1.3 完全平方数
第二讲 完全平方数
第二讲 完全平方数定理1 完全平方数的个位数只能是0，1，4，9，6，5．逆否命题：个位数是2,3,7,8（52k ±型）的整数一定不是完全平方数．定理2 一个奇数的平方的十位数是偶数．逆否命题：定理3 如果一个完全平方数的个位数是6，那么它的十位数一定是奇数．定理4 奇数的平方仍然是奇数，并且被4除余1，偶数的平方是偶数，并且一定能被4整除． 推论１ 两个整数的平方和被4除的余数只能是0,1,2．即一个整数被4除余3，这个数一定不能表示成两个整数的平方和．推论2 两个整数的平方差被4除的余数只能是0,1,3．即一个整数被4除余2，这个数一定不能表示成两个整数的平方差．推论3 两个奇数的平方和一定不是完全平方数．定理5 凡是不能被3整除的整数的平方被3除余1，凡是3的倍数的平方一定能被3整除． 定理6 在两个相邻整数的平方之间不可能再有完全平方数．定理7 一个正整数是完全平方数的充分且必要条件是它的约数个数一定是奇数．结论：若整数a 是下列情况之一，则一定不是完全平方数：（1）个位数是2，3，7，8的数；（2）个位数和十位数都是奇数的数；（3）个位数是6，十位数是偶数的数；（4）被4除余数是2或3的数；（5）被8除余数是2，3，5，6，7的数；（6）被3除余数是2的数；（7）在相邻两个完全平方数之间的数；（8）所有约数的个数是偶数的数．例1：如果2()f x x x =+，证明方程4()()f a f b =没有正整数解a 和b ．【分析】设a 、b 是方程4()()f a f b =的正整数解，则2244a a b b +=+，22440a a b b +--=解得：a =2222121(1)b b b b b b <++<++=+，所以21b b ++不是完全平方数，则a N *∉，得证．例2：设a 与b 为任意给定的整数，试证明方程210530x ax b +++=和210530x ax b ++-=都没有整数根．【分析】求根得：1,25x a =-22553a b -±不是完全平方数，因为2225535(5)3a b a b -±=-±，而25(5)a b -的个位数字为0或5，所以25(5)3a b -±的个位数字为2,3,7,8，由定理1知22553a b -±不是不是完全平方数．例3：求证：边长和对角线都是整数的矩形的面积是6的倍数．【分析】设矩形边长为,x y ，对角线长为z ，且,,x y z N *∈，则本题即为：若整数,,x y z 满足222x y z +=，则6|xy .①首先证明,x y 中至少一个是偶数．否则，若,x y 都是奇数，则22x y +为42k +（或82k +）型数，与结论（4）（或结论（5））矛盾，故,x y 中至少一个是偶数；②下再证明,x y 中至少一个是3的倍数．否则22,x y 皆为31k +型数，22x y +为32k +型数，但2z 不可能为32k +型（由结论（6）），所以,x y 中至少一个是3的倍数．又(2,3)1=，得证． 例4：求证：没有整数a ,b ,c 满足2286a b c +-=．【分析】假设存在整数a ,b ,c 满足2286a b c +-=，即2286a b c +=+．若a ,b 均为奇数，则22a b +为82k +型数，而等式右边为86c +，矛盾；若a ,b 均为偶数，则22a b +为4的倍数，而86c +不是4的倍数，矛盾；若a ,b 一奇一偶，则22a b +为奇数，而86c +是偶数，仍然矛盾，得证．例5：求22222a b c a b ++=的所有整数解．（1）若0c =，则2222a b a b +=，可知a b b a 且，所以a b =，即有2240a b a a +=⇒=或a =a Z ∈，所以0a b c ===满足方程．（2）若0c ≠，先证明0a ≠，0b ≠．否则，若0a =，则220b c +=．所以0b c ==与0c ≠矛盾．同理，若0b =，矛盾．①若c 为奇数，显然a b 、不同为偶数，当a b 、同为奇数，由于222,,a b c 同为41k +型，则222a b c ++为43k +型，而22a b 为41k +型，矛盾．当a b 、一奇一偶，222a b c ++为42k +型，22a b 为4k 型，矛盾．故若c 为奇数，方程无整数解．②若c 为偶数，当a b 、同为奇数，222a b c ++为42k +型，22a b 为41k +型，矛盾．当a b 、一奇一偶，222a b c ++为41k +型，22a b 为4k 型，矛盾．当a b 、同为偶数，则a b c 、、全为偶，不妨设2m a α=⋅，2n b β=⋅，2t c γ=⋅，其中αβγ、、为奇数，*m n t N ∈、、，于是22222222222222m n t m n αβγαβ+⋅+⋅+⋅=⋅⋅首先不可能有m n t ==，否则222222222()2(2)m m m αβγαβ++=⋅⋅，222αβγ++=2222m αβ⋅⋅，左奇右偶，矛盾．所以m n t 、、不可能全相等． 下证m 不可能是m n t 、、中最小的，否则两边同除以2m，得 22222n m αβ-+⋅+22222222t m n γαβ-⋅=⋅⋅，左奇右偶，矛盾．同理，n 不可能是m n t 、、中最小的．故t 最小，但222222222222222m t n t m n t αβγαβ--+-++=，仍有左奇右偶，矛盾． 例6：求一个三位数，使它等于2n ，并且各位数字之积等于1n -．设210010A n a b c ==++，其中,,a b c 为0,1,2, ,9中的某个数字，且0,2,3,7,8a c ≠≠．由条件，有：1abc n =-，显然0c ≠，否则1n =，A 不是三位数．若c 为偶数，则1abc n =-为偶数，n 为奇数，2n 也为奇数，矛盾．所以 1,9,5c =，下面只需在三位完全平方数中逐一筛查，得361A =．例7：求证：任意六个连续正整数的积不可能是一个整数的立方．【分析】首先证明对任意7n ≥且n N ∈，有33(3)(4)(6)(4)n n n n n +<++<+ 3(4)(6)(3)n n n n ++-+23270n n =-->，3(4)(4)(6)n n n n +-++22(1232)n n =++2(4)(8)0n n =++>设相邻6个正整数为,1,2,3,4,5a a a a a a +++++，则(1)(2)(3)(4)(5)a a a a a a +++++[(5)][(1)(4)][(2)(3)]a a a a a a =+++++222(5)(54)(56)a a a a a a =+++++.设25n a a =+，则6n ≥.当6n =时，61012720⨯⨯=不是一个整数的立方；当7n ≥时，由引理可知2322223(53)(5)(54)(56)(54)a a a a a a a a a a ++<+++++<++，而相邻两个立方数之间不可能有完全立方数，得证.※例8：求使23m n +为完全平方数的所有正整数m 、n ．【分析】设223m n x =+，则2x 必为奇数，且不能被3整除，于是2x 为31k +型，则2m也31k + 为型．当m 为奇数时，设21m t =+，则2122242(31)m t t t +==⋅=⋅+，由二项式定理知：(31)t +被3除余1．所以2m 为32k +型，矛盾．从而m 为偶数，设2m s =，则 2223s n x +=，因为2x 被4除余1，而242s ．所以3n 被4除余1．若n 为奇数，设21n k =+，则213393(81)k k k +=⋅=+，因为(81)k k +为4+1型．所以213k +为43k +型 ，矛盾．故n 为偶数，设2n q =，则22223s q x +=，22(3)(3)s q q x x =+-，所以3q x +与3q x -都是2 的幕的形式．设32q a x +=，则232q s a x --=，解得：121322q a s a ---=-，左奇，所以212121021s a s a s a --=⇒--=⇒=+，12232121q a s --=-=-，所以22231s q -=+，若q 为奇数.2212231(31)(33+1)s q q q ---=+=+-+ ……，242s -∴=1233q q ---+……1+，若1q >，上或右偶右奇，矛盾，1q ∴=，2421s -∴=，2,3,24s a m s ====，22n q ==，即422235+=课后练习：1．证明125n +型的数不可能是完全平方数．2．证明(1)n n +不是完全平方数．3．当22d n （表示d 整除22n ），n 和d 是正整数时，求证2n d +不是完全平方数．4．求证：任意相邻的四个正整数之积不是完全平方数．5．证明对所有正整数n ，22n n ++不可能被15整除．6．求证：两位或两位以上的平方数，至少含有两个不同的数字．7．求证：对于数31n N =+（1）当n 为偶数时，N 能被2整除；（2）当n 为奇数时，N 能被22整除；（3）不论n 为奇数还是偶数，它不能被2的更高次幂整除．8．求证：对任意的正整数n 、k ，622411k k nn ++不是完全平方数． ※9．求证：若整数a ，b ，c 满足222a b c +=，则a ，b ，c 至少有一个是5的倍数．※10．求证：相邻四个正整数的四次幂的和不可能是另一个正整数的四次幂．※11．已知a ，b 为正整数，当22a b +被a b +除时，所得的商为q ，余数为r ，求所有的正整数a 和b ，使得21977q r +=．《完全平方数》课后练习参考答案1．因为1253(41)2n n +=++，而32k +型的数不可能是完全平方数．2．由于222221(1)n n n n n n <+<++=+，所以2(1)n n n n +=+不是完全平方数．3．由于22d n ，则22n md =，其中m 是整数．若2n d +是完全平方数，设22n d x +=，则22222m n m d m x +=，222222m n n m m x +=，2222(2)n m m m x +=．如果上式成立，22m m +应为完全平方数，然而2222(1)m m m m <+<+，所以22m m +不可能是完全平方数，于是产生矛盾．4．设相邻四个整数为m ，1m +，2m +，3m +，则(1)(2)(3)A m m m m =+++ 22(31)1m m =++-．因为2222(3)(31)m m A m m +<<++，所以A 不是完全平方数．5．假定22n n ++能被15整除，设2215n n k ++=，22150n n k ++-=，n =607k -的个位数是3，所以607k -不是完全平方数，所以n 不可能是整数．6．由于完全平方数的个位数只能是0，1，4，9，6，5．（1）若平方数的个位数是1，5，9，则它的十位数是偶数，显然有两位数字不同；（2）若平方数的个位数是6，则它的十位数是奇数，也是两位数字不同；（3）若平方数的个位数是0，若它的十位数不是0，则已有两位数字不同，若它的十位数是0，则百位，千位，…至少有一位不是0，否则与已知二位或二位以上数字相矛盾；（4）若平方数的个位数字是4，它的十位数是偶数．若十位数不是4，则已有两位数字不同；若十位数字是4，而百位，千位，…有一位不是4，则也有两位数字不同．若各位数字都是4，则4444111=⨯ ．由于11…1不是完全平方数（否则，若是完全平方数，由位数是1，十位数应是偶数，这是不可能的），而4是完全平方数，显然它们的积4111444⨯= 不是完全平方数．由（1）（2）（3）（4）可知，两位或两位以上的完全平方数一定有两个数字不同．7．由于3n 是奇数，而任何奇数的平方被8除1．（1）当n 为偶数时，设2n m =，由于223131(3)1(81)1n m m M +=+=+=++，其中M 是整数．于是312(41)n M +=+．所以n 为偶数时，31n +能被2整除；（2）当n 为奇数时，设21n m =+，由于2123133313(81)1n m m a M ++=+=⋅+=++ 4(61)M =+，所以n 为奇数时，31n +能被242=整除；（3）由（1）（2），41M +和61M +都是奇数，所以31n +不可能被2的更高次幂整除．8．设2k t n =，设原式为A ，则32411A t t =++22(2)92t t =+++，若t 能被3整除，则22(2)t t +能被3整除，于是A 为32m +型．若t 不能被3整除，则22t +能被3整除，于是A 也为32m +型．因为32m +型的数不可能是完全平方数，所以A 不是完全平方数．9．首先证明一个不能被5整除的整数的平方一定是51k ±型．这是因为一个不能被5整除的整数可表为51m ±，52m ±型．而22(51)5(52)1m m m ±=±+，22(52)5(541)1m m m ±=±+-．下面证明本题．假定a ，b ，c 中任何一个都不是5的倍数，则2a ，2b ，2c 一定都是51k ±型．（1）若2a 和2b 都是51k +型或都是51k -型，则222a b c +=是52k ±型．但能被5整除的数的平方为5k 型，不能被5整除的数的平方为51k ±，于是2c 不可能为52k ±型，即产生矛盾；（2）若2a 和2b 中一个是51k +型，另一个是51k -型，则22a b +是5k 型，此时c 能被5整除，与假定不符．所以a ，b ，c ，中至少有一个是5的倍数．10．注意到奇数的平方为41k +型，则奇数的四次方也为41k +型，而偶数的四次方为4k 型． 由于相邻四个整数的四次幂的和是两个奇数和两个偶数的四次幂的和，因而是42k +型；但42k +型的数不可能是一个整数的四次幂．11．由0r ≥及21977q r +=知21977q ≤，44.4q ≤=…，这样q 和r 的取值只能是(44,41)，(43,128)，(42,213)，…另一方面：22()a b a b q r +=++，r a b <+， 则：222222()()11()2()2()22a b a b a b a b r a b a b a b +++=≥=+>+++．于是12q r >或112q r >-． 而43q ≤时，128r ≥，1632r q -≥>，所以不可能有43q ≤． 这样q 和r 的取值只能是44q =，41r =．此时有等式2244()41a b a b +=++，配方得 22(22)(22)1009a b -+-=．设22(22)x a =-，22(22)y b =-，则有221009x y +=．由于31.7y ≤= 以及2x 的个位数是0，1，4，9，6，5，从而2y 的个位数只是9，8，5，0，3，4．考虑到2y 是完全平方数，所以它的个位数只能是9，5，0，4．由于2x 和2y 在221009x y +=中的对称性，所以2x 和2y 的个位都不可能是1，6．这样x ，y 只能是0，2，3，5，7，8，10，12，13，15，17，18，20，22，23，25，27，28，30． 对应的2x 是0，4，9，25，49，64，100，144，169，225，289，324，400，484，529，625，729，784，900．由221009y x =-可取得相应的2y 值为1009，1005，1000，984，960，945，909，865，840，784，720，685，609，525，480，384，280，225，109．再考虑2x 和2y 的对称性，只能是上面两组数中共有的数才有可能满足221009x y +=，这种数只有784，225．于是22784225x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，22225784x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即22(22)784(22)225a b ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，22(22)225(22)784a b ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 注意到a 和b 是正整数，解得：1 150 37a b =⎧⎨=⎩，22507ab=⎧⎨=⎩，333750ab=⎧⎨=⎩，44750ab=⎧⎨=⎩．。
第九讲____完全平方数
第九讲 完全平方数完全平方数是数论中的一个重点知识，也是各大杯赛中常考的一个知识点。
这一讲学员需要掌握的主要是完全平方数的性质及灵活运用。
一、完全平方数的定义把一个自然数平方后所得到的数叫做完全平方数或平方数。
二、常用完全平方数表三、完全平方数性质1、平方数的尾数特征（通过列表的观察可得）性质1：完全平方数的个位只可能是0,1,4,5,6,9。
性质2：如果一个自然数介于两个连续的平方数之间，则这个数一定不是完全平方数。
性质3：若一个平方数的个位是6，则十位是奇数；若一个平方数的个位是0 若一个平方数的个位是52、平方数的余数特征 性质4：完全平方数除以3的余数只能是0、1。
完全平方数除以4的余数只能是0、1。
完全平方数除以8的余数只能是0、1、4。
完全平方数除以16的余数只能是0、1、43、平方数的因数特征性质5 性质6: 完全平方数的因数有奇数个。
4、平方数的差特征性质7：平方差公式： , 其中 和 的奇偶性相同。
四、完全平方数性质的灵活运用1、平方数的基础练习（1）不超过2010的最大的完全平方数是多少？估算 ， ，所以应该在40-50之间， ，所以不超过2010的最大的平方数应该是（2）一个平方数，它的最后三位数字相同但不为0，则该数最小是多少？性质1，个位只能是1,4,5,6,9，所以最小的应该是111,444,555,666,999，但用余数特称有都被淘汰所以最小只能是1111,1444,…，最后验证得到注：在这7个性质中5,6,7是各大杯赛的常考点， 性质1-4主要是用于判断一个数是否为平方数。
2、平方数的例题讲解例1、分析：肯定是发错了。
作业本的总数量如果是个完全平方数的话由性质1可知，平方数的个位只能是0、1、4、5、6、9，所以除以5的余数只能是0、1、4，而题每人5本最后余3本，所以不可能。
拓展练习：（1）1+1×2+1×2×3+1×2×3×4+1×2×3×4×5+1×2×3×4×5×6的结果是完全平方数吗？提示：不是，该式子的结果个位为1+2+6+4+0+0=3，（性质1）（2）我们知道：，，都是完全平方数，那么121+12321+1234321+ …+12345678987654321是不是完全平方数？提示：不是。
完全平方数
因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。 若 则
因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。 综上所述， 不可能是完全平方数。
另证
由
为奇数知，若它为完全平方数，则只能是奇数
的平方。但已证过，奇数的平方其十位数字必是偶数，而 十位上的数字为1，所以 不是完全平方数。
[例4]：试证数列49,4489,444889, 是完全平方数。 证明 = = =4× =4 × ( =36 ×( =(6 × 即 + +8 × )(9 × )2+12 × +1)2 为完全平方数。 +1 +1 +1)+8 × +1 +1
除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还 可研究完全平方数各位数字之和。例如，256它的各位数 字相加为2+5+6=13，13叫做256的各位数字和。如果再把 13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数字 的和。 下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位 数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数 字再相加，直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题： 一个数的数字和等于这个数被9除的余数。
完全平方数
(一)完全平方数的性质 一个数如果是另一个整数的完全平 方，那么我们就称这个数为完全平方数， 也叫做平方数。例如： 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169, 196,225,256,289,324,361,400,441,484,…
观察这些完全平方数，可以获得对它们的 个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。 下面我们来研究完全平方数的一些常用性质： 性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。 性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位 数字为偶数。
完全平方数的性质及应用
完全平方数的性质及应用完全平方数是指一个数字可以被另一个整数平方得到的数。
例如，4是一个完全平方数，因为2²=4。
完全平方数的性质和应用广泛，并在数学和其他领域中发挥着重要作用。
首先，完全平方数有一些基本的性质。
以下是一些关于完全平方数的重要性质：1. 完全平方数总是非负的。
一个完全平方数可以是0，也可以是一个正整数。
2. 完全平方数的平方根也是一个整数。
例如，16是一个完全平方数，其平方根为4。
这是因为4²=16。
3. 完全平方数可以通过连续奇数相加得到。
例如，1+3=4，4+5+6=16，9+11+13+15=64。
这个性质被称为“差平方数序列”。
4. 完全平方数的个位数只能是0、1、4、5、6、9。
这是因为一个数字的平方的个位数只能由它本身的个位数决定。
5. 完全平方数除以4的余数只能是0或1。
这是因为一个数字除以4的余数只能是0、1、2、3，而一个完全平方数除以4的余数只会是0或1。
6. 完全平方数的个位数字是0、1、4、5、6、9以外的数字时，其十位数也是个位数的平方根。
完全平方数的应用非常广泛，以下是其中一些重要的应用：1. 质因数分解：质因数分解是将一个正整数表示为质数的乘积的过程。
完全平方数在质因数分解中起到重要作用，因为它们可以分解为两个相同的质数相乘。
例如，16=2²，36=6²。
2. 几何学：完全平方数在几何学中有许多应用。
例如，一个正方形的面积就是一个完全平方数，因为它可以表示为一条边的长度的平方。
此外，完全平方数还可以用来表示一个矩形的面积，其中长和宽都是整数。
3. 数论：完全平方数在数论中起着重要作用。
例如，费马最后定理表明，对于大于2的正整数n，不可能找到整数x、y和z使得x^n + y^n = z^n成立。
然而，如果n=2，则等式x²+ y²= z²可以有解。
这个例子显示了完全平方数在数论中的特殊性质。
完全平方数是什么
完全平方数是什么？一）完全平方数的性质一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。
下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
证明奇数必为下列五种形式之一：10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9分别平方后，得(10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1(10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9(10a+5)=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5(10a+7)=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9(10a+9)=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
证明已知=10k+6，证明k为奇数。
因为的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。
则10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6或10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6即k=10+8n+1=2(5+4n)+1或k=10+12n+3=2(5+6n)+3∴k为奇数。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
完全平方数
性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。
性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。
性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。
性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1, 16m+4,16m+9。
性质9：完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。
完全平方数一个自然数与它本身相乘，乘积叫做完全平方数，或叫做平方数．例如1×1=1，2×2=4，3×3=9，…，那么1、4、9、…就是完全平方数．完全平方数有一些有趣而且重要的性质：（1）完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9．因为任何一个完全平方数的尾数，只能等于02，12，22，32，…，92的尾数，而这些数的尾数只有0，1，4，5，6，9．（2）完全平方数的约数个数是奇数个．因为完全平方数a2，a是自然数，则a=a1×a2×a3×…×ar，a1，a2，a3，…，ar是a的质因数．尾数一定是奇数，所以a2的约数个数是奇数个．（3）一个完全平方数被3除的余数是0或1．因为一个自然数被3除的余数只能是0，1，2这3个数中的一个．如果这个自然数被3除余数是0，那么这个数的完全平方数被3除余数也是0；如果这个自然数被3除余数是1，那么这个数的完全平方数被3除的余数是12，也是1；如果这个自然数被3除余数是2，那么这个数的完全平方数被3除余数是22被3除的余数是1；所以一个完全平方数被3除的余数只能是0或1．（4）偶数的平方数能被4整除，奇数的平方被4或8除的余数是1． 因为偶数表示为2n ，n 是整数．那么偶数的平方为（2n ）2=4n 2，能被4整除．奇数表示为2n+1，n 是整数，那么奇数的平方为（2n+1）2=4n 2+4n+1=4（n+1）n+1，所以奇数的平方被4除的余数是1；又因为n+1，n 是两个连续整数，必有一个是偶数，所以4（n+1）n 能被8整除，也就是4（n+1）n+1被8除的余数是1，故奇数的平方被8除的余数是1．（5）一个完全平方数的末位数如果是0，那么它的末两位数也一定都是0． 1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，289，324，361，400．完全平方数的末位数如果是0，那么它的末两位数也一定都是0．（6）末位数是5的正整数的平方数的末两位数一定是25．这是因为，末位数是5的正整数都可以写成10a ＋5的形式(其中a 为正整数)，它的平方数是=+2)510(a 2100a.25)1(10025100++=++a a a 其中一个加数是100a(a ＋1)，它的末两位数都是0，另一个加数是25，它们的和的末两位数一定是25．例：判断1369是否为完全平方数，可作如下分析：1369如果是完全平方数，它的算术平方根一定是二位整数．又它的末位数是9，所以它的算术平方根的末位数只可能是3或7．因为160040,9003022==，而900<1369<1600，所以1369的算术平方根只可能是33或37．经计算验证得136937,10893322==．因此，1369是一个完全平方数，它的算术平方根是37．“”例：如果判断1214是否完全平方数，可以仿照前面对1369的分析，得到它的算术平方根只可能是32或38．验算得1214144438,121410243222≠=≠=，因此可以判断出1214不是完全平方数． 例：如果判断237，4323，1348等末位数是3，7，8的数是否完全平方数，则结果是显然的．因为末位是3，7，8的正整数不可能是完全平方数．另外，个位数是0而十位数不是0的数(如38060)一定不是完全平方数．下面举一个可以用完全平方数来解的例子问题 22y x +如果为正整数，则在下面的四组数值中x 和y 只能取( )Ａ．x ＝25530，y ＝29464B ．x ＝37615，y ＝26855C ．x ＝15123，y ＝32477D ．x ＝28326，y ＝28614思路启迪： 把题中所给的四组x 、y 的值分别代入22y x +进行计算，就可以得到正确答案．但这种方法运算量太大．可以用筛选法．对所给四组值分别进行分析、筛选，看哪一组数能使22y x +是完全平方数，哪些组数不能使22y x +是完全平方数．如果能使22y x +是完全平方数的只有一组，显然这一组就是正确答案．规范解法对于A ：x ＝25530，y ＝29464，,y ,x 6022的末位数是的末位数是.22是完全平方数中的一组数有可能使y x A +∴对于Ｂ：x ＝37615，y ＝26855．2222,25,25y x y x +是末两位数是的末两位数是 的末两位数是50,由于末位数是0时，只有末两位都是0时才能为完全平方数，.y ,x :C .y x B 324771512322==+∴对于为完全平方数中的一组数不可能使,.y x ,y ,x 是完全平方数的数不可能而末位数是的末位数是的末位数也是的末位数是88992222+∴ .22为完全平方数中的一组数不可能使y x C +∴对于D:x ＝28326，y ＝28614．2222,9,6y x y x +∴的末位数也是是末位数是 的末位数是8．而末位数是8的数不可能是完全平方数，.y x D 为完全平方数中的一组数不可能使22+∴根据前面对四组数的分析可知，只有(A)中的一组数有可能使22y x +是完全平方数，其余三组数都没有这个可能．而此题有且只有一个正确答案，所以应选Ａ性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
完全平方数的规律
完全平方数的规律嘿，朋友们！今天咱来唠唠完全平方数的规律，这可有意思啦！你看啊，完全平方数就像是数学世界里的小精灵，它们有着自己独特的脾气和特点呢。
就好比一个个小房子，整整齐齐地排列在那。
咱先来说说什么是完全平方数。
简单来说，就是一个整数能表示成另一个整数的平方。
比如说 4 吧，它就是 2 的平方呀，9 呢，就是 3 的平方。
这多好理解呀！那它们有啥规律呢？嘿，这规律可不少哩！比如说，完全平方数的个位数只能是 0、1、4、9 这几种情况。
你想想是不是这么回事？就好像是它们家族的标志一样。
再看看它们的增长速度，那也是很有特点的哟！一开始可能觉得不咋快，可越往后，那差距就越来越大啦。
就像跑步比赛，一开始大家都差不多，跑着跑着，差距就明显了。
还有啊，相邻的两个完全平方数之间的差距也是有规律的哦！它们之间的差值会越来越大呢。
这就好像是一级级台阶，越往上爬，台阶之间的距离越远。
咱举个例子吧，1 和 4 之间差 3，4 和 9 之间差 5，9 和 16 之间差7，是不是很神奇？这就像是大自然中的某种奇妙秩序一样。
而且哦，完全平方数在解决一些问题的时候可好用啦！就像是一把万能钥匙，能打开好多难题的锁。
你说数学是不是很有趣呀？完全平方数就这么看似简单的东西，却蕴含着这么多的奥秘和乐趣。
我们就像是探险家，在数学的海洋里遨游，不断发现这些神奇的规律。
我们的生活中也到处都有数学的影子呀，完全平方数不就是其中一个小小的例子嘛。
所以呀，可别小瞧了这些数字，它们能给我们带来很多惊喜和启发呢！我们要用心去感受，去发现它们的美。
这就是我对完全平方数规律的一些小感受，你们觉得呢？是不是也和我有一样的想法呀？。
鲁教版八年级上册数学 1.3.2用完全平方公式分解因式 课后习题重点练习课件
22．(1)实验与观察：(用“＞”“＝”或“＜”填空) 当x＝－5时，x2－2x＋2___＞_____1； 当x＝1时，x2－2x＋2___＝_____1；
(2)归纳与证明：换几个数再试试，你发现了什么？ 请写出来并证明它是正确的；
解：换数比较略，发现x2－2x＋2≥1.证明：∵x2－2x ＋2＝x2－2x＋1＋1＝(x－1)2＋1，x为任意实数时， (x－1)2≥0，∴(x－1)2＋1≥1，即x2－2x＋2≥1.
【答案】A
15．若一个长方形的面积是x3＋2x2＋x(x＞0)，且一边 长为x＋1，则其邻边长为__x_2_＋__x__．
【解析】因为x3＋2x2＋x＝x(x2＋2x＋1)＝x(x＋1)2 ＝x(x＋1)·(x＋1)，且长方形的一边长为x＋1，所 以其邻边长为x(x＋1)＝x2＋x.
16．下列式子：①－x2－xy－y2；②12a2－ab＋12b2； ③－4ab2－a2＋4b4；④4x2＋9y2－12xy；⑤3x2
【解析】利用完全平方公式把原式整理成三 个非负数的和为零的形式，得到a＝b＝c， 即可确定△ABC的形状．
解：∵(a＋b＋c)2＝3(a2＋b2＋c2)，∴a2＋b2＋c2＋ 2ab＋2bc＋2ac＝3a2＋3b2＋3c2， ∴a2＋b2－2ab＋b2＋c2－2bc＋c2＋a2－2ac＝0，即 (a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0， ∴a－b＝0，b－c＝0，c－a＝0， ∴a＝b＝c.故△ ABC 为等边三角形．
B．(3b＋a)2
C．(3b－a)2
D．(3a＋b)2
11．如图，将一个正方形分成四个部分，其面 积分别是a2，ab，ab，b2，其中a＞0，b ＞0，则原正方形的边长是( B ) A．a2＋b2 B．a＋b C．a－b D．a2－b2
数论之完全平方数
第十章数论之完全平方数概念在整数中，如果a=b2,则称a为完全平方数。
【相关公式】a 2-b 2=(a+b)(a-b )(a±b)2=a2±2ab+b21 2+22+32+,, +n2= n (n+1) (2n+1)十6【解题思路及方法】运用完全平方数的性质来解题，如：( 1 )完全平方数的尾数只能是0，1 ，4，5，6，9；( 2)在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数；( 3)完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数；( 4)若质数p 满足p | 2，那么p | a 。
例题1. 在十进制中，各位数字全由奇数组成的完全平方数共有多少个2 下列四个数中：513231 121826 122530 625681 有多少个完全平方3.证明：形如11, 111, 1111, 11111,…的数中没有完全平方数4.证明39个5和4个0组成的数，不可能是完全平方数。
5.一个自然数X 加上60,为一完全平方数。
如果加上43, 则为另一完全平方数,求X。
6.一个自然数X减去45及加上44都仍是完全平方数，求此X。
7.求一个能被180整除的最小完全平方数X。
8.一个两位数与它的反序数（个位数字与十位数字交换）的和,是一个完全平方数,求这样的两位数9.若自然数X2是一个完全平方数，则下一个完全平方数是多少10. 判断600，1234567，2209，333331 哪些是完全平方数，如果不是请说明理由。
11.两个数x、y，它们的完全平方数之差A=1986问这两个数是什么12.两个完全平方数之差为147，问这两个数是什么13.有这样的两位数，交换该数数码，所得到的两位数与原数的和是一个完全平方数。
例如：29 就是这样的两位数，29+92=121，而121 是11 的完全平方数。
14.求一个四位完全平方数n,并且它的前两位数字相同，后两位数字也相15.自然数N是一个两位数，它是一个完全平方数，且N的个位数字与十位数字也都是完全平方数，这样的自然数有几个。
如何判断一个数是不是完全平方数
如何判断一个数是不是完全平方数下面是一些关于完全平方数的数学性质，对排除完全平方数有一定的加速作用。
性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
证明奇数必为下列五种形式之一：10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9分别平方后，得(10a+1)^2=100+20a+1=20a(5a+1)+1(10a+3)^2=100+60a+9=20a(5a+3)+9(10a+5)^2=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5(10a+7)^2=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9(10a+9)^2=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
证明已知=10k+6，证明k为奇数。
因为的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。
则10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6或10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6即k=10+8n+1=2(5+4n)+1或k=10+12n+3=2(5+6n)+3∴ k为奇数。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
证明这是因为 (2k+1)=4k(k+1)+1(2k)=4性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。
证明在性质4的证明中，由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得(2k)为8n型或8n+4型的数。
完全平方知识点总结
完全平方知识点总结完全平方数具有一些特殊的性质和规律，下面我们就来详细总结一下完全平方数的知识点。
一、完全平方数的定义完全平方数是指一个数能够被另一个数整除，并且商也是一个整数，这两个数就是完全平方数。
比如4就是一个完全平方数，因为它可以被2整除，而商也是2。
二、完全平方数的性质1. 完全平方数的性质（1）完全平方数的个位数只能是0, 1, 4, 5, 6或9。
（2）如果一个数是完全平方数，那么它的个数为1、4、9、6或5。
2. 完全平方数的判定法一个数是否是完全平方数，可以通过取其个位数判断。
若个位数为1、4、9、6或5，则这个数是一个完全平方数，否则不是。
3. 完全平方数的性质（1）若一个自然数的个位数是1、4、9、6或5，则这个数是完全平方数。
（2）一个完全平方数的个位数只能是0、1、4、5、6、9。
（3）若一个数能被n(n为自然数)个连续奇数相加的和表示，那么它一定是个完全平方数。
4. 完全平方数的几何意义一个完全平方数可以表示成一个正方形的面积，这也是完全平方数的几何意义。
比如，9就可以表示成一个边长为3的正方形的面积。
5. 完全平方数的规律完全平方数的规律：一个完全平方数后面的完全平方数可以用前一个完全平方数的差来表示。
比如25是5的平方，36是25加11的平方，49是36加13的平方。
三、完全平方根的概念1. 完全平方根的定义一个数的完全平方根就是这个数的一个因数。
2. 完全平方根的性质（1）一个数的完全平方根的值一定是一个整数。
（2）一个完全平方数一定有正整数的完全平方根。
3. 完全平方根的求法求一个数的完全平方根，可以用试除法或开平方的方法进行求解。
四、完全平方数的应用1. 完全平方数在数学中的应用完全平方数在数学中有着广泛的应用，比如在因式分解中，完全平方数可以用来简化复杂的因式分解式子，简化计算。
2. 完全平方数在几何中的应用完全平方数在几何中也有着重要的应用，可以表示成一个正方形的面积，可以用来计算图形的面积等。
完全平方数和完全立方数
完全平方数和完全立方数完全平方数和完全立方数是数论中的两个重要概念。
在学习数学的过程中，我们常常会遇到这些数，因此了解它们的性质和特点非常有必要。
完全平方数指的是一个整数的平方能够整除它自身，也就是说，存在另一个整数，使得这个整数的平方等于给定的整数。
例如，4、9、16都是完全平方数，因为它们分别对应的平方根是2、3、4，而且它们的平方根是整数。
那么，完全立方数又是什么呢？完全立方数指的是一个整数的立方能够整除它自身，也就是说，存在另一个整数，使得这个整数的立方等于给定的整数。
例如，8、27、64都是完全立方数，因为它们分别对应的立方根是2、3、4，而且它们的立方根是整数。
完全平方数和完全立方数在数学中有许多有趣的性质和应用。
下面我们将从不同的角度来探讨它们。
一、完全平方数的性质和应用完全平方数有许多有趣的性质。
首先，我们来看一下完全平方数的末尾数字。
在一般情况下，完全平方数的末尾数字只能是0、1、4、5、6、9。
这是因为一个数的末尾数字，取决于它的各位数字。
其次，完全平方数在几何形状中也有应用。
我们知道，正方形的面积就是边长的平方，因此完全平方数可以表示正方形的边长。
例如，4可以表示一个边长为2的正方形，9可以表示一个边长为3的正方形。
除此之外，完全平方数还与勾股定理有密切关系。
根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
因此，我们可以利用完全平方数来构造直角三角形的边长。
例如，3、4、5构成一个直角三角形，其中5的平方等于3的平方加上4的平方。
二、完全立方数的性质和应用完全立方数也有一些有趣的性质。
首先，完全立方数的末尾数字只能是0、1、8、7。
这与完全平方数的末尾数字有所不同。
例如，8的立方是512，末尾数字是2；27的立方是19683，末尾数字是3。
这是因为立方运算会导致数字的增长非常迅速。
其次，完全立方数在物体的体积计算中有应用。
我们知道，一个物体的体积等于它的长、宽、高的乘积。
一元三次完全平方公式
一元三次完全平方公式(a+b)³=(a+b)(a+b)²=(a+b)(a²+2ab+b²)=a³+3a²b+3ab²+b³完全平方指用一个整数乘以自己例如1*1，2*2，3*3等，依此类推。
若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。
完全平方数是非负数，而一个完全平方数的项有两个。
注意不要与完全平方式所混淆。
如果一个正整数a 是某一个整数b 的平方，那么这个正整数a 叫做完全平方数。
零也可称为完全平方数。
其性质如下：（1）平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9 。
（2）任何偶数的平方一定能被4 整除；任何奇数的平方被4(或8)除余1，即被4 除余2 或3 的数一定不是完全平方数。
（3）完全平方数的个位数字是奇数时，其十位上的数字必为偶数。
完全平方数的个位数字是6 时，其十位数字必为奇数。
（4）凡个位数字是5 但末两位数字不是25 的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个0 的自然数不是完全平方数；个位数字是1，4，9 而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
（5）除1 外，一个完全平方数分解质因数后，各个质因数的指数都是偶数，如果一个数质分解后，各个指数都为偶数，那么它肯定是个平方数。
完全平方数的所有因数的总个数是奇数个。
因数个数为奇数的自然数一定是完全平方数。
扩展资料：2次完全平方式分两种：（1）完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方，例如：（2）完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方。
例如：口诀：首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央。
（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用-，后边的符号都用+）举例说明：一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
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1．3 完全平方数【知识精讲】1．定义：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数.例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,…，分析和比较这些完全平方数，可以获得对它们个位数、十位数、各位数字和等的规律性的认识.2．完全平方数的性质性质1:完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9.推论：末位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数.性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数.证明:奇数必为下列五种形式之一：10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9.分别平方后，得(10a+1)2=100 a 2+20a+1=20a (5a+1)+1，(10a+3)2=100 a 2+60a+9=20a (5a+3)+9，(10a+5)2=100 a 2+100a+25=20(5a+5a+1)+5，(10a+7)2=100 a 2+140a+49=20(5a+7a+2)+9，(10a+9)2=100 a 2+180a+81=20(5a+9a+4)+1.综上各种情形可知：奇数平方的个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数.性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数.证明:∵222(10)10020x y x xy y +=++，∴如果完全平方数2210020x xy y ++的十位数字是奇数，则2y 的十位数字是奇数，∴y =4或6，由此知2210020x xy y ++的个位数字是6.反之，若m 2=10k +6，则k 为奇数.∵m 2的个位数为6，∴m 的个位数为4或6，于是可设m =10n+4或10n+6，从而有10k+6=(10n+4)2=100n 2+10(8n +1)+6，或10k +6=(10n+6)2=100n 2+10(12n+3)+6，即k =10n 2+8n +1=2(5n 2+4n )+1，或k =10n 2+12n +3=2(5n 2+6n )+3，∴k 为奇数.推论1：如果完全平方数的十位数字是偶数，则它的个位数字一定不是6；反之，如果完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字一定是偶数.推论2：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数.推论3：如果一个数的个位数字是6，而十位数字是偶数，那么这个数一定不是完全平方数.注：一个数的十位数字是奇数，个位数字是6，这个数未必是完全平方数；一个数的十位数字是偶数，个位数字不是6，这个数也未必是完全平方数.性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1（更确切地说是8的倍数加1，即是8n+1型）.这是因为(2k)2=4k2，(2k+1)2=4k(k+1)+1.推论：形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数.性质5：完全平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1.这是因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1,3m+2.平方后，分别得(3m)2=9m2=3k，(3m+1)2=9m2+6m+1=3k+1，(3m+2)2=9m2+12m+4=3k+1.推论：形如3n+2型的整数一定不是完全平方数.性质6：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型.推论:形如5n±2型的整数一定不是完全平方数.性质7：完全平方数的各位数字之和被9除的余数只可能是0,1,4,7.证明:易知，一个数的各位数字之和被9除的余数等于这个数被9除的余数.因为一个整数被9除只能是9k,9k±1,9k±2,9k±3,9k±4这几种形式，而(9k)2=9(9k2)+0，(9k±1)2=9(9k2±2k)+1，(9k±2)2=9(9k2±4k)+4，(9k±3)2=9(9k2±6k+1)+0，(9k±4)2=9(9k2±8k+1)+7.故知所证结论成立.推论:各位数字和被9除的余数是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数.性质8：如果质数p能整除a，但不能整除ap，则a不是完全平方数.性质9：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即若n 2<k<(n +1)2,则k 一定不是完全平方数. 【应用举例】例1．一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数.解：设此自然数为x ，依题意可得x -45=m 2(1)x +44=n 2(m ,n 为自然数) (2)(2)-(1)可得:89=n 2-m 2，∴n>m .但89为质数，它的正因子只能是1与89，于是n+m =89,n-m =1.解之，得n =45，代入(2)，得x =1981.故所求的自然数是1981.例2．求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方.(1954年基辅数学竞赛试题).分析:设四个连续的整数为n -1,n ,n +1,n +2，其中n 为整数.欲证(n -1)n (n +1)(n +2)+1是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可.证明:设这四个整数之积加上1为m ，则m =(n -1)n (n +1)(n +2)+1=[n (n +1)-1]2,而n (n +1)是两个连续整数的积，所以是偶数；因而n (n +1)-1是奇数.这就证明了m 是一个奇数的平方.例3．求证：11,111,1111,… …这串数中没有完全平方数.(1972年基辅数学竞赛试题)分析:形如11…1的数若是完全平方数，必是末位为1或9的数的平方，即2(101)a +(a ∈N )或2(109)b +(N b ∈),在两端同时减去1即推出矛盾.证明:若211...1(101) (N)a a =+∈，则211...1010020 (N)a a a =+∈,即211...1102 (N)a a a =+∈.因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等.若211...1(109) (N)b b =+∈，则211...1010018080 (N)b b b =++∈,即211...110188 (N)b b b =++∈.因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等.综上所述，11…1不可能是完全平方数.另证：由11…1为奇数知，若它为完全平方数，则只能是奇数的平方.但已证过，奇数的平方其十位数字必是偶数，而十位上的数字为1，所以不是完全平方数.例4．矩形四边的长度都是小于10的整数(单位：公分)，这四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个矩形的面积.(1986年缙云杯初二数学竞赛试题)解：设矩形的边长为x ,y ，则四位数N =1100x +11y ,∵N 是完全平方数，11为质数,∴100x+y 能被11整除.又100x+y =99x+(x+y ), ∴x+y 能被11整除，而18x y +≤，∴x+y =11.∴100x+y =11(9x +1),∴9x +1是一个完全平方数，而x<10，验算知x =7满足条件. 又由x+y =11得y =4.故所求面积为28(cm 2）.例5．甲、乙两人合养了n 头羊，而每头羊的卖价又恰为n 元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去.为了平均分配，甲应该补给乙多少元?(第2届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题)解：n 头羊的总价为n 2元，由题意知n 2元中含有奇数个10元，即完全平方数的十位数字是奇数.如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6.所以，n 2的末位数字为6，即乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙2元.例6．设2392N x y =+为完全平方数，且N 不超过2392，则满足上述条件的正整数对(,)x y 共_________对. (2002年全国初中数学联赛试题)解：239223(4)N x y x y =+=+ ，23为质数，N 为不超过2392的完全平方数，∴2423(x y m m +=⋅为正整数），且22232392N m =⋅≤. ∴22239210452323m ≤=<， ∴21m =或4. 当21m =时，423x y +=，得1,2,3,4,5y =；19,15,11,7,3x =.当24m =时，得492x y +=，1,2,3,...,22y =；88,84,80,...,4x =.故共有(1,19),(2,15),(3,11)及(1,88),(2,84),...,(22,4)，即共有5+22=27对.例7.要使610222x ++为完全平方数,那么非负整数x 是________（要求写出x 的3个值）.(2001年第十六届江苏省初中数学竞赛试题)解:61032355293529222(2)222(2)22(22)22x x x ++=+⨯⨯++-=++- ， 9x ∴=. 又4610323210222222(2)222(2)22xx x x +++=+⨯⨯++-4321022(22)22x x +=++-，12x ∴=. 又661052526222222(2)222(2)22x x x x +++=+⨯⨯++-652622(22)22x x +=++-，0x ∴=. 此外，将x =1，2，3，4，5，6，7，8，10，11逐个检验可知，x =11时，6106462222(122)x x -++=++=3136=562.注：当x 为大于12的偶数时,因为6103222222(22)x x x <++<+,即66246222(2)122(12)x x x ---<++<+，所以610222x ++不可能是完全平方数.例8．把1，2，…，30这30个数分成k 个组（每个数只能在一个组中出现），使得每一个组中任意两个不同的数的和都不是完全平方数.求k 的最小值.（2006年青少年数学国际城市邀请赛个人赛试题）解：先考虑6，19，30.∵6+19=25，6+30=36，19+30=49，∴这3个数必须属于3个不同组.于是3k ≥.再把1，2，…，30这30个数分成如下3组：1{3,7,11,15,19,23,27,4,8,16,24}A =，2{1,5,9,13,17,21,25,29,6,14,18,26}A =，3{2,10,12,20,22,28,30}A =.由于完全平方数除以4的余数只能是0或1，容易验证123,,A A A 满足题设条件.【巩固练习】1．试证：数列49,4489,444889,…的每一项都是完全平方数.2．用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？3．证明：不存在x ，y ，使等式x 2＋y 2＝1995(x ，y ∈Z )成立.4．求一个四位数，使它等于它的四个数字和的四次方，并证明此数是唯一的.5．已知直角三角形的两直角边长分别为l 厘米、m 厘米，斜边长为n 厘米，且l ，m ，n 均为正整数，l 为质数.证明：2(l +m +1)是完全平方数.（1985年上海初中数学竞赛试题）6．求所有四位数m ，满足2006m <，且存在正整数n ，使得m n -为质数，mn 是一个完全平方数.（2006年青少年数学国际城市邀请赛团体赛试题）练习1．3参考答案：1．证明:44…488…89=4(11…1)×10k +8(11…1)+1=4(11…1)×(99…9+1)+8(11…1)+1=36(11…1)2+12(11…1)+1=(66…6+1)2.2．解：设由300个2和若干个0组成的数为A ，则其数字和为600.∵3︱600,∴3︱A .此数有因数3，若为完全平方数，必有9︱A ，但9†600，∴矛盾，故不可能为完全平方数.3．证明：假设有整数x ，y 存在，使x 2＋y 2＝1995成立.∵x 2，y 2被４除余数为０或１.∴x 2＋y 2被４除余数为０，１或２.又∵1995被４除余数为３.∴矛盾，假设不成立.故没有整数x ，y 存在，使x 2＋y 2＝1995成立.4．解：设符合题意的四位数为1234x a a a a =，则41234()x a a a a =+++， 41010000= 为五位数，54=625为三位数，∴1234510a a a a <+++<.经计算知，符合题意的只有2401一个.5．解：∵l 2+m 2=n 2，∴l 2=(n+m )(n-m ) .∵l 为质数，且n+m ＞n-m ＞0，∴n+m =l 2，n-m =1。