几种特殊类型函数的积分

几种特殊类型函数的积分

一、有理函数的不定积分

1.化有理函数为简单函数

两个多项式的商所表示的函数)(x R 称为有理函数，即

m

m m m m n

n n n n b x b x b x b x b a x a x a x a x a x Q x P x R ++++++++++=

=------122110122110)()()( （1） 其中n 和m 是非负整数；n a a a a ,,,,210 及m b b b b ,,,,210 都是实数，并且

0,000≠≠b a ．

当（1）式的分子多项式的次数n 小于其分母多项式的次数m ，即m n <时，称为有理真分式；当m n ≥时，称为有理假分式．

对于任一假分式，我们总可以利用多项式的除法，将它化为一个多项式和一

个真分式之和的形式．例如

1

2)1(112224

+++-=+++x x x x x x ． 多项式的积分容易求得，下面只讨论真分式的积分问题．

设有理函数（1）式中m n <，如果多项式)(x Q 在实数围能分解成一次因式和二次质因式的乘积：

μλβα)()()()()(220s rx x q px x b x a x b x Q ++++--= ．

其中s r q p b a ,,,,,,, 为实数；042<-q p ，…，042<-s r ；,,,βα μλ,, 为正整数，那末根据代数理论可知，真分式)

()

(x Q x P 总可以分解成如下部分分式之和，即

β

ααα)()()()()

(1121b x B a x A a x A a x A x Q x P -++-++-+-=-

λ

ββ)

()(21

112q px x N x M b x B b x B ++++-++-+

-

μλλλ)()(21

121222s rx x S x R q px x N x M q px x N x M ++++

++++++++++

-

s

rx x S x R s rx x S x R +++++++++-2

1

22

2)(μμμ ． （2） 其中i i i i i i S R N M B A ,,,,,,, 都是待定常数，并且这样分解时，这些常数是唯一的．

可见在实数围，任何有理真分式都可以分解成下面四类简单分式之和： （1）a x A - ， （2）

k a x A )

(- （k 是正整数，2≥k ）， （3）

q

px x B Ax +++2

（042

<-q p ）， （4）k

q px x B Ax )

(2+++ （k 是正整数，04,22

<-≥q p k ）．

2. 有理函数的不定积分

求有理函数的不定积分归结为求四类简单分式的积分．下面讨论这四类简单分式的积分．

（1）C a x A a x d a

x A dx a x A +-=--=-⎰⎰ln )(1，

（2）C a x k A a x d a x A dx a x A k k k

+-⋅--=--=---⎰⎰1)(11)()()(， （3）dx q

px x B Ax ⎰

+++2

（042<-q p ）． 将分母配方得)4()2(222

p q p x q px x -

++=++，作变量代换2

p

x u +=，则

du dx p u x =-=,2

；由于04,0422

>-<-p q q p ，记224a p q =-，于是 du a u B p

u A dx p q p x B

Ax dx q

px x B Ax ⎰

⎰⎰

++-

=-+++=

+++2

22

22)2()

4

()2( du a

u Ap B du a u Au ⎰⎰+-

++=22222

C a

u a Ap B a u A +-

++=arctan 2)ln(222 C p

q p

x p q Ap B q px x A +-+--+++=22242arctan 42)ln(2．

（4）dx q px x B Ax k

⎰

+++)

(2 (04,22<-≥q p k )．

作变量代换2

p

x u +=，并记224a p q =-，于是

⎰⎰⎰

+-

++=+++du a u Ap

B du a u Au dx q px x B Ax k k k )(2)

()(22222． 其中第一个积分

C a u k A a u d a u A du a u Au k k k ++⋅--=++=+--⎰⎰

122222222)

(1)1(2)()(2)(． 第二个积分可通过建立递推公式求得．记 ⎰+=k

k a u du I )

(22 利用分部积分法有

⎰⎰

++++=+=1222

2222)(2)()(k k

k k a u du u k a u u a u du I du a u a a u k a u u k k ⎰++-+++=1

2222222)()(2)( 12

2222)

(+-++=

k k k

kI a kI a u u ．