电路 动态电路的复频域分析

求各部分分式的系数 对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换
14.4 运算电路
一、 运算形式的KCL、KVL：
i(t) 0
I(s) 0
u(t) 0
U(s) 0
二、元件的运算模型
1、电阻
uR RiR
UR(s) R IR(s)
iR(t) R
+
uR(t)
-
原电路
IR(s) R
2)2

(s
4s 5 2)2 (s
3)
s2

4s 5 (s 3)
s2

3
k12

d ds
[(s

2)2

(s
4s 5 2)2 (s
] 3)
s2

[
4

(
s

3) (s

1 (4 3)2
s

5)
]

[
(
s
7 3)2
]
7
s 2
s2
k2

则
f (t) f1(t) f2 (t) fn (t)
象函数的一般形式：
F(S)

N(S) D(S )

a0S m b0S n
a1S m1 am b1S n1 bn
(n m)
若n<m，则用分式除法先化为真 分式
1、当D(s)=0有n个不同的实根时
4s 5
k1 (is 2) (s 2)(s 3i)
4s 5 (s 3)
s pi3
s 2
s 2
k2

(s

3)
(s
4s 5 2)(s
3)
4s 5 (s 2)
7
s 3
s 3
所以 F(s) 3 7
k2

k3
s(s2 4s 5) s s (2 j1) s (2 j1)
其中： k1 sF(s) |s0 1
k2

N (s) D'(s)
s2 6s 5 3s2 8s 5
j1 k3*
s2 j1
s2 j1
F(s) 1 j
i1
i2
+
M
+
u1
L1
L2
u2
I1 (s)
I2 (s)
+
sM
+
SL1 U1(s)
SL2 U2(s)
L1i1(0_)
+
L2i2(0_)
+
Mi2(0_)
+
Mi1(0_)
+
(b)
(a)
u1

L1
di1 dt

M
di2 dt
u2

L2
di2 dt

M
di1 dt
14.5 应用拉普拉斯作变业：换1法4-6分,7析,16线性电路
其中 s j
原函数
复频率
由象函数F(s)求原函数f(t)的变换称为拉普拉 斯反变换，定义为
f (t) 1 j F (S)estds
2 j j
F (s)
f (t)
0
1
f (t)est dt 正变换
简写
j
F
(s)e st ds
函数 f（t）的象函数与其延迟函数 f (t t0 )
的象函数之间有如下关系
若
L[ f (t)] F(s)
则
L[ f (t t0)] est0 F(S)
例： f(t) 1
Tt
f (t) (t) (t T)
F ( S ) 1 1 eST SS
Tt
14.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开
+
UR(s) -
运算电路
2、电容
ic

C
duc dt
IC (s) sC UC (s) Cuc (0 )
+ UC(s) -
iC(t) C
IC(s)
1/sC
+
-
uC(t)
CuC(0-)
原电路
UC (s)

1 sC

IC
(s)
uC
(0 ) s
iC(t) C
+
UC(s)
运算电路
-
+
uC(t)
常用的拉氏变换表
14.2 拉普拉斯变换的基本性质
1.线性性质
若L[ f1(t )] F1(S ) , L[ f2(t )] F2(S )
则 L[af1(t) bf2 (t)] aF1(S ) bF2 (S )
例1：L[U(t)] U
S
例2：L[sint (t )] L[ 1 (e jt e jt ) (t )]
iL(t) L
IL(s)
sL
+
-
uL(t)
iL(0-)/s
当动态元件初始储能为零时：
iR(t) R
+
uR(t)
-
iC(t) C
IR(s) R
+
UR(s) -
1
IC(s)
sC
+
uC(t)
-
iL(t) L
+
uL(t)
-
+ UC(s) IL(s) sL
+ UL(s)
-
4、互感
U1(s) sL1I1(s) L1i1(0 ) sMI2 (s) Mi2 (0 ) U2 (s) sL2I2 (s) L2i2 (0 ) sMI1(s) Mi1(0 )

s

s2
2

0

s2
s
2
3.积分性质

函数 f（t）的象函数与其积分
函数之间有如下关系
0
f ( )d
的象
若
L[ f (t)] F(s)
则
L[ f ( )d ] F(s)
0
s
例：L[t (t)]
t
L[ 0
(t )dt ]

1 S

1 S
4.延迟性质

n i2
ki s pi
其中： k11 (s p1)q F (s) s p1
k12

d ds
[(s

p1 )q

F (s)] s p1
k13

1 2
d2 ds2
[(s

p1 )q
F (s)]
s p1
………… …………
k1q

1 (q 1)!
d q1 dsq1
[(s
应用拉普拉斯变换求解线性电路的方法称为运算法。
运算法与相量法的基本思想类似。
相量法把正弦量变换为相量(复数)，从而把求解线 性电路的正弦稳态问题归结为以相量为变量的线性代数 方程。
运算法把时间函数变换为对应的象函数，从而把问 题归结为求解以象函数为变量的线性代数方程。当电路 的所有独立初始条件为零时，电路元件VCR的运算形式 与相量形式是类似的，加之KCL和KVL的运算形式与相 量形式也是类似的，所以对于同一电路列出的零状态下 的运算形式的方程和相量方程在形式上相似，但这两种 方程具有不同的意义。
j
s s (2 j1) s (2 j1)
所以 f (t) 1 2 1 e2t cos(1 t 90) 1 2e2t sin t
小结 部分分式展开法由F(S)求f(t) 的步骤：
将F(S)化成最简真分式
求F（S）分母多项式等于零的根，将F（S）分解 成部分分式之和
(s

3)
(s
4s 5 2)2 (s
3)
4s 5 (s 2)
7
s3
s3
பைடு நூலகம் 所以
F (s)

s
7
2

3 (s 2)2

7 s3
f (t) 7e2t 3te2t 7e3t
3、当D(s)=0有共轭复根时

p1 j p2
-
IC(s) 1/sC + u(0 ) s
3、电感
uL

L
diL dt
UL (s) sL IL (s) LiL (0 )
iL(t) L
+
UL(s)
-
+
uL(t)
-
IL(s) sL
- LiL(0-) +
原电路
I L (s)

1 sL
U L (s)

iL (0 s
)
运算电路
+ UL(s) -
s2 s3
f (t) 3e2t 7e3t
2、当D(s)=0有q个相同实根时
F (s)

N (s) D(s)

(s
N (s) p1 )q (s p2 )
(s
pn )
F (s)

N (s) D(s)

k1q s p1

k1(q1) (s p1)2


k11 (s p1)q
p1 )q0
F (s)]
s p1
(q0 q)
例 已知
F (s)

s3

4s 5 7s2 16s
12
F (s)

s3

4s 5 7s2 16s
12

(s
4s 5 2)2 (s
3)

k12 s2

k11 (s 2)2

k2 s3
其中：
k11

(s

由象函数求原函数的方法：
(1)利用公式
f
(t)

1
2j


j j
F
(S )estds
(2)对简单形式的F(s)，可以查拉氏变换表得原函数。
(3)把象函数 F(S) 分解为简单项的组合，也称部分分 式展开法，或称为分解定理，然后查表。
即
F (S) F1(S) F2 (S) Fn (S)
第14章 动态电路的复频域分析
本章重点 ➢拉普拉斯变换的定义及性质； ➢拉普拉斯反变换及部分分式展开法 ； ➢应用拉普拉斯变换分析线性电路（运算法）； ➢网络函数。
作业：P377,14-3（1）（3），
14.1 拉普拉斯变换的定义
一个定义在 [0,]上的时间函数 f (t)，其拉普
拉斯变换为
象函数 F s f t estdt 0
3. 应用电路分析方法求象函数。 4. 反变换求原函数。
例1：
30Ω iL
200V
0.1H 10Ω
-
uc
+
1000μF
已知：uc (0 ) 100V
t = 0时闭合k，求iL，uL。
解：(1)iL(0 ) 5A
uc (0 ) 100V
30 0.1s 0.5 V
IL(S)
I2(S)
10 200/S V
(2)画运算电路 SL 0.1S
1000/S
1 SC

S
1 1000 106
1000
100/S V
S
30 0.1s 0.5 V
IL(S)
I1(s)
200/S V
I2(S) 1000/S
10 100/S V
I2(s)
(3)回路法
I1(S )(40 - 10I1(S)
或ki

[
N (s) D(s)
]s

pi
i = 1, 2, 3,……n
例：已知 F(s) 4s 5 求原函数。 s 2 5s 6
F(s) 4s 5 4s 5 k1 k2 s 2 5s 6 (s 2)(s 3) s 2 s 3
k [(s p ) F(s)] 其中：
F (s) N (s)
k1

k2
n N3 (s)
D(s) s ( j ) s ( j ) k3 D3 (s)
其中：
k1
{[s (

j )] F (s)}s j

[
N(S) D'(s)
]s


j
k2
{[s (

j )] F (s)}s j
2j

1[ 2j S
1
j

S
1 ] j
S2 2
2.微分性质
函数
f（t）的象函数与其导数
f ' (t)
df (t)
的
象函数之间有如下关系
dt
若
L[ f (t)] F(s)
则
L[ f ' (t)] sF (s) f (0 )
例：L[cost (t)] L[ 1 d (sint (t))] dt
反变换
F(s) L f (t)

f
(t)

L1 F
(s)

2j j
1.在电路中我们用U(s)和I(s)分别表示u(t)和i(t)的拉 普拉斯变换。
2.u(t)和i(t)是时间的函数，即时域变量 ,是实际 存在的变量，而U(s)和I(s)则是一种抽象的变量。 之所以把直观的时域变量变为抽象的复频率变量， 是为了便于分析和计算电路问题，待得出结果后 再反变换为相应的时域变量。
F
s


s

p1

s
N s p2
s

pn

K1 K2 Kn s p1 s p2 s pn
则 f t K1e p1t K 2e p2t K ne pnt
其中： ki [(s pi ) F(s)]s pi

[
N(S) D'(s)
]s

j

k1 k1 1 k2
反变换 :
k1
s (
j )

k2
s (
j )

2 | k1
| et
cos(t
1)
例 已知 F (s) s2 6s 5
s(s2 4s 5)
F (s) s2 6s 5 k1
在非零状态条件下，电路方程的运算形式中还应考 虑附加电源的作用。但当电路中的非零独立初始条件考 虑成附加电源之后，电路方程的运算形式仍与相量方程 类似。
可见相量法中各种计算方法和定理在形式上完全可 以移用于运算法。
运算法步骤：
1.由换路前电路计算uc(0-) , iL(0-) 。
2. 画运算电路模型。
0.1S
)

10I2(S )

200 S

(10