第7章多元函数积分学316(二重积分计算极坐标)

射线形成的网把区域 D分块(如图)此时
r ri
i i
i
i
1 2
(
ri
ri )2 i
1 2
ri2
i
(ri
ri ) 2
ri
ri i
o
ri ri i
D
i x (i ,i )
取圆周上一点(ri ,i )相对应的直角坐标为(i ,i ),则
i ri cosi ,i ri sini
n
n
算
当一些二重积分的积分区域D用直角坐标表示 比较复杂（如圆形域），或者一些函数它们的二重 积分在直角坐标系下根本无法计算时，比如：
ex2 y2 d
D:1x2 y2 4
问题
怎样计算此类积分？
在极坐标系下 , f (x, y)
f (r cos, r sin )
e e x2 y2
r2
D :1 x2 y2 4
关键是定出r ,的上下限
定的上下限：
用两条过极点的射线夹平面区域， 由两射线的倾角得到其上下限
定r的上下限：
任意作过极点的半射线与平面区域相交， 由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。
一、极坐标系下化二重积分为二次积分
n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D
f (x,
y)d
lim
0 i1
f (i ,i ) i
用一族同心圆和一族 r ri ri
D
原点，半径为a的圆周所围成的闭区域.
解 在极坐标系下
D：0 r a，0 2.
e x2 y2dxdy 02 d 0a er2 rdr (1 ea2 ).
D
由于 e x2 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角 坐标计算.
例 2 写出积分 f ( x, y)dxdy的极坐标二次积分形式，
故 lim 0 i1
f
(i ,i ) i
lim
0 i1
f (ri
cosi , ri
sini )ririi
即 f ( x, y)d f (r cos , r sin )rdrd
D
D
极坐标下的二重积分可用二次积分来计算
关键是定出r ,的上下限
在极坐标系下积分区域D的面积
rdrd . D
说明: 在极坐标下计算二重积分,一般分以下三个步骤:
例 3 计算 ( x2 y2 )dxdy，其 D 为由圆
D
x2 y2 2 y， x2 y2 4 y及直线 x 3y 0， y 3x 0 所围成的平面闭区域.
例 4 计算二重积分 sin( x2 y2 ) dxdy,
D
x2 y2
其中积分区域为D {( x, y) | 1 x2 y2 4}.
2 d
1
1
f (r cos ,r sin )rdr.
0
D
sin cos
例 3 计算 ( x2 y2 )dxdy，其 D 为由圆
D
x2 y2 2 y， x2 y2 4 y及直线 x 3y 0，
高等数学 第7章A 多元函数积分学
7.1 重积分
7.1.2 二重积分的计算(2)
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
7.1 重积分
7.1.2 二重积分的计算
极 一、极坐标系下化二重积分为二次积分
坐
标
系 下
二、极坐标系下积分区域的表示
二
重
积 三、极坐标系下计算二重积分习例1-7
分
的
计 四、概率积分公式推导
,
r
sin
)rdr
见导学解答
三、极坐标系下计算二重积分习例
例 1 计算 e x2 y2dxdy，其中 D 是由中心在
D
原点，半径为a的圆周所围成的闭区域.
例 2 写出积分 f ( x, y)dxdy的极坐标二次积分形式，
D
其中积分区域D {( x, y) | 1 x y 1 x2 , 0 x 1}.
D
其中积分区域D {( x, y) | 1 x y 1 x2 , 0 x 1}.
解
在极坐标系下
x y
r r
cos sin
x2 y2 1
所以圆方程为 r 1,
直线方程为r
1
,
sin D
:
sin
0
1
cos
2
, r
1,
cos
x y1
f ( x, y)dxdy
xo
D x
D
f
(r cos , r sin )rdrd
d
2 ( )
1 ( )
f
(
r
cos
,
r
sin
)rdr
(2)若D : 0 r ( ), ,则
r ( )
D
f (r cos , r sin )rdrd
D
o
x
d
(
0
)
f
(r
cos
,
r
sin
)rdr
(3)此时D : 0 r ( ),0 2 , 且
例5 交换积分次序，且化为极坐标下的二次积分
2a
0
dx
0
2ax x2
f
y x
dy.
例6 计算 x2 y2 4 dxdy,其中D : x2 y2 16.
D
例7 求球体x2 y2 z2 4a2被圆柱面x2 y2 2ax
(a 0)所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
例 1 计算 ex2 y2dxdy，其中 D 是由中心在
r ( )
D
o
f (r cos , r sin )rdrd
D
x
2
0
d
(
0
)
f
(r
cos
,
r
sin
)rdr
(4)此时D : 1( ) r 2( ),0 2 , 且
r 1( ) r 2( ) o
f (r cos , r sin )rdrd
D
x
2
0
d
2 ( )
1 ( )
f
(r
cos
D :
0
2
1 r 2
问题
将直角坐标系下的 f (x, y)dxdy
D
化为在极坐标系下的二重积分是什么形式？
其中, f (x, y)可化为f (r cos ,r sin ),
则 dxdy ?
D
即dσ ?(在极坐标系下)
且积分次序是怎样的形式？
将直系下的二重积分化为极系后，极系下的 二重积分仍然需要化为二次积分来计算。
(1)作出积分区域D的平面图形;
(2)从极点出发作一条射线穿过D,并按逆时针方向扫过
整个区域, 从而确定积分变量r和的范围;
D r1( ) r r2 ( )
(3)I
d
r2 ( ) f (r cos , r sin )rdr
r1 ( )
r r1( )
D
r r2 ( )
o
A
要点与步骤: (1) 用直角坐标系计算繁锁或不能计算的可以用极坐
标计算; (2) 极坐标适用于圆,圆环, 扇形区域以及被积函数含
有x2 y2等;
(3) 画区域图, 列出型区域, 写成极坐标下的二次积分.
二、极坐标系下积分区域的表示
(1)若D : 1( ) r 2( ), ,则
r 1( ) r 2( ) r 1( ) D
o
x o
r 2( )