2012年广州市二模数学试题(理科)

2012年广州市普通高中毕业班综合测试(二)

数 学(理科)

一、选择题：本大题共8小题。每小题5分．满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．已知i 为虚数单位，复数1z a i =+，22z i =-，且12|z ||z |=，则实数a 的值为 A ．2 B ．-2 C ．2或-2 D ．±2或0

2．设集合A={(x ，y)|2x+y=6}，B={(x ，y)|3x+2y=4}，满足C ⊆(A B)的集合C 的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

3．已知双曲线221x my +=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值是 A ． 4 B ．14 C ．1

4

- D ．-4

4．已知等差数列{n a }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为l5，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为

A ．10

B ．20

C ．30

D ．40

5．已知两条不同直线m 、l ，两个不同平面α、β，在下列条件中，可得出αβ⊥的是 A ．m l ⊥，l ∥α，l ∥β B ．m l ⊥，αβ ，m α⊂ C ．m ∥l ，m α⊥，l β⊥ D ．m ∥l ，l β⊥，m α⊂

6．下列说法正确的是 A ．函数1

f (x )x

=

在其定义域上是减函数 B ．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件 C ．命题“

210x R,x x ∃∈++>”的否定是

“2

10x R,x x ∀∈++<”

D ．给定命题P 、q ，若P ∧q 是真命题，则⌝P 是假命题

7．阅读图l 的程序框图，该程序运行后输出的A 的值为 A ．5 B ．6 C ．7 D ．8

8．已知实数a ，b 满足22

430a b a +-+=，函数1f (x )a sin x bcos x =++的最大值记为(a,b )ϕ，则

(a,b)ϕ的最小值为

A ．1

B ．2

C 1

D ．3

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题(9～13题)

9．某社区有600个家庭，其中高收入家庭150户，中等收入家庭360户，低收人家庭90户，为了调查购买力的某项指标，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为l00的样本，则中等收入家庭应抽取的户数是 。

10．(

)6

展开式中的常数项是 (用数字作答)。

11．已知不等式2|x |->1的解集与不等式2

0x ax b ++>的解集相等，则a b +的值为 。

12．在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE 与AC 相交于点F ，若E F m A B n A D (m ,n R )

=+∈

，

则m

n

的值为 。

13．已知点P 是直角坐标平面xOy 上的一个动点|OP|=点O 为坐标原点)，点M(-1，0)，则cos ∠OPM 的取值范围是 。

(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)

14．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，若等边三角形ABC(顶点A ，B ，C 按顺时针方向排列)的顶点A ，B 的极坐标分别为(2，

6

π)，(2，76π)，则顶点C 的极坐标为 。

15．(几何证明选讲选做题)如图2，AB 是圆O 的直径，延长AB 至C ，使BC=2OB ，CD 是圆O 的切线，切点为D ，连接AD ，BD ，则面AD

BD

的值为 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16．(本小题满分12分)

已知函数003

f (x )A sin(x )(A ,)π

ωω=->>在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分

别为（

512π，2）（1112

π，-2）。 (1)求A 和ω的值； (2)已知α∈(0，

2

π)，且4

5sin α=，求f ()α的值．

17．(本小题满分l2分)

如图3，A ，B 两点之间有6条网线连接，每条网线能通过的最大信息量分别为1，1，2，2，3，4．从中任取三条网线且使每条网线通过最大信息量，设这三条网线通过的最大信息量之和为ξ．

(1)当ξ≥6时，则保证线路信息畅通，求线路信息畅通的概率； (2)求ξ的分布列和数学期望．

18．(本小题满分l4分)

某建筑物的上半部分是多面体MN —ABCD ，下半部分是长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1(如图4)．该建筑物的正(主)视图和侧(左)视图如图5，其中正(主)视图由正方形和等腰梯形组合而成，侧(左)视图由长方形和等腰三角形组合而成．

(1)求直线AM 与平面A ，B ，C ，D ，所成角的正弦值； (2)求二面角A —MN —C 的余弦值；

(3)求该建筑物的体积．

19．(本小题满分14分)

已知对称中心为坐标原点的椭圆C 1与抛物线C 2：24x y =有一个相同的焦点F 1，直线l ：2y x m =+与抛物线C 2只有一个公共点． (1)求直线l 的方程；

(2)若椭圆C 1经过直线l 上的点P ，当椭圆C 1的离心率取得最大值时，求椭圆C 1的方程及点P 的坐标．

20．(本小题满分l4分) 已知函数2

12

f (x )ln x ax x,a R.=-

+∈ (1)求函数f (x )的单调区间；

(2)是否存在实数a ，使得函数f (x )的极值大于0?若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由．

21．(本小题满分l4分)

已知函数f (x )的定义域为(-1，1)，且112

f (

)=，对任意11x,y (,)∈-，都有1x y f (x )f (y )f (

)xy --=-，数列{n a }满足112

2121*

n n n

a a ,a (n N ).a +==∈+ (1)证明函数f (x )是奇函数；

(2)求数列{n f (a )}的通项公式；

（3）令12*

n n a a ...a A (n N )n +++=∈，证明：当2n ≥时，111

12n n i i i n |a A |==--<∑∑。