投资学第5章利率史与风险溢价

36
图 5.8 世界股权和债券实际收益率的年标准差 1900-2000
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5.9 长期投资
38
5.9.1 长期投资的风险与对数正态分布
连续复利的收益率若呈正态分布，则实际的持 有期收益率为对数正态分布 终值为：
1 E (r ) e
T
1 2 g 2
e
历史数据的方差估计：
1 r (s) r n s 1 无偏化处理：
2
n
2

1 n [r ( s) r ]2 n 1 s 1
25
5.5.5 报酬-风险比率(夏普比率) The Reward-to-Volatility (Sharpe) Ratio
投资学 第5章
从历史数据中学习收益与风险
本章主要内容
利率水平的确定 期望收益与波动性 风险价值
2
5.1 利率水平的确定
利率水平的决定因素： 资金供给(居民) 资金需求(企业) 资金供求的外生影响(政府)
3
5.1.1 实际利率(real interest rate)与 名义利率(nominal interest rate)
T 0
1/ T
e
rcc
即： EAR e 1 rcc ln( EAR) 1
rcc
10
Table 5.1 Annual Percentage Rates (APR) and Effective Annual Rates (EAR)
11
5.3 短期国库券与通货膨胀(1926-2005)
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本章小结
实际利率与名义利率 证券均衡期望收益率 风险与收益的权衡 风险投资在长期看并不安全 非标准正态分布的风险度量
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q%价值的值，从业者使用5%的分位数作为分 布的风险价值。
尾部条件期望(conditional tail expectation, CTE) 低偏标准差(Lower partial standard deviation,LPSD)
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表5.5 Risk Measures for Non-Normal Distributions
T
1 2 gT T 2
39
5.9.2 夏普比率回顾
夏普比率的时间维度
5.9.3 长期未来收益率模拟 设总体的分布F未知，但已有一个容量 为n的来自分布F的数据样本，自这一样 本按放回抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，这种样本称为自举样本。相继 地、独立地自原始样本中取很多个自举 样本，利用这些样本对总体F进行统计 推断，这种方法称为自举法。 5.9.4 长期预测
5.4.1 持有期收益

股票收益包括两部分：红利收益(dividends) 与资本利得(capital gains) 持有期收益率(holding-period return)
股票期末价格- 期初价格 现金红利 HPR 期初价格
16
5.4.2 期望收益与标准差：E-V方法
均值与方差(expected value and variance)
7
5.2 持有期收益率
若T为持有期，P(T )为买入价格， 则贴现债券的持有期收 益率为： 100 rf (T ) 1 P(T ) 折为有效年利率 (EAR,effectiveannualrate) ，则为： 1 EAR 1 rf (T )
1/T
8
5.2.1 年百分比利率
短期投资利率常用年百 分比利率 (AP R annualpercent age e) ， rat 来表示，即若 1 一年为n 期，每期利率为 f (T )，则有： r T APR n r f (T )或r f (T ) T APR 更一般地，有： 1 EAR 1 r f (T )
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图5.10 Annually Compounded, 25-Year HPRs from Bootstrapped
History and A Normal Distribution (50,000样本)
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图5.11 Annually Compounded,
25-Year HPRs from Bootstrapped History(50,000 Observation)
利率 E’ ● 供给
均衡的 真实利率
E ●
需求 均衡资金借出 资金
5
5.1.3 名义利率均衡
费雪方程(Fisher equation)
R r E (i)
含义：名义利率应该随预期通胀率的增加而增加
6
5.1.4 税收与实际利率
记税率为t，名义利率为 ， R 则税后名义利率为 (1 t ) R 税后实际利率为： R(1 t ) i (r i )(1 t ) i r (1 t ) it 可见：税后实际利率随 着通胀率的上升而下降
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图5.12 Wealth Indexes of Selected Outcomes of Large Stock Portfolios and the Average T-bill Portfolio
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5.10 非正态分布的风险度量
风险价值(value at risk, VaR)
VaR即分布的分位数(q)，是指一个处在低于
Er ( s) E (r )
4

4
3
28
图 5.5A 正态与偏度分布 (mean = 6% SD = 17%)
29
图5.5B 正态与厚尾分布 (mean = .1, SD =.2)
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5.8 股权收益与长期债券收益的历史记录
5.8.1 平均收益与标准差
基本结论：高风险、高收益
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表5.3 各个时期的资产历史收益率1926- 2005
TV = 投资终值(Terminal Value of the Investment)
g TV
1/ n
1
g= 几何平均收益率(geometric average rate of return)
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5.5.4 方差与标准差
方差 =期望值偏离的平方(expected value of squared deviations)
Using Our Example:
Var =[(.1)(-.05-.15)2+(.2)(.05- .15)2…+ .1(.35-.15)2] Var= .01199 S.D.= [ .01199] 1/2 = .1095
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例：假定投资于某股票，初始价格1 0 0美元，持 有期1年，现金红利为4美元，预期股票价格由如 下三种可能，求其期望收益和方差。
E(r) = (.1)(-.05) + (.2)(.05)… + (.1)(.35) E(r) = .15
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Variance or Dispersion of Returns
Variance:
p( s ) r ( s ) E (r )
2 s
2
Standard deviation = [variance]1/2
22
5.5 历史收益率时间序列分析
5.5.1 时间序列与情景分析 5.5.2 期望收益与算术平均 收益率的算术平均数：
百度文库
1 n E (r ) s 1 p( s)r ( s) s 1 r ( s) n
n
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5.5.2 几何收益率 Geometric Average Return
TVn (1 r1 )(1 r2 )(1 rn )
Risk Premium Sharpe Ratio for Portfolios = SD of Excess Return
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5.6 正态分布
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5.7 偏离正态
偏度，亦称三阶矩(third-order moments)
Er ( s) E (r )
3
skew
3
峰度：
kurtosis
13
Figure 5.2 Interest Rates and Inflation, 1926-2005
14
Figure 5.3 Nominal and Real Wealth Indexes for Investment in Treasury Bills, 1966-2005
15
5.4 风险和风险溢价
32
图5.6 1926-2005年历史收益率
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5.8.2 风险资产组合的其他统计量
5.8.3 夏普比率
5.8.4 时间序列相关性
5.8.5 偏度与峰度 5.8.6 历史风险溢价的估计 5.8.7 全球历史数据
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表5.4 资产的历史超额收益率1926- 2005
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图5.7 世界名义和实际股权收益率 1900-2000
通货膨胀率为i，即消费者物价指数 (CPI， consumer price index)变化的百分率。
近似地看，有： R i, r 其中r为实际利率， 为名义利率， 为通胀率 R i 严格上讲，有： 1 R Ri 1 r r 1 i 1 i
4
5.1.2 实际利率均衡
四因素：供给、需求、政府行为和通胀率
实际收益率不断提高，见表5-2 标准差相对稳定,见表5-2 短期利率受到通胀率的影响日趋明显， 见图5-2. 名义财富指数与实际财富指数相差越来 越大。
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Table 5.2 History of T-bill Rates, Inflation and Real Rates for Generations, 1926-2005

1 r
n
f
(T )

1/ T
1 T APR
1/ T
(1 EAR)T 1 即：APR T
9
5.2.2 连续复利收益率
当T趋于无限小时，可得连续复利 (continuous compounding)概念
1 EAR lim1 T APR
记不确定情形的集合为，p( s)为各情形的概率， s r ( s)为各情形的HPR，E (r )为期望收益， 为标准差 则有：E (r ) p( s)r ( s )
2 p( s)[r ( s) E (r )]2
s
s
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Scenario Returns: Example
State 1 2 3 4 5 Prob. of State .1 .2 .4 .2 .1 r in State -.05 .05 .15 .25 .35
r (1) (140 100 4) /100 44%
20
21
5.4.3 超额收益与风险溢价
风险资产投资收益=无风险收益+风险溢价 其中，风险溢价(risk premium)又称为超额收益 (excess return) 例：上例中我们得到股票的预期回报率为14％， 若无风险收益率为8％。初始投资100元于股票， 其风险溢价为6元，作为其承担风险（标准差为 21.2元）的补偿。 投资者对风险资产投资的满意度取决于其风险厌 恶(risk aversion)程度