2.1：数值型数据的表示方法
数据的表示与分析
数据的表示与分析数据是当今社会中不可或缺的资源，它的表示和分析对于科学研究、商业运营以及决策制定都具有重要意义。
本文将探讨数据的表示和分析方法，以帮助读者更好地理解和应用数据。
一、数据的表示方法数据的表示方法可以分为数值型和非数值型两大类。
数值型数据是指可以进行数值计算的数据，而非数值型数据则是指不能进行数值计算的数据。
1. 数值型数据的表示方法数值型数据可以分为离散型数据和连续型数据。
离散型数据是一种具有间隔的数据，如整数型数据；而连续型数据则是指没有间隔的数据，如实数型数据。
在表示数值型数据时，可以使用数字和图表两种方式。
数字是最常见、最直观的数值表示方法。
例如，当我们统计某个城市的人口数量时，可以使用具体的数字来表示。
另外，图表也是一种直观的数值表示方法，如折线图、柱状图等。
这些图表可以更好地展示数值型数据的趋势和变化。
2. 非数值型数据的表示方法非数值型数据是指无法进行数值计算的数据，如性别、颜色等。
在表示非数值型数据时，可以使用文字描述和图表两种方式。
文字描述是最常见的非数值表示方法。
例如，在调查中统计性别比例时，可以使用“男性”和“女性”这两个词语来表示。
此外，图表也可以用于表示非数值型数据，如饼状图、条形图等。
这些图表能够直观地展示非数值型数据的比例和关系。
二、数据的分析方法数据的分析是将数据进行整理、统计和解释的过程，旨在发现数据中隐藏的规律和趋势。
数据的分析方法包括描述统计和推断统计两大类。
1. 描述统计描述统计是通过对数据的整理和总结，揭示数据的分布规律和特征。
常见的描述统计方法有频数分析、平均数、中位数、众数、标准差等。
频数分析可以用来计算数据中各个取值出现的频率，了解数据的分布情况。
平均数是描述数据集中趋势的指标，它计算数据的总和除以数据的个数。
中位数是将数据从小到大排列后，取中间位置的数值。
众数是数据中出现次数最多的值。
标准差则表示数据的离散程度，其数值越大表示数据的差异越明显。
数据的表示与分析
数据的表示与分析数据在现代社会中扮演着至关重要的角色。
无论是在科研、商业、医疗等领域，数据的收集、存储、表示与分析都是必不可少的环节。
本文将深入探讨数据的表示方法以及数据分析的重要性。
一、数据的表示方法在进行数据分析之前，我们首先需要了解数据的表示方法。
常见的数据表示方法包括数值型、分类型和时间型数据。
1. 数值型数据数值型数据是以数字形式来表示的数据，可进行数学运算。
例如：年龄、身高、体重等。
数值型数据可以进一步分为连续型数据和离散型数据。
连续型数据是可以在一个范围内取任意值的数据，例如身高、体重。
离散型数据则是只能取有限个数值的数据，例如年龄。
2. 分类型数据分类型数据是用来描述事物特征的数据，将事物划分为不同的类别。
例如性别、地区、学历等。
分类型数据通常采用文字或符号来表示。
3. 时间型数据时间型数据是描述事件发生时间的数据。
以时间为基准，记录事件发生的先后顺序。
例如：年份、月份、小时等。
二、数据分析的重要性数据分析是根据数据，通过使用各种技术与方法，揭示数据背后的规律与趋势，从而为决策提供科学依据。
数据分析在各个领域都扮演着重要的角色，以下将重点介绍数据分析在科研、商业和医疗领域的应用。
1. 科研领域数据分析在科研领域中对研究结果的验证与解读起着至关重要的作用。
研究者通过对实验数据进行统计分析，以验证实验结果的可靠性。
同时，科学家也可以通过数据的比较与分析，发现新的规律与趋势，为科学研究提供更多可能性。
2. 商业领域在商业领域中，数据分析被广泛应用于市场调研、商业决策等方面。
通过对市场数据的分析，企业可以更好地了解消费者的需求与偏好，从而调整产品策略与市场定位。
此外，数据分析还可以帮助企业进行预测与预测，提供决策依据，为企业的发展提供支持。
3. 医疗领域数据分析在医疗领域有着重要的应用价值。
通过对患者的病历数据进行分析，医生可以更准确地了解患者的病情与病因，以制定更有效的治疗方案。
此外，数据分析还可以帮助医疗机构进行资源分配与运营管理，提高医疗服务的质量与效率。
数值型数据在计算机中的表示
n位二进制补码的表示范围： - 2n-1 ≤ N ≤ 2n-1-1
2.1.2 数值型数据在计算机中的表示 补码的加法和减法 求补运算 ：对一个二进制数按位求反、末位加一 [X]补码 [-X]补码 [X]补码 加法规则：[X+Y]补码 = [X]补码 + [Y]补码 减法规则：[X-Y]补码 = [X]补码 + [-Y]补码 补码减法可转换为补码加法 例：
2.1.2 数值型数据在计算机中的表示
3. 计算机中实数的浮点表示
2.1.2 数值型数据在计算机中的表示 4. IEEE754标准 32位、64位浮点数标准格式
无论是32位浮点数还是64位浮点数，规定基数R=2。 32位浮点数中：S——浮点数的符号位，占1位，安排在最高位， S=0表示正数，S=1表示负数。 M——尾数，放在低位部分，占23位，用小数表示； E——阶码，占8位，其中包含阶码的符号。
＋
64 (-46) 18
＋
0100 0000 1101 0010 0001 0010
2.1.2 数值型数据在计算机中的表示
3. 计算机中实数的浮点表示
浮点表示法：把一个数的有效数字和数的范围在计算机的 一个存储单元中分别予以表示，这种把数的范围和精度分别 表示的方法，数的小数点位置随比例因子的不同而在一定范 围内自由浮动。
任意一个十进制数 Ｎ 可以写成
Ｎ＝10E · Ｍ
2.1.2 数值型数据在计算机中的表示
3. 计算机中实数的浮点表示
在计算机中一个任意进制数 Ｎ 可以写成
Ｎ＝Ｒe.m
m ：尾数，是一个纯小数。 e ：比例因子的指数，称为浮点的指数，是浮点数的阶码，是一 个整数，指明了小数点在数据中的位置。 R ：比例因子的基数，对于二进计数值的机器是一个常数，一般 规定Ｒ 为2，8或16。 一个机器浮点数由阶码和尾数及其符号位组成。
北科大计算机组成原理课件第二章
5
2.2 数字化信息编码
6
编码
编码：就是用少量简单的基本符号的组合， 表示大量复杂多样的信息。 在计算机系统中，凡是要进行处理、存储和 传输的信息，都是用二进制进行编码的。
7
计算机内部采用二进制表示的原因
只有0、1两个数码，易于用物理器件表 示； 2. 电位的高低, 脉冲的有无, 电路通断, 磁 化方向等都比较容易区别，可靠性高； 3. 运算规则简单； 4. 二进制的0、1与逻辑命题中的真假相对 应，为计算机中实现逻辑运算和逻辑判 断提供有利条件。 缺点：书写冗长，难认，难记，不易发现错 误。
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数值数据的表示
三个要素： 1. 进位计数制； 2. 符号的数字化？带符号数的编码表示？ 3. 小数点？位置？定/浮点表示。 问题：计算机中的字可表示的最大的数是多 少？计算机中的字可表示的最小的数是 多少？运算结果超出怎么办？ 计算机的特性：离散性、有限性。
11
进位计数制
基数：允许使用的基本符号个数。 位权：不同数位的权值(数量级别)。 例：十进制数， 123.4 = 1102 + 2101+3100+410-1
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机器数位的编号
一个字节：
7 6 5 4 3 2 1 0
0 0
最高位
0 0 1
0 1
0
最低位
问题：一个字节能表示几种码字(模式)? 能表示数的数量?
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数值数据的编码表示
计算机用数字表示正负，隐含规定小数点 (定点与浮点)。 计算机中常用的数据表示格式有两种： 定点格式：容许的数值范围有限，但要求的 处理硬件比较简单。 浮点格式：容许的数值范围很大，但要求的 处理硬件比较复杂。
1 1011
第2章 数码系统--数据在计算机内部的表示形式
进位记数法与进制转换
• 进位记数法 • 任何一个数都可以写成以下算式： N=∑Di*ri (i=-k,-k+1,…..,m-1)
–N 代表一个数值 –r 是这个数制的基(Radix)。r=2,8,10,16,…… –i表示这些符号排列的位号 –Di是位号为i的位上的一个符号 –ri是位号为i的位上的一个 1 代表的值 –Di*ri是第i位的所代表的实际值 –∑表示m+k位的值求累加和
• 高电压—1，低电压----0。
二进制无符号数据算术运算规则
(1) 加法运算规则 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=0 并产生进位 (2) 减法运算规则 0-0=0 0-1=1 并产生借位 1-0=1 1-1=0
例如：
0101 +) 0001 0110
例如：
1011 -) 0101 0110
计算机中常用的数制
常用数制 基数r
2 二进制 8 八进制 十六进制 16 十进制 10
基本符号
0,1 0,1,2,3,4,5,6,7 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A,B,C,D,E,F 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
第i位的权值
2i 8i 16i 10i
十--八--十六进制数据的二进制编码
• 可以用点阵表示任何图形，但需要较多的 空间。 • 对于规则图形，可以存储有关的特征和规 则即可。
– 直线,可以存储起点、终点和线条的类型即可。
2.1.3 数据格式的相互转换
• 通过键盘向计算机输入的数字肯定是用 ASCII码形式表示的十进制数，必须通过软 件将其转换成二进制数。反之，计算机的 运行结果输出时，常常需要通过软件转换 成十进制数。
计算机组成原理第02章 计算机中的信息表示
2.1 数值型数据的表示方法
2.1.2 带符号数的表示 2. 补码表示法 ⑴ 补码定义 ·通式 [X]补=M+X (mod M) 数X对模M 的补 数称作其补码 X>0， 作为正常溢出量可以舍去。 若X>0，则模 M 作为正常溢出量可以舍去。 因而正数的补码就是其本身， 因而正数的补码就是其本身，形式上与原码 相同。 相同。
2.1 数值型数据的表示方法
2.1.3 数的定点表示与浮点表示 2. 浮点表示法 浮点数格式(原理性) ⑴ 浮点数格式(原理性) N =±RE×M 其中： 其中： N ：真值 RE ：比例因子 E ：阶码 R ：阶码的底 M ：尾数 一般采取规格化的约定 一般采取规格化 规格化的约定
Ef Em
…
E2 E1 Mf M1 M2
2.1 数值型数据的表示方法
2.1.3 数的定点表示与浮点表示 ⑵ 带符号定点整数 设代码序列为： ……X 设代码序列为：XnXn-1……X1X0 ，Xn为符号位
原码 典型值 真值 最大正数 非零最小正数
2n-1 1
补码 真值
2n-1 1 -2n -1
代码序列
01…… ……11 …… 00…… ……01 ……
第2章 计算机中的信息表示
重点：定点、浮点数的表示； 重点：定点、浮点数的表示；操作码扩展技 术；指令系统的设计 难点：浮点数的IEEE754格式表示， 难点：浮点数的IEEE754格式表示，定点和 IEEE754格式表示 浮点数的表示范围，浮点数的规格化问题， 浮点数的表示范围，浮点数的规格化问题， 操作码扩展技术，指令系统的设计 操作码扩展技术，
2.1 数值型数据的表示方法
2.1.2 带符号数的表示 3. 反码表示法 若定点小数的反码序列为X ·若定点小数的反码序列为X0.X1X2……Xn,则 X X 1>X≥0 [X]反= 0>X≥2-2-n+X 0>X≥-1 若定点整数的反码序列为X ·若定点整数的反码序列为XnXn-1……X1X0,则 X X 2n>X≥0 [X]反= 0>X≥2n+1-1+X 0>X≥-2n
第2章 MATLAB数值计算
第2章 MATLAB数值计算MATLAB的数学计算＝数值计算＋符号计算其中符号计算是指使用未定义的符号变量进行运算，而数值计算不允许使用未定义的变量。
2.1 变量和数据2.1.1数据类型数据类型包括：数值型、字符串型、元胞型、结构型等数值型＝双精度型、单精度型和整数类整数类＝无符号类(uint8、uint16、uint32、uint64)和符号类整数(int8、int16、int32、int64)。
2.1.2数据1. 数据的表达方式▪可以用带小数点的形式直接表示▪用科学计数法▪数值的表示范围是10-309～10309。
以下都是合法的数据表示：-2、5.67、2.56e-56(表示2.56×10-56)、4.68e204(表示4.68×10204)2. 矩阵和数组的概念在MATLAB的运算中，经常要使用标量、向量、矩阵和数组，这几个名称的定义如下：▪标量：是指1×1的矩阵，即为只含一个数的矩阵。
▪向量：是指1×n或n×1的矩阵，即只有一行或者一列的矩阵。
▪矩阵：是一个矩形的数组，即二维数组，其中向量和标量都是矩阵的特例，0×0矩阵为空矩阵([])。
▪数组：是指n维的数组，为矩阵的延伸，其中矩阵和向量都是数组的特例。
3. 复数复数由实部和虚部组成，MATLAB用特殊变量“i”和“j”表示虚数的单位。
复数运算不需要特殊处理，可以直接进行。
复数可以有几种表示：z=a+b*i或z=a+b*jz=a+bi 或z=a+bj(当b 为标量时) z=r*exp(i*theta)● 得出一个复数的实部、虚部、幅值和相角。
a=real(z) %计算实部 b=imag(z) %计算虚部 r=abs(z) %计算幅值 theta=angle(z) %计算相角 说明：复数z 的实部a=r*cos(θ)； 复数z 的虚部b=r*sin(θ)； 复数z 的幅值22b a r +=；复数z 的相角theta=arctg(b/a)，以弧度为单位。
计算机原理 计算机中数据的表示方法
第二章计算机中数据的表示方法第一节计算机中数据的分类和表示方法计算机内部传送的信息分为两大类：控制信息和数据信息。
数据信息又分为两种，数值型数据和非数值型数据。
注意：任何数据在计算机中都是用二进制表示的。
一、数据的单位1．位（bit）：是计算机中最小的数据单位，常用小写字母b来表示。
2．字节（Byte）：用大字母B来表示，1B=8b表示文件的长度，衡量存储器的容量，存储器编址用字节做单位。
磁盘的存储单位是：簇磁盘存放信息的最小编址单位是：扇区信息编码的的最小单位是：码元3．字（word）：由若干字节组成，是字节的整数倍。
在计算机内部进行数据传送，或CPU进行数据处理时，用它作基本单位。
字的长度即字长，并不是所有的计算机字长都一样，常见的字长有16位，32位，64位。
字长是CPU一次能够处理二进制的位数。
字长越长，计算机速度越快，精度越高。
4．常用的存储单位之间的换算1TB=1024GB 1GB=1024MB 1MB=1024KB 1KB=1024B 210 1B=8b二、数据的分类1．按数据处理方式分类数值型和非数值型非数值型又分为：字符数据和逻辑数据2．按数据传输形式分类数字数据和模拟数据数字数据：离散型的；模拟数据：连续的值模拟数据被数字化后存入计算机，采用模数转化将模拟数据数字化后存入计算机。
三、数据的表示方法1．数值型数据的表示（1）按小数点的处理可分为定点数和浮点数。
（2）按符号位有原码、补码，反码三种形式的机器数2．非数值型数据的表示第二节各种数制及其转换方法一、数制的组成数制是指计数的方法，任何一种数制都有两个要素：基数和权。
例如二进制数1001.01，它的基数是2，最左边1的权是23，最右边的1的权是2-2。
234二、常用字的数制二进制（B），八进制（Q），十进制（D），十六进制（H）三、不同进制之间的转换1．十进制转换成非十进制分成整数部分和小数部分：整数部分：除基数倒取余小数部分：乘基数取整注意：十进制数转换在二进制数的方法是除2倒取余。
原码反码及补码(师用)
原码、反码和补码的概念本节要求掌握原码、反码、补码的概念知识精讲数值型数据的表示按小数点的处理可分为定点数和浮点数；按符号位有原码、反码和补码三种形式的机器数。
一．计算机中数据的表示方法1、数的定点与浮点表示在计算机内部，通常用两种方法来表示带小数点的数，即所谓的定点数和浮点数。
①定点数：是小数点在数中的位置是固定不变的数，数的最高位为符号位，小数点可在符号位之后，也可在数的末尾，小数点本身不需要表示出来，它是隐含的。
缺点：只有纯小数或整数才能用定点数表示；②浮点数：小数点在数中的位置是浮动的、不固定的数。
一般浮点数既有整数部分又有小数部分，通常对于任何一个二进行制数Ｎ，总可以表示成：Ｎ＝±２P×SＮ、Ｐ、Ｓ均为二进制数，Ｐ为Ｎ的阶码，一般为定点整数，常用补码表示，阶码指明小数点在数据中的位置，它决定浮点的表示范围；Ｓ称为浮点数N的尾数，一般为定点小数，常用补码或原码表示，尾数部分给出了浮点数的有效数字位数，它决定了浮点数的精度，且规格化浮点数0.5≤|S|<１；在计算机中表示一个浮点数其结构为：假设用八个二进制位来表示一个浮点数，且阶码部分占4位，其中阶符占一位；尾数部分占4位，尾符也占一位。
若现有一个二进制数110一个浮点形式的尾数S0，则该浮点数称为规格化数；规格化数可以提高运算的精度。
S为原码表示，则S１=1规格化数S为补码表示N为正数，则S1 ＝１N为负数，则S1＝０二、原码、反码和补码1、机器数与真值真值：用“+”、“—”号表示的二进制数。
机器数：在计算机中数据和符号全部数字化，最高位为符号位，且用0表示正、1表示负，那么把包括符号在内的一个二进制数我们称为机器数。
如：将真值+11101B表示成机器数为011101B，—11101B表示成机器数为111101B。
2、原码、反码和补码的概念1）概念机器数有原码、反码和补码三种表示方法。
原码：是最简单的机器数表示法。
定点与浮点
例：X＝1011 X＝-1011
则X反＝01011 则X反＝1 1 0 1 1原 取反 1 0 1 0 0
反码的特点：0的表示不唯一，+0补=00000
-0补=11111，运算不方便； 也能化减为加，但不常用。
只要了解。
2.1.3 数的定点表示与浮点表示
在计算机中如何表示小数点的位置，就分为定点和浮点两种。 数据中小数点的位置固定不变的称为定点数。
不同进位计数制间的转换
——十进制→ R 进制
信息的表示与存储
2.十进制小数转换成R进制小数
“ 乘 R 取整” 法，例如： 高位 0.3125×2 0.625 ×2 0.25 ×2 0.5 ×2 所以 0.312510 = = 0 .625 = 1 .25 = 0 .5 = 1 .0 0.01012
二、各种进位制间的转换
——十进制→ R 进制
信息的表示与存储
1.十进制整数转换成R进制的整数
“ 除R取余” 法，例1：
2 2 68 余 数 34 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄0 低位 2 17 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 0 2 8 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 1 2 4 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 0 2 2 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 0 2 1 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 0 0 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 1 高位 所以 6810＝10001002
则X原＝01011 则X原＝1 0 1 0 1补 取反 1 0 1 0 加1 +1 1 1 0 1 1原 = -1011真值
又例：-1的补码为8位二进制表示则为11111111 取反10000000 加1 +1 10000001原
3、根据补码求真值练习 ：P56第8题 X补＝1.1010 则X原＝1.1 0 1 0补 取反 1.0 1 0 1 加1 +1 1.0 1 1 0原 所以X真值= -0.0110
2021年统计师考试：统计学和统计法基础知识每日一练(11月12日)
2021年统计师考试：统计学和统计法基础知识每日一练(11月12日)单项选择题1. 在抽样框中每隔一定距离抽选样本单位的调查方式是（）。
A、整理抽样B、系统抽样C、分层抽样D、简单随机抽样多项选择题2. 定性数据的图形表示方法一般有（）。
A、饼图B、直方图C、条形图D、环形图E、柱形图3. 数值型数据（）。
A、计算功能大于分类数据和顺序数据B、计量精度高于分类数据和顺序数据。
C、能够计算数据之间的绝对差D、不能计算数据之间的相对差。
E、在统计研究中有着最广泛的用途。
判断题4. 国内生产总值（GDP）是衡量宏观经济活动水平的最核心的指标。
在GDP核算中，净出口应该计入当年的GDP总量。
简答题5. 某机床厂加工一种零件。
根据经验知道，该厂加工零件的椭圆度近似服从正态分布，其总体均值为0．081mm，总体标准差为0．025。
今另换一种新机床实行加工，取200个零件实行检验，得到椭圆度均值为0．072mm。
试问新机床加工零件的椭圆度总体均值与以前有无显著差别?6. (1)计算相关系数；(2)建立直线回归方程。
7. 某公司某年9月末有职工250人，10月份人数变动情况如下：10月4日新招聘12名大学生上岗，16日有4名老职工退休，21日有3名青年工人应征入伍，同日又有3名职工辞职离岗，29日招聘7名营销人员上岗。
试计算该公司10月份的平均在岗人数。
8. 某单位上半年职工人数统计资料如下：要求计算：①第一季度平均人数；②上半年平均人数。
9. 某地区1996--2000年国民生产总值数据如下：要求：(1)计算并填列表中所缺数字。
(2)计算该地区1997--2001年间的平均国民生产总值。
(3)计算1998--2001年间国民生产总值的平均发展速度和平均增长速度。
10. 某市某产品连续四年各季度的出口额资料如下(单位：万元)：要求计算该市该产品出口额的季节比率，并对其季节变动情况做简要分析。
真值原码反码补码详解和习题
原码、反码和补码的概念本节要求掌握原码、反码、补码的概念知识精讲数值型数据的表示按小数点的处理可分为定点数和浮点数；按符号位有原码、反码和补码三种形式的机器数。
一．计算机中数据的表示方法1、数的定点与浮点表示在计算机内部，通常用两种方法来表示带小数点的数，即所谓的定点数和浮点数。
①定点数：是小数点在数中的位置是固定不变的数，数的最高位为符号位，小数点可在符号位之后，也可在数的末尾，小数点本身不需要表示出来，它是隐含的。
缺点：只有纯小数或整数才能用定点数表示；②浮点数：小数点在数中的位置是浮动的、不固定的数。
一般浮点数既有整数部分又有小数部分，通常对于任何一个二进行制数Ｎ，总可以表示成：Ｎ＝±２P×SＮ、Ｐ、Ｓ均为二进制数，Ｐ为Ｎ的阶码，一般为定点整数,常用补码表示，阶码指明小数点在数据中的位置，它决定浮点的表示范围Ｓ为N的尾数，一般为定点小数,常用补码或原码表示，尾数部分给出了浮点数的有效数字位数，它决定了浮点数的精度，且规格化浮点数0.5≤|S|<１；0.1B=( 1/2 )D =( 2-1)D0.11B=(1/2 + 1/4 )D =( 2-1+2-2)D0.111B=(1/2 + 1/4 + 1/8 )D =( 2-1+2-2+2-3)D ---------------------------在计算机中表示一个浮点数其结构为：假设用八个二进制位来表示一个浮点数，且阶码部分占4位，其中阶符占一位；尾数部分占4位，尾符也占一位。
若现有一个二进制数N＝（101100）2可表示为：２110×0.1011，则该数在机器内的表示形式为：101100B= 10110B * (21)D101100B= 1011B * (22)D101100B= 101.1B * (23)D101100B= 10.11B * (24)D101100B= 1.011B * (25)D101100B= 0.1011B * (26110一个浮点形式的尾数S若满足0.5≤|S|＜1，且尾数的最高位数为1，无无效的0，则该浮点数称为规格化数；规格化数可以提高运算的精度。
数值型数据的表示及处理
原码、反码、补码数值在计算机中表示形式为机器数,计算机只能识别0和1,使用的是二进制,而在日常生活中人们使用的是十进制,"正如亚里士多德早就指出的那样,今天十进制的广泛采用,只不过我们绝大多数人生来具有10个手指头这个解剖学事实的结果.尽管在历史上手指计数(5,10进制)的实践要比二或三进制计数出现的晚.为了能方便的与二进制转换,就使用了十六进制和八进制.下面进入正题. 数值有正负之分,计算机就用一个数的最高位存放符号(0为正,1为负).这就是机器数的原码了.假设机器能处理的位数为8.即字长为1byte,原码能表示数值的范围为(-127~-0 +0~127)共256个. 有了数值的表示方法就可以对数进行算术运算.但是很快就发现用带符号位的原码进行乘除运算时结果正确,而在加减运算的时候就出现了问题,如下: 假设字长为8bits ，( 1 ) 10- ( 1 )10 = ( 1 )10 + ( -1 )10 =(00000001)原+ (10000001)原= (10000010)原= ( -2 ) 显然不正确（十进制的1减1当然为0）。
因为在两个整数的加法运算中是没有问题的,于是就发现问题出现在带符号位的负数身上,对除符号位外的其余各位逐位取反就产生了反码.反码的取值空间和原码相同且一一对应. 下面是反码的减法运算: ( 1 )10 - ( 1 ) 10= ( 1 ) 10+ ( -1 ) 10= (00000001) 反+ (11111110)反= (11111111)反= ( -0 ) 有问题. ( 1 )10 - ( 2)10 = ( 1 )10 + ( -2 )10 = (00000001) 反+ (11111101)反= (11111110)反= ( -1 ) 正确。
问题出现在(+0)和(-0)上,在人们的计算概念中零是没有正负之分的.(印度人首先将零作为标记并放入运算之中,包含有零号的印度数学和十进制计数对人类文明的贡献极大). 于是就引入了补码概念. 负数的补码就是对反码加一,而正数不变,正数的原码反码补码是一样的.在补码中用(-128)代替了(-0),所以补码的表示范围为: (-128~0~127)共256个. 注意-128没有相对应的原码和反码, (-128) = (10000000) 补码的加减运算如下: ( 1 ) 10- ( 1 ) 10= ( 1 )10 + ( -1 )10 = (00000001)补+ (11111111)补= (00000000)补= ( 0 ) 正确( 1 ) 10- ( 2) 10= ( 1 )10 + ( -2 )10 = (00000001) 补+ (11111110) 补= (11111111)补= ( -1 ) 正确所以补码的设计目的是: ⑴使符号位能与有效值部分一起参加运算,从而简化运算规则. ⑵使减法运算转换为加法运算,进一步简化计算机中运算器的线路设计。
《数据的表示》 学习任务单
《数据的表示》学习任务单一、学习目标1、理解数据表示的基本概念和重要性。
2、掌握不同类型数据的表示方法，如数值型数据、字符型数据、布尔型数据等。
3、学会运用常见的数据结构来组织和存储数据，如数组、链表、栈、队列、树、图等。
4、能够根据实际问题选择合适的数据表示方式，提高数据处理的效率和准确性。
二、学习内容（一）数据表示的基本概念1、数据：是信息的载体，可以是数字、文字、图像、声音等。
2、数据类型：指数据的种类，如整数、浮点数、字符串等。
3、数据表示：是将数据以特定的形式存储和传输，以便计算机能够处理和理解。
（二）数值型数据的表示1、整数的表示原码、反码和补码整数的范围和精度2、浮点数的表示单精度和双精度浮点数浮点数的精度和误差（三）字符型数据的表示1、 ASCII 码常见字符的 ASCII 码值ASCII 码的局限性2、 Unicode 编码Unicode 的特点和优势UTF-8、UTF-16、UTF-32 编码方式（四）布尔型数据的表示1、布尔值的定义True 和 False 的含义2、布尔运算与、或、非运算（五）数据结构1、数组数组的定义和特点数组的操作（访问、插入、删除）2、链表链表的结构和特点单向链表、双向链表链表的操作（创建、遍历、插入、删除）3、栈栈的定义和特点栈的操作（入栈、出栈）栈的应用（表达式求值、函数调用）4、队列队列的定义和特点队列的操作（入队、出队）队列的应用（任务调度、消息队列）5、树二叉树二叉树的定义和特点二叉树的遍历（前序、中序、后序）二叉搜索树平衡树AVL 树红黑树树的应用（文件系统、数据库索引）6、图图的定义和表示方法图的遍历（深度优先搜索、广度优先搜索）图的应用（网络路由、社交网络分析）（六）数据表示的选择与优化1、根据问题的特点选择合适的数据结构2、考虑时间复杂度和空间复杂度3、数据压缩和编码优化三、学习资源1、教材：《数据结构与算法分析》、《计算机组成原理》等相关教材。
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9
1、非十进制数转换成十进制数：
二进制数转换：
————按权相加法
(1010 .1) 2 1 23 0 2 2 1 21 0 20 1 2 1 (10.5)10
八进制数转换：
(406 )8 4 82 0 81 6 80 (262 )10
n2
H 1 161 H 2 16 2 H m 1 16 m 1 H m 16 m
(9 AF .45)16 9 16 2 A 161 F 16 0 4 16 1 5 16 2
6
2.1.1 进位计数制
(101 .101) 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2
2 1 0
5
1
2
3
3、八进制的表示形式：
（Q：0~7）
(Q) 8 Qn 1 8 n 1 Qn 2 8 n 2 Q1 81 Q0 8 0 Q1 8 1 Q 2 8 2 Q m 1 8 m 1 Q m 8 m
12
转换成十六进制:
例子:12345.671875
16 12345
————除基取余法
16 771 16 48 16 3 0
9 3 0 3
0.671875
A C
16 10.750000 16 12.000000
结果:
3039 . AC 16
13
3 非十进制数之间的转换:
八进制数转换成二进制数:
在原码表示中，真值0有两种不同的表示 形式： [+0]原 =00000 [-0]原 =10000 原码表示法的优点是简单、直观、容易转 换，缺点是进行加、减运算时必须根据两数的 符号和数值大小来决定运算结果的符号，这将 增加机器的复杂性和运算时间。
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2 补码表示法 为了克服原码在加、减运算中的缺点，引入了补 码表示法，补码表示法的设想是：使符号位参加运算， 从而简化加减法的规则；使减法运算转化成加法运算，1100 13 1101 14 1110 15 1111
13 B
14 C 15 D 16 E 17 F
00010001
00010010 00010011 00010100 00010101
8
二、各种进位制之间的相互转换
第一组：二、八、十六进制转换
第二组：二进制与十进制的相互转换
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例1：X1=0.0110
, X2=-0.0110
[X1]补=0.0110 ,[X2]补=1.1010
设二进制纯整数为X1X2…Xn，它的补码 形式为XsX1X2…Xn，其中Xs表示符号位。
例2：X1=1101 , X2=-1101 [X1]补=01101 ,[X2]补=10011
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说明： 1）在补码表示中，真值0的表示形式是唯一 的。 [+0]补=[-0]补=00000 2）当X为正数时，[X]补=[X]原=X 3）当X为负数时，由[X]原转换为[X]补的方法 有二： [X]原除符号位外的各位取反加“1”。 符号位保持1不变，尾数部分自低位向高位， 第一个1及其以前的各低位0都保持不变， 以后的各高位按位取反。
1.什么叫基数？ 基数r是某种进位制中产生的进位的数值， 它等于每个数位中所允许的最大数码值（r1）加1，也就是各数位中允许选用的数码的 个数。 2.什么叫权？ 进位制中每个数位都有自己的权值，它是 一个与所在的数位相关的常数，称为该位的 位权，简称权。
7
十进制
二进制 0 0000
八进制 0
十六进制
二—十六进制 0 0000
1 0001
2 0010
1
2
1 0001
2 0010
3 0011
4 0100
3
4
3 0011
4 0100
5 0101
6 0110 7 0111
5
6 7
5 0101
6 0110 7 0111
8 1000
9 1001 10 1010
10
11 12 A
8 1000
9 1001 00010000
2、二进制表示形式：
( B) 2 Bn 1 2
n 1
（B：0、1）
B1 2 B0 2 B1 2
1 0 1
Bn 2 2
n2
B 2 2 2 B m 1 2 m 1 B m 2 m
1 1
二进制整数高位
11011.112
结果:
0.75 2 1.50 2 1.00
整数 1 1
二进制小数首位
二进制小数末位11
转换成八进制:
例子:1725.6875
8 8
1725
215 8 26 5 7 3 0 2 3
0.6875 8 5.5000
8 5
8
4
4.0000
结果:
3275.548
[X1]反=01101 ,[X2]反=10010
在反码表示中，真值0也有两种不同的表示形式： [+0]反=00000 [-0]反=11111
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三种机器数的比较 ⑴ 对于正数，它们都等于真值本身，而对于负数各有不同的表示。 ⑵ 最高位都表示符号位，补码和反码的符号位可和数值位一起参加 运算；但原码的符号位必须分开进行处理。（反码较少使用） ⑶ 对于真值0，原码和反码各有两种不同的表示形式，而补码只有 唯一的一种表示形式。 ⑷ 原码、反码表示的正、负数范围是对称的；但补码负数能多表示 一个最负的数（绝对值最大的负数），其值等于-2n （纯整数）或-1 （纯小数）。 例如：8位二进制表示的补码整数中，－128是绝对值最大的负数， 其补码表示为：1000 0000 。
———直接对应法
A6.1C 16 (10100110.00011100)2
二进制数转换成十六进制数:
1101 D 0101 • 1110 5 • E 1001 9
11010101.111010012 ( D5.E9)16
15
§2.1.2 带符号数的表示
2.1 无符号数和带符号数 所谓无符号数，就是指正整数，机器字长的全部数位均 用来表示数值的大小，相当于数的绝对值。 N1 =01001 表示无符号数9 N2 =11001 表示无符号数25 字长为n+1位的无符号数的表示范围是0～(2n+1-1)。 例如：字长为8位，无符号数的表示范围是0～255。
模的概念 由于设备的原因，机器数是有字长限制的，不可 能容纳无限大的任意数。当运算结果超出了机器的最 大表示范围，就会发生溢出（丢失进位），此时所产 生的溢出量称为模，用字母M表示。
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模实际上是一个计量器的容量。例如：一个 4位的计数器，它的计数值为0～15，当计数器 计满15之后再加1，这个计数器就发生溢出，其 溢出量为16，也就是模等于16。
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111
0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7
1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 8 9 10 11 12 13 14 15
十六进制 8
9
A
B
C
D
E
F
4
1、十进制表示形式：
16
带符号数的表示
所谓带符号数，即正、负数。在日常生活 中，我们用“+”、“-”号加绝对值来表示数 值的大小，用这种形式表示的数值在计算机 技术中称为“真值”。 对于数的符号“+”或“-”，计算机是无法 识别的，因此需要把数的符号数码化。通常， 约定二进制数的最高位为符号位，“0”表示 正号，“1”表示负号。这种在计算机中使用 的表示数的形式称为机器数。
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对于带符号数，最高位用来表示符号位， 而不再表示数值位了，前例中的N1、N2在这 里变为： N1 =01001 表示带符号数+9 N2 =11001 根据不同的机器数表示不同的值，如: 原码时表示带符号数-9， 补码则表示-7， 反码则表示-6。
18
1. 原码表示法 原码表示法是一种最简单的机器数表示法， 用最高位表示符号位，符号位为“0”表示该数 为正，符号位为“1”表示该数为负，数值部分 与真值相同。 设二进制纯小数为0.X1X2…Xn，它的原码 形式为Xs.X1X2…Xn，字长n+1位，其中Xs 表示符号位。
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二、各种进位制之间的相互转换
进位计数制
进位计数制是一种计数方法,习惯上常用的是十进制计数 法。但在计算机中常用的计数制除了十进制外，还有二进制、 十六进制和八进制。 在汇编语言中，每一种进制都有自己的 表示方法。 对于以上三种进制数可以通过下表中的对应项互相转换：
二进制
十进制 十六进制 二进制 十进制
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例1：X1=0.0110 , X2=-0.0110 [X1]原=0.0110 , [X2]原=1.0110 设二进制纯整数为X1X2…Xn，它的原码形 式为XsX1X2…Xn，其中Xs表示符号位。
例2：X1=1101 , X2=-1101 [X1]原=01101 , [X2]原=11101
20
29
真值与三种机器数之间的对照
十六进制转换：
(2 A4 E )16 2 16 3 A 16 2 4 161 E 16 0 (10830 )10
.把各个非十进制数按权展开求和即可。
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2、十进制数转换成非十进制数：
转换成二进制：除基取余法
例：27.75
2
27 2 13 2 6 2 3 2 1 0
余数 二进制整数低位 1 1 0