APT定价模型组题
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资产组合理论:
1、假如有A 和B 两种股票,它们的收益是相互独立的。股票A 的收益为15%的概率是40%,而收益为10%的概率是60%,股票B 的收益为35%的概率是50%,而收益为-5%的概率也是50%。
(1)这两种股票的期望收益和标准差分别是多少?它们的收益之间的协方差是多少?
(2)如果50%的资金投资于股票A ,而50%的资金投资于股票B ,问该投资组合的期望收益和标准差分别是多少?
答案:(1)股票A 的期望收益E(R )0.415%0.610%12%;A =⨯+⨯=股票A 的标准差
A 0.0245σ==。
股票B 的期望收益E(R )0.535%0.5(5%)15%;B =⨯+⨯-=股票B 的标准差
0.2B σ==
因为股票A 和股票B 的收益是相互独立的,所以它们收益之间的协方差为0。
(2)该投资组合的期望收益
P E R 0.5E(R )0.5E(R )0.512%0.515%13.5%,A B =⨯+⨯=⨯+⨯=()
标准差P 0.1007σ===
2、假设有两种基金:股票基金A ,债券基金B ,基金收益率之间相关系数为0.05,概率分布如下:A :
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期望收益 10% 标准差 20%
B :期望收益 5% 标准差 10%
计算:(1)基金的最小方差组合中每种基金的投资比例各是多少?
(2)最小方差组合的期望收益和标准差是多少?
答案:(1)设组合中A 基金投资比例为X ,那么B 基金投资比例为1-X 。组合的方差222222222P x (1x)2x(1x)0.2x 0.1(1x)0.10.20.1x(1x)A B A B σσσρσσ=+-+-=+-+⋅⋅-是关于X 的一元二次方程,其最小的条件是关于X 的导数为0。
对X 求导,并使其等于0,得:
0.096x 0.018=,解得:X=0.1875,1-X=0.8125
所以最小方差组合中A 基金的投资比例为0.1875,B 基金的投资比例为0.8125。
(2)最新方差组合的期望收益
()=xE()(1x)E()0.187510%0.81255% 5.9375%P A B E R R R +-=⨯+⨯=
标准差
P 0.0912
σ===
CAPM :
3、假设国库券利率是4%,市场组合的期望收益率是12%,根据CAPM:
(1)画图说明期望收益和β之间的关系
(2)市场的风险溢价是多少?
(3)如果一个投资项目的β为1.5,那么该投资的必要回报率是多少?
(4)如果一个β为0.8的投资项目可以获得9.8%的期望收益率,那么是否应该投资该项目?
(5)如果市场预期一只股票的期望收益率为11.2%,那么该股票的β是多少?
答案:(1)
(2)市场的风险溢价是:12%-4%=8%
(3)E(R)=4%+(12%-4%)*1.5=16%
(4)该项目必要回报率E(R)=4%+(12%-4%)*0.8=10.4%,而只能获得9.8%的期望收益率,小于10.4%,所以不应该投资该项目。
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(5)11.2%=4%+(12%-4%)*β,解得:β=0.9。
4、假设无风险收益率为6%,市场组合的预期收益率为10%,某资产组合的β系数等于1.2。根据CAPM 计算:(1)该资产组合的预期收益率等于多少?(2)假设某股票现价为20元,其β=0.8,预期该股票1年后股价为23元,期间未分配任何现金股利。请问投资者应该看多还是应该看空该股票?
答案:(1)该资产组合的预期收益率E(R)=6%+(10%-6%)*1.2=10.8%
(2)该股票的期望收益率为E(R)= 6%+(10%-6%)*0.8=9.2%,按照期望收益率将一年后股价贴现到现在得到现在股票的价值:23/(1+9.2%)=21.06。而该股票的现价20<21.06,说明该股票被低估了,所以投资者应该看多该股票。
APT:
5、考虑一个单因素APT模型,股票A和股票B的期望收益率分别为15%和18%,无风险利率是6%,股票B的β为1.0。如果不存在套利机会,股票A的β应该是多少?
答案:根据APT,对于股票B:18%=6%+1.0F,解得:F=12%
对于股票A:15%=6%+βF=6%+12%β,解得:β=0.75。
6、考虑一个多因素APT模型,股票A的期望收益率是17.6%,关于因素1的β是1.45,关于因素2的β
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是0.86。因素1的风险溢价是3.2%,无风险利率是5%,如果不存在套利机会,那么因素2的风险溢价是多少?
答案:根据APT,有:17.6%=5%+1.45*3.2%+0.86*F2,解得:F2=9.26%
因此,因素2的风险溢价是9.26%。
7、考虑一个多因素APT模型,假设有两个独立的经济因素F1和F2,无风险利率是6%,
两个充分分散化了的组合的信息如下:
如果不存在套利机会,那么因素1和因素2的的风险溢价分别是多少?
答案:设因素1和因素2的风险溢价分别为R1和R2,根据APT,有:
对于组合A:19%=6%+1.0R1+2.0R2
对于组合B:12%=6%+2.0R1
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联立以上两个等式,解得:R1=3%,R2=5%
因此,因素1和因素2的风险溢价分别为3%和5%。
8、已知股票A 和股票B 分别满足下列单因素模型:
0.10.90.05 1.10.2()0.3()0.1
A M A
B M B M A B R R R R εεσσεσε=++=++===
(1) 分别求出两个股票的标准差及他们之间的协方差。
(2) 用股票A 和B 组成一个资产组合,两者所占比重分别为0.4和0.6,求该组合的非系统性标准差。
答案:(1)股票A
的标准差0.3499A σ===
股票A
的标准差0.2417B σ===
股票A 和股票B 的协方差
22(,)(0.10.9,0.05 1.1)(0.9,1.1)
0.990.990.20.0396
AB A B M A M B M M M COV R R COV R R COV R R σεεσ==++++===⋅=(2)组合的收益率 0.40.60.4(0.10.9)0.6(0.05 1.1)P A B M A M B R R R R R εε=+=+++++
组合的非系统性标准差
0.1342εσ===