式分解》检测(答案解析)(4)
一、选择题1．下列因式分解正确的是（ ）A ．m 2+n 2=(m+n)(m-n)B ．a 3-a=a(a+1)(a-1)C ．a 2-2a+1=a(a-2)+1D ．x 2+2x-1=(x-1)22．若2x y +=，1xy =-，则()()1212x y --的值是（ ）A ．7-B ．3-C ．1D ．9 3．若3a b +=-，10ab =-，则-a b 的值是（ ） A ．0或7B ．0或13-C ．7-或7D ．13-或13 4．计算()201920180.52-⨯的值（ ） A ．2 B ．2- C ．12 D ．12- 5．把多项式32484x x x -+分解因式，结果正确的是（ ） A ．()()413x x x +- B ．()2421x x x -+ C ．()2484x x x +－ D ．()241x x - 6．下列运算正确．．的是（ ） A ．246x x x ⋅= B ．246()x x = C ．3362x x x += D ．33(2)6x x -=- 7．下列各式计算正确的是（ ）A ．224a a a +=B ．236a a a ⋅=C ．()22439a a -=D ．22(1)1a a +=+ 8．当2x =时，代数式31ax bx ++的值为6，则2x =-时，31ax bx ++的值为（ ） A ．6-B ．5-C ．4D ．4- 9．下列计算正确的是（ ） A ．()222x y x y +=+B ．()32626m m =C ．()2224x x -=-D ．()()2111x x x +-=- 10．下列各多项式中，能用平方差公式分解因式的是( ) A ．21x -+ B ．21x +C ．21x --D ．221x x -+ 11．已知代数式2a －b ＝7，则－4a ＋2b ＋10的值是（ ） A ．7 B ．4 C ．－4 D ．－712．下列运算正确的是（ ） A ．428a a a ⋅=B ．()23624a a =C ．6233()()ab ab a b ÷=D ．22()()a b a b a b +-=+二、填空题13．历史上数学家欧拉最先把关于x 的多项式用记号()f x 来表示，把x 等于某数a 时的多项式的值用()f a 来表示．例如，对于多项式()35f x mx nx =++，当3x =时，多项式的值为()32735f m n =++，若()36f =，则()3f -的值为__________． 14．若2|1|0++-=a b ，则2020()a b +=_________．15．若2211392781n n ++⨯÷=，则n =____．16．已知2m a =，5n a =，则2m n a -=___________．17．计算：32(2)a b -＝________．18．已知,a b 满足1,2a b ab -==，则a b +=____________19．在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将上述等号右边的式子的各项系数排成下表，如图：（a +b ）0＝1（a +b ）1＝a +b（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2（a +b ）3＝a 3+3a 2b +3ab 2+b 3这个图叫做“杨辉三角”，请观察这些系数的规律，直接写出（a +b ）5＝__________，并说出第7排的第三个数是___．20．若9m ＝4，27n ＝2，则32m ﹣3n ＝__．三、解答题21．计算下列各题：（12(2)-3125-9 （2）（7）（37）2（2222．分解因式（1）22363ax axy ay -+（2）()()22162x x x ---23．计算：（1）23262x y x y -÷ （2）()233221688x y z x y z xy +÷（3）运用乘法公式计算：2123124122-⨯24．所谓完全平方式，就是对一个整式M ，如果存在另一个整式N ，使2M N =，则称M 是完全平方式，如：422()x x =、222)2(x xy y x y =+++，则称4x 、222x xy y ++是完全平方式．（1）下列各式中是完全平方式的编号有 ．①2244a a b ++；②24x ；③22x xy y -+； ④21025y y --；⑤21236x x ++；⑥2124949a a -+ （2）已知a 、b 、c 是ABC ∆的三边长，满足22222()a b c c a b ++=+，判定ABC ∆的形状．（3）证明：多项式2(4)(8)64x x x +++是一个完全平方式．25．观察下列各式：2(1)(1)1x x x -+=-；()23(1)11x x x x -++=-；()324(1)11x x x x x -+++=-； 请根据这一规律计算：（1）()12(1)1n n n x x x x x ---+++⋅⋅⋅++；（2）1514132222221+++⋅⋅⋅+++．26．先化简，再求值：[（2a ﹣1）2﹣（2a+1）（2a ﹣1）+（2a ﹣1）（a+2）]÷2a ，其中a ＝12．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据因式分解的定义判断即可．【详解】解：A 、等号左右两边不相等，故错误；B 、a 3-a=a(a+1)(a-1)，故正确；C 、右边不是整式的积，故错误；D 、等号左右两边不相等，故错误．故选：B ．【点睛】因式分解与整式的乘法互为逆变形，并且因式分解是等式的恒等变形，变形前后一定相等．2．A解析：A【分析】利用多项式乘以多项式法则计算，整理后将已知等式代入计算即可求出值．【详解】解：∵x+y=2，xy=-1，∴（1-2x ）（1-2y ）=1-2y-2x+4xy=1-2（x+y ）+4xy=1-2×2-4=-7；故选：A ．【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．C解析：C【分析】根据完全平方公式得出( a-b )2=( a + b )2-4ab ，进而求出( a-b )2的值，再求出 a-b 的值即可【详解】( a-b )2=( a + b )2-4ab∴ ()22(3) 4(10)a b =--⨯--∴()2 49a b -=∴7a b -=±故答案选：C【点睛】考查完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的特点和相应的变形，是正确解答的关键. 4．D解析：D【分析】 将原式变形为201920181-22⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，再利用同底数幂的乘法逆运算变为2018201811--222⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后运用乘法交换律及积的乘方的逆运算计算即可． 【详解】 解：原式=201920181-22⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=2018201811--222⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =2018201811-2-22⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=201811-2-22⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =()20181-1-2⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=1×1-2⎛⎫ ⎪⎝⎭=12- 故选：D ．【点睛】本题主要考查了整式的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法、积的乘方的逆运算是解题的关键．5．D解析：D【分析】先提出公因式4x ，再利用完全平方公式因式分解即可解答．【详解】解：32484x x x -+=2421)x x x -+（=()241x x -，故选：D ．【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式的方法步骤是解答的关键． 6．A解析：A【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及合并同类项进行判断即可．【详解】A 选项246x x x ⋅=，选项正确，故符合题意；B 选项248()x x =，选项错误，故不符合题意；C 选项3332x x x +=，选项错误，故不符合题意；D 选项33(2)8x x -=-，选项错误，故不符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及合并同类项，属于基础题，熟练掌握这些计算公式和方法是解决本题的关键． 7．C解析：C【分析】根据合并同类项、完全平方公式、幂的乘方与积的乘方进行计算．解：A. 2222a a a +=，故选项A 计算错误；B. 235a a a ⋅=，故选项B 计算错误；C. ()22439a a -=，故选项C 计算正确；D. 22(11)2a a a +=++，故选项D 计算错误；故选：C【点睛】本题考查了合并同类项、完全平方公式、幂的乘方与积的乘方，熟记计算法则即可解题． 8．D解析：D【分析】根据已知把x=2代入得：8a+2b+1=6，变形得：-8a-2b=-5，再将x=-2代入这个代数式中，最后整体代入即可．【详解】解：当x=2时，代数式ax 3+bx+1的值为6，则8a+2b+1=6，即8a+2b=5，∴-8a-2b=-5，则当x=-2时，ax 3+bx+1=（-2）3a-2b+1=-8a-2b+1=-5+1=-4，故选：D ．【点睛】本题考查了求代数式的值，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．9．D解析：D【分析】根据完全平方公式，平方差公式和积的乘方公式分别判断即可．【详解】A. ()2222x y x xy y +=++，故原选项错误；B.()32628m m =，故原选项错误；C.()22244x x x -=-+，故原选项错误；D. ()()2111x x x +-=-，故选项正确． 故选：D ．【点睛】本题考查完全平方公式，平方差公式和积的乘方公式．熟记公式是解题关键．10．A【分析】根据平方差公式：两个数平方的差，等于这两个数的和与差的平方解答．【详解】A 、21x -+，能用平方差公式分解因式；B 、21x +，不能用平方差公式分解因式；C 、21x --，不能用平方差公式分解因式；D 、221x x -+，不能用平方差公式分解因式；故选：A ．【点睛】此题考查平方差公式：22()()a b a b a b -=+-，掌握公式中多项式的特点是解题的关键． 11．C解析：C【分析】直接将原式变形，进而把已知代入求出答案．【详解】解：∵－4a ＋2b ＋10=10-2（2a-b ），把2a-b=7代入上式得：原式=10-2×7=10-14=-4．故选：C ．【点睛】此题主要考查了代数式求值，正确将原式变形是解题关键．12．B解析：B【分析】根据同底数幂相乘法则、积的乘方法则、同底数幂除法法则、平方差公式依次计算判断．【详解】A 、426a a a ⋅=，故该项错误；B 、()23624a a =，故该项正确；C 、4624()()ab ab a b ÷=，故该项错误；D 、22()()a b a b a b +-=-，故该项错误；故选：B ．【点睛】此题考查整式的计算法则，正确掌握整式的同底数幂相乘法则、积的乘方法则、同底数幂除法法则、平方差公式是解题的关键．二、填空题13．4【分析】由得到整体代入求出结果【详解】解：∵∴即∴故答案是：4【点睛】本题考查代数式求值解题的关键是掌握整体代入求值的思想 解析：4【分析】由()36f =得到2731m n +=，整体代入()32735f m n -=--+求出结果．【详解】解：∵()36f =，∴27356m n ++=，即2731m n +=，∴()()327352735154f m n m n -=--+=-++=-+=．故答案是：4．【点睛】本题考查代数式求值，解题的关键是掌握整体代入求值的思想．14．1【分析】根据算术平方根的非负性及绝对值的非负性求出a=-2b=1代入计算即可【详解】∵且∴a+2=0b-1=0∴a=-2b=1∴故答案为：1【点睛】此题考查代数式的求值正确掌握算术平方根的非负性及解析：1【分析】根据算术平方根的非负性及绝对值的非负性求出a=-2，b=1，代入计算即可．【详解】∵|1|0-=b 0,|1|0b -≥，∴a+2=0，b-1=0，∴a=-2，b=1，∴202020201()(21)a b +-+==，故答案为：1．【点睛】此题考查代数式的求值，正确掌握算术平方根的非负性及绝对值的非负性求出a=-2，b=1是解题的关键．15．3【分析】根据幂的乘方把算式中的各底数变成同底数然后按同底数幂运算法则列方程即可【详解】解：故答案为：3【点睛】本题考查了同底数幂的乘除和幂的乘方根据题意把底数变成相同是解题关键解析：3【分析】根据幂的乘方把算式中的各底数变成同底数，然后按同底数幂运算法则，列方程即可．【详解】解：2211392781n n ++⨯÷=22213143(3)(3)3n n ++⨯÷=，2423343333n n ++⨯÷=，242(33)433n n ++-+=，1433n +=，14n +=，3n =．故答案为：3【点睛】本题考查了同底数幂的乘除和幂的乘方，根据题意，把底数变成相同是解题关键． 16．【分析】根据幂的乘方与同底数幂的除法法则解答即可【详解】∵（am ）2÷an ＝22÷5＝4÷5＝故答案为：【点睛】本题主要考查了幂的乘方与同底数幂的除法熟记幂的运算法则是解答本题的关键 解析：45【分析】根据幂的乘方与同底数幂的除法法则解答即可．【详解】∵2m a =，5n a =，2m n a -=（a m ）2÷a n ＝22÷5＝4÷5＝45． 故答案为：45． 【点睛】 本题主要考查了幂的乘方与同底数幂的除法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 17．【分析】积的乘方等于积中每个因式分别乘方再把所得的幂相乘根据法则计算即可【详解】=故答案为：【点睛】此题考查积的乘方：等于积中每个因式分别乘方再把所得的幂相乘解析：624a b【分析】积的乘方等于积中每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，根据法则计算即可．【详解】32(2)a b -=624a b ，故答案为：624a b ．【点睛】此题考查积的乘方：等于积中每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．18．【分析】利用完全平方公式的两个关系式得到即可得到答案【详解】∵∴∴故答案为：【点睛】此题考查完全平方公式熟记完全平方公式及两个完全平方公式的关系是解题的关键解析：3±【分析】利用完全平方公式的两个关系式得到22()()41429a b a b ab +=-+=+⨯=，即可得到答案．【详解】∵1,2a b ab -==，∴22()()41429a b a b ab +=-+=+⨯=，∴3a b +=±，故答案为：3±．【点睛】此题考查完全平方公式，熟记完全平方公式及两个完全平方公式的关系是解题的关键． 19．a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b515【分析】多项式乘方运算安全平方公式安全立方公式发现规律数字规律归纳即可【详解】解：（a+b ）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b解析：a 5+5a 4b +10a 3b 2+10a 2b 3+5ab 4+b 5 15【分析】多项式乘方运算，安全平方公式，安全立方公式，发现规律，数字规律归纳即可，【详解】解：（a +b ）5＝a 5+5a 4b +10a 3b 2+10a 2b 3+5ab 4+b 5；第7排的第三个数是15，故答案为：a 5+5a 4b +10a 3b 2+10a 2b 3+5ab 4+b 5；15，【点睛】本题考查完全平方公式、完全立方公式，规律型：数字的变化类，掌握多项式乘法法则，和完全平方公式，观察式子的特征是解题关键，20．2【分析】根据指数的运算把32m ﹣3n 改写成同底数幂除法再用幂的乘方的逆运算即可【详解】解：32m ﹣3n ＝32m÷33n ＝＝9m÷27n ＝4÷2＝2；故答案为：2【点睛】本题考查了幂的乘方与同底数幂解析：2【分析】根据指数的运算，把32m﹣3n 改写成同底数幂除法，再用幂的乘方的逆运算即可． 【详解】解：32m ﹣3n ，＝32m ÷33n ，＝23(3)(3)m n ÷＝9m ÷27n ，＝4÷2，＝2；故答案为：2.【点睛】本题考查了幂的乘方与同底数幂的除法的逆运算，根据指数的运算特点，把原式改写成对应的幂的运算是解题关键．三、解答题21．（1）0；（2）【分析】（1）根据平方根、立方根的意义进行计算即可；（2）利用平方差公式和实数的计算方法进行计算即可．【详解】解：（1＝2+（﹣5）+3＝0；（2）（）（3）（2＝32）2﹣2＝9﹣﹣2＝【点睛】本题考查了包含算术平方根、立方根、平方差公式的实数计算，熟练运用法则和公式是解决问题关键．22．（1）3a （x-y ）2；（2）()()()2+44x x x --【分析】（1）先提取公因式3a ，然后由完全平方公式进行因式分解；（2）直接提取公因式（x-2），进而利用平方差公式分解因式即可．【详解】解：（1）原式=3a （x 2-2xy+y 2）=3a （x-y ）2；（2）()()22162x x x ---()()2=216x x --()()()=2+44x x x --【点睛】本题考查了分解因式．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．23．（1）23y -；（2）22xyz x z +；（3）1【分析】（1）利用单项式除以单项式法则计算；（2）运用多项式除以单项式法则计算；（3）先将124122⨯化为(1231)(1231)+⨯-，利用平方差公式计算，再计算加减法．【详解】解：（1）23262x y x y -÷=23y -；（2）()233221688x y z x y z xy +÷=22xyz x z +；（3）2123124122-⨯=222123(1231)(1231)123(1231)1-+⨯-=--=． 【点睛】此题考查整式的计算法则：单项式除以单项式、多项式除以单项式、平方差公式，熟记法则是解题的关键．24．（1）②⑤⑥；（2）ABC ∆是等边三角形；（3）见详解【分析】（1）根据完全平方公式的结构特征和完全平方式的定义，逐一判断即可；（2）把等式右边的代数式移到左边，再利用完全平方公式写成平方和的形式，从而即可得到a ，b ，c 的关系，进而即可得到结论；（3）利用完全平方公式进行因式分解，把原式写成一个整式的平方的形式，即可得到结论．【详解】（1）②24x =2(2)x ；⑤21236x x ++=2(6)x +；⑥2124949a a -+=21(7)7a -是完全平方式，①2244a a b ++；③22x xy y -+； ④21025y y --不是完全平方式，各式中完全平方式的编号有②⑤⑥，故答案为：②⑤⑥；（2）∵22222()a b c c a b ++=+，∴()()2222220a ac cb bc c -++-+=， ∴()()220a c b c -+-=，∴a-c=0且b-c=0，∴a=b=c ，∴ABC ∆是等边三角形；（3）∵原式=2(8)(4)64x x x +++=22(8)(816)64x x x x ++++=222(8)16(8)64x x x x ++++=22(8)8x x ⎡⎤++⎣⎦=()2288x x ++，∴多项式2(4)(8)64x x x +++是一个完全平方式．【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．25．（1）11n x +-；（2）1621-．【分析】（1）观察题中所给的三个等式，可知等式右边第一项的次数等于左边第二个括号内最高次项的次数加1，等式右边第二项均为1，据此可解；（2）根据（1）中所得的规律，可将原式左边乘以（2-1），再按照（1）中规律计算即可．【详解】（1）()12(1)1n n n x x x x x ---+++⋅⋅⋅++11n x +=-；（2）1514132222221+++⋅⋅⋅+++1514132(21)(222221)=-+++⋅⋅⋅+++1621=-．【点睛】本题考查了平方差公式和多项式乘法公式在计算中的应用，熟练掌握相关计算法则是解题的关键．26．a ﹣12，0 【分析】先根据完全平方公式和多项式乘以多项式算括号内的乘法，再合并同类项，算除法，最后代入求出即可．【详解】解：[（2a ﹣1）2﹣（2a+1）（2a ﹣1）+（2a ﹣1）（a+2）]÷2a＝[4a 2﹣4a+1﹣4a 2+1+2a 2+4a ﹣a ﹣2]÷2a＝[2a 2﹣a]÷2a＝a ﹣12， 当a ＝12时，原式＝0． 【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．。
冀教版数学八年级上册(教学设计)《14.1.1 平方根》
《14.1.1 平方根》“平方根”是第十四章“实数”的第一节内容。
由于实际计算中需要引入无理数，使数的范围从有理数扩充到了实数，完成了初中阶段数的扩展。
运算方面，在乘方的基础上以引入了开方运算，使代数运算得以完善。
因此，本节课是今后学习根式运算、方程、函数等知识的重要基础。
【知识与能力目标】1、让学生了解平方根的定义，掌握平方根的性质,会用根号表示一个数的平方根【过程与方法目标】2、让学生知道开平方与平方是互逆的运算,会利用这个互逆运算关系求某些非负数的平方根【情感态度价值观目标】3、感受数学与生活的联系，获得积极的情感体验。
【教学重点】开平方运算.【教学难点】平方根的性质及开平方运算多媒体课件一、情境引入问题1 如果一个正方形的边长为1，那么它的面积是多少？问题2 如果一个正方形的面积2，那么它的边长是多少？二、探究新知（一）自主学习1、自学课本60页“做一做”，完成第1题。
2、自学课本60--62页“一起探究”和“大家谈谈”，完成第2-4题。
（二）归纳总结1、一般地，如果一个数x的平方等于a，即x 2=a，那么这个数x 就叫做a的_________．也叫做a的_________2、一个正数有两个平方根，它们互为_________。
0只有一个平方根，是_________。
负数_________平方根。
3、一个正数有两个平方根：一个____，一个____。
我们把正数a的正的平方根用符号____表示，读作____；把正数a的负的平方根用符号____表示，读作____。
正数a的两个平方根记为____。
其中， a称为____。
4、求一个数的平方根的运算，叫做_________，_________与平方互为逆运算(三)合作学习例1 求下列各数的平方根，（1）81；（2）36121；（3）0.04例2 (1)已知3＋a的平方根是±5，求a的值；(2)一个正数x的两个平方根分别是－a＋2与2a－1，求a的值和这个正数x的值．三、巩固深化1、下列说法正确的有( )①－2是－4的一个平方根；②a2的平方根是a；③2是4的平方根；④4的平方根是－2.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2、2 下列关于“0”的说法中，正确的是( )A．0是最小的正整数。
2022年八年级数学上册第十四章实数14.1平方根2教案新版冀教版
14.1平方根（2）教学目标【知识与能力】1.了解数的算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根.2.理解算术平方根与平方根的联系与区别.【过程与方法】1.通过教学过程中学生的参与,培养学生学习的主动性,提高数学表达和运算能力.2.通过举例使学生明确平方根与算术平方根的区别和联系.【情感态度价值观】1.学生通过积极参与教学活动获取新知,通过小组活动发展独立思考和竞争意识.2.通过主动参与使学生勇于面对困难并能够解决困难,发展合作交流意识.教学重难点【教学重点】算术平方根的概念和性质.【教学难点】对算术平方根意义的理解.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:【课件1】学校要举行美术作品比赛,小欧很高兴,他想裁出一块面积为25dm2的正方形画布,画上他自己的得意之作参加比赛,这块正方形画布的边长应取多少?师:怎样算出画布的边长为5dm的呢?(思考1分钟)【课件2】填表:,本质上就是已知一个正数的平方,求这个正数的问题.那么这个正数与这个正数的平方是什么关系呢?下面我们来共同探讨这个问题.[设计意图]从正方形的面积,引出求一个正数的正的平方根,让学生初步认识算术平方根,为下面的学习做好铺垫.导入二:同学们,2003年10月15日是我们每个中国人值得骄傲的日子.因为这一天,“神舟”五号飞船载人航天飞行取得圆满成功,实现了中华民族千年的飞天梦想(多媒体同时出示“神舟”五号飞船升空时的画面).那么你们知道宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度是在什么范围吗?这时它的速度要大于第一宇宙速度v1(米/秒)而小于第二宇宙速度v2(米/秒).v1,v2的大小满足v12=gR,v2=2gR,怎样求v1,v2呢?这就要用到算术平方根的概念,也就是本节要学习的内容.[设计意图]“神舟”五号成功发射和安全着陆,标志着我国在攀登世界科技高峰的征程上又迈出具有重大历史意义的一步,是我们伟大祖国的荣耀.此内容有感染力,使学生对本章知识的应用价值有一个感性认识,同时激发学生的好奇心和学习的兴趣.这里的计算实际上是已知幂和指数求底数的问题,是乘方的逆运算,学生以前没有见过,由此引出了本章所要研究的主要内容,以及研究这些内容的大体思路. 导入三:【课件3】1.(1)625的平方根是多少?这两个平方根的和是多少? (2)-7和7是哪个数的平方根? (3)正数m 的平方根怎样表示? (4)求下列各数的平方根.①64; ②0; ③(-0.4)2; ④(-123)2; ⑤16; ⑥(-4)3. 2.已知正方形的面积等于a ,那么它的边长等于多少?解:设正方形的边长为x ,则x 2=a ,根据平方根的定义,得x =±√a .因为正方形的边长是正数,所以正方形的边长是√a .[设计意图] 复习巩固平方根的知识,进一步掌握平方根的计算方法,为学习算术平方根做准备.二、新知构建：活动一:感知——算术平方根的定义思路一方根.一般地,如果一个正数x 的平方等于a ,即x 2=a ,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根.a 的算术平方根记为√a ,读作“根号a ”,a 叫做被开方数.规定:0的算术平方根是0.也就是,在等式x 2=a (x ≥0)中,规定x =√a .思考:这里的数a 应该是怎样的数呢?试一试:你能根据等式112=121说出121的算术平方根吗?并用等式表示出来. 解:121的算术平方根是11,用等式表示为√121=11. [知识拓展] 平方根与算术平方根的区别和联系.区别:(1)概念不同:如果一个数的平方等于a ,那么这个数就叫做a 的平方根;非负数a 的非负平方根叫做a 的算术平方根.(2)表示方法不同:正数a 的平方根表示为±√a ;正数a 的算术平方根表示为√a .(3)个数及取值不同:一个正数的算术平方根只有一个,是正数;一个正数的平方根有两个,一正一负且互为相反数.联系:(1)具有包含关系:平方根包含算术平方根,一个数的算术平方根是一个数的平方根中的一个.(2)存在条件相同:平方根和算术平方根都只有非负数才有. (3)0的平方根、算术平方根都是0.(4)求算术平方根、平方根都可看成是平方的逆运算. 思路二说明:正数a 有两个平方根(表示为±√a ),我们把其中正的平方根,叫做a 的算术平方根,表示为√a .0的平方根也叫做0的算术平方根,因此0的算术平方根是0,即√0=0.几何图形可以直观地表示算术平方根的意义,面积为a (a >0)、边长为√a 的正方形,边长√a就表示a的算术平方根.“√”是算术平方根的符号,√a就表示a的算术平方根.思考:√a的被开方数是什么样的数?它的结果又是怎样的数?√a的意义有两点:(1)被开方数a表示非负数,即a≥0;(2)√a也表示非负数,即√a≥0.也就是说,非负数的算术平方根是非负数,负数不存在算术平方根,即a<0时,√a无意义.如:√9=3,8是64的算术平方根,√-6无意义.强调:这里需要说明的是,算术平方根的符号“√”不仅是一个运算符号,如a≥0时,√a 表示非负数a进行开平方运算,也是一个性质符号,即表示非负数a的非负平方根.例如,√9表示对9进行开平方运算,也表示9的正的平方根.[设计意图]让学生在小组间进行必要的合作与交流,以加深学生对平方根及算术平方根意义的理解.活动二:强化——算术平方根的计算【课件4】(教材第63页做一做)求下列各数的算术平方根(1)144;(2)0.01;(3)449;(4)132;(5)(-16)2.1.引导学生正确应用算术平方根的表示方法计算.2.学生口述过程.解:(1)12. (2)0.1. (3)27. (4)13. (5)16.观察“做一做”中(4)和(5)的结果,你有什么发现?小组讨论得出:√a2=|a|={a(a>0), 0(a=0), -a(a<0).语言表述:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.说明:首先让学生体验一个数的算术平方根应满足怎样的等式,应该用怎样的符号来表示,在此基础上再求出结果.在开始阶段,宜让学生适当模仿,熟练后直接写出结果.【课件5】计算下列各式.(1)√1.69;(2)-√225;(3)±√949;(4)-√(-17)2.说明:要让学生明白各式所表示的意义;根据平方关系和算术平方根的概念进行求解,注意解题格式.解:(1)√1.69=√1.32=1.3.(2)-√225=-√152=-15.(3)±√949=±√(37)2=±37.(4)-√(-17)2=-√172=-17.【课件6】某小区有一块长方形草坪,为了加强保护,小区管理人员准备用篱笆沿草坪边缘将其围起来.已知该长方形草坪的长是宽的4倍,草坪的面积是900m2,求所需篱笆的总长度.〔解析〕(1)如果设所需篱笆的宽为x m,它的长是多少?怎样列方程?(2)怎样求出x的值?解:设这块长方形草坪的宽为x m,则长为4x m.因为长方形草坪的面积是900m2,所以4x·x=900,即x2=225.所以x=±√225=±√152=±15.x=-15不合题意,舍去.所以x=15,2×(15+4×15)=150(m).答:所需篱笆的总长度是150m.[设计意图]体会平方根和算术平方根的实际意义,理解实际情境中值的取舍;规范步骤,让学生养成良好的书写习惯.三、课堂小结：。
14.1.1算术平方根(12)
36 64
一般地，如果a、b是正数，且 a<b，那么 a b 练习：比较大小
(1) 4和 6 (2) 6和 9
怎样用两个面积为1的小正方形拼成 一个面积为2的大正方形？
边长为1
边长为 2
1 2 4 1 2 2 2 ＝1.41421356…… 2 ≈1.414
=3.14159265358979323846264…
2 =1.41421356237309504880169…
3 =1.732050807568877293527446…
5 =2.236067977499789696409174…
比较大小：
140 与12
5 -1 与0.5 2
小丽想用一块面积为400cm2的 正方形纸片，沿着边的方向裁出一块 面积为300cm2的长方形纸片，使它 的长宽之比为3：2。不知能否裁出来， 正在发愁。小明看见了说：“别发愁， 一定能用一块面积大的纸片裁出一块 面积小的纸片”，你同意小明的说法 吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求 的纸片吗？
11
100 10 10000 100
被开方数的小数 点向右移动两位，其 算数平方根的小数点 向右移动一位
11
0.010.1 0.00010.01
10000001000 0.000001 0.001
被开方数的小数 点向左移动两位，其 算数平方根的小数点 向左移动一位
若 3 1.732， 30 5.477 ， 那么 0.03 0.1732
P10 习题： 11
已知 11的整数部分为a，小数部 分为b，求a、b的值. ∵ 3 11 4 ∴ a=3， b= 11-3
0.3 0.5477 300 17.32 3000 54.77
初中数学_平方根教学设计学情分析教材分析课后反思
学情分析教学对象是七年级学生。
从认知的角度来看，七年级的学生已经能从具体事例中归纳问题本质的能力，通过观察、类比等活动抽象出问题的规律。
在学习本内容之前，已经经历了有理数、一元一次方程、一元一次不等式、不等式组及算术平方根等数与代数知识的学习，知道有理数刻画现实问题的局限性，回忆反馈了乘方有关概念及运算的基础，理解乘方运算的本质，对加减、乘除运算的互逆关系有了明晰的认识，在前面的学习过程中，积累了自主探究、合作学习的的经验，具有一定的观察、分析、归纳、概括能力具备了一定的合作与交流能力。
这节课的教学，是在学生学习算术平方根的基础上，来分析探讨平方根的性质，本着从学生实际出发，以他们熟悉的问题情境引入学习主题，在关注现实生活的同时，更加关注数学知识内部的挑战性。
平方根教学反思：认识一个新的朋友，往往都是先叫得出名字，再次见面的时候能认得出。
学习一个新的熟悉概念就像是结交一个新的朋友，也有这样的过程。
就像是学习平方根也一样。
1、认识概念，学会读。
由平方根的定义可知，知道了哪些数的平方等于a，就可以知道a的平方根了。
所以在介绍完平方根的定义之后做这样的表达练习。
看第一条等式：∵（±4）2=16，∴16的平方根是±4。
下面的两条等式模仿刚才的读法也能读出相应的平方根。
刚学习平方根学生都很陌生，通过这个练习让学生读一读，熟悉熟悉，先叫得出这个名词。
会读了基本上能解决这一一类题型：4的平方根是。
2、认识符号，学会看在学生熟悉了平方根这个名词之后要会认出两个符号：±和。
前者是在求一个数的平方根，后者是求一个数的算术平方根。
所以在运算之前要先看这是哪种符号，在求什么。
比如±就是求16的平方根，意识到这一层意识，加上之前的读一读的练习，就知道结果是±4，看到就是求25的算术平方根，根据算术平方根的定义就知道结果是正数4。
会看会辨别符号，基本上能解决一些计算题。
比如求下列各式：±，，等。
13.1.1 平方根(1)
一个正数有两个平方根，这两 个平方根互为相反数。
0 0
2
∴ 零的平方根是零。
求一个数的平方根（二次方根）的运算，叫 做开平方，开平方运算的结果就是平方根。
平方根的性质
• 一个正数a有两个平方根,它们互为相反数; • 0只有一个平方根，它是0本身； • 负数没有平方根.
知道
记一记！
牢记这个 性质！
随堂练习
判断： （1）5是25的算术平方根； （2）-6是 36 的算术平方根； （3）0的算术平方根是0； （4）0.01是0.1的算术平方根； （5）-5是-25的算术平方根。
练习：求下列各数的算术平方根， （） （2）2 （3） 1 121 3 0.00025
1 （4） 81 （5）(-25) （6） 2 4
16
２.100的算术平方根用符号表示为 100
2
４. 符号 25 表示的意义为 25的算术平方根
36 36 ５. 符号 表示的意义为 81 的算术平方根 81
６. 符号 17 表示的意义为 17的算术平方根
理性提升
例1 求下列各数的算术平方根：
（1）100
方法构想
49 （2） （3）0.0001 64
a
读作：正，负根号a
a
－ a
a 2= x
表示a的算术平方根
表示a的算术平方根的相反数
表示a的平方根
a
X＝ a
求数a的平方根的运算叫做开平方
理性提升
又例如：
0.42 0.16 ∵
(0.4) 2 0.16
∴ 0.4 和 －0.4 都是0.16的平方根。 即0.16的平方根有两个，一个是＋0.4；另 一个是－0.4， 这两个平方根互为相反数。
平方根
14.1实数--平方根1.算数平方根的概念及其表示方法：一般地一个正数x 的平方等于a,即x ²=a,那么这个正数就叫做a 的算数平方根，记为:a ,读作：“根号a ”.a 叫做被开方数。
例1.求出下列各数的算数平方根（1）64 （2）169（3）0.012.平方根的概念及其性质：（1）平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫a 的平方根或二次方根， 如果x ²=a,那么x 叫做a 的平方根。
例如：3和-3都是9的平方根，简记：±3是9的平方根。
（2）一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根，正数a 的平方根表示为±a 。
（3）求一个数a(a ≥0)的平方根的运算，叫做开平方。
例2，求下列各数的平方根.(1)36 (2) 8116(3)0.0001例3，求下列各数的算数的算数平方根（1）256 （2）625 （3）根号下41²-40²例4求下列各数的平方根（1）（-3）² （2）4964（3）0 （4）1例5，判断下列各式是否正确。
（1）根号下（-8）²=-8 （2）根号下（-8）²=±8 （3）±根号下（-8）²=8例6.求4的平方根 例7.求1625的值例8，下列说法是否正确，为什么？（1）8是64的平方根（2）64的平方根是8 （3）64的算数平方根是8例9.已知a ，b 是实数，且根号下2a+6加上b-2的绝对值等于0.解关于x 的方程（a+2）x+b ²=a-1.实际应用：1.一个正方形的面积扩大到原来的4倍，它的边长扩大多少倍？面积扩大9倍呢?n 倍呢？ 2.9的值是多少？3.写出一个有理数和一个无理数，它们都是大于-2的负数。
◆随堂检测1、1 的算术平方根是 ；16 的算术平方根___2、一个数的算术平方根是9，则这个数的平方根是14.2 立方根1.立方根的概念及其表示方法:一般地，如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫a 的立方根或三次方根。
《141算术平方根》教学设计
知识与能力目标
1、让学生了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根，并掌握算术平方根的非负性
2、让学生理解开方和乘方互为逆运算，并理解开方与乘方两者之间的联系与区别。
过程与方法目标
让学生在观察、探索等活动中，获得对非负数的算术平方根特点的认识
情感态度与价值观目标
1、让学生积极参与数学活动,培养其对数学的好奇心与求知欲。
（4）10000（5） （6）1.44
【课外探究】怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？
四 全课小结，内化新知（3分钟）
本节课你学习了哪些知识？在探索知识的过程中，你用了哪些方法？对你今后的学习有什么帮助？
（1）这就是本章要研究的内容（解释并板书章课题）
谈话：什么是实数？实数与有理数有怎样的关系？由于负数的引入使得数的范围从算术数扩展到有理数，那么，从有理数到实数又会引入什么新数呢？下面，我们先从平方根入手，学习实数的有关知识。
（4）0.01是0.1的算术平方根；
（5）-5是-25的算术平方根。
二、选择填空
1、下列说法正确的是（ ）
A、81是9的算术平方根 B、 0的算术平方根是0
C 、144是12的算术平方根 D、-5是25的算术平方根
2、若 （ ）
A-3 B C3 D
三、解答下列各题
求下列各数的算术平方根：
（1）100 （2） （3）0.0001
（1）如果一个________的______等于a，那么_________就叫做______的算术平方根
（2）正数a的算术平方根怎样表示？为什么规定：0的算术平方根为0。
（3） 读作_______，表示_______； 的取值范围是_________.
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(1) 2x (3) x
2 2
; ;
(2) - x ; (4) x - 1 ;
(5) x 1 .
问题1 有一块面积为100πcm2的圆形 10 钢板，求它的半径是_______cm.
问题2 学校要举行美术作品比赛,小鸥 很高兴.他想裁出一块面积为25平方 分米的正方形画布,画上自己的得意 之作参加比赛,这块正方形画布的边 5 长应取____分米.
填表: 正方形面积 1 /平方分米 边长/分米 1 9 3 36
2 2
a
负数没有算术平方根.
正数的算术平方根只有一个; 0的算术平方根是0;
作业： P3 练习：1、2 P9 习题：1、2
2 2
2
(-3) 3
2
5 5
2
一个数的平方的 算术平方根等于这个 数的绝对值
(-6) 6
2
a a
2
7 7
2 2
0 0
( 4) 4
2
( 9) 9
2
a a 读做“二次根号 ”
根指数2通常省略不写， 记作 a（ a大于等于0）.
求下列各式的值 :
（1）2
（3） 2
（2） 144
16 25
3
2
（4） 1 24 49
求下面各数的算术平方根: (1) 100 ; (3) 0.81 ; (2) (4)
49 64
; ;
10
(5)
2 3
பைடு நூலகம்
;
求下面各数的算术平方根： （1） 81； （3） 0 ； （2）0.64
2
( 25) 25
2 2 2
一个非负数的算 术平方根的平方等于 这个非负数
( 36) 36 ( 49) 49 ( 0) 0
2
( a ) a
2
a 3 b 4 c 5 0
2
求abc的值。 如果几个非负数的和为0， 那么这几个非负数都为0.
X 为何值时,下面各式有意义？
6
4 a 25 （a＞0） 2 ？ 5
如果一个正数x的平方等于a, 即x2=a,那么这个正数x叫做a的算 术平方根. 规定: 0的算术平方根是0;
求下列各数的算术平方根:
(1) 0.09 ; (2) 100 169 (4) 225
(3) 0.0001
a的算术平方根记作:
2
根指数
2
a
被开方数
读做“二次根号”，
36 （4） 49
; ;
求下面各数的算术平方根：
2 2 （5）( ) ; 3 1 （7）6 ; 4
（6）104 ;
（8）(-12)2 .
填空
(-10)4的算术平方根________ ; -a (a＜0)的算术平方根为_______.
16 的算术平方根为_______.
在公式 c a b 中，已知a=3， b=4，求c.