直观图

1．关于用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，
以下说法正确的是 A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形 B．正方形的直观图为平行四边形 C．梯形的直观图不是梯形 D．正三角形的直观图一定为等腰三角形 解析：由斜二测画法的规则可知，A、C、D不正确， ( )
B正确．
答案：B
2．画出如图所示的梯形ABCD的直观图． 解：画法：(1)如图①所示，在梯形ABCD 中,以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直 角坐标系xOy.如图②所示，画出对应的x′轴，y′轴，使
． 水平平面
(2)已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中 分别画成平行于 x′轴和 y′轴的线段． (3)已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原 1 长度不变；平行于 y 轴的线段，长度为原来的 2 .
问题：如何由画平面图形直观图过渡到画立体图形 的直观图呢？ 提示：画完水平放置的平面图形的直观图后，多画 一条表示高度的数轴z轴．
(4)成图，顺次连结A′，B′，C′，D′，并加以整理(去
掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)就得到长方体的直
观图（如图2）．
[一点通]
(1)用斜二测画法作空间图形(立体图形)的直
观图，原图形的高在直观图中长度保持不变，本题只要确
定了三棱台的上、下底面，整个直观图也就确定了． (2)若两次作底面较为繁琐时，可以先作相应的棱锥， 运算确定上底面的位置后，用平面去截取(只需作平行线)． (3)画空间图形直观图的主要步骤： ①画轴 ②画底面 ③画侧棱 ④成图．
A．2＋ 2 2＋ 2 C. 2
解析： 如图， 原平面图形是直角梯形 ABCD. AB＝2，∵B′C′＝1＋ 2. ∴BC＝1＋ 2. 1＋1＋ 2 ∴S＝ ×2＝2＋ 2. 2
答案：A
1．无论画平面图形的直观图，还是画空间图形的 直观图，都要严格按照斜二测画法．在直观图中，原来 与轴平行的线段仍然与轴平行，角的大小一般都会改 变，因此已知直观图而计算原图中的有关数据时，首先 要将直观图复原． 2．一个平面图形的面积为S，在斜二测画法下，直 2 观图的面积等于 S. 4 3．为了增强立体感，画直观图时，被挡住的部分 通常用虚线来画．
[例2]
用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm,3
cm,2 cm的长方体ABCDA′B′C′D′的直观图．
[思路点拨] 解答本题时可先确定轴，再画下底
面的直观图，画侧棱，成图．
[精解详析] (wk.baidu.com)画轴，如图（1），画x轴、y轴、z轴，
三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
图（1）
问题1：一个水平放置的平面图形，如果是正方形，那 么它的直观图还是正方形吗？ 提示：不再是正方形，是平行四边形．
问题2：一条线段在直观图中还保持同样的长度吗？
提示：不一定．有的保持长度不变，有的发生了变化．
平面图形直观图的画法
斜二测画法规则．
(1)在已知图形中建立直角坐标系xOy，画直观图时，
它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′ ＝ 45° ，它们确定的平面表示
立体图形与平面图形相比多了一个z轴，其直观图 中对应于z轴的是 z′轴 ，平面x′O′y′表示 面y′O′z′和x′O′z′表示 直观图中 和 水平 平面，平
直立 平面．平行于z轴的线段，在 平行性 长度 都不变．
斜二测画法是画平面图形和立体图形的最常用的 画法．根据斜二测画法的规则，其画法的关键是：平 行关系保持不变，平行于x轴、z轴的线段的长度不变， 平行于y轴的线段的长度变为原来的一半．
5.如右图，直观图所表示(A′C′∥O′y′，B′C′∥O′x′) 平面图形是 A．正三角形 ( )
B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形 解析：平行O′y′的还原后平行y轴，平行O′x′的还原 后平行x轴；故AC⊥BC，所以得到的平面图形为直角三角形.
答案：D
6．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直 观图是一个底角为 45° ，腰和上底均为 1 的 等腰梯形，那么原平面图形的面积是 1＋ 2 B. 2 D．1＋ 2 ( )
第 一 章 立 体 几 何 初 步
理解教材新知
知识点一
§1.2
知识点二 考点一
直 观 图
把握热点考向
考点二 考点三
应用创新演练
下面都是经典的图画与照片，反映着大自然、古今
建筑、航空航天等真实、美丽、壮观、祥和、有意义的 场景．从数学的角度看，它们都是空间图形在平面上的 反映．我们怎样利用手中的纸和笔将空间几何体画为平 面图形且不失真实感受呢？
C．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm
D．2 cm,0.25 cm,1 cm,0.8 cm
解析：根据所给长度和比例，结合斜二测画法可知，D正确. 答案：D
4．用斜二测画法画底面半径为1 cm，高为3 cm的圆锥的
直观图．
解：画法如下：
(1)过底面圆的圆心，取两条互相垂直的直线AB、CD ，
[答案] C
[一点通]
1. 还原图形的过程是画直观图的逆过程，关键是找
与x′轴，y′轴平行的直线或线段．平行于x′轴的线段长度
不变，平行于y′轴的线段还原时长度变为原来的2倍，由
此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
2．求直观图形的面积，关键是能先正确画出直观图 形，然后根据直观图形求出它的相应边的长度． 3．求原图形的面积，关键是要能够根据直观图形把 它还原成实际图形．
[一点通]
1.画水平放置的平面多边形的直观图的
关键是确定多边形的顶点位置．顶点位置可以分为两类：
一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容
易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，
这类顶点一般通过过此点作与轴平行的线段，将此点转
到与轴平行的线段上来确定． 2．要画好对应平面图形的直观图，首先应在原图 形中确定直角坐标系，然后在此基础上画出水平放置的 平面坐标系．
分别作为x、y轴，画出x′、y′轴成45°角；
(2)在x′、y′上以O′为中心，分别截取1 cm、0.5 cm，得到
A′B′、C′D′，用曲线将A′C′B′D′连起来得到椭圆O′(即为圆
O的直观图)； (3)画z′轴，在z′方向上取O′S＝3 cm，S为圆锥的顶点，连 SA′，SB′. (4)擦去辅助线，得圆锥的直观图．
为x′轴，过B′C′的中点O′与O′x′成45°角的直线为y′轴，过 A′点作A′N′∥O′x′，交y′轴于N′点，过A′点作A′M′∥O′y′， 交x′轴于M′点．连接A′O′，则A′O′⊥B′O′.在直角三角形 A′O′M′中，
3 易知 O′A′＝ 2 a，∠A′M′O′＝45° ， 3 6 ∴M′O′＝A′O′＝ 2 a，∴A′M′＝ 2 a. 如图乙，在直角坐标系中，在 x 轴上方 y 轴左侧取到 x 3 轴距离为 6a，到 y 轴距离为 2 a 的点 A，在 x 轴负半轴取 OB＝O′B′，x 轴正半轴取 OC＝O′C′，连接 AB、AC， 1 6 2 则△ABC 即为所求，显然 S△ABC＝2a× 6 a＝ 2 a .
3．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥
的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、 宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m， 若按1∶1 000的比例画出它的直观图，那么直观图中， 长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为 A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm B．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm ( )
(2)画底面，以点 O 为中点，在 x 轴上 取线段 MN，使 MN＝4 cm；在 y 轴上取 3 线段 PQ，使 PQ＝2 cm，分别过点 M 和
图（2）
N 作 y 轴的平行线，过点 P 和 Q 作 x 轴的平行线，设它 们的交点分别为 A、B、C、D，四边形 ABCD 就是长方 体的底面 ABCD. (3)画侧棱，过 A1B1C1D1 各点分别作 z 轴的平行线， 并在这些平行线上分别截取 2 cm 长的线段 AA′， BB′， CC′，DD′.
∠x′A′y′＝45°.
(2)如图①所示，过D点作DE⊥x轴，垂足为E.如图②所示， 在x′轴上取A′B′＝AB，A′E′＝AE；过E′作E′D′∥y′轴，使 1 E′D′＝ ED，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝CD. 2 (3)连接A′D′、B′C′、C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅 助线，如图③所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观 图．
[例1] 画水平放置的正五边形的直观图． [思路点拨]
[精解详析] 画法：(1)在已知正五边形ABCDE中， 取对角线BE所在的直线为x轴，取对称轴AF为y轴，画 对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
(2)以 O′为中点， x′轴上截取 B′E′＝BE， y′ 在 在 1 正半轴上取一点 A′，使 O′A′＝2OA，在 y′负半轴上 1 取一点 F′，使 O′F′＝2OF. (3)再过点 F′作 C′D′∥O′E′，且在 C′D′上 取对应点 C′，D′，使 C′F′＝CF，F′D′＝FD. (4)连接 A′B′，B′C′，D′E′，E′A′(擦去辅 助线)所得的五边形为正五边形 ABCDE 的直观图．
[例 3]
已知△ABC 的直观图△A′B′C′是边长为 ( )
a 的正三角形， 那么原△ABC 的面积为 3 2 A. 2 a 6 C. 2 a2 3 2 B. 4 a D. 6 a2
[思路点拨]
根据斜二测画法，逆用其画法，
画出原图形，再求其面积．
[精解详析]
如图甲所示为直观图，取B′C′所在直线