小学奥数教程：完全平方数及应用(一)全国通用(含答案)
五年级奥数 完全平方数及答案
五年级奥数完全平方数及答案1.一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
2.求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方3.求证：11,111,1111,这串数中没有完全平方数4.求满足以下条件的所有自然数：(1)它是四位数。
(2)被22除余数为5。
(3)它是完全平方数5.甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下缺乏十元，轮到乙拿去。
为了平均分配，甲应该补给乙多少元?完全平方数习题答案：1.解答：设此自然数为x，依题意可得x-45=m^2; (1)x+44=n^2 (2)(m,n为自然数)(2)-(1)可得 :n^2-m^2=89或： (n-m)(n+m)=89因为n+m>n-m又因为89为质数，所以：n+m=89; n-m=1解之，得n=45。
代入(2)得。
故所求的自然数是1981。
2.解答：设四个连续的整数为，其中n为整数。
欲证是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。
证明设这四个整数之积加上1为m，那么m为平方数而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数;又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数。
这就证明了m是一个奇数的平方。
3.解答：形如的数假设是完全平方数，必是末位为1或9的数的平方，即或在两端同时减去1之后即可推出矛盾。
证明假设，那么因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。
假设，那么因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。
综上所述，不可能是完全平方数。
4.解答：设，其中n,N为自然数，可知N为奇数。
11|N - 4或11|N + 4或k = 1k = 2k = 3k = 4k = 5所以此自然数为1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。
5.解答:n头羊的总价为元，由题意知元中含有奇数个10元，即完全平方数的十位数字是奇数。
完全平方公式的综合应用(习题及答案)
完全平方公式的综合应用（习题）例题示范例1：已知12x x -=，求221x x +，441x x +的值． 【思路分析】① 观察题目特征（已知两数之差和两数之积11x x ⋅=，所求为两数的平方和），判断此类题目为“知二求二”问题；② “x ”即为公式中的a ，“1x ”即为公式中的b ，根据他们之间的关系可得：2221112x x x x x x⎛⎫+=-+⋅ ⎪⎝⎭； ③ 将12x x -=，11x x⋅=代入求解即可； ④ 同理，24224221112x x x x x x ⎛⎫+=+-⋅ ⎪⎝⎭，将所求的221x x +的值及2211x x ⋅=代入即可求解．【过程书写】例2：若2226100x x y y -+++=，则x =_______，y =________．【思路分析】此题考查完全平方公式的结构，“首平方，尾平方，二倍乘积放中央”．观察等式左边，22x x -以及26y y +均符合完全平方式结构，只需补全即可，根据“由两边定中间，由中间凑两边”可配成完全平方式，得到22(1)(3)0x y -++=． 根据平方的非负性可知：2(1)0x -=且2(3)0y +=，从而得到1x =，3y =-． 巩固练习1. 若2(2)5a b -=，1ab =，则224a b +=____，2(2)a b +=____．2. 已知3x y +=，2xy =，求22x y +，44x y +的值．3. 已知2310a a -+=，求221a a +，441a a +的值.4. （1）若229x mxy y ++是完全平方式，则m =________．（2）若22916x kxy y -+是完全平方式，则k =_______．5. 多项式244x +加上一个单项式后，能使它成为一个整式的平方，则可以加上的单项式共有_______个，分别是________________________________________．6. 若22464100a b a b +--+=，则a b -=______．7. 当a 为何值时，2814a a -+取得最小值，最小值为多少？8. 求224448x y x y +-++的最值．思考小结1. 两个整数a ，b （a ≠b ）的“平均数的平方”与他们“平方数的平均数”相等吗？若不相等，相差多少？2. 阅读理解题：若x 满足(210)(200)204x x --=-，试求22(210)(200)x x -+-的值． 解：设210-x =a ，x -200=b ，则ab =-204，且(210)(200)10a b x x +=-+-=， 由222()2a b a ab b +=++得，2222()2102(204)508a b a b ab +=+-=-⨯-=， 即22(210)(200)x x -+-的值为508． 根据以上材料，请解答下题：若x 满足22(2015)(2013)4032x x -+-=， 则(2015)(2013)x x --=______．【参考答案】例题示范例1．解：12x x-=∵214x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴2221112426x x x x x x ⎛⎫+=-+⋅ ⎪⎝⎭=+=∴222136x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴2422422111236234x x x x x x⎛⎫+=+-⋅ ⎪⎝⎭=-=∴例2：1 -3巩固练习1. 9 132.3. 5 174. 7 475. ±6 ±246.7. 5 24x - -4 8x -8x 4x 8.9. 810. 4a =时取得最小值，最小值为-211. 最小值为3思考小结1. 不相等，相差2()4a b - 2.3. 2 014。
第六节 完全平方数(含答案)-
第六节完全平方数内容讲解完全平方数在有理数范围内是指0.25=0.52，19=（13）2，…等，在实数范围内是指2=）2•，12=（2，…等一类的数．我们现在研究的完全平方数是指自然数范围内的平方数．如0=02，1=12，4=22，9=32，…，完全平方数用n2表示（n是自然数）．从完全平方数的末位数字看，只可能是0，1，4，5，6，9这6个数字；•而个位数字是2，3，7，8的数，一定不是完全平方数．这可以作为判断完全平方数的一种方法．在自然数范围内，完全平方数还有如下一些性质，也可以作为判断完全平方数的依据．（1）平方数的约数个数只能是奇数；反之，一个正整数的约数个数是奇数，则这个正整数一定是完全平方数．（2）形如4k+2或4k+3的数，不是完全平方数．即任何一个完全平方数必定是4的倍数，或被4除余1的数．（3）两个连续自然数的平方之间，没有完全平方数．即自然数a满足n2<a<（n+1）2，则a不是完全平方数．（4）任何大于4的完全平方数，必可表示成两个自然数的平方差的形式．例题剖析例1 已知a是自然数，试说明5（a2+3）不是完全平方数．分析：由完全平方数的个位数字只可能是0、1、4、5、6、9，只要说明a2+3的个位数字，不可能是0或5即可．解：∵a是自然数，a2的个位数字只能是0、1、4、5、6、9．∴a2+3的个位数字只能是2、3、4、7、8、9．也就是说，a2+3的个位数字，不可能是0或5，a2+3中不含因数5．即可得知5（a2+3）不是完全平方数．评注：用个位数字来判断一个数是否完全平方数，是判断完全平方数的基本方法．例2 若a是正整数，说明a（a+1）不是完全平方数．分析：a2与（a+1）2是两个连续的正整数的平方数，只要说明a（a+1）是介于a2与（a+1）2之间的数即可．解：∵a2<a2+a<a2+2a+1．（a为正整数）即a2<a（a+1）<（a+1）2．∴a（a+1）不是完全平方数．评注：利用完全平方数的性质（3），来判断一个数是否完全平方数，也是常用的一种判断方法．例3一个自然数，如果加上100是一个完全平方数，如果加上73是另一个完全平方数，求这个自然数．分析：设所求的自然数为n，由已知条件可列出n+100=a2，n+73=b2，再解方程组得a、b的值，然后求出这个自然数．解：设所求的自然数为n，依题意，得n+100=a2，n+73=b2两式相减，得a2-b2=27，∴（a+b）（a-b）=27．又∵27=1×27=3×9，且a+b>a-b．可解9,27,3; 1.a b a ba b a b+=+=⎧⎧⎨⎨-=-=⎩⎩或得a=6，b=3；（不合题意，舍去）．而a=14，b=13．则n=142-100=132-73=96．评注：利用质因数分解，来得到方程组，求出符合条件的自然数．分解质因数时，要考虑到所有可能的分解．例4已知一个自然数的平方的十位数字是7，求这个自然数的个位数字．分析：设这个自然数N的末两位数为ab，那么（10a+b）2=100a2+20ab+b2．知道N2的十位数字为7，就可求出个位数字．解：设所求自然数为N，十位数字为a，个位数字为b．且（10a+b）2=100a2+20ab+b2=100a2+2ab×10+b2．∵N2的十位数字为7，而2ab是偶数，所以b2必进位，且所进位的数是奇数．∵只有42=16，62=36，进到十位上的数才是奇数1、3，∴b只能是4或6．评注：一个整数的平方数的末两位数字，只能由这个整数的末两位数字确定．•因此，本例只关心该自然数的末两位数的末两位数字组成的数的平方．巩固练习1．填表（第1列填自然数N的个位数字，每空填2个；第2列填上对应的N的个位数字）：N2的个位数字有_______个，它们是________．2．选择题：（1）自然数从小到大排列0、1、2、3，…，其中一个自然数是n的完全平方，•则它前面的一个完全平方数是（）（A）n-1（B）n2-1 （C）n2-2n+1 （D）n2+2n+1（2）下列四个数中，只有一个是完全平方数，它是（）（A）513231 （B）121826 （C）122530 （D）625681（3）2、9、8、0四个数中，完全平方数、偶数、合数、质数的个数依次是（）（A）2，3，2，1 （B）1，2，3，1 （C）2，3，1，2 （D）1，3，2，1 3．一个自然数如果加上60，则为一完全平方数，如果加上43，•则为另一完全平方数，求这个自然数．4．求一个能被180整除的最小完全平方数．5．一个两位数与它的反序数（个位数字与十位数字交换）的和是一个完全平方数，求这样的两位数．6．求一个四位数，使它前两位数字相同，后两位数字也相同，•且这个四位数是完全平方数．7．正整数的平方按大小排成149****3649…，那么第85•个位置上的数字是几？8．已知a是正整数，且a2+2004a是一个正整数的平方，求a的最大值．答案:1．N2的个位数字只有0，1，4，5，6，9，共6个．2．（1）C；（2）D；（3）A3．所求自然数为214．9005．29与92，38与83，47与74，56与656．77447．322=1024，第85个位置上的数字刚才是1024的个位4．8．设a2+2004a=m2，m是正整数，配方得（a+1002）2-m2=10022=22×32×1672，a+1002+m、a+1002-m都是偶数，且a+1002+m>a+1002-m>0，再解22100223167,1002 2.a ma m⎧++=⨯⨯⎨+-=⎩得m=251000，a=250000．。
完全平方数知识讲解
奥数：完全平方数1、把1—50这50个数的平方数从小到大排成一个多位数149162536……，请问这个多位数共有（）位数字。
分析与解答：1-3的平方只有一位数，共3个数字；4-9的平方有两位数字，共2×6=12个数字；10-31的平方有三位数字，共有3×22=66个数字；32-50的平方有四位数字，共有4×19=76个数字；合计：3+12+66+76=157个数字。
2、46305乘以一个自然数a，积是一个完全平方数，则最小的a是（）。
分析与解答：46305=5×3×3×3×7×7×7所以a最小是5×3×7=105。
3、祖孙三人，孙子和爷爷的年龄之积是1512，而爷爷，父亲，孙子三人的年龄之积是完全平方数，父亲的年龄是（）岁。
分析与解答：1512=3×3×3×2×2×2×7要使1521乘一个数的积是完全平方数，那么这个数最小是：3×2×7=42。
所以父亲的年龄是42岁。
4、把一个两位数的个位与十位数字交换后得到一个新数，它与原来的数字加起来恰好是某个自然数的平方，这个和数是（）。
分析与解答：我们设这个数原来为10a+b，那么现在是10b+a，它们的和为11×（a+b）是一个完全平方数，所以a+b必等于11，那么这个和数就为11×11=121。
5、已知n/2是完全平方数，n/3是立方数，则n的最小值为（）。
分析与解答：根据n/2是完全平方数，我们知道n里面有奇数个质因数2，而联系n/3是立方数，所以我们知道n里至少有3个质因数2；同样的道理我们知道n里至少有4个质因数3，那么n最小值为2×2×2×3×3×3×3=648。
6、已知一个自然数的平方的十位数是8，这个完全平方数的个位数字是（）。
25.五年级奥数第25讲——完全平方数
学生课程讲义一个自然数自乘所得的积称为完全平方数,100以内的完全平方数(又称平方数)是0、1、2×2=4、3×3=9、4×4=16、5×5=25、6×6=36、7×7=49、8×8=64、9×9=81共10个,平方数有一些特别的性质,可以解决一些有趣的问题:少年宫游戏厅内悬挂着200个彩色灯泡,这些灯泡或明或暗,闪烁不停.这200个灯泡按1~200编号,它们每过1秒变化一下自己的明暗状态.开始时,全部灯泡是暗的第1秒,全部灯泡是亮着的;第2秒,凡编号为2的倍数的灯泡改变自己的明暗状态,即变暗;第3秒,凡编号为3的倍数的灯泡改变自己的明暗状态:明的变暗,暗的变明……依次类推,第n秒钟,凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的明暗状态.每200秒钟为一周期.即到201秒时,全部灯泡大放光明,然后继续上述规则改变原来的状态.问:第200秒时,明亮的灯泡有多少事实上,每个灯泡如果明暗改变次数为偶数次时,它还保持原来的明暗状态;如果变化次数为奇数次时,则明暗状态发生改变,原来明亮的灯泡将变暗,原来不亮的灯泡将变明亮.由于平方数的不同约数个数为奇数,从第2秒开始(此时,偶数编号灯泡变暗,奇数编号灯泡是亮的)起到200秒止,中间的平方数有4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196,在这些秒时,同样编号的灯泡由暗变明,加上1号灯泡始终是亮的,共14个灯泡是亮的.下面举例来讨论平方数的一些问题。
【例1】在1-2016的自然数中,完全平方数共有（）个随堂练习1在324、897、211、247、546中,哪些数是完全平方数。
【例6】下式中每个汉字表示1~9中的一个数字,不同的汉字代表不同的数字.已知热2+爱2+小2=学2+奥2+数2那么,请写出符合上述条件的一个等式:随堂练习412345654321是平方数吗?练习题一、填空题1、一个两位数等于它个位数字的平方与十位数字之和,这个两位数是2、把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数，它与原来数加起来的和恰好是某个自然数的平方，这个和是（）3、哥哥对弟弟说:“到21世纪的x2年,我恰好是x岁,”哥哥生于（）年。
小学奥数 完全平方数 知识点+例题+练习 (分类全面)
11112=1234321
一、“平方族”成员典型特征一：个位是0，1，4，5，6，9。
例：下面是一个算式：1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6。这个算式的得数能否是某个数的平方。
巩固、一天，一个小骗子在街上招摇撞骗，声称自己是完全平方数，只见此人长得这个模样：A＝1＋1×2＋1×2×3＋…＋1×2×3×…×100，小帅侠偶指奇约一眼就瞅出了这家伙的可疑之处，你发现了吗？
五、平方差公式的运用
例1、一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？
巩固、能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？
1、1＋1×2＋1×2×3＋…＋1×2×3×…×50是不是一个完全平方数
2、 是由2000个“4”组成的多位数， 是不是某个自然数 的平方？如果是，写出 ；如果不是，请说明理由．
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
3、一个数减去14，加上17都是一个完全平方数，求这个数
4、22+42+62+82+102+122+142+……2002除以4的余数是
5、12+22+32+42+52+62+72+……2002除以3的余数是
6、1234321×81是的平方
完全平方公式的综合应用(习题及答案)
完全平方公式的综合应用(习题) 例题示范例1:已知x = 2，求x2 ^2，x4•丄的值.x x x【思路分析】观察题目特征(已知两数之差和两数之积1x 1，所求为两数的平方和)，x判断此类题目为“知二求二”问题；1“x”即为公式中的a，“ - ”即为公式中的b,根据他们之间的关系可得:x2 1x —x1将X-— =2,x 2 2x 丄；xi 1 )=X —x1x - =1代入求解即可;x同理，X4•［二x2x4I即可求解.【过程书写】-2x2•丄，将所求的X2•厶的值及x2 x例2: 若x2 -2x + y2 +6y +10 =0，贝U x= _____ ，y= _______ .【思路分析】此题考查完全平方公式的结构，“首平方，尾平方，二倍乘积放中央”.观察等式左边，x2 -2x以及y2 6y均符合完全平方式结构，只需补全即可，根据“由两边定中间，由中间凑两边”可配成完全平方式，得到(x-1)2• (y • 3)2 = 0 . 根据平方的非负性可知：(x -1)2 =0且(y 3)^0，从而得到x=1，厂-3 .巩固练习1.若(a—2b)2=5，ab =1，则a2+4b2 =________ ，(a + 2b)2= ____ .2.已知x • y =3，xy =2，求x2 y2，x4 y4的值.1 13. 已知a2 -3a •仁0，求a2•盲,a^ —的值.a a4. (1)若x2+mxy + 9y2是完全平方式，则m= _________ .(2)若9x2-kxy+16y2是完全平方式，则k= __________ .5. 多项式4x2 4加上一个单项式后，能使它成为一个整式的平方，则可以加上的单项式共有_______ ，分别是____________2 2 a6. 若a +4b -6a-4b+10 = 0 ,贝U b = _________ .7. 当a为何值时，a2 -8a 14取得最小值，最小值为多少？8. 求x2 4y^4x 4y 8 的最值.思考小结1. 两个整数a，b (a z b)的“平均数的平方”与他们“平方数的平均数”相等吗？若不相等，相差多少？2. 阅读理解题: 若x 满足(210 _x)(x_200) =一204，试求(210 _x)2 (x — 200)2的值. 解：设210-x=a, x-200=b,则ab=- 204,且 a b = (210 _x) (x 一200) =10 ,由(a b)2 = a2 2ab b2得，a2 b2 =(a b)2 -2ab = 102 -2 (-204) =508 ,即(210 -x)2 (x-200)2的值为508.根据以上材料，请解答下题：若x满足(2015 -x)2 (2 013-x)2=4032,贝U (2 015 - x)(2 013 —x) = ____ .【参考答案】例题示范1例 1 .解：•/ x 2x --x丿=4 224 2X 2X 2 =34 1.913 2. 517 3. 747 4. ±i24 5. 52 -4x -4 8x -8x 6. 8 例2: 1 巩固练习 x 4 7. a =4时取得最小值，最小值为-28. 最小值为3思考小结1. (a -b)2 -3=36= 36-222. 2 0144。
小学奥数 完全平方数 知识点+例题+练习 (分类全面)
二、完全平方数的等价条件：奇数个因数
注：计算一个数的因数先把这个数分解质因数，然后把不同质因数的个数加1以后再相乘所得的乘积就是因数的个数
例如:12=2×2×3
12的质因数2有2个,质因数3有1个因数个数:(2+1)×(1+1)=6个
180=2×2×3×3×5
2．完全平方数的约数一定有奇数个；有奇数个约数的数一定是完全平方数。
3. 奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数
完全平方数除以3的余数只可能为为0或1；
完全平方数除以4的余数只可能为为0或1；
偶数的平方是4的倍数，奇数的平方除以4余1。
（二）一些推论
1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
巩固、已知m，n都是自然数，且n2 126m，则n的最小值为。
四、“平方族”成员典型特征二：除以3或4只能余0或1
注：奇数的平方是奇数，偶数的平方为偶数，而奇数的平方除以4余1，偶数的平方能被4整除
例1、形如11，111，1111，11111，…的数中有没有完全平方数？
巩固、A是由2018个“4”组成的多位数，即444444……（2018个4），A是不是某个自然数B的平方？如果是，写出B；如果不是，请说明理由．
961、 3364、1111111、1521、 1234321、 1849、 89234
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
六年级下册数学试题-完全平方数(含部分答案)全国通用
完全平方数完全平方数的定义一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
完全平方数的一般性质①完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9；②奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数；③如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数；⑤平方数除以3余0或者余1；⑥平方数除以16余0或者余1或者余4或者余9；⑦平方数除以余0或者1或者4；⑧在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数；⑨一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是有奇数个因数(包括1和n本身)。
例1如从200到1800的自然数中有奇数个约数的数有多少个？例2有一个四位数的个位数字与千位数字相等，且正好等于其十位数字的5倍与1的和的完全平方，求这个四位数。
例3在2500以内所有完全平方数中，能被9整除的有多少个？例4(04浙江五年级夏令营)袋子里共有415只小球，第一次从袋子里取出1只小球，第二次从袋子里取出3只小球，第三次从袋子里取出5只小球…依次地取球，如果剩下的球不够取，则将剩下的球留在袋中。
那么，最后袋中留下( )个球。
能不能找到一个自然数n ，是完全平方数，且n ＋1999也是完全平方数？有两个两位数，它们的差是56，它们的平方数末两位数字相同，这两个两位数分别是( )。
测试题1．从1到2000的所有正整数中，有多少个数乘以72后是完全平方数？2．请说明任意两个相邻的正整数的积不是平方数。
3．有一个由不同数字组成的四位数A ，2A B ；已知A 的千位数字是2，十位数字是1，且A 各个位数上的数字相加的和为3的倍数。
那么这个四位数是几？4．所有六位数中，末四位是2004的完全平方数有多少个?它们的和是多少？答案1．【解析】因为327223=⨯，而根据一个完全平方数的分解质因数形式中所有质因数的个数都必须是偶数的特征，可以得出与72相乘的这个正整数一定是2的倍数，还要再乘以一个完全平方数，这样得到的结果还是完全平方数，乘数应该是221⨯、222⨯、223⨯、、22n ⨯。
五年级奥数春季班第8讲 完全平方数
完全平方数模块一、认识完全平方数和完全平方数的尾数性质1：完全平方数的末位数字只可能是0、1、4、5、6、9；性质2：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数；例1．（1）写出12、22、32、……、202的得数，观察这些得数的个位，并总结一下完全平方数的个位有什么规律？（2）根据刚才发现的规律，判断20737是平方数吗？为什么？（3）进一步判断1000是平方数吗？1004000呢？解：（1）（2）1000不是平方数，1004000也不是平方数。
如果完全平方数末位是0，那么它从个位开始，连续的0的个数一定是偶数个。
例2．（1）10001到11000之间存在哪些数的平方？写出这些数；（2）非零自然数的平方按大小排列成149****3649……，则第92个位置的数字是。
解：（1）1002=10000，1042=10816，1052=11025，所以10001到11000之间存在101、102、103、104的平方。
（2）1、4、9、16、25、36、49、64、81共有15个数字，100、121、……、直到312=961，一共有22×3=66个数字，前面共有66+15=81个数字，从322=1024开始，每个平方数有4个数字，32、33、34、35，它们的平方都有4个数字，81+11=92，所以第92个位置上是342=1156的第三个数字5.模块二、偶指奇因性质3：自然数N为完全平方数⇔自然数N因数的个数为奇数；性质4：自然数N为完全平方数⇔自然数N的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶次。
特别地，因数个数为3的自然数是质数的平方。
例3．240乘一个非零自然数a，或者除以一个非零自然数b，结果都是一个完全平方数，那么a的最小值是；b的最小值是。
解：240=24×3×5，乘a是一个完全平方数，a的最小值是3×5=15，同样240÷15也是一个完全平方数，b的最小值是15.例4．（1）从1到100这100个自然数中，有奇数个因数的自然数有；（2）从1到100这100个自然数中，有且仅有3个因数的自然数有；解：（1）1到100有奇数个因数的有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100，共10个；（2）1到100这100个自然数中，有且仅有3个因数的自然数有4、9、25、49，共4个。
小学五年级奥数完全平方数
第八讲 完全平方数一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
例如：0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，……判断一个数是否为完全平方数，我们可以尝试能否将它分解为两个相同自然数的乘积，这就需要用到分解质因数的知识。
阅读小材料：毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、4、9、16……等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫“正方形数”，如图所示：分别记各图所示的小石子个数为i a (i ＝1、2、3、……、n)不难发现： 1a ＝1＝212a ＝1＋3＝4＝223a ＝1＋3＋5＝9＝234a ＝1＋3＋5＋7＝16＝24………n a ＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝[]2)1(1n n ⨯-+＝2n毕达哥拉斯通过直观图形把奇数和图形结合起来，得到一个定理：从1开始，任何连续个奇数之和都是完全平方数。
（注：这个和其实就是奇数个数的平方）【例一】 求自然数列前n 个奇数的和：1＋3＋5＋7＋……＋（2n －1）一讲一练：（04浙江五年级夏令营）袋子里共有415只小球，第一次从袋子里取出1只小球，第二次从袋子里取出3只小球，第三次从袋子里取出5只小球……依次地取球，如果剩下的球不够取，则将剩下的球留在袋中。
那么，最后袋中留下多少个球？【例二】 1234567654321×（1＋2＋……＋6＋7＋6＋……＋2＋1）是多少的平方？练习一：1×2×3×4×5×6×45×121是多少的平方？练习二：2A＝1008×B，其中A，B都是自然数，B的最小值是（）。
【例三】 36、49、60、64、72的约数各有多少个？约数个数是奇数的数有什么特征？一讲一练： 360、3969、7744各有多少个约数？【例四】（01ABC）少年宫游客厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。
小学奥数,平方数的计算和应用,带答案
并将这些数称为正方形数。 1770年，法国数学家拉格朗日证明：任何一个自然数都可以表示为最多4个正方形数的和。比如 2 = 1 + 1，7 = 1 + 1 + 1 + 4等。请将80表示为最多4个正方形数的和的所有可能情形，有（ ）种。
答案：2 解析：依题意可知：
13. 把自然数中的平方数去掉后得到数列2，3，5，6，7，8，10，11，⋯ ⋯，其中第2011项是 。
答案：2056 解析：452 = 2025，这个数列中在2026之前的数有2025 − 45 − 1980个，那么从2026算起，到第31个数时没有
出现完全平方数，所以第31个数就是数列的第2011项。数列的第2011项是2056。
25. 有一些自然数(0除外)既是平方数，又是立方数(注：平方数可以写成两个相同的自然数的乘积， 立方数可以写成三个相同的自然数数的乘积)。如：1 = 1 × 1 = 1 × 1 × 1， 64 = 8 × 8 = 4 × 4 × 4。那么1000以内的自然数中，这样的数有 个。
。
答案：2016 解析：原式= 13 + 23 + 33 + ⋯ + 93 − 13 − 23
= (1 + 2 + 3 + ⋯ + 9)2 − 1 − 8
= 452 − 9
= 2025 − 9
= 2016
16. 自然数2015最多可以表示成 个连续奇数的和。
答案：31 解析：从1开始的连续奇数的和，等于奇数个数的平方，即：1 + 3 + 5 + ⋯ + (2n − 1) = n2。
小学六年级奥数知识讲解：完全平方数
小学六年级奥数知识讲解：完全平方数
小学六年级奥数知识讲解：完全平方数
完全平方数
完全平方数特征：1. 末位数字只能是：01、4、5、6、9;反之不成立。
2. 除以3余0或余1;反之不成立。
3. 除以4余0或余1;反之不成立。
4. 约数个数为奇数;反之成立。
5. 奇数的平方的`十位数字为偶数;反之不成立。
6. 奇数平方个位数字是奇数;偶数平方个位数字是偶数。
7. 两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。
平方差公式：X2-Y2=(X-Y)(X+Y)
完全平方和公式：(X+Y)2=X2+2XY+Y2
完全平方差公式：(X-Y)2=X2-2XY+Y2
五年级奥数秋季班《完全平方数》一
一、完全平方数的定义：二、完全平方数表(牢记)：02＝072＝49
12＝182＝64
2＝42＝81
249
32＝9102＝100
2＝162＝121 41611
52＝25122＝144
2＝362＝169 63613
温馨提示：122＝144和21
三完全平方数的常用性质：
三、完全平方数的常用性质：
性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，55，6，9；
三、完全平方数的常用性质：
性质2：
完全平方数除以3只可能余0或1；
完全平方数除以4只可能余0或1；
完全平方数除以8只可能余0、
完全平方数除以8只可能余0、1或4；
三、完全平方数的常用性质：
性质3：
⑴偶指性——完全平方数分解质因数后每个质因数
⑵完全平方数的因数一定有奇数个，反之亦然。
特别地，因数个数为
特别地，因数个数为3的自然数是质数的平方；。
五年级下册数学试题-第十三讲 完全平方数-全国通用(含答案解析)
第十三讲完全平方数[同步巩固演练]1、已知四个数，35□2，3□57，3□36，□329，其中哪几个数可以写成完全平方数。
2、能不能找到自然数n，使n是完全平方数，且n+1999也是完全平方数。
3、能不能找到一个自然数n，使n2+2n+4能被5整除？4、若1×2×3×…×n+3是一个自然数的平方，试确定n的值。
5、（全国奥赛题）一个两位数等于其个位数字的平方与十位数字之和，这个两位数是多少？[能力拓展平台]1、（全国奥赛题）把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数，它与原来的数加起来恰好是某个自然数的平方，这个和数是多少？2、一个大于0的整数A加上一个大于1的整数B后是一个完全平方数，A加上B的平方后仍是一个完全平方数，当满足条件的B最小时，A是多少？3、如果x3=1999，y2=1999，其中x、y＞0，介于x与y之间共有多少个整数。
4、（我爱数学夏令营数学竞赛试题）五个连续偶数之和为完全平方数，中间三个偶数之和为完全立方数。
那么这样一组数中的最大数的最小值是多少？5、（我爱数学夏令营数学竞赛试题）一个四位数具有这样的性质；用它的后两位数（如果它的十位数是零，就只用个位数字）去除这个四位数得到一个完全平方数（即一个自然数的平方），且这个完全平方数正好是四位数的前两位数加1后的平方，试写出所有具有上述性质的四位数。
[全讲综合训练]1、（全国奥赛题）下式中的“香港”“中国”均代表一个两位自然数，那么，香港= ，中国= ，（香港）2+1997=（中国）2+19492、华杯赛试题）三个连续正整数，中的一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”。
问所有小于2008的“美妙数”的最大公约数是多少？3、一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
4、试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同。
5、求满足下列条件的所有自然数。
五年级下册数学试题奥数——完全平方数全国通用
完全平方数一、知识点1. 完全平方数表示两个相同的数相乘的结果.2. 完全平方数分解质因数时，它的每个相同的质因数都有偶数个.3. 完全平方数的个位数字只可能是965410、、、、、这六个数字.4. 两个完全平方数的积还是完全平方数.5. 一个完全平方数如果能被n 整除，则它一定能被2n 整除.二、例题例1 下面是一个算式：9876543214321321211⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯+Λ，问这个算式的得数是否是一个完全平方数？例2 两个不相等的完全平方数相除，结果还是一个完全平方数，并且这个完全平方数与前两个完全平方数不相等，问两个完全平方数的和最小是多少？例3 从1到2000的所有正整数中，有多少个数乘以72后是完全平方数？例4 计算：2222222222221234569596979899100-+-+-++-+-+-Λ.例5 有六张四位数的数字卡片，每张卡片上有一个或两个数字已被弄脏看不清了.它们分别是24□2、58□7、23□4、4□□8、□□45、□□20，其中只有一个是完全平方数，问这个数是多少？例6 50张卡片，写着1-50这50个数字，正反两面写的数字相同，拉片一面是红，一面是蓝.某班有50名学生，老师把50张卡片中蓝色的一面都朝上摆在桌上，对同学说:“请你们按学号顺序逐个到前面来翻卡片，规则是：只要卡片上的数字是自己学号的倍数，就把它翻过来，蓝翻成红，红翻成蓝”，那么到最后每个学生都翻完后红色朝上的卡片还有多少张？例7 求一个四位完全平方数，它的前两位数码相同，后两位数码也相同.三、练习1. 已知a 是一个两位数，且a +92是一个完全平方数，则=a _______________.2. 在300-600之间，有___________个完全平方数.3. 如果x 32(0≠x )是一个完全平方数，那么x 至少是_________.4. 如果3!+n 是一个完全平方数，那么=n ___________.（其中n n ⨯⨯⨯⨯=Λ321!）5. 个位数字与百位数字的和恰好等于十位数字的三位完全平方数是_______________.6. 2002加上一个两位质数后得到一个完全平方数，这个质数是____________.。
完全平方公式的综合应用(习题及答案)
完全平方公式的综合应用（习题）例题示范例1：已知，求，的值． 12x x -=221x x +441x x +【思路分析】① 观察题目特征（已知两数之差和两数之积，所求为两数的平方和），11x x ⋅=判断此类题目为“知二求二”问题；② “x ”即为公式中的a ，“”即为公式中的b ，根据他们之间的关系可得：1x ； 2221112x x x x x x ⎛⎫+=-+⋅ ⎪⎝⎭③ 将，代入求解即可； 12x x -=11x x⋅=④ 同理，，将所求的的值及代入24224221112x x x x x x ⎛⎫+=+-⋅ ⎪⎝⎭221x x +2211x x ⋅=即可求解．【过程书写】例2：若，则x =_______，y =________．2226100x x y y -+++=【思路分析】此题考查完全平方公式的结构，“首平方，尾平方，二倍乘积放中央”．观察等式左边，以及均符合完全平方式结构，只需补全即可，根22x x -26y y +据“由两边定中间，由中间凑两边”可配成完全平方式，得到． 22(1)(3)0x y -++=根据平方的非负性可知：且，从而得到，． 2(1)0x -=2(3)0y +=1x =3y =- 巩固练习1. 若，，则____，____．2(2)5a b -=1ab =224a b +=2(2)a b +=2. 已知，，求，的值．3x y +=2xy =22x y +44x y +3. 已知，求，的值. 2310a a -+=221a a +441a a +4. （1）若是完全平方式，则m =________．229x mxy y ++（2）若是完全平方式，则k =_______．22916x kxy y -+5. 多项式加上一个单项式后，能使它成为一个整式的平方，则可以加上244x +的单项式共有_______个，分别是________________________________________．6. 若，则______．22464100a b a b +--+=a b -=7. 当a 为何值时，取得最小值，最小值为多少？2814a a -+8. 求的最值．224448x y x y +-++思考小结1. 两个整数a ，b （a ≠b ）的“平均数的平方”与他们“平方数的平均数”相等吗？若不相等，相差多少？2. 阅读理解题：若x 满足，试求的值． (210)(200)204x x --=-22(210)(200)x x -+-解：设210-x =a ，x -200=b ，则ab =-204，且， (210)(200)10a b x x +=-+-=由得，222()2a b a ab b +=++， 2222()2102(204)508a b a b ab +=+-=-⨯-=即的值为508． 22(210)(200)x x -+-根据以上材料，请解答下题：若x 满足， 22(2015)(2013)4032x x -+-=则______． (2015)(2013)x x --=【参考答案】例题示范例1．解： 12x x -=∵ 214x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴ 2221112426x x x x x x⎛⎫+=-+⋅ ⎪⎝⎭=+=∴222136x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴ 2422422111236234x x x x x x⎛⎫+=+-⋅ ⎪⎝⎭=-=∴例2：1-3巩固练习 1.9 13 2.5 17 3.7 47 4. ±6 ±24 5. 5 -4 8x -8x24x -4x 6. 87. 时取得最小值，最小值为-24a =8. 最小值为3思考小结1. 不相等，相差 2()4a b -2. 2 014。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1. 学习完全平方数的性质；2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程3. 掌握完全平方数的综合运用。
一、完全平方数常用性质 1.主要性质1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。
2.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．性质3：自然数N 为完全平方数⇔自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p 是质数，n 是自然数，N 是完全平方数，且21|n p N -，则2|n p N ．性质4：完全平方数的个位是6⇔它的十位是奇数．性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．3.一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
3.重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+-模块一、完全平方数计算及判断【例 1】 已知：1234567654321×49是一个完全平方数，求它是谁的平方?例题精讲知识点拨教学目标5-4-4.完全平方数及应用（一）【考点】完全平方数计算及判断 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 我们不易直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：121＝211；12321＝2111；1234321＝21111……，于是，我们归纳为1234…n …4321=2(1111)n 个1，所以，1234567654321：11111112；则，1234567654321×49=11111112×72=77777772．所以，题中原式乘积为7777777的平方．【答案】7777777【例 2】 1234567654321(1234567654321)⨯++++++++++++是 的平方． 【考点】完全平方数计算及判断 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】祖冲之杯 【解析】 212345676543211111111=，212345676543217++++++++++++=，原式22(11111117)7777777=⨯=．【答案】7777777【例 3】 已知自然数n 满足：12!除以n 得到一个完全平方数，则n 的最小值是 。
【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，6年级，第9题 【解析】 （法1）先将12！分解质因数：105212!235711=⨯⨯⨯⨯，由于12!除以n 得到一个完全平方数，那么这个完全平方数是12!的约数，那么最大可以为1042235⨯⨯，所以n 最小为104212!2353711÷⨯⨯=⨯⨯231=。
（法2）12!除以n 得到一个完全平方数，12!的质因数分解式中3、7、11的幂次是奇数，所以n 的最小值是3711231⨯⨯=。
【答案】231【例 4】 有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数． 【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 平方数的末尾只能是0，1，4，5，6，9，因为111，444，555，666，999都不是完全平方数，所以所求的数最小是4位数．考察1111，1444……可以知道14443838=⨯，所以满足条件的最小正整数是1444．【答案】1444【例 5】 A 是由2002个“4”组成的多位数，即200244444个，A 是不是某个自然数B 的平方？如果是，写出B ；如果不是，请说明理由．【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 略【答案】2200242002444421111A ==⨯个个1．如果A 是某个自然数的平方，则20021111个1也应是某个自然数的平方，并且是某个奇数的平方．由奇数的平方除以4的余数是1知，奇数的平方减1应是4的倍数， 而200220011111111110-=个1个1不是4的倍数，矛盾，所以A 不是某个自然数的平方．【巩固】 A 是由2008个“4”组成的多位数，即4442008个4，A 是不是某个自然数B 的平方？如果是，写出B ；如果不是，请说明理由．【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 略【答案】不是．24442111A ==⨯2008个12008个4假设A 是某个自然数的平方，则1112008个1也应是某个自然数的平方，并且是某个奇数的平方．由奇数的平方除以4的余数是1知，奇数的平方减1应是4的倍数，而11111110-=2008个12007个1不是4的倍数，与假设矛盾．所以A 不是某个自然数的平方．【例 6】 计算11112004个1－22221002个2=A ×A ，求A ． 【考点】完全平方数计算及判断 【难度】4星 【题型】解答【解析】 此题的显著特征是式子都含有1111n 个1，从而找出突破口.11112004个1－22221002个2=11111002个100001002个0－11111002个1=11111002个1×（100001002个0-1） =11111002个1×（99991002个9）=11111002个1×（11111002个1×3×3）=2A所以，A ＝33331002个3.【答案】33331002个3【例 7】 ①22004420038444488889A =个个，求A 为多少?②求是否存在一个完全平方数，它的数字和为2005？ 【考点】完全平方数计算及判断 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 ① 本题直接求解有点难度，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：注意到有2004420038444488889个个可以看成48444488889n 个n-1个，其中n ＝2004；寻找规律：当n =1时，有2497=；当n =2时，有2448967=；当n =3时，有2444889667= ……于是，类推有2004420038444488889个个=22003666667个方法二：下面给出严格计算：2004420038444488889个个=4444400002004个2004个0+20048888个8+1；则4444400002004个2004个0+20048888个8+1＝11112004个1×（4×0100002004个+8）+1＝11112004个1×［4×（999992004个+1）+8］+1 ＝11112004个1×［4×（999992004个）+12］+1＝2(1111)2004个1×36+12×11112004个1+1＝2(1111)2004个1×36+2×（6×11112004个1）+1＝22(666661)(66667)+=2004个62003个6② 由①知4444488889 n 个n-1个8＝266667n-1个6，于是数字和为(4n +8n -8+9)=12n +1；令12n +1=2005解得n =167，所以4444488889 167个166个8=266667166个6。
所以存在这样的数，是4444488889 167个166个8【答案】（1）22003666667个,（2）4444488889 167个166个8=266667166个6模块二、平方数特征 （1） 平方数的尾数特征【例 8】 下面是一个算式：112123123412345123456+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯，这个算式的得数能否是某个数的平方？【考点】平方数特征之平方数的尾数特征 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】华杯赛 【解析】 判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少．平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9，而2，3，7，8不可能是平方数的个位数． 这个算式的前二项之和为3，中间二项之和的个位数为0，后面二项中每项都有因子2和5，个位数一定是0，因此，这个0算式得数的个位数是3，不可能是某个数的平方．【答案】不是【例 9】 一个数与它自身的乘积称为这个数的平方．各位数字互不相同且各位数字的平方和等于49的四位数共有________个．【考点】平方数特征之平方数的尾数特征 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，5年级，第10题 【解析】 4914925=+++，1,2,3,5全排列共有24个。
【答案】24【例 10】 用1～9这9个数字各一次，组成一个两位完全平方数，一个三位完全平方数，一个四位完全平方数．那么，其中的四位完全平方数最小是 ．【考点】平方数特征之平方数的尾数特征 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级，复试，11题 【解析】 四位完全平方数≥1234＞352＝1225，所以至少是362＝1296．当四位完全平方数是1296时，另两个平方数的个位只能分别为4,5，个位为5的平方数的十位只能是2，但数字2在1296中已经使用．当四位完全平方数是372＝1369时，另两个平方数的个位只能分别为4,5，个位为5的平方数的十位一样只能是2，还剩下7,8，而784恰好为282．所以，其中的四位完全平方数最小是1369．【答案】1369【例 11】 称能表示成1+2+3+…+K 的形式的自然数为三角数，有一个四位数N ，它既是三角数，又是完全平方数，N= 。