立体几何中球的内切和外接问题(完美版)

为 ，将它沿高AD翻折，使点B 与3 点C间的
距离为 ，此时四面体ABCD的BD 外DC接 球3 的体
积为 。
Q BC 3
ABC 等边三角
BE
1 2
•
形
sin
3 60o
1
AD
3 2
,
BE
1 2
•
sin
3 60o
OB OE2 BE2 9 1 13 42
V 4 R2 13 13
3
6
4 举一反三-突破提 升
则此球的表面积为 9 .
P
设外接球半径为 R，在△OO1A 中有
D
解得 . ∴ .
O1
O C
A B
6测棱相等的锥体顶点的投影在底面外接圆 心
例 7、.若三棱锥 S-ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，AB=2，
SA=SB=SC=2，则该三棱锥的外接球的球心到平面 ABC 的距离为（ ）
例 2.（全国卷）一个四面体的所有棱长2 都为 ，
四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A.3
D.
4B.
3 C3. 6
2 破译规律-特别提 醒
3 球与正四面体内切接 问题
【例3】求棱长为a的正四面体内切球
的体积．
3 球与正四面体内切接 问题
3 正四面体内切、外接结 论 球内接长方体的对角线是球的直径
例4、正三棱锥的高为 1，底面边长为 。求
棱锥的全面积和它的内切球的表面积。
A 解法1： 过侧棱AB与球心O作截面( 如图 )
在正三棱锥中，BE 是正△BCD的高，
1
O1 是正△BCD的中心，且AE 为斜高
O
FD
B
O1
E
C 作 OF ⊥ AE 于 F 设内切球半径为 r，则 OA = 1 －r ∵ Rt △ AFO ∽ Rt △ AO1E
。正四面体（棱长为a）的外接球半径R
与内切球半径r之比为R：R r＝6 a3：1.外接
球半径：
4
r 6a
内切球半径1：2
结出论，：内正切四 球面 和r体 外 14与 接h 球球的的接两切个问球题心，是可重通合过 的线 ，面 为关 正系 四R 证 面 3r 体高2、的正四多等面分体点的，内即切定球有和内外切接球球的的半球径心重合(为。正四 面体3、的正高棱)，锥且的外内接切球球的和半外径接球．球心都在高线上，
．
，则此球的表面积等于_________．
解：由已知条件得： ∵
，∴ ， ，∴ ，
设 的外接圆的半径为 ，则
，∴ ，
∴外接球的半径为
，∴球的表面积等于
.
解析：球内接多面体，利用圆内接多边形的性 质求出小圆半径，通常用到余弦定理求余弦值 ，通过余弦值再利用正弦c 定 2理r 得到小圆半径 ，从而解决问题。 sinC
1
剖析定 义
一、由球心的定义确定球心
在空间，如果一个定点与一个简单 多面体的所有顶点的距离都相等，那么 这个定点就是该简单多面体的外接球球 心。
1 一、定义法 针对 讲解
D
AO
C
图4 B
2 求正方体、长方体的外接球的 有关问题
2 求正方体、长方体的外接球的有 关问题
②出现正四面体外接球时利用构造法(补形法)，联 系正方体。
例4、正三棱锥的高为 1，底面边2 长6 为 。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。
解法2：设球的半径为 r，则 VA- BCD =
A
VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD
VABCD
1 3
3 2 4
2
6 1
O
D
1 3
r
S全
3
22
3 r
B
O1
E
r 6 2 S球 8 5 2 6
球与多面体的内切、外接
球的半径r和正方体 的棱长a有什么关系？
.r
a
一、 球体的体积与表面积
①
V球
4
3
R3
二、球与多面体的接、切
② S球面 4 R2
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，
则称这个多面体是这个球的内接多面体，
这个球是这多个面体的外接球
。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这多个面体的内切球 。
C 注意：①割补法，②
VV多 多面面体
体 13
1
S全
3
S r内切全球
r内
切球
变式训练：一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如 图所示，则截面的可能图形是（ ）
①
②
③
④
A ．①② Ｂ．②④ Ｃ．①②③ Ｄ．②③④
D A
D1 A1
C
B O
C1 B1
球的内接正方体的对角线等于球直径。
变式训练：已知正四面体内接于一个球，某人画出四 个过球心的平面截球与正四面体所得的图形如下，
S
A.
B.
C.1 D.
答案：D.
O
，即
.
C
A
M
B
7
若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则共斜边的中点就是 其外接球的球心。
例 9、已知三棱锥的四个顶点都在球 的球面上，
且
，，
解：
且
，
，
因为
所以知
所以
所以可得图形为：
，
，
,
,求球 的体积。
P
在
中斜边为 在
中斜边为
B
取斜边的中点 ， 在
中
在
中
所以在几何体中
，即 为该四面体的外接球的球心
A
O
C
所以该外接球的体积为
03
破译规律-特别提
醒
2 例题剖析-针对讲 解
04
举一反三-突破提
升
4 举一反三-突破提
1、（2015 海淀二模）升已知斜三棱柱的三 视图如图所示，该斜三棱柱的体积为 ______.
4 举一反三-突破提 升
2、（2015 郑州三模） 正三角形ABC的2 边3 长
3.(2015 南昌二模）某几何体的三视图如图， 该几何体的顶点都在球O 的球面上，球CO的表
面A.积2是 B.4（ C.）8 D.16
4 举一反三-突破提 升
4.（2015 石家庄一模）三棱锥P-ABC的三条侧棱
PA,PB,PC两两A互BC相垂直,Q为底面
内一点，若Q
到三个侧面的距离分别为3,4,5,则过点P和Q的所有球中
则（ ）D
①
②
③
④
A．以下四个图形都是正确的
C．只有④是正确的 的
B．只有②④是正确的 D．只有①②是正确
解法2：
A B
O
D C 求正多面体外接球的半径
A B
O D
C
求正方体外接球的半径
4 直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点。
Hale Waihona Puke Baidu
例 4、（2014）已知三棱柱 若该棱柱的体积为
的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，
5 正棱锥的外接球的球心是在其 高上
例 5 在三棱锥 P－ABC 中，PA＝PB=PC= ,侧棱 PA 与底面 ABC 所成的角为 60°，则该三棱锥外接球的体积为（ ）
A．
B.
C. 4
D.
5 正棱锥的外接球的球心是在其 高上
例 6.一个正四棱锥的底面边长为 2，侧棱长为 ，五个顶点都在同一个球面上，