中考数学教学指导：例谈求初中数学中线段最值的方法

例谈求初中数学中线段最值的方法

几何最值问题属于中考题中的热点问题，也是难点问题，其中，求线段的最值问题是近年常见的题型.下面结合一些实例谈谈解决此类问题的方法.

一、轨迹法

对于线段最小值问题，若线段的一个端点是定点，另一个端点是动点，可以考虑轨迹法，即考虑动点的轨迹.若动点的轨迹是一条直线，可以用“垂线段最短”原理解决;若动点的轨迹是圆(或一段圆弧)，可以用“圆最值模型”解决.

圆最值模型如图1, P 是⊙O 外的一点，直线PO 分别交⊙O 于点,A B ，则PA 是点P 到⊙O 上的点的最短距离, PB 是点P 到⊙O 上的点的最长距离.

证明 如图1，在⊙O 是任取一点C (不为,A B )，连结,PC OC .

,P O P C O C P O P A O A P A O C

<+=+=+Q , P A P C ∴<,

即PA 是点P 到⊙?O 上的点的最短距离.

如图2，在⊙O 是任取一点D (不为,A B ) ,连接,PD OD .

,PO OD PD PB PO OB PO OD +>=+=+Q ,

PB PD ∴>,

即PB 是点P 到⊙O 上的点的最长距离.

例1 .如图3，已知平行四边形OABC 的顶点,A C 分别在直线1x =和4x =上，O 是坐标原点，则对角线OB 长的最小值为 .

解析 如图3，设直线1x =和x 轴交于点E .作BF ⊥直线4x =点F ，因为平行四边形OABC ，所以OA 和BC 平行且相等，可得AOE ∆和CBF ∆全等，所以OE BF =，可得点B 的轨迹是直线5x =.当点B 在x 轴上时，OB ⊥直线5x =，此时OB 最小，最小值为5.

例2 .如图4,Rt ABC ∆中，,6,4,AB BC AB BC P ⊥==是ABC ∆内部的一个动点，且满足PAB PBC ∠=∠，则线段CP 长的最小值为( )

(A) 32 (B) 2 (c)

解析 根据PAB PBC ∠=∠，可得90APB ∠=︒，故点P 在以AB 为直径的圆上(如图

4).取AB 的中点,O OC 交⊙O 于点P ,根据圆最值模型知此时CP 最小.

13,52

OP AB OC =

==Q ， 所以CP 的最小值为532OC OP -=-=, 选B.

二、构造法

对于线段最大值问题，若线段的一个端点是定点，另一个端点是动点，但动点轨迹难确定，可以考虑构造法，即找一个定点，当这三点共线时，线段最大.

例3 如图5，平面直角坐标系中，已知矩形,2,1ABCD AB BC ==，点A 和B 分别在x 轴正半轴和第一象限角平分线上滑动，点C 在第一象限，求OC 的最大值.

解析 如图5，取AOB ∆外接圆的圆心I ,因为2AB =是确定的，且45AOB ∠=︒也

是确定的，所以AOB ∆外接圆是确定的.那么线段OI

BIC ∆是确定的，135,1IBC BI BC ∠=︒=，可解三角形得CI =所以当,,O I C

三点共线时，线段OC 取得最大值，即为OI CI + 三、转化法

对于线段最值问题，若线段的两个端点都是动点，可以考虑运用转化法，将它转化为求与之有关的另一条线段的最值.

例4 .如图6，在等边ABC ∆中，4AB =，点P 是BC 边上的动点，点P 关于直线,AB AC 的对称点分别为,M N ，则线段MN 长的取值范围是 .

解析 如图6，连结,,AP AM AN ，由对称可得,AP AM AN BAP MAB ==∠=∠，CAP NAC ∠=∠,所以2120MAN BAC ∠=∠=︒，所以AMN ∆是顶角为120°的等腰三

角形，可得MN ==.于是求线段MN 长的取值范围，就转化为求线段AP 长的取值范围.AP 最小为AP 垂直BC 时，最大为AB ，所以AP 的取值范围是

4

AP ≤≤，所以MN 的取值范围是6AP ≤≤ 四、函数法

当线段最值问题从几何角度很难求解的时候，可以考虑引入参数，建立函数模型，用函数法来解决.

例5 如图7，在ABC ∆中，2AB AC BC ===,点P 是AB 边上的动点(不与点,A B 重合).过点P 作//PE BC 交AC 于点E ，作P F B C ⊥于点F ，连结,EF M 是EF 上

的点，且2EM FM =，则PM 的最小值是 .

解析 由条件“2AB AC BC ===”可知ABC ∆是确定的，tan 2B =;又根据作图可知PBF ∆形状也是确定的，PF 二2BF,并且有2PF BF =.所以，分析可得PM 的大小取决于BF 的大小，所以引入参数.

设BF x =，则2PF x =,22PE x =-.

加图7，作MN PF ⊥于点N .

2EM FM =Q ,

122333MN PE x ∴==-,2433

PN PF x ==, 在Rt PMN ∆中，

222224()()333

PM x x =-+， 化简得2220116()9545

PM x =-+.

所以当15BF =时，PM