中考数学教学指导：例谈求初中数学中线段最值的方法

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中考总复习+线段最值问题的方法技巧+++讲义+2023—2024学年人教版九年级数学下册+

线段最值问题的方法技巧模型介绍：几何最值中比较常见的是线段最值与线段和差最值，主要来源于两个公理，一是两点之间线段最短，二是垂线段最短，由这两个公理衍生出一些基本定理和基本图形.常用到的定理是：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.解题思路：利用平移、对称或旋转来变换线段和点的位置，使动点变定点，或找出动点的运动轨迹( 经常在某直线或某圆周上) ，使之符合基本定理或基本图形来求线段最值或线段和差最值.类型1 平移变换方法技巧基本型平移变换线段AB平移，注意线段AB不能发生旋转，与定点或动点(一般情况下在直线上移动)之间连线组成线段和差最值，利用平行四边形的对边平行且相等来变换线段的位置.例1、如图，已知直线b‖c，点A，B分别在直线b，c 上，且AB⊥b，C，D是平面内的两点，DE‖AB，CE‖b，若AB=2，DE=6，CE=3，求DA+AB+BC的最小值.练习题1、如图，OA 是⊙O的半径，OA=3，AD⊥OA，AD=7，B是⊙O上一动点，过点B作CB‖AD，且CB=1(点C 在点B 的上方)，连接DC，求DC的最小值和最大值.2、如图，直线b‖c，且两条平行线间的距离是2，C是直线b，c外一点，且点し均且线c的距离CG=4，点A，B分别在直线b，c上，且AB与直线b所夹的锐角是45°，E是直线c上一点，EG=8，且过点E的直线EF与直线c 所夹的锐角是30°，M是EF上一点，连接AM，求BC+AM 的最小值.类型2 对称变换方法技巧基本型对称变换一个点或多个点在同一条直线上移动或在不同直线上移动，利用垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等来变换线段的位置.例1、如图，P是直线l上任意一点，A，B是直线l上方的两点，A，B两点到直线l 的距离分别是1，4即AM=1，BN=4，已知AB=5，求PA+PB的最小值.练习题1、如图，AB=4，P 为AB 的中点，顶点为P 且在AB 上方的两条射线PM，PN形成的夹，求CD的最大值. 角∠MPN=120°，C是PM 上一点，D是PN上一点，且AC=3，BD=432、如图，在矩形ABCD和矩形CEFG中，AD=2AB=6，E是DC上一点，G是BC上一点,CD=3CE，BC=2CG，M是BC上一动点，连接AM，N是AM的中点,连接ND，NF，求D N−FN 的最大值.3、问题提出（1）如图1，点A，B分别在直线l的两侧，分别过点A，B作直线l的垂线，垂足分别为M，N，AM＝2，BN＝3，MN＝5，P是直线l上一点，求PA+PB的最小值．问题探究（2）如图2，点A，B分别在直线l的同一侧，分别过点A，B作直线l的垂线，垂足分别为M，N，AM＝3，BN＝4，MN＝7，P是直线l上一点，求PA+PB的最小值．问题解决（3）如图3，某市进行河滩治理，将原来一条废弃的小河通过规划后建成一条集旅游、休闲、餐饮于一体的景点．如图，OM，ON是两条互相垂直的旅游大道，A，B是位于河中的两座休闲小岛，且岛A与OM的距离为20m，与ON的距离为30m，岛B与OM的距离为40m，与ON的距离为20m．现计划在旅游大道OM处选一点P，修建桥梁PA，PB，通往A，B两岛，并修建桥梁AB，将A，B两岛连起来，计算所修建的所有桥梁的最短长度．（结果保留根号）类型3旋转变换方法技巧基本型旋转变换通过旋转变换，把由三角形内一点发出的三条线段(星型线) 转化为两定点之间的折线(化星为折)，再利用“两点之间，线段最短”求最小值(化折为直).例1、问题提出：如图1，△ABC是边长为 1 的等边三角形，P 为△ABC 内部一点，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC 的最小值.方法分析：通过旋转，可把所求问题中的PA，PB，PC 由分散变为集中，再利用“两点之间，线段最短”求最小值.问题解决：如图2，将△BPA绕点B逆时针旋转60°至，△BP′A′，过点A′作A′E⊥CB交CB的延长线于点E，连接PP′，A′C，设A′C与AB相交于点D，易知BA′=BA=BC=1，∠A′BC=∠A′BA+∠ABC=120°，由BP′=BP，∠P′BP=60°，知△P′BP为等边三角形，因此，PB=P′P，故PA+PB+PC=P'A'+P'P+PC，当点A′，P′，P，C共线时，PA+PB+PC最小，最小值是，A′C的长，再在Rt△A'BE 和Rt△A′CE中解直角三角形，即可求出A′C的长.学以致用：(1)如图3，在△ABC 中，∠BAC=30°，AB=4，CA=3，P 为△ABC 内部一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC 的最小值为;(2)如图4，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=2√2，CA=3，P为△ABC 内部一点，连接PA，PB，PC，则√2PA+PB+PC的最小值为 .练习题【问题背景】数学活动小组在学习《确定圆的条件》时，曾遇到这样一个问题：如图1，草原上有三个放牧点，要修建一个牧民定居点，使得定居点到三个放牧点的距离相等，那么如何确定定居点的位置？（1）请用无刻度的直尺和圆规在图2中画出定居点O的位置，使点O到点A，B，C的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）【问题探索】聪明的小智在解决这个问题之后，继续提出新的问题，如图3，在平面内是否存在一点P，使点P到△ABC三个顶点的距离之和最小？通过不断探究，小智发现可以借助旋转的思想解决这个问题，如图4，把△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP'C'，连接PP'，可知△APP′为等边三角形，因此PA+PB+PC＝PP'+PB+P'C'，由两点之间，线段最短，可知PA+PB+PC的最小值即为点B，P，P′，C′共线时线段BC′的长．【类比探究】（2）如图5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点P为△ABC内一点，连接AP，BP，CP，求PA+PB+PC的最小值．【实际应用】（3）如图6，现要在矩形公园ABCD内，选择一点P，从点P铺设三条输水管道PB，PC，PE，要求PE⊥AD．若AB＝4，BC＝6，请直接写出输水管道长度的最小值．。

中考数学中的最值问题解法

中考数学中的最值问题解法在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。

下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。

一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值：典型例题：例1.（2022山东济南3分）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为【】A．21B．5C．【答案】A。

【考点】矩形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形三边关系，勾股定理。

【分析】如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，∵OD≤OE+DE，∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=DE=14555D．521AB=1。

2AD2AE212122，∴OD的最大值为：21。

故选A。

例2.（2022湖北鄂州3分）在锐角三角形ABC中，BC=42，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是▲【答案】4。

【考点】最短路线问题，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】如图，在BA上截取BE=BN，连接EM。

∵∠ABC的平分线交AC于点D，∴∠EBM=∠NBM。

在△AME与△AMN中，∵BE=BN，∠EBM=∠NBM，BM=BM，∴△BME≌△BMN（SAS）。

∴ME=MN。

九年级中考复习题——线段最值教案 (1).docx

中考复习专题————线段最值教学目标：1.在问题转化、建模过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想.2.体验数学在生活实际的广泛应用性，发展数学思维.3.掌握求线段最值的方法.教学重难点：1.利用“两点之间线段最短”和“垂线段最短”构造图形和求最值.2.图形的理解和运用.教学过程：一、引例：1.如图，在直角△AOB中，OA＝OB =32，⊙O的半径为1，P是AB边上的动点，过点P 作⊙O的一条切线PQ（Q为切点），则PQ的最小值为_______.2.如图，线段AB的长为2，C为AB上的一个动点（不与A、B重合），分别以AC、BC为直角边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，连接DE，则DE长的最小值是______.二、精讲精练.(1)轴对称系列1.(2017南通)如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为___________2：如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足1 3PAB ABCDS S∆=矩形到A、B两点距离之和PA+PB的最小值是____________3：如图，已知∠AOB =60°，OC平分∠AOB，M在OB上且OM=4，P为OC上一动点，Q 为OB上一动点，则MP+PQ的最小值是________4.如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是________________．5.如图，在△ABC中，∠A=45°，∠C=60°，AC=8，D、E、F分别是三边上的动点，则△DEF 周长的最小值为____(2)平移系列：6.如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？A BCDPOACMPQbaAB小结作业。

中考几何中“线段和的最值”问题的教学策略

中考几何中“线段和的最值”问题的教学策略一、问题产生的背景在初四总复习中，我们在教学中发现有一类求线段和差极值的题目，学生常常找不到解题的突破口，教学难度及学生掌握难度较大。

如：（中考数学选）如图，已知直线y ＝21x ＋1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线y ＝21x2＋bx ＋c 与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为(1，0)．（1）求该抛物线的解析式；（3）－MC |的值最大，求出点问题的第三问常令许多同学甚至是优等生的同学都瞠目结舌。

综观近几年的数学中考题，此类题频频出现在选择、填空、综合题中。

通过平日测试来看，此类题的失分很高，应该引起我们的重视。

二、造成学生对问题困惑的原因我们一起研究分析后，发现几何极值问题在教课书虽然没有专题讲解，但却给出了它的模型。

学生对几何极值模型的陌生，及教师在复习时对教材例习题的拓展延伸程度不够，是导致学生对这类问题困惑的根本原因。

课本中的例题与习题，都是通过筛选的题目的精华，在解题的思路和方法上具有典型性和代表性，在由知识转化为能力的过程中具有示范性和启发性．它们的解题方法和结论本身都具有广泛迁移的可能．现实教学过程中，教师对教材例题、习题开发的意识不强，在备课中不能对例题、习题进行深层次的挖掘、拓展、再创造，在授课时也往往出现一笔带过、草草了事的教学现状，根本没有很好的利用例题、习题的所潜在的价值，而教材例题、习题的开发能促使学生的学习方式由“重结论轻过程”向“过程与结果”并重的方向发展，使学生挖掘隐含问题的本质属性，从而达到“做一题，通一类，会一片”的解题境界．正如数学教育家波利亚指出的：“一个有责任性的教师穷于应付繁琐的数学内容和过量的题目，还不如适当选择某些有意义但有不太复杂的题目去帮助学生发掘题目的各个方面，在指导学生的解题过程中，提高他们的才智和解题能力．三、问题前后知识的联系：课本题目再现：鲁教版七年级教材第一册第一章第三节第轴对称的性质15页试一试：如图所示，要在公路帝修建一个蔬菜收购站，由蔬菜基地A，B向收购站运送蔬菜，收购站应建在什么地方，才能使从A,B到它的距离之各最短？本题涉及的知识不是一个简单的轴对称变换，其变化过程实际是求一类几何极值的过程，此题模式是求几何几何的典型模式。

初三数学两之间线段最短求最值四大类型

两之间线段最短求最值四大类型【专题说明】“两点之间，线段最短”是初中数学中的基本定理之一，也是人们在生活中认识到的基本事实，而对于数学中的最值问题，学生往往无从下手，其实往往就是这个基本定理的应用。

【方法技巧】模型一“一线两点”型(一动＋两定)类型一异侧线段和最小值问题问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小．【解题思路】根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB的长．连接AB交直线l 于点P，点P即为所求．类型二同侧线段和最小值问题(将军饮马模型)问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB值最小．【解题思路】将两定点同侧转化为异侧问题，同类型一即可解决．作点B关于l 的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点即为点P.类型三同侧差最大值问题问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．【解题思路】根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，当A，B，P 三点共线时，等号成立，即|PA－PB|的最大值为线段AB的长．连接AB并延长，与直线l的交点即为点P.类型四异侧差最大值问题问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．【解题思路】将异侧点转化为同侧，同类型三即可解决．模型二“一点两线”型(两动＋一定)问题：点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN周长最小．【解题思路】要使△PMN周长最小，即PM＋PN＋MN值最小．根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可．模型三“两点两线”型(两动＋两定)问题：点P，Q是∠AOB的内部两定点，在OA上找点M，在OB上找点N，使得四边形PQNM周长最小．【解题思路】要使四边形PQNM周长最小，PQ为定值，即求得PM＋MN＋NQ的最小值即可，需将线段PM，MN，NQ三条线段尽可能转化在一条直线上，因此想到作点P关于OA的对称点，点Q关于OB的对称点．【典例分析】【典例1-1】基本模型问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l同侧试确定点P的位置，使AP+BP的值最小．解题思路：一找：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB′，与直线l交于点P；二证：验证当A，P，B'三点共线时，AP+BP取得最小值．三计算．请写出【基本模型】中解题思路“二证”的过程．【典例1-2】模型演变问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l同侧，在直线l上确定点P的位置，使|P A ﹣PB|的值最大．解题思路：一找：连接AB并延长，交直线l于点P；二证：验证当A，B，P三点共线时，|P A﹣PB|取得最大值．三计算．请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程．【典例1-3】模型演变问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l的两侧，试确定点P的位置，使AP+BP 的值最小．解题思路：一找：连接AB交直线l于点P；二证：验证当A，P，B三点共线时，AP+BP取得最小值．三计算．请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程．【典例1-4】模型演变问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l的两侧，试确定点P的位置，使|P A﹣PB|的值最大．解题思路：一找：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'并延长，交直线于点P；二证：验证当A，B'，P三点共线时，|P A﹣PB|取得最大值．三计算．请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程．【变式1-1】如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，点N为BC的中点，点M是对角线AC上一点，则MB+MN的最小值为．【变式1-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点O是对角线BD的中点，E是AB 边上一点，且AE＝1，P是CD边上一点，则|PE﹣PO|的最大值为．【变式1-3】如图，在菱形ABCD中，AB＝12，∠DAB＝60°，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在BD，AB上，且BF＝DE＝4．点P为AC上一点，则|PF﹣PE|的最大值为．【变式1-4】结论：如图，抛物线y＝ax2﹣bx﹣4与x轴交于，A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线l为该抛物线的对称轴，点M为直线l上的一点，则MA+MC 的最小值为．【典例2】模型分析问题：点P是∠AOB内的一定点，点M，N分别为OA，OB上的动点，试确定点M，N 的位置，使△PMN的周长最小．解题思路：一找：分别作点P关于OA，OB的对称点P′，P“，连接P'P“，分别交OA，OB于点M，N；二证：验证当P′，M，N，P″四点共线时，△PMN的周长最小．三计算．注：当三个点均为动点时，先假定一个点为定点，再将其特化为“一定两动“问题请写出【模型分析】中解题思路“二证”的过程．【变式2-1】如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝121°，∠B＝∠D＝90°，点M、N分别在BC、CD上，（1）当∠MAN＝∠C时，∠AMN+∠ANM＝°；（2）当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM＝°．【变式2-2】如图，在边长为2的等边△ABC中，点P，M，N分别是BC，AB，AC上的动点，则△PMN周长的最小值为．【典例3】模型分析问题：点P，Q是∠AOB内部的两定点，点M，N分别是OA，OB上的动点，试确定点M，N的位置，使四边形PMNQ的周长最小．解题思路：一找：作点P关于OA的对称点P'，点Q关于OB的对称点Q′，连接P′Q′，分别交OA，OB于点M，N；二证：验证当P′，M，N，Q′四点共线时，四边形PQNM的周长最小．三计算．请写出【模型分析】中解题思路“二证”的过程．【变式3-1】如图，已知正方形ABCD的边长为5，AE＝2DF＝2，点G，H分别在CD，BC 边上，则四边形EFGH周长的最小值为．【变式3-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，点E是AB的中点，若点P，Q分别是边BC，CD上的动点，则四边形AEPQ周长的最小值为．【典例4-1】基本模型问题：如图，点A，B为直线l同侧两定点，M，N为直线l上的动点，且MN的长度为定值，试确定点M，N的位置，使AM+MN+BN的值最小．解题思路：一找：以AM，MN为邻边．构造▱AMNA′，作点A′关于直线l的对称点A“，连接A “B，交直线l于点N，再确定点M；二证：验证当A“，N，B三点共线时，AM+MN+BN的值最小．三计算．请写出【基本模型】中解题思路“二证”的过程．【典例4-2】模型演变问题：如图，直线a∥b，定点A，B分别位于直线a的上方和直线b的下方，M，N分别为直线a，b上的动点，且MN⊥a，试确定点M，N的位置，使AM+MN+BN的值最小．解题思路：一找：以AM，MN为邻边构造▱AMNA′，连接A'B；二证：验证当A'，N，B三点共线时，AM+MN+BN的值最小．三计算．请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程．【变式4-1】如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则AM+CN的最小值为．【变式4-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，将△ABD沿射线DB方向平移得到△A'B'D'，连接B'C，D'C，求B'C+D'C的最小值．专题12 两之间线段最短求最值（四大类型含将军饮马）（知识解读）【专题说明】“两点之间，线段最短”是初中数学中的基本定理之一，也是人们在生活中认识到的基本事实，而对于数学中的最值问题，学生往往无从下手，其实往往就是这个基本定理的应用。

中考数学教学指导：求解线段最值问题的常用方法

求解线段最值问题的常用方法求线段的最值问题经常出现在各地中考试卷中．解决这类问题的关键是要结合题意，借助相关的概念、图形的性质，将最值问题转化为相应的数学模型．如，函数增减性、线段公理、垂线段定理、三角形三边关系等进行分析与突破．现对这类问题作一个归类整理．一、利用“将军饮马”数学模型，求线段和的最小值或差的最大值“将军饮马”模型为：在一条定直线上求一点，使得该点到这条直线同侧的两个定点的距离之和最小．其实质是根据“两点之间线段最短”求最短距离的一个数学模型．“将军饮马”问题可变化为以下几种情形：情形一如图1，A、B为直线MN同侧的两点，在直线MN上求作一点P，使P A+PB-最大(图1 (2))．最小(图1 (1))，或使PA PB情形二如图2，A、B为直线MN异侧的两点，在直线MN上求作一点P，使P A+PB-最大(图2 (2))．最小(图2 (1))，或使PA PB情形三如图3，点P是∠MON内一点，分别在边OM、ON上求点A、B，使P AB的周长最小．情形四如图4，点P、Q是∠MON内两点，分别在边OM、ON上求点A、B，使四边形P ABQ的周长最小；上述几种情形都利用了轴对称的性质，不妨把情形一、二简称为“两点一线”，情形三为“一点两线”，情形四为“两点两线”．例1如图5，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴正半轴上．顶点B的坐标为(3，3)，点C的坐标为(12，0．)，点P为斜边OB上的一个动点，则P A+PC的最小值为．例2如图6，已知A (12，y1)，B (2，y2) 为反比例函数y=1x图像上的两点，动点P在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是．例3如图7，在平面直角坐标系中，已知点A (－1，0)，B (4，0)，C (2，－3)，P (3，－2)，当P、C同时向左平移t个单位时得到的对应点分别为P1，C1，则当四边形AB P1C1的周长最小时t的值为．简析例1是“两点一线”(定点A、C和直线OB) 模型，P A+PC的最小值为312．例2延长线段AB交x轴可得P (2．5，0)．例3实际为“两点(点A、B) 一线(过点P平行x轴的直线l ) 一平移(平移距离和方向均为PC)”模型．如图7，过点A作AA1∥PC，AA1=PC，作点A1关于直线l的对称点A2，连结A2B，交直线l于点P1，作P1C1∥PC，P1C1=PC，四边形ABP1C1的周长即为最小，求得t =PP1=0．6．或过点B用类似作法一样可求，此时“一线”应是过点C平行x轴的直线．二、构造三角形求不定线段的最大值若P A、PB是两条定长线段，AB是一条不定的线段，由三角形三边关系PA PB≤AB ≤P A+PB (等号当且仅当P、A、B三点一直线时成立)，求得不定线段AB的最大值或最小值．例4如图8，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB 边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN，连结A'C．则A'C长度的最小值是简析因为A'M=AM，所以A'M、MC为定长线段，当A'、M、C三点共线时，最小值A'C72．例5如图9，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，点A、C分别在x轴、y轴正半轴上．当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，求点B到原点的最大和最小距离．简析取AC中点D，连结BD、OD，则BD、OD为定长线段．当点B在第一象限，且B、O、D三点共线时，最大值BO=3柜+3；当点j5}在第三象限，j!}、D、D三点共线时，最小值BO = 32－3．例6如图10，在△ABC中，AB=3，BC=4，∠ACB=30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得到△A1BC1．如图，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC 绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．简析EB为定长线段，当点P1在A1C1上运动时，BP1的最长距离为BC1= 4，最短距离为垂线段长2．当按E、B、C1顺序并且三点共线时，最长EP1=4 + 1．5 = 5．5；类似地，最短EP1=2－1．5 = 0．5．在上述三个问题中，找到定长的两条线段很重要，需要根据题意，结合图形特征，熟悉图形性质．例如，定圆的半径为定值，斜边一定的直角三角形斜边中线为定值，两平行线间的距离为定值等．要仔细分析，有时需要添加适当的辅助线．三、利用“垂线段最短”求线段的最值“两点之间线段最短”，最短距离为“点点距”，指的是点到点的距离；“垂线段最短”，最短距离为“点线距“，指的是直线外一点到直线的距离．利用“垂线段最短“求线段最值，需要运用动态的观点，结合图形性质，多数情况下要构造直角三角形，利用直角三角形性质解决问题．例7 如图11，在Rt △AOB 中，OA=OB=32，⊙O 的半径为1，点P 是AB 边上的动点．过点P 作⊙O 的一条切线PQ (点Q 为切点)，则切线PQ 的最小值为．简析由切线性质得PQ =22OP OQ ，OQ 为定值．当OP 最小，即OP 为AB 边上的垂线段时，PQ 最小，最小值PQ =22．例8 如图12，在△ABC 中，AB =10，AC =8，BC =6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P ，Q ，则线段PQ 长度的最小值是．简析 ∠C 是直角，则PQ 为直径．连结CD ，当C D ⊥AB 且CD 成为直径时，最小值PQ=CD =4．8．四、建立函数模型求线段最值一些动态问题的两个变量之间存在着某种函数关系，建立函数关系式，在自变量取值范围内利用函数性质求线段最值．数形结合，把几何问题代数化，以达到快捷解决最值问题的目的．例9 如图13，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点(不与B，C重合)，∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且cos α=45，求CE的最大值．简析先求得BC=16，由△ABD～△DCE，得CEBD=DCAB．设BD=x，CE=(16)10x x，当x=8时，最大值CE=6．4．综上，线段的最值问题需要在动态情形中对图形特殊位置作出深入的探索，既要寻找合适的模型，又要具体问题具体分析，这样才能达到顺利解决问题之目的．。

初中数学求线段最值的方法

初中数学求线段最值的方法初中数学中，求解线段的最值是一个基本的问题，它可以用来优化一些实际问题的解法，例如最短路径、最大收益、最小支出等。

本文将为大家介绍在初中数学中求解线段最值的方法，包括整体流程和每个环节的详细描述。

一、问题描述和基本概念假设有一条直线段AB，其中A(x1,y1)和B(x2,y2)是已知的点。

我们的问题是如何求出该直线段上某个点P(x,y)的函数值的最大值或最小值。

我们需要了解一些基本的概念和知识：1. 直线段：由两个端点确定的线段，其中端点A是起点，端点B是终点。

2. 函数：将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素的规则。

通常用f(x)表示函数。

3. 函数的最值：给定一个函数f(x)，若存在x1，x2∈D，使得f(x1)≥f(x) ∀x∈D 或f(x2)≤f(x) ∀x∈D，则称f(x)在D上取得最大值或最小值。

4. 坐标系：用于描述点或图形位置的平面直角坐标系，由x轴和y轴组成、原点为(0,0)。

5. 勾股定理：在直角三角形ABC中，设直角边分别为a,b,斜边为c，则有c²=a²+b²。

二、分析求解思路和方法对于我们的问题，我们可以用函数来描述直线段AB上每个点P(x,y)的值。

为了方便，我们通常称这个函数为f(x)。

如果我们要求f(x)的最大值，则需要寻找使得f(x)取得最大值的点x值。

同理，如果我们要求f(x)的最小值，则需要寻找使得f(x)取得最小值的点x值。

基于这个思路，我们可以考虑用以下的方法来求解线段最值：1. 明确问题：首先需要明确问题的具体描述和目标，即要求线段上某个点P(x,y)的函数值的最大值或最小值。

2. 理解数据：仔细查看题目给定的图形或数据，注意理解每个点的坐标和重要的约束条件。

3. 定义函数：用函数f(x)来描述线段上每个点P(x,y)的值，需要注意函数的定义域D，即x的取值范围。

4. 求解方法：根据问题的不同，可以选用合适的求解方法来求解线段的最值。

中考数学总复习——线段最值

线段最值线段最值问题是指在一定的条件下，求线段长度的最大值或最小值.求线段最值问题的基本方法有：1.轴对称模型，本讲主要涉及轴对称在四边形中的应用；2.线段运动问题.1、轴对称模型【练习1】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E是AB边的中点，P是AC边上一动点，PB＋PE的最小值是3，求AB的值．【练习2】如图，在锐角三角形ABC中，BC=,∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC 上的动点，则CM+MN 的最小值是___.【练习3】如图，线段AB 的长为2，C 为AB 上一动点，分别以AC 、BC 为斜边在AB 的同侧作两个等腰直角△ACD 和△BCE,则DE 的最小值为________.M NA BCD【练习4】如图，当四边形PABN的周长最小时，a=_______.【练习5】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD=AD=1，∠B=60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC+PD的最小值为_________.2、线段运动问题【练习1】如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =2，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最大距离是（）A ．222B ．52C ．62D ．6【练习2】已知平行四边形ABCD 中，AC=10，BD=8，则AD 的取值范围是__________.【练习3】如图，将两张长为8cm,宽为2cm的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时菱形的周长有最小值8cm,那么菱形周长的最大值是___________cm.【练习4】如图，∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1,运动过程中，点D到点O的最大距离为( )AD.152MNOACD【练习5】如图，C为线段上BD一动点，分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD，连接AC、EC, 已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.(1)用含x的代数式表示AC+CE的长；(2)请问点C满足什么条件时, AC+CE的值最小？(3)根据(2)的最小值.。

中考数学中的最值问题求法

中考数学中的最值问题求法考点一：利用对称求最值问题1.基本知识点：①两点之间线段最短；②点到直线的距离最短。

2.求最值问题的类型ABCD的边长为6，点E在BC上，CE＝2．点M是对角线BD上的一个动点，则EM+CM的最小值是（）A．62B．35C．213D．413【分析】要求ME+MC的最小值，ME、MC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化ME，MC的值，从而找出其最小值求解．【解答】解：如图，连接AE交BD于M点，∵A、C关于BD对称，∴AE就是ME+MC的最小值，∵正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE＝BC﹣CE＝6﹣2＝4，∵AB＝，∴AE＝＝2，∴ME+MC的最小值是2．故选：C．2．（2022•资阳）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是直线BC上一动点．若AB ＝4，则AE+OE的最小值是（）A．42B．25+2C．213D．210【分析】本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点A关于直线BC的对称点A'，再连接A'O，运用两点之间线段最短得到A'O为所求最小值，再运用勾股定理求线段A'O的长度即可．【解答】解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点A'，连接A'O，其与BC的交点即为点E，再作OF⊥AB交AB于点F，∵A与A'关于BC对称，∴AE＝A'E，AE+OE＝A'E+OE，当且仅当A'，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时AE+OE＝A'E+OE＝A'O，∵正方形ABCD，点O为对角线的交点，∴，∵A与A'关于BC对称，∴AB＝BA'＝4，∴F A'＝FB+BA'＝2+4＝6，在Rt△OF A'中，，故选：D．3．（2022•菏泽）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，M是对角线BD上的一个动点，CF＝BF，则MA+MF的最小值为（）A．1B．2C．3D．2【分析】当MA+MF的值最小时，A、M、F三点共线，即求AF的长度，根据题意判断△ABC为等边三角形，且F点为BC的中点，根据直角三角形的性质，求出AF的长度即可．【解答】解：当A、M、F三点共线时，即当M点位于M′时，MA+MF的值最小，由菱形的性质可知，AB＝BC，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∵F点为BC的中点，AB＝2，∴AF⊥BC，CF＝FB＝1，∴在Rt△ABF中，AF＝＝．故选：C．4．（2022•广安）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F 分别为边AD、DC的中点，则PE+PF的最小值是（）A．2B．3C．1.5D．5【分析】如图，取AB的中点T，连接PT，FT．首先证明四边形ADFT是平行四边形，推出AD＝FT＝2，再证明PE+PF＝PT+PF，由PF+PT≥FT＝2，可得结论．【解答】解：如图，取AB的中点T，连接PT，FT．∵四边形ABCD是菱形，∴CD∥AB，CD＝AB，∵DF＝CF，AT＝TB，∴DF＝AT，DF∥AT，∴四边形ADFT是平行四边形，∴AD＝FT＝2，∵四边形ABCD是菱形，AE＝DE，AT＝TB，∴E，T关于AC对称，∴PE＝PT，∴PE+PF＝PT+PF，∵PF+PT≥FT＝2，∴PE+PF≥2，∴PE+PF的最小值为2．故选：A．5．（2022•赤峰）如图，菱形ABCD，点A、B、C、D均在坐标轴上．∠ABC＝120°，点A （﹣3，0），点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是（）3 A．3B．5C．22D．32【分析】根据题意得，E点关于x轴的对称点是BC的中点E'，连接DE'交AC与点P，此时PD+PE有最小值，求出此时的最小值即可．【解答】解：根据题意得，E点关于x轴的对称点是BC的中点E'，连接DE'交AC与点P，此时PD+PE有最小值为DE'，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，点A（﹣3，0），∴OA＝OC＝3，∠DBC＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴DE'＝OC＝3，即PD+PE的最小值是3，故选：A ．6．（2022•安顺）已知正方形ABCD 的边长为4，E 为CD 上一点，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F ，过点D 作DG ⊥AF ，交AF 于点H ，交BF 于点G ，N 为EF 的中点，M为BD 上一动点，分别连接MC ，MN ．若91=∆∆FCEDCG S S ，则MC +MN 的最小值为．【分析】由正方形的性质，可得A 点与C 点关于BD 对称，则有MN +CM ＝MN +AM ≥AN ，所以当A 、M 、N 三点共线时，MN +CM 的值最小为AN ，先证明△DCG ∽△FCE ，再由＝，可知＝，分别求出DE ＝1，CE ＝3，CF ＝12，即可求出AN ．【解答】解：如图，连接AM ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴A 点与C 点关于BD 对称， ∴CM ＝AM ，∴MN +CM ＝MN +AM ≥AN ，∴当A 、M 、N 三点共线时，MN +CM 的值最小， ∵AD ∥CF ， ∴∠DAE ＝∠F ，∵∠DAE +∠DEH ＝90°， ∵DG ⊥AF ，∴∠CDG +∠DEH ＝90°， ∴∠DAE ＝∠CDG ， ∴∠CDG ＝∠F ， ∴△DCG ∽△FCE ， ∵＝，∴＝，∵正方形边长为4，∴CF＝12，∵AD∥CF，∴＝＝，∴DE＝1，CE＝3，在Rt△CEF中，EF2＝CE2+CF2，∴EF＝＝3，∵N是EF的中点，∴EN＝，在Rt△ADE中，EA2＝AD2+DE2，∴AE＝＝，∴AN＝，∴MN+MC的最小值为，故答案为：，7．（2022•内江）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是．【分析】延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，则四边形EFGC是平行四边形，得CE ＝FG，则AF+CE＝AF+FG，可知当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，利用勾股定理求出AG的长即可．【解答】解：延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，∵EF∥CG，EF＝CG，∴四边形EFGC是平行四边形，∴CE＝FG，∴AF+CE＝AF+FG，∴当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，由勾股定理得，AG＝＝＝10，∴AF+CE的最小值为10，故答案为：10．8．（2022•贺州）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，E，F分别是AD，AB的中点，∠ADC的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则△PEF的周长最小值为．【分析】如图，在DC上截取DT，使得DT＝DE，连接FT，过点T作TH⊥AB于点H．利用勾股定理求出FT＝，EF＝5，证明PE+PF＝PF+PT≥FT，可得结论．【解答】解：如图，在DC上截取DT，使得DT＝DE，连接FT，过点T作TH⊥AB于点H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADT＝90°，∵∠AHT＝90°，∴四边形AHTD是矩形，∵AE＝DE＝AD＝3．AF＝FB＝AB＝4，∴AH＝DT＝3，HF＝AF﹣AH＝4﹣3＝1，HT＝AD＝6，∴FT＝＝＝，∵DG平分∠ADC，DE＝DT，∴E、T关于DG对称，∴PE＝PT，∴PE+PF＝PF+PT≥FT＝，∵EF＝＝＝5，∴△EFP的周长的最小值为5+，故答案为：5+．9．（2022•娄底）菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ+PQ的最小值为．【分析】连接AQ，作AH⊥BC于H，利用SAS证明△ABQ≌△CBQ，得AQ＝CQ，当点A、Q、P共线，AQ+PQ的最小值为AH的长，再求出AH的长即可．【解答】解：连接AQ，作AH⊥BC于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB，∠ABQ＝∠CBQ，∵BQ＝BQ，∴△ABQ≌△CBQ（SAS），∴AQ＝CQ，∴当点A、Q、P共线，AQ+PQ的最小值为AH的长，∵AB＝2，∠ABC＝45°，∴AH＝，∴CQ+PQ的最小值为，故答案为：．10．（2022•眉山）如图，点P为矩形ABCD的对角线AC上一动点，点E为BC的中点，连接PE，PB，若AB＝4，BC＝43，则PE+PB的最小值为．【分析】作点B关于AC的对称点B'，交AC于点F，连接B′E交AC于点P，则PE+PB 的最小值为B′E的长度；然后求出B′B和BE的长度，再利用勾股定理即可求出答案．【解答】解：如图，作点B关于AC的对称点B'，交AC于点F，连接B′E交AC于点P，则PE+PB的最小值为B′E的长度，∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝4，∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝4，∴tan∠ACB＝＝，∴∠ACB＝30°，由对称的性质可知，B'B＝2BF，B'B⊥AC，∴BF＝BC＝2，∠CBF＝60°，∴B′B＝2BF＝4，∵BE＝BF，∠CBF＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴BE＝BF＝B'F，∴△BEB'是直角三角形，∴B′E＝＝＝6，∴PE+PB的最小值为6，故答案为：6．11．（2022•滨州）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10．若点E是边AD上的一个动点，过点E作EF⊥AC且分别交对角线AC、直线BC于点O、F，则在点E移动的过程中，AF+FE+EC的最小值为．【分析】如图，过点E作EH⊥BC于点H．利用相似三角形的性质求出FH，EF，设BF＝x，则DE＝10﹣x﹣＝﹣x，因为EF是定值，所以AF+CE的值最小时，AF+EF+CE 的值最小，由AF+CE＝+，可知欲求AF+CE的最小值相当于在x轴上找一点P（x，0），使得P到A（0，5），B（，5）的距离和最小，如图1中，作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于点P，连接AP，此时P A+PB的值最小，最小值为线段A′B的长，由此即可解决问题．【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于点H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BAD＝∠BHE＝90°，∴四边形ABHE是矩形，∴EH＝AB＝5，∵BC＝AD＝10，∴AC＝＝＝5，∵EF⊥AC，∴∠COF＝90°，∴∠EFH+∠ACB＝90°，∵∠BAC+∠ACB＝90°，∴∠EFH＝∠BAC，∴△EHF∽△CBA，∴＝＝，∴＝＝，∴FH＝，EF＝，设BF＝x，则DE＝10﹣x﹣＝﹣x，∵EF是定值，∴AF+CE的值最小时，AF+EF+CE的值最小，∵AF+CE＝+，∴欲求AF+CE的最小值相当于在x轴上找一点P（x，0），使得P到A（0，5），B（，5）的距离和最小，如图1中，作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′交xz轴于点P，连接AP，此时P A+PB的值最小，最小值为线段A′B的长，∵A′（0，﹣5），B（，5），∴A′B＝＝，∴AF+CE的最小值为，∴AF+EF+CE的最小值为+．解法二：过点C作CC′∥EF，使得CC′＝EF，连接C′F．∵EF＝CC′，EF∥CC′，∴四边形EFC′C是平行四边形，∴EC＝FC′，∵EF⊥AC，∴AC⊥CC′，∴∠ACC＝90°，∵AC′＝＝＝，∴AF+EC＝AF+FC′≥AC′＝，∴AF+EF+CE的最小值为+．故答案为：+．12．（2022•自贡）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF＝1，则GE+CF的最小值为．【分析】解法一：利用已知可以得出GC，EF长度不变，求出GE+CF最小时即可得出四边形CGEF周长的最小值，利用轴对称得出E，F位置，即可求出．解法二：设AE＝x，则BF＝3﹣x，根据勾股定理可得：EG+CF＝+，由勾股定理构建另一矩形EFGH，根据线段的性质：两点之间线段最短可得结论．【解答】解：解法一：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH＝1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF＝1，此时GE+CF的值最小，∵CH＝EF＝1，CH∥EF，∴四边形EFCH是平行四边形，∴EH＝CF，∴G'H＝EG'+EH＝EG+CF，∵AB＝4，BC＝AD＝2，G为边AD的中点，∴DG'＝AD+AG'＝2+1＝3，DH＝4﹣1＝3，由勾股定理得：HG'＝＝3，即GE+CF的最小值为3．解法二：∵AG＝AD＝1，设AE＝x，则BF＝AB﹣EF﹣AE＝4﹣x﹣1＝3﹣x，由勾股定理得：EG+CF＝+，如图，矩形EFGH中，EH＝3，GH＝2，GQ＝1，P为FG上一动点，设PG＝x，则FP＝3﹣x，∴EP+PQ＝+，当E，P，Q三点共线时，EP+PQ最小，最小值是3，即EG+CF的最小值是3．故答案为：3．13．（2022•泰州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（）A．2B．2C．22D．4【分析】连接AE，那么，AE＝CG，所以这三个d的和就是AE+EF+FC，所以大于等于AC，故当AEFC四点共线有最小值，最后求解，即可求出答案．【解答】解：如图，连接AE ，∵四边形DEFG 是正方形，∴∠EDG ＝90°，EF ＝DE ＝DG ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ，∠ADC ＝90°，∴∠ADE ＝∠CDG ，∴△ADE ≌△CDG （SAS ），∴AE ＝CG ，∴d 1+d 2+d 3＝EF +CF +AE ，∴点A ，E ，F ，C 在同一条线上时，EF +CF +AE 最小，即d 1+d 2+d 3最小，连接AC ，∴d 1+d 2+d 3最小值为AC ，在Rt △ABC 中，AC ＝AB ＝2，∴d 1+d 2+d 3最小＝AC ＝2，故选：C ．14．（2022•安徽）已知点O 是边长为6的等边△ABC 的中心，点P 在△ABC 外，△ABC ，△P AB ，△PBC ，△PCA 的面积分别记为S 0，S 1，S 2，S 3．若S 1+S 2+S 3＝2S 0，则线段OP 长的最小值是（）A ．233B ．235C ．33D ．237【分析】如图，不妨假设点P 在AB 的左侧，证明△P AB 的面积是定值，过点P 作AB 的平行线PM ，连接CO 延长CO 交AB 于点R ，交PM 于点T ．因为△P AB 的面积是定值，推出点P 的运动轨迹是直线PM ，求出OT 的值，可得结论．【解答】解：如图，不妨假设点P 在AB 的左侧，∵S △P AB +S △ABC ＝S △PBC +S △P AC ，∴S 1+S 0＝S 2+S 3，∵S 1+S 2+S 3＝2S 0，∴S 1+S 1+S 0＝2，∴S1＝S0，∵△ABC是等边三角形，边长为6，∴S0＝×62＝9，∴S1＝，过点P作AB的平行线PM，连接CO延长CO交AB于点R，交PM于点T．∵△P AB的面积是定值，∴点P的运动轨迹是直线PM，∵O是△ABC的中心，∴CT⊥AB，CT⊥PM，∴•AB•RT＝，CR＝3，OR＝，∴RT＝，∴OT＝OR+TR＝，∵OP≥OT，∴OP的最小值为，当点P在②区域时，同法可得OP的最小值为，如图，当点P在①③⑤区域时，OP的最小值为，当点P在②④⑥区域时，最小值为，∵＜，故选：B．考点二：利用确定圆心的位置求最短路径通过确定圆心的位置，利用定点到圆心的距离加或减半径解题。

初中数学线段最值问题解题技巧

初中数学线段最值问题解题技巧（最新版4篇）目录（篇1）1.线段最值问题的定义和特点2.解题思路和方法3.具体解题步骤和技巧正文（篇1）一、线段最值问题的定义和特点线段最值问题是指在已知线段长度范围内，求取最大或最小值的问题。

此类问题在数学中较为常见，尤其是在几何学和代数中的应用广泛。

其特点在于，通常需要结合线段长度、角度、边长等几何要素进行求解。

二、解题思路和方法1.转化：将问题转化为具体几何模型或代数方程。

2.寻找最大值点：通过观察线段或几何图形，找到最大值点。

3.应用数学知识：利用数学知识求解最大值，如三角函数、勾股定理等。

4.运用数学公式：运用特定数学公式，如辅助线公式、几何倍增等，来寻找最大值。

三、具体解题步骤和技巧1.分析问题：首先需要认真阅读问题，理解问题的要求。

2.构建模型：根据问题建立几何模型或代数方程。

3.寻找最大值点：根据题目中的条件，找到最大值点。

这可能需要对几何图形或代数方程进行深入分析。

4.应用数学知识：使用所学的数学知识求解最大值，例如：三角函数、勾股定理等。

5.验证结果：验证所求得的解是否符合题目要求，必要时进行修正。

总之，解决线段最值问题需要灵活运用数学知识，同时注意分析问题、建立模型、寻找最大值点和应用数学知识等多个步骤。

目录（篇2）一、初中数学线段最值问题解题技巧概述1.解题技巧简介2.解题技巧的应用范围和优势3.解题技巧的适用条件和限制二、初中数学线段最值问题解题技巧详解1.寻找临界点法2.构造辅助线法3.转化角度法4.函数思想法三、初中数学线段最值问题解题技巧的实际应用案例1.题目类型：线段和的最值问题2.题目类型：线段长的最值问题3.题目类型：线段差的的最值问题4.题目类型：三角形中的最值问题正文（篇2）初中数学线段最值问题解题技巧是解决线段相关问题的有效工具。

它通过寻找临界点、构造辅助线、转化角度以及运用函数思想等方法，将复杂的问题简单化，从而快速准确地求解。

中考数学专题复习-例说线段的最值问题 (共62张)

MA MD 1 AD 1，FDM 60. 2
A
N
B
解答过程：
F M D 3 0 ， F D = 1 M D = 1 .
2
2
FM =MD cos30= 3 . 2
MC = FM 2+CF 2 = 7.
A 'C = M C M A ' = 7 1.
FD
C
M
A‘'
A
N
B
小结：
“关联三角形”的另外两条边尽可能长度已知（或可求），再利用三角形三边关系求解，线段取得最值时，“关联三角形”不存在（三顶点共线）.
解答过程：
连接OC交e O于点P，此时PC最小. 在RtBCO中， Q BC=4，OB=3， OC=5，PC=OC OP=2. 即PC最小值为2.
小结：
此道作业题构造“辅助圆”的突破口在于发现动点与两定点连线的夹角为确定值；若点P在△ABC外部，则CP 长存在最大值；若∠APB为非直角时，则作△ABP的外接圆，此时AB为非直径的弦.
'
2
2
2
在 R t C D D '中，
C D '= C D 2 D D '2 3 2 4 2 5 , 即 PC PD的最小值为 5.
小结：
1. 本题从形的角度得到点P的位置，再从数的角度计算出点P的坐标，进而得到最小值.这正是体现了数形结合的重要性.
典型例题2：
D
C
M
A‘'
，52
)，B(4，m)两点，点P是线段AB上异于A，B的动点
，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C.
（1）求抛物线的表达式.
y

例谈求线段最值的方法

例谈求线段最值的⽅法例谈求线段最值的⽅法⼏何最值问题属于中考题中的热点问题，也是难点问题，其中，求线段的最值问题是近年常见的题型.下⾯结合⼀些实例谈谈解决此类问题的⽅法.⼀、轨迹法对于线段最⼩值问题，若线段的⼀个端点是定点，另⼀个端点是动点，可以考虑轨迹法，即考虑动点的轨迹.若动点的轨迹是⼀条直线，可以⽤“垂线段最短”原理解决;若动点的轨迹是圆(或⼀段圆弧)，可以⽤“圆最值模型”解决.圆最值模型如图1, P是⊙O外的⼀点，直线PO分别交⊙O于点,A B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离, PB是点P到⊙O上的点的最长距离.PC OC.证明如图1，在⊙O是任取⼀点C(不为,A B)，连结,Q,<+=+=+,P O P C O C P O P A O A P A O C∴<,P A P C即PA是点P到⊙?O上的点的最短距离.PD OD.如图2，在⊙O是任取⼀点D(不为,A B) ,连接,Q,+>=+=+,PO OD PD PB PO OB PO OD∴>,PB PD即PB是点P到⊙O上的点的最长距离.例1 (2016年⽆锡市中考题)如图3，已知平⾏四边形OABC的顶点,A C分别在直线x=上，O是坐标原点，则对⾓线OB长的最⼩值为.x=和41解析如图3，设直线1x =和x 轴交于点E .作BF ⊥直线4x =点F ，因为平⾏四边形OABC ，所以OA 和BC 平⾏且相等，可得AOE ?和CBF ?全等，所以OE BF =，可得点B 的轨迹是直线5x =.当点B 在x 轴上时，OB ⊥直线5x =，此时OB 最⼩，最⼩值为5.例2 (2016年安徽省中考题)如图4,Rt ABC ?中，,6,4,AB BC AB BC P ⊥==是ABC ?内部的⼀个动点，且满⾜PAB PBC∠=∠，则线段CP 长的最⼩值为( )(A) 32 (B) 2 (c)解析根据PAB PBC ∠=∠，可得90APB ∠=?，故点P 在以AB 为直径的圆上(如图4).取AB 的中点,O OC 交⊙O 于点P ,根据圆最值模型知此时CP 最⼩.13,52OP AB OC ===Q ，所以CP 的最⼩值为532OC OP -=-=, 选B.⼆、构造法对于线段最⼤值问题，若线段的⼀个端点是定点，另⼀个端点是动点，但动点轨迹难确定，可以考虑构造法，即找⼀个定点，当这三点共线时，线段最⼤.例3 如图5，平⾯直⾓坐标系中，已知矩形,2,1ABCD AB BC ==，点A 和B 分别在x 轴正半轴和第⼀象限⾓平分线上滑动，点C 在第⼀象限，求OC 的最⼤值.解析如图5，取AOB ?外接圆的圆⼼I ,因为2AB =是确定的，且45AOB ∠=?也是确定的，所以AOB ?外接圆是确定的.那么线段OIBIC ?是确定的，135,1IBC BI BC ∠=?=，可解三⾓形得CI =所以当,,O I C三点共线时，线段OC 取得最⼤值，即为OI CI + 三、转化法对于线段最值问题，若线段的两个端点都是动点，可以考虑运⽤转化法，将它转化为求与之有关的另⼀条线段的最值.例4 (2016年三明市中考题)如图6，在等边ABC ?中，4AB =，点P 是BC 边上的动点，点P 关于直线,AB AC 的对称点分别为,M N ，则线段MN 长的取值范围是 .解析如图6，连结,,AP AM AN ，由对称可得,AP AM AN BAP MAB ==∠=∠，CAP NAC ∠=∠,所以2120MAN BAC ∠=∠=?，所以AMN ?是顶⾓为120°的等腰三⾓形，可得MN ==.于是求线段MN 长的取值范围，就转化为求线段AP 长的取值范围.AP 最⼩为AP 垂直BC 时，最⼤为AB ，所以AP 的取值范围是4AP ≤≤，所以MN 的取值范围是6AP ≤≤ 四、函数法当线段最值问题从⼏何⾓度很难求解的时候，可以考虑引⼊参数，建⽴函数模型，⽤函数法来解决.例5 如图7，在ABC ?中，2AB AC BC ===,点P 是AB 边上的动点(不与点,A B 重合).过点P 作//PE BC 交AC 于点E ，作P F B C ⊥于点F ，连结,EF M 是EF 上的点，且2EM FM =，则PM 的最⼩值是 .解析由条件“2AB AC BC ===”可知ABC ?是确定的，tan 2B =;⼜根据作图可知PBF ?形状也是确定的，PF ⼆2BF,并且有2PF BF =.所以，分析可得PM 的⼤⼩取决于BF 的⼤⼩，所以引⼊参数.设BF x =，则2PF x =,22PE x =-.加图7，作MN PF ⊥于点N .2EM FM =Q ,122333MN PE x ∴==-,2433PN PF x ==, 在Rt PMN ?中，222224()()333PM x x =-+，化简得2220116()9545PM x =-+.所以当15BF =时，PM。

初中几何“线段最值”问题的求解策略

论坛几何问题是初中数学的重难点。

因为几何问题往往比较抽象，考察的是学生的抽象思维，需要学生运用一定的想象，因此，学生需要具有良好的数学转化思想和数学创造意识，才能够很好地解决这类问题。

一、利用数学公理求最值在求解“线段最值”的时候，我们可以使用数学公理去求解答案。

这个公理就是“两点之间线段最短”。

连接两点间的线段的长度叫作这两点间的距离。

根据常识我们可以知道两点之间的所有连线中线段是最短的。

而最短就对应最值中的最小值。

比如这样一道典型的例题，“要在街道MN 旁边修建一个供水站。

向居民区a,b 提供水源。

居民区a,b 都位于MN 街道旁的一侧，供水站应该建在什么地方，才能使从a,b 到它的距离之和最短？(提示：可以画一条线段去表示距离之间的最小值)”在解决这个问题的时候，我们就要用到上述提出的数学公理。

我们以MN 街道为对称轴，画出a 点在MN 轴另一侧的对称点a',连接a'和b 可以得到一条线段，这条线段和mn 轴有一个交点，记作p。

p 点就是修建供水站的位置。

如此供水站到居民区ab 的距离之和最短(ap 和a'p 的距离相等)。

这是几何中一道比较简单的求最值的问题。

求解的思想就是做出对称点，将折线转化为直线。

同一个图形使用不同条件进行限制就会组成不同的图形。

这个公理还会以线段加平面图形的形式进行考察。

例如，“在正方形abcd 中，ab 等于4，e 是bc 的中点，点p 是对角线ac 上一个动点，那么pe+pb 的最小值是多少？”还是利用公理的思想进行求解,pe+pb 的最小值就是正方形对角线db 的长度。

这也是“两点之间，线段最短”的表现。

当出现动点和线段这几个字眼的时候，就要自觉向这个公理上靠，很有可能考察的就是这个公理。

二、利用数学性质求最值可以利用数学性质去求解最值，这里的数学性质指的是垂线段最短的数学性质。

数学性质看起来很简单，但如果要做到合理运用就存在一些难度。

中考数学线段最值问题常见的解题方法及步骤.doc

中考数学线段最值问题常见的解题方法及
步骤
类型一、运用“两点之间线段最短”模型
类型二、运用“垂线段最短”模型
类型三、建立函数模型探究
运动问题中的一些量是有关联的，运动中总隐含有常量和变量，可以通过函数来捕捉运动中的各个量，建立函数模型来准确刻画量与量之间的关系．
“模型思想”新课程标准新增的核心概念，“模型思想”作为核心概念之一，第一次以“基本数学思想”的身份出现．这意味着“建立数学模型”这一意识和要求被明显强化，模型思想作为一种基本的数学思想更是会与目标、内容、考查紧密关联。

所以，我们要深刻体会模型思想，了解数学模型的“形成—建立—求解”全过程，在过程中体会和掌握数学中常用的、重要的基本模型．。

初中数学线段最值问题解题技巧

初中数学线段最值问题解题技巧【最新版2篇】目录（篇1）1.线段最值问题的基本概念和类型2.利用垂线段最短解决线段最值问题3.线段最值问题在生活中的应用4.解题技巧和方法总结正文（篇1）初中数学线段最值问题是数学学科中的一个重要内容，它涉及到解析几何、代数方程、数学建模等多个方面，而解决线段最值问题也是初中数学教学中的一个重要环节。

目录（篇2）1.线段最值问题的基本概念和分类2.垂线段最短的定理及证明3.垂线段最短定理在求线段最值问题中的应用4.求线段最值问题的其他解题技巧正文（篇2）初中数学线段最值问题解题技巧一、线段最值问题的基本概念和分类线段最值问题是初中数学中的一个重要题型，主要涉及求解线段的长度问题。

线段最值问题可以分为两类：一类是求线段的最大值，另一类是求线段的最小值。

在解决这类问题时，需要掌握一些基本的几何知识和数学技巧。

二、垂线段最短的定理及证明在解决线段最值问题时，经常会用到垂线段最短的定理。

这个定理的表述如下：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。

为了证明这个定理，我们可以作点 P 关于直线 AB 的对称点 P"，并连接 CP"和 DP"。

然后，通过证明 CP=CP"，DP=DP"，我们可以得出 PP"是所有线段中最短的。

具体证明过程如下：作点 P 关于直线 AB 的对称点 P"，连接 CP"，DP"。

易知 CP=CP"，DP=DP"。

根据连点之间线段最短可得，PP"≤CP"，PP"≤DP"。

所以，PP"是所有线段中最短的。

三、垂线段最短定理在求线段最值问题中的应用1.求线段最值问题中的应用在求线段最值问题时，我们可以利用垂线段最短的定理来解决。

下面通过一个例子来说明：如图，ABC 是等边三角形，边长为 6，点 E 是对称轴 AD 上一点，将点 E 绕点 C 逆时针旋转 60 得到点 F。

中考数学线段最值问题常见的解题方法及步骤

中考数学线段最值问题常见的解题方法及步骤
当前，我们在解决线段最值问题时，困难主要有两个方面：一是对解决这类问题常用的几种数学模型认识不充分，掌握不到位；二是这类问题一般是以动态形式呈现的，使我们难以掌握运动中的数量关系而导致无法入手．下面我们主要探究如何利用数学模型求线段最值的问题．
其中，最常用的三种数学模型：从“形”的角度构造“两点之间线段最短”和“垂线段最短”这两种几何模型；从“数”的角度建立函数模型来进行分析．
类型一、运用“两点之间线段最短”模型
类型二、运用“垂线段最短”模型
类型三、建立函数模型探究
运动问题中的一些量是有关联的，运动中总隐含有常量和变量，可以通过函数来捕捉运动中的各个量，建立函数模型来准确刻画量与量之间的关系．
“模型思想”新课程标准新增的核心概念，“模型思想”作为核心概念之一，第一次以“基本数学思想”的身份出现．这意味着“建立数学模型”这一意识和要求被明显强化，模型思想作为一种基本的数学思想更是会与目标、内容、考查紧密关联。

所以，我们要深刻体会模型思想，了解数学模型的“形成—建立—求解”全过程，在过程中体会和掌握数学中常用的、重要的基本模型．。

中考线段最小值问题四种常见解法

方法一：利用几何性质解决问题知识点1：垂线段最短（点到直线的距离，垂线段最短）知识点2：两点之间线段最短（即“将军饮马”问题）知识点3：利用“画圆”来确定动点问题解决最值问题运用画圆解决问题有两种情况：情况1：动点到某一定点的距离是定值（圆上的点到圆心的距离恒等于半径）情况2：动点为90°固定角的顶点（直径所对的圆周角恒定为90°）在中考中最常用的是“知识点2”、“知识点3”方法二：利用代数法直接证明知识点1：利用配方法求三次二项式的最值知识点2：运用二次函数中顶点求最值代数方法较为常见，所以我们本篇暂时不会涉及.接下来，我们来简单看一下每个几何知识点对应的问题知识点1：垂线段最短常出现几何图形问题中，通常在初二会见到，中考中不会涉及。

例：如图，在△ABC中有一点D在AC上移动，若AB=AC=5，BC=6则AD+BD+CD的最小值为_______.分析:题目中问“AD+BD+CD”的最小值，通过图形我们可以知道“AD+CD”是定值，所以问题可以转换为求BD的最小值.那么求BD的最小值即为求一点B到某一直线AC上的最小值，所以可以利用“垂线段最短”的性质来求解.过点B作AC垂线即可解决问题.知识点2：两点之间线段最短这类问题常出现在函数的大题中，考生如果函数知识不过关也不能拿到满分，因为仅作出图形别不能得出答案，还需要利用函数知识进行求点坐标.解题思路：通常做定点关于动点所在直线的对称点（两个动点所在直线就做两个对称点），然后连接对称点与另一点与动点所在直线的交点即为动点位置。

例1.如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，3）和（2，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是______.分析：典型的“将军饮马”问题。

通过作点B关于y轴的对称点即可解决问题.例2：如图所示，直线y=x+2与两坐标轴分别交于A、B两点，点C 是OB的中点，D、E分别是直线AB、y轴上的动点，则△CDE周长的最小值是_______.分析：本题中存在两个动点，分别是点D、点E所以我们只需要做点C关于直线AB、关于y轴的对称点即可解决问题.知识点3：利用“画圆”来确定动点问题解决最值问题例1：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF长的最小值是________.分析：由翻折得到，DF=DB=3.所以点F在以点D为圆心以3为半径的圆上.连接A与圆心D，AD与圆的交点即为F'所以AF的最小值是AD-DF'=5-3=2.例2：如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是________.分析：根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°.所以点H在以AB为直径的圆上，所以以AB中点为圆心，以AB长的一半为半径画圆，连接D与圆心交点即为点H.所以DH'=OD-OH'中考中常见的求最值方法就是上面所提到的这些。

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