空间直角坐标系(使用)
空间直角坐标系
长度：使用直角坐标 系中的坐标值计算
面积：使用直角坐标 系中的坐标值计算
体积：使用直角坐标 系中的坐标值计算
角度：使用直角坐标 系中的坐标值计算
距离：使用直角坐标 系中的坐标值计算
相似性：使用直角坐 标系中的坐标值计算
平移：沿某个方向移动一定距 离不改变形状的大小和方向
旋转：绕某个轴旋转一定角 度改变形状的位置和方向
向量的坐标表示应用：向量的坐标表示方法在物理、工程、计算机科学等领域有着广泛的应 用。
向量的模：向量的长度表示为向量的平方和的平方根
向量的数量积：两个向量的点积表示为两个向量的坐标乘积的和
向量的坐标表示方法：用三个坐标值表示向量每个坐标值对应一个坐标轴
向量的数量积的坐标表示方法：用两个向量的坐标乘积的和表示向量的数量积每个坐标乘积 对应一个坐标轴
平移：沿坐标轴方 向移动保持原点位 置不变
旋转和平移的复合 ：先旋转后平移或 先平移后旋转
旋转和平移的逆操 作：旋转和平移的 逆操作可以恢复原 坐标系
空间直角坐标系的 表示方法
空间直角坐标 系：由三个互 相垂直的坐标 轴组成通常用x、
y、z表示
点的坐标表示： 用三个数字表 示分别对应x、 y、z轴上的坐
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汇报人：
示。
单位长度：平面直角坐标系中 的单位长度是固定的通常用1表
示。
空间直角坐标系是 三维的平面直角坐 标系是二维的
空间直角坐标系中的点 可以用三个坐标表示平 面直角坐标系中的点可 以用两个坐标表示
空间直角坐标系中 的点可以通过投影 变换转换为平面直 角坐标系中的点
平面直角坐标系中 的点可以通过升维 变换转换为空间直 角坐标系中的点
坐标轴：x轴、y轴、z 轴分别代表三个方向 的坐标。
建立空间直角坐标系的方法及技巧
建立空间直角坐标系的方法及技巧1.确定坐标轴方向：首先需要确定空间直角坐标系的坐标轴方向，通常选择三个相互垂直的轴，分别称为x轴、y轴和z轴。
可以选择其中一个轴为参考轴，然后使用右手定则来确定其他两个轴的方向。
在右手定则中，将右手的拇指、食指和中指分别与x、y和z轴对齐，那么食指和中指所形成的平面就是坐标系的平面，拇指的方向就是z轴的方向。
2.确定原点位置：确定好坐标轴方向后，需要确定坐标系的原点位置。
原点通常可以选择在三维空间中的一些特殊点上，例如物体的质心、交点或者其他方便计算的点。
原点的选择应根据具体问题和需求进行确定。
3.确定单位长度：建立坐标系后，需要确定单位长度，也就是每个坐标轴上的单位距离。
单位长度的选择应根据具体问题和需求进行确定，可以根据物体的大小和所需精度进行估计。
常用的单位长度包括米、厘米、毫米等。
4.标示坐标轴刻度：在建立坐标系后，需要在每个坐标轴上标示刻度，以便表示点的位置。
可以根据需求和所测量的物体大小来确定每个刻度的长度和数量。
通常可以使用尺子、直尺等工具来测量和标示刻度。
在标示刻度时，可以选择以原点为起点，沿着每个坐标轴正方向逐个标示刻度，或者以坐标轴的负方向为起点标示刻度。
5.标示点的坐标：建立好坐标轴和刻度后，就可以根据需要来标示空间中的点的坐标。
对于一个三维空间中的点，可以通过它到坐标轴的距离来确定它的坐标值。
通常可以使用直角坐标系中的(x,y,z)来表示一个点的坐标，其中x、y和z分别是点在x轴、y轴和z轴上的坐标值。
1.灵活选择参考轴：参考轴的选择应根据具体问题和需求进行确定。
在确定参考轴时，可以考虑使问题的描述尽量简洁和直观，同时方便计算和分析。
2.注意坐标轴的方向：在确定坐标轴的方向时，使用右手定则可以帮助确定其他两个轴的方向。
要确保坐标轴的方向满足右手定则中拇指、食指和中指的排列次序。
3.注意单位长度的选择：单位长度的选择应根据具体问题和需求进行确定。
空间几何中的坐标系与空间直角坐标
空间几何中的坐标系与空间直角坐标在空间几何学中，坐标系是用来描述和表示点、线、面等几何对象的系统。
坐标系将空间划分为不同的区域，并给出了每个点在这个区域内的位置。
而空间直角坐标则是其中一种常见的坐标系，它使用三个相互垂直的轴来确定一个点的位置。
本文将介绍空间几何中的坐标系及空间直角坐标的应用。
一、坐标系的概念与常见类型坐标系是一种将几何空间划分为不同区域，并用数值（坐标）来描述点在空间中的位置的系统。
常见的坐标系类型有直角坐标系、极坐标系、球坐标系等。
其中，直角坐标系是应用最广泛的一种坐标系。
二、直角坐标系的定义与构建直角坐标系是在空间中以三条相互垂直的坐标轴为基准，来确定一个点的位置。
三条坐标轴互相垂直且两两相交于一个点，称为坐标原点。
这三条坐标轴分别用X、Y、Z表示，并与数轴的正方向一致。
通过在三轴上的长度单位（通常为1），可以确定一个点的坐标。
三、空间直角坐标的表示与转换在空间直角坐标系中，一个点的坐标用一个有序三元组(x,y,z)来表示，其中x表示点在X轴上的投影长度，y表示点在Y轴上的投影长度，z表示点在Z轴上的投影长度。
当需要进行坐标系转换时，可以通过旋转和平移等操作，将一个点在一个坐标系中的坐标表示为在另一个坐标系中的坐标。
四、空间直角坐标系的应用空间直角坐标系在几何学中有着广泛的应用，特别是在计算几何、解析几何以及物理学等领域。
它可以用于描述物体的位置、方向和运动等。
五、坐标系的研究进展与应用前景随着科学技术的发展，空间几何学中的坐标系也在不断发展与改进。
研究人员不断提出新的坐标系，并将其运用到实际问题中，为各个学科的发展做出了重要贡献。
结论空间几何中的坐标系与空间直角坐标在数学、物理学、计算机图形学等领域中扮演着重要的角色。
熟悉不同的坐标系及其应用，对于解决空间几何问题具有重要意义。
希望本文能为读者提供有关空间几何坐标系与空间直角坐标的基本概念与应用的初步了解，并对进一步学习和研究产生兴趣。
空间直角坐标系及坐标运算
基础知识梳理
4．空间向量坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 则a·b若＝aa＝1b(1a＋1，a2ab22，＋aa33)b，3 .b＝(b1，b2，b3)， (2)共线与垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝ λb3，a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝ 0(a，b均为非零向量)．
课堂互动讲练
2．证明空间四点共面的方法 对空间四点P，M，A，B可通过 证明下列结论成立来证明四点共面 (1)M→P＝xM→A＋yM→B； (2)对空间任一点 O，O→P＝O→M＋xM→A ＋yM→B；
课堂互动讲练
(3)对空间任一点 O，O→P＝xO→M＋yO→A ＋zO→B(x＋y＋z＝1)；
A．x＝1，y＝1 B．x＝12，y＝－12 C．x＝16，y＝－32
D．x＝－16，y＝32 答案：C
三基能力强化
3．已知空间四边形 OABC 中，点 M 在 线段 OA 上，且 OM＝2MA，点 N 为 BC 的中
点，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，则M→N等于
() A.12a＋12b－23c
【解】 法一：(1)原式可变形为 O→P＝O→M＋(O→A－O→P)＋(O→B－O→P) ＝O→M＋P→A＋P→B. ∴O→M＝O→P－P→A－P→B. 由共面向量定理的推论知 M 与 P、A、 B 共面．
课堂互动讲练
(2)
原
式
可
变
形
为
→ OP
＝
2
→ OA
＋
→ OA
－
O→B＋O→A－O→M＝2O→A＋B→A＋M→A.
基础知识梳理
3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角
空间直角坐标系及向量坐标
a (ax )i (ay ) j (az )k ，
即
a b (ax bx ，ay by ，az bz ) ，
a b (ax bx ，ay by ，az bz ) ，
a (ax ，ay ，az ) ．
由此可见，对向量进行加、减及数乘，只需对向量的各个坐标分别进行相应
的运算即可．
高等数学
1.1 空间直角坐标系
在平面解析几何中，通过建立平面直角坐标系，把平面上的点与 二元有序实数组对应起来．同样，在空间解析几何中，通过建立空间 直角坐标系，也可以把空间的点与三元有序实数组对应起来．
如图所示，过空间一定点 O ，作三个两两垂直的单位向量 i ，j ，k ，就确定了三 条都以 O 为原点的两两垂直的数轴，依次记为 x 轴（横轴）z ) ，b (bx ，by ，bz ) ， 即 a axi ay j azk ，b bxi by j bzk ， 利用向量的运算律，有
a b (ax bx )i (ay by ) j (az bz )k ，
a b (ax bx )i (ay by ) j (az bz )k ，
1.2 向量的坐标表示
如图所示，设 M 为空间一点，过点 M 分别作垂直于 x 轴、 y 轴、 z 轴的平面，它 们与 x 轴、 y 轴、 z 轴分别交于 P ，Q ，R 三点，这三个点在 x 轴、 y 轴、 z 轴上的坐标分 别为 x，y，z ，这样就确定了空间点 M 的唯一一个三元有序实数组 (x ，y ，z) ．反之，若 给定一个三元有序实数组 (x ，y ，z) ，分别在 x 轴、 y 轴、 z 轴找到坐标分别为 x，y，z 的 三点 P ，Q ，R ，过这三点分别作垂直于 x 轴、 y 轴、 z 轴 的平面，这三个平面有唯一交点 M ，于是就建立了空间 点 M 和三元有序实数组 (x ，y ，z) 之间的一一对应关系． 这组数 x，y，z 称为点 M 的坐标，记为 M (x ，y ，z) ，并依 次称 x，y 和 z 为点 M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．
空间直角坐标系
空间直角坐标系
三维空间直角坐标系是一种坐标系，能够在三维空间中表达点的位置。
它是由横坐标、纵坐标和纵坐标组成的，可以根据点的位置坐标(x, y, z)来表明该点的位置。
1. 说明三维空间直角坐标系是什么
三维空间直角坐标系是由横坐标、纵坐标和纵坐标构成的，用于表达
点的位置坐标(x, y, z)。
它可以用来表明各种物体在三维空间中的位置，方位和方向。
2. 横坐标、纵坐标、纵坐标的具体含义
横坐标x代表了点在三维空间中沿着x轴的位置坐标；纵坐标y代表了点在三维空间中沿着y轴的位置坐标；纵坐标z代表了点在三维空间中沿着z轴的位置坐标。
3. 三维空间直角坐标系的应用
三维空间直角坐标系在以下几个方面都很有用：
（1）用于描述空间物体的位置和方向，可以方便的表达出物体的位置随某种坐标变化的情况；
（2）在计算机图形学中，可以利用坐标系快速的定位和跟踪一个指定
的物体；
（3）在力学和物理学中，三维坐标系可以用来描述物体发生的运动轨迹，计算物体受外力的反作用等。
4. 坐标系之间的关系
三维空间直角坐标系不只是三个独立分量组成的，它们之间存在着相互间的关系。
该坐标系与两个固定的轴是正交的，因此它的每个坐标之间的关系是互相垂直的；而三个坐标之间则是互相平行的。
空间直角坐标系
空间直角坐标系空间直角坐标系是一种用来描述物体在三维空间中位置的坐标系统。
它是一种常见且重要的坐标系，被广泛应用于数学、物理、工程等各个领域。
本文将详细介绍空间直角坐标系的定义、特点和使用方法。
一、空间直角坐标系的定义空间直角坐标系是由三个相互垂直的坐标轴构成的，通常用x、y、z表示。
x轴和y轴在水平平面上，z轴垂直于水平平面向上延伸。
在这个坐标系中，每个点可以由一个有序的三元组(x, y, z)唯一确定。
其中，x表示点在x轴上的坐标值，y表示点在y轴上的坐标值，z表示点在z轴上的坐标值。
二、空间直角坐标系的特点1. 三维描述：空间直角坐标系能够准确描述物体在三维空间中的位置。
通过确定点在x、y、z轴上的坐标值，可以得知物体在坐标系中的具体位置。
2. 直角关系：空间直角坐标系中的三个坐标轴彼此垂直。
这意味着任意两个轴的夹角为直角，使得坐标系的描述更加简洁明了。
3. 正负号：在空间直角坐标系中，每个坐标轴都有正负号之分。
通过正负号的不同，可以识别出点在轴的正方向还是负方向上。
三、空间直角坐标系的使用方法1. 坐标表示：在空间直角坐标系中，可以通过坐标表示物体的位置。
例如，一个点的坐标为(2, 3, 4)，表示该点在x轴上的坐标值为2，在y轴上的坐标值为3，在z轴上的坐标值为4。
2. 图形表示：使用空间直角坐标系，可以绘制出物体在三维空间中的图形。
例如，通过连接多个点可以绘制直线、曲线，通过连接多个面可以绘制立方体、圆柱体等。
3. 距离计算：在空间直角坐标系中，可以计算物体之间的距离。
根据勾股定理，可以计算出两点之间的直线距离。
例如，两点A(x1, y1,z1)和B(x2, y2, z2)之间的距离可以用以下公式表示：AB = √[(x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²]。
四、应用举例空间直角坐标系在许多领域有着广泛的应用。
以下是一些例子：1. 建筑设计：在建筑设计中，使用空间直角坐标系可以准确描述建筑物的位置、大小和形状，方便施工和规划工作。
空间坐标系及其应用
空间坐标系及其应用在日常生活中，我们经常使用各种坐标系来进行位置描述，比如在地图上标注一个地点的经纬度，用平面直角坐标系来描述物体在平面内的位置等。
而在三维空间中，同样需要使用坐标系来描述物体的位置以及运动情况，这时就需要引入空间坐标系。
一、空间坐标系的定义和类型空间坐标系是一种用于描述三维空间中点、直线、面等几何对象位置的方法。
其定义需要确定坐标基准面、坐标基准线以及坐标基准点，通常用三个垂直的坐标轴来确定。
而我们常用的空间坐标系有直角坐标系、柱面坐标系和球面坐标系等。
其中最为常用的是直角坐标系。
直角坐标系是我们最常见的空间坐标系，它由三条垂直的坐标轴组成，通常用X、Y、Z表示。
设三个轴的原点为O，有一点P 在这个坐标系中的坐标为(x,y,z)，则点P在直角坐标系中的表示为P(x,y,z)。
二、空间坐标系的应用空间坐标系广泛应用于各种领域中，下面列举几个典型的应用场景。
1. 机器人导航机器人是现代科技中重要的一部分，很多时候需要从一个位置移动到另一个位置，这就需要使用空间坐标系来描述机器人的位置和移动情况。
比如，在机器人导航系统中，会使用直角坐标系来描述机器人所在的三维空间以及机器人移动的轨迹，使得机器人能够准确地进行导航和定位。
2. 三维建模在三维建模软件中，空间坐标系是必不可少的工具。
设计师需要使用空间坐标系来确定模型的位置和方向，以及对模型进行移动和旋转。
比如，在建模一个室内场景时，需要使用直角坐标系来明确各个物体在空间中的位置和方向，使得场景看起来更加真实。
3. 地图测量在地图测量中，使用空间坐标系来描述地球表面上的位置信息是极其重要的。
目前广泛采用的是大地坐标系，其坐标系原点在地球质心，可以准确地表示地表上任意的一个点。
通过空间坐标系，我们可以计算两点之间的距离、方向和地形高程信息等。
4. 机械加工在机械加工中，需要用到空间坐标系来描述零件的位置和方向，从而使加工过程更加精确。
比如，在数控加工机床中，需要使用直角坐标系来描述加工物在三维空间中的位置和方向，以便通过程序来生成刀具路径，完成加工工作。
空间直角坐标系
的几何特性. 为顶点的三角形ABC的几何特性. 解 由空间两点间距离公式有
| AB |2 = (10 − 4)2 + (−1−1)2 + (6 − 9)2 = 49,
同理有
| AC | = 49, | BC |2 = 98.
2
Q AB | =| AC | , ∴AB= AC， |
2 2
因而△ 为等腰三角形. 因而△ABC为等腰三角形.
2 2
2 2
2
2
= ( x 2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z 2 − z1 )
所以空间两点间的距离 所以空间两点间的距离
d = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + (z2 − z1 ) .
2 2 2
特地， 特别地，
点 M ( x , y , z) 与原点O ( 0 , 0 , 0 ) 的距离
z
a aa Q( , , ) 2 22
D’ A’ B’
C’
Q
O A x C
Q’
B
y
典型例题
1 的小正方体堆积成的正方体）， ），其 图（可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体），其 2
结晶体的基本单位称为晶胞， 例2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意
中色点代表钠原子，黑点代表氯原子． 中色点代表钠原子，黑点代表氯原子．
典型例题
1 的小正方体堆积成的正方体）， ），其 图（可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体），其 2
结晶体的基本单位称为晶胞， 例2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意
中色点代表钠原子，黑点代表氯原子． 中色点代表钠原子，黑点代表氯原子． 如图建立空间直角坐标 系O-xyz后，试写出全部钠原子所在位置的坐标． 后 试写出全部钠原子所在位置的坐标．
空间直角坐标系
空间直角坐标系在数学和物理学中，空间直角坐标系是一种常用的坐标系统，用于描述三维空间中的点、向量和物体的位置。
它由三个互相垂直的坐标轴（x轴、y轴和z轴）组成，构成了一个三维的直角坐标系。
一、空间直角坐标系的定义空间直角坐标系以原点为起点，通过选定的单位长度建立了三个相互垂直的坐标轴。
x轴代表水平方向，y轴代表垂直于x轴的水平方向，z轴代表竖直方向垂直于x、y轴。
这样，每一个点都可以用三个数字（x，y，z）表示其在空间直角坐标系中的位置。
二、坐标轴的性质和方向在空间直角坐标系中，每个坐标轴都具有以下性质：1. x轴：位于水平方向，从负无穷到正无穷延伸。
正方向为从左往右。
2. y轴：位于垂直于x轴的水平方向，从负无穷到正无穷延伸。
正方向为从前往后。
3. z轴：位于竖直方向，从负无穷到正无穷延伸。
正方向为从下往上。
空间直角坐标系中，x轴和y轴的交点称为原点（O），z轴的正方向与x轴和y轴的正方向形成右手螺旋规则关系。
三、点的表示和距离计算在空间直角坐标系中，任意一点P的坐标为（x，y，z）。
这意味着点P在x轴上的坐标为x，在y轴上的坐标为y，在z轴上的坐标为z。
点P到原点的距离可以由勾股定理计算：距离= √(x² + y² + z²)四、向量和运算在空间直角坐标系中，向量可以用其起点和终点的坐标差来表示。
例如，向量V可以表示为V = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)，其中(x1, y1, z1)为起点坐标，(x2, y2, z2)为终点坐标。
向量的加法和减法可以分别通过坐标的相加和相减进行计算。
例如，向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)的加法结果为A + B = (x1 +x2, y1 + y2, z1 + z2)。
五、空间坐标系的应用空间直角坐标系在几何学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。
它可以用来描述点、线、面和三维物体的位置关系和运动状态。
空间直角坐标系及点的坐标表示完整版本
同单位长度的数轴，这 样就建立了空间直角坐
o
y
标系０－xyz． x
点Ｏ叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做
坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标
平面，分别称为xoy平面、 yoz平面、和 Zox
平面．
在空间直角坐标系中,让 右手拇指指向x轴的正方向， 食指指向y轴的正方向，若中 指指向z轴的正方向，则称这 个坐标系为右手直角坐标系．
z D'
C&A
B
Cy
z D'
A' O
xA
C' B'
Cy B
1.坐标平面内的点
xoy平面上的点表示为（x,y,0) yoz平面上的点表示为（0,y,z) xoz平面上的点表示为（x,0,z)
2.坐标轴上的点
x轴上的点表示为（x，0，0） y轴上的点表示为（0，y，0）
z轴上的点表示为（0,0,z)
求下列各点的坐标
1 、 A ( 6 ,2 ,4 ) ,B ( 0 ,2 ,1 ) 的 中 点 坐 标 为 _ （_ _ 3_ ,2_ ,2.5）
2 、 A ( 3 ,1 ,4 ) ,B ( 1 ,2 ,8 ) 的 中 点 坐 标 为 _ （_ 2_ ,_ 1_ .5_ ,6）
3 、 A B 的 中 点 坐 标 为 (3 ,1 ,4 )， 其 中 B 点 坐 标 为 （ 0 ， 0 ， 0 ） ， 那 么 A 点 的 坐 标 为 _ （_ _ 6_ ,2_ ,_ 8_ ）
四、空间中点坐标公式
空 间 两 点 A(x1,y1,z1)B(x2,y2,z2)的 中 点 坐 标 为 (x1+x2,y1+y2,z1+z2)
222
例 2 ： A ( 1 ,2 ,4 ) ,B ( 0 ,2 ,5 ) 的 中 点 坐 标 为 （ 1 ， 2 ， 9 ） 22
空间各种直角坐标系
本篇学习了空间直角坐标系、大地坐标系、平面坐标系、高斯平面直角坐标系。
这个个坐标系有时很容易弄混淆！（一）空间直角坐标系空间直角坐标系的坐标原点位于参考椭球的中心，Z轴指向参考椭球的北极，X轴指向起始子午面与赤道的交点，Y轴位于赤道面上切按右手系于X轴呈90度夹角，某点中的坐标可用该点在此坐标系的各个坐标轴上的投影来表示。
空间直角坐标系可用如下图所示：（二）大地坐标系大地坐标系是采用大地纬度、经度和大地高程来描述空间位置的。
纬度是空间的点与参考椭球面的法线与赤道面的夹角；经度是空间的点与参考椭球的自转轴所在的面与参考椭球的起始子午面的夹角；大地高程是空间的点沿着参考椭球的法线方向到参考椭球面的距离。
地面点的高程和国家高程基准(1)绝对高程。
地面点沿垂线方向至大地水准面的距离称为绝对高程或称海拔。
过去我国采用青岛验潮站(tide gauge station)1950～1956年观测成果求得的黄海平均海水面作为高程的零点，称为“1956年黄海高程系”(Huanghai height system1956水准原点高程为72.289m)。
后经复查，发现该高程系的验潮资料时间过短，准确性较差，改用青岛验潮站1950～1979年的观测资料重新推算，并命名为“1985年国家高程基准”（Chinese height datum 1985）。
国家水准原点(leveling origin高程为72.260m)设于青岛市观象山附近，作为我国高程测量的依据。
它的高程值是以“1985年国家高程基准”所确定的平均海水面为零点测算而得。
在使用原“1956年黄海高程系”的高程成果时，应注意将其换算为新的高程基准系统。
(2)相对高程。
地面点沿铅垂线方向至任意假定的水准面的距离称为该点的相对高程，亦称假定高程。
在图l—5中，地面点A和B的相对高程分别为H'A和H'B。
(3)高差。
地面上任意两点的高程(绝对高程或相对高程)之差称为高差。
空间直角坐标系与空间直角坐标的表示
空间直角坐标系与空间直角坐标的表示在数学中，空间直角坐标系是一种用于描述三维空间中点位置的坐标系统。
它基于三个相互垂直的坐标轴，通常用x、y和z来表示，这三条坐标轴将空间划分为三个相互垂直的平面。
本文将介绍空间直角坐标系以及如何使用坐标系表示三维空间中的点。
一、空间直角坐标系的定义与特点空间直角坐标系是由三个相互垂直的坐标轴构成的。
通常情况下，我们将这三个坐标轴分别命名为x轴、y轴和z轴。
这三个坐标轴在空间中相交于一个点，这个点被称为坐标原点（0,0,0）。
x轴与y轴的交点定义为平面上的原点（0,0），x轴正方向与y轴正方向的夹角定义为正方向，即逆时针方向。
空间直角坐标系的特点如下：1. 三个坐标轴互相垂直，且共面，形成一个立方体。
2. 原点坐标为（0,0,0），表示三个坐标轴的交点。
3. 经过原点的平面称为底面，垂直于z轴的平面称为水平面。
这两个平面与坐标轴固定相对。
二、空间直角坐标的表示方法在空间直角坐标系中，每个点都可以表示为一个有序的三元组(x,y,z)。
根据点在坐标系中的位置，可以确定这个三元组的值。
以空间中的点P为例，假设它的坐标为(x,y,z)。
x表示点P到yoz平面的有向距离，当点P在x轴的负方向时，x值为负；y表示点P到xoz平面的有向距离，当点P在y轴的负方向时，y值为负；z表示点P 到xoy平面的有向距离，当点P在z轴的负方向时，z值为负。
在表示一个点的坐标过程中，我们需要关注一些特殊情况：1. 点在坐标轴上：当点P在x轴上时，其坐标为(0,y,z)；当点P在y 轴上时，其坐标为(x,0,z)；当点P在z轴上时，其坐标为(x,y,0)。
2. 坐标值为负数：当点P位于坐标轴的负方向时，对应坐标值为负数。
3. 特殊位置：坐标原点处的点坐标为(0,0,0)，表示坐标轴交点。
使用空间直角坐标系的表示方法，我们可以清楚地描述三维空间中的点的位置关系。
这对于几何图形的表示、运动的研究以及计算机图形学等领域都具有重要的意义。
空间直角坐标系
3.数量积不满足消去律
1.下列命题成立吗?
①若 a b a c ,则 b c
②若 a b k
,则 a
k b
③ ( a b) c a (b c )
2 ,ab 2 , 2. 已知 a 2 2 , b 2 135 则 a 与b 的夹角大小为_____.
角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、
DC的中点。求下列向量的数量积：
A F E D G C
(1) AB AC;(2) AD BD; (3)GF AC ;(4) EF BC.
4.如图，在空间四边形 ABCD 中，B AB 2 ， BC 3 ， BD 2 3 ， CD 3 ， ABD 30 ， ABC 60 ， 求 AB 与 CD 的夹角的余弦值
D' A' O B' z C'
A C 与 D B 相交于点P
写出点P的坐标。
C y x A
B
中点坐标公式
x1 x2 y1 y2 平面：P1 P2 的中点 ( , ) 2 2
类比
猜想
x1 x2 y1 y2 z1 z2 空间：P1 P2 的中点 ( , , ) 2 2 2
3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任 1 1 意一点O， OM xOA ＋ OB ＋ OC ,则x 3 3 的值为： D
A. 1
B. 0
C. 3
4.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点 O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？ 2 1 2 (1) OP OA OB OC ; 5 5 5
预备知识
数轴Ox上的点M
M x
空间直角坐标系
空间直角坐标系空间直角坐标系是在空间中用直角坐标来表示点的位置的一种坐标系。
它由三个相互垂直的坐标轴构成，分别为x轴、y轴和z轴。
这三个坐标轴通过原点O相交，并按照右手定则确定相互之间的正负方向。
在空间直角坐标系中，每个点P的位置可以用一个有序三元组(x, y, z)来表示。
其中，x表示点P在x轴上的投影长度，y表示点P在y轴上的投影长度，z表示点P在z轴上的投影长度。
这样，我们可以通过三个有序数来确定空间中的一个点的位置。
在空间直角坐标系中，各坐标轴之间的单位长度相等，且x轴与y轴在平面上呈直角，x轴与z轴在另一个平面上也呈直角，y轴与z轴在第三个平面上也呈直角。
这样，我们可以根据坐标轴的正负方向来确定点所在的象限和坐标轴。
空间直角坐标系在几何学、物理学、工程学等学科中广泛应用。
通过直角坐标系，我们可以描述和计算空间中的点、线、面、体等几何对象的位置和性质。
例如，在几何学中，可以通过坐标系方程来表示和研究直线、平面、球面等几何图形；在物理学中，可以利用坐标系对物体的运动、力学性质等进行描述和分析；在工程学中，可以利用坐标系来进行空间设计和布局等。
在空间直角坐标系中，我们还可以进行坐标变换、距离计算、角度计算、曲线方程的表示等操作。
通过坐标变换，我们可以将一个点在一个直角坐标系中的坐标转换到另一个直角坐标系中的坐标。
距离计算可以通过坐标差的运算来求得两点之间的距离。
角度计算可以通过向量的数量积来求得两个向量之间的夹角。
曲线方程的表示可以将曲线上的点的坐标表示为关于一个或多个变量的函数形式。
综上所述，空间直角坐标系是一种用于在空间中表示点位置的坐标系。
它通过三个相互垂直的轴和坐标的正负方向来确定点的位置。
空间直角坐标系在几何学、物理学和工程学等学科中都有广泛的应用，通过坐标系可以进行坐标变换、距离计算、角度计算和曲线方程的表示等操作。
空间直角坐标系
即 (0 2) ( y 0) (0 1)
2 2 2
(0 1) ( y 1) (0 3) ，
2 2 2
解此方程得 y= –3，
因此所求点为M(0,–3,0).
例3 试判定以A(4,1,9)，B(10,–1,6)，C(2,4,3)为顶点 的三角形ABC的几何特性. 解 由空间两点间距离公式有
第二卦限 x<0,y>0,z>0， 第三卦限 x<0,y<0,z>0， 第四卦限 x>0,y<0,z>0，
第五卦限 x>0,y>0,z<0，
第六卦限 x<0,y>0,z<0， 第七卦限 x<0,y<0,z<0， 第八卦限 x>0,y<0,z<0.
坐标轴上和坐标面上的点，其坐标各有一定的 特征： x轴上点的坐标为(x,0,0)， y轴上点的坐标为(0,y,0)， z轴上点的坐标为(0,0,z)，
Oxy面上点的坐标为(x,y,0)， Oyz面上点的坐标为(0,y,z)， Ozx面上点的坐标为(x,0,z)，
原点O坐标为(0Biblioteka 0,0).二、空间两点间的距离
设M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2)为空间两点.过点M1 ，M2
各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面，这六个平面
围成一个以M1 M2为对角线的长方体.由勾股定理可得
M 1M 2 | ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z 2 z1 ) , |
2 2 2
因而
| M 1 M 2 | ( x2 x1 ) ( y 2 y1 ) ( z 2 z1 )
空间直角坐标系知识点
空间直角坐标系知识点空间直角坐标系是我们在学习数学、物理等科学领域常常遇到的一个重要概念。
它是一种表示三维空间中点位置的方法，通过三个相互垂直的坐标轴来确定点的位置。
本文将介绍空间直角坐标系的基本概念、坐标轴的方向以及一些常见的知识点。
一、空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系是由三个互相垂直的坐标轴构成的。
我们可以将这三个坐标轴分别标记为X轴、Y轴和Z轴。
在空间直角坐标系中，任意一个点的位置可以通过它在每一个坐标轴上的投影来确定。
在空间直角坐标系中，我们通常用（x，y，z）来表示一个点的坐标，其中x代表该点在X轴上的位置，y代表该点在Y轴上的位置，z代表该点在Z轴上的位置。
这三个坐标分别是实数。
二、坐标轴的方向在空间直角坐标系中，坐标轴的方向是固定的。
X轴的正方向为从左向右，Y轴的正方向为从下向上，Z轴的正方向为从后向前。
这个规定是为了统一表示、计算和解析几何的方向。
需要注意的是，不同的学科、领域可能对坐标轴的方向有所不同。
在一些物理学或工程学的问题中，X轴的正方向可能定义为从右向左，Y轴的正方向可能定义为从上向下，Z轴的正方向可能定义为从前向后。
因此，在应用空间直角坐标系时，我们需要根据具体问题确定坐标轴的方向。
三、常见的空间直角坐标系知识点1. 距离公式：在空间直角坐标系中，两点之间的距离可以通过勾股定理计算。
设两点分别为A（x1，y1，z1）和B（x2，y2，z2），则AB的距离为√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)。
2. 坐标轴的平面：由X轴和Y轴组成的平面叫做XY平面，由X轴和Z轴组成的平面叫做XZ平面，由Y轴和Z轴组成的平面叫做YZ平面。
3. 坐标轴上的投影：在空间直角坐标系中，一个点在某个坐标轴上的投影就是它在该坐标轴上的坐标。
例如，一个点的投影坐标为（x，y，0），表示该点在XY平面上。
4. 坐标轴的正向和负向：在一个坐标轴上，正向是指从原点指向无穷大的方向，负向是指从原点指向负无穷大的方向。
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解得： a 3 M点 的 坐 标 为 (0,0,3)
练习
3、如图，正方体OABC-D`A`B`C`的棱长为a， |AN|=2|CN|，|BM|=2|MC`|，求MN的长.
z D` C` B` M O
A`
C
A x
N
孔圆拱的示意图. 这个圆的圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m， 建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支 柱A2P2的高度（精确到0.01m）
第二步：通过代数运算,解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.
小结
1、空间直角坐标系的建立。
2、空间中的点。 3、对称点 。 4、特殊位置的点的坐标
小结
由特殊到一般的情况推导出空间 两点间的距离公式 空间两点间的距离公式的应用
谢谢！
2 2 2
( 2) | AB | (6 3) (0 5) (1 7) 70
2 2 2
练习
2、在Z轴上求一点M，使点M到点A(1,0,2)与点 B(1,-3,1)的距离相等.
解：设 M点 的 坐 标 为 (0,0, a ) 由 题 意 可 知 |： MA || MB | 即 ：(0 1) 2 (0 0) 2 (a 2) 2 (0 1) (0 3) (a 1)
横坐标相反， 纵坐标不变。
y
P2 (-x0 ,y0) - x0
y0
P (x0,y0) x0 x
O
P3 (-x0 , -y0) -y0
横坐标相反， 纵坐标相反。
P1 (x0 , -y0)
横坐标不变， 纵坐标相反。
1、关于轴对称
一般的P(x , y , z) 关于：
( x, y, z ) （1）x轴对称的点P1为__________;
2 2 2
z
P2(x2,y2,z2) P1(x1,y1,z1) H
O y
M
N
x
练习
1、在空间直角坐标系中，求点A、B的中点， 并求出它们之间的距离： (1) A(2,3,5) B(3,1,4) (2) A(6,0,1) B(3,5,7)
解 ： 由 两 点 间 距 离 公有 式： (1) | AB | ( 2 3) ( 3 1) (5 4) 6
空间 直角坐标系
(1) 空间直角坐标系
z D`
yOz平面
B`
C`
xOz A` 平面
O A x
C
y
xOy平面 B
三、空间直角坐标系中点的坐标
z
(x,y,z)
z
点A的坐标
A
3
A（3,4,3）
3 x
o
4
y
y
x
例1 在空间直角坐标系中，作出点（5，4，6）
6
z
（5，4，6） 1
O 5
4
1
y
x
四、对称点
x, -y, z） （3）zox平面对称的点P3为（ __________;
3、关于坐标原点对称？
练习】 在空间直角坐标系中，已知点 P(－ 4,3,5)，求点 P关于各坐标轴及坐标平面 的对称点.
解：点 点 点 点
点
点 点
P 关于原点的对称点是(4，－3，－5)； P 关于 x 轴的对称点是(－4，－3，－5)； P 关于 y 轴的对称点是(4,3，－5)； P 关于 z 轴的对称点是(4，－3,5)； P 关于 xOy 坐标平面的对称点是(－4,3，－5)； P 关于 yOz 坐标平面的对称点是(4,3,5)； P 关于 zOx 坐标平面的对称点是(－4，－3,5).
(1) 在空间直角坐标系中,任意一点 P(x,y,z)到原点的距离：
z
| OP |
x y z
2 2
2
P(x,y,z)
O
y
P`(x,y,0)
x
(1) 在空间直角坐标系中，任意两点 P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)间的距离：
| P1 P2 | ( x1 x 2 ) ( y1 y2 ) ( z1 z 2 )
P2y P
x
A
A1
O A3 A2 O
A4
B
思考1:取1m为长度单位，如何求圆拱所在圆 y 的方程？
P2 P
x2+(y+10.5)2=14.52
x A A1 A2 O A3 A4 B
思考4:利用这个圆的方程可求得点P2的纵坐 标是多少？
例二:已知内接于圆的四边形的对角线互相 垂直，求证：圆心到一边的距离等于这条边 y 所对边长的一半.
( x, y, z ) （2）y轴对称的点P2为__________;
( x, y, z ) （3）z轴对称的点P3为__________;
关于谁对称谁不变
2、关于坐标平面对称
一般的P(x , y , z) 关于：
关于谁对称 谁不变
（1）xoy平面对称的点P1为__________; （x,y,-z） （-x,y, z） （2）yoz平面对称的点P2为__________;
x O
y M的坐标如 思考1:四边形ABCD的外接圆圆心 何？ x O
思考2:如何计算圆心M到直线AD的距离 |MN|？
练习:
某圆拱桥的水面跨度20m， 拱高4m。现有一船，宽10m， 水面以上高3m。问这条船能 否从桥下通过？
课堂小结： 1.用坐标法解决几何问题的步骤： 第一步：建立适当的平面直角坐标系(用坐标和方程 表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数 问题)；