正弦量的相量表示法-J
正弦量的相量表示法
正弦量的相量表示法
正弦量是一种重要的物理量，它被广泛用于电路和电子学中，是可以度量和测量电压或电流的一种简单的、可靠的方法。
它也被称为波格拉它。
正弦量以极坐标形式表示，它以每个周期的正弦值表示一个周期的数字。
它的特点是，它的值可以被定义为在指定的时间段内，电压或电流信号所处的极点。
正弦量的相量表示法是一种表示正弦量的计算方式，它可以将正弦量以角度为单位表示出来，而不是以极坐标表示法表示。
正弦量的相量表示法主要具有三种优点：
首先，正弦量的相量表示法比极坐标表示法更有效率、易于理解。
例如，在极坐标表示法中，每个极坐标代表一个振荡周期，这就要求用户记住每个周期的角度、大小和方向，而正弦量的相量表示法可以把每个周期的值表示为一个数字，从而使用户更加容易理解每一个振荡周期。
其次，正弦量的相量表示法比极坐标表示法更容易计算。
例如，在极坐标表示法中，需要计算每个振荡周期的极点，而正弦量的相量表示法可以直接计算每一个振荡周期的值，因此减少了计算的复杂程度。
最后，正弦量的相量表示法也可以作为数据处理或电子设备的一种实现方式，这种方式比极坐标表示法更为清晰。
此外，正弦量的相量表示法可以使用更多的计算机技术进行实现，以提高计算机对正弦量处理能力。
正弦量的相量表示法是一种高效方便的表示方式，它不仅使得表示更加清晰，而且可以明显降低计算机程序的复杂度，是电子行业用来表示正弦量的首选方式。
因此，正弦量的相量表示法应运而生，并迅速得到广泛使用。
它在电子领域的应用越来越广泛，赋予了正弦量表示技术更强的功能性和效率性，实现了正弦量表示技术的完美。
第八章相量法
b
A (a + jb)
a = ρcosϕ, b = ρsinϕ ϕ ϕ
二.复数的加减 复数的加减 虚部(+j) 虚部 已知. 已知 A = a1 + jb1 , B = a2 + jb2 A A+B 则: A±B =(a1+jb1)±(a2 + jb2) ± ± ϕ1 =(a1±a2) +j (b1±b2) O ϕ2 实部(+1) 实部 jϕ1 ,B = ρ e-jϕ2 ϕ ϕ 如果. 如果 A = ρ1e 2 B 四边形法则 可用如图表示A± 可用如图表示 ±B
O ϕ -ϕ 虚部(+j) 虚部
A=a+jb
实部(+1) 实部
-b
A*= a–jb
§8-3. 正弦量的相量表示法
复数A 一.复数 =Im ωt + ϕ的旋转矢量表示 +j 复数 任一时刻旋转矢量OA 任一时刻旋转矢量 A 在横轴的投影为: 在横轴的投影为 A ω Imcos(ωt + ϕ) ω ωt+ϕ ϕ 在纵轴的投影为: 在纵轴的投影为 Im ϕ Imsin(ωt + ϕ) ω 复数A= Imcos(ωt + ϕ)+jImsin(ωt + ϕ)O 复数 ω ω 就是旋转矢量 的代数表示 旋转矢量OA的代数表示 的代数表示. 就是旋转矢量 此复数的实部即为正弦量. 此复数的实部即为正弦量 正弦量的复数 旋转矢量表示 复数,旋转矢量 二. 正弦量的复数 旋转矢量表示 ω i=Imcos(ωt + ϕ) = Re[Imej(ωt + ϕ)] ω 式中Re[ ]是取复数实部的意思 式中 是取复数实部的意思. 是取复数实部的意思
正弦量的相量表示
(3)正弦量的相量表示
分析正弦稳态的有效方法是相量法 (Phasor method)，相量法的基础是用相 量（向量）或复数来表示正弦量的振 幅和初相。注意：其频率不变。
j 相量图
Fm sin
Fm
+1
称为：f (t)的振幅相量 0 Fm cos
相量图的另一个好处是可平行四边形法则。
可得电流的表达式为
电路与模拟电子技术
j a2
复数A的 复平面表 示
a +
0
a1 1
(2)复数运算
A=a1+ja2= aej ， B1=b1+jb2=bejφ
则： A+B =a1+b1 +j(a2+b2 ) A×B= abej(+φ)
[例3-2] 已知A=4+j3,B=10∠-60°。试求：A+B，A-B， A·B。
解：A=4+j3 =5∠36.9°, B=10∠-60°=5-j8.66 则 A+B=4+j3+5-j8.66=9-j5.66; A-B=4+j3-(5-j8.66)=-1+j11.66
参考相量：上图中假设为零相位的相量。
例 4 已 知 电 流 i1(t)=5cos(314t+60)A , i2(t)=-10sin(314t+60)A 。 写 出 它 们 的 相 量，画出相量图，并求i(t)=i1(t)+ i2(t) 。 解：
相量图如图所示。
从相量图容易看 出各正弦电压电 流的相位关系： i2(t)超前于 i1(t) 90°。
电路与模拟电子技术
正弦量的相量表示法
学习相量表示法时应注意的几个问题：
（1）相量是表示正弦量的复数，在正弦量的大写 字母上打“”表示。 （2）只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上 （3）表示正弦量的相量有两种形式：相量图和相量 式(复数式)。 (4) 相量与正弦量只存在对应关系,而不是相等关系。
[例1] 已知电压、电流、电动势为u=220 2 sin(ωt-π/6)V，i=10 2 sin(ωt+π/6)A，e=110 2 sin(ωt+π/3)V，试写出他们的相量，并作 出有效值相量图。
复数式有三种表示方法： 直角坐标式、极坐标式和指数式 i=Imsin(ωt+ψ)的相量式为
I m = I m (cos ψ + j sin ψ ) = I m ∠ψ = I m e jψ
I = I(cos ψ + j sin ψ ) = I∠ψ = Ie jψ
I m 是电流的幅值相量， I 是电流的有效值相量。
用极坐标式表示
U = 220∠
π
6
V
I = 10∠
π
6
A
E = 110∠ V 3
π
用指数式表示
E = 110e 3 V
j
π
U = 220e
j
π
6
V
I = 10e 6 V
j
π
相量图表示
小结：
1、表示正弦量的相量有相量图和相量 式两种形式。 2、同频率正弦量才可以画在同一相量 图上。
作业：见参考教材（一） 第65页3-7、3-8、3-9、3-10
解：用直角坐标式表示
I = 10C O S (
π
6
) + j1 0 s in (
π
正弦量的相量法表示法资料
u U m sin( t )
②正弦波形图示法: ③ 相量表示法。
(见右图)
0
_
t
正弦量的相量表示法 相量法
一个正弦量可以用旋转的有向线段表示。 有向线段的长度表示正弦量的幅值； 有向线段(初始位置)与横轴的夹角表示正弦量的初相位; 有向线段旋转的角速度表示正弦量的角频率。 正弦量的瞬时值由旋转的有向线段在纵轴上的投影表示。
正弦量的相量表示法
例 题 把下列电量的相量转换为瞬时值函数式。
(设f=50Hz）
(1) U 100e j 30V
(2) I (60 80 j ) A
(3) U m 20045V
解
(1)u 2U sin(2ft ) 100 2 sin(100t 30)V
6 j
极坐标式为：A r 5
B
5 6
6
+j
0
+1
复数及其运算 复数的运算
1.复数加减法运算
A1 a1 jb1 , A2 a2 jb2 则有
A1 A2 a1 a2 (b1 b2 ) j A1 A2 a1 a2 (b1 b2 ) j
例题
把下列正弦量用相量形式表示出来。 t 30)V (1)u 100sin 314tV (2)u 20 2 sin(628
(3)i 5 sin(100 t 60) A
解
(1)U m 1000V (2)U 20 30V (3) I 5 60 A
解
指数式，极坐标式。
1 3 r a 2 b2 ( )2 ( )2 1 2 2
正弦量的相量表示法
第九讲 正弦量的相量表示法一、相量法的引入1、相量法的概念：的用一个称为相量的向量或复数来表示正弦电压和电流。
2、正弦量的复数表示法：假设正弦电压为 )sin()(m ψω+=t U t u 复数的形式：ψψ∠==∠+=+=m 22Y e Y ab arctg b a bi a Y j m 复数的模：表示电压的振幅；复数的幅角：表示电压的初相。
正弦波电压的相量表示法：ψψ∠==m j m m e U U U 二、相量1、概念：在复数平面上表示正弦电压和电流的复数的方有向线段。
3-2-1 正弦电压和电流的相量2、正弦电压相量与正弦电压的关系（1）正弦电压量的实质：电压的旋转相量在坐标轴（实轴或虚轴）上的投影。
（2）电压的旋转相量：当电压相量以角速度ω沿反时针方向旋转，即为旋转相量。
实轴上的投影：)cos(m ψω+t U 属于时间函数虚轴上的投影：)sin(m ψω+t U 属于时间函数图3-2-1 旋转相量及其在实轴和虚轴上的投影（3）正弦量与相量表示法的相互关系三、实例分析【例3-2-1】正弦电流A )60314sin(5)(1︒+=t t i ， A )120314cos(10)(2︒--=t t i ，求电流相量，画出相量图，并求出i (t )=i 1(t)+i 2(t)。
解：表示正弦电流A )60314sin(5)(1︒+=t t i 的相量为A 605A e 560j m1 ∠==I用相量法分析电路时，各正弦量的瞬时表达式用正弦函数(余弦函数)表示。
将电流相量A 6051m ∠＝I 和A 15010m 2 ∠=I 画在一个复数平面上，就得到相量图3-2-2。
从相量图上容易看出各正弦电压电流的相位关系。
i m m i m u m m u m ) cos()() cos()(ψψωψψωωω∠=−→←+=∠=−→←+=I I t I t i U U t U t u A 15010A )150314sin(10 A)180********sin(10A )120314cos(10)(m 22 ∠=−→−+=+︒+-=--=I t t t t i图3-2-2 例3-2-1相量图电压电流相量：可为最大值相量，也可为有效值相量（U 及I ）。
正弦量的相量描述
《电工技术》知识点：正弦量的相量描述u U t =+ωϕ1112sin)(u U t =+ωϕ 2sin 222)(已知： =+u u u 12求：正弦量的表示法：三角函数表示 波形表示 相量表示tϕ1ϕ2u 1u 2u=U m sin(ωt +ϕ) 反映正弦量的全貌包括三个要素11222sin 2sin 2sin u U t U t U t =+++=+ωϕωϕωϕ)()()(频率不变=+++U U U U U ϕϕϕϕ(cos cos )(sin sin )1122211222幅度变化=++U U U U ϕϕϕϕϕarctansin sin cos cos 11221122相位变化u U t =+ωϕ1112sin)(u U t =+ωϕ 2sin 222)(已知： =+u u u 12求：启示：在讨论同频率正弦量时，只要知道幅度与初相位即可。
综上所述：同频率正弦量相加，其结果仍是同一频率的正弦量。
▲ 正弦量的波形图及三角函数式表示法比较直观，但用于运算很繁琐！▲相量表示法是基于复数表示正弦量的一种方法相量表示法相量图相量式（复数式）相量表示法反映正弦量两个要素相量图 1、用旋转矢量表示正弦量表示方法：yxOA U m ϕωu U t =+ωϕ2sin)(在直角坐标系中取有向线段OA OA 的长度等于正弦量的幅值OA 与水平方向的夹角等于正弦量的初相角 以正弦量的角速度逆时针方向旋转 ω为什么能表示正弦量?ω正弦量的瞬时值 旋转向量在纵轴上的投影高度ϕω t+jϕω+1U mOOU mu U t =+ωϕ2sin)(对于每一个正弦量都可以找到与其对应的旋转向量。
因此对正弦量的分析,可以用与之对应的旋转向量进行。
综上所述：在实际应用中，正弦量的大小一般采用有效值表示，其表示符号为 。
、I m. U. 把这种仅反映正弦量大小和初相位的有向线段称为相量，其图形为相量图，符号 U m. 、I.2、用复数表示正弦量---相量式+j+1oUU mϕ.A = a +jb 代数式+j+1 oAϕab rr =a 2+b 2ϕ =arctan baA = r ϕ极坐标式=+θθθecos jsin j 由欧拉公式=+++ωϕωϕU U t t cos()j sin()m m +ωϕU t em j()t =+θωϕ令 ，则+ωϕU t e m j()设一复数为 如何用复数式表示正弦量u U t =+ωϕ2sin)(=ϕωU t e e Im[2]j j =ωU t e Im[2]j =+ωϕU e t Im[])m j(=+ωϕu U t sin()m 称该复数为正弦量u 的相量式。
相量表示法
解:
+1
0
30 -60
i1 和 i2 对应的电流向量 表达式分别为
10 30 A I1 5 60 A I2
I2
I 1的长度是 I 2的二倍。
三、复数
复数的四则运算 加减运算用代数式，实部与实 部，虚部与虚部分别相加减。 乘除运算用指数式或极坐标式， 模相乘或相除，幅角相加或相减。
二、正弦量的相量表示法
一般我们研究的是同频率的正弦量， 用相量表示时,它们同以ω速度旋转,相 对位置保持不变。因此，在同一相量图 中，以t＝0时刻的相量表示正弦量。 相量的写法为:大写字母的上方加一 个“.”。
我们知道一个相量可以用复数表示， 而正弦量又可以用相量表示，因此正弦量 可以用复数表示。 １. 复数表示法： A= a+j b 代数式 j A A= r(cosψ +j sinψ ) 三角式 b 根据欧拉公式: r
这样，表示正弦电压 u U m sin t 的相量为
U e j U Um m m
为了使计算结果能直接表示正弦量的有 效值，通常使相量的模等于正弦量的有效 值，即可以表示为：
Ue j U U
注意！
（１）只有正弦量才能用相量表示；
（２）几个同频率正弦量可以画在同一 相量图上；
0
a
e j= cosψ+ j sinψ A = r e jψ 指数式 +1 A = r∠ψ 极坐标式
其中
a = r cosψ b = r sinψ
r
ψ
a b
2
2
= arctg ( b/a )
2. 正弦量的相量
一个复数的幅角等于正弦量的初相角， 复数的模等于正弦量的最大值或有效值， 该复数称为正弦量的相量.
电工电子技术基础知识点详解2-1-正弦量的相量表示法(1)
电压的有效值相量
注意:
(1) 相量只是表示正弦量，而不等于正弦量，两者只有对应关系。
？ i Imsin(ωt ψ) = Imejψ Im ψ
正弦量是时间的函数，而相量仅仅是表示正弦量的复数，两者不 能划等号！
(2) 只有正弦周期量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。 因此，只有表示正弦量的复数才能称之为相量。
三角式
r a2 b2b ψ arctan
复数的模 复数的辐角
a
A r cos ψ j r sin ψ r (cos ψ jsin ψ)
2. 正弦量的相量表示 实质：用复数表示正弦量。
+j
b
A
r
(1) 复数表示形式
O
a +1
由欧拉公式:
ej ψ ej ψ
cos ψ
,
2
可得: ej ψ cosψ jsin ψ
1.正弦量的表示方法
u
波形图
O
t
瞬时值表达式 u Umsin( t )
相量 U Uψ V
必须
重点
小写
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
正弦量的相量表示法
2. 正弦量的相量表示 实质：用复数表示正弦量 (1) 复数表示形式
设A为复数
代数式 A =a + jb
+j b
r
O
A a +1
式中: a r cos ψ b r sinψ
正弦量的相量表示法
3. 相量的两种表示形式
相量式: U Uejψ Uψ U(cos ψ jsin ψ)
相量图: 把相量在复平面中用有向线段表示出来
U1 220 20V U2 110 45V
2.2正弦量的相量表示法
正弦量的相量表示法一、正弦量的表示方法1、波形图表示法下图给出了不同初相角的正弦交流电的波形图。
2、瞬时值表达式 i (t ) = I m sin(ω t + ϕi 0)u (t ) = U m sin(ω t + ϕu 0)e (t ) = E m sin(ω t + ϕe 0)3、相量表示实质：用复数表示正弦量①正弦量用旋转有向线段表示相量法就是用相量来表示正弦量。
相量的数学基础是复数。
采用这种表示方法使得描述正弦交流电路由原来的微(积)分方程转化为代数形式的方程，大大地简化了正弦交流电路的分析与计算。
我们知道一个带有方向的线段可以表示一个矢量，下面先来看一个例子，讨论旋转有向线段与正弦量的关系。
图 正弦交流电的波形图举例 ψU U ∠=设正弦量U= U m sin(ωt +ψ)若: 有向线段长度 = Um有向线段与横轴夹角 = 初相位ψ有向线段以速度ω按逆时针方向旋转则:该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即表示相应时刻正弦量的瞬时值。
例如：在t =t 0时，U 0=U m sin(ωt 0+ψ)在t=t l 时，U 1=U m sin ；(ωt 1+ψ)正弦量可用有向线段表示，而有向线段又可用复数表示，所以正弦量可用复数来表示。
② 复数的几种表示形式在一个直角坐标系中，设：横轴为实轴，单位用+1表示；纵轴为虚轴，单位用+j 表示，则构成复数平面(又称复平面)。
图所示的有向线段A ，其复数表示式为：a ．代数式 A=α+ jba=rcosψ ，b=rsinψb ． 三角式根据欧拉公式：c ．指数式 A= re j ψd ． 极坐标式一个复数可用代数式、三角式、指数式和极坐标式四种表示形式，四者可以互相 ψr A =ψψψsin j cos e j +=可得:ab ψarctan =22b a r +=复数的模 复数的辐角 )sin j (cos sin j cos ψψr ψr ψr A +=+=,e e 2cos j j ψψψ-+=2j sin j j ψψψ--=e e转换。
正弦量的相量表示法
ψ
0
_
t
试写出表示uA=220 √2 sin314t V, uB=220 √2 sin(314t–120 ) V, uC=220 √2 sin(314t+120 ) V, 的相量，并画出相量图。
解Leabharlann 分别用有效值相量UA、 UB和UC
UC
表示uA、 uB和uC
120° U A 120°
UB
它们的相量图为：(右图)
§3-3. R、L及C的交流电路 、 及 的交流电路
在考虑电阻、电感或电容元件时，都将 它们看成是理想元件。即只考虑其主要 因素而忽略其次要因素。 交流电路与直流电路对电阻、电感或电 容的作用结果都不同。 电容对直流电路相当于开路；电感对直 流电路相当于短路。 而在交流电路中电容有充放电现象存在， 有电流通过电感有自感电动势出现而阻 碍电流变化。
§3-2. 正弦量的相量表示法
正弦量具有幅值、频率及初相位三个基 本特征量，表示一个正弦量就要将这三 三 要素表示出来。 要素 表示一个正弦量可以多种方式，这也正 是分析和计算交流电路的工具。
①三角函数表示法： u = Um sin ωt + ψ) ( ②正弦波形图示法: (见右图) u +
相量表示法。 ③ 相量表示法。
正弦量的相量表示法
第九讲 正弦量的相量表示法一、相量法的引入1、相量法的概念：的用一个称为相量的向量或复数来表示正弦电压和电流。
2、正弦量的复数表示法：假设正弦电压为 )sin()(m ψω+=t U t u 复数的形式：ψψ∠==∠+=+=m 22Y e Y ab arctgb a bi a Y j m 复数的模：表示电压的振幅；复数的幅角：表示电压的初相。
正弦波电压的相量表示法：ψψ∠==m j m m e U U U 二、相量1、概念：在复数平面上表示正弦电压和电流的复数的方有向线段。
3-2-1 正弦电压和电流的相量2、正弦电压相量与正弦电压的关系（1）正弦电压量的实质：电压的旋转相量在坐标轴（实轴或虚轴）上的投影。
（2）电压的旋转相量：当电压相量以角速度ω沿反时针方向旋转，即为旋转相量。
实轴上的投影：)cos(m ψω+t U 属于时间函数虚轴上的投影：)sin(m ψω+t U 属于时间函数图3-2-1 旋转相量及其在实轴和虚轴上的投影（3）正弦量与相量表示法的相互关系三、实例分析 【例3-2-1】正弦电流A )60314sin(5)(1︒+=t t i ， A )120314cos(10)(2︒--=t t i ，求电流相量，画出相量图，并求出i (t )=i 1(t)+i 2(t)。
解：表示正弦电流A )60314sin(5)(1︒+=t t i 的相量为A 605A e 560j m1 ∠==I用相量法分析电路时，各正弦量的瞬时表达式用正弦函数(余弦函数)表示。
将电流相量A 6051m ∠＝I 和A 15010m2 ∠=I 画在一个复数平面上，就得到相量图3-2-2。
从相量图上容易看出各正弦电压电流的相位关系。
im m i m u m m u m ) cos()() cos()(ψψωψψωωω∠=−→←+=∠=−→←+=I I t I t i U U t U t u A 15010A )150314sin(10 A)180********sin(10A )120314cos(10)(m 22 ∠=−→−+=+︒+-=--=I t t t t i图3-2-2 例3-2-1相量图 电压电流相量：可为最大值相量，也可为有效值相量（U 及I ）。
正弦量的相量表示
4.相量图
只有同频率的相量才能在 同一复平面内作相量图
例1.指出下列各表达式那些是正确的，那些 是错误的。
1) i 5 sin(t 30 ) 5e
j 30
2) I 1030
10045 100 2 sin(t 45 ) 3) U
4)
20 I 20e
5 I 2 4 6
1)
I 1 4 6
2)
i1 4 2 sin( 314t
6
)
5 i 2 4 2 sin( 314t ) 6
例4.写出电流
i1 ( t ) 5 sin(t 45 ) A, i2 ( t ) 10 2 sin(t 120 ) A
iu 1, i
角频率 有效值 初相位
I1 o
i1
i2
i 2 I2
i1+i2 i3
I t
3
i3
1
2
3
结论 同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，
所以，只需确定初相位和有效值。因此采用 正弦量 复数 变换的思想
3. 正弦量的相量表示
造一个复函数
j( t Ψ )
无物理意义
A(t ) 2 Ie 2 Icos(t Ψ ) j 2 Isin( t Ψ )
的相量形式，求解i1(t)+i2(t)。 5 I 10 120 A I 45 A 解： 2 1 2
5 I1 I 2 45 10120 2 5 (cos 45 j sin 45 ) 10(cos 120 j sin 120 ) 2 5 2 1 5 2 3 ( 10 ) j ( 10 ) 2 2 2 2 2 2 2.5 j 6.16 6.65112.1 A
电工基础049.第49课时.正弦量的相量表示
A
复数
4 2 sin (ω t 30 )A ？
瞬时值，与相量不是相等关系
有效值，表示相量要带圆点
10 60 A 2、已知 I
45 Um 220 e V？
4.已知
100 15V U
i 10 sin ( ω t 60 )A ？ 最大值，应该是10 2
(cos 30 j sin 30 )
e
j 30
所以：
i sin(t 30 ) sin(t 150 )
3、 = 2–1=90° 如： i1 =3sin(ωt +30°) i2 =4sin(ωt +120°)
正交
(1)用相量图叠加 Im 求和 Im2
4、正弦量相减 如：i1=3sin(ωt + 30°) i2=4sin(ωt + 120°) 求：i= i1–i2=? 解： i= i1 +(–i2)， 得： Im= 32+42 =5 θ=arctan (I2/I1)=53° 对i1和(–i2)求和，
(1)用相量图叠加
Im2
Im1
1 θ
Im
3）复数j的实部为0， 虚部为 1， 其极坐标式为 j=1∠90°； 4） 复数-j的实部为0， 虚部 为-1， 其极坐标式为 –j =1∠-90°。
19 0
1180
10
0
1 －90
27
＋1
一般情况下，复数的 加减运算应把复数写 成代数式。
一般情况下，复数的乘除 运算应把复数写成较为简 便的极坐标式。
（5）相量的书写方式
、 模用最大值表示 ，则用符号： U I m m
最新2.3 正弦量的相量表示法-J
有效值相量U、I 包含幅度与相位信息。 U、I 19
2、正弦量相量的书写方式
设正弦量: uU m si(ω ntψ )
用相量表示:
U Ujψ eUψ
相量的模=正弦量的有效值 相量辐角=正弦量的初相角
电压的有效值相量 20
3、
由于正弦交流电路中的电压、电 流都是同频率的正弦量，故角频率这 一共同拥有的要素在分析计算过程中 可以略去，只在结果中补上即可。这 样在分析计算过程中，只需考虑最大 值和初相两个要素。 （课本P37）
(3）指数式：由尤拉公式ejθ=cosθ+j sinθ，得
A=r ejθ (4） 极坐标式： 在电路中，复数的模和幅角通 常用更简明的方式表示
A=r∠θ
9
【补充例题】 写出1， -1， j， -j的极坐标式，
并在复平面内做出其矢量图。 （参见课本P36 下至 P37 上）
解：
1）复数1的实部为1， 虚部为0，
2）画在同一个复平面上表示相量的图 称为相量图。 （课本P37）
24
【例】写出下列相量对应的正弦量。 (见课本
P37 例2.10)
（1） U • 22 0 45V,f 5H 0 z
(2)
一般情况下，复数的加减运算应把复数写成 代数式。
12
复数的加减运算还可以用做图法进行： 用平行四边形法则与三角形法则 （参见课本P35—36）
＋j B 0
A＋B
A ＋1
平行四边形法则
＋j
A＋B
0
B
A ＋1
三角形法则(加法)
＋j
B A
0 A－B －B ＋1 三角形法则(减法)
正弦量的基本概念正弦量的相量表示法电容元件
3.旋转因子及旋转相量
相量与ejwt相乘是一个随时间变化的函数，它随时
间的推移而旋转，且旋转速度为ω。我们把相量乘
以ejwt再乘以常数 2 称为旋转相量，旋转相量在虚 轴上的投影Imsin(ωt+φi)为正旋量的瞬时值。 Imsinφi为i(t)的初始值，如图3-2-1（b）所示。
所以也可以用正弦相量来表示正旋量。
0
2T
I
Im 2
0.707Im
U
Um 2
0.707Um
Um 220 2 311V
例 3-4 一个正弦电流的初相角为60°,在T/4 时 电流的值为5A，试求该电流的有效值。
解 该正弦电流的解析式为
it I m sin wt 60 A
代入已知量有：5
Im
sin wT 4
60 A
5
Im
sin
2
3
A
则有：I
＝
m
5
sin5
/ 6
5 1
10A
2
I I m 7.07A 2
3.2 正弦量的相量表示法
复数及四则运算
1.复数 在数学中常用A=a+bi表示复数。其中a为实部, b为虚部,
i 1 称为虚单位。在电工技术中, 为区别于电流的符
号, 虚单位常用j表示。 ＋j
3
A
O
确定φ角正负的零点均指离计时起点最近的那个零点
i i1＝Imsint
i i2＝Imsin(t＋ 2)
i i3＝Imsin(t＋ 6)
i
i4＝Imsin(t－
6)
0
t 0
t 0
t 0
t
2
6
6
正弦量的相量表示
b| A| sinθ
图解法
复数运算
Im
(1)加减运算——采用代数形式
A2
若 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2
0
则 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
A1 Re
(2) 乘除运算——采用极坐标形式
若 A1=|A1| 1 ，A2=|A2| 2
则: A 1A 2A 1ej1A 2ej2A 1A 2ej(12)
等于初相位之差
规定： |j | (180°)。
• j >0， u超前ij 角，或i 落后u j 角(u 比i先到达最大值)；
u, i u i
O
wt
yuyi
j
• j <0， i 超前 uj 角，或u 滞后 i j 角,i 比 u 先到达最大值。
特殊相位关系：
j = (180o ) ，反相：
j ＝ 0， 同相：
u (t)u 1(t)u 2(t)R e( 2U •1ejwt)R e( 2U •2ejwt)
R e( 2U •1ejwt2U •2ejwt)R e( 2(U •1U •2)ejwt)
可得其相量关系为： U U 1U 2 U
故同频正弦量相加减运算变 成对应相量的相加减运算。
i1 i2 = i3
也可借助相量图计算
Im U2
U
U1
41.9
30 60
Re
首尾相接
U
Im
U2
U1
60
41.9
30
Re
2 . 正弦量的微分，积分运算
wy y i 2 I co t s i) (I I i
微分运算:
di d Re 2 Ie jw t
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•
A=r cosθ+jr sinθ
• (3）指数式：由尤拉公式ejθ=cosθ+j sinθ，得
•
A=r ejθ
• (4） 极坐标式： 在电路中，复数的模和幅角通常用更简明 的方式表示
•
A=r∠θ
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平 行 四边 形 法 则
＋j A＋B
0
B
A ＋1
三 角 形 法 则 (加 法 )
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＋j
B A
0 A－B
－B ＋ 1
三 角 形 法 则 (减 法 )
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Im Ime j i I mi
并称其为相量。
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+j ω
Im θi
O
+1
(a) 以角速度ω旋转的复数
正弦量
i Im sin(t i )
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【补充例题】 写出1， -1， j， -j的极坐标式， 并在复平面内做出其矢量图。 （参见课本P36 下至P37 上）
解：
1）复数1的实部为1， 虚部为0，
其极坐标式为1=1∠0°；
＋j
2）复数-1的实部为-1， 虚部为0，
190
并在复平面内做出其矢量图。
（参见课本P36 下至P37 上）
解：
3）复数j的实部为0， 虚部为1，
其极坐标式为 j=1∠90°；
＋j
190
4） 复数-j的实部为0， 虚部为-1，
11 8 0
其极坐标式为 –j =1∠-90°。
0
10 ＋1
（A = a + j b）
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2.3.2 正弦量的相量表示法 • 1. 旋转因子： • 把模为1，幅角为θ的复数称为旋转因子， 即ejθ=1∠ θ 。
• 取任意复数A=r1 e j1=r1∠θ1， 则A·1∠θ=r1∠(θ1+θ), 即任
意复数乘以旋转因子后， 其模不变， 幅角在原来的基础上 增加了θ， 这就相当于把该复数逆时针旋转了θ角。见图。
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复数的加减运算还可以用做图法进行： 用平行四边形法则与三角形法则 （参见课本P35—36）
＋j B 0
A＋B
A ＋1
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• 2） 复数用矢量表示 • 任意复数在复平面内还可用其对应的矢量来表示。 • 矢量的长度称为模， 用r表示； 矢量与实正半轴的夹角称
为幅角， 用θ表示。 • 模与幅角的大小决定了该复数的唯一性。
+j
b r
代数式：A=a+j b 极坐标式：A=r∠θ
正弦量的产生
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2、正弦量的相量表示法 （课本P37）
正弦电流 i= Im sin(ωt + θi )与复数Im ∠θi 是相互对应的关系，可用复数Im∠θi来表示正弦电流 i，记为：
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2） 乘除运算 •则
A=r1∠θ1, B=r2∠θ2 A·B=r1r2∠(θ1+θ2)
A B
r1 r2
(1
2)
一般情况下，复数的乘除运算应把复数写成 较为简便的极坐标式。
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• 5、
•
用一个复数表示一个正弦量的意义在于：
•
把正弦量之间的三角函数运算变成了复数
的运算，使正弦交流电路的计算问题简化
• （课本P37）
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2I sin(t i )
u Um sin(t u )
2U sin(t u )
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i Im
θi O
ωt
(b) 旋转复数在虚轴上的投影
相量
Im Imi I Ii
Um U mu
U
U 18
所以先学习复数知识
2
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2.3 正弦量的相量表示法
• 2.3.1 复数简介
• 复数定义：
• 复数可表示成 A=a+bi。 其中a为复数的实部， b复数的为虚
部，
称为虚部单位。
i 1
• 但由于在电路中I 通常表征电流强度， 因此常用j表示虚部 单位， j=
• 这样复数可表示成A=a+jb。jb称为虚数。
b
r
a r cos b r sin
0
a
+1
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2. 复数的四种表达式
• (1） 代数式:
•
A=a+jb
• (2） 三角函数式：
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2.3 正弦量的相量表示法
• 学习内容： • 1. • 2. 复数的运算 • 3. 正弦量的相量表示
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正弦量的相量表示法 实质：用复数表示正弦量
0
a
+1 (矢量图) 7
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• 由图可知， 复数用点表示法与用矢量表示法之间的换算 关系为
+j
r a2 b2
arctan b a
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• 6、 • 需要强调的是： • 1）只有同频率的正弦量，其相量才能
相互运算，才能画在同一个复平面上。
• 2）画在同一个复平面上表示相量的图 称为相量图。
• （课本P37）
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＋j A ej
r1
O
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r1
A
1 15
＋1
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如图所示,设θ=ωt是一个随时间匀速变化的角， 其角速度为ω， 复数为A=Um∠ψu， A匀速旋转后可惟一对应一正弦量： Um ∠ψu→ Um sin (ωt+ψu)
（2） i 10 2 sin (2 100)t 120 A 10 2 sin 628t 120 A
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ITSM /小ITIL 结：1、正弦波的四种表示法
i
波形图
Im t
T
瞬时值 相量图
u Um sin t
U
I
复数 符号法
U a jb U e j 26 U
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1 － 9 0
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3. 复数的四则运算 （P35）
• 1） 加减运算
•
设有两个复数分别为
• • •则
A=a1+jb1=r1∠θ1, B=a2+jb2=r2∠θ2
•
A±B=(a1±a2)+j(b1±b2)
一般情况下，复数的加减运算应把复数写成代数式。
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