APT定价模型组题
APT套利定价理论
同时为了满足特征1和2的解，要求 n k 。
• 特征三；套利组合的期望收益率必须为正 值。公式表示为：
x1E r1 x2 E r2 xn E rn 0
当一个组合可以同时满足上述三点要求时， 该组合就是一个套利组合。当市场给出了期 望收益率和敏感性的时候，利用同时特征一 和特征二可以得到无穷多个满足上述特征一 和特征二的组合。最后利用特征三来检验。 如果期望收益率可以大于0，则是套利组合。
套利定价模型
• 假设一个组合中有三种证券，并且满足套 利定价组合，加入证券1和证券2收益率高， 而证券3收益率低。由于每个投资者必定买 入证券1和证券2并卖出证券3，届时他们的 期望收益率做出相应的调整。具体来说由 于不断增加的买方压力，证券1和证券2的 价格将上升，进而导致期望收益率的下降， 相反证券3的价格下降和期望收益率上升。
在实际运用中，通常用市场指数近似代替市 场组合，得到证券i的收益率为： ri ai i Rm i 同时为了分析的需要，通常对随机项 i 做出 如下假设：
COV i , j 0 COV i , R m
E i 0
0
有了随机项的这些假设，可以根据市场模型 求出证券i的期望收益率和方差：
*
E rp* rf 1
1 E rp
r
*ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f
于是 1 称为单位敏感性的组合的期望超额收 益率（即表示高出无风险利率的那部分期望 收益率），也被称作因素风险溢价。用 1 E rp* 表示对因素有单位敏感性的组合的期望收益 1 rf 1 则套利定价的第 率，则可以得到： 二种形式为： E ri rf (1 rf )i
第五讲-套利定价模型(APT)
3.如果检验是基于某种无效率的指数，则风险资产 收益的任何情形都有可能出现，它取决于无效指数的选 择。
该结论断言，即便市场组合是均值-方差效率的， CAPM也是成立的，但使用前述方法得到的SML，也不能够 证明单一风险资产均衡收益同β 风险、市场组合之间存 在某种有意义的关系。
因此，罗尔认为，由于技术上的原因和原理上的模 糊，CAPM是无法检验的。
第五讲 套利定价模型 （APT）
本讲的主要内容：
1、CAPM模型的缺陷 2、因素模型 3、套利组合 4、APT模型 5、CAPM与APT的比较
一、CAPM的局限性
（一）相关假设条件的局限性 1.市场无摩擦假设和卖空无限制假设与现实不符； 2.投资者同质预期与信息对称的假设意味着信息是无
成本的，与现实不符； 3.投资者为风险厌恶的假设过于严格。
根据套利的定义，套利组合要满足三个条件：
条件1：
套利组合要求投资者不追加资金,即套利组合属于自融 资组合.如果我们用xi表示投资者持有证券i金额比例的变化 (从而也代表证券i在套利组合中的权重,注意xi可正可负)， 则该条件可以表示为：
x1 x2 x3 xn 0
条件2：
套利组合对任何因素的敏感度为零，即套利组合没有因素风 险。证券组合对某个因素的敏感度等于该组合中各种证券对该因 素敏感度的加权平均数，因此在单因素模型下该条件可表达为：
五、套利定价模型
投资者的套利活动是通过买入收益率偏高的证券同时 卖出收益率偏低的证券来实现的，其结果是使收益率偏高 的证券价格上升，其收益率将相应回落；同时使收益率偏 低的证券价格下降，其收益率相应回升。这一过程将一直 持续到各种证券的收益率跟各种证券对各因素的敏感度保 持适当的关系为止。下面我们就来推导这种关系：
金融经济学14套利定价理论APT
将无风险证券和切点证券组合作为两个分离的 基金，则可将证券j的收益率表示为 基金，则可将证券 的收益率表示为
% % rj = (1 − β jm ) rf + β jm rm + ε j
% % E ( rj ) = rf + β jm ( E ( rm ) − rf )
这就是传统形式的资本资产定价模型， 这就是传统形式的资本资产定价模型，其 中
% % % βjm =Cov(rj , rm)/σ (rm)
2
单个证券的风险的分解
% % rj = (1 − β jm ) rf + β jm rm + ε j
% % σ i = ∑ [( ris − E ( ri ) ) Pr ob ( s )] = β jm σ m + σ ε
2 2 2
% % E (rj ) = rf + β jm ( E (rm ) − rf )
% % rj = α j + β j1δ%1 + β j 2δ%2 + ..... + β jK δ%K + ε j
风险证券收益率不确定的来源， 风险证券收益率不确定的来源， 一是系统性部分，即影响因素δ不确定， 一是系统性部分，即影响因素δ不确定，是随 机的， 机的， 二是非系统部分，即各风险证券本身的ε 二是非系统部分，即各风险证券本身的ε。
σ
2
( rm ) = h1mσ 1m + h2mσ 2m +L hJmσ Jm
• 市场组合的
E ( rm ) = h1m E ( r1 ) + h2 m E ( r2 ) + L + hJm E ( rJ )
• 具有较大 σ iM 值的证券必须按比例提供较大的预 期收益率以吸引投资者。 期收益率以吸引投资者。
套利定价模型(APT)
APT不要求成立的假设条件 APT不要求成立的假设条件
• 单一投资期 • 不存在税的问题 • 投资者能以无风险利率自由地借入和贷出 资金 • 投资者以回报率的均值和方差选择投资组 合
主要内容
套利与“一价定律” 一 套利与“一价价模型的实现
的收益受某一因素影响） 1.单因素模型（ 所有资产 的收益受某一因素影响） 单因素模型（ 单因素模型
单因素模型定价公式推导
套利组合的预期收益率： 套利组合的预期收益率： rp = x1r1 + x2r2 + x3r3 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + xn rn 约束条件： 约束条件：
x1 + x 2 + x 3 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ x n = 0 b1 x1 + b 2 x 2 + b 2 x 3 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ b n x n = 0
套利定价模型（APT） 定价模型（APT）
—另外一种阐述资产价格形成的逻辑
王志方 zhifang925@
套利定价理论的诞生
1976年，罗斯提出套利定价理论（APT）。 年 罗斯提出套利定价理论（ ）。 该理论认为各种证券的收益率受 某个或者某几 个因素 的影响，各种证券收益率之所以相关， 影响，各种证券收益率之所以相关， 是因为它们都会对这些共同的因素起反应。 是因为它们都会对这些共同的因素起反应。 一样， 同CAPM一样，它预测了（或者说推导出） 一样 它预测了（或者说推导出） 与风险预期收益相关的证券市场线。 与风险预期收益相关的证券市场线。二者不同之 处在于： 建立在均值—方差基础之上 处在于：CAPM建立在均值 方差基础之上，而 建立在均值 方差基础之上， APT建立在“一价定律”之上。 建立在“ 建立在 一价定律”之上。 APT相对于 相对于CAPM更优越的地方还在于其较 相对于 更优越的地方还在于其较 少的假设条件： 少的假设条件：
APT 练习题
4、假定两个资产组合A、B都已充分分散化，E（rA）=12%，E（rB）=9%，如果影响经济的要素只有一个，并且βA=1.2，βB=0.8，可以确定无风险利率是多少？单项选择题：1．如果X与Y都是充分分散化的资产组合，无风险利率为8%：资产组合期望收益率（%）贝塔值X 16 1.00Y 12 0.25据此可推断资产组合X与资产组合Y：（）a．都处于均衡状态 b．存在套利机会c．都被低估 d．都是公平定价的2．根据套利定价理论：（）a．高贝塔值的股票都属于高估定价。
b．低贝塔值的股票都属于低估定价。
c．正阿尔法值的股票会很快消失。
d．理性的投资者将会从事与其风险承受力相一致的套利活动。
3．套利定价理论不同于单因素CAPM模型，是因为套利定价理论：（）a．更注重市场风险。
b．减小了分散化的重要性。
c．承认多种非系统风险因素。
d．承认多种系统风险因素。
4．APT比简单的CAPM模型具有更大的潜在优势，其特征是：（）a．对生产、通胀与利率期限结构的预期变化的确定，可作为解释风险与收益间相互关系的关键因素。
b．对无风险收益率按历史时间进行更好地测度。
c．对给定的资产，按时间变化衡量APT因素敏感性系数的波动性。
d．使用多个因素而非单一市场指数来解释风险与收益的相关性。
5．与CAPM模型相比，套利定价理论：（）a．要求市场均衡。
b．使用以微观变量为基础的风险溢价。
c．指明数量并确定那些能够决定期望收益率的特定因素。
d．不要求关于市场资产组合的限制性假定。
6．在（）情况下，会出现期望收益为正的零投资资产组合。
a．投资者只承受收益减少的风险b．定价公平c．投资机会集与资本配置线相切d．存在无风险套利机会7．从风险-收益关系的角度，（）a．为使市场达到均衡，只有因素风险需要风险溢价 b．只有系统风险与期望收益有关c．只有非系统风险与期望收益有关d．a和be．a和c8．资产组合A的期望收益率为10%，标准差为19%。
6因子模型和套利定价理论(APT)
写成方程的形式，A的收益率与GDP预期增 长率之间的关系可以表示如下
rt a bGDP et t
(6.1)
这里
=A在 t 时的收益率, GDP =GDP在 t 时的预期增长率, t et =A在 t 时的收益率的特有部分, b =A对GDP的预期增长率的敏感度, a =有关GDP的零因素。
经济系统中的某些共同因素影响几乎所有 的公司
商业周期、利率、GDP增长率、技术进步、劳 动和原材料的成本、通货膨胀率 这些变量不可预期的变化将导致整个证券市场 收益率的不可预期变化
定义1：因素模型（或者指标模型）是一种 假设证券的收益率只与不同因素(或者指标) 的运动有关的经济模型。
(6.2)
这里， Ft 是因素在时间 t 的值，对在时 间 t 的所有的证券而言，它是相同的。 bi是 证券 i 对因素 Ft 的敏感度，对证券i 而 言， bi不随时间的变化而变化。eit 是证券 i 在时间 t 的收益率的特有部分。这是一个均 值为0，标准差为 ei ，且与因素 Ft 无关 的随机变量，我们以后简称为随机项。
在这个例子里，第六年的GDP的预期增长率 为2.9%，A的实际收益率是13%。因此，A et 的收益率的特有部分（由 给出）为3.2%。 给定GDP的预期增长率为2.9%，从A的实际 收益率13%中减去A的期望收益率9.8%，就 得到A的收益率的特有部分3.2%。
从这个例子可以看出，A在任何一期的收益 率包含了三种成份：
rt
在图6-1中，零因素是4%，这是GDP的预期 增长率为零时，A的预期收益率。A的收益率 对GDP增长率的敏感度为2，这是图中直线的 斜率。这个值表明，高GDP的预期增长率一 定伴随着高的A的收益率。如果GDP的预期增 长率是5%，则A的预期收益率为14%。如果 GDP的预期增长率增加1%——为6%时，则A 的预期收益率增加2%，或者为16%。
套利定价模型练习题
套利定价模型练习题一、回答问题1.APT模型的基本原理是什么?2.APT 相对于CAPM 有什么优点？3.判断正误，并说明理由：在CAPM中，投资因承受系统性风险而得到补偿，而在APT 模型中，投资者因为承受总风险而得到补偿。
4.请分析区分下列模型：（1）资本资产定价模型；（2）单因素模型；（3）单指数模型；（4）市场模型5.一个证券组合投资于很多种股票(n很大)，其中一半投资于股票A，其余部分资金平均投资于其他n-1种股票，请问：这个组合风险分散效果如何？6.一个证券组合投资于很多种股票(n很大)，但不是各平均分配，而是其中一半证券各占1.5/n，另一半证券各占0.5/n。
试分析该组合的风险分散效果如何？二、计算题1.假设股票的市场收益并不遵从单指数结构。
一个投资基金分析了450 只股票，希望从中找出平均方差有效资产组合。
它需要计算个期望收益和个方差以及_个协方差。
2.假设股票市场收益遵从单指数结构。
一个投资基金分析了250 只股票，希望从中找出平均方差有效资产组合。
它需要计算___个期望收益的估计值，以及_______个对宏观经济因素的敏感性系数的估计值。
3.考虑单指数模型，某只股票的α值为0％。
市场指数的收益为12％。
无风险收益率为5％。
尽管没有个别风险影响股票表现，这只股票的收益仍超出无风险收益率7％。
那么这只股票β值是__。
4.假设你持有一个包括大量证券、风险充分分散的资产组合，并且单指数模型成立。
如果你的资产组合的δ是0.22，δm是0.18，资产组合的β值约为______5.假设下面的等式很好地描述了β在时间段之间的变化：βt＝0.4＋0.85βt-1，如果一只股票去年的β值为0.8，可以预测今年该股票的β值为______。
6.股票A的指数模型估计结果如下：RA＝0.12＋0.9Rm＋εA，δm＝0.24,δ(εA) ＝0.12。
则股票A收益的标准差是___ 。
7.假定对股票A与B的指数模型由下列结果来估计：RA＝1.0%＋0.9Rm＋εA; RB＝-2.0%＋1.1Rm＋εBδm=20%,δ(εA)＝30%，δ(εB)＝10%。
金融经济学(APT-套利定价)
j
=均值为零的第 j 个因子，
e i =证券 i 的随机项。
因子模型说明，所有具有等因子敏感度的证券 或证券组合，除去非因子风险外，其行为是一 致的。因此，所有具有等因子敏感度的证券或 者证券组合的期望回报率是一样的。 否则就存在第二类套利机会，投资者就会 利用它们，直到消除这些套利机会为止。 这就是APT的实质。
多因子模型
对于n种证券相关的m（m<n)个因子，证券i的 收益可以表示为
ri = a +
∑b
j =1
m
ij
f j + ei
其中，i = 1,..., n; j = 1,..., m
E [ ei ] = 0 , c o v ( ei , f j ) = 0 c o v ( ei , ek ) = 0 , i ≠ k
用数学表示就是
⎧ ⎪∑ wi = 0 （I） ⎪ i =1 ⎪ n ⎨∑ bi wi = 0 （II） ⎪ i =1 ⎪ n ⎪∑ wi ri > 0 （III） ⎩ i =1
n
D(∑ wi ri ) = D(∑ wi [ri + bi f + ei ]
i =1 i =1 n
n
n
=D(∑ wi bi f )
σ ij = cov(ri , rj ) = cov(ai + bi1 f1 + bi 2 f 2 + ei ,
a j + b j1 f1 + b j 2 f 2 + e j )
= bi1b j1σ 21 + bi 2b j 2σ 2 2 + (bi1b j 2 + bi 2b j1 ) cov( f1 , f 2 ) f f
7 因素模型和APT(1)
例子：国内生产总值GDP的增长率 是影响证券回报率的主要因素
在图 1 中，零因素是 4% ，这是 GDP 的增长 率为零时， Haier 的回报率。 Haier 的回报 率对 GDP 增长率的敏感度为 2 ，这是图中直 线的斜率。这个值表明，高的GDP的增长率 一定伴随着高的Haier的回报率。如果GDP的 增长率是 5% ，则 A 的回报率为 14% 。如果 GDP 的 增 长 率 增 加 1%—— 为 6% 时 ， 则 Haier的回报率增加2%，或者为16%。
7.2.1 因素模型概述
因素模型在证券组合管理中的应用
在证券组合选择过程中，减少估计量和计算 量 刻画证券组合对因素的敏感度
7.2.1 因素模型概述
如果假设证券回报率满足因素模型，那 么证券分析的基本目标就是，辨别这些 因素以及证券回报率对这些因素的敏感 度。
7.2.1 因素模型概述
例子：国内生产总值GDP的增长率 是影响证券回报率的主要因素
从这个例子可以看出， Haier 在任何一期的 回报率包含了三种成份： 1．在任何一期都相同的部分（ a ）
2．依赖于GDP的增长率，每一期都不相同的部分 （ bGDPt ） 3．属于特定一期的特殊部分（ e ）。
t
单因素模型
=系统风险+ 非系统风险 = 不可分散风险 + 可分散风险 = 市场风险 + 个别/公司特有风险
7.2 因素模型
7.2.1 因素模型概述 7.2.2 单因素模型 7.2.3 多因素模型
7.2.1 因素模型概述
我们称这些把资产回报分解成两部份的 模型为因素模型（factor models）.
套利定价理论(APT)
套利定价理论的一个基本假设： 证券的收益率主要受一个或多个市场因子影响，
并且如同指数模型一样， 假设证券收益率与这些 因子之间具有线性关系，然后利用无套利均衡分 析方法确定这些市场因子及对证券收益率的影响。
.
一、单因子模型 假设各证券收益率均受一个市场因子 I 影响，并且有线性 结构，即对任意证券 J 的收益率，有
如果将市场投资组合作为纯因子， 则套利定价模型 具有如下形式
rJrFJ(rMrF)
它与CAPM形式完全一样， 但其导出过程和思想却完 全不同。
.
二、多因子模型
多因子模型是假定各证券收益率都受多个市场因子影
响，并具有线性结构，即任意证券 J 的收益率可表示
为 K 个因子收益率的线性模型
K
rJAJ JiIiJ,J1, ,NΒιβλιοθήκη J1J1n
n
xJAJ ( xJBJ)I AX XI
J1
J1
.
rJAJJI J
证券组合的方差为
2(rX)
n
xJJ
2
2(I)
n
x2J2(J)
J1
J1
X22(I)2(X)
其中
n
A . X x J A J J 1
n
X x J J J 1
n
2 ( X )
x
2 J
2 (
J)
其中:
K
Ax xJ AJ i 1
n
xi xJJi,i1, ,k J1 .
而
Kn
K
2(rX) ( xJJi)22(Ii) xJ22(J)
i1 J1
J1
k
x2i2(Ii)2(x) i1
.
在套利定价思想下，投资者构造的套利组合满足的三 个性质可以表示成
套利定价理论(APT)练习试卷1(题后含答案及解析)
套利定价理论（APT）练习试卷1(题后含答案及解析) 题型有：1.1．在资产定价理论中,如果市场未达到均衡状态的话,投资者就会大量利用这种机会,占领市场份额,这是( )的观点A．均衡价格理论B．套利定价理论C．资产资本定价模型D．股票价格为公平价格正确答案：B 涉及知识点：套利定价理论(APT)2．在证券投资组合理论的各种模型中,反映证券组合期望收益水平和一个或多个风险因素之间均衡关系的模型是( )A．资产资本定价模型B．套利定价理论C．多因素模型D．特征线形模型正确答案：C 涉及知识点：套利定价理论(APT)3．套利(arbitrage)是指利用一个或多个市场上存在的各种价格差异,在不冒任何风险或冒较小风险的情况下赚取大于零的收益的行为。
套利的基本形式包括( )。
Ⅰ空间套利Ⅱ时间套利Ⅲ工具套利Ⅳ风险套利Ⅴ税收套利A．全都是B．除Ⅳ以外C．Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，ⅣD．Ⅰ，Ⅱ，Ⅴ正确答案：A 涉及知识点：套利定价理论(APT)4．套利的方式多种多样,在一个市场上低价买进某种商品,而在另一市场上高价卖出同种商品,从而赚取两个市场间差价的交易行为属于( ) A．空间套利B．时间套利C．工具套利D．风险套利正确答案：A 涉及知识点：套利定价理论(APT)5．利用同一标的资产的现货及各种衍生证券的价格差异,通过低买高卖来赚取无风险利润的行为属于( )A．空间套利B．时间套利C．工具套利D．风险套利正确答案：C 涉及知识点：套利定价理论(APT)6．利用风险定价上的差异,通过买低卖高赚取无风险利润的交易行为属于( )A．空间套利B．时间套利C．工具套利D．风险套利正确答案：D 涉及知识点：套利定价理论(APT)7．套利证券组合是预期收益增加而风险没有增加,因而套利证券组合要满足三个条件。
以下关于满足的条件,说法正确的是( )A．不需要投资者增加任何投资B．套利证券组合的因子1的敏感程度为零,就是说它不受因素风险影响C．套利组合的预期收益率必须为正数D．套利组合的预期收益率必须为非负数正确答案：D 涉及知识点：套利定价理论(APT)8．根据套利组合的三个条件中“不需要投资者增加任何投资”的条件,计算出股票B的权重X等于( )A．0.05B．0.1C．-0.1D．0.15正确答案：B 涉及知识点：套利定价理论(APT)9．根据套利组合的三个条件中“套利证券组合的因子1的敏感程度为零”的条件,可以计算出股票B的bi等于( )A．1B．1.5C．2D．2.5正确答案：D 涉及知识点：套利定价理论(APT)10．假定投资者持有这三种证券的市值分别为100万元,套利证券组合的市值为300万元,那么这项投资的收益为( )万元A．-1B．1C．2D．3正确答案：D 涉及知识点：套利定价理论(APT)11．与资本资产定价模型一样,以下属于套利定价理论假设的有( )。
套利定价理论(APT) 思考题
第九单元 资产定价理论及有效市场假说（一）：CAPM和APT1. 讨论证券市场线(SML)和资本市场线(CML)的区别。
要点:资本市场线测度的是每单位整体风险的超额收益(资产组合的收益率超出无风险收益率的部分)，整体风险用标准差测度。
资本市场线只适用于有效资产组合。
证券市场线测度的是证券或资产组合每单位系统风险(贝塔值)的超额收益。
证券市场线适用于所有单个证券和资产组合(不论是否已经有效地分散了风险)。
因此，证券市场线比资本市场线的前提更为宽松，应用也更为广泛。
证券市场线经常用于评价资产组合经理的经营业绩。
理由：这道题是关于从资本资产定价模型中得出的两个最常用的风险-收益关系的，目的是使学生深入了解它们最基本的区别。
2. 讨论资本资产定价模型的前提假设，以及它们与真实的投资决策过程的联系。
要点:前提假设主要有：a. 市场由许多小投资者组成，他们都是价格的接受者，即是完全竞争的。
这个假设过去是基本成立的，但是近些年来，越来越多的机构投资者出现，他们大宗的交易开始影响市场。
b. 所有的投资者都有相同的持有期。
显然不同的投资者目标不同，因此持有期也是不同的。
c. 投资只局限于可以公开交易的投资工具。
而且投资者可以以固定的无风险利率任意借贷。
显然投资者可以购买非公开交易的投资工具，但是公开交易的投资工具的交易额是非常巨大的。
投资者可以以固定的无风险利率任意借贷的假设显然是不成立的，但是可以修改模型，加入各个不同的借贷利率。
d. 投资者不承担所得税和交易成本。
显然投资者既要承担所得税，又要承担交易成本。
对不同种类收入和不同收入水平，所得税各有不同。
显然，投资者考虑的是税后而不是税前收益率。
但是无税的假设并不是完全脱离了现实。
而且每一种投资工具都有其独特的优势，并不能完全根据税负确定其优劣。
相比其他一些投资方法，例如投资于不动产，只要不是非常活跃的交易，证券交易的交易成本相对是很低的。
积极的投资者一定要在盈利而不是自己亏损让经纪人赚钱的前提下交易。
罗斯《公司理财》(第9版)配套题库【章节题库-套利定价理论】
第12章套利定价理论一、单选题下列哪个不是CAPM的假设？（）（中央财大2011金融硕士）A．投资者风险厌恶，且其投资行为是使其终期财富的期望效用最大B．投资者是价格承受者，即投资者的投资行为不会影响市场上资产的价格运动C．资产收益率满足多因子模型D．资本市场上存在无风险资产，且投资者可以无风险利率无限借贷【答案】C【解析】套利定价理论（APT）假设资产收益率满足多因子模型。
套利定价模型的优点之一是它能够处理多个因素，而资本资产定价模型就忽略了这一点。
根据套利定价的多因素模型，收益与风险的关系可以表示为：式中，β1代表关于第一个因素的贝塔系数，β2代表关于第二个因素的贝塔系数，依此类推。
二、简答题1．请解释什么是证券组合的系统性风险和非系统性风险，并图示证券组合包含证券的数量与证券组合系统性风险和非系统性风险间的关系。
（对外经贸大学2004研）答：（1）系统风险亦称“不可分散风险”或“市场风险”，与非系统风险相对，指由于某些因素给市场上所有的证券都带来经济损失的可能性，如经济衰退、通货膨胀和需求变化给投资带来的风险。
这种风险影响到所有证券，不可能通过证券组合分散掉。
即使投资者持有的是收益水平及变动情况相当分散的证券组合，也将遭受这种风险。
对于投资者来说，这种风险是无法消除的。
系统风险的大小取决于两个方面，一是每一资产的总风险的大小，二是这一资产的收益变化与资产组合中其他资产收益变化的相关关系（由相关关系描述）。
在总风险一定的前提下，一项资产与市场资产组合收益变化的相关关系越强，系统风险越大，相关关系越弱，系统风险越小。
非系统风险，亦称“可分散风险”或“特别风险”，是指那些通过资产组合就可以消除掉的风险，是公司特有风险，例如某些因素对个别证券造成经济损失的可能性。
这种风险可通过证券持有的多样化来抵消，因此，非系统风险是通过多样化投资可被分散的风险。
多样化投资之所以可以分散风险，是因为在市场经济条件下，投资的收益现值是随着收益风险和收益折现率的变化而变化的。
APT定价模型组题
资产组合理论： 1、假如有A 和B 两种股票，它们的收益是相互独立的。
股票A 的收益为15%的概率是40%，而收益为10%的概率是60%，股票B 的收益为35%的概率是50%，而收益为-5%的概率也是50%。
（1）这两种股票的期望收益和标准差分别是多少？它们的收益之间的协方差是多少？ （2）如果50%的资金投资于股票A ，而50%的资金投资于股票B ，问该投资组合的期望收益和标准差分别是多少？答案：（1）股票A 的期望收益E(R )0.415%0.610%12%;A =⨯+⨯=股票A 的标准差A 0.0245σ==。
股票B 的期望收益E(R )0.535%0.5(5%)15%;B =⨯+⨯-=股票B 的标准差0.2B σ==因为股票A 和股票B 的收益是相互独立的，所以它们收益之间的协方差为0。
（2）该投资组合的期望收益P E R 0.5E(R )0.5E(R )0.512%0.515%13.5%,A B =⨯+⨯=⨯+⨯=（）标准差P 0.1007σ===2、假设有两种基金：股票基金A ，债券基金B ，基金收益率之间相关系数为0.05，概率分布如下：A ：期望收益 10% 标准差 20% B ：期望收益 5% 标准差 10% 计算：（1）基金的最小方差组合中每种基金的投资比例各是多少？ （2）最小方差组合的期望收益和标准差是多少？答案：（1）设组合中A 基金投资比例为X ，那么B 基金投资比例为1-X 。
组合的方差222222222P x (1x)2x(1x)0.2x 0.1(1x)0.10.20.1x(1x)A B A B σσσρσσ=+-+-=+-+⋅⋅-是关于X 的一元二次方程，其最小的条件是关于X 的导数为0。
对X 求导，并使其等于0，得：0.096x 0.018=，解得：X=0.1875,1-X=0.8125所以最小方差组合中A 基金的投资比例为0.1875，B 基金的投资比例为0.8125。
8 第八讲 现代投资理论：套利定价模型(APT)
2. 单因素套利定价理论
假设证券收益率符合单因素模型，考虑充分分散的投 资组合i [组合的非因素风险为零]，其收益率为：
Ri = E ( Ri ) + bi F
那么，当市场无套利均衡时[不存在无风险的套利机会]，有：
E ( Ri ) = R f + bi ( ERPF − R f )
PF是一个充分分散的投资组合，其因素敏感度等于 1，即bPF =1,被称为纯因素组合。
2 2 2 2 σ i2 = b i2 1σ F + b i 2 σ F + σ ε
1 2 i
-0.6
-0.4
-0.2
(1.0885) (12.076)
F = 145.822 R 2 = 0.5791
σ ij = b i1b j 1σ
2 F1
+ b i 2 b j 2σ
2 F2
3.多因素模型
该式表明，某一单个证券的收益率的风险由三个部分 构成：第一部分是该证券收益率关于风险因素F1的风险； 第二部分是关于风险因素F2的风险；第三部分则是该证券 的非因素风险。
2 2 2 σp = bp σ F + ∑ σ ε2
D. 一个实例：单指数模型[index model] 一个运用单因素模型的例子是选择某一具有代表性的市 场指数收益率视为共同因素，即单指数模型(Sharp,1963)，并 通过大量的历史数据回归得到，回归方程为(某一特定证券i)：
1 i =1 n 1 n 2 = b 2σ F + 2 ∑ σ ε2i n i =1
1.单因素模型 A.单因素模型 该模型认为，证券收益率只受某一种共同的因素影响。 对于任意的证券i，其在时期t的单因素模型表达式为： Rit=E(Rit )+biFt+εit 其中，Rit为证券i在时期t的收益率；E(Rit )为证券i在时期 t的期望收益率；Ft为共同因素偏离其期望的离差，其期望值 为0，标准差为 σ Ft ；bi为证券i收益率对共同因素的敏感度； 如果我们只考虑某一给定时间的因素模型，因此，我 们将单因素模型改写为：
套利定价模型(APT)
应用价值
这里就四点来看： 1.大多数机构投资者评价投资业绩时 2.监管当局确定监管对象的资本成本时 3.法院就未来收入损失判断赔偿金额涉及 收益率时 4.企业资本预算决策确定最低收益率时
不管如何，拿到APT才是关键
多因素模型的定价公式
因素敏感度 因素敏感度 因素敏感度 因素敏感度
rit rf （rp1t rf ）bi1t （rp 2t rf ）bi 2t （rp 3t rf ）bi 3t （rpkt rf ）bikt
主要内容
一 套利与“一价定律” 二 套利如何实现
套利组合的构建
三 套利定价模型的实现
1.单因素模型（ 所有资产 的收益受某一因素影响）
2 2 ri a bi F i , 证券i的方差为: i2 (证券风险) bi2 F（因素风险） （非因素风险） i
2.双因素模型（ 所有资产 的收益受两个因素影响）
双因素以及多因素模型的定价公式
用同样的方法我们可以得到：
ri 0 1bi1 2bi 2 依照单因素模型对0的分析，仍然可以可到0 rf 关于1的含义，考虑一个充分多样化组合，该组合对其一种因素的敏感度为 1， 对第二种因素的敏感度为0，从而可得1 rp1 rf 对第二种因素的敏感度为1，从而可得2 rp 2 rf 从而，可得两因素模型的定价公式： ri rf （rp1 rf ）bi1 （rp 2 rf ）bi 2 同样道理，在多因素模型下，APT资产定价公式为： ri rf （rp1 rf ）bi1 （rp 2 rf ）bi 2 （rp 3 rf ）bi 3 （rpk rf ）bik 即一种证券的预期收益率等于无风险利率加上k个因素的风险报酬。
投资学第六章 套利定价模型(APT)
• 两者的主要区别 第一，在APT中，证券的风险由多个因素来解 释；而在CAPM中，证券的风险只用证券相对于市场 组合的β系数来解释。 第二，APT并没有对投资者的证券选择行为做 出规定，因此APT的适用性增强了；而CAPM假定投 资者按照期望收益率和标准差，并利用无差异曲线 选择投资组合。 第三，APT并不特别强调市场组合的作用，而 CAPM强调市场组合是一个有效的组合。 第四，APT建立在一价定律的基础上的，集中 于无套利条件；而CAPM理论则建立在马科维茨的有 效组合基础之上，强调的是一定风险下的收益最大 化和一定收益下的风险最小化。
套利组合 • 构造套利组合必须满足三个条件： 零投资 无风险 正收益
• 因此，用数学语言表示套利组合的条件就是：
n ∑ωi = 0 i= 1 n D(∑ω r ) = 0 i i 1 i= n ∑ω E(r ) > 0 i i i =1
• 以下是APT模型的非严格证明。 • 首先，APT理论是建立在充分分散化的基础上的。 因为充分分散化的组合的ep的期望值为0，同时 其方差也趋于0，所以得出结论ep的值几乎为0。 所以，对于充分分散的投资组合，单因素模型 可以写为：
⇒
Eri − rf
βj
• 记为 λ E ri − r f • 所以
β
⇒
i
=
E rj − rf
β
= λ
j i j
E ri = r f + λ β
E rj = rf + λ β
所以，APT模型为 Eri = rf + λβi 习惯上，称λ为风险溢价、β为风险因子
套利定价模型与资本资产定价模型 的关系
rp = E(rp ) + β p F
4 套利定价模型 APT
套利定价方程
• 套利定价方程是判断是否存在套利机会的 工具 • Ei（i＝1，…n）满足何种条件，解不存在， • 可以证明，当且仅当Ei是敏感性的线性函 数,就是说不再存在套利机会
E ( ri ) E i 0 bi1 1 ... biK K
方程中λ的含义
• • • • 根据无风险证券 λ 0＝rf 构造特殊的证券组合δ j δ j对因素Fj的敏感性bj＝1，而对其他因 素的敏感性bi＝0（i≠j） • δ j的期望收益率E（δ j）＝rf＋λ j • λ j ＝E(δ j )－ rf • 类似于标准正交基下的坐标
新旧组合的比较
旧组合
权数 X1 X2 X3 0.333 0.333 0.333 16.000% 1.900 11.000%
套利组合
0.100 0.075 -0.175 0.975% 0.000 很小
新组合
0.433 0.408 0.158 16.975% 1.900 约11.000%
性质 r b ζ
多因素模型下证券或组合的 期望方差协方差计算
K • 期望收 E ( ri ) a i b ik E ( F k ) k 1 益率 K 2 2 • 方差或 i b ij2 Fj 2 ( i ) j 1 因素风 险 2 b ij b is cov( F j , F s ) j s
• 根据回归模型中的假设 • 用“线性变换”的构造新的因素 • 使得满足“标准正交”的条件
2
因子载荷—矩阵形式
• B是敏感度系数 矩阵，或因素载 荷矩阵（factor loading matrix） • 思考：用矩阵形 式表示，因素和 误差的限制条件
~ ~ ~ ~ R E (R ) B F ~ ~ ~ T R ( R 1 ,..., R N ) B ( b ij ) N K ~ ~ ~ T F ( F1 ,..., F K ) ,
CAPM—APT习题(解)
习题及参考解答1. 假设市场中，风险性资产的报酬服从一个二因子的套利定价模型（APT ）如下：i i i i i f b f b R εμ+++=2211其中，i R 为资产i 的报酬率，1f 与2f 为影响资产价格的因素，而i ε则是与因素波动无关的非系统因子，无风险利率为6%。
若你发现有以下三个分散良好的基金：基金期望报酬率 1i b 2i bA 15% 1.0 0.6B 14% 0.5 1.0 C10%0.30.2请回答以下问题：* 在APT 中，1i b 与2i b 被称为什么？(10分)* 请利用A 与B 二种基金计算这二个因素的因子溢酬（factor premium ）21,λλ？(10分)* 利用这三种基金，请构建一个套利策略？(10分)(台湾从业人员资格考试题，最后一小题若是套利组合似乎无解,只能定性地构建一下策略。
) * 解：利用基金A 、B 的数据，利用APT 模型，求得%5%,621==λλ以下为Sharpe 《投资学》习题1、假设由二种证券组成市场证券组合，它们的相关数据如下：证券 期望收益率（%） 标准差（%） 比例 A 10 20 0.4 B 15 28 0.6基于这些信息，并给定两种证券间的相关系数为0.3，无风险收益率为5%，写出资本市场线的方程。
（书上P354-5）结果：p p σμ3872.0%5+=2、GX 拥有一个投资组合，由3种证券组成。
组合中这些证券的β值和比例如下，GX 的组合的β值是多少？证券 β值 比例 A 0.9 0.3 B 1.3 0.1 C 1.05 0.6（03.1=p β）3、设市场证券组合和期望收益率为15%，标准差为21%，无风险收益率为7%。
一个很好地被分散化了的（无非系统风险）期望收益率为16.6%的组合的标准差是多少？解：利用CML 公式，%2.25=p σ4、给定市场证券组合的期望收益率为10%，无风险利率为6%，证券A 的β值为0.85，证券B 的β值为1.2：a 、 画出证券市场线；b 、 证券市场线的具体方程是什么？（p p βμ%)6%10(%6-+=）c 、 证券A 和证券B 在市场均衡时的期望收益率是多少？（%8.10%,4.9==B A μμ）d 、 在证券市场线上描出两种风险证券。
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资产组合理论：
1、假如有A 和B 两种股票，它们的收益是相互独立的。
股票A 的收益为15%的概率是40%，而收益为10%的概率是60%，股票B 的收益为35%的概率是50%，而收益为-5%的概率也是50%。
（1）这两种股票的期望收益和标准差分别是多少？它们的收益之间的协方差是多少？
（2）如果50%的资金投资于股票A ，而50%的资金投资于股票B ，问该投资组合的期望收益和标准差分别是多少？
答案：（1）股票A 的期望收益E(R )0.415%0.610%12%;A =⨯+⨯=股票A 的标准差
A 0.0245σ==。
股票B 的期望收益E(R )0.535%0.5(5%)15%;B =⨯+⨯-=股票B 的标准差
0.2B σ==
因为股票A 和股票B 的收益是相互独立的，所以它们收益之间的协方差为0。
（2）该投资组合的期望收益
P E R 0.5E(R )0.5E(R )0.512%0.515%13.5%,A B =⨯+⨯=⨯+⨯=（）
标准差P 0.1007σ===
2、假设有两种基金：股票基金A ，债券基金B ，基金收益率之间相关系数为0.05，概率分布如下：A ：
页脚内容2
期望收益 10% 标准差 20%
B ：期望收益 5% 标准差 10%
计算：（1）基金的最小方差组合中每种基金的投资比例各是多少？
（2）最小方差组合的期望收益和标准差是多少？
答案：（1）设组合中A 基金投资比例为X ，那么B 基金投资比例为1-X 。
组合的方差222222222P x (1x)2x(1x)0.2x 0.1(1x)0.10.20.1x(1x)A B A B σσσρσσ=+-+-=+-+⋅⋅-是关于X 的一元二次方程，其最小的条件是关于X 的导数为0。
对X 求导，并使其等于0，得：
0.096x 0.018=，解得：X=0.1875,1-X=0.8125
所以最小方差组合中A 基金的投资比例为0.1875，B 基金的投资比例为0.8125。
（2）最新方差组合的期望收益
()=xE()(1x)E()0.187510%0.81255% 5.9375%P A B E R R R +-=⨯+⨯=
标准差
P 0.0912
σ===
CAPM ：
3、假设国库券利率是4%，市场组合的期望收益率是12%，根据CAPM：
（1）画图说明期望收益和β之间的关系
（2）市场的风险溢价是多少？
（3）如果一个投资项目的β为1.5，那么该投资的必要回报率是多少？
（4）如果一个β为0.8的投资项目可以获得9.8%的期望收益率，那么是否应该投资该项目？
（5）如果市场预期一只股票的期望收益率为11.2%，那么该股票的β是多少？
答案：（1）
（2）市场的风险溢价是：12%-4%=8%
（3）E（R）=4%+（12%-4%）*1.5=16%
（4）该项目必要回报率E（R）=4%+（12%-4%）*0.8=10.4%，而只能获得9.8%的期望收益率，小于10.4%，所以不应该投资该项目。
页脚内容3
（5）11.2%=4%+（12%-4%）*β，解得：β=0.9。
4、假设无风险收益率为6%，市场组合的预期收益率为10%，某资产组合的β系数等于1.2。
根据CAPM 计算：(1)该资产组合的预期收益率等于多少？(2)假设某股票现价为20元，其β=0.8，预期该股票1年后股价为23元，期间未分配任何现金股利。
请问投资者应该看多还是应该看空该股票？
答案：（1）该资产组合的预期收益率E（R）=6%+（10%-6%）*1.2=10.8%
(2)该股票的期望收益率为E(R)= 6%+（10%-6%）*0.8=9.2%，按照期望收益率将一年后股价贴现到现在得到现在股票的价值:23/(1+9.2%)=21.06。
而该股票的现价20<21.06，说明该股票被低估了，所以投资者应该看多该股票。
APT：
5、考虑一个单因素APT模型，股票A和股票B的期望收益率分别为15%和18%，无风险利率是6%，股票B的β为1.0。
如果不存在套利机会，股票A的β应该是多少？
答案：根据APT，对于股票B：18%=6%+1.0F，解得：F=12%
对于股票A：15%=6%+βF=6%+12%β，解得：β=0.75。
6、考虑一个多因素APT模型，股票A的期望收益率是17.6%，关于因素1的β是1.45，关于因素2的β
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是0.86。
因素1的风险溢价是3.2%，无风险利率是5%，如果不存在套利机会，那么因素2的风险溢价是多少？
答案：根据APT，有：17.6%=5%+1.45*3.2%+0.86*F2，解得：F2=9.26%
因此，因素2的风险溢价是9.26%。
7、考虑一个多因素APT模型，假设有两个独立的经济因素F1和F2，无风险利率是6%，
两个充分分散化了的组合的信息如下：
如果不存在套利机会，那么因素1和因素2的的风险溢价分别是多少？
答案：设因素1和因素2的风险溢价分别为R1和R2，根据APT，有：
对于组合A：19%=6%+1.0R1+2.0R2
对于组合B：12%=6%+2.0R1
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联立以上两个等式，解得：R1=3%，R2=5%
因此，因素1和因素2的风险溢价分别为3%和5%。
8、已知股票A 和股票B 分别满足下列单因素模型：
0.10.90.05 1.10.2()0.3()0.1
A M A
B M B M A B R R R R εεσσεσε=++=++===
（1） 分别求出两个股票的标准差及他们之间的协方差。
（2） 用股票A 和B 组成一个资产组合，两者所占比重分别为0.4和0.6，求该组合的非系统性标准差。
答案：（1）股票A
的标准差0.3499A σ===
股票A
的标准差0.2417B σ===
股票A 和股票B 的协方差
22(,)(0.10.9,0.05 1.1)(0.9,1.1)
0.990.990.20.0396
AB A B M A M B M M M COV R R COV R R COV R R σεεσ==++++===⋅=（2）组合的收益率 0.40.60.4(0.10.9)0.6(0.05 1.1)P A B M A M B R R R R R εε=+=+++++
组合的非系统性标准差
0.1342εσ===
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9、假设每种证券的收益可以写成如下两因素模型：1122()it it i t i t R E R F F ββ=++，其中：it R 表示第i 种证券在时间t 的收益，1t F 和2t F 表示市场因素，其数学期望等于0，协方差等于0。
此外，资本市
场上有2种证券，每种证券的特征如下：
（1） 建立一个包括证券1和证券2的投资组合，但是其收益与市场因素1t F 无关。
计算该投资组合的期望收益和贝塔系数β2。
（2） 设有一个无风险资产的期望收益等于5%，β1=0，β2=0，是否存在套利机会？
答案：(1)设组合中证券1的投资比例为X ，那么证券2的投资比例为1-X 。
1211111222211222(1)[()](1)[()]pt t t
t t t t t t R XR X R X E R F F X E R F F ββββ=+-=+++-++
因为其收益与市场因素1t F 无关，所以组合关于1t F 的贝塔应该为0，即：
1121(1)0
(1)1.50X X X X ββ+-=+-=
解得：X=3，1-X=-2，所以()3(10%)2(10%)10%pt E R =-=
页脚内容8 21222
(1)3(0.5)2(0.75)
0p X X βββ=+-=-=
所以其收益与市场因素1t F 和2t F 都无关。
（2） 因为（1）中投资组合收益与市场因素1t F 和2t F 都无关，所以是无风险的投资组合，其收益为10%，
高于无风险资产5%的期望收益，所以应该借入期望收益为5%的无风险资产，然后投资于（1）中10%的投资组合。